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7.5.E: Problemas relacionados con las medidas previas y temas relacionados


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Complete los detalles que faltan en las pruebas, notas y ejemplos de esta sección.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Describe (m ^ {*} ) en (2 ^ {S} ) inducido por una premedida ( mu: mathcal {C} rightarrow E ^ {*} ) tal que cada uno de los siguientes se mantenga .
(a) ( mathcal {C} = {S, conjunto vacío }, mu S = 1 ).
(b) ( mathcal {C} = {S, emptyset, text {y todos los singleton} }; mu S = infty, mu {x } = 1 ).
(c) ( mathcal {C} ) como en (b), con (S ) incontable; ( mu S = 1, ) y ( mu X = 0 ) en caso contrario.
(d) ( mathcal {C} = { text {todos los subconjuntos propios de} S }; mu X = 1 ) cuando ( emptyset subset X subset S; mu emptyset = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Demuestre que las premedidas
[v ^ { prime}: mathcal {C} ^ { prime} rightarrow [0, infty] ]
inducir una y la misma medida exterior (Lebesgue) (m ^ {*} ) en (E ^ {n}, ) con (v ^ { prime} = v ) (volumen, como en §2 ):
(a) ( mathcal {C} ^ { prime} = { text {intervalos abiertos} } );
(b) ( mathcal {C} ^ { prime} = { text {intervalos semiabiertos} } );
(c) ( mathcal {C} ^ { prime} = { text {intervalos cerrados} } );
(d) ( mathcal {C} ^ { prime} = mathcal {C} _ { sigma} );
(e) ( mathcal {C} ^ { prime} = { text {conjuntos abiertos} } );
(f) ( mathcal {C} ^ { prime} = { text {cubos medio abiertos} } );
[Sugerencias: (a) Sea (m ^ { prime} ) la (v ^ { prime} ) - medida externa inducida; deje ( mathcal {C} = { text {todos los intervalos} }. ) Como ( mathcal {C} ^ { prime} subseteq mathcal {C}, m ^ { prime} A geq m ^ {*} A. ) (¿Por qué?) Además,
[( forall varepsilon> 0) left ( exist left {B_ {k} right } subseteq mathcal {C} right) quad A subseteq bigcup_ {k} B_ {k } text {y} sum v B_ {k} leq m ^ {*} A + varepsilon. ]
(¿Por qué?) Por el Lema 1 en §2,
[ left ( existe left {C_ {k} right } subseteq mathcal {C} ^ { prime} right) quad B_ {k} subseteq C_ {k} text {y } v B_ {k} + frac { varepsilon} {2 ^ {k}}> v ^ { prime} C_ {k}. ]
Deduzca que (m ^ {*} A geq m ^ { prime} A, m ^ {*} = m ^ { prime} ). De manera similar para (b) y (c). Para (d), use el Corolario 1 y la Nota 3 en §1. Para (e), use el Lema 2 en §2. Para (f), use el problema 2 en §2.]

Ejercicio ( PageIndex {3 '} )

Resuelva el problema 3 (a) - (c), con (m ^ {*} ) reemplazado por el contenido externo de Jordan (c ^ {*} ) (Nota 6).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Resuelva el problema 3, con (v ) y (m ^ {*} ) reemplazados por la medida previa LS y la medida exterior. (Utilice el problema 7 del § 4.)

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Demuestre que un conjunto (A subseteq E ^ {n} ) está acotado sif su contenido exterior de Jordan es finito.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre un conjunto (A subseteq E ^ {1} ) tal que
(i) su medida exterior de Lebesgue es (0 ) ( left (m ^ {*} A = 0 right), ) mientras que su contenido exterior de Jordan (c ^ {*} A = infty ) ;
(ii) (m ^ {*} A = 0, c ^ {*} A = 1 ) (ver Corolario 6 en §2).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dejar
[ mu_ {1}, mu_ {2}: mathcal {C} rightarrow [0, infty] ]
sean dos premedidas en (S ) y sean (m_ {1} ^ {*} ) y (m_ {2} ^ {*} ) las medidas externas inducidas por ellas.
Demuestre que si (m_ {1} ^ {*} = m_ {2} ^ {*} ) en ( mathcal {C}, ) entonces (m_ {1} ^ {*} = m_ {2 } ^ {*} ) en todo (2 ^ {S} ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Con la notación de la Definición 3 y la Nota 6, demuestre lo siguiente.
(i) Si (A subseteq B subseteq S ) y (m ^ {*} B = 0, ) entonces (m ^ {*} A = 0; ) de manera similar para (c ^ { *} ).
[Sugerencia: use la monotonicidad.]
(ii) La familia del set
[ left {X subseteq S | c ^ {*} A = 0 right } ]
es un anillo de conjunto hereditario, es decir, un anillo ( mathcal {R} ) tal que
[( forall B in mathcal {R}) ( forall A subseteq B) quad A in mathcal {R}. ]
(iii) La familia del set
[ left {X subseteq S | m ^ {*} X = 0 right } ]
es un anillo ( sigma ) hereditario.
(iv) También lo es
[ mathcal {H} = { text {aquellos} X subseteq S text {que tienen revestimientos básicos} }; ]
por tanto, ( mathcal {H} ) es el anillo hereditario ( sigma ) generado por ( mathcal {C} ) (véase el problema 14 en §3).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Continuando con el problema 8 (iv), demuestre que si ( mu ) es ( sigma ) - finito (Definición 4), también lo es (m ^ {*} ) cuando se restringe a ( mathcal {H }. )
Demuestre, además, que si ( mathcal {C} ) es un semiring, entonces cada (X in mathcal {H} ) tiene una cobertura básica ( left {Y_ {n} right }, ) con (m ^ {*} Y_ {n} < infty ) y con todos (Y_ {n} ) disjuntos.
[Sugerencia: demuestre que
[X subseteq bigcup_ {n = 1} ^ { infty} bigcup_ {k = 1} ^ { infty} B_ {n k} ]
para algunos conjuntos (B_ {n k} in mathcal {C}, ) con ( mu B_ {n k} < infty. ) Luego use la Nota 4 en §5 y el Corolario 1 de §1.]

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Demuestra que si
[s: mathcal {C} rightarrow E ^ {*} ]
es ( sigma ) - finito y aditivo en ( mathcal {C}, ) un semiring, luego el ( sigma ) - anillo ( mathcal {R} ) generado por ( mathcal {C} ) es igual al ( sigma ) - anillo ( mathcal {R} ^ { prime} ) generado por
[ mathcal {C} ^ { prime} = {X in mathcal {C} | | s X | < infty } ]
(cf. Problema 6 en §4).
[Sugerencia: por ( sigma ) - finitud,
[( forall X in mathcal {C}) left ( existe left {A_ {n} right } subseteq mathcal {C} | | s A_ {n} | < infty derecha) quad X subseteq bigcup_ {n} A_ {n}; ]
entonces
[X = bigcup_ {n} left (X cap A_ {n} right), quad X cap A_ {n} in mathcal {C} ^ { prime}. ]
(Use el Lema 3 en §4.)
Por tanto, (( forall X in mathcal {C}) X ) es una unión contable de ( mathcal {C} ^ { prime} ) - conjuntos; entonces ( mathcal {C} subseteq mathcal {R} ^ { prime}. ) Deduzca ( mathcal {R} subseteq mathcal {R} ^ { prime} ). Continuar.]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Con todo como en el Teorema 3, demuestre que si (A ) tiene revestimientos básicos, entonces
[ left ( existe B in mathcal {A} _ { delta} right) quad A subseteq B text {y} m ^ {*} A = m ^ {*} B. ]
[Sugerencia: mediante la fórmula (4),
[( forall n in N) left ( existe X_ {n} in mathcal {A} | A subseteq X_ {n} right) quad m ^ {*} A leq m X_ { n} leq m ^ {*} A + frac {1} {n}. ]
(¡Explícate!)
[B = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} X_ {n} in mathcal {A} _ { delta}. ]
Continuar. Para ( mathcal {A} _ { delta}, ) consulte la Definición 2 (b) en §3.]

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Sea ((S, mathcal {C}, mu) ) y (m ^ {*} ) como en la Definición 3. Demuestre que si ( mathcal {C} ) es un ( sigma ) - campo en (S, ) luego
[( forall A subseteq S) ( existe B in mathcal {C}) quad A subseteq B text {y} m ^ {*} A = mu B. ]
[Sugerencia: utilice el problema 11 y la nota 3.]

Ejercicio ( PageIndex {13} )

( Rightarrow ^ {*} ) Demuestre que si
[s: mathcal {C} rightarrow E ]
es ( sigma ) - finito y ( sigma ) - aditivo en ( mathcal {C}, ) un semiring, entonces (s ) tiene como máximo un ( sigma ) - aditivo extensión al ( sigma ) - anillo ( mathcal {R} ) generado por ( mathcal {C}. )
(Tenga en cuenta que (s ) es automáticamente ( sigma ) - finito si es finito, por ejemplo, complejo o con valor vectorial).
[Esquema: Let
[s ^ { prime}, s ^ ​​{ prime prime}: mathcal {R} rightarrow E ]
ser dos ( sigma ) - extensiones aditivas de (s. ) Por el problema 10, ( mathcal {R} ) también es generado por
[ mathcal {C} ^ { prime} = {X in mathcal {C} | | s X | < infty }. ]
Ahora establezca
[ mathcal {R} ^ {*} = left {X in mathcal {R} | s ^ { prime} X = s ^ { prime prime} X right }. ]
Demuestre que ( mathcal {R} ^ {*} ) satisface las propiedades (i) - (iii) del Teorema 3 en §3, con ( mathcal {C} ) reemplazado por ( mathcal {C} ^ { prime}; ) entonces ( mathcal {R} = mathcal {R} ^ {*} ).]

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Sea (m_ {n} ^ {*} (n = 1,2, ldots) ) medidas externas en (S ) tales que
[( forall X subseteq S) ( forall n) quad m_ {n} ^ {*} X leq m_ {n + 1} ^ {*} X. ]
Colocar
[ mu ^ {*} = lim _ {n rightarrow infty} m_ {n} ^ {*}. ]
Muestre que ( mu ^ {*} ) es una medida externa en (S ) (vea la Nota 5).

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Se dice que una medida exterior (m ^ {*} ) en un espacio métrico ((S, rho) ) tiene la propiedad Carathéodory (CP) iff
[m ^ {*} (X cup Y) geq m ^ {*} X + m ^ {*} Y ]
siempre que ( rho (X, Y)> 0, ) donde
[ rho (X, Y) = inf { rho (x, y) | x en X, y en Y }. ]
Para tal (m ^ {*}, ) demuestre que
[m ^ {*} left ( bigcup_ {k} X_ {k} right) = sum_ {k} m ^ {*} X_ {k} ]
si ( left {X_ {k} right } subseteq 2 ^ {S} ) y
[ rho left (X_ {i}, X_ {k} right)> 0 quad (i neq k). ]
[Sugerencia: para uniones finitas, use el CP, la subaditividad y la inducción. Deducir eso
[( forall n) sum_ {k = 1} ^ {n} m ^ {*} X_ {k} leq m ^ {*} bigcup_ {k = 1} ^ { infty} X_ {k} . ]
Deje (n rightarrow infty. ) Continuar.]

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Sea ((S, mathcal {C}, mu) ) y (m ^ {*} ) como en la Definición 3, con ( rho ) una métrica para (S. ) ( mu_ {n} ) sea la restricción de ( mu ) a la familia ( mathcal {C} _ {n} ) de todos (X in mathcal {C} ) de diámetro
[d X leq frac {1} {n}. ]
Sea (m_ {n} ^ {*} ) la ( mu_ {n} ) - medida exterior inducida en (S. )
Pruebalo
(i) ( left {m_ {n} ^ {*} right } uparrow ) como en el problema 14;
(ii) la medida exterior
[ mu ^ {*} = lim _ {n rightarrow infty} m_ {n} ^ {*} ]
tiene el CP (ver problema 15), y
[ mu ^ {*} geq m ^ {*} text {on} 2 ^ {S}. ]
[Esquema: Sea ( rho (X, Y)> varepsilon> 0 (X, Y subseteq S) ).
Si para algunos (n, X cup Y ) no tiene una cobertura básica de ( mathcal {C} _ {n}, ) entonces
[ mu ^ {*} (X cup Y) geq m_ {n} ^ {*} (X cup Y) = infty geq mu ^ {*} X + mu ^ {*} Y, ]
y sigue el CP. (¡Explicar!)
Asumir
[ left ( forall n> frac {1} { varepsilon} right) ( forall k) left ( existe B_ {nk} in mathcal {C} _ {n} right) quad X cup Y subseteq bigcup_ {k = 1} ^ { infty} B_ {nk}. ]
Uno puede elegir (B_ {n k} ) para que
[ sum_ {k = 1} ^ { infty} mu B_ {n k} leq m_ {n} ^ {*} (X cup Y) + varepsilon. ]
(¿Por qué?) Como
[d B_ {n k} leq frac {1} {n} < varepsilon, ]
algunos (B_ {n k} ) cubren (X ) solamente, otros (Y ) solamente. (¿Por qué?) Deducir eso
[ left ( forall n> frac {1} { varepsilon} right) quad m_ {n} ^ {*} X + m_ {n} ^ {*} Y leq sum_ {k = 1 } ^ { infty} mu_ {n} B_ {nk} leq m_ {n} ^ {*} (X cup Y) + varepsilon. ]
Deje ( varepsilon rightarrow 0 ) y luego (n rightarrow infty ).
Además, (m ^ {*} leq m_ {n} ^ {*} leq mu ^ {*}. ) (¿Por qué?)]

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Continuando con el problema 16, suponga que
(( forall varepsilon> 0) ( forall n, k) ( forall B in mathcal {C}) left ( existe B_ {nk} in mathcal {C} _ {n} derecho))
[B subseteq bigcup_ {k = 1} ^ { infty} B_ {nk} text {y} mu B + varepsilon geq sum_ {k = 1} ^ { infty} mu B_ {nk }. ]
Muestra esa
[m ^ {*} = lim _ {n rightarrow infty} mu_ {n} ^ {*} = mu ^ {*}, ]
entonces (m ^ {*} ) en sí mismo tiene el CP.
[Sugerencias: basta con demostrar que (m ^ {*} A geq mu ^ {*} A ) if (m ^ {*} A < infty. ) (¿Por qué?)
Ahora, dado que ( varepsilon> 0, A ) tiene una cubierta
[ left {B_ {i} right } subseteq c ]
tal que
[m ^ {*} A + varepsilon geq sum mu B_ {i}. ]
(¿Por qué?) Por suposición,
[( forall n) quad B_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ { infty} B_ {nk} ^ {i} in mathcal {C} _ {n} text {y } mu B_ {i} + frac { varepsilon} {2 ^ {i}} geq sum_ {k = 1} ^ { infty} mu B_ {nk} ^ {i}. ]
Deducir eso
[m ^ {*} A + varepsilon> sum mu B_ {i} geq sum_ {i = 1} ^ { infty} left ( sum_ {k = 1} ^ { infty} mu B_ {nk} ^ {i} - frac { varepsilon} {2 ^ {i}} right) = sum_ {i, k} mu B_ {nk} ^ {i} - varepsilon geq m_ { n} ^ {*} A- varepsilon. ]
Deje ( varepsilon rightarrow 0; ) luego (n rightarrow infty ).]

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Utilizando el problema 17, demuestre que las medidas externas de Lebesgue y Lebesgue-Stieltjes tienen el CP.


8 formas de proteger su vista

Proteger su vista es una de las cosas más importantes que puede hacer para ayudar a mantener su calidad de vida.

Las principales causas de ceguera y baja visión son las enfermedades relacionadas con la edad como la degeneración macular, las cataratas, la retinopatía diabética y el glaucoma.

A continuación, se ofrecen algunos consejos útiles que le ayudarán a evitar la pérdida de la visión a causa de estas enfermedades oculares relacionadas con la edad y otros problemas:


Análisis del sistema de energía

Mani Venkatasubramanian, Kevin Tomsovic, en The Electrical Engineering Handbook, 2005

Transformadores

Un transformador es un dispositivo que se utiliza para convertir los niveles de voltaje en un circuito de corriente alterna (CA). El dispositivo tiene numerosos usos en sistemas de energía. Para empezar, es más eficiente transmitir energía a altos voltajes y baja corriente que a bajos voltajes y alta corriente. Por el contrario, los voltajes más bajos son más seguros y económicos para el uso final. Por lo tanto, los transformadores se utilizan para aumentar los voltajes de los generadores y luego se utilizan para reducir el voltaje para el uso final. Otro amplio uso de los transformadores es la instrumentación: los equipos sensibles pueden aislarse de los altos voltajes y corrientes del sistema de transmisión. Los transformadores también se pueden utilizar como medio para controlar el flujo de potencia real mediante desplazamiento de fase.

Los transformadores funcionan mediante el enlace de flujo magnético a través de un núcleo de material ferromagnético. La figura 7.1 (A) ilustra un núcleo magnético con un solo devanado. Cuando se suministra una corriente I al primer conjunto de devanados, llamado bobinados primarios, un campo magnético, H, se desarrollará, y el flujo magnético, ϕ, fluirá en el núcleo. La ley de Ampère & # x27 relaciona la corriente encerrada con el campo magnético que se encuentra en un camino cerrado. Si H es constante a lo largo del camino, entonces:

FIGURA 7.1. (A) El flujo fluye a través del núcleo desde el primer devanado (B) El flujo está vinculado a un segundo conjunto de devanados.

dónde I es la longitud del camino a través del núcleo norte es el número de vueltas del devanado en el núcleo de modo que NI es la corriente encerrada por la ruta denominada fuerza magnetomotriz (mmf).

La campo magnético está relacionado con el flujo magnético por las propiedades del material, específicamente la permeabilidad. Si se supone una relación lineal (es decir, despreciando los efectos de histéresis y saturación), entonces la densidad de flujo, B, o el flujo, ϕ, es el siguiente:

donde A es el área de la sección transversal del núcleo. Esta relación entre el flujo de flujo en el núcleo y la mmf se llama reluctancia, R, del núcleo de modo que:

Ahora, si un segundo conjunto de devanados, los devanados secundarios, se envuelve alrededor del núcleo como se muestra en la Figura 7.1 (B), las dos corrientes estarán vinculadas por inducción magnética. Suponiendo que no fluye flujo fuera del núcleo, entonces los dos devanados verán exactamente el mismo flujo, ϕ. Debido a que los dos devanados también ven la misma reticencia del núcleo, los dos mmfs son idénticos:

Si el flujo ϕ o, de manera equivalente, la corriente I están cambiando con el tiempo, entonces, de acuerdo con la ley de Faraday & # x27, se inducirá un voltaje. Suponiendo que este transformador ideal no tiene pérdidas, la potencia de entrada será la misma que la potencia de salida, por lo que:

dónde V1 y V2 son los voltajes primario y secundario, respectivamente. Sustituir (7.4) y reorganizar muestra:

Por lo tanto, la ganancia de voltaje en un transformador ideal es simplemente la relación entre los devanados primario y secundario & # x27 vueltas. Un transformador práctico experimenta varios efectos no ideales. Específicamente, estos incluyen resistencia de devanado diferente de cero, permeabilidad finita del núcleo, corrientes parásitas que fluyen en el núcleo, histéresis (el efecto que surge de la energía requerida para reorientar los dipolos magnéticos a medida que cambia la polaridad magnética) y saturación magnética. Para estudios de estado estacionario del sistema grande, se desean modelos de circuito lineal. Estos efectos se modelan típicamente como una combinación de impedancias en serie y en paralelo de la siguiente manera:

Impedancias en serie: Debido a que el núcleo del transformador tiene una permeabilidad finita, parte del flujo magnético fluye fuera del núcleo. Este flujo de fuga no unirá los devanados primario y secundario. Por lo tanto, el voltaje en la entrada no solo ve el voltaje que une los devanados primario y secundario, sino también una caída de voltaje causada por esta inductancia de fuga. De manera similar, la resistencia finita del devanado hace que se observe una caída de voltaje adicional en los terminales.

Impedancias de derivación: La permeabilidad finita implica una reticencia del núcleo diferente de cero y requiere corriente para magnetizar el núcleo (es decir, una mmf diferente de cero). Esta diferencia entre los mmfs primarios y secundarios se puede modelar como una inductancia en derivación. La histéresis y las corrientes parásitas provocan pérdidas de energía en el núcleo que pueden modelarse aproximadamente con una resistencia en derivación. La saturación es un efecto no lineal importante que da como resultado pérdidas adicionales y la creación de armónicos de orden impar en las señales de corriente y voltaje. Debido a que en el análisis de sistemas de estado estacionario solo se considera el componente de 60 Hz de las corrientes y voltajes, los efectos de saturación generalmente se ignoran.

En la figura 7.2 se muestra un circuito equivalente para el modelo de transformador que se acaba de describir.

FIGURA 7.2. Modelo de circuito de transformador

La principal dificultad con el modelo de la figura 7.2, tal como está ahora, se refiere al componente ideal del transformador. Llevar este componente en los cálculos crea una complejidad innecesaria. Además, desde el punto de vista de la ingeniería, los voltajes y corrientes en el sistema se ven más fácilmente en relación con sus valores nominales. Por lo tanto, la mayoría de los análisis de sistemas se realizan en una normalización llamada sistema por unidad. En el sistema por unidad, se establece una base de potencia del sistema y se determinan los voltajes nominales en cada punto de la red. A continuación, todas las variables del sistema se dan en relación con este valor. Estas cantidades base para las corrientes se pueden encontrar como:

Esta normalización tiene la gran ventaja añadida de reducir la necesidad de representar el transformador ideal en el circuito. Uno simplemente debe realizar un seguimiento del voltaje base nominal en cada parte de la red. De esta manera, el modelo de transformador equivalente es el que se muestra en la Figura 7.3. Tenga en cuenta que el cambio de fase y las relaciones de transformador fuera del nominal dan como resultado circuitos asimétricos y requieren cierta manipulación adicional en el marco por unidad. Estos detalles se omiten aquí por brevedad.

FIGURA 7.3. Modelo de circuito de transformador simplificado bajo sistema por unidad


Usar la recta numérica para modelar la suma de números enteros



Ejemplos, soluciones, hojas de trabajo, videos y lecciones para ayudar a los estudiantes de 7. ° grado a aprender a usar la recta numérica para modelar la suma de números enteros.

Matemáticas Básicas Comunes del Estado de Nueva York Grado 7, Módulo 2, Lección 2

Resultados de los estudiantes de la lección 2

Los estudiantes modelan la suma de números enteros en la recta numérica usando flechas horizontales, por ejemplo, una flecha para es una flecha horizontal de longitud que apunta en la dirección negativa.

Los estudiantes reconocen que la longitud de una flecha en la recta numérica es el valor absoluto del número entero.

Los estudiantes agregan flechas (dándose cuenta de que agregar flechas es lo mismo que combinar números en el juego de números enteros). Dadas varias flechas, los estudiantes indican el número que representan las flechas (la suma).

En una recta numérica, las flechas se utilizan para representar números enteros que muestran la longitud y la dirección.

La longitud de una flecha en la recta numérica es el valor absoluto del número entero.

Agregar varias flechas es lo mismo que combinar números enteros en el juego de números enteros.

La suma de varias flechas es la posición final de la última flecha.

Ejercicio 1: Introducción a la suma de enteros en el mundo real

Responda las siguientes preguntas.

una. Suponga que recibió $ 10 de su abuela por su cumpleaños. Gastaste $ 4 en bocadillos. Usando la suma, ¿cómo escribirías una ecuación para representar esta situación?

B. ¿Cómo modelaría su ecuación en una recta numérica para mostrar su respuesta?

Ejemplo 1: Modelar la suma en la recta numérica

Complete los pasos para encontrar la suma de -2 + 3 llenando los espacios en blanco. Modele la ecuación usando flechas rectas llamadas vectores en la recta numérica de abajo.

una. Coloque la cola de la flecha en ___.
B. Dibuje la flecha 2 unidades a la izquierda de 0 y deténgase en ___. La dirección de la flecha es hacia ___ ya que está contando desde.
C. Inicie la siguiente flecha al final de la primera flecha o en ___.
D. Dibuja la segunda flecha ___ unidades a la derecha ya que estás contando desde -2.
mi. Detente en ___.

Ejemplo 2: Expresar el valor absoluto como la longitud de una flecha en la recta numérica real

una. ¿Cómo determina el valor absoluto la longitud de la flecha para -2?
B. ¿Cómo determina el valor absoluto la longitud de la flecha para 3?
C. ¿Cómo te ayuda el valor absoluto a representar -10 en una recta numérica?

Crea un modelo de recta numérica para representar cada una de las siguientes expresiones.

Ejemplo 3: encontrar sumas en un modelo de recta numérica real

Encuentra la suma de los números enteros representados en el siguiente diagrama. Escribe una ecuación para expresar la suma.

una. ¿Qué tres cartas están representadas en este modelo? ¿Como supiste?
B. ¿En qué se diferencia este modelo de los que usamos en la Lección 1?
C. ¿Puedes hacer una conexión entre la suma de y donde termina la tercera flecha en la recta numérica?
D. ¿Cambiaría la suma si cambiamos el orden en el que sumamos los números, por ejemplo, (-2) + 3 +5?
mi. ¿Cambiaría el diagrama? ¿Si es así, cómo?
Ejercicio 3
Juega el juego de los enteros con tu grupo. Utilice una recta numérica para practicar "contar".

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3-4. Papeles presentados para archivar

  1. (a) Requisitos de la primera página. La primera página de cada trabajo presentado para su archivo debe contener:
  1. (1) El nombre, dirección, número de teléfono, número de teléfono de fax ("fax"), dirección de correo electrónico y número de barra estatal del abogado (o, si es pro se, el nombre, dirección, número de teléfono, número de teléfono de fax y dirección de correo electrónico del partido) presentando el trabajo para su archivo. Esta información debe aparecer en la esquina superior izquierda y debe indicar la parte representada por su nombre, así como el estado de esa parte en el litigio (es decir, demandante, demandado, etc.). En acciones o procedimientos de varias partes, se puede hacer referencia a la página de firmas para obtener la lista completa de las partes representadas.

Referencia cruzada

Ver Civil L.R. 3-9 “Partes” Civil L. R. 3-11 & # 8220 No notificar el cambio de dirección”Y Civil L.R. 11-3 (d) "Apariciones y servicio en el co-abogado local.

    1. (2) Si no procede pro se y si procede pro hac vice de conformidad con Civil L.R. 11-3, siguiendo la información requerida en Civil L.R. 3-4 (a) (1) el nombre, la dirección, el teléfono y el número de la barra estatal del miembro de la barra de la corte que mantiene una oficina en el estado de California y
    2. (3) A partir de la octava línea de la página (excepto cuando se requiera espacio adicional para la identificación del abogado), debe aparecer:

    1. (A) El título de este Tribunal, incluida la división o ubicación correspondiente.
    2. (B) El título de la acción.
    3. (C) El número de caso de la acción seguido de las iniciales del Juez de Distrito o Juez Magistrado asignado y, si corresponde, las iniciales del Juez Magistrado a quien se refiere la acción para descubrimiento u otra actividad previa al juicio.
    4. (D) Un título que describe el artículo y
    5. (MI) Cualquier otro asunto requerido por Civil L.R. 3.
    1. (1) Papel. A excepción de las transcripciones de los reporteros, todos los documentos presentados para el archivo manual deben estar en papel blanco opaco de 8-1 / 2 pulgadas por 11 pulgadas de calidad de enlace original o reciclado con líneas numeradas, centrado en la parte superior, perforado con dos orificios, y deben ser planos, desplegado (excepto donde sea necesario para la presentación de exhibiciones), sin fondo ni tapa, y firmemente encuadernado en la parte superior.
    2. (2) Texto escrito. El texto debe aparecer en una sola cara y debe estar a doble espacio con no más de 28 líneas por página, excepto para la identificación del abogado, título del caso, notas a pie de página y citas. El texto mecanografiado no puede ser menor que la pica estándar o el tipo de letra de 12 puntos en la fuente Courier o equivalente, espaciado de 10 caracteres por pulgada horizontal. El texto impreso puede estar espaciado proporcionalmente, siempre que el tipo no sea menor que la fuente estándar de 12 puntos (por ejemplo, Times New Roman). El texto de las notas al pie y las citas también debe cumplir con estos requisitos de fuente.
    3. (3) Identificación de papel. A excepción de las pruebas, cada documento presentado ante el Tribunal debe llevar un pie de página en el margen inferior de cada página que indique el título del documento (p. Ej., "Demanda", "Petición del demandado para sentencia sumaria", etc.) o alguna información clara y concisa. abreviatura. Una vez que el Tribunal asigna un número de caso a la acción, ese número de caso debe incluirse en el pie de página.

    Comentario

    Cuando se presenta un caso por primera vez, el pie de página de cada página de la queja solo debe llevar el título del documento (por ejemplo, "Queja"), pero después de la asignación de un número de caso en la presentación, ese número debe incluirse en los pies de página de cualquier documentos preparados (por ejemplo, "Petición del demandado para un fallo sumario & # 8211 C-95-90345 ABC.")

      (d) Citación a las autoridades. A menos que el juez asignado indique lo contrario, la citación a las autoridades en cualquier documento debe incluir:

    1. (1) En cualquier cita a las leyes del Congreso, una cita paralela al Código de los Estados Unidos por título, sección y fecha
    2. (2) En cualquier cita a las regulaciones de los EE. UU., Una cita al Código de Regulaciones Federales por título y sección, y la fecha de promulgación de la regulación.
    3. (3) En cualquier citación a un caso de la Corte Suprema de los EE. UU., Se debe usar una cita a los Informes de los Estados Unidos, Lawyers ’Edition o Supreme Court Reporter. Si el caso aún no está disponible en ninguno de esos formatos, pero está disponible en bases de datos electrónicas, la cita debe indicar la base de datos, el año y cualquier pantalla o número de página, si está asignado.
    4. (4) En cualquier citación a otros tribunales federales, a menos que haya un servicio de informes alternativo ampliamente disponible, se debe utilizar una citación al Federal Reporter, Federal Supplement o Federal Rules Decisions. Si el caso aún no está disponible en esos formatos pero está disponible en bases de datos electrónicas, la cita debe indicar la base de datos, el año y cualquier pantalla o número de página, si está asignado y
    5. (5) En cualquier citación a un tribunal estatal, las citaciones deben incluir los informes oficiales o cualquier servicio de informes regional oficial (por ejemplo, West Publishing). Si el caso aún no está disponible en esos formatos pero está disponible en bases de datos electrónicas, la cita debe indicar la base de datos, el año y cualquier pantalla o número de página, si está asignado.

    Referencia cruzada

    Ver Civil L.R. 7-14 "Designación 'No apto para citación'". Consulte también la Regla 36-3 del Tribunal de Apelaciones del Noveno Circuito.


    Resultados

    Características de los participantes al inicio del estudio

    De las 847 (58%) familias elegibles que aceptaron participar, 802 cumplieron con los criterios de inclusión posparto. La Tabla 1 presenta las características de los participantes, lo que ilustra que la mayoría de las madres y los bebés eran europeos y el 48% de las madres estaban teniendo su primer bebé. Las madres participantes tenían una edad media de 32 años y estaban bien educadas, y el 65% había obtenido un título universitario. La mayoría de las puntuaciones de la EPDS estuvieron dentro del rango de "normal" para las madres43 y los padres.44 El flujo de participantes a lo largo del estudio se ha descrito en otra parte.38

    Características del lactante, la madre y la pareja

    Sueño de los padres al inicio del estudio

    Las madres informaron obtener aproximadamente 8,4 horas de sueño al inicio del estudio y las parejas 7,6 horas (tabla 2). Aproximadamente el 65% de las madres informaron que tardaron 30 minutos o más en conciliar el sueño (latencia prolongada del sueño) y el 58% de las parejas. Las autoevaluaciones de la cantidad y la calidad del sueño tanto para las madres como para la pareja se ubicaron en el rango medio de una escala de calificación de 1 a 8, donde las puntuaciones más altas reflejaron una mejor satisfacción con la cantidad y la calidad del sueño. La categorización de las calificaciones de satisfacción en cantidad o calidad de sueño deficiente versus buena (calificaciones ≤3 frente a & gt3) llevó a que el 29% y el 21% de las madres informaran de mala calidad y cantidad de sueño, respectivamente. Para las parejas, la cantidad y calidad de sueño deficiente se informó en un 14% y un 8%, respectivamente.

    Sueño de los padres al inicio del embarazo (tercer trimestre)

    Medidas de resultado

    Sueño infantil

    Los análisis de los datos del diario de sueño disponibles a los 6 meses de 507 lactantes (tabla 3) demuestran que no hubo efectos de intervención significativos relacionados con el número de despertares nocturnos informados por los padres, la duración del sueño de 24 horas o durante la noche, la duración más larga del sueño, la eficiencia del sueño o la duración del sueño. número de siestas durante el día. Los datos de actigrafía proporcionados de 498 bebés registraron significativamente menos episodios de vigilia nocturna y sueño diurno más prolongado para los bebés en los grupos que recibieron intervenciones de sueño (grupos de sueño y combinación) en comparación con los grupos que no recibieron la intervención de sueño (grupos de control y FAB). Sin embargo, el número de despertares nocturnos se redujo en un 8% y el aumento de la duración del sueño fue de solo aproximadamente 6 minutos. No se encontraron otros efectos de intervención significativos para las variables de actigrafía. La duración de la lactancia materna exclusiva (mediana de 13 a 17 semanas) no difirió entre los grupos (p ≥ 0,323) y, por lo tanto, no se consideró una covariable que pudiera influir en el despertar nocturno.

    Diario de sueño infantil y datos de actigrafía a los 6 meses de edad

    Sueño problemático

    No hubo efectos de la intervención en los informes de los padres de que el sueño de su bebé era problemático (tabla 4). En total, el 16,1% (4 meses) y el 19,9% (6 meses) de las madres informaron que el sueño de su bebé era un problema (clasificado entre 5 y 8 en una escala de 8 puntos). En las parejas (en su mayoría padres), la prevalencia fue del 11,7% (4 meses) y del 16,6% (6 meses). Curiosamente, hubo una falta de acuerdo entre las madres y las parejas sobre si el sueño de su bebé era o no un problema de moderado a grande (kappa 0,25 y 0,29, respectivamente). A los 4 meses no hubo evidencia de una diferencia entre madres y parejas, pero a los 6 meses las madres fueron significativamente más propensas (p = 0,050) a ser las que informaron problemas entre las 94 parejas discordantes (57 vs 37).

    Problemas de sueño calificados por los padres y resultados relacionados con la educación del sueño del cuestionario a los 4 y 6 meses

    Prácticas de asentamiento

    Las prácticas relevantes para la educación del sueño sobre cómo acomodar a los bebés no se vieron influenciadas por las intervenciones (tabla 4), aunque hubo una tendencia no estadísticamente significativa para los grupos que habían recibido la educación del sueño (grupos de sueño y combinación) de poner a dormir a su bebé con mayor frecuencia. despierto (p = 0,052). En general, más de la mitad de las madres informaron puntuaciones altas (6 a 7 en una escala de 1 a 7) para la frecuencia con la que acostaban a su bebé despierto (54,2% y 60,3% a los 4 y 6 meses, respectivamente), dejando que su bebé se quedan dormidos sin que ellos estén presentes (51,6% y 56,8% a los 4 meses y 6 meses, respectivamente), y la mayoría refirió poder reconocer con frecuencia cuando su bebé estaba cansado (77,9% a los 4 meses y 83,2% a los 6 meses). Se encontró un pequeño efecto de intervención para el tiempo que tardaban los bebés en irse a dormir (latencia del sueño p = 0.038), con diferencias significativas en la prevalencia de aquellos que informaron que su bebé usualmente tarda ≥30 min (es decir, una latencia de sueño prolongada) para quedarse dormido a los 6 meses (p = 0,015). Esto se atribuyó a que menos bebés en el grupo de combinación (que recibieron educación sobre el sueño) tenían latencias de sueño prolongadas.

    Prácticas seguras para dormir

    Las prácticas relevantes para los mensajes de sueño seguro no fueron influenciadas por las intervenciones (tabla 4). El uso compartido regular de la cama solo lo practicaba una minoría: en general, el 6,4% a los 6 meses. La mayoría de los bebés dormían boca arriba, siguiendo las prácticas recomendadas, y pocas familias fumaban en el automóvil mientras los niños estaban presentes o fumaban en el hogar, con números demasiado bajos para los análisis. Los datos del grupo de control del estudio para estas variables de sueño seguro en bebés de 3 a 23 semanas se han publicado previamente37.

    Resultados maternos y de la pareja

    A la edad del lactante de 6 meses, no hubo diferencias entre los grupos de intervención en cuanto a la cantidad de sueño de la madre o de la pareja, la calidad del sueño evaluado ni la prevalencia de latencia prolongada del sueño (≥ 30 min) (tabla 5). De manera similar, las puntuaciones de la EPDS materna obtenidas cuando el bebé tenía 4 meses de edad y ajustadas por la puntuación inicial de la EPDS fueron las mismas en todos los grupos. La fatiga materna produjo resultados mixtos en diferentes momentos, y las diferencias observadas fueron demasiado pequeñas para tener importancia clínica. Además, no se observaron diferencias en las puntuaciones de fatiga entre los que recibieron la intervención del sueño (sueño y combinación) y los que no (FAB y control).

    Variables maternas y de pareja a los 4 y 6 meses


    Conclusión

    La ansiedad general y relacionada con el embarazo en la primera mitad del embarazo no se asocia con un parto prolongado u obstruido ni con un parto artificial y, por lo tanto, no parece influir en la progresión del parto. Sin embargo, los altos niveles de ansiedad contribuyen a un mayor uso de intervenciones durante el trabajo de parto, especialmente el alivio del dolor / sedación, la inducción del trabajo de parto y posiblemente la derivación durante el trabajo de parto. Aunque encontramos asociaciones similares entre grupos étnicos, la alta prevalencia de síntomas de ansiedad en mujeres embarazadas de origen migrante justifica más investigaciones sobre el efecto de las intervenciones para reducir los síntomas de ansiedad en grupos étnicos.


    Resultados

    Resumen de revisión sistemática

    Nuestra estrategia de búsqueda dio como resultado 1532 resultados, de los cuales se recuperaron 140 estudios después de la revisión del título y el resumen. Después de la revisión del texto completo, se seleccionaron 38 artículos para ser incluidos en la revisión (figura 1). Los 38 artículos incluidos se publicaron entre 2004 y 2015, y la mayoría (71%) se publicaron entre enero de 2010 y julio de 2015.

    Diagrama PRISMA para revisión sistemática.

    The selected studies came from 15 countries, with five including multiple countries within the same study.31–35 The majority were from the UK (n=9), the Netherlands (n=7) or Canada (n=5). The studies covered a range of interventions, the most common being drug treatment (n=12), screening (n=8) of which four were prenatal screening, provision of services (eg, day case surgery36 or rehabilitation/occupational therapy)37 and provision of treatment (both for infertility).32 38 These interventions were based in 26 different indications/diseases, with 9 relating to 8 different types of cancer,9 31 39–45 3 in Down’s syndrome,46–48 2 relating to kidney disease and organ transplantation,49 50 2 in haemophilia51 52 and 2 in infertility32 38 (table 1).

    Choice and attribute design and piloting

    Of the studies we reviewed that reported the process of survey development, 36 (95%) reported the source of attributes used in their DCE and 24 (63%) reported having piloted their study (table 1 and online supplementary appendix 3). The groups that were used to generate attributes and pilot surveys varied. Thirteen (34%) of the studies that reported their attribute generation sought input from people representative of all groups who would be asked to complete the DCE,31–35 53–60 and 13 (54%) of the studies that reported the piloting in their study piloted the survey in all respondent groups.31 40 42 45 47 50–52 56 59–62 There were only five studies that reported having generated their attributes and piloted their survey in all groups of respondents.31 56 59 60 62

    Supplementary Material

    In the 25 studies that did not report having generated attributes using input from all respondent groups, there was an equal split between those that generated attributes using only healthcare providers (n=7),39 40 42 50–52 63 non-healthcare providers (n=9)36 37 44 46 48 61 62 64 65 or neither (n=7).9 38 43 45 47 49 66 Those that reported generating attributes using neither respondent groups most often used literature reviews alone,47 49 or literature reviews in conjunction with expert opinion,38 43 66 information from regulatory requirements,9 or product labelling45 to inform attributes. Two studies did not report that attributes had been developed in groups representative of the intended respondents one study reported that attributes and levels were chosen by the authors67 and the other did not provide any detail.41

    Piloting in all target groups was more common (12 of 24 studies reporting piloting), and a number of studies that did not report generating attributes in all groups reported piloting their survey in all respondents.40 42 47 50 52

    Attribute classification

    There were a total of 230 attributes included in the 38 studies, of which 144 (63%) could be classified as process attributes, 67 (29%) as outcomes and 19 (8%) as structure. Five studies included two different DCEs and attributes are included from both versions.9 35 39 54 67 The most common attribute type related to delivery and timing (n=57) and morbidity (n=39), followed by safety (n=29), access (n=26), patient/physician relationships (n=20), mortality (n=16), continuity and coordination of care (n=13), health-related quality of life (n=11), legal issues (n=4), infrastructure (n=7), financial issues (n=5) and qualifications of healthcare providers (n=3). Four DCEs, all looking at issues of screening and testing contained only diagnosis and testing attributes,41 46 48 62 and one looking at varying drug effects in diabetes, contained only morbidity attributes.57

    Study sample and framing

    The DCEs identified tried to compare the preferences of multiple different groups, separating out preferences of healthcare providers and non-healthcare providers (table 2). The composition of the studies was heterogeneous although just over half of the studies (n=20) compared one group of healthcare providers with either patients (or in the case of screening, those who had experienced the test)9 32 34 36 38 40–45 47 54 55 58 60 61 64 65 or the general population,31 12 studies compared the preferences of patients33 35 37 46 48 49 51 52 56 57 67 or parents of patients39 with multiple healthcare providers, and the remainder varied in either their non-healthcare provider53 59 63 or both non-healthcare provider and healthcare provider groups.50 62 66

    Matrix of preferences sought

    The framing of the decision given to the healthcare providers and non-healthcare providers was almost equally split between being the same instruction for both groups (n=17),35 36 38 41–43 45 49–54 56 60 63 66 being different for each group (n=20)9 31–34 37 39 40 44 46–48 55 57–59 61 62 64 65 or unclear.67

    In studies giving the same instructions to both groups, the question asked respondents to pick between the alternative options provided, but did not provide any specific framing about or who the respondent should assume they were making the decision for.35–38 41–43 45 49 50 53–56 63 66 One study did, however, indicate that the participants were asked to choose the option with the biggest global benefit, for themselves.52

    Where the instruction was different, the main difference was that the non-healthcare provider groups made the decision as the patient while the healthcare provider made the decision they would recommend to their patient.9 31–34 39 40 44 46–48 58 59 61 62 64 One study framed the same vignette about treating a patient in three different ways to different groups, asking regulators which treatment was appropriate, physicians what they would recommend and patients what they would prefer if they were the patient in the vignette.57 Two studies took an alternative perspective, asking the healthcare provider to attempt to predict their patient choice or preference, providing an alternative angle of concordance between patient and healthcare provider preferences.44 65

    Analysis: methods, marginal rates of substitution and subgroups/heterogeneity

    The most common analytical methods used were the random-effects probit,36 43 44 46 48 50 51 56 64 65 67 the logit/conditional logit,33 37 47 57 60 62 66 random-effects logit,34 40 52 63 multinomial logit32 35 39 49 53 or mixed logit,9 42 55 59 with five studies using a range of other methods.31 38 45 54 58

    In 23 studies, one or more of the attributes in the DCE was used to scale coefficients of other attributes most commonly this was monetary (n=9),31 36–39 41 52 54 58 67 time (n=9),33 45–48 50 56 62 66 accuracy of testing (n=4)47 56 58 62 or risk (n=3).43 46 55 One study specified they had framed their cost attribute in a different way for patients (out-of-pocket payment) and physicians (as additional hospital cost).63

    The majority of studies (n=34) reported accounting for heterogeneity within samples this was most commonly analysed using subgroups32 33 37 38 44 47 50–53 56 58 60 62 63 66 67 or incorporating respondent information as covariates in the model.9 31 43 59 64 In other studies, heterogeneity was accounted for by allowing random parameters in the model to be estimated34 40 or using a heteroskedastic condition logit model.60 One study reported that heterogeneity in preferences existed because the mean coefficient for a physician was non-significant, but the SD for the point estimate was significant.42 Only one study explored different subgroups of respondents using latent class analysis, finding two segments of respondents which differed in their order of preferences but could not be differentiated by their characteristics.54

    Approaches to measuring concordance

    There was no consistent approach to measuring the concordance of preferences between healthcare providers and non-healthcare providers. The methods used varied widely and could be grouped into three broad approaches for descriptive purposes: (1) qualitative comparison of regression coefficients, (2) statistical tests of differences or similarities of coefficients and (3) regression diagnostics. Despite the variation in methods, all approaches were based on comparisons of concordance at the aggregate level of the sample. One study segmented respondents using latent class analysis54 but did not explore concordance of patients and healthcare providers using this approach.

    Where coefficients were compared, ranking attributes based on the strength of coefficients9 35 37–40 42–49 60 62 64 65 67 was the most frequently used method, although there were also approaches based on the difference between coefficients themselves or the CIs of coefficients.32 51 An alternative approach to comparing results was to first estimate coefficients on a common scale, using marginal rates of substitution (eg, using a payment vehicle like willingness to pay,36 38 54 willingness to accept risk34 55 or time),33 relative importance52 63 or some weighting of the model coefficients,59 and then making a comparison of these. One study calculated a ratio of the importance of patient and physician coefficients.34

    In other cases, statistical tests were used to compare the coefficients generated by each of the different groups. These either took the form of correlation-based approaches to look for statistical similarities of coefficients (eg, Kendall’s tau b53 or Spearman’s rank correlation),43 unpaired tests for differences in coefficients between groups (eg, Pearson χ 2 )41 or pooled regression approaches which look for statistical differences between groups based on coefficients.61 64

    Finally, regression-based diagnostics were used to assess differences in preferences. These included the use of interaction terms or the Wald test to see if pooled analysis with a respondent group identifier or interaction term was statistically significant,61 or significantly improved model fit.31 34 50 67 An alternative approach tested whether the coefficients in two regression analyses using different data sets were equal (Chow test).57 A third approach was to assess the impact on the scale parameters of different data sets (Swait and Louviere test)55 56 60 to see whether models would need to be estimated separately if there were underlying differences in the two data sets.

    Findings of concordance

    The conclusions from the studies (table 3) found mixed concordance and discordance most frequently (28 studies), followed by discordance of patient and healthcare provider preferences (12 studies) and concordant preferences (4 studies). The predominance of mixed concordance and discordance conclusions appears to be consistent irrespective of the methods used to test for concordance.

    Summary of concordance analysis and resulting conclusions

    Synthesis of the reported concordance scores from the studies reviewed showed that concordance and discordance varied by the type and classification of attribute (figure 2). The pattern of results indicated that healthcare professionals appeared to believe that structure and outcome attributes were of greater importance than patients did, whereas patients appeared to place greater importance on process outcomes than healthcare professionals.

    Synthesis of concordance between patient and physician preferences for different types of attributes. Bar colours. Solid: concordance score for all attributes classified in this category. Transparent: concordance score for all attributes in subcategory. Concordance scores. Positive: physician ranks attribute higher than patient. Negative: patient ranks attribute higher than physician.

    The greatest discordance between patients and healthcare providers was for mortality (eg, chance of dying from lymphoma in 10 years)55 which healthcare providers believed to be more important than patients, and infrastructure (eg, ‘number of beds in hospital room’)64 which healthcare providers again thought was more important than patients.

    Patients placed more importance on issues of process, for example, safety (eg, ‘risk of urinary incontinence due to treatment’)42 than healthcare providers. Similarly, patients cared more about delivery and timing (eg, ‘route of drug administration’)61 than healthcare providers. There was evidence of some discordance around issues of patient and healthcare provider relationship (eg, ‘physician’s attitude to patients’),32 morbidity (eg, ‘time necessary to recover (defined as returning to normal activities)’)63 and access (eg, extra cost to patient)67 with patients rating this as more important than healthcare providers.

    However, within each of these categories there were some attributes which showed evidence of concordance. Within the structure category, there was no evidence of discordance around the qualification of the physician (eg, ‘reputation of surgeon’),43 within process we found no pattern of discordance between patients and healthcare providers on aspects of continuity and coordination (eg, ‘continuity of physicians’),32 and within outcome no pattern of discordance around health-related quality of life (eg, physical quality of life).44


    Patient 2

    A healthy 49-year-old man presented with fever, myalgias, and dry cough lasting 1 week. A few hours after admission, he developed difficulty naming objects, temporospatial disorientation, confusion, and agitation. A thoracic CT scan showed bilateral peripheral opacities suggestive of COVID-19 pneumonia. Brain CT and MRI scans obtained 2 days later were unremarkable. CSF showed lymphocytic pleocytosis and increased proteins. The patient was empirically started on acyclovir, ampicillin, and ceftriaxone, which were discontinued once CSF cultures and PCR returned negative. PCR for SARS-CoV-2 was positive in the nasopharyngeal swab, but negative in CSF. Three days later, he was back to normal except for amnesia of the previous days.

    None of the patients developed severe respiratory problems or required intensive care support.

    Clinical features, serum, and CSF characteristics including cytokines and angiotensin-converting enzyme (ACE) profile from both cases are shown in the table.

    Basic demographic and clinical data of both cases


    Table of Contents

    This is a graduate text introducing the fundamentals of measure theory and integration theory, which is the foundation of modern real analysis. The text focuses first on the concrete setting of Lebesgue measure and the Lebesgue integral (which in turn is motivated by the more classical concepts of Jordan measure and the Riemann integral), before moving on to abstract measure and integration theory, including the standard convergence theorems, Fubini's theorem, and the Carathéodory extension theorem. Classical differentiation theorems, such as the Lebesgue and Rademacher differentiation theorems, are also covered, as are connections with probability theory. The material is intended to cover a quarter or semester's worth of material for a first graduate course in real analysis.

    There is an emphasis in the text on tying together the abstract and the concrete sides of the subject, using the latter to illustrate and motivate the former. The central role of key principles (such as Littlewood's three principles) as providing guiding intuition to the subject is also emphasized. There are a large number of exercises throughout that develop key aspects of the theory, and are thus an integral component of the text.

    As a supplementary section, a discussion of general problem-solving strategies in analysis is also given. The last three sections discuss optional topics related to the main matter of the book.