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2.5: Factorizar el MCD - Matemáticas


La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma / resta se puede invertir.

(a (b pm c) = ab pm ac ) (el lado derecho es igual al lado izquierdo) implica (ab pm ac = a (b pm c) ) (el lado izquierdo es igual al lado derecho).

Factorizar es el arte de tomar una suma (suma de términos) o una diferencia (resta de términos) en un producto (multiplicación de factores).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Factoriza (15x + 20y ).

Solución

[ begin {array} {rcl lll} 15x + 20y & = & 3 cdot 5x + 4 cdot 5y & = & 5 (3x + 4y) end {array} ]


Ejemplo de GCF:

El primer paso es encontrar todos los divisores de cada número. Por ejemplo, vamos a encontrar el mcd mcd (2,5,15).

  • Los factores de 2 (todos los números enteros que pueden dividir el número sin dejar residuo) son 1 y 2
  • Los factores de 5 son 1 y 5
  • Los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15.

El segundo paso es analizar cuáles son los divisores comunes. No es difícil ver que el 'Máximo Común Divisor' o 'Divisor' para 2, 5 y 15 es 1. El MCD es el mayor entero positivo común que divide todos los números (2,5,15) sin resto.

  • Máximo común divisor (mcd)
  • Factor común más alto (hcf)
  • Máxima medida común (gcm), o
  • Máximo común divisor

Calculadora de factor común más grande

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Básicamente, existen tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización:

Utilice el método de la suma del producto para resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización

Este método es utilizado principalmente por estudiantes que encuentran difícil usar el método de adivinar (o el método de prueba y error). A diferencia del método de prueba y error, el método de la suma del producto es generalmente más fácil de aplicar ya que identifica una ecuación que no se puede factorizar.

Este método toma varias formas, es decir:

Caso 1

Simplemente siga estos pasos cuando resuelva una ecuación usando el método de suma de productos:

Paso uno: Encuentre dos números enteros cuyo producto sea C.

Paso dos: Dé a los números enteros cualquier carácter de su elección, por ejemplo, M y N.

Paso tres: haz un factor (X + M) y el otro (X + N).

Ilustración 1

Encuentra el valor de x por factorización.

Encuentra dos números enteros cuyo producto sea 15. La siguiente tabla muestra los números.

A continuación se muestran los pares de números.

Luego puede seleccionar el par que tiene la suma de 16 y el producto 55.

Por lo tanto, los factores son X² + 16X +55 = (X +5) (X +11) = 0,

Ilustración 2

Hallar el valor de X en X² -16X +60 = 0

Identifica un dúo de números enteros cuyo producto es 60; los pares se enumeran a continuación.

Puede tener una tabla con diferentes valores para diferentes pares.

A continuación, debe seleccionar un par que tenga una suma de -16.

Caso 2

Si la ecuación AX² + BX + C = 0 y A ≠ 1, solo necesita un poco de esfuerzo adicional para encontrar los factores usando el método de suma de productos.

Estos son los pasos a seguir:

  1. Identifica dos números enteros cuyo producto es AC y la suma es B.
  2. Puede nombrar los números enteros M y N.
  3. Reescriba la función como una expresión de cuatro términos como se muestra a continuación AX² + MX + NX + C.
  4. Utilice la agrupación por pares para factorizar el máximo común divisor (MCD) en los dos términos para obtener un paréntesis común.

Para ilustrar este caso, consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Encuentre el valor de X dado que 2X² + X -10 = 0

Solución

Encuentre dos números enteros cuyo producto AC = (2) × (-10) = - 20. Luego, debe dibujar una tabla en su papel de trabajo para obtener varios pares.

Ahora puede seleccionar el par que tiene la suma de B = 1. Este par es - 4 y 5.

Reescriba la expresión como 2X²- 4X + 5x - 10 = 0

Sacando GCF, obtenemos 2X (X-2) 5 (x-2).

Ahora tenemos el paréntesis común, que es X-2.

Por lo tanto, (2X +5) (X-2) = 0 donde X = 2 o X = -5/2

Ejemplo 2

Calcula el valor de X dado que 3X² + X-2 = 0

Solución

Encuentre dos números enteros cuyo producto sea AC = 3 × -2 = -6

A continuación, enumere los pares en forma tabular.

Seleccione el par que tiene la suma de B = 1. Este par es 3 y -2

Luego, debe reescribir la función como 3X² + 3X-2X-2 = 0.

Ahora el paréntesis común es X + 1

Cómo resolver una ecuación cuadrática mediante la factorización mediante el método de agrupación

Este método implica organizar los términos en grupos más pequeños con factores comunes. Utilice el método de factorización por agrupación si no puede encontrar el factor común para todos los términos.

Además, al tomar dos términos al mismo tiempo, puede obtener algo para dividir los términos.

Utilice este sencillo procedimiento para resolver la ecuación factorizando utilizando el método de agrupación.

Suponga que se le da una ecuación general AX² + BX + C

  1. Encuentre el producto de AC.
  2. Piense en dos números, digamos Q y P tales que QP = AC y Q + P = B
  3. Reescribe la expresión como AX² + QX + PX + C
  4. Agrupa la expresión en dos pares que tienen un factor común y simplifica así:

Dependiendo de su selección de P y Q, factorizará una constante en el segundo paréntesis, quedando con dos expresiones idénticas como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Encuentre el valor de X dado 5X² + 11X + 2 = 0

Solución

Primero encuentre el producto AC

Luego piensa en dos factores de 10 que pueden sumar 11

Luego, escribe 11X en el producto de 10 por 1.

Ahora debes agrupar los pares en dos.

Después de agrupar, saque el factor común.

Ejemplo 2

Calcule el valor de X dado que X² + 2X-24 = 0

Solución

Primero, encuentre el producto AC = 1 × -24 = -24

Piense en dos factores, tales que su producto sea -24 y su suma sea 2.

Sean los factores -4 y +6

A continuación, escriba + 2X en la forma -4X y 6X

Por lo tanto, la expresión se convierte en X²- 4X + 6X-24 = 0

Empareja la ecuación en 2 términos, así:

A continuación, saque el factor común.

Ahora, X-4 se convierte en el paréntesis común.

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización mediante el método del producto especial

El método de producto especial requiere casos especiales que se pueden factorizar más rápido. Puedes hacer esto usando dos cuadráticas especiales:

Caso 1: Expresión cuadrada perfecta

  1. Comprueba si el primer término y el último son cuadrados perfectos.
  2. Compruebe si el término medio es 2 veces el producto de las raíces de los otros términos.

Ilustración

Identifica el valor de X dado que X² + 14X + 49 = 0

Solución

El primer término es X² y el último término es 49, tanto X² como 49 son cuadrados perfectos cuyas raíces son X y 7 respectivamente.

El término medio, 14X, es dos veces la raíz de los otros términos.

Caso 2: Expresión de diferencia de dos cuadrados

El método de producto especial se utiliza aquí ya que:

  1. No hay factores comunes
  2. Falta el término medio típico
  3. Los términos presentes son cuadrados perfectos y se resta.

Ejemplo 1

Identifica el valor de X dado que X²-16 = 0

Solución

Tenga en cuenta que en la ecuación cuadrática anterior:

  1. Falta el término medio.
  2. Los términos presente² y 16 son cuadrados perfectos y se restan.

Ejemplo 2

Encuentre el valor de X dado que X2-64 = 0

Los términos X² y 64 son cuadrados perfectos y se restan.

Veredicto

Se considera que las cuadráticas se encuentran entre los conceptos más desafiantes en matemáticas.

Independientemente, obtener los métodos correctos y aprender a aplicar los conceptos puede hacer que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sean divertidos.

En consecuencia, el conocimiento de las cuadráticas es importante en la vida cotidiana.

Por ejemplo, las cuadráticas se utilizan para determinar las ganancias o incluso para formular la rapidez y la velocidad de un objeto.

Además, las cuadráticas se han aplicado a actividades atléticas como lanzamiento de bala y jabalina. ¡Tómese el tiempo para aprender los diversos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de factorización y le encantará!


Más hojas de trabajo de factorización y factores primos de amplificador

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Calculadora de factor común más grande (GCF o GCD)

En esta página hay un calculadora del máximo factor común, a menudo abreviado como GCF. Este término tiene muchos nombres; también se lo conoce como el máximo común divisor (MCD) y el máximo común divisor (HCF).

Ingrese un conjunto de números y la herramienta GCF devolverá el máximo factor común. Si bien la herramienta acepta números negativos y decimales, debes usar números enteros positivos.

¿Busca una herramienta similar? Pruebe uno de estos en su lugar:


2.5: Factorizar el MCD - Matemáticas

Pregunta de Peter, un estudiante:

Necesito conocer las diferencias entre GCF y LCD.

El mínimo común denominador MCD de dos fracciones es el mínimo común múltiplo MCD de los denominadores. Entonces, voy a comparar el máximo factor común MCD y MCD de dos números enteros positivos. Las palabras mismas te dicen que quieres que sean

máximo común divisor
minimo común multiplo

Veamos primero el MCD (a veces llamado el máximo común divisor MCD). Considere los números 36 y 60. Estoy buscando factores comunes de estos dos números, es decir, números enteros positivos que dividan a ambos. 1 los divide a ambos, al igual que 2, 3 y 6, pero ¿cuál es el mayor número entero positivo que los divide a ambos? Puedo responder a esto si escribo la factorización prima de 36 y 60.

Entonces 2 2 los divide a ambos, 3 los divide a ambos pero no 3 2. 5 dividió 60 pero no 36. Ningún otro número primo los divide. Por lo tanto, el mayor entero positivo que los dividió a ambos es 2 2 y multiplicado por 3 = 12. Por lo tanto

¿Qué pasa con el mínimo común múltiplo MCM de, por ejemplo, 12 y 9? Esta vez queremos un múltiplo de 12 y 9. Ciertamente 12 & times 9 = 108 es un múltiplo de ambos, pero queremos el mínimo común múltiplo, entonces, ¿hay un múltiplo que sea menor que 108? De nuevo, mire las factorizaciones primas.


Principales factores comunes

A veces necesitamos poder encontrar el máximo factor común de un conjunto de números. El mayor común, o MCD, es el número más grande que se dividirá uniformemente en cada uno de los números de un conjunto.

Encuentra el MCD para el conjunto de números: 10, 12, 20

El número más grande que se incluirá en cada uno de estos números es 2.

Encuentra el MCD para el conjunto de números: 6, 18, 36

El número más grande que se incluirá en cada uno de estos números es 6.

Encuentra el MCD para el conjunto de números: 4, 8, 10

El número más grande que se incluirá en cada uno de estos números es 2.

Halla el MCD para el conjunto de números: 8a 2 b, 18a 2 b 2 c

Lo primero que hacemos es encontrar el MCD de los coeficientes, tal como lo hemos estado haciendo. El número más grande que entrará en cada uno de los coeficientes es 2.

Dado que tenemos variables, también tenemos que encontrar su MCD. Para que una variable se incluya en el MCD, cada término debe tener la variable. Si la variable está en cada término, tomamos la parte inferior de la variable y la incluimos en el MCD.

En este caso, ambos términos tienen ay ambos términos tienen b. Incluiremos un 2 porque es la potencia más baja de a. Incluiremos b porque es la potencia más baja de b.

Encuentra el MCD para el conjunto de números: 3x 2 y, 12x 4 y 2, 9x 2 y

Lo primero que hacemos es encontrar el MCD de los coeficientes. El número más grande que entrará en cada uno de los coeficientes es 3.

Dado que tenemos variables, también tenemos que encontrar su MCD. Para que una variable se incluya en el MCD, cada término debe tener la variable. Si la variable está en cada término, tomamos la parte inferior de la variable y la incluimos en el MCD.

En este caso, ambos términos tienen xy ambos términos tienen y. Incluiremos x 2 porque esa es la potencia más baja de x. Incluiremos y porque es la potencia más baja de y.


¿Cómo se puede utilizar GCF en la vida real?

Usamos los factores comunes más grandes todo el tiempo con las fracciones, y como las fracciones se usan mucho en la vida cotidiana, ¡esto hace que MCD sea muy útil!

Al encontrar el MCD del denominador y el numerador, puede simplificar con éxito una fracción o una razón.

P.ej. Podemos simplificar # 30/45 # sabiendo que su HCF es # 15 #.
Luego dividimos ambas partes por el HCF para simplificar.
#(30/15)/(45/15) = 2/3#

También funciona para proporciones, donde puede simplificar cada lado usando HCF para encontrar una proporción # 1: X #. Esto puede ser útil si está utilizando una proporción para una receta o un pedido, ya que puede usar un dato para encontrar la proporción correcta para cualquier combinación.

Entonces, para poner esto en una situación, digamos que sabe que por cada 5 personas en una fiesta, necesita 15 sándwiches. El HCF de estos dos números es 5, por lo que para cada persona necesita:

3 bocadillos.
Ahora, si 16 personas vienen a tu fiesta, sabes que tienes que hacer # 16xx3 = 48 # sándwiches.

Un último ejemplo son las recetas.
¡Este es un momento muy útil para que las matemáticas se involucren!

Aquí hay una receta para 10 cupcakes y sus proporciones relacionadas con el tamaño de la porción:
100 g de harina = 10 personas: 100 g = 1:10
80 g de azúcar = 10 personas: 80 g = 1: 8
50 g de mantequilla = 10 personas: 50 g = 1: 5
2 huevos = 10 personas: 2 huevos = 1: 0,2 huevos

Entonces, si queremos regalar pasteles a todos nuestros amigos y necesitamos 25 cupcakes (¡qué matemático tan popular!), Entonces puedes multiplicar esta proporción.

Harina = 1:10 = 25: 250
80 g de azúcar = 1: 8 = 1: 200
50 g de mantequilla = 1: 5 = 25: 125
2 huevos = 1: 0,2 huevos = 25: 5


Ver el vídeo: mathΑΙΝΩ με παράδειγμα #5 - Μαθηματική λογική 1 (Septiembre 2021).