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1.4: Representaciones de números enteros en diferentes bases - Matemáticas


En esta sección, mostramos cómo se puede escribir cualquier entero positivo en términos de cualquier expansión de entero base positiva de una manera única. Y aparentemente los babilonios tenían (30 ) dedos en cada mano, o (15 ) en cada mano y cada pie, ya que usaban la base (60 ).)

Notación Un entero (a ) escrito en base (b ) se denota por ((a) _b ).

[thm: basebexpansion] Sea (b in ZZ ) satisfacer (b> 1 ). Entonces ( forall m in NN ), ( existe l in NN ) y ( existe a_1, dots, a_l in ZZ ) tal que [ begin {alineado} m = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + a_1b + a_0, 0 leq a_j

Arregle un (m in NN ). Comenzamos dividiendo (m ) por (b ) y obtenemos [m = q_0b + a_0, 0 leq a_0

Ahora sustituyendo la ecuación (q_0 = q_1b + a_1 ) en (m = q_0b + a_0 ), obtenemos [m = (q_1b + a_1) b + a_0 = q_1b ^ 2 + a_1b + a_0, ] Sucesivamente sustituyendo las ecuaciones en (m ), obtenemos [ begin {alineado} m & = q_2b ^ 3 + a_2b ^ 2 + a_1b + a_0, & . & . & . & = q_ {l-1} b ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + a_1b + a_0, & = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ { l-1} + dots + a_1b + a_0. end {alineado} ] Lo que queda por demostrar es que la representación es única. Supongamos ahora que [m = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + a_1b + a_0 = c_lb ^ l + c_ {l-1} b ^ {l-1} + dots + c_1b + c_0 ] donde si el número de términos es diferente en una expansión, agregamos coeficientes cero para que el número de términos concuerde. Restando las dos expansiones, obtenemos [(a_l-c_l) b ^ l + (a_ {l-1} -c_ {l-1}) b ^ {l-1} + dots + (a_1-c_1) b + (a_0 -c_0) = 0. ] Si las dos expansiones son diferentes, entonces existe (0 leq j leq l ) tal que (c_j neq a_j ). Como resultado, obtenemos [b ^ j ((a_l-c_l) b ^ {lj} + dots + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b + (a_j-c_j)) = 0 ] y como (b neq 0 ), obtenemos [(a_l-c_l) b ^ {lj} + dots + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b + (a_j-c_j) = 0. ] Ahora obtenemos [a_j-c_j = (a_l-c_l) b ^ {lj} + dots + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b, ] y como resultado , (b mid (a_j-c_j) ). Dado que (0 leq a_j

[def: baseb] Dado (b in ZZ ) satisfaciendo (b> 1 ). Para (m in NN ), sean ( ell in NN ) y (a_1, dots, a_ ell in ZZ ) como en el teorema anterior ([thm: basebexpansion ]). Entonces el base (b ) expresión para (m ) son las secuencias de dígitos (m_b = a_ ell dots a_1 ). Si (b ge10 ), a menudo usamos algunos otros símbolos individuales para representar los valores posibles de (10 ​​) a (b-1 ) de (a_i ) 's. Por ejemplo, [ begin {align} 10 & leftrightsquigarrow A 11 & leftrightsquigarrow B 12 & leftrightsquigarrow C & text { it etc.} End {alineado} ] La representación en base 2 de enteros es llamada representación binaria. La representación binaria es útil para las computadoras: los coeficientes (a_0, dots, a_l ) de una representación binaria satisfacen todos (0 le aj <2 ), por lo tanto, son 0 o 1. Por lo tanto, para representar un número entero en (l ) cables, se puede hacer que cada cable tenga voltaje (1) o no (0). (De hecho, la palabra un poco es una contracción de dígito binario.)

Los programadores informáticos también utilizan con frecuencia base 8 y base 16, denominados octal y hexadecimal o maleficio, respectivamente. Los babilonios usaban la base (60 ), llamada sexagésimo.

[Ej .: basetwo] Para encontrar la expansión de 214 base 3: hacemos lo siguiente [ begin {alineado} 214 & = 3 cdot 71 + 1 71 & = 3 cdot 23 + 2 23 & = 3 cdot 7 + 2 7 & = 3 cdot 2 + 1 2 & = 3 cdot 0 + 2 end {align} ] Como resultado, para obtener una expansión en base 3 de 214, tomamos los restos de divisiones y obtenemos que ((214) _ {10} = (21221) _3 ).

[por ejemplo: changebase] Para encontrar la expansión base (10 ​​), es decir., la expansión decimal, de ((364) _7 ): Hacemos lo siguiente: (4 cdot 7 ^ 0 + 6 cdot 7 ^ 1 + 3 cdot 7 ^ 2 = 4 + 42 + 147 = 193 ).

Ejercicios para §4

Convierta ((7482) _ {10} ) a notación de base 6.

Convierta ((98156) _ {10} ) a notación de base 8.

Convierta ((101011101) _2 ) a notación decimal.

Convierta ((AB6C7D) _ {16} ) a notación decimal.

Convierta ((9A0B) _ {16} ) a notación binaria.


Ver el vídeo: COMPARACION DE NUMEROS DE CUATRO CIFRAS 3º GRADO (Septiembre 2021).