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8.3: Dominios euclidianos


Crear un campo de fracciones es una forma de resolver definitivamente los problemas de división en un dominio integral: Invente fracciones para tener una inversa para cada elemento distinto de cero. Pero hay (a veces) otra forma de definir la división sin recurrir a la introducción de nuevos elementos en el campo, familiar de los enteros: definir la división usando un 'cociente' y un 'resto'.

Por ejemplo, entre los enteros podemos escribir (25 = 8 cdot 3 + 1 ); entonces (25 / mathord 3 ) tiene un cociente (8 ) y un resto (1 ). Generalmente, para encontrar (n / mathord m ), escribimos (n = qm + r ), donde (0

Podemos hacer algo similar con los polinomios: Dados dos polinomios (f ) y (g ), podemos dividir (f ) por (g ) y únicamente escribe (f = Qg + R ), donde (Q ) es un polinomio y (R ) es un polinomio de menor grado que (g ).

Por ejemplo, tome (f = 2x ^ 5 + 3x ^ 2 + x + 3 ) y (g = x ^ 2 + 1 ), podemos aplicar el algoritmo polinomial de división larga y obtener (f = (2x ^ 3-2x + 3) g -x ). Aquí (2x ^ 3-2x + 3 ) es la parte completa y (- x ) es el resto.

Tanto en la división de enteros como en la división de polinomios, el ingrediente clave es una forma de ordenar los elementos del anillo: en los enteros, ordenamos por el orden habitual de los enteros, y con polinomios ordenamos por el grado del polinomio.

Definición 8.2.0: Norma en un anillo

A norma en un anillo (R ) es una función (n: R rightarrow mathbb {Z} _ { geq 0} ) con (n (0) = 0 ). A norma positiva tiene (n (r)> 0 ) para todo (r neq 0 ).

Cualquier anillo dado puede tener muchas normas diferentes. La norma sobre los números enteros es simplemente el valor absoluto del número entero; es una norma positiva. La norma sobre polinomios es el grado del polinomio.

Definición 8.2.1: Dominio euclidiano

A Dominio euclidiano es un dominio integral (R ) con una norma (n ) tal que para cualquier (a, b en R ), existe (q, r ) tal que (a = q cdot b + r ) con (n (r) cociente y (r ) es el recordatorio.

Un dominio euclidiano tiene entonces el mismo tipo de solución parcial a la cuestión de la división que tenemos en los números enteros.

De hecho, los dominios euclidianos tienen además un Algoritmo euclidiano para encontrar un divisor común de dos elementos. El algoritmo euclidiano se realiza comenzando con dos elementos (f ) y (g ) para los que deseamos encontrar un divisor común. Dividir (f ) entre (g ) da un cociente (q_0 ) y un resto (r_0 ). Luego dividimos (g ) entre (r_0 ) y obtenemos una nueva cotización (q_1 ) y un nuevo resto, (r_1 ). Luego repetimos este proceso para obtener cocientes (q_2, q_3, ldots q_k ) y residuos (r_2, r_3, ldots r_k ). Cada resto tiene una norma más pequeña que la anterior, por lo que este proceso debe terminar eventualmente con algo de (r_k = 0 ).

El cociente final, (q_k ) divide tanto (g ) como (f ): Puedes ver esto escribiendo (f = q_0g + r_0 ), y luego expandiendo (r_0 ): ( f = q_0 (q_1r_0 + r_1) + r_0 ). Si imaginamos que el proceso termina en este punto, de modo que (r_1 = 0 ), entonces tenemos que (r_0 ) divide tanto (f ) como (g ). Por otro lado, si el proceso no termina, podemos expandir (r_0 = q_2r_1 + r_2 ). Entonces (f = q_0 (q_1 (q_2r_1 + r_2) + r_1) + q_2r_1 + r_2 ). Si el proceso termina, entonces (r_2 = 0 ) y (r_1 ) divide cada término y, por lo tanto, divide (f ) y (g ). Si el proceso no termina, repetimos el mismo argumento básico.

(TODO: Ejemplos en Z y Z [x])


La categoría n Caf & # xE9

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8.3: Dominios euclidianos

Los campos vectoriales desarrollados en la última sección producen trayectorias factibles, pero no necesariamente trayectorias óptimas a menos que los estados inicial y objetivo estén en la misma celda convexa. Si, entonces es posible hacer una versión continua del algoritmo de Dijkstra [708]. Esto da como resultado una función de costo total exacta basada en el camino más corto euclidiano hacia una meta,. La función de costo para llevar sirve como función de navegación, a partir de la cual se define el plan de retroalimentación mediante el uso de un descenso local más empinado.

Supongamos que está delimitado por un polígono simple (sin huecos). Suponga que solo se permiten campos vectoriales normalizados. Se supone que el costo funcional es la distancia euclidiana recorrida a lo largo de la trayectoria de un estado. Recuerde de la Sección 6.2.4 que para una planificación óptima de la ruta, se debe utilizar. Asuma eso y tenga la misma conectividad. 8. 12 Esto técnicamente interfiere con la definición de espacios tangentes de la Sección 8.3 porque cada punto de debe estar contenido en una vecindad abierta. No obstante, permitimos vectores a lo largo del límite, siempre que `` apunten '' en una dirección tangente al límite. Esto se puede definir formalmente considerando las regiones fronterizas como variedades separadas.

Figura 8.13: La función de navegación óptima se calcula en cuatro iteraciones. En cada iteración, la función de navegación se extiende desde un nuevo punto de ruta.

Considere calcular el costo óptimo para llegar a un punto para un problema como el que se muestra en la figura 8.12a. Para cualquiera, deje que el polígono de visibilidad se refiera al conjunto de todos los puntos visibles desde, que se ilustra en la Figura 8.12b. Un punto se encuentra en si y solo si el segmento de línea de a está contenido en. Esto implica que el costo para ir de a es solo la distancia euclidiana de a. Por lo tanto, la función de navegación óptima se puede definir inmediatamente como

Los conjuntos de niveles en valores regularmente espaciados de esta función de navegación se muestran en la Figura 8.13a.

¿Cómo calculamos los valores óptimos de costo de uso para los puntos en? Para los segmentos en el límite de para cualquiera, algunos bordes están contenidos en el límite de y otros cruzan el interior de. Para el ejemplo de la figura 8.12b, hay dos bordes que cruzan el interior. Para cada segmento que cruza el interior, deje que el más cercano de los dos vértices se denomine punto de paso. Los puntos de dos vías se indican en la Figura 8.12b. Los puntos de paso de son lugares por los que se deben cruzar algunos caminos óptimos. Sea para cualquiera el conjunto de puntos de paso de.

Un algoritmo sencillo procede de la siguiente manera. Denotemos el conjunto de puntos sobre los que se ha definido, en la ésima iteración del algoritmo. En la primera iteración, que es el caso que se muestra en la Figura 8.13a. La forma en que los puntos de se colocan en una cola,. En cada iteración siguiente, se elimina un punto de paso. Denotemos el dominio sobre el que se ha definido hasta ahora. El dominio de se amplía para incluir todos los puntos nuevos visibles desde. Estos nuevos puntos son. Esto produce, el dominio extendido de. Los valores de para están definidos por

en el que se encuentra el punto de ruta del que se eliminó (ya se calculó el valor óptimo de costo para llevar de). Se añaden los puntos de la forma en que no se encuentran. Cada uno de estos producirá nuevas porciones de las que aún no se han visto. El algoritmo termina cuando está vacío, lo que implica eso para algunos. La ejecución del algoritmo se ilustra en la Figura 8.13.

El polígono de visibilidad se puede calcular a tiempo si se describe mediante bordes. Esto se logra realizando un barrido radial, que es una adaptación del método aplicado en la Sección 6.2.2 para la descomposición vertical de células. La diferencia para la informática es que un rayo anclado en se barre radialmente (como un barrido de radar). Los segmentos que se cruzan con el rayo se ordenan por su distancia. Para el algoritmo que construye la función de navegación, no se calculan más que los polígonos de visibilidad porque cada uno se calcula a partir de un punto de paso único. Esto implica tiempo de ejecución para todo el algoritmo. Desafortunadamente, no hay una extensión a dimensiones más altas, recuerde de la Sección 7.7.1 que calcular las rutas más cortas en un entorno 3D es NP-hard [172].

El algoritmo que se proporciona aquí es fácil de describir, pero no es el más general ni el más eficiente. Si tiene agujeros, las curvas del nivel establecido pueden colisionar al llegar de diferentes direcciones cuando se circula alrededor de un obstáculo. La cola, descrita anteriormente se puede clasificar como en el algoritmo de Dijkstra, y se necesitan estructuras de datos especiales para identificar cuándo ocurren los eventos críticos a medida que el costo para llevar se propaga hacia afuera. En [443] se demostró que esto se puede hacer en el tiempo y en el espacio.


Math 120 (2009): Álgebra moderna

Esta clase cubrirá grupos, campos, anillos e ideales. Más explícitamente: grupos que actúan sobre conjuntos, ejemplos de grupos finitos, teoremas de Sylow, grupos solubles y simples. Campos, anillos y anillos polinomiales ideales sobre un campo PID y no PID. Dominios de factorización únicos.

Math 120 será una clase de alta carga de trabajo y de rápido movimiento. La mayoría de los estudiantes interesados ​​en este material encontrarán Math 109 más apropiado. Esto también es un Escribiendo en el Mayor clase.

Profesor: Ravi Vakil, vakil @ math, 383-Q, horario de oficina (elegido por demanda popular) miércoles por la tarde 2-2: 30 y 3: 30-5.

Asistente de curso: Amy Pang, 381-F, amypang @ stanford. Horario de atención: lunes 1: 30-3: 30, martes 9: 30-10: 30, jueves 9: 15-10: 45 y 4-5: 30.

Texto: Dummit y Foote's Álgebra abstracta, tercera edición (¡tenga cuidado de obtener la edición correcta!).

Tareas cortas en línea 5%
Conjuntos de problemas 20%
Escribir en la tarea principal 15%
Medio plazo 20%
Examen final 40%

Tareas cortas en línea. Habrá breves asignaciones semanales en línea sobre el trabajo del curso. No es necesario que responda más de una o dos oraciones por pregunta. Esto tiene la intención de ser poco estresante: obtendrá la máxima puntuación por cualquier respuesta de buena fe. Esto tiene la intención de darnos su opinión sobre cómo ha ido la lectura. Debido a que tendré que revisar sus comentarios en un período de tiempo limitado el domingo por la tarde, las fechas límite serán el domingo al mediodía en punto (no se aceptarán presentaciones después de eso).

Conjuntos de problemas. Habrá asignaciones de tareas semanales, publicadas aquí. Se les anima a trabajar juntos para resolver problemas. Pero debe escribir sus soluciones individualmente y dar crédito por las ideas que otros tuvieron. Debes dar pruebas completas. Debido a que el evaluador necesitará procesar una gran cantidad de tareas en poco tiempo: engrape sus tareas y escriba su nombre en cada página.

La tarea debe entregarse en clase el viernes, pero también puede entregarla antes de la 1 pm en mi buzón en el departamento de matemáticas (primer piso, frente al ascensor). (Si tiene la intención de entregarlo después de la clase en mi buzón, ¡asegúrese de saber de antemano dónde está mi buzón!) Sin lates (por lo que el evaluador puede tener que calificar un conjunto de problemas a la vez y, por lo tanto, tener más posibilidades de recuperarlos rápidamente). Pero para darles a todos la oportunidad de enfermarse o tener períodos ocupados, se eliminará el conjunto de problemas más bajo.

  • Conjunto de problemas 1, que se entregará el viernes 2 de octubre: resuelva 15 de los 19 problemas siguientes. Sección 1.1: problemas 1, 7, 9, 22, 26, 28. Sección 1.2: problema 5, 11. Sección 1.3: problemas 8, 20. Sección 1.4: problema 1. Sección 1.6: problemas 4, 14, 17. Sección 1.7 : problemas 3, 4, 18, 19, 21.
  • Serie de problemas 2, prevista para el viernes 9 de octubre: resuelva 14 de los siguientes problemas. Sección 2.1: problemas 1, 6, 8, 12, 16. Sección 2.2: problemas 2, 5, 7, 12 (cuenta para 2). Sección 2.3: problemas 1, 12, 19, 21, 26. Sección 2.4: problemas 7, 8. Sección 2.5: problemas 2, 4.
  • Conjunto de problemas 3, que se entregará el viernes 16 de octubre: resuelva 13 de los siguientes problemas, incluido al menos uno de cada sección. Sección 3.1: 1, 9, 22, 24, 31, 41. Sección 3.2: 4, 10, 11, 17, 22. Sección 3.3: 3, 7, 9. Sección 3.4: 4, 5. Sección 3.5: 10, 12 Misc .: Demuestre que el grupo de rotación de la esfera es generado por las rotaciones alrededor del polo norte y las rotaciones alrededor del "polo este". Puede utilizar el hecho de que cualquier rotación de la esfera es una rotación alrededor de algún eje. (Desafío: su redacción debe ser convincente para el evaluador).
  • Conjunto de problemas 4, que se entregará el viernes 23 de octubre: resuelva 13 de los siguientes problemas, incluido al menos uno de cada sección. Sección 4.1: 2, 4, 10. Sección 4.2: 2, 8, 10. Sección 4.3: 4, 5, 17, 25, 29, 33. Sección 4.4: 1, 2, 6, 8, 16.
  • Conjunto de problemas 5, que se entregará el viernes 6 de noviembre: resuelva 13 de los siguientes problemas, incluido al menos uno por sección. Sección 4.5: 6, 30, 33, 42. Sección 4.6: 1, 2, 4, 6. Sección 5.1: 9 (no es necesario utilizar el ejercicio anterior a menos que lo desee), 11, 18 (haga 4 de 5 partes) . Sección 5.2: 1, 5, 8, 9, 12. Sección 5.5: 2, 4.
  • Conjunto de problemas 6, que se entregará el viernes 13 de noviembre: resuelva 13 de los siguientes problemas, incluido al menos uno por sección. Sección 5.4: 2, 4, 5. Sección 6.1: 5, 6, 14, 16. 7.1: 5, 7, 8, 11, 13, 21, 23, 25, 26.
  • Serie de problemas 7, prevista para el viernes 20 de noviembre: resuelva 13 de los siguientes problemas. 7.2: 3, 12. 7.3: 2, 10, 18, 22, 25, 29, 34. 7.4: 9, 11, 27, 30, 34, 37, 41.
  • Serie de problemas 8, prevista para el miércoles 2 de diciembre: resuelva 10 de los siguientes problemas, incluido al menos uno de cada sección. 7.5: 2, 5. 7.6: 6, 7. 8.1: 6, 7, 10, 12. 8.2: 1, 5. 8.3: 1, 4, 5, 6.

Escribir en la tarea principal. La escritura clara es esencial para la comunicación matemática, como probablemente se dará cuenta al leer mejores y peores textos matemáticos. La claridad en la escritura puede ser más importante en matemáticas que en cualquier otra ciencia, por varias razones. La buena exposición es una habilidad importante y adquirida. A lo largo de esta clase, recibirá comentarios sobre las soluciones a sus conjuntos de problemas, y debe utilizarlos para perfeccionar su capacidad de comunicar sus ideas de forma clara y eficaz. Este proyecto de redacción le dará la oportunidad de concentrarse en su exposición, en lugar de absorber nuevo contenido matemático. Este curso enfatizará tanto la exposición en la comunicación de las matemáticas como la estructura de las pruebas. Parte de su calificación en cada tarea y en los exámenes estará en su exposición de sus soluciones a los problemas. La información sobre la tarea de escritura en la especialidad está aquí. Plazos a tener en cuenta: 30 de octubre y 30 de noviembre.

Examen final: El examen final se llevará a cabo el viernes 11 de diciembre de 8:30 a 11:30 am en 380Y (en el sótano del departamento de matemáticas). Habrá dos sesiones de revisión (o horas de oficina adicionales, dependiendo de lo que la gente quiera) de antemano. La primera estará a cargo de Amy el lunes 7 de diciembre de 10:30 am a 1:30 pm. El segundo correrá por mí el jueves 10 de diciembre de 14 a 17 hs. Tendrán lugar en nuestras respectivas oficinas. Aquí hay un examen final de práctica.


Dominios y sistemas numéricos

Una gran parte de la teoría de números se basa en generalizar la maquinaria de los sistemas numéricos. Es decir, cualquier estructura a la que razonablemente podamos llamar "números". Parece que esta categoría debería ser bastante limitada. Después de todo, los cuatro sistemas numéricos más conocidos, los números enteros, los números racionales (fracciones), los números reales y los números complejos, son lo suficientemente similares entre sí que mucha gente simplemente los considera como un solo sistema. Matemáticamente, cualquiera de la lista puede considerarse una subestructura de la siguiente. ¿Existen otros sistemas numéricos? Y si es así, ¿son diferentes a los familiares de alguna manera significativa?

El enfoque adoptado por el álgebra abstracta es resaltar las propiedades comunes de cerrado estructuras en matemáticas.

El cierre es una propiedad clave en estructuras como monoides y grupos. Los monoides son conjuntos de objetos con una operación intrínseca, alguna forma de combinar dos elementos en otro elemento. El cierre asegura que esta operación combine dos elementos de manera que su combinación también sea en el monoide. Un ejemplo fácil de un monoide son todas las potencias de 2: 2, 4, 8, 16,… 2, 4, 8, 16, dots 2, 4, 8, 1 6,… bajo la operación de multiplicación. Para ver que está cerrado, tome dos elementos arbitrarios 2 n 2 ^ n 2 n y 2 m 2 ^ m 2 m. Multiplicar da 2 n + m 2 ^ 2 n + m que también está en el monoide.

Los grupos agregan una restricción adicional a los monoides: no solo la operación debe cerrarse, sino que también debe ser reversible (de manera equivalente, hay elementos "inversos"). En un sentido amplio, esto significa que todas las matemáticas que tienen lugar en un grupo permanecen aisladas dentro de ese grupo. La misma lógica funciona para anillos y campos, aunque ahora con una segunda operación.

Si bien los anillos formalizan la idea general de un sistema numérico, son lo suficientemente generales como para incluir objetos que no se considerarían números típicos. Un ejemplo es el anillo de polinomios con coeficientes enteros Z [x] mathbb[x] Z [x], cuyos elementos se pueden escribir como

Sumar / restar polinomios entre sí le da otro polinomio, y lo mismo puede decirse de la multiplicación. En este anillo, los elementos 0 0 0 y 1 1 1 son exactamente lo que cabría esperar.

Sin embargo, esto no siempre es posible. Un ejemplo es el anillo de matrices 2x2 con entradas enteras:

La factorización única y la existencia del algoritmo euclidiano son teoremas antiguos de la teoría de números. Sin embargo, se descomponen en algunos dominios. Para construir uno, podemos comenzar con Z mathbb Z y agregue un elemento de C mathbb C, digamos - 5 sqrt <-5> - 5

A eso. Esto significa que tenemos un sistema numérico, Z [- 5] mathbb[ sqrt <-5>] Z [- 5

No solo es un anillo, sino también un dominio integral como Z mathbb Z es. Sin embargo, la teoría de números en Z [- 5] mathbb[ sqrt <-5>] Z [- 5

] Es diferente. Por ejemplo, la factorización única ya no es válida:

Los dominios con factorización única se denominan UFD. Mientras que Z mathbb Z es un UFD, Z [- 5] mathbb[ sqrt <-5>] Z [- 5

Una consecuencia del fracaso de la factorización única es que el algoritmo euclidiano tampoco existe en este dominio. De hecho, la existencia del algoritmo euclidiano implica una factorización única (por lo que todos los dominios euclidianos son UFD) aunque la factorización única no garantiza la existencia del algoritmo euclidiano. Un ejemplo es Z [1 + - 19 2] mathbb[ frac <1 + sqrt <-19>> <2>] Z [2 1 + - 1 9

]. Esto está profundamente relacionado con las siguientes aproximaciones casi enteras:

≈ 9 6 0 3 + 7 4 4 e π 67 ≈ 528 0 3 + 744 e ^ < pi sqrt <67>> approx 5280 ^ 3 + 744 e π 6 7

≈ 5 2 8 0 3 + 7 4 4 e π 163 ≈ 64032 0 3 + 744 e ^ < pi sqrt <163>> approx 640320 ^ 3 + 744 e π 1 6 3

], El concepto de número primo también se descompone sutilmente para ser reemplazado por el concepto de número irreducible (o átomo). Los primos y los átomos comparten la característica de que solo son divisibles entre 1 1 1, pero los primos se definen por la propiedad adicional de que siempre que un primo p p p divide a b ab a b, o p ∣ a b p | ab p ∣ a b, entonces p ∣ a p | a p ∣ a o p ∣ b p | b p ∣ b. En el ejemplo anterior, 2, 3, 1 + - 5 y 1 - - 5 2, 3, 1 + sqrt <-5>, text 1 - raíz cuadrada <-5> 2, 3, 1 + - 5

Son todos irreductibles, pero ninguno de ellos es primordial.

) Son verdaderas. Esto también se aplica a los otros tres.

La distinción entre elementos primarios y atómicos no existe en UFD. De hecho, coinciden en una clase de dominios ligeramente mayor conocida como Dominios GCD, en el que siempre existen los máximos divisores comunes. La diferencia entre los dominios UFD y los dominios GCD es pequeña, pero se debe al hecho de que la factorización única siempre debe tener un número finito de factores. Como resultado, el anillo de funciones holomórficas es un ejemplo de un GCD sin UFD. Primero, es un dominio integral ya que dos funciones holomórficas no se pueden multiplicar a 0. La MCD entre dos funciones se puede definir como los ceros que tienen en común, por lo que es un dominio MCD. Sin embargo, la factorización de funciones holomórficas no siempre es finita:

], Los números primos que se dividen son solo los de la forma p = a 2 + n b 2 p = a ^ 2 + n b ^ 2 p = a 2 + n b 2.

Al igual que arriba para los números primos, en el anillo Z [n] mathbb[ sqrt] Z [n

. Puede aprovechar los poderes de esta solución para encontrar las demás:

) Norte = k ≡ 0 m o d 2 ∑ norte (k norte) 2 k / 2 + 2

K ≡ 1 mes o d 2 ∑ norte (k norte) 2 (k - 1) / 2

Sin utilizar coeficientes binomiales, los componentes de la unidad siguen la recursividad:

Otra propiedad interesante es que la relación a n / b n a_n / b_n a n / b n se acerca a 2 sqrt <2> 2

En general, encontrar las unidades de Z [n] mathbb[ sqrt] Z [n

] Se reduce a otro problema de la teoría de números clásica: la ecuación de Pell. Esta ecuación también está bien estudiada en la teoría de números clásica, ya que puede generar aproximaciones racionales de raíces cuadradas.

Nota de Levi Walker
Hace 1 año, 2 meses

Este panel de discusión es un lugar para discutir nuestros desafíos diarios y las matemáticas y ciencias relacionadas con esos desafíos. Las explicaciones son más que una solución: deben explicar los pasos y las estrategias de pensamiento que utilizó para obtener la solución. Los comentarios deben promover la discusión sobre matemáticas y ciencias.


Ordenar o aumentar la distancia (consultas de funciones)

Hay cuatro consultas de función de distancia:

  • geodist, ver más abajo, generalmente el más apropiado, para calcular la distancia p-norma entre vectores multidimensionales, para calcular la distancia entre dos puntos en una esfera, para calcular la distancia euclidiana al cuadrado entre dos puntos.

Para obtener más información sobre estas consultas de funciones, consulte la sección sobre consultas de funciones.

Geodista

geodist es una función de distancia que toma tres parámetros opcionales: (sfield, latitude, longitude). Puede utilizar la función geodist para ordenar los resultados por distancia o puntuar los resultados devueltos.

Por ejemplo, para ordenar los resultados por distancia ascendente, use una solicitud como:

Para devolver la distancia como la puntuación del documento, utilice una solicitud como:


Horarios de clase y consulta

  • Las conferencias se llevarán a cabo los lunes, miércoles y jueves a las 9 a.m., a través de Zoom.
  • Las tutorías son los miércoles a las 3 pm en el campus de Carslaw y a las 4 pm en línea, a partir de la semana 2. Carslaw 354 .-->
  • Mi horario de consulta es el miércoles de 2 a 3 p. M. En Carslaw 717.

Esquema de la unidad

Esta unidad de estudio investiga la teoría matemática moderna que se desarrolló originalmente con el propósito de estudiar ecuaciones polinomiales. En pocas palabras, la filosofía es que debería ser posible factorizar completamente cualquier polinomio en un producto de factores lineales trabajando sobre un campo "suficientemente grande" (como el campo de todos los números complejos). Visto así, el problema de resolver ecuaciones polinómicas conduce naturalmente al problema de comprender las extensiones de campos. Esto a su vez conduce al área de las matemáticas conocida como teoría de Galois.

Las herramientas teóricas básicas necesarias para este programa incluyen los conceptos fundamentales de grupos, anillos y campos. El curso comienza con las definiciones y ejemplos de estos conceptos, así como las estructuras asociadas como subgrupos, subanillos, homomorfismos, ideales y cocientes. Estas herramientas se aplican luego para estudiar anillos de cociente de anillos polinomiales. La parte final del curso trata los conceptos básicos de la teoría de Galois, que vincula el proceso de resolución de polinomios con el proceso de tomar extensiones de campo, y luego vincula este proceso a las propiedades del grupo de Galois del polinomio. Por supuesto, hay mucho que aprender antes de comprender cómo funciona todo esto, pero la cuestión es que el problema de resolver ecuaciones polinomiales se convierte en un problema mucho más accesible en la teoría de grupos finitos.

En el camino veremos algunas hermosas gemas de las matemáticas, incluido el teorema de Fermat sobre los números primos expresable como una suma de dos cuadrados, soluciones a los problemas griegos antiguos de trisecar el ángulo, cuadrar el círculo y doblar el cubo, y la corona del Por supuesto: la prueba de Galois de que no existe un análogo de la "fórmula cuadrática" para la ecuación quíntica general.

Aquí hay un plan semanal de los temas que cubriremos. Sin embargo, las cosas pueden cambiar, y las conferencias son la guía definitiva para el contenido de este curso. Semana 1 Introducción y descripción general, definiciones de grupos y anillos, ejemplos Semana 2 Subanillos, anillos polinomiales, homomorfismos, ideales y el primer teorema del isomorfismo para grupos y anillos Semana 3 El teorema de correspondencia, dominios integrales, campo de fracciones de un dominio integral Semana 4 Dominios ideales principales, dominios euclidianos, divisores comunes máximos, elementos primos e irreducibles Semana 5 El teorema de factorización único, dominios de factorización únicos, estudio de caso: enteros gaussianos. Semana 6 Factorización única en anillos polinomiales, irreductibilidad en anillos polinomiales Semana 7 Irreducibilidad en anillos polinomiales continuada, extensiones de anillo y campo Semana 8 Polinomios mínimos, grado de extensión de campo, números construibles Semana 9 Solución a problemas de constructibilidad, polígonos construibles, campos de división, separabilidad Semana 10 Subgrupos, clases laterales, teorema de Lagrange, subgrupos normales, grupos de cocientes, el grupo simétrico Semana 11 Campos finitos, grupos de Galois, enunciado de la correspondencia de Galois, el orden del grupo de Galois Semana 12 Demostración de la correspondencia de Galois, resolución de ecuaciones polinomiales usando radicales, insolubilidad de la quintica general. Semana 13 Revisión y atando cabos sueltos. Esto está sujeto a cambios, dependiendo de nuestro progreso e inspiración.

Los resultados del aprendizaje

Los resultados del aprendizaje de esta unidad de estudio son los siguientes.

  • estar familiarizado con los conceptos básicos de la teoría abstracta de campos y anillos
  • estar familiarizado con los conceptos de dominios integrales, dominios ideales principales, dominios euclidianos y dominios de factorización únicos, y comprender las relaciones entre estos conceptos
  • comprender el concepto de irreductibilidad en dominios integrales
  • Ser competente en la aplicación de varias pruebas de irreductibilidad.
  • Ser competente en la aplicación del algoritmo euclidiano en varios contextos.
  • Tener un conocimiento práctico sólido de los ejemplos básicos de anillos y campos, incluidos los números enteros, los números enteros gaussianos, los anillos polinomiales, los números racionales y los campos finitos.
  • Ser capaz de trabajar con extensiones de campo, incluido el cálculo del grado de una extensión y el polinomio mínimo de una extensión simple.
  • comprender las soluciones a los tres problemas geométricos griegos antiguos
  • Conocer y ser capaz de aplicar los conceptos y definiciones básicos de la Teoría de Galois.
  • conocer las propiedades básicas del grupo de Galois de una extensión de campo
  • Ser capaz de calcular grupos de Galois en ejemplos sencillos.
  • Ser capaz de construir pruebas, incluidas pruebas sofisticadas utilizando una variedad de conceptos cubiertos en la unidad.
  • Ser competente en el manejo de conceptos abstractos con énfasis en la explicación clara de dichos conceptos a los demás.
  • Ser capaz de aplicar la teoría y los métodos introducidos en la unidad a ejemplos específicos, tanto los encontrados en conferencias y tutoriales, como a ejemplos relacionados.

Su calificación para MATH3962 se calculará de la siguiente manera (tenga en cuenta que se han realizado ajustes como resultado de moverse en línea en respuesta a covid19).

    Dos asignaciones, con un valor del 15% cada uno. Las asignaciones le darán práctica en la investigación de ejemplos y la construcción de pruebas, y la retroalimentación debería ayudarlo con sus habilidades de escritura matemática y preparación para el examen. Las asignaciones vencen (a través de LMS) antes de la medianoche en las siguientes fechas:
    • Tarea 1 vence el viernes 16 de abril (semana 6)
    • Tarea 2 vence el viernes 21 de mayo (semana 11)

    Las hojas de tutoriales se publicarán a continuación. No completaremos todas las preguntas del tutorial. Se espera que dedique al menos 3 o 4 horas de su propio tiempo cada semana para completar la mayor cantidad de preguntas que pueda. Esta es la clave del éxito en este desafiante curso.

    Descriptores de calificaciones

    Siempre es una buena idea consultar otras fuentes para problemas adicionales y explicaciones alternativas. La mayoría de las enciclopedias matemáticas en línea contienen material relevante para esta unidad. Tenga en cuenta que las convenciones y la notación pueden diferir ligeramente de las de las conferencias. Los siguientes libros podrían usarse para proporcionar más práctica si lo desea:

    • Álgebra abstracta, D. Dummit y R. Foote (esta es una excelente referencia, también para la teoría de grupos)
    • Teoría de Galois, E. Artin
    • Una encuesta de álgebra moderna, Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane
    • Álgebra moderna: una introducción, John R. Durbin
    • Un primer curso de álgebra abstracta, John B. Fraleigh
    • Álgebra abstracta, I. N. Herstein
    • [ES] Teoría de Galois, I. N. Stewart

    A continuación se muestra un resumen muy útil de lo que cubrió en MATH2922. Es absolutamente esencial que conozca bien este material. En particular, debe conocer todo el material sobre grupos, campos, espacios vectoriales, transformaciones lineales y representaciones matriciales. Este es el material hasta la Lección 5-3 incluida en las notas:

    En particular, es importante que tenga una buena comprensión de la teoría de grupos. En el lienzo encontrará el tutorial de la semana 1; no hay un tutorial real en la semana 1, pero la hoja de tutoriales contiene algunas preguntas para la revisión de la teoría de grupos.


    Usar la consulta de función

    Las funciones deben expresarse como llamadas a funciones (por ejemplo, suma (a, b) en lugar de simplemente a + b).

    Hay varias formas de utilizar consultas de función en una consulta Solr:

    A través de un analizador de consultas explícito que espera argumentos de función, como func o frange. Por ejemplo:

    En una expresión de género. Por ejemplo:

    Agregue los resultados de las funciones como pseudocampos a los documentos en los resultados de la consulta. Por ejemplo, para:

    Úselo en un parámetro que sea explícitamente para especificar funciones, como el analizador de consultas eDisMax & # 8217s boost parámetro, o el analizador de consultas DisMax & # 8217s bf (función boost) parámetro. (Tenga en cuenta que el parámetro bf en realidad toma una lista de consultas de función separadas por espacios en blanco y cada una con un refuerzo opcional. Asegúrese de eliminar cualquier espacio en blanco interno en consultas de función única cuando utilice bf). Por ejemplo:

    Introduzca una consulta de función en línea en el analizador de consultas de Lucene con la palabra clave _val_. Por ejemplo:

    Solo se recomiendan funciones con acceso aleatorio rápido.


    Tabla de contenido

    La teoría algebraica de números es una de las creaciones más refinadas de las matemáticas. Ha sido desarrollado por algunos de los principales matemáticos de este y siglos anteriores. El objetivo principal de este libro es presentar los elementos esenciales de la teoría algebraica de números, incluida la teoría de las extensiones normales a través de un vistazo a la teoría de campos de clases. Siguiendo el ejemplo que nos dieron Kronecker, Weber, Hilbert y Artin, las funciones algebraicas se manejan aquí en pie de igualdad con los números algebraicos. Esto se hace, por un lado, para demostrar la analogía entre los campos numéricos y los campos de función, que es especialmente clara en el caso en que el campo de tierra es un campo finito. Por otro lado, de esta manera se obtiene una introducción a la teoría de & ldquohigher congruences & rdquo como un elemento importante de la & ldquogeometría aritmética & rdquo.

    Los primeros capítulos tratan temas de la teoría de números elementales, como la geometría de los números de Minkowski, la criptografía de clave pública y una breve prueba del Teorema de los números primos, siguiendo a Newman y Zagier. A continuación, se introducen algunas de las herramientas de la teoría algebraica de números, como ideales, discriminantes y valoraciones. Estos resultados se aplican luego para obtener resultados sobre campos de función, incluida una prueba del teorema de Riemann-Roch y, como aplicación de campos ciclotómicos, una prueba del primer caso del último teorema de Fermat. Hay una exposición detallada de la teoría de las series de Hecke (L ), siguiendo a Tate, y aplicaciones explícitas a la teoría de números, como la Hipótesis de Riemann Generalizada. El capítulo 9 reúne el material anterior a través del estudio de campos numéricos cuadráticos. Finally, Chapter 10 gives an introduction to class field theory.

    The book attempts as much as possible to give simple proofs. It can be used by a beginner in algebraic number theory who wishes to see some of the true power and depth of the subject. The book is suitable for two one-semester courses, with the first four chapters serving to develop the basic material. Chapters 6 through 9 could be used on their own as a second semester course.


    Worked example 1: Properties of polygons

    (ABCD) is a rhombus with (BD = ext<12> ext< cm>) and (AB:BD = 3:4).

    Calculate the following (correct to two decimal places) and provide reasons:

    Use the ratio to determine the length of (AB)

    Calculate the length of (AO)

    We use the properties of a rhombus and the theorem of Pythagoras to find (AO).


    Ver el vídeo: TIME FOR HOLY PALA! Holy Paladin GUIDE (Septiembre 2021).