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2.3: Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden


Siempre que hay un proceso que investigar, un modelo matemático se convierte en una posibilidad. Dado que la mayoría de los procesos involucran algo que cambia, las derivadas entran en juego dando como resultado una ecuación diferencial. Investigaremos ejemplos de cómo las ecuaciones diferenciales pueden modelar tales procesos.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Contaminación

Un estanque contiene inicialmente 500,000 galones de agua no contaminada y tiene una salida que libera 10,000 galones de agua por día. Un arroyo fluye hacia el estanque a 12,000 galones por día que contiene agua con una concentración de 2 gramos por galón de un contaminante. Encuentre una ecuación diferencial que modele este proceso y determine cuál será la concentración de contaminante después de 10 días.

Solución

Dejemos que (x (t) ) sea la cantidad de contaminante en gramos en el estanque después de (t ) días.

Usamos una propiedad fundamental de las tarifas:

[Tasa total = Tasa de entrada - Tasa de salida. ]

Para encontrar la tasa que usamos

[ begin {align} dfrac { text {gramos}} { text {día}} & = dfrac { text {galones}} { text {día}} dfrac { text {gramos}} { text {galón}} & = dfrac {12,000} {1} dfrac {2} {1} & = 24,000 text {gramos por día} end {align} ]

Para calcular la tasa, primero notamos que, dado que inicialmente había 500,000 galones de agua en el lago y el nivel del agua está aumentando a una tasa de 2,000 galones por día, el número total de galones de agua en el lago después de (t ) días es

[galones = 500,000 + 2,000 t. ]

Las unidades de la tasa de salida son gramos por día. Nosotros escribimos

[ begin {align} dfrac {gramos} {día} = dfrac {galones} {día} dfrac {gramos} {galón} & = dfrac {10,000} {1} dfrac {x} {500,000 + 2,000 , t} & = dfrac {10x} {500 + 2t} text {gramos por día}. end {align} ]

Poniendo todo esto junto, obtenemos

[ dfrac {dx} {dt} = 24 000 - dfrac {10x} {500 + 2t}. ]

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden con

[p (t) = dfrac {10} {500 + 2t} ; ; ; text {y} ; ; ; g (t) = 24.000. ]

Tenemos

[ begin {align} large mu & = e ^ { int frac {10} {500 + 2t} dt} & = e ^ {5 , ln (500 + 2t)} & = (500 + 2t) ^ 5. end {align} ]

Multiplicar por el factor integrador y usar la regla del producto inverso da

[((500 + 2t) ^ 5x) '= 24 000 (500 + 2t) ^ 5. ]

Ahora integre ambos lados para obtener

[(500 + 2t) ^ 5x = 2000 (500 + 2t) ^ 6 + C ]

[ implica x = 2000 (500 + 2t) + dfrac {C} {(500 + 2t) ^ 5}. ]

Ahora usa la condición inicial para obtener

[x = 2000 (500) + dfrac {C} {(500) ^ 5} ]

[ implica C = -3.125 times 10 ^ {19}. ]

Ahora ingrese 10 para (t ) y calcule (x )

[ begin {align} x & = 2000 (500 + 2 (10)) + dfrac {-3.125 , text {x} , 10 ^ {19}} {(500 + 2 (10)) ^ 5} & = , 218,072 , text {gramos}. end {align} ]

A continuación se muestra un gráfico

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Tener suerte

Acabas de ganar la lotería. Pones tus $ 5,000,000 en ganancias en un fondo que tiene una tasa de rendimiento del 4%. Cada año usas $ 300,000. ¿Cuánto dinero tendrás dentro de veinte años?

Solución

Esto también es un

[Tasa total = Tasa de entrada - Tasa de salida ]

problema. Dejar

[x = text {el saldo después de $ t $ años.} ]

La tasa de salida es

[300,000]

y la tasa es

[0.04x. ]

Tenemos la ecuación diferencial

[ dfrac {dx} {dt} = 0.04x - 300,000. ]

Esto es lineal de primer orden y separable. Nos separamos e integramos para obtener

[ begin {align} int dfrac {dx} {0.04x - 300,000} & = int dt implica 25 , ln , (0.04 , x - 300,000) & = t + C_1 implica 0.04x - 300,000 & = C_2 e ^ { frac {t} {25}} implica x & = Ce ^ { frac {t} {25}} + 7,500,000. end {align} ]

Ahora use la condición inicial de que cuando (t = 0 ), (x = 5,000,000 )

[5.000.000 = C + 7.500.000. ]

Así que eso

[x = -2,500,000 , e ^ {t / 25} + 7,500,000. ]

Conectando 20 para (t ) da

[x = 1.936.148. ]

Te quedarán alrededor de $ 2 millones.


Método de Euler

El método numérico más simple para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es el método de Euler. Considere una ecuación diferencial de primer orden con una condición inicial:

El procedimiento para el método de Euler es el siguiente:

Construya la ecuación de la recta tangente a la función desconocida $ y (t) $ en $ t = t_0 $:

donde $ y '(t_0) = f (y_0, t_0) $ es la pendiente de $ y (t) $ en $ t = t_0 $.

Utilice la recta tangente para aproximar $ y (t) $ en un pequeño paso de tiempo $ t_1 = t_0 + h $: $ y_1 = y_0 + f (y_0, t_0) (t_1 - t_0) $ donde $ y_1 approx y (t_1 PS

Construya la recta tangente en el punto $ (t_1, y_1) $ y repita.

La fórmula del método de Euler define una secuencia recursiva:

$ y_ = y_n + f (y_n, t_n) (t_ - t_n) , y_0 = y (t_0) $

donde $ y_n approx y (t_n) $ para cada $ n $. Si elegimos valores $ t $ igualmente espaciados, la fórmula se convierte en

$ y_ = y_n + f (y_n, t_n) h , y_0 = y (t_0) , t_n = t_0 + nh $

con paso de tiempo $ h = t_ - t_n $.

Tenga en cuenta dos cosas muy importantes sobre el método de Euler y los métodos numéricos en general:

  • Un paso de tiempo más pequeño $ h $ reduce el error en la aproximación.
  • ¡Un paso de tiempo más pequeño $ h $ requiere más cálculos!

2.3: Soluciones oscilatorias de ecuaciones diferenciales

Las condiciones de frontera para la cadena mantenida en cero en ambos extremos argumentan que (u (x, t) ) colapsa a cero en los extremos de la cadena (Figura ( PageIndex <1> )).

Figura ( PageIndex <1> ): Ondas estacionarias en una cadena (tanto espacial como temporalmente). de Wikipedia.

Desafortunadamente, cuando (K & gt0 ), la solución general (Ecuación 2.2.7) da como resultado una suma de decrecimientos y crecimientos exponenciales que no pueden alcanzar las condiciones de contorno (excepto para la solución trivial) por lo tanto (K & lt0 ). Esto significa que debemos introducir números complejos debido a la ( sqrt) términos de la Ecuación 2.2.5. Entonces podemos reescribir (K ):

La solución general a las ecuaciones diferenciales de la forma de Ecuación ref <2.3.2> es

Verifique que la Ecuación ( ref <2.3.3> ) sea la forma general de las ecuaciones diferenciales de la forma de la Ecuación ( ref <2.3.2> ), que cuando se sustituye por la Ecuación ( ref <2.3. 1> ) dar

Expanda las exponenciales complejas en funciones trigonométricas mediante la fórmula de Euler ( (e ^ = cos theta + i sin theta ))

[X (x) = A left [ cos (px) + i sin (px) right] + B left [ cos (px) - i sin (px) right] nonumber ]

[X (x) = (A + B) cos (px) + i (A - B) sin (px) label <2.3.6> ]

Introducir nuevo complejo constantes (c_1 = A + B ) y (c_2 = i (A-B) ) de modo que la solución general en la Ecuación ( ref <2.3.6> ) se puede expresar como funciones oscilatorias

[X (x) = c_1 cos (px) + c_2 sin (px) label <2.3.7> ]

Ahora apliquemos las condiciones de contorno de la Ecuación 2.2.7 para determinar las constantes (c_1 ) y (c_2 ). Sustituyendo la primera condición de frontera ( (X (x = 0) = 0 )) en las soluciones generales de la Ecuación ( ref <2.3.7> ) da como resultado

[ empezar X (x = 0) = c_1 cos (0) + c_2 sin (0) & amp = 0 nonumber [4pt] c_1 + 0 & amp = 0 nonumber [4pt] c_1 & amp = 0 label < 2.3.8c> end]

y la sustitución de la segunda condición de contorno ( (X (x = L) = 0 )) en las soluciones generales de la Ecuación ( ref <2.3.7> ) da como resultado

[X (x = L) = c_1 cos (pL) + c_2 sin (pL) = 0 label <2.3.9> ]

ya sabemos que (c_1 = 0 ) a partir de la primera condición de frontera, por lo que la Ecuación ( ref <2.3.9> ) se simplifica a

Dadas las propiedades de los senos, la ecuación ( ref <2.3.9> ) se simplifica a

con (n = 0 ) es el solución trivial que ignoramos entonces (n = 1, 2, 3. ).

Sustituir las ecuaciones ( ref <2.3.12> ) y ( ref <2.3.8c> ) en la ecuación ( ref <2.3.7> ) da como resultado

[X (x) = c_2 sin left ( dfrac right) nonumber ]

[X (x) = c_2 sin left ( omega x right) nonumber ]

Un argumento similar se aplica a la otra mitad del Enfoque ( (T (t) )).

Dadas dos ondas viajeras: [ psi_1 = sin <(c_1 x + c_2 t)> textrm psi_2 = sin <(c_1 x-c_2 t)> nonumber ]

  1. Encuentra la longitud de onda y la velocidad de onda de ( psi_1 ) y ( psi_2 )
  2. Busque lo siguiente e identifique los nodos: [ psi_ + = psi_1 + psi_2 textrm psi_- = psi_1 - psi_2 nonumber ]

( psi_1 ) es una función sin. En cada entero (n pi ) donde (n = 0, pm 1, pm 2,. ), Una función sin será cero. Por lo tanto, ( psi_1 = 0 ) cuando (c_1 x + c_2 t = pi n ). Resolviendo para la x, ignorando soluciones triviales:

La velocidad de esta onda es:

De manera similar para ( psi_2 ). En cada entero (n pi ) donde (n = 0, pm 1, pm 2,. ), Una función sin será cero. Por lo tanto, ( psi_2 = 0 ) cuando (c_1 x - c_2 t = pi n ). Resolviendo para x, para ( psi_2 ):

La velocidad de esta onda es:

La longitud de onda de cada onda es el doble de la distancia entre dos nodos sucesivos. En otras palabras,

Busque ( psi_ + = psi_1 + psi_2 textrm psi_- = psi_1 - psi_2 ).

[ empezar psi_ + & amp = sin (c_1 x + c_2 t) + sin (c_1 x - c_2 t) [4pt] & amp = sin (c_1 x) cos (c_2 t) + cancelar < cos ( c_1 x) sin (c_1 t)> + sin (c_1 x) cos (c_2 t) - cancelar < cos (c_1 x) sin (c_1 t)> [4pt] & amp = 2 sin (c_1 x) cos (c_2 t) end]

Esto debería tener un nodo en cada (x = n pi / c_1 ) y

[ empezar psi_- & amp = sin (c_1 x + c_2 t) - sin (c_1 x - c_2 t) [4pt] & amp = cancelar < sin (c_1 x) cos (c_2 t)> + cos (c_1 x) sin (c_1 t) - cancelar < sin (c_1 x) cos (c_2 t)> + cos (c_1 x) sin (c_1 t) [4pt] & amp = 2 cos (c_1 x) sin (c_2 t) end]


Q = cantidad de sal en el tanque.

dQ / dt tiene unidades de masa / tiempo, ¿verdad?
Por lo tanto, el & quotrate in & quot y el & quotrate out & quot también deben tener estas mismas unidades.

Ahora, el agua pura ingresa al tanque a una velocidad de 12 l / min. Esa tasa en no contiene sal, por lo tanto, tasa en = 0.

La tasa de salida es complicada. La velocidad de salida de sal es la concentración de sal multiplicada por la velocidad de salida de la solución. Observe que tiene (kg / L) * (L / min), lo que da kg / min, exactamente las unidades. La concentración es la cantidad de sal (que es Q en todo momento) sobre el volumen de la solución (que inicialmente es de 2000 L, pero luego cambia de 6 L / min a 12 L / min).

Deberías verlo desde aquí.

No lo entiendo, ¿cómo lo contabilizo? La tarifa de entrada es agua pura, la tarifa de salida es la solución, no puedo mezclar esas dos tarifas, ¿verdad? No tendría sentido en cuanto a unidades.

¿Se pretende que este problema se reduzca a un negocio de tasa de entrada y salida o debería dejar de lado esa idea?

No lo entiendo, ¿cómo lo contabilizo? La tarifa de entrada es agua pura, la tarifa de salida es la solución, no puedo mezclar esas dos tarifas, ¿verdad? No tendría sentido en cuanto a unidades.

¿Se pretende que este problema se reduzca a un negocio de tasa de entrada y salida o debería dejar de lado esa idea?

Está claro que la tasa de sal que ingresa al tanque es 0, ¿correcto?

La velocidad de salida depende de la concentración y la velocidad de salida de la solución, ¿correcto?

La concentración depende de la cantidad de sal y la cantidad de solución.

¿Cuál es la cantidad de solución (también conocida como el volumen del tanque) en todo momento? Necesita esto para conocer la concentración en todo momento, t.

He aquí un comienzo.
dQ / dt = tasa de entrada de sal - tasa de salida de sal

Eso es por la sal. Ahora para el volumen, también conocido como cantidad de solución:
dV / dt = la solución de tasa entra - la solución de tasa sale.
Sabemos que la solución ingresa a 6L / min (esto es agua pura, pero aún afecta el volumen del tanque) y la solución sale a 12L / min (esta es una concentración, pero aún afecta el volumen del tanque.
Por lo tanto,
dV / dt = 6 - 12 = -6

Use eso (y una condición inicial dada) para encontrar una expresión para V en todo momento. ¿Dónde entra V en su dQ / dt diff eq?


Un primer curso en ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 11a edición

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Contenido

Debido a que la mayoría de las reacciones químicas que son importantes para la comprensión científica de nuestro mundo involucran mecanismos complejos, el desarrollo de modelos matemáticos de tales reacciones debe estar precedido por una cantidad sustancial de trabajo teórico y experimental en Química destinado a obtener una comprensión de los mecanismos. En este módulo, restringiremos nuestra atención al estudio de sencillo reacciones químicas. Las reacciones simples son reacciones que no involucran mecanismos complejos. El estudio de reacciones simples es un buen punto de partida para aprender algunas de las matemáticas que también pertenecen al estudio de reacciones más complejas.

1.1 Unidades de medida y notación

Dado que las moléculas son muy pequeñas, las cantidades de moléculas se miden en unidades de lunares. Un mol de moléculas es un El número de Avogadro de moléculas. El número de Avogadro es aproximadamente 6.022 y veces10 23. Por tanto, por ejemplo, dos moles es lo mismo que 1,2044 y veces 10 24 moléculas. Las concentraciones de moléculas en una solución se miden en unidades de molaridades (METRO). Una molaridad es un mol de soluto por litro de solución. Por ejemplo, una solución acuosa 2 M de cloruro de sodio (NaCl) es una solución que consta de dos moles de NaCl por cada litro de solución. La notación [A] denota la concentración (en molaridades) de una molécula A en solución. Por lo tanto, si escribimos [NaCl] = 2 M, queremos decir que tenemos una solución con una concentración de 2 M de cloruro de sodio.


Método alternativo 1: método de intervalo finito

Con años de experiencia, he aprendido que no todo el mundo puede configurar y resolver una ecuación diferencial. En lugar de resolver realmente la ecuación diferencial, podemos simplemente hacer una estimación fundamentada utilizando el método de intervalo finito que hemos discutido en detalle en el artículo anterior. Aquí está el resumen del procedimiento.

  1. Decide el intervalo de tiempo.
  2. Calcule la nueva concentración después de la adición de la nueva solución. Esta concentración debe ser igual a la concentración de la solución saliente. Asegúrese de que el volumen agregado sea consistente con el intervalo de tiempo utilizado, es decir, si la tasa volumétrica es de 5 L por minuto y el intervalo de tiempo es de 0.5 minutos, el volumen agregado por intervalo es (5) (0.5) = 2.5 L.
  3. Calcule la cantidad de sal que queda después de este intervalo.
  4. Repita los pasos 2 y 3 hasta lograr el tiempo o la cantidad deseados.

Tenga en cuenta que el método requiere mucho tiempo y esfuerzo, especialmente si solo está utilizando una calculadora científica. He creado una plantilla de hoja de cálculo de muestra para esta simulación en caso de que desee practicar (consulte el enlace a continuación).

Para el problema de muestra anterior, tenemos las siguientes entradas:

Para intervalos de un minuto, obtenemos (Q (10) = 10,97 ) y (Q (57,00) = 15 ). También vemos que (Q (t) ) se acerca a 30 cuando (t ) se acerca al infinito.

Personalmente, creo que este enfoque es el mejor cuando tiene dificultades para averiguar cómo configurar o cómo resolver el modelo DE. Siempre que comprenda el principio, es posible que pueda resolver (bueno, técnicamente hacer aproximaciones decentes) a los problemas de mezcla.


Soluciones para el Capítulo 2.3: Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden

Soluciones para el Capítulo 2.3: Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden

  • 2.3.1: Considere un tanque utilizado en ciertos experimentos hidrodinámicos. Después de un.
  • 2.3.2: Un tanque contiene inicialmente 120 L de agua pura. Una mezcla que contiene.
  • 2.3.3: Un tanque contiene 100 galones de agua y 50 oz de sal. Contención de agua.
  • 2.3.4: Suponga que un tanque que contiene cierto líquido tiene una salida cerca.
  • 2.3.5: Suponga que se invierte una suma S0 a una tasa de rendimiento anual r com.
  • 2.3.6: Un joven sin capital inicial invierte k dólares al año a.
  • 2.3.7: Cierto graduado universitario pide prestados $ 8000 para comprar un automóvil. El prestamista c.
  • 2.3.8: Un recién graduado universitario pide prestados $ 150 000 a una tasa de interés de 6.
  • 2.3.9: Una herramienta importante en la investigación arqueológica es la datación por radiocarbono.
  • 2.3.10: Suponga que una determinada población tiene una tasa de crecimiento que varía con el ingenio.
  • 2.3.11: Suponga que cierta población satisface el valor inicial probl.
  • 2.3.12: La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto cha.
  • 2.3.13: Transferencia de calor de un cuerpo a su entorno por radiación, basado en o.
  • 2.3.14: Considere una caja aislada (un edificio, quizás) con tempe interno.
  • 2.3.15: Considere un lago de volumen constante V que contiene en el tiempo t una cantidad.
  • 2.3.16: Una pelota con una masa de 0.15 kg se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20.
  • 2.3.17: Suponga que las condiciones son como en excepto que hay una fuerza d.
  • 2.3.18: Suponga que las condiciones son como en excepto que hay una fuerza d.
  • 2.3.19: Un cuerpo de masa constante m se proyecta verticalmente hacia arriba con un pulg.
  • 2.3.20: Un cuerpo de masa m se proyecta verticalmente hacia arriba con un vel inicial.
  • 2.3.21: Un cuerpo que cae en un fluido relativamente denso, aceite por ejemplo, es acto.
  • 2.3.22: Sean v (t) yw (t) las componentes horizontal y vertical, respectivamente.
  • 2.3.23: Un modelo más realista (que el de 22) de una pelota de béisbol en vuelo en.
  • 2.3.24: Problema de la braquistocrona. Uno de los famosos problemas de la historia.
Libro de texto: Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera
Edición: 11
Autor: Boyce, Diprima, Meade
ISBN: 9781119256007

El Capítulo 2.3: Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden incluye 24 soluciones completas paso a paso. Esta guía de supervivencia de libro de texto fue creada para el libro de texto: Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valor en la frontera, edición: 11. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valor en la frontera fue escrito por y está asociado con el ISBN: 9781119256007. Desde 24 problemas en el capítulo 2.3: Modelado con Se han respondido las ecuaciones diferenciales de primer orden, más de 23745 estudiantes han visto las soluciones completas paso a paso de este capítulo. Esta extensa guía de supervivencia de libros de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones.

Las n raíces son los valores propios de A.

Quite la fila i y la columna j, multiplique el determinante por (-I) i + j •

Debe tener n vectores propios independientes (en las columnas de S automático con n valores propios diferentes). Entonces S-I AS = A = matriz de valores propios.

A = S-1 AS. A = matriz de autovalores y S = matriz de autovectores de A. A debe tener n autovectores independientes para que S sea invertible. Todo Ak = SA k S-I.

A (B + C) = AB + AC. Agregue y luego multiplique, o mUltiply luego agregue.

Una secuencia de operaciones de fila que reduce A a una U triangular superior oa la forma reducida R = rref (A). Entonces A = LU con multiplicadores eO en L, o P A = L U con cambios de fila en P, o E A = R con una E invertible.

0,1,1,2,3,5,. satisfacer Fn = Fn-l + Fn- 2 = (A7 -A

) I () q -A2). La tasa de crecimiento Al = (1 + .J5) 12 es el valor propio más grande de la matriz de Fibonacci [> A].

Columnas sin pivotes: son combinaciones de columnas anteriores.

Conjunto de n nodos conectados por pares por m bordes. Un gráfico completo tiene todos los n (n - 1) / 2 bordes entre los nodos. Un árbol tiene solo n - 1 bordes y no tiene bucles cerrados.

El subespacio generado por b, Ab,. , Aj-Ib. Los métodos numéricos aproximan A -I b por x j con residual b - Ax j en este subespacio. Una buena base para K j requiere solo multiplicar por A en cada paso.

El vector x que minimiza el error es 112 resuelve AT Ax = ATb. Entonces e = b - Ax es ortogonal a todas las columnas de A.

El polinomio de menor grado con meA) = matriz cero. Esto es peA) = det (A - AI) si no se repiten valores propios, siempre meA) divide peA).

La matriz de n por m que "invierte" A del espacio de la columna de nuevo al espacio de la fila, con N (A +) = N (AT). A + A y AA + son las matrices de proyección sobre el espacio de filas y el espacio de columnas. Rango (A +) = rango (A).

= número de pivotes = dimensión del espacio de la columna = dimensión del espacio de la fila.

El vector unitario u se refleja en Qu = -u. Todas las x en el espejo plano uTx = o tienen Qx = x. Observe QT = Q-1 = Q.

Espacio de todos (v en V) + (w en W). Suma directa: V n W = a>.

Entradas AL = Ajj. AT es n por In, AT A es cuadrado, simétrico, semidefinido positivo. Las transposiciones de AB y A-I son BT AT y (AT) -I.


1 Introducción 1

1.1 Algunos campos de dirección de modelos matemáticos básicos 1

1.2 Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales 9

1.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales 16

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 24

2.1 Método de ecuaciones diferenciales lineales de factores integradores 24

2.2 Ecuaciones diferenciales separables 33

2.3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 39

2.4 Diferencias entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales 51

2.5 Ecuaciones diferenciales autónomas y dinámica de población 58

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integradores 70

2.7 Aproximaciones numéricas: Método de Euler & rsquos 76

2.8 Teorema de existencia y unicidad 83

2.9 Ecuaciones en diferencias de primer orden 91

3 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden 103

3.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes 103

3.2 Soluciones de ecuaciones lineales homogéneas el Wronskiano 110

3.3 Raíces complejas de la ecuación característica 120

3.4 Reducción repetida de raíces del orden 127

3.5 Método de ecuaciones no homogéneas de coeficientes indeterminados 133

3.6 Variación de parámetros 142

3.7 Vibraciones mecánicas y eléctricas 147

3.8 Vibraciones periódicas forzadas 159

4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 169

4.1 Teoría general de norte Ecuaciones diferenciales lineales de th orden 169

4.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes 174

4.3 El método de coeficientes indeterminados 181

4.4 El método de variación de parámetros 185

5 Soluciones en serie de ecuaciones lineales de segundo orden 189

5.1 Revisión de Power Series 189

5.2 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, Parte I 195

5.3 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, Parte II 205

5.4 Ecuaciones de Euler Puntos singulares regulares 211

5.5 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, Parte I 219

5.6 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, Parte II 224

6 La transformada de Laplace 241

6.1 Definición de la transformada de Laplace 241

6.2 Solución de problemas de valor inicial 248

6.4 Ecuaciones diferenciales con funciones de forzamiento discontinuas 264

6.6 La integral de convolución 275

7 Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 281

7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales Independencia lineal, autovalores, autovectores 295


Ver el vídeo: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Factor de integración Zill y 8 (Septiembre 2021).