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1.2: La geometría del grupo de rotación tridimensional. El teorema de Rodrigues-Hamilton - Matemáticas


Hay tres tipos de transformaciones que mapean el espacio euclidiano sobre sí mismo: traslaciones, rotaciones e inversiones. “Simple” significa que el determinante de la transformación es (+ 1 ), tenemos rotaciones propias con la exclusión de la inversión de las coordenadas:

[ begin {array} {c} {x rightarrow -x} {y rightarrow -y} {z rightarrow -z} end {array} ]

un problema al que volveremos más adelante.

En contraste con el grupo de traducciones, ( mathcal {SO} (3) ) no es abeliano, y su teoría, comenzando con la elección adecuada de parámetros, es bastante complicada. Sin embargo, su teoría fue desarrollada en un grado notable durante el siglo XVIII por Euler.

Dentro de la mecánica clásica, el problema de la rotación no se considera de fundamental importancia. El formalismo hamiltoniano se expresa generalmente en términos de masas puntuales, que no giran. Hay un sesgo incorporado a favor del movimiento de traslación.

La situación es diferente en la mecánica cuántica, donde la rotación juega un papel primordial. Tenemos buenas razones para prestar una atención temprana al grupo de rotación, aunque en este punto tenemos que limitarnos a una discusión puramente geométrica que luego se pondrá en forma algebraica.

De acuerdo con un teorema de Euler bien conocido, un desplazamiento arbitrario de un cuerpo rígido con un solo punto fijo se puede concebir como una rotación alrededor de un eje fijo que se puede especificar en términos del ángulo de rotación ( phi ), y el vector unitario ( hat {u} ) a lo largo de la dirección del eje de rotación. Convencionalmente, el sentido de rotación está determinado por la regla de la mano derecha. Simbólicamente podemos escribir (R = { hat {u}, phi } ).

El primer paso para describir la estructura del grupo es proporcionar una regla para la composición de las rotaciones teniendo debidamente en cuenta el carácter no conmutador de esta operación. La esencia del argumento está contenida en un viejo teorema de Rodrigues-Hamilton.

Nuestra presentación sigue la de C. L. K. Whitney [Whi68]. Considere los productos

[ begin {array} {c} {R_ {3} = R_ {2} R_ {1}} end {array} ]

[ begin {array} {c} {R '_ {3} = R_ {1} R_ {2}} end {array} label {EQ1.2.3} ]

donde (R_ {3} ) es la rotación compuesta en la que (R_ {1} ) va seguido de (R_ {2} ).

La figura 1.1 representa la esfera unitaria y está construida de la siguiente manera: los puntos finales de los vectores ( hat {u} _ {1} ) y ( hat {u} _ {2} ) determinan un gran círculo, cuyo arco más pequeño forma la base de triángulos de imagen especular que tienen ángulos ( phi_ {1} / 2 ) y ( phi_ {2} / 2 ) como se indica. El punto final del vector ( hat {u} '_ {1} ) se ubica girando ( hat {u} _ {1} ), en un ángulo ( phi_ {2} ) sobre ( hat {u} _ { 2} ). Nuestra afirmación, que las otras cantidades que aparecen en la figura están legítimamente etiquetadas como ( phi_ {3} / 2 ), ( hat {u} _ {3}, hat {u} '_ {3} ) se fundamenta fácilmente. Siguiendo la secuencia de operaciones indicada en 2.2.3, vemos que el vector llamado ( hat {u} _ {3} ), primero se rota por el ángulo ( phi_ {1} ), alrededor de ( hat {u} _ {1} ), que incluye ( hat {u} '_ {3} ). Luego se gira en un ángulo ( phi_ {2} ) alrededor de ( hat {u} _ {2} ), lo que lo lleva de regreso a ( hat {u} _ {3} ). Dado que es invariante, de hecho es el eje de la rotación combinada. Además, vemos que la primera rotación deja ( hat {u} _ {1} ), invariante y la segunda rotación, que alrededor de ( hat {u} _ {2} ), la lleva a ( hat {u} '_ {1} ), la posición que alcanzaría si simplemente se girara sobre ( hat {u} _ {3} ), en el ángulo llamado ( phi_ {3} ). Por lo tanto, ese ángulo es de hecho el ángulo de la rotación combinada. Tenga en cuenta que un argumento simétrico muestra que ( hat {u} '_ {3} ) y ( phi_ {3} ) son el eje y el ángulo de rotación (P' _ {3} = R_ { 1} R_ {2} ).

La ecuación ref {EQ1.2.3} también se puede expresar como

[ begin {array} {c} {R ^ {- 1} _ {3} R_ {2} R_ {1} = 1} end {array} ]

que se interpreta de la siguiente manera: rotación sobre ( hat {u} _ {1} ), por ( phi_ {1} ), seguida de rotación sobre ( hat {u} _ {2} ) , por ( phi_ {2} ), seguido de una rotación alrededor de ( hat {u} _ {3} ), por menos ( phi_ {3} ), no produce ningún cambio. Esta declaración es el teorema de Rodrigues-Hamilton.

Figura 1.1: Composición de las rotaciones de la esfera. ( alpha = phi_ {1} / 2, beta = phi_ {2} / 2, gamma = phi_ {3} / 2 ).


Rotación dimensional

3.5.3 Rotaciones de dimensiones superiores

Lo que se ha ilustrado anteriormente para el caso de rotaciones bidimensionales puede extenderse a tres o más dimensiones utilizando la matriz apropiada de cosenos de dirección. La figura 3.23 representa, en forma general, una rotación en sentido antihorario desde el miI, base a un FI, base. Las coordenadas de algún punto a en la base original se pueden expresar como a * en la nueva base por

Figura 3.23. Rotación en tres dimensiones.

La figura 3.23 muestra los ángulos que se consideran en este caso más complejo. Sin embargo, no se trata de nuevos principios.

Las matrices ortogonales juegan un papel central en varios procedimientos multivariados, y sus propiedades especiales deben tenerse en cuenta. Estas se tratan a continuación.


Sobre la correspondencia entre los parámetros tridimensionales y tetradimensionales del grupo de rotación tridimensional

Un teorema cinemático fundamental de Euler permite sintetizar una serie de parámetros de orientación tridimensionales y tetradimensionales que se corresponden entre sí en espacios de la misma dimensión.

Usamos el teorema sobre el homeomorfismo de dos espacios topológicos (la esfera tridimensional S 3 ⊂ R 4 con un solo punto perforado (eliminado) y el espacio tridimensional R 3) establecer una correspondencia uno a uno mutuamente continua entre los parámetros cinemáticos cuatridimensionales y tridimensionales prescritos en estos espacios. Esto último se puede demostrar mediante la proyección estereográfica de puntos de la esfera. S 3 en el hiperplano R 3. Para los parámetros normalizados (hamiltonianos) de Rodrigues-Hamilton, presentamos un método de proyección estereográfica de un punto perteneciente a la esfera tridimensional S 3 en el espacio orientado R 3. Presentamos una familia de parámetros cinemáticos locales obtenidos por el método de mapeo de cuatro parámetros cinemáticos simétricos del espacio R 4 sobre el espacio real orientado R 3 .

En contraste con los conocidos cuatro parámetros globales simétricos de la orientación Rodrigues-Hamilton, los parámetros de orientación tridimensionales sintetizados son locales (tienen dos puntos singulares ± 360 °). Las ecuaciones diferenciales de rotación en los parámetros de orientación tridimensionales se obtienen mediante el método de proyección.

Presentamos los parámetros tridimensionales correspondientes a los cuaterniones hamiltonianos clásicos definidos en el espacio vectorial de cuatro dimensiones. R 4 .


Un teorema de masa positiva en la geometría tridimensional de Cauchy-Riemann

Definimos una masa similar a ADM, llamada masa p, para una variedad pseudohermitiana asintóticamente plana. La masa p para la explosión de una variedad pseudohermitiana compacta (sin límite) se identifica con el primer coeficiente no trivial en la expansión de la función de Green para el CR Laplaciano. Deducimos una fórmula integral para la masa p y reducimos su positividad a una solución de la ecuación de Kohn & # x27s. Demostramos que la masa p no es negativa para (ampliaciones de) 3-variedades compactas de invariante CR Yamabe positivo y con operador CR Paneitz no negativo. Bajo estos supuestos, también caracterizamos el caso de masa cero como la esfera CR tridimensional estándar. Luego mostramos la existencia de variedades CR 3 (no incrustables) que tienen un operador de Paneitz no positivo o masa p negativa a través de una segunda fórmula de variación. Finalmente, aplicamos nuestro resultado principal para encontrar soluciones al problema de CR Yamabe con la mínima energía.


1.2: La geometría del grupo de rotación tridimensional. El teorema de Rodrigues-Hamilton - Matemáticas


Este es el sitio web del curso MAT141 del Departamento de Matemáticas de UC Davis.
Contiene la información básica del curso, los diarios de matemáticas y los recursos matemáticos.

El libro de texto del curso es Geometría de superficies de John Stillwell.

El objetivo del curso es desarrollar una comprensión clara de la geometría de las superficies, las tres geometrías básicas, esférica, euclidiana e hiperbólica, y adquirir la capacidad de usarlas para resolver problemas, como lo indica el programa de estudios del departamento.

Información del curso

Conferencias: MWF en Wellman Hall 234 de 10: 00-10: 50 a. M.

Libro de texto: Geometría de superficies por John Stillwell.

Programa de estudios: El programa del curso contiene las pautas básicas para el curso.

Horas de oficina: Lunes 4: 30-5: 30pm y miércoles 4: 05-5: 00pm en MSB 3214 (Casals). No dude en preguntar siempre después de clase. Martes 10: 00-11: 00 am y jueves 10: 00-11: 00 am en MSB 2129 (Rubin).

Enseñando asistentes: La asistente de enseñanza de nuestro curso es Shanon Rubin (srubin - en - ucdavis.edu) en MSB 2129.

Fechas importantes: Primer día (6 de enero), Prueba intermedia (7 de febrero), Examen final (17 de marzo).
El curso se puede agregar hasta el día 12 de instrucción y se puede cancelar hasta el día 20 de instrucción.

Conjuntos de problemas: Las asignaciones semanales vencen los viernes a las 10:00 am, al comienzo de la clase.
Los conjuntos de problemas deben enviarse en línea a través de Canvas. La serie de problemas 1 vence el viernes 17 de enero.

Conjuntos de problemas

    : Vencimiento el viernes 17 de enero y disponible el viernes 10 de enero.

: Vencimiento el viernes 24 de enero y disponible el viernes 17 de enero.

: Vencimiento el viernes 31 de enero y disponible el viernes 24 de enero.

: Para práctica y disponible el jueves 30 de enero.

: Para práctica y disponible el viernes 31 de enero.

: Vencimiento el viernes 21 de febrero y disponible el sábado 15 de febrero.

: Vencimiento el viernes 28 de febrero y disponible el viernes 21 de febrero.

: Vencimiento el viernes 6 de marzo y disponible el sábado 29 de febrero.

: Para práctica y disponible el viernes 6 de marzo.

: Para práctica y disponible el viernes 6 de marzo.

: Para práctica y disponible el sábado 7 de marzo.

: Vencimiento el martes 17 de marzo y disponible el martes 17 de marzo.

Soluciones

Diarios de matemáticas

    Lunes 6 de enero: Introducción a la Geometría de Superficies.

Ejemplos de superficies: plano euclidiano, 2 esferas y toro.
Triángulos en plano y 2 esferas. Suma de ángulos de un triángulo.
Definición de plano euclidiano y su distancia euclidiana.
Tres propiedades de la función Distancia euclidiana.
Lectura de libros de texto (6 de enero): Secciones 1.1 y 1.2.

Definición de transformación que preserva la distancia. Ejemplos y no ejemplos.
Cómo mostrar que un mapa preserva o no la distancia. Tres tipos de isometrías.
Rotaciones centradas en origen. Traducciones a lo largo de un vector. Ejemplo de Reflexión.
Lectura de libros de texto (8 de enero): Sección 1.2.

Reflexión a lo largo de un eje. Composición de isometrías y conjugación.
Rotaciones con centro arbitrario. Reflexiones a lo largo de una línea arbitraria.
El grupo generado por Traducciones. El grupo generado por Rotaciones.
La composición de los reflejos no es un reflejo.
Lectura de libros de texto (10 de enero): Sección 1.3.

La noción de grupo. Se invierte bajo composición de isometrías.
El producto de dos reflejos: Líneas paralelas y Líneas que se cruzan.
Teorema: Una isometría son dos reflexiones si es una traslación o rotación.
Isometrías y su efecto sobre los triángulos.
Lectura de libros de texto (13 de enero): Secciones 1.3 y 1.4.

Conjuntos definidos por distancias a puntos. Dos ejemplos: círculo y líneas.
Tercer ejemplo: el conjunto de puntos equidistantes a tres puntos no colineales es un punto.
La isometría en el plano euclidiano está determinada únicamente por imágenes de tres puntos no colineales.
Teorema: Toda isometría del plano euclidiano es el producto de 1, 2 o 3 reflexiones.
Lectura de libros de texto (15 de enero): Secciones 1.3 y 1.4.

Prueba del teorema de clasificación de isometrías en el plano euclidiano.
Las isometrías forman un grupo. Isometrías de conservación de la orientación y de inversión de la orientación.
Los productos de tres reflejos. Glide Reflections: Definición y ejemplos de deslizamiento.
Teorema: Toda isometría del plano euclidiano es una traslación, una rotación o una reflexión de deslizamiento.
Lectura de libros de texto (17 de enero): Secciones 1.4 y 1.5.

Superficies euclidianas. Cociente constructivo y principales inmuebles.
Definición formal del Cilindro: cociente por isometrías del Plano Euclidiano.
Distancia en el cilindro: definición y propiedades. Ejemplo de distancias.
Lectura de libros de texto (22 de enero): Secciones 2.1 y 2.2.

Definición del cilindro retorcido. Definición del toro euclidiano.
Distancias en cocientes del plano euclidiano por isometrías. Ejemplos de distancias.
Demostración práctica sobre distancias en superficies euclidianas: papel de liar.
Lectura de libros de texto (24 de enero): Secciones 2.3 y 2.4.

Definición de subgrupo discontinuo. Revisión de puntos límite. Acciones libres de puntos fijos.
Teorema: Vecindad iff discontinua y libre de punto fijo con un representante de órbita único.
Ejemplos de subgrupos discontinuos. Ejemplo de subgrupo no discontinuo.
Lectura de libros de texto (27 de enero): Sección 2.5 y 2.6.

Teorema: El grupo libre discontinuo de punto fijo generado por traducciones tiene 1 o 2 generadores.
Ejemplo del cilindro euclidiano y del toro euclidiano: muchas traducciones a como 1 o 2 traducciones.
Caso de Glide Reflections. Ejemplo del cilindro retorcido y la botella de Klein.
Lectura de libros de texto (29 de enero): Sección 2.5.

Prueba de la clasificación de superficies cocientes a través de subgrupos de isometría.
Los cuatro cocientes: cilindro euclidiano, cilindro retorcido, toro euclidiano y botella de Klein.
Lectura de libros de texto (31 de enero): Sección 2.5.

Definición de superficie. Definición de superficie euclidiana.
Ejemplos de superficies euclidianas. Recubrimiento de una superficie por el plano.
El mapa a lápiz. Croquis de la prueba de clasificación de superficies euclidianas.
Lectura de libros de texto (3 de febrero): Secciones 2.7 y 2.8.

Definición de la 2-esfera. Distancia en el espacio tridimensional euclidiano y Distancia en la esfera 2.
Propiedades de la distancia en las 2 esferas. Puntos equidistantes en la esfera.
Cálculos y ejemplos para distancias entre puntos.
Lectura de libros de texto (10 de febrero): Sección 3.1.

Definición de rotación a lo largo del eje z. Conjugación y rotación a lo largo de cualquier eje orientado.
Fórmula explícita para la rotación a lo largo del eje x. Interludio repasando álgebra lineal.
Isometrías de las 2 esferas cambiando el eje de rotación. Ejemplos explícitos.
Lectura de libros de texto (12 de febrero): Secciones 3.1 y 3.2.

Definición de una línea en las 2 esferas. Ejemplos y no ejemplos de líneas.
Caracterización de líneas en 2 esferas como intersecciones con 2 planos lineales.
Reflexión a lo largo del ecuador en las 2 esferas. Reflexión a lo largo de cualquier Línea en la 2-esfera.
Lectura de libros de texto (14 de febrero): Secciones 3.1 y 3.2.

Propiedades de las reflexiones en las 2 esferas. Las isometrías están determinadas por 3 puntos no colineales.
Teorema: Toda isometría es una composición de 1, 2 o 3 reflejos. Corolarios.
Exploración de cada tipo de isometrías en las 2 esferas. El grupo de rotaciones.
Lectura de libros de texto (19 de febrero): Secciones 3.1 y 3.2.

Definición de triángulos en las 2 esferas. Polígonos en las 2 esferas.
Problema 1: Suma de ángulos interiores para triángulos en el plano 2.
Problema 2: Suma de ángulos interiores para triángulos en la 2-esfera.
Problema 3: Suma de ángulos interiores para n-gones en el 2-plano y la 2-esfera.
Lectura de libros de texto (21 de febrero): Secciones 3.8.

Triángulos en las 2 esferas. Ángulos interiores en las 2 esferas y su suma.
Exceso de un triángulo esférico. Ejemplos de triángulos y sumas de ángulos interiores.
Prueba del teorema de Harriot: la suma de los ángulos interiores en triángulos esféricos es Pi más el área.
Introducción a la proyección estereográfica: definición y primeras construcciones.
Lectura de libros de texto (24 de febrero): Secciones 3.8 y Sección 3.3.

Definición de la proyección estereográfica del polo norte. Primeros ejemplos de imágenes de puntos.
Fórmula para la proyección estereográfica y su inversa. Propiedades de la proyección estereográfica.
Prueba de que la proyección estereográfica no es una isometría. Imágenes de hemisferios inferior y superior.
Lectura de libros de texto (26 de febrero): Sección 3.3.

Problema 1: Cuente el número de regiones en el complemento de n líneas genéricas en el plano 2.
Problema 2: Cuente el número de regiones en el complemento de n líneas genéricas en la 2-esfera.
Problema 3 (a): demuestre que la característica de Euler de una gráfica plana conectada es uno.
Problema 3 (b): demuestre que la característica de Euler de una gráfica esférica conectada es dos.
Problema 4: Demuestre que solo hay cinco sólidos platónicos y clasifíquelos.
Problema 5: Demuestre que un juego de coles de Bruselas siempre termina en ocho rondas.
Lectura de libros de texto (28 de febrero): Secciones 3.1 y 3.2.

Las tres geometrías: euclidiana, esférica e hiperbólica. Similitudes y diferencias.
Los cuatro axiomas de Euclides y el quinto axioma paralelo. La resolución de Bolyai-Lobachevski-Gauss.
Geometría hiperbólica a través de ejemplos en la vida real y la ciencia. Superficies de silla de montar.
Pizza, Pringles, Alas de mariposa, Patada de camarones Mantis (ver también este artículo).
Lectura de libros de texto (2 de marzo): Sección 4.1.

M.C. El pez hiperbólico y el arte hiperbólico de Escher: todos los peces tienen el mismo tamaño.
Las dos preguntas principales: Calcular distancias hiperbólicas y longitudes hiperbólicas.
La distancia hiperbólica: definición y fórmula principal. Ejemplos y cálculos.
Definición de longitud hiperbólica y su fórmula. Ejemplo final y relación con la longitud.

Lectura de libros de texto (4 de marzo): Secciones 4.2 y 4.3.

La pregunta principal: ¿Qué son las líneas en el semiplano superior hiperbólico?
Primer teorema: las líneas verticales euclidianas son líneas hiperbólicas. Prueba y ejemplos.
Segundo teorema: Los semicírculos centrados en el eje x son líneas hiperbólicas. Isometrías y prueba.
Los primeros cuatro axiomas de Euclides se mantienen en geometría hiperbólica. Fallo del axioma paralelo.

Lectura de libros de texto (6 de marzo): Sección 4.2.
Fuentes adicionales: Serie Caroline sobre geometría hiperbólica (las fórmulas de la página 22 son útiles).

Lectura de libros de texto (25 de septiembre): Secciones 1.1 y 1.3. También se recomienda la sección 1.2.

Problema estándar en ecuaciones diferenciales: encontrar soluciones.
Variaciones: problemas de valor inicial y comportamiento a largo plazo.
El método de integración de factores. Ejemplos.
Lectura de libros de texto (27 de septiembre): Sección 2.1.
Práctica sugerida: Parte (c) de los problemas 1-8 y problemas 9-12 de la sección 2.1.
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1.2: La geometría del grupo de rotación tridimensional. El teorema de Rodrigues-Hamilton - Matemáticas

Universidad de Debrecen - Instituto de Matemáticas

Geometría 2 para estudiantes de Matemáticas, BSc

Instructor: L szl Kozma, profesor asociado

Martes 16-18, salón M317 y viernes 12-14, salón M204 en el edificio de matemáticas

Programa oficial:
Geometría afín: el espacio vectorial tridimensional de vectores libres. Transformaciones afines, dilataciones, teorema del punto fijo. Proporción simple. Teorema de Menelaos y Ceva. El modelo analítico de espacios euclidianos y afines. Transformaciones lineales, el grupo lineal general. Descripción analítica de transformaciones afines, teorema fundamental de las transformaciones afines. Productos escalares, vectoriales y triples de vectores. Interpretación geométrica y fórmulas computacionales. Espacio vectorial euclidiano n-dimensional. Desripción analítica de reflejos, representación de congruencias por composición de reflejos. El grupo ortogonal, especialmente los de espacios bidimensionales y tridimensionales. Representación paramétrica y ecuaciones implícitas de líneas y planos. Curvas y superficies de segundo orden. Elementos de geometría convexa: conjunto convexo, casco convexo, teorema de Caratheodory. Lema del radón y teorema de Helly. Polígonos convexos y poliedros. Teoremas de Euler y Descartes, poliedros convexos regulares.

Semana 1
Productos vectoriales y triples de vectores. Orientación y producto vectorial. Propiedad antisimétrica del producto vetor. Bases ortonormales para diestros. Fórmulas computacionales de producto vectorial. Producto triple escalar y su cálculo. Propiedades del producto triple, cambio por transformación lineal. Vector triple producto y su cálculo. Geometrización de vector y producto triple.

Semana 2
Ecuaciones vectoriales de líneas y planos. Representación paramétrica y ecuaciones implícitas de líneas y planos. Vector normal a un plano. Orientación de un avión. Intersección de planos.

Semana 3
Resumen de isometrías bidimensionales. Isometrías en el espacio: traslación, reflexión, rotación en el espacio. Representación matricial de rotaciones. Isometrías directas con punto fijo. Isometrías realizadas de forma continua.

Ejercicios recomendados: (de [1)] página 188: 1, 2, 3, 4 página 189: 5, 6, 8, 11.

Semana 4
Curvas y sus tangentes.

Semana 5
La elipse, hipérbola y parábola.

Semana 6
Intersección de líneas y cónicas.

Ejercicios recomendados: página 165: 4, 5, 6, 7.

Semana 7
Superficies cuádricas, ejemplos.

Semana 8
Forma canónica de cuadrículas, diagonalización.

Semana 9
Intersección de un cuadrático con una línea o un plano.

Ejercicios recomendados: página 239: 1, 2, 3 página 240: 9.

Semana 10
Elementos de geometría convexa: conjunto convexo, casco convexo, teorema de Caratheodory.

Semana 11
Lema del radón y teorema de Helly.

Semana 12
Polígonos convexos y poliedros. Teoremas de Euler y Descartes, poliedros convexos regulares.

Lecturas obligatorias / recomendadas:
[1] John Roe: geometría elemental, Oxford University Press, 1993.
Descárguelo aquí para las semanas 1-3
Descárguelo aquí para las semanas 4-6
Descárguelo aquí para las semanas 7-9
[2] Vincze Csaba: Geometría convexa, Universidad de Debrecen, 2013, T MOP-4.1.2.A / 1-11 / 1-2011-0025. Descárguelo aquí para las semanas 10-12


Conjunto de posibles rotaciones de un objeto 3D y el historial de rotaciones

Considere la situación más simple de rotaciones en el plano donde el grupo de rotación es (parte de) ## SO (2) ## que tiene ## 2 (2-1) / 2 = 1 ## grados de libertad, es decir, un parámetro ( mientras que ## SO (3) ## tiene ## 3 (3-1) / 2 = 3 ## parámetros). El espacio de parámetros es la línea ## [0,2 pi] ##. Una ruta continua en el espacio de parámetros es solo un parámetro ## theta ## moviéndose a lo largo del intervalo ## [0,2 pi] ##, p. Ej. si gira alrededor de un círculo, la ruta en el espacio de parámetros es solo el ángulo ## theta ## moviéndose desde ## 0 ## a un montón de otros ángulos.

Con respecto al & quot; espacio de rotación & quot; y & quot; espacio de orientación & quot ;, no estoy seguro de que estas cosas tengan sentido y nuevamente parece que está pensando en cuerpos rígidos donde uno fija la posición del centro de masa y luego la orientación del cuerpo rígido sobre ese centro de masa.

Para continuar con este ejemplo, el bucle que conecta ## 0 ## con ## 2π ## es un círculo y no se puede reducir a un punto sin romper el círculo,

A diferencia del caso de ## SO (3) ##, ningún múltiplo de este bucle es contractible. En ## SO (3) ## el doble de cualquier bucle es contractible (& quot nulo homotópico & quot).

Estaba tratando de usar la terminología incorrecta y estaba confundido, pero un poco menos ahora, creo, y estaba pensando en un objeto físico con un punto fijo.

Digamos que tenemos dos sistemas de coordenadas rectangulares diestros que coinciden. Ahora digamos que rotamos uno de los sistemas de coordenadas en alguna mansión complicada manteniendo fijo el otro sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas rotado tiene una nueva orientación, en relación con el sistema de coordenadas fijo, que se puede representar como un punto, p, de nuestra bola 3 y la rotación & quothistory & quot del sistema de coordenadas rotado se representa como una ruta en nuestro 3- bola que comienza en el origen y termina en el punto p. Lo que llamé el historial de rotación es solo el historial de orientación. A partir del artículo de Wiki sobre orientación, parece que hay más de una forma de describir la orientación, como la matriz de vectores unitarios que Lavinia enumeró anteriormente.

Ahora estoy en una mejor posición en lo que respecta a las rotaciones. Gracias.

Desde el punto de vista topológico, la representación es precisa. El mapa de la bola 3 con puntos antípodas en la esfera límite identificada en el grupo de rotación es un homeomorfismo.

Estaba tratando de usar la terminología incorrecta y estaba confundido, pero un poco menos ahora, creo, y estaba pensando en un objeto físico con un punto fijo.

Digamos que tenemos dos sistemas de coordenadas rectangulares diestros que coinciden. Ahora digamos que rotamos uno de los sistemas de coordenadas en alguna mansión complicada manteniendo fijo el otro sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas rotado tiene una nueva orientación, en relación con el sistema de coordenadas fijo, que se puede representar como un punto, p, de nuestra bola 3 y la rotación & quothistory & quot del sistema de coordenadas rotado se representa como una ruta en nuestro 3- bola que comienza en el origen y termina en el punto p. Lo que llamé el historial de rotación es solo el historial de orientación. A partir del artículo de Wiki sobre orientación, parece que hay más de una forma de describir la orientación, como la matriz de vectores unitarios que Lavinia enumeró anteriormente.

Ahora estoy en un mejor lugar en lo que respecta a las rotaciones. Gracias.

Tal vez esto ayude: uno puede tomar la perspectiva de que las rotaciones son & quotactivas & quot o & quot pasivas & quot; una vista es que son vectores rotativos en un sistema de coordenadas fijo, la otra vista gira el sistema de coordenadas dejando el vector fijo.

El 'historial de rotación' activo de la rotación de algún vector es básicamente la ruta que la punta del vector se enrosca a medida que se gira, o más bien la imagen inversa de esto (es decir, en el 'espacio de parámetros'), mientras que el 'historial de rotación' pasivo es el la misma ruta en el espacio de parámetros, pero esta vez la imagen de la ruta en el espacio de parámetros no es un vector enhebrando una ruta, es el sistema de coordenadas girando.

Pero el vector no registra rotaciones sobre su eje, así que, ¿podemos adjuntar una bandera ridgid al final del vector? Con la bandera podemos registrar y anotar rotaciones sobre la longitud del vector. Entonces comienza a verse como un espinor, mi desconocido favorito.

Pero el vector no registra rotaciones sobre su eje, así que, ¿podemos adjuntar una bandera ridgid al final del vector? Con la bandera podemos registrar y anotar rotaciones sobre la longitud del vector. Entonces comienza a verse como un espinor, mi desconocido favorito.

Derecha. El movimiento de un solo vector no determina una rotación. Simplemente describe un camino en una esfera centrada en el origen.
Una rotación se describe mediante un movimiento rígido de una estructura ortonormal.

Una rotación de coordenadas es una rotación de marcos base del sistema de coordenadas.

No veo qué tiene que ver esto con los espinores, ¿me lo puedes explicar?

Creo que leí que los espinores no viven en nuestro espacio tridimensional, pero se pueden representar en nuestro espacio tridimensional mediante un asta y una bandera (vector y bandera) más un signo,

pero el asta y la bandera son matemáticamente iguales a un sistema de coordenadas rectangular, ¿necesitamos una dirección y un ángulo para determinar sus orientaciones en relación con algún sistema de coordenadas fijo como el anterior?

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Pero el vector no registra rotaciones sobre su eje, así que, ¿podemos adjuntar una bandera ridgid al final del vector? Con la bandera podemos registrar y anotar rotaciones sobre la longitud del vector. Entonces comienza a verse como un espinor, mi desconocido favorito.

Se supone que la bandera está unida rígidamente al asta de la bandera. Entonces, si giramos el vector sobre el eje del vector, la bandera también girará. Pero la bandera y el asta de la bandera no transmiten más información que un marco de coordenadas para diestros, por lo que no estoy seguro de por qué se usa (editar, el espinor & quot; asta de bandera & quot puede tener una longitud, un poco de información adicional que el marco de coordenadas no tiene)

Por lo poco que entiendo, la bandera es una parte necesaria de la representación. Ver,

Archivos adjuntos

Se supone que la bandera está unida rígidamente al asta de la bandera. Entonces, si giramos el vector sobre el eje del vector, la bandera también girará. Pero la bandera y el asta de la bandera no transmiten más información que un marco de coordenadas para diestros, por lo que no estoy seguro de por qué se usa (editar, el espinor & quot; asta de bandera & quot puede tener una longitud, un poco de información adicional que el marco de coordenadas no tiene).

Por lo poco que entiendo, la bandera es una parte necesaria de la representación. Ver,

La idea es utilizada por varios autores, los que aún están vivos podrían defender mejor su uso, no yo. Creo que todos mencionan la necesidad de otro dato, el signo. Gracias.

Archivos adjuntos

Si la bandera no va a ser completamente superflua, al menos debería capturar que una rotación ## 2 pi ## trae el signo menos, sin embargo (página 6):

& quotLa duplicación del ángulo conduce a la característica curiosa de que cuando ## theta = 2 pi ## (una sola rotación completa) las matrices de rotación de espín dan todas ## - I ##. No es que el asta de la bandera invierte la dirección, no lo hace, ni tampoco la bandera, sino que el spinor toma un signo general que no tiene una representación lista en la imagen del asta de la bandera.

Mi lectura de MTW (página 1157 en adelante de su último artículo) es nuevamente que no le dan espinores a partir de esta idea de banderas, intentan describir la noción ya establecida de espinores usando banderas, y antes (muy mal) motivar espinores por argumentos que ascienden a los argumentos del PDF del OP.

Muy bien, entonces, al basurero de la ciencia con el asta y la bandera. Ojalá hubiera algo tan intuitivo para reemplazarlo.

Me sorprendería si uno pudiera ser más intuitivo que las notas del OP para estas cosas

Esta perspectiva de los espinores desde el punto de vista de la conectividad de los grupos de Lie es muy importante para comprender por qué existen espinores (de dimensión finita) para el subgrupo SO (n) de GL (n) pero no para GL (n) en sí.

Una buena y simple prueba de esto sería bienvenida (sugerencia para los lectores)

Pensé que sería útil profundizar en la parametrización de ## SO (3) ## dada en la publicación # 1. Esta es la bola tridimensional ## B ^ 3 ## con puntos antípodas en su límite identificados.

Topológicamente ## B ^ 3 ## módulo estas identificaciones son homeomorfas al espacio proyectivo real 3 ## RP ^ 3 ##. El libro muestra que ## SO (3) ## visto como un espacio topológico es homeomórfico a ## RP ^ 3 ##.

En topología, el espacio proyectivo dimensional real ## n ## ## RP ^## es el espacio del cociente de la esfera de unidad dimensional ## n ## en ## R ^## con sus puntos antípodas identificados. Los puntos antípodas vienen en pares y son las intersecciones de las líneas a través del origen con la esfera unitaria ## n ##. Pueden considerarse polos geográficos opuestos.


El mapeo del cociente ## S ^→ RP ^## que identifica los puntos antípodas es 2 a 1, es continuo y cualquier bola lo suficientemente pequeña en ## S ^## - una bola que no contiene puntos antípodas, p. ej. un casquete polar: se asigna homomórficamente en una pequeña bola en ## RP ^##. Esto se deriva de la definición de la topología del cociente y muestra que ## RP ^## es una variedad dimensional cerrada ## n ## y que ## S ^## es un espacio de cobertura de 2 pliegues.


Considere ahora el hemisferio norte de ## S ^## junto con el ecuador, que es la ## n-1 ## esfera dimensional ## S ^##. Este espacio es una bola topológica dimensional ## n ## como se puede ver proyectándola verticalmente sobre el plano dimensional ## n ## que contiene el ecuador. Bajo el mapa de cocientes ## S ^→ RP ^## puntos antípodas en la esfera ecuatorial ## n-1 ## se identifican y en el hemisferio norte propiamente dicho, cada punto se asigna a un punto único. Cada punto en ## RP ^## está representado por un punto único en el hemisferio norte o por un par de puntos antípodas en el ecuador. En el caso de ## S ^ 3 ##, el hemisferio norte es una bola tridimensional. Así que su imagen en ## RP ^ 3 ## es una bola tridimensional con puntos antípodas en su límite identificado con 2 esferas. Esta es exactamente la misma descripción topológica y en la publicación # 1 y muestra por qué ## SO (3) ## es topológicamente igual que el espacio proyectivo real ## RP ^ 3 ##. Entonces ## SO (3) ## es más que un grupo de matrices. Es una variedad tridimensional cerrada.

La única diferencia entre esta descripción y la descripción en la publicación # 1 es la interpretación de los parámetros. En lugar de ejes de rotación, uno tiene direcciones a lo largo de grandes círculos que emanan del polo norte. Instead of an angle of rotation, one has the distance from the north pole. The angle ##θ## lies between ##0## and ##π/2## rather than between ##0## and ##π##. Points along the equator all have an angle of ##π/2##. The curve illustrated in post #1, the straight line through the center of the ball with end points on the boundary, corresponds now to a half great circle through the north pole. Its end points are antipodal so it projects to a closed loop ##γ## in projective space.

Closed loops in projective space

As was shown in post #40 projective space ##RP^## is the quotient of the ##n##-sphere ##S^## with antipodal points identified. A loop in ##RP^## lifts to two antipodal paths on the sphere and beginning and ending points on one path are antipodal to beginning and end points on the other. If the paths are also closed loops the lift is two antipodal closed loops on the sphere. If the paths are not loops then the end points of each are antipodal. In this second case, the two paths fit together to make a single loop.

So every closed loop in projective space is covered twice by its preimage on the sphere. The preimage is either two antipodal loops or two antipodal paths that join together at their antipodal ends to form a single loop. In this second case, the closed loop does not project back onto the original loop but instead projects to its double, the loop that wraps around it twice. This is because each piece wraps around it once.

Each of these loops is contractible - in fact every closed loop on a sphere of dimension greater than 1 is contractible. - and any contraction projects to a contraction in projective space. A contraction of either of the antipodal closed loops projects back to a contraction of the original loop that they come from, while a contraction of the. spliced together loop projects to a contraction of the double of the original loop.

So every closed loop in a projective space of dimension greater than one is either contractible or its double is contractible. The double of the diameter line in post #1 is contractible but since it is not closed in the 3 ball, it may not be contractible by itself.

The idea of the proof that every closed loop on the sphere is contractible.

If a closed loop on the sphere misses at least one point, then it can be contracted along great circles through one of the missing points. If the loop is space filling, then it can be first continuously deformed into a loop that is not, then contracted. Proving that a space filling loop can be deformed to a non-space filling loop requires a little work and is the only hard part of the proof.

- A space filling curve is a continuous path that completely covers a region of space. Every point in the region - for instance of a square or of a cube. - is crossed by the path. Such paths can be shown to exist as the uniform limits of certain sequences of continuous paths.

- The formal definition of a contraction of a loop

One imagines a contraction of a loop as a stretched rubber band that shrinks as it releases tension. At each point in time, the band forms a smaller loop until finally it has zero tension. Formally this is a continuous 1 parameter family of loops and may be described as a continuous map from ##H:S^1×[0,1]→X## from a circle Cartesian product an interval into a topological space ##X## which at time zero is the starting loop and at time one is the constant loop. The map ##H## is called a homotopy and is similar to a variation except that it is only required to be continuous rather than smoothly differentiable and end points are allowed to wander. The idea of a homotopy is not restricted to ##S^1## and makes sense for any topological space.


June 29, 2011

Hadwiger’s Theorem, Part 1

Posted by Tom Leinster

Hugo Hadwiger was a Swiss mathematician active in the middle part of the 20th century. An old-fashioned encyclopaedia might follow his name with something like “(fl. 1930�)”. Here “fl.” means 𠇏lourished”. I love that usage. (Are you flourishing right now?) Here’s a photo of Hadwiger, flourishing:

Hadwiger proved𠅊mong other things𠅊 really fundamental theorem on the geometry of Euclidean space. Simon and I have both mentioned it on this blog before, but it’s so beautiful that it deserves its own space.

This is the first of a pair of posts. In this one, I’ll take my time explaining Hadwiger’s original theorem. In the next one, I’ll tell you something new.

Hadwiger’s theorem says something like this:

So there are three things I need to explain.

First, what’s a “measure of size”?

Second, what’s meant by “the following”? In other words, what measures of size on ℝ n mathbb^n are there?

Third, why are these the only ones? In other words, how do you prove Hadwiger’s theorem?

What’s a “measure of size”?

I’ll begin by pointing out the major limitation of Hadwiger’s theorem, and probably the reason why it’s not better known: it concerns only measures of the size of convex sets. People have tried to extend the result to more general classes of space: see for instance Simon’s post on the Weyl tube formula. Nevertheless, the class of convex sets is not to be sniffed at: it includes sets with highly irregular, non-smooth boundaries, for instance.

Moreover, Hadwiger’s theorem can easily be extended to cover polyconvex sets, that is, finite unions of convex sets. Any figure can be represented to arbitrarily high accuracy by a polyconvex set. For example, the text you’re reading now is a finite union of square or round pixels, and therefore polyconvex.

I’ll stick to the convex setting, though. And by 𠇌onvex set” I’ll always mean a compact convex subset of ℝ n mathbb^n . Here n n is a natural number that I’ll regard as fixed.

A “measure of size” will be a map

satisfying three properties.

So, the informal phrase “measure of size” really means 𠇌ontinuous invariant valuation on convex sets”.

Actually, I don’t think it’s obvious how surface area, or even perimeter, should be defined in the full generality of convex, not necessarily smooth, sets. We’ll see how later. But for the moment, it should be intuitively plausible that they’re examples of continuous invariant valuations.

The examples listed have something in common: they’re homogeneous. A valuation ϕ phi is homogeneous of degree i i if

It’s clear from the definitions that any real linear combination of continuous invariant valuations is again a continuous invariant valuation. Por ejemplo,

What measures of size are there?

Let’s try to guess the sequence

by working out the first few entries.

The sequence therefore begins

It’s tempting𠅊nd true. But that’s not obvious.

Our mission is to construct continuous invariant valuations

Why are these the only measures?

It’s time to state Hadwiger’s theorem formally:

What about the proof? Hadwiger’s own proof is said to have been extremely involved. Dan Klain simplified it enormously in the mid-1990s. His original paper is here, and you can find a nice account of it in the book Introduction to Geometric Probability by Klain and Gian-Carlo Rota. I gather that it was simplified further in a 2004 paper of Beifang Chen, but I haven’t seen that.

Next time:  What happens if you replace Euclidean space by another metric space?

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3. Hexagonal Lattice Case

3.1. Hh matrix elements using quaternion

The PTV for the hexagonal lattice (axial ratio c ∕ a = 8 ∕ 3 ) : E h (the suffix i is replaced by h indicating hexagonal) and its dual vectors, E h − 1 , are expressed in the standard coordinate system as follows 10 :

Therefore, based on (6)–(8), we have

3.2. Formula based on rationality of Hh matrix elements

The conditions for the elements of (9) to be rational are expressed by applying the concept of “extension of field”. First, the rationality of elements is examined, followed by an investigation of integrality (based on lattice points). Mathematically, the set of rational numbers forms the field, but one of the integers does not.

Based on Lemma B.5, a i = N i m i ( N i ∈ ℤ × , m i : square-free integer). Each element of H h can be expressed in this form. In addition, the rationality conditions are restricted. Lemmas B.8 and B.9 are also applied hereafter.

Each element of H i j is replaced by N i in Table 1, and examined as follows:

H 1 1 : We consider extension field ℚ ( 3 ), so that it is rational.

Since the square members are rational (integers), the remaining part must satisfy

Therefore, m 1 m 2 = 3 ⋅ p 1 2 2 , m 0 m 3 = 3 ⋅ p 0 3 2 , p i j , q i j , r i j , s i j ∈ ℤ ( m i is square-free, but m i m j may not be). Similar,

H 1 2 : m 1 m 2 = 3 ⋅ p 1 2 2 , m 0 m 3 = 3 ⋅ p 0 3 2

H 1 3 : m 1 m 3 = 6 ⋅ q 1 3 2 , m 0 m 2 = 6 ⋅ q 0 2 2 , m 2 m 3 = 2 ⋅ r 2 3 2 , m 0 m 1 = 2 ⋅ r 0 1 2 , since base 6 and 2 are linearly independent.

H 2 1 : m 1 m 2 , m 0 m 3 = 3 ⋅ p i j 2

H 2 2 : m 1 m 2 , m 0 m 3 = 3 ⋅ p i j 2

H 2 3 : m 2 m 3 = 2 ⋅ r 2 3 2 , m 0 m 1 = 2 ⋅ r 0 1 2

H 3 1 : m 1 m 3 , m 0 m 2 = 6 ⋅ q i j 2

H 3 2 : m 1 m 3 , m 0 m 2 = 6 ⋅ q i j 2 , m 2 m 3 = m 0 m 1 = 2 ⋅ r i j 2

H 3 3 : m i m i = ℚ ⋅ s i j 2 = 1 ⋅ s i j 2 .

Table 1. H i j , the elements of H h with a i replaced by N i .

That is, a i , which contends 2 , 3 , and 6 as adjoint elements, causes every H i j to be rational.

Furthermore, as m i is a square-free integer and the square roots of p 2 , q 2 , r 2 , and s 2 are integers, in the extension field: ℚ ( 2 , 3 ) ,

In addition, based on Lemmas B.2, B.12 and B.13, a 0 = N 0 , a 1 = 2 N 1 , a 2 = 6 N 2 , a 3 = 3 N 3 ,

In the case that N ≦ 5 0 , all the combinations of < ( N 0 , N 1 , N 2 , N 3 ) , N i ∈ ℕ + >are listed in Table 2. They were calculated by substituting numbers from 0 to [ N ], [ N ∕ 2 ], [ N ∕ 6 ], and [ N ∕ 3 ] for each N i based on (11).

Nota. Here, the brackets [ ] indicate Gauss’ symbol.

Table 2. All cases of CSL for hexagonal lattice.

This is the necessary and sufficient condition for all elements of H h to be rational numbers, as well as the necessary condition for them to be integers.

Similarly, this method can be applied for three cubic lattices, and the Σ -value N satisfies the formula N = a 0 2 + a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = N 0 2 + N 1 2 + N 2 2 + N 3 2 : ( N i ∈ ℕ + ) , and are odd numbers. 4

3.3. Integrality and irreducibility

Integrality refers to H h being a CSL point (necessary condition), and irreducibility means the condition for it to be an ERL (unit cell of expanded-rotated lattice), for which det [ H h ] = N 3 (sufficient condition). Consequently, the necessary and sufficient conditions for a quaternion for CSL formation are derived, and are specifically calculated below by applying Lemma B.10.

3.3.1. Examination of integrality

Because elements other than H 1 3 , H 2 3 , and H 3 2 are integers, these three elements are examined. Using the fact that the remainder by “3” and “2” is 0.

H 1 3 and H 2 3 contain 8/3 N 0 N 1 and 16/3 N 0 N 1 , respectively. As 3 is a prime number, it is acceptable as long as either N 0 or N 1 is a multiple of 3: N 0 ≡ 0 or N 1 ≡ 0 (mod 3), i.e., N 0 N 1 ≡ 0 (mod 3).

H 3 2 : if ( − N 1 N 3 + N 0 N 2 + 3 N 2 N 3 + N 0 N 1 ) ≡ 0 (mod 2), H 3 2 is an integer.

Therefore, if ( − N 1 + N 2 ) N 3 + ( + N 1 + N 2 ) N 0 ≡ − 2 N 2 N 3 ≡ 0 (mod 2), H 3 2 is an integer.

If the parity for combination ( N 1 , N 2 ) matches, ( − N 1 + N 2 ) and ( N 1 + N 2 ) are even for any N 0 and N 3 . Similarly, ( + N 0 − N 3 ) N 1 + ( + N 0 + N 3 ) N 2 ≡ − 2 N 2 N 3 ≡ 0 (mod 2), if the parity for combination ( N 0 , N 3 ) matches, ( − N 0 + N 3 ) and ( N 0 + N 3 ) are even for any N 1 and N 2 . Therefore, if the parity for either combination ( N 1 , N 2 ) or ( N 0 , N 3 ) matches, H 3 2 is an integer. In conclusion, the condition for integrality of H 3 2 is that

3.3.2. Examination of irreducibility

H 1 1 , H 2 2 , and H 3 3 : if ( N 0 2 ± 3 N 3 2 ) ≡ 0 (mod 2), they are even. It means that N 0 2 ≡ 3 N 3 2 (mod 2).

Therefore, their irreducibility by 2 matches the parity between N 0 and N 3 .

H 3 1 : if 3( N 1 N 3 − N 0 N 2 ) ≡ 0 (mod 2), then ( N 1 N 3 − N 0 N 2 ) ≡ 0 (mod 2) ∵ (2,3) = 1.

∴ If the parity of N 0 and N 3 matches, H 3 1 is even in the same manner as H 1 1 , H 2 2 , and H 3 3 , (A)

i.e., ( N 1 N 3 − N 0 N 2 ) = 2 n N 1 − 2 m N 2 = 2 ( n N 1 − m N 2 ) : for any N 1 and N 2 , n and m ∈ ℤ .

∴ If the parity of N 0 and N 3 does not match, H 3 1 is odd.

i.e., 2 n N 1 + N 1 − 2 m N 2 − N 2 = 2 ( n N 1 − m N 2 ) + N 1 − N 2 . Therefore, for H 3 1 ≡ 0 (mod 2), the parity of N 1 and N 2 matches.

H 1 3 and H 2 3 are even if they are integers.

H 3 2 : if ( − N 1 N 3 + N 0 N 2 + 3 N 2 N 3 + N 0 N 1 ) ≡ 0 (mod 4), H 3 2 is even.

∴ ( N 0 − N 3 ) ( N 1 + N 2 ) ≡ − 4 N 2 N 3 (mod 4), if H 3 2 is even.

Therefore, the condition of irreducibility by 2 is one in which (13) is omitted from (12).

Based on H 1 1 , H 2 2 , N 0 ≡ 0 (mod 3). Based on H 2 3 , N 2 N 3 ≡ 0 (mod 3) ∵ (3,16) = 1

Based on H 1 1 , N 1 ≡ 0 (mod 3)

Therefore, the cases of < ( N 0 ≡ 0 ) ∩ ( N 1 ≡ 0 ) ∩ ( N 2 N 3 ≡ 0 ) mod 3 ) >for irreducibility by 3 are omitted.

When three zeros exist:

In case of a 0 = 0 , rotational angle θ = 2 π and rotational axis: 〈 1 0 0 〉 .

When a 0 ≠ 0 , rotational angle θ = 0 and the rotational axis is arbitrary. That is, this is not rotation.

Nota. With Miller index in crystallography, the equivalent directions of crystal are shown as 〈 h k l 〉 and the specific direction is shown as [ h k l ]. 10

Irreducibility by other positive integers:

Irreducibility for 4 ( = 2 2 ) is included in the case for 2. Irreducibility for 6 ( = 2 ⋅ 3 ) is included in the cases for 2 and 3. For 5 and 7, irreducibility is evaluated by actually calculating each element to see if all can be divided by them, and these cases are a future work. Irreducibility for 8 ( = 2 3 ) is included in the case for 2. For larger prime numbers, evaluation is performed by actual calculation. However, in case of N ≦ 5 0 , the maximum N i is 8 since 8 2 = 6 4 .

The results of the above calculation are listed in Table 2 by applying the above-mentioned conditions. In this table, there are different combinations with the same Σ N and they are summarized in Table 3. It is necessary to verify whether these vary as CSL, or depend on the coordinate system (base), i.e., basis transformation (see Appendix C).

Table 3. Combinations of ( N 0 , N 1 , N 2 , N 3 ) containing symmetry of the hexagonal lattice (equivalent quaternions to the left).

For example, in case of N = 3 5 , the combinations are (0401), (0221), (0203), and (0113). These can be divided into two classes: (0401), (0221) and (0203), (0113). In the same class, they are transformed mutually by a basis transformation (Lemma B.11). However, between different classes, it cannot be transformed mutually by any basis transformation.

3.4. Calculation example

The Σ 7 case is calculated as an example, as follows.

For Σ 7, N 0 = 2 , N 1 = 0 , N 2 = 0 , N 3 = 1 : a 0 2 = 4 , a 1 2 = 0 , a 2 2 = 0 , a 3 2 = 3 , based on Table 2. Therefore, quaternion q = 2 + 3 k for the Σ 7 formation. Since there are plural CSL expressions (pairs of rotational angle and axis), a representative expression is derived. That is, the relation with the minimum angle is derived by basis transformation, considering the hexagonal lattice symmetry.

By means of symmetry calculation ∗ R i q R j of 1 2 × 1 2 = 1 4 4 by applying q = 2 + 3 k ( R i and R j according to Lemma B.11, the minimum rotational angle 21.79 ∘ is derived by

Because the orthogonal coordinate system is applied at this stage, it is converted to the index for the hexagonal lattice.

The change in expression for components according to the basis transformation corresponds to


4 respuestas 4

The distance from the center of the triangle (a.k.a. apothem) to the midpoint of one of its side is $h/3$, where $h$ is the height of the triangle. So the radius of the circle r is the distance from the center of the triangle to a vertex, and this distance is $2h/3$.

Finding the side of the triangle (L)

We know that the area of the triangle is $7sqrt<3>$, so we do:

$Area = frac<1><2>(base)(height) = frac<1><2>Lleft(frac><2> ight) = 7sqrt<3>$

Solving for L, we get $L = 2sqrt<7>$.

Finding the radius of the circle (r)

As you already calculated, we can use the pythagorean theorem to find the height of the triangle:


Ver el vídeo: Los postulados de Euclides (Septiembre 2021).