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1.4: Propiedades de Álgebra - Matemáticas


En álgebra, a menudo necesitaremos simplificar una expresión. Hay tres formas básicas de simplificación que discutiremos en esta sección.

Nota mundial

El término "Álgebra" proviene de la palabra árabe al-jabr que significa "reunión". Fue utilizado por primera vez en Irak en 830 d.C. por Mohammad ibn-Musa al-Khwarizmi.

Definiciones

Una expresión algebraica consta de coeficientes, variables y términos. Dada una expresión algebraica, un

  • coeficiente es el número delante de la variable.
  • variable es una letra que representa cualquier número.
  • término es un producto de un coeficiente y una (s) variable (s).

Por ejemplo,

[t qquad 2x qquad 3st qquad 7x ^ 2 qquad 5ab ^ 3c nonumber ]

son todos ejemplos de términos porque cada uno es un producto de un coeficiente y una (s) variable (s).

Evaluar expresiones

La primera forma de simplificar expresiones es evaluar expresiones. Dados valores particulares para cada variable, podemos simplificar la expresión reemplazando las variables con sus valores correspondientes.

[prpalg1] [0.15cm] Evalúe (p (q + 6) ) cuando (p = 3 ) y (q = 5 ).

[ begin {alineado} p (q + 6) & & tmop {Reemplazar} p tmop {con} 3 tmop {y} q tmop {con} 5 (3) ((5) + 6 ) & & tmop {Evaluar} tmop {paréntesis} (3) (11) & & tmop {Multiplicar} 33 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Siempre que reemplacemos una variable, colocaremos el nuevo número entre paréntesis. Observe que el 3 y el 5 en el ejemplo [prpalg1] están entre paréntesis. Esto es para preservar las operaciones que a veces se pierden en un simple reemplazo. A veces, los paréntesis no marcarán la diferencia, pero es un buen hábito usarlos siempre para evitar posibles errores aritméticos en el futuro.

Evalúa (x + z x (3 - z) left ( dfrac {x} {3} right) ) cuando (x = - 6 ) y (z = - 2 ).

[ begin {alineado} x + zx (3 - z) left ( dfrac {x} {3} right) & & tmop {Reemplazar} x tmop {con} 6 tmop {y} z tmop {con} 2 && (- 6) + (- 2) (- 6) (3 - (- 2)) left ( frac {(- 6)} {3} right) & & tmop {Evaluar} tmop {paréntesis} && - 6 + (5) (- 2) & & tmop {Multiplicar} tmop {izquierda} tmop {a} tmop {derecha} - 6 + {12 (5)} (- 2) & & tmop {Multiplicar} tmop {izquierda} tmop {to} tmop {derecha} - 6 + {60 (- 2)} & & tmop {Multiplicar} {- 6 - 120} & & tmop {Restar} - 126 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Términos similares

Es común en el estudio de Álgebra que se desconozcan los valores de las variables. En este caso, simplificamos combinando términos similares.

Dos términos son si la (s) variable (s) base (s) y el exponente de cada variable son idénticos.
Por ejemplo, (3 x ^ 2 y tmop {y} - 7 x ^ 2 y ) son términos semejantes porque ambos contienen las mismas variables base, (x ) y (y ), y los exponentes en (x ) (la (x ) se eleva al cuadrado en ambos términos) y (y ) son iguales.

Si dos términos son términos similares, sumamos (o restamos) el, luego mantenemos las variables (y exponentes en la variable correspondiente) iguales.

[0,15 cm] Simplifica: (5 x - 2 y - 8 x + 7 y )

[ begin {alineado} 5 x - 2 y - 8 x + 7 y & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} 5 x - 8 x tmop {y} - 2 y + 7 y - 3 x + 5 y & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

[prealg2] Simplificar: (8 x ^ 2-3 x + 7-2 x ^ 2 + 4 x - 3 )

[ begin {alineado} 8 x ^ 2 - 3 x + 7 - 2 x ^ 2 + 4 x - 3 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} 8 x ^ 2 - 2 x ^ 2 tmop {y} - 3 x + 4 x tmop {y} && 7 - 3 6 x ^ 2 + x + 4 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Cuando combinamos términos semejantes, interpretamos los signos de resta como parte del siguiente término. Por lo tanto, si vemos un signo de resta, tratamos el siguiente término como un término negativo.
Observe que cuando escribimos el resultado simplificado, es una práctica común escribir la expresión en forma estándar, términos escritos con exponentes descendentes. Por ejemplo, mirando el resultado en el ejemplo [prealg2], escribimos (6 x ^ 2 + x + 4 ), donde el término (x ^ 2 ) se escribe primero ya que es el exponente más grande y luego el (x ) término. Siempre escribimos el término con solo el coeficiente al final, por ejemplo, (4 ).

Distribución

El método final para simplificar expresiones algebraicas es distribución. Muchas veces se nos dan expresiones algebraicas con conjuntos de paréntesis y términos directamente delante de las expresiones (como producto). Usando el Propiedad distributiva, podemos reescribir la expresión sin paréntesis.

El es un producto entre un término y una suma o diferencia de dos o más términos: [a (b + d) = a cdot b + a cdot d ]

[0,15 cm] Simplificar: (4 (2 x - 7) )

[ begin {alineado} 4 (2 x - 7) & & tmop {Multiplica} tmop {cada} tmop {término} tmop {por} 4 textcolor {azul} {4} cdot 2x - textcolor {azul} {4} cdot 7 && text {Simplificar} 8 x - 28 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (- 7 (5 x - 6) )

[ begin {alineado} - 7 (5 x - 6) & & tmop {Multiplica} tmop {cada} tmop {término} tmop {por} - 7 textcolor {azul} {(- 7 )} cdot 5x - textcolor {azul} {(- 7)} cdot 6 && text {Simplificar} - 35x + 42 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

En el ejemplo anterior, usamos el hecho de que el signo está unido al número, es decir, tratamos el (- 6 ) como un número negativo: ((- 7) (- 6) = 42 ), a numero positivo. El error más común al usar la propiedad distributiva es un error de signo (negativos). ¡Ten mucho cuidado con tus carteles!

Es posible distribuir un negativo entre paréntesis. Cuando hay un negativo delante del paréntesis, podemos pensar en el negativo como un (- 1 ). No siempre lo escribimos, pero sabemos que está ahí. Luego distribuimos (- 1 ) como de costumbre.

Simplifica (- (4 x - 5 y + 6) )

[ begin {alineado} - (4 x - 5 y + 6) & & tmop {Negativo} tmop {can} tmop {be} tmop {pensamiento} tmop {of} tmop {as} - 1 textcolor {azul} {- 1} (4 x - 5 y + 6) & & tmop {Multiplicar} tmop {cada} tmop {término} tmop {por} textcolor {azul} {- 1} textcolor {azul} {(- 1)} 4x - textcolor {azul} {(- 1)} 5y + textcolor {azul} {(- 1)} 6 && text {Simplificar} textcolor {azul} {-} 4 x textcolor {azul} {+} 5 y textcolor {azul} {-} 6 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Poniendolo todo junto

La distribución entre paréntesis y la combinación de términos semejantes se pueden combinar en un solo problema. El orden de las operaciones implica multiplicar (distribuir) primero, luego sumar o restar (combinar términos semejantes). Por lo tanto, primero distribuimos y luego combinamos términos semejantes.

[0,15 cm] Simplifica: (5 + 3 (2 x - 4) )

[ begin {alineado} 5 + 3 (2 x - 4) & & tmop {Distribuir} 5 + 6 x - 12 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} - 7 + 6 x & & text {Reescribir en forma estándar} 6x - 7 && text {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (3 x - 2 (4 x - 5) )

[ begin {alineado} 3 x - 2 (4 x - 5) & & tmop {Distribuir} 3 x - 8 x + 10 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} - 5 x + 10 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) )

[ begin {alineado} 2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) & & tmop {Distribuir} 10 x - 16 - 24 x - 18 & & tmop {Combinar} tmop { como} tmop {términos} - 14 x - 34 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (4 (3 x - 8) - (2 x - 7) )

[ begin {align} 4 (3 x - 8) - (2 x - 7) & & text {Trate el negativo como a} textcolor {blue} {- 1} 4 (3 x - 8) textcolor {azul} {- 1} (2 x - 7) & & tmop {Distribuir} 12 x - 32 - 2 x + 7 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} 10 x - 25 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]


Álgebra intermedia

Si necesita ayuda en álgebra intermedia, ha venido al lugar correcto. Tenga en cuenta que no es necesario que sea un estudiante de WTAMU para utilizar cualquiera de estos tutoriales en línea. Fueron creados como un servicio para cualquier persona que necesite ayuda en estas áreas de las matemáticas.

Si es la primera vez que usa este tutorial en línea de álgebra intermedia, lea la Guía del sitio web de tutoriales en línea de álgebra intermedia de WTAMU para conocer cómo se configuran nuestros tutoriales y el descargo de responsabilidad. Regrese a esta página para hacer su selección de tutorial.


20 excelentes sitios web de matemáticas para profesores y estudiantes

25 de enero de 2014
A continuación se muestra una lista en la que he estado trabajando durante un tiempo. La lista presenta algunos sitios web de matemáticas muy útiles seleccionados específicamente para que los maestros los usen con sus estudiantes. La lista inicial que compilé contenía más de 40 sitios web, pero a medida que la revisé más a fondo, decidí sacar algunos y mantener el resto aquí. Te invito a que le eches un vistazo y lo compartas con tus compañeros. Disfrutar

Math TV es una plataforma que presenta una amplia gama de videos de matemáticas que cubren una gran cantidad de conceptos matemáticos. Estos videos se pueden navegar por tema o por libro de texto.

AAA Math ofrece miles de lecciones de aritmética desde el jardín de infantes hasta el octavo grado. La práctica ilimitada también está disponible en cada tema, lo que permite un dominio completo de los conceptos.

Esta filosofía detrás de este sitio web es hacer que el aprendizaje de las matemáticas sea divertido y agradable. Cuenta con una gran variedad de lecciones y actividades proporcionadas por maestros y la comunidad matemática de todo el mundo.

TenMarks brinda a los estudiantes acceso a sugerencias y lecciones en video sobre cada problema, por lo que si no pueden recordar algo o no entendieron el tema cuando se trató en clase, pueden revisar rápidamente el contenido y seguir adelante.

El programa SMILE fue diseñado para mejorar el aprendizaje de ciencias y matemáticas en la escuela primaria y secundaria mediante el uso del enfoque fenomenológico.
9- El Foro de Matemáticas

Esta es una comunidad de maestros, matemáticos, investigadores, estudiantes y padres que utilizan el poder de la Web para aprender matemáticas y mejorar la educación matemática. El foro ofrece una gran cantidad de problemas y acertijos en línea, tutoría, equipo de investigación, resolución de problemas, colaboraciones y desarrollo profesional. Los estudiantes se divierten y aprenden mucho. Los educadores comparten ideas y adquieren nuevas habilidades.

El Simpsonsmath contiene más de cien ejemplos de matemáticas que van desde la aritmética hasta la geometría y el cálculo, muchos de ellos diseñados para exponer y burlarse de la analítica.

SuperKids te permite crear tus propios ejercicios matemáticos. Simplemente seleccione el tipo de problema, los números máximo y mínimo que se utilizarán en los problemas y, a continuación, haga clic en el botón. Se creará una hoja de trabajo según sus especificaciones, lista para imprimirse para su uso.

MATHguide ofrece una variedad de lecciones de matemáticas. Se encuentran disponibles numerosas lecciones de álgebra, geometría y precálculo. También se puede utilizar un recurso de evaluación, llamado quizmasters.

Mathleague.org ofrece una serie de servicios enfocados en mejorar la calidad y cantidad de oportunidades matemáticas competitivas disponibles para los estudiantes en todas partes. Ofrecemos una variedad de programas para estudiantes en los grados 3-12.
15- Ejercicios de matemáticas

Math-Drills tiene miles de hojas de trabajo de matemáticas gratuitas para maestros y padres sobre una variedad de temas matemáticos.

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1.4: Propiedades de Álgebra - Matemáticas

Condiciones de uso Persona de contacto: Donna Roberts

Las propiedades del sistema de números reales resultarán útiles al trabajar con ecuaciones, funciones y fórmulas en álgebra, ya que permiten la creación de expresiones equivalentes que a menudo ayudarán a resolver problemas. Además, se pueden utilizar para ayudar a explicar o justificar soluciones.

Propiedad inversa multiplicativa

FYI: Respecto al término & quotnúmeros naturales& quot, no existe un acuerdo universal sobre si incluir cero en este conjunto. La mayoría de los matemáticos se aferran a lo tradicional más antiguo y definen los números naturales como los números de conteo [enteros positivos <1, 2, 3,. >]. Los informáticos, los teóricos de conjuntos, los lógicos y otros matemáticos definen los números naturales como los números enteros [enteros no negativos <0, 1, 2,. >]. Este sitio utilizará el término "números naturales" para referirse a los números de conteo <1, 2, 3,. >.


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Casi cualquier persona puede aprender o volver a aprender el proceso de resolución de problemas. . . sin memorizar fórmulas infinitas o cientos de técnicas rápidas. Le mostraré cómo aplicar los principios básicos que puede usar una y otra vez.

He visto a cientos y cientos de estudiantes aprender cómo resolver problemas con éxito. Muchos de ellos me han dicho cosas como & cita que no fue difícil & quot. No importa si son estudiantes promedio, estudiantes brillantes, estudiantes de educación especial (sí, los estudiantes de educación especial pueden aprender muy bien) o estudiantes con un limitado nivel de matemáticas. antecedentes . . . todos pueden aprender el proceso de cómo resolver problemas.


Debido a que los ángulos opuestos a lados iguales son en sí mismos iguales, un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales (los opuestos a los dos lados iguales). Por lo tanto, dados dos lados iguales y un solo ángulo, se puede determinar la estructura completa del triángulo. Asimismo, dados dos ángulos iguales y la longitud de cualquier lado, se puede determinar la estructura del triángulo.

La determinación del área se puede hacer con solo unos pocos datos (a saber, 3):

La altitud a la base también satisface propiedades importantes:

  • La altitud a la base es la bisectriz perpendicular de la base.
  • La altitud a la base es la bisectriz del ángulo del vértice.
  • La altitud a la base es la línea de simetría del triángulo.
  • La altitud a la base es la mediana desde el vértice hasta la base.

Esto significa que el incentro, circuncentro, centroide y ortocentro se encuentran todos en la altitud a la base, lo que hace que la altitud a la base sea la línea de Euler del triángulo.


1.4: Propiedades de Álgebra - Matemáticas

Como a los administradores de Wikipedia les gusta decir: "Wikipedia no es un libro de texto". Math Wiki, por otro lado, es un libro de texto.

Actualmente estamos trabajando en 1.196 artículos en inglés. También se están desarrollando wikis complementarios en otros idiomas. Apoye este proyecto agregando contenido en el idioma que le resulte más cómodo.

Es posible que desee leer las páginas de Reglas, Manual de estilo y Pautas para tener una idea de cómo funciona el wiki.

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Los temas se enumeran según la edad a la que normalmente comienza el estudio serio. Esto puede variar según la ubicación geográfica y la institución educativa. Se pueden encontrar temas más avanzados en la lista de la derecha.

Esta es una clasificación aproximada basada en lo que los matemáticos profesionales realmente investigan y enseñan a nivel universitario, junto con algunos temas elementales importantes.


Área de búsqueda & # 8211 Ejercicios en el aula

¡El área está a nuestro alrededor! Actividades de clase de geometría simple

Un desafío que los estudiantes enfrentan a menudo es darse cuenta de que las matemáticas realmente se relacionan con el mundo real y que realmente usarán la información que están aprendiendo en algún momento de su vida. El área es uno de esos temas en los que los estudiantes luchan por comprender el razonamiento detrás. Antes de presentar el tema del área, es posible que desee hacerles a sus alumnos algunas preguntas interesantes como: "Si quisiera colocar baldosas nuevas en el piso, ¿cómo sabría cuánto comprar?" o "Si quisieras poner papel tapiz en las paredes del aula, ¿cuánto papel comprarías?". Estas preguntas seguramente los harán pensar en cómo calcular estas respuestas.


Así como los triángulos y cuadriláteros son tipos especiales de polígonos, existen muchas subclases de cuadriláteros.

Como todos los polígonos que tienen más de tres lados, los cuadriláteros pueden ser convexos como estos , , , o cóncava como estas , .

Los cuadriláteros se pueden clasificar según si sus lados, ángulos, diagonales o vértices tienen propiedades especiales. Los esquemas de clasificación que se enseñan en la escuela primaria involucran el número de pares de lados paralelos y la congruencia de los lados, y si todos los ángulos son o no ángulos rectos (todos los ángulos son congruentes).

Los nombres de muchos de estos cuadriláteros especiales también son típicamente parte del plan de estudios de primaria, aunque poco más sobre las propiedades de estas figuras se puede estudiar hasta la escuela secundaria. La escuela primaria generalmente hace que los niños aprendan los nombres de

  • trapezoidesA y J son & # 8220typical & # 8221 ejemplos, pero todos los paralelogramos también se ajustan a la definición de trapezoides)
  • paralelogramosmi es el ejemplo & # 8220typical & # 8221, pero todos los rectángulos y rombos también se ajustan a la definición de paralelogramos)
  • rectángulosF es el ejemplo & # 8220typical & # 8221, pero todos los cuadrados también se ajustan a la definición de rectángulos)
  • los rombosC y D son los ejemplos & # 8220typical & # 8221, pero todos los cuadrados también se ajustan a la definición de rombos)
  • cuadradosB), el más especial de todos y a veces
  • cometasGRAMO y algunos incluyen H).

El cuadrado es también el nombre del cuadrilátero regular & # 8212 uno en el que todos los lados son congruentes y todos los ángulos son congruentes.

Aunque los nombres que se dan a las figuras individuales no cambian, la forma en que se agrupan puede depender de las características utilizadas para clasificarlas. En el esquema de clasificación que se muestra arriba, los paralelogramos (B, C, D, mi, y F) tienen un lugar propio (la columna de la derecha), e incluso rombos (B, C, D) tienen un lugar (la fila inferior), pero rectángulos (F y B) no se distinguen de los demás. En el siguiente esquema de clasificación, rectángulos (F y B) tienen la columna de la derecha para ellos mismos, pero los paralelogramos no están agrupados de una manera que excluya A, que no es un paralelogramo.

Los niños de los grados primarios a menudo tienen dificultades para asignar algo (geométrico o de otro tipo) simultáneamente a dos categorías. [1] El lenguaje casual también trata los nombres de formas como & # 8220exclusive & # 8221 en lugar de & # 8220inclusive. & # 8221 Por lo tanto, el lenguaje casual trata cuadrado y rectángulo como distinto, en lugar de tratar cuadrado como un tipo especial de rectángulo, como hacen las matemáticas. De manera similar, los estudiantes tienden a tratar los rectángulos y paralelogramos como clases separadas, en lugar de ver un rectángulo como un tipo especial de paralelogramos.

  1. Se le dieron 6 caballos de juguete y 4 vacas de juguete, y se le preguntó si había más caballos o más. animales, los niños muy pequeños a menudo responden & # 8220más caballos & # 8221 porque al clasificar los juguetes como & # 8220 caballos, & # 8221 ellos, en ese momento, los excluyen como & # 8220animales & # 8221 aunque, si se les pregunta por separado si los caballos son animales, dirán que sí.

Otra forma posible de clasificar cuadriláteros es examinando sus diagonales. Esto puede ser accesible para estudiantes de grado medio que hayan aprendido sobre líneas perpendiculares y bisectrices.

Diagonales Perpendicular No perpendicular
Bisectriz No bisector Bisectriz No bisector
Congruente Cuadrado Cometa especial Rectángulo Trapecio isósceles
No es congruente Rombo cometa Paralelogramo Cuadrilátero


La propiedad asociativa

¿Qué palabra te viene a la mente cuando escuchas "asociativo"? Viene de "asociar, agruparse". Paréntesis
mostrar la asociación y las operaciones entre paréntesis se realizan primero. Observe que el orden de los números
no cambia, solo la agrupación. La propiedad asociativa se vuelve importante porque permite al matemático,
usted, para sumar o multiplicar números con facilidad. Cuando siga los ejemplos a continuación, quedará claro cómo el asociativo
se utiliza la propiedad. La propiedad asociativa solo se puede usar para la suma y la multiplicación, no para la resta o
división.


Ver el vídeo: Propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación literales a, b (Septiembre 2021).