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6.1: Problemas - Matemáticas


  1. (a) Establezca todos los grupos abstractos que tengan un orden (2 le N le 6 ). Calcule productos típicos. ¿Qué grupos son abelianos? Indique al menos dos realizaciones isomorfas para cada grupo.

    (b) Identifique los subgrupos. ¿Cuáles son invariantes?

  2. Escribe las permutaciones de (n = 3 ) y (n = 4 ) objetos. Organiza el resultado de forma compacta. Considere al principio el subgrupo de permutaciones pares (el grupo alterno). Haz uso de ciclos.
  3. Encuentre el efecto conjunto de dos planos de espejo (vea la Figura B.1). Considere también los espejos paralelos.

  1. Un pulso de onda esférica diverge del punto del espacio-tiempo (0, 0, 0, 0) en el marco inercial ( sum ). Considere un marco ( sum ') que se mueve a lo largo de la dirección z con la velocidad ( beta = tanh mu ). El observador en ( sum ') ve también frentes de onda esféricos. Sin embargo, los puntos del espacio-tiempo que forman una superficie (r '= ct' = const ) no parecen sincrónicos, por lo tanto esféricos en ( sum ). Demuestre que las superficies son elipsoides de revolución con un foco común. Encuentre los ejes mayor y menor a, by la excentricidad en términos de (r ') y ( beta ). Encuentre también las longitudes del perihelio y el afelio. Usa coordenadas polares.
  2. Considere la composición de rotaciones en el formalismo ( mathcal {SU} (2) ): (U '' = U'U ) donde (U = l_ {0} = -i vec {l} cdot vec { sigma} ), con

[ begin {array} {cc} {l_ {0} = cos frac { phi} {2},} & { vec {l} = sin frac { phi} {2} hat {u}} nonumber end {matriz} ]

(a) Exprese ( {l_ {0} '', vec {l} '' } ) en términos de ( {l_ {0} ', vec {l}' } ) y ( {l_ {0}, vec {l} } ).

(b) Consulte el teorema de Rodriues-Hamilton (figura 2.1) y obtenga la ley del coseno de la trigonometría esférica.

(c) Obtenga la ley del seno.

6. Verifique sus expresiones generales aplicando los casos especiales:

(a) (U '' = UU = U ^ {2} )

(b) ( hat {u} = frac {1} { sqrt {3}} (1, 1, 1),} & { phi = frac {2 pi} {3} )

( hat {u} = frac {1} { sqrt {3}} (1, 0, 0),} & { phi = frac { pi} {2} )

Tenga en cuenta que U y U 'generan operaciones de simetría en el cubo.

7. Considere el movimiento unidimensional de una partícula de masa en reposo m, bajo la influencia de una fuerza (eE_ {z} ). En (t = 0 ) la partícula está en reposo. Demuestre que la trayectoria está representada en el plano z, ct como una hipérbola y encuentre el semidiámetro. Desarrolle la analogía con el problema del ciclotrón tanto como pueda. Discutir el significado de la aproximación.

[ begin {matriz} {c} { gamma ^ {- 1} = sqrt {1- beta ^ 2} simeq 1} nonumber end {matriz} ]

8. Considere un campo electromagnético

[ begin {matriz} {c} { vec {f} = vec {E} + i vec {B}} nonumber end {matriz} ]

en una pequeña región de espacio-tiempo. El invariante de Lorentz del campo es:

[ begin {array} {c} {f ^ {2} = E ^ {2} -B ^ {2} + 2i E cdot B = I_ {1} + i I_ {2} = g ^ {2 } exp (2i psi)} nonumber end {matriz} ]

(a) Considere el caso (f ^ {2} ne 0 ). En este caso, existe un marco canónico en el que (E_ {can} paralelo B_ {can} ) y ( zeta = B_ {can} / E_ {can} ), el tono, es un número real ( que podría ser 0 o ( infty )). Analice los posibles valores de ( zeta ) de acuerdo con los signos de (I_ {1} ) y (I_ {2} ). Resuma sus conclusiones en una tabla como la que se muestra en la Tabla B.1.

Tabla B.1: Tabla para el problema 8

(b) Exprese (E_ {can}, B_ {can}, zeta ) en términos de (I_ {1}, I_ {2} ) y (g, psi ).

(c) Suponga ( zeta ne 0, infty ). Lleva ( hat {x} ) a lo largo de (E_ {can} ). Considere una transformación de Lorentz pasiva en la dirección ( hat {z} ), a un marco de velocidad (v ( beta = v / c = tanh mu) ) con respecto al marco canónico. Encuentra ( tan theta E, tan theta B, tan ( theta_ {E} - theta_ {B}) ) en términos de ( beta, zeta ) y también ( mu , psi ), donde ( theta_ {E} ) y ( theta_ {B} ) son los ángulos por los cuales los campos eléctrico y magnético giran bajo la transformación de Lorentz, como se muestra en la Figura B.2.

Figura B.2: Marco de coordenadas y ángulos del problema 8.

(d) Considere ahora los casos ( zeta = 0; zeta = infty ). Tome ( hat {x} ) en la dirección del campo canónico que no desaparece. Analice el efecto de una transformación de Lorentz similar a la considerada en (c). Indique la razón de las magnitudes de los campos eléctrico y magnético después de la transformación de Lorentz.

9. (a) Encuentre la descomposición polar de la matriz

[ begin {array} {c} { begin {pmatrix} {1} & { zeta} {0} & {1} end {pmatrix}} nonumber end {array} ]

Verifique la relación (11b) en la pág. II-53. Considere los casos ( delta = 1 ) y ( delta << 1 ).

(b) Encuentra

[ begin {array} {c} { mathcal {P} _ { hat {a}} ( vec {p} cdot vec { sigma}) mathcal {P} _ { hat {a }}} nonumber end {matriz} ]

dónde

[ begin {array} {c} { mathcal {P} _ { hat {a}} = frac {1} {2} (1+ hat {a} cdot vec { sigma}) } nonumber end {matriz} ]

10. Verifique las ecuaciones (23) - (26) en II-42, 43.

11. Muestre que la matriz de campo (F = ( vec {E} + i vec {B}) cdot vec { sigma} ) se puede derivar de la matriz equivalente del cuatro-potencial. ¿Qué condiciones, si las hay, se impondrán a este último?

12. a) Exprese la reflexión de un (K = k_ {0} 1+ vec {k} cdot vec { sigma} ) de cuatro vectores en un plano en movimiento. La normal del avión es ( hat {a} ). Su velocidad es (v = v hat {a} ) con (v / c = tanh mu ). (Pista: transfórmate en el resto del marco del espejo).

(b) Muestre que la combinación de dos espejos ( vec {v} _ {1} = v_ {1} hat {a} _ {1} ), y ( vec {v} _ {2} = v_ {2} hat {a} _ {2} ) produce una transformación de Lorentz.

13. Verifique la equivalencia de las ecuaciones (4) y (5) en la sección 4.2 transformando cada factor del espacio al marco de la carrocería.

14. Demuestre que la relación

[ begin {array} {c} {| xi rangle langle xi | = frac {1} {2} (1+ hat {k} cdot vec { sigma})} end {formación}]

se puede obtener mediante proyección estereográfica.

Sugerencia: Proyecte la esfera (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} = 1 ) desde el polo sur al plano ecuatorial interpretado como el complejo z -avión. Exprese (k_ {1}, k_ {2}, k_ {3} ) en términos de (z, z ∗ ) y establezca (z = xi_ {1} / xi_ {0} ) con (| xi_ {0} | ^ {2} + | xi_ {1} | ^ {2} = 1 ).

15. Encuentre la matriz unitaria U que conecta dos conjuntos dados de espinores entre sí:

[ begin {matriz} {c} {(| eta rangle, | bar { eta} rangle) = (| xi rangle, | bar { xi} rangle) U} end {formación}]

Exprese primero sus elementos, luego sus componentes en términos de ( xi_ {0}, xi_ {1}, eta_ {0}, eta_ {1} ).

16. El álgebra de Pauli se puede considerar como una generalización del álgebra vectorial elemental y el conocimiento de este último es útil en la manipulación de matrices.

Sin embargo, también se puede abordar el problema desde el punto de vista inverso y derivar las relaciones vectoriales mediante operaciones matriciales. Definir

[ begin {matriz} {ccc} {A = vec {a} cdot vec { sigma},} & {B = vec {b} cdot vec { sigma},} & {C = vec {c} cdot vec { sigma}} nonumber end {array} ]

y asociar

[ begin {array} {ccc} { vec {a} cdot vec {b}} & {with} & { frac {1} {2} {A, B } = frac {1 } {2} (AB + BA)} end {matriz} ]

[ begin {array} {ccc} { vec {a} times vec {b}} & {with} & { frac {1} {2i} {A, B } = frac {1 } {2i} (AB-BA)} end {matriz} ]

Considere la identidad de Jacobi

[ begin {array} {c} {[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0} end {array} ]

y la condición de asociatividad:

[ begin {matriz} {c} {A (BC) - (AB) C = 0} end {matriz} ]

(La ecuación B.1.5 se verifica fácilmente para conmutadores. Para conocer su significado, consulte [Hal74].)

Traslade las ecuaciones B.1.5 y B.1.6 por medio de las ecuaciones B.1.3 y B.1.4, y obtenga las relaciones familiares para productos vectoriales triples.

17. Proporcione expresiones espinoriales explícitas para las siguientes formas de polarización: (| x rangle ) (polarización lineal a lo largo del eje x); (| theta / 2 rangle ) (polarizado en el ángulo ( theta / 2 ) con el eje x); (| R rangle ) (polarizado circularmente a la derecha).

(a) Utilice el esquema ( hat { kappa} ( phi, theta, psi) ) y asigne ( phi = psi = theta = 0 ) a (| x rangle = (1, 0) ). Expresa (| theta / 2 rangle, | theta / 2 rangle, | R rangle, | bar {R} rangle ) en términos de (| x rangle ) y (| barra {x} rangle ).

(b) Utilice el esquema ( hat {s} ( alpha, beta, gamma) ). Asigne ( beta = 0, alpha = gamma = pi / 2 ) a (| R rangle ). Exprese los espinores mencionados anteriormente en términos de (| R rangle ) y (| bar {R} rangle ). Tenga en cuenta que los resultados de (a) y (b) son consistentes entre sí.

18. Da las representaciones matriciales de un cuarto de onda, una placa, una placa de media onda, un rotador y un polarizador plano en los esquemas ( hat {k} ) y ( hat {s} ).

19. (a) Sólo sabemos de un instrumento óptico que transforma (| R rangle ) en (| bar {R} rangle ) y viceversa. Encuentre el operador de matriz más general consistente con este hecho

(b) Agudice esta respuesta utilizando la información adicional de que el instrumento pasa un rayo (| x rangle ) sin cambios. ¿Cuál es el nombre de este dispositivo?

20. Considere una matriz (2 times 2 ) arbitraria de Hermitian: (S = s_ {0} + vec {s} cdot vec { sigma} ) con (s_ {0} ^ {2 } - vec {s} ^ {2} ne 0 ) en general.

(a) Demuestre que es posible descomponer S en una suma de dos matrices con determinante cero. Es decir:

[ begin {matriz} {c} {S = K '+ K' '} nonumber end {matriz} ]

dónde

[ begin {array} {cc} {K '= k' _ {0} + vec {k} ' cdot vec { sigma}} & {k_ {0} ^ {' 2} - vec {k} '^ {2}} nonumber end {matriz} ]

[ begin {array} {cc} {K '' = k '' _ {0} + vec {k} '' cdot vec { sigma}} & {k_ {0} ^ {'' 2 } - vec {k} '' ^ {2}} nonumber end {matriz} ]

(b) Demuestre que si uno impone:

[ begin {array} {c} { vec {k} '= k' hat {k}} { vec {k} '' = k '' hat {k}} { vec {k} 'y vec {k}' 'paralelo} nonumber end {array} ]

la descomposición se vuelve única. Encuentra (k_ {0} ', k_ {0}' ', k', k '', hat {k} ).

21. Considere un rayo aproximadamente monocromático de luz no polarizada, se ha sugerido que dicho rayo se considere como una secuencia aleatoria de luz polarizada elípticamente, por lo que los parámetros de elipticidad ( alpha, beta ) varían lentamente en comparación con ( 1 / omega ) pero rápido en comparación con el tiempo de observación (ver [Hur45]). Este autor muestra que la elipticidad promedio viene dada por el valor mediano

[ begin {matriz} {c} {( frac {a_ {2}} {a_ {1}}) _ {m} = tan (15 ^ { circ})} nonumber end {matriz} ]

Este resultado se puede obtener de forma muy sencilla. Suponga que todos los puntos representativos de la esfera de Poincaré son igualmente probables. Considere la cantidad:

[ begin {array} {c} {S = frac {2a_ {1} a_ {2}} {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}}} nonumber end { formación}]

para un punto arbitrario en la esfera.

Tome el promedio de (| S | ) sobre la esfera de Poincaré, usando el supuesto estadístico anterior.

Deducir el valor

[ begin {array} {c} {( frac {a_ {2}} {a_ {1}}) _ {0}} nonumber end {array} ]

correspondiente a ( langle | S | rangle ).


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