Artículos

3.E: Sistemas de EDO (ejercicios)


Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Ecuaciones diferenciales para ingeniería" de Libl. Este es un libro de texto destinado a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.

3.1 Introducción a los sistemas de EDO

Ejercicio 3.1.2: Encuentra la solución general de (x'_1 = x_2 - x_1 + t, x'_2 = x_2 ).

Ejercicio 3.1.3: Encuentra la solución general de (x'_1 = 3x_1 - x_2 + e ^ t, x'_2 = x_1 ).

Ejercicio 3.1.4: Escriba (ay '' + by '+ cy = f (x) ) como un sistema de primer orden de EDO.

Ejercicio 3.1.5: Escribe (x '' + y ^ 2y '- x ^ 3 = sin (t), y' '+ {(x' + y ')} ^ 2 - x = 0 ) como un sistema de primer orden de EDO .

Ejercicio 3.1.101: Encuentre la solución general para (y'_1 = 3y_1, y'_2 = y_1 + y_2, y'_3 = y_1 + y_3 ).

Ejercicio 3.1.102: Resuelve (y '= 2x, x' = x + y, x (0) = 1, y (0) = 3 ).

Ejercicio 3.1.103: Escribe (x '' '= x + t ) como un sistema de primer orden.

Ejercicio 3.1.104: Escribe (y '' _ 1 + y_1 + y_2 = t y '' _ 2 + y_1 - y_2 = t ^ 2 ) como un sistema de primer orden.

3.2: Matrices y sistemas lineales

Ejercicio 3.2.2: Resuelve ( begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 5 6 end {bmatrix} ) usando matriz inversa.

Ejercicio 3.2.3: Calcule el determinante de ( begin {bmatrix} 9 & -2 & -6 -8 & 3 & 6 10 & -2 & -6 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.2.4: Calcular determinante de ( begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 4 & 0 & 5 & 0 6 & 0 & 7 & 0 8 & 0 & 10 & 1 end {bmatrix} ). Sugerencia: expanda a lo largo de la fila o columna adecuada para simplificar los cálculos.

Ejercicio 3.2.5: Calcule el inverso de ( begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.2.6: ¿Para qué (h ) ( begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & h end {bmatrix} ) no es invertible? ¿Hay solo uno de esos (h )? ¿Hay varios? ¿Infinitos?

Ejercicio 3.2.7: ¿Para qué (h ) ( begin {bmatrix} h & 1 & 1 0 & h & 0 1 & 1 & h end {bmatrix} ) no es invertible? Encuentra todos esos (h ).

Ejercicio 3.2.8: Resuelve ( begin {bmatrix} 9 & -2 & -6 -8 & 3 & 6 10 & -2 & -6 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 1 2 3 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.2.9: Resuelve ( begin {bmatrix} 5 & 3 & 7 8 & 4 & 4 6 & 3 & 3 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 2 0 0 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.2.10: Resuelve ( begin {bmatrix} 3 & 2 & 3 & 0 3 & 3 & 3 & 3 0 & 2 & 4 & 2 2 & 3 & 4 & 3 end {bmatrix} vec { x} = begin {bmatrix} 2 0 4 1 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.2.11: Encuentre 3 matrices (2 times 2 ) distintas de cero (A, B, ) y (C ) tales que (AB = AC ) pero (B ne C ).

Ejercicio 3.2.101: Calcular determinante de ( begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & -5 1 & -1 & 0 end {bmatrix} )

Ejercicio 3.2.102: Encuentre (t ) tal que ( begin {bmatrix} 1 & t -1 & 2 end {bmatrix} ) no sea invertible.

Ejercicio 3.2.103: Resuelve ( begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 10 20 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.2.104: Suponga que (a, b, c ) son números distintos de cero. Sea (M = begin {bmatrix} a & 0 0 & b end {bmatrix}, N = begin {bmatrix} a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c end {bmatrix} ). a) Calcule (M ^ {- 1} ). b) Calcule (N ^ {- 1} ).

Ejercicio 3.3.1: Escribe el sistema (x'_1 = 2x_1-3tx_2 + sin t ) y (x'_2 = e ^ t , x_1 - 3x_2 + cos t ) en la forma ( vec {x} '= P (t) , vec {x} + vec {f} (t) ).

Ejercicio 3.3.2: a) Verifique que el sistema ( vec {x} '= begin {bmatrix} 1 & 3 3 & 1 end {bmatrix} vec {x} ) tenga las dos soluciones ( begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} e ^ {4t} ) y. ( Begin {bmatrix} 1 - 1 end {bmatrix} e ^ {- 2t} ) b) Escriba la solución general. c) Escriba la solución general en la forma (x_1 =? ), (x_2 =? ) (es decir, escriba una fórmula para cada elemento de la solución).

Ejercicio 3.3.3: Verifique que ( begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} e ^ t ) y ( begin {bmatrix} 1 - 1 end {bmatrix} e ^ t ) son linealmente independientes. Sugerencia: simplemente conecte (t = 0 ).

Ejercicio 3.3.4: Verifica que ( begin {bmatrix} 1 1 0 end {bmatrix} e ^ t ) y ( begin {bmatrix} 1 - 1 1 end {bmatrix} e ^ t ) y ( begin {bmatrix} 1 - 1 1 end {bmatrix} e ^ {2t} ) son linealmente independientes. Sugerencia: debe ser un poco más complicado que en el ejercicio anterior.

Ejercicio 3.3.5: Verifica que ( begin {bmatrix} t t ^ 2 end {bmatrix} ) y ( begin {bmatrix} t ^ 3 t ^ 4 end {bmatrix} ) son linealmente independientes.

Ejercicio 3.3.101: ¿Son ( begin {bmatrix} e ^ {2t} e ^ t end {bmatrix} ) y ( begin {bmatrix} e ^ t e ^ {2t} end {bmatrix} ) ¿independiente linealmente? Justificar.

Ejercicio 3.3.102: ¿Son ( begin {bmatrix} cosh (t) 1 end {bmatrix} ), ( begin {bmatrix} e ^ t 1 end {bmatrix} ) y ( begin {bmatrix } e ^ {- t} 1 end {bmatrix} ) linealmente independiente? Justificar.

Ejercicio 3.3.103: Escribe (x '= 3x -y + e ^ t ) y (y' = tx ) en notación matricial.

Ejercicio 3.3.104: a) Escribe (x'_1 = 2t , x_2 ) y (x'_2 = 2t , x_2 ) en notación matricial. b) Resuelve y escribe la solución en notación matricial.

Ejercicio 3.4.5 (fácil): Sea (A ) una matriz (3 times 3 ) con un valor propio de (3 ) y un vector propio correspondiente ( vec {v} = left [ begin {array} {c} 1 -1 3 end {matriz} derecha] ). Encuentra (A vec {v} ).

Ejercicio 3.4.6: a) Encuentra la solución general de (x'_1 = 2x_1, x'_2 = 3x_2 ) usando el método de valor propio (primero escribe el sistema en la forma ( vec {x} '= A vec {x} )). b) Resuelve el sistema resolviendo cada ecuación por separado y verifica que obtengas la misma solución general.

Ejercicio 3.4.7: Encuentra la solución general de (x'_1 = 3x_1 + x_2, x'_2 = 2x_1 + 4x_2 ) usando el método de valores propios.

Ejercicio 3.4.8: Encuentra la solución general de (x'_1 = x_1-2x_2, x'_2 = 2x_1 x_2 ) usando el método del valor propio. No utilice exponenciales complejos en su solución.

Ejercicio 3.4.9: a) Calcule los valores propios y los vectores propios de (A = left [ begin {array} {ccc} 9 & -2 & -6 -8 & 3 & 6 10 & -2 & -6 end {array } derecho] ). b) Encuentre la solución general de ( vec {x} '= A vec {x} ).

Ejercicio 3.4.10: Calcular valores propios y vectores propios de ( left [ begin {array} {ccc} -2 & -1 & -1 3 & 2 & 1 -3 & -1 & 0 end {array} right] . )

Ejercicio 3.4.11: Sean (a, b, c, d, e, f ) números. Encuentre los valores propios de ( left [ begin {array} {ccc} a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f end {array} right]. )

Ejercicio 3.4.101: a) Calcule los valores propios y los vectores propios de (A = left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 3 -1 & 0 & 1 2 & 0 & 2 end {array} right] ). b) Resuelve el sistema ( vec {x} '= A vec {x} ).

Ejercicio 3.4.102: a) Calcule los valores propios y los vectores propios de (A = left [ begin {array} {cc} 1 & 1 -1 & 0 end {array} right]. ) b) Resuelva el sistema ( vec {x} '= A vec {x} ).

Ejercicio 3.4.103: Resuelve (x'_1 = x_2, x'_2 = x_1 ) usando el método de valor propio.

Ejercicio 3.4.104: Resuelve (x'_1 = x_2, x'_2 = -x_1 ) usando el método de valor propio.

3.5: Sistemas bidimensionales y sus campos vectoriales

Ejercicio 3.5.1: Tome la ecuación (m {x} '' + c {x} '+ kx = 0 ), con (m> 0, c geq 0, k> 0 ) para el sistema masa-resorte.

  1. Convierta esto en un sistema de ecuaciones de primer orden.
  2. Clasifica por qué m, c, k obtienes qué comportamiento.
  3. ¿Puedes explicar por intuición física por qué no obtienes todos los diferentes tipos de comportamiento aquí?

Ejercicio 3.5.2: ¿Puedes encontrar lo que sucede en el caso cuando (P = begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix} )? En este caso, el valor propio se repite y solo hay un vector propio. ¿Qué imagen se parece a esto?

Ejercicio 3.5.3: ¿Puedes encontrar lo que sucede en el caso cuando (P = begin {bmatrix} 1 & 1 1 & 1 end {bmatrix} )? ¿Se parece a alguno de los dibujos que hemos dibujado?

Ejercicio 3.5.101: Describe el comportamiento de los siguientes sistemas sin resolver:

  1. (x '= x + y, y' = x- y )
  2. (x_1 '= x_1 + x_2, x_2' = 2x_2 )
  3. (x_1 '= -2x_2, x_2' = 2x_1 )
  4. (x '= x + 3y, y' = -2x-4y )
  5. (x '= x - 4y, y' = -4x + y )

Ejercicio 3.5.102: Suponga que ( vec {x} = A vec {x} ) donde (A ) es una matriz (2 times 2 ) con valores propios (2 pm i ). Describe el comportamiento.

Ejercicio 3.5.103: Tome ( begin {bmatrix} x y end {bmatrix} '= begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix} begin {bmatrix} x y end {bmatrix} ) . Dibuja el campo vectorial y describe el comportamiento. ¿Es uno de los comportamientos que hemos visto antes?

3.6: Sistemas y aplicaciones de segundo orden

Ejercicio 3.6.3: Encuentre una solución particular para

[ vec {x} '' = left [ begin {array} {cc} -3 & 1 2 & -2 end {array} right] vec {x} + left [ begin {matriz} {c} 0 2 end {matriz} derecha] cos (2t). ]

Ejercicio 3.6.4 (desafiante): Tomemos el ejemplo de la figura 3.12 con los mismos parámetros que antes: (m_1 = 2, k_1 = 4, ) y (k_2 = 2, ) excepto (m_2 ), que se desconoce. Suponga que hay una fuerza ( cos (5t) ) que actúa sobre la primera masa. Encuentre un (m_2 ) tal que exista una solución particular donde la primera masa no se mueva.

Nota: esta idea se llama amortiguación dinámica. En la práctica, habrá una pequeña cantidad de amortiguación y, por lo tanto, cualquier solución transitoria desaparecerá y, después de un tiempo suficiente, la primera masa siempre se detendrá.

Ejercicio 3.6.5: Tomemos el ejemplo 3.6.2, pero que en el momento del impacto, el carro 2 se mueve hacia la izquierda a la rapidez de 3 metro/s. a) Encuentre el comportamiento del sistema después de la conexión. b) ¿El segundo automóvil chocará contra la pared o se alejará de la pared a medida que pase el tiempo? c) ¿A qué velocidad tendría que viajar el primer automóvil para que el sistema permanezca esencialmente en su lugar después de la conexión?

Ejercicio 3.6.6: Tomemos el ejemplo de la figura 3.12 con los parámetros (m_1 = m_2 = 1, k_1 = k_2 = 1 ). ¿Existe un conjunto de condiciones iniciales para las cuales el primer carro se mueve pero el segundo no? Si es así, encuentre esas condiciones. Si no es así, discuta por qué no.

Ejercicio 3.6.101: Encuentre la solución general para

[ left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end {array} right] vec {x} '' = left [ begin {array} {ccc} -3 & 0 & 0 2 & -4 & 0 0 & 6 & -3 end {array} right] vec {x} + left [ begin {matriz} {c} cos (2t) 0 0 end {matriz} derecha]. ]

Ejercicio 3.6.102: Suponga que hay tres carros de igual masa (m ) y conectados por dos resortes de constante (k ) (y sin conexiones a las paredes). Configure el sistema y encuentre su solución general.

Ejercicio 3.6.103: Suponga que un carro de masa de 2 kg está unido por un resorte de constante (k = 1 ) a un carro de masa de 3 kg, que está unido a la pared por un resorte también de constante (k = 1 ). Suponga que la posición inicial del primer carro es 1 metro en la dirección positiva desde la posición de reposo, y la segunda masa comienza en la posición de reposo. Las masas no se mueven y se dejan ir. Encuentre la posición de la segunda masa en función del tiempo.

3.7: Valores propios múltiples

Ejercicio 3.7.2: Sea (A = begin {bmatrix} 5 & -3 3 & -1 end {bmatrix} ). Encuentre la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.3: Sea (A = begin {bmatrix} 5 & -4 & 4 0 & 3 & 0 - 2 & 4 & -1 end {bmatrix}. )

a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( lambda = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.4: Sea (A = begin {bmatrix} 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentra la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ) de dos formas diferentes y verifica que obtengas la misma respuesta.

Ejercicio 3.7.5: Sea (A = begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 -1 & -2 & -2 - 4 & 4 & 7 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.6: Sea (A = begin {bmatrix} 0 & 4 & -2 - 1 & -4 & 1 0 & 0 & -2 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.7: Sea ( begin {bmatrix} 2 & 1 & -1 -1 & 0 & 2 - 1 & -2 & 4 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.8: Suponga que A es una matriz (2 times 2 ) con un valor propio repetido ( lambda ). Suponga que hay dos vectores propios linealmente independientes. Muestre que (A = lambda I ).

Ejercicio 3.7.101: Sea (A = begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( vec { lambda} = A vec { lambda} ).

Ejercicio 3.7.102: Sea (A = begin {bmatrix} 1 & 3 & 3 1 & 1 & 0 - 1 & 1 & 2 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.103: Sea (A = begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 - 1 & -1 & 9 0 & -1 & 5 end {bmatrix} ). a) ¿Cuáles son los valores propios? b) ¿Cuáles son los defectos de los valores propios? c) Encuentre la solución general de ( vec {x} = A vec {x} ).

Ejercicio 3.7.104: Sea (A = begin {bmatrix} a & a b & c end {bmatrix} ), donde (a ), (b ) y (c ) son incógnitas. Suponga que 5 es un valor propio duplicado del defecto 1, y suponga que ( begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix} ) es el vector propio. Encuentre (A ) y demuestre que solo hay una solución.

3.8: Matrices exponenciales

Ejercicio 3.8.2: Usando la matriz exponencial, encuentre una solución de matriz fundamental para el sistema, (x '= 3x + y, y' = x + 3y ).

Ejercicio 3.8.3: Encuentra (e ^ {tA} ) para la matriz (A = begin {bmatrix} 2 & 3 0 & 2 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.4: Encuentre una solución de matriz fundamental para el sistema, (x'_1 = 7x_1 + 4x_2 + 12x_3, ~~~ x'_2 = x_1 + 2x_2 + x_3, ~~~ x'_3 = -3x_1 - 2x_2 -5x_3 ). Luego, encuentre la solución que satisfaga ( vec {x} = begin {bmatrix} 0 1 - 2 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.5: Calcule la matriz exponencial (e ^ A ) para (A = begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 2 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.6 (desafiante): Suponga (AB = BA ). Demuestre que bajo esta suposición, (e ^ {A + B} = e ^ A e ^ B ).

Ejercicio 3.8.7: Utilice el ejercicio 3.8.6 para demostrar que ((e ^ A) ^ {- 1} = e ^ {- A} ). En particular, esto significa que (e ^ A ) es invertible incluso si A no lo es.

Ejercicio 3.8.8: Suponga que (A ) es una matriz con valores propios -1, 1 y los correspondientes vectores propios ( begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} ), ( begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix} ). a) Encuentre la matriz A con estas propiedades. b) Encuentre la solución de la matriz fundamental para ( vec {x} '= A vec {x} ). c) Resuelve el sistema con las condiciones iniciales ( vec {x} (0) = begin {bmatrix} 2 3 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.9: Suponga que (A ) es una matriz (n veces n ) con un valor propio repetido ( lambda ) de multiplicidad n. Suponga que hay n vectores propios linealmente independientes. Muestre que la matriz es diagonal, en particular (A = lambda mathit {I} ). Sugerencia: utilice la diagonalización y el hecho de que la matriz de identidad se conmuta con cualquier otra matriz.

Ejercicio 3.8.10: Sea (A = begin {bmatrix} -1 & -1 1 & -3 end {bmatrix} ). a) Encuentra (e ^ {tA} ). b) Resuelve ( vec {x} '= A vec {x} ), ( vec {x} (0) = begin {bmatrix} 1 - 2 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.11: Sea (A = begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix} ). Aproxima (e ^ {tA} ) expandiendo la serie de potencias hasta el tercer orden.

Ejercicio 3.8.101: Calcule (e ^ {tA} ) donde (A = begin {bmatrix} 1 & -2 - 2 & 1 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.102: Calcule (e ^ {tA} ) donde (A = begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 - 2 & 1 & 2 - 1 & -3 & 4 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.103: a) Calcule (e ^ {tA} ) donde (A = begin {bmatrix} 3 & -1 1 & 1 end {bmatrix} ). b) Resuelve ( vec {x} '= A vec {x} ) para ( vec {x} (0) = begin {bmatrix} 1 2 end {bmatrix} ).

Ejercicio 3.8.104: Calcule los primeros 3 términos (hasta el segundo grado) de la expansión de Taylor de (e ^ {tA} ) donde (A = begin {bmatrix} 2 & 3 2 & 2 end {bmatrix} ) (Escriba como una sola matriz). Luego utilícelo para aproximar (e ^ {0.1A} ).

3.9: Sistemas no homogéneos

Ejercicio 3.9.4: Encuentre una solución particular para (x '= x + 2y + 2t, y' = 3x + 2y-4 ), a) usando el método del factor de integración, b) usando la descomposición de vectores propios, c) usando coeficientes indeterminados.

Ejercicio 3.9.5: Encuentre la solución general a (x '= 4x + y-1, y' = x + 4y-e ^ t ), a) usando el método del factor de integración, b) usando la descomposición de vectores propios, c) usando coeficientes indeterminados.

Ejercicio 3.9.6: Encuentre la solución general a (x_1 '' = - 6x_1 + 3x_2 + cos (t), x '' _ 2 = 2x_1-7x_2 + 3 cos (t) ), a) usando la descomposición de vectores propios, b) usando coeficientes indeterminados .

Ejercicio 3.9.7: Encuentre la solución general a (x '' _ 1 = -6x_1 + 3x_2 + cos (2t), x '' _ 2 = 2x_1-7x_2 + cos (2t) ), a) usando la descomposición de vectores propios, b) usando indeterminado coeficientes.

Ejercicio 3.9.8: Toma la ecuación

[ vec {x} '= left [ begin {array} {cc} frac {1} {t} & -1 1 & frac {1} {t} end {array} right ] vec {x} + left [ begin {array} {c} t ^ 2 -t end {array} right]. ]

a) Compruebe que

[ vec {x} _c = c_1 left [ begin {array} {c} t sin t -t cos t end {array} right] + c_2 left [ begin {array} {c} t cos t t sin t end {matriz} derecha] ]

es la solución complementaria. b) Utilice la variación de parámetros para encontrar una solución particular.

Ejercicio 3.9.101: Encuentre una solución particular para (x '= 5x + 4y + t, y' = x + 8y-t ), a) usando el método del factor de integración, b) usando la descomposición de vectores propios, c) usando coeficientes indeterminados.

Ejercicio 3.9.102: Encuentre una solución particular para (x '= y + e ^ t, y' = x + e ^ t ), a) usando el método del factor de integración, b) usando la descomposición de vectores propios, c) usando coeficientes indeterminados.

Ejercicio 3.9.103: Resuelve (x'_1 = x_2 + t, x'_2 = x_1 + t ) con condiciones iniciales (x_1 (0) = 1, x_2 (0) = 2 ), usando la descomposición de vectores propios.

Ejercicio 3.9.104: Resuelve (x '' _ 1 = -3x_1 + x_2 + t, x '' _ 2 = 9x_1 + 5x_2 + cos (t) ) con las condiciones iniciales (x_1 (0) = 0, x_2 (0) = 0 , x'_1 (0) = 0, x'_2 (0) = 0 ), usando la descomposición de vectores propios.


3.E: Energía (Ejercicios)

  • Contribuido por Timon Idema
  • Profesor asociado (Bionanociencia) en la Universidad Tecnológica de Delft
  • Procedente de TU Delft Open
  1. Demuestre que, si ignora el arrastre, un proyectil disparado a una velocidad inicial (v_0 ) y un ángulo ( theta ) tiene un rango R dado por
  2. Un objetivo está situado a 1,5 km de un cañón a través de un campo plano. ¿Se alcanzará el objetivo si el ángulo de disparo es (42 ^ < circ> ) y la bala de cañón se dispara a una velocidad inicial de 121 m / s? (Las balas de cañón, como saben, no rebotan).
  3. Para aumentar el alcance del cañón y rsquos, póngalo en una torre de altura (h_0 ). Encuentre el alcance máximo en este caso, en función del ángulo y la velocidad de disparo, asumiendo que la tierra alrededor todavía es plana.

3.2 Empujas una caja de masa m hacia arriba de una pendiente con ángulo ( theta ) y coeficiente de fricción cinética ( mu ). Encuentra la rapidez inicial mínima v que debes darle a la caja para que alcance una altura h.

3.3 Una tabla uniforme de longitud L y masa M se encuentra cerca de un límite que separa dos regiones. En la región 1, el coeficiente de fricción cinética entre la tabla y la superficie es ( mu _1 ), y en la región 2, el coeficiente es ( mu _2 ). Nuestro objetivo es encontrar el trabajo neto W realizado por fricción al tirar de la tabla directamente desde la región 1 a la región 2, bajo el supuesto de que la tabla se mueve a velocidad constante.

  1. Suponga que en algún momento durante el proceso, el borde derecho del tablero está a una distancia x del límite, como se muestra. Cuando la tabla está en esta posición, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre la tabla, suponiendo que se mueve hacia la derecha? Exprese su respuesta en términos de todas las variables relevantes (L, M, g, x, ( mu _1 ) y ( mu _2 )).
  2. Como vimos en la sección 3.1, cuando la fuerza no es constante, puede determinar el trabajo integrando la fuerza sobre el desplazamiento, (W = int F (x) dx ). Integre su respuesta de (a) para obtener el trabajo neto que necesita hacer para llevar el tablero de la región 1 a la región 2.

3.4 El gobierno desea asegurar los votos de los propietarios de automóviles aumentando el límite de velocidad en la carretera de 120 a 140 km / h. La oposición señala que esto es más peligroso y causará más contaminación. Los cabilderos de la industria del automóvil le dicen al gobierno que no se preocupe: los coeficientes de resistencia de los automóviles se han reducido significativamente y su construcción es mucho más sólida que en el momento en que se estableció el límite de velocidad de 120 km / h.

  1. Suponga que el límite de 120 km / h se estableció con un Volkswagen Beetle ( (= 0.48 )) en mente, y el lobista & rsquoscar tiene un coeficiente de arrastre de 0.19. ¿Necesitará el nuevo coche hacer más o menos trabajo para mantener una velocidad constante de 140 km / h que el Beetle a 120 km / h?
  2. ¿Cuál es la relación de la energía cinética total liberada en una colisión frontal total (que resulta en una parada inmediata) entre dos automóviles a 140 km / hy dos automóviles a 120 km / h?
  3. El gobierno desestima las objeciones de la oposición y rsquos sobre la seguridad al afirmar que en la carretera todos los autos se mueven en la misma dirección (los carriles en dirección opuesta están bien separados), por lo que si todos se mueven a 140 km / h, sería tan seguro como todos a 120 km / h. La oposición luego señala que correr un Beetle (los que todavía están por ahí) a 120 km / h ya es un desafío, por lo que habría diferencias de velocidad entre los autos más nuevos y más viejos. El gobierno afirma que la diferencia de 20 km / h no importa, ya que claramente incluso un Beetle puede sobrevivir a una colisión de 20 km / h. Explique por qué su argumento no es válido.

3.5 La fusión nuclear, el proceso que impulsa al Sol, ocurre cuando dos núcleos atómicos de baja masa se fusionan para formar un núcleo más grande, liberando una energía sustancial. La fusión es difícil de lograr porque los núcleos atómicos llevan carga eléctrica positiva, y su repulsión eléctrica hace que sea difícil acercarlos lo suficiente para que la fuerza nuclear de corto alcance los una en un solo núcleo. La siguiente figura muestra la curva de energía potencial para la fusión de dos deuterones (núcleos de hidrógeno pesado, que constan de un protón y un neutrón). La energía se mide en millones de electronvoltios ( (MeV, 1 eV = 1.6 cdot 10 ^ < -19> J )), una unidad comúnmente utilizada en física nuclear, y la separación está en femtómetros ( (1 fm = 10 ^ <-15> m )).

  1. Encuentre las posiciones (si las hay) en las que la fuerza entre dos deuterones es cero.
  2. Encuentre la energía cinética que dos deuterones inicialmente muy separados necesitan tener que acercarse lo suficiente para fusionarse.
  3. La energía disponible en la fusión es la diferencia de energía entre la de los deuterones muy separados y los deutrones ligados después de que se "rsquove" y "lsquofallen" en el potencial profundo que se muestra en la figura. ¿Aproximadamente qué tan grande es esa energía?
  4. Determina si la fuerza entre dos deuterones que están separados por 4 fm es repulsiva, atractiva o nula.

3.6 Una paloma en vuelo experimenta una fuerza de arrastre debido a la resistencia del aire dada aproximadamente por (F = bv ^ 2 ), donde v es la velocidad de vuelo y b es una constante.

  1. ¿Cuáles son las unidades de b?
  2. ¿Cuál es la mayor velocidad posible de la paloma si su potencia máxima de salida es P?
  3. ¿En qué factor aumenta la mayor velocidad posible si se duplica la potencia máxima de salida?
  1. Para qué valor (es) de los parámetros ( alpha, beta, text gamma ) es la fuerza dada por [ boldsymbol= left (x ^ <3> y ^ <3> + alpha z ^ <2>, beta x ^ <4> y ^ <2>, gamma x z right) ] ¿conservador?
  2. Encuentre la fuerza para la energía potencial dada por (U (x, y, z) = frac- frac).

3.8 Una masa puntual está conectada a dos paredes opuestas por dos resortes, como se muestra en la figura. La distancia entre las paredes es de 2L. El resorte izquierdo tiene una longitud de reposo (l_1 = frac<2> ) y constante de resorte (k_1 = k ), el resorte derecho tiene una longitud de reposo (l_2 = frac <3L> <4> ) y una constante de resorte (k_2 = 3k ).

  1. Determine la magnitud de la fuerza que actúa sobre la masa puntual si está en x = 0.
  2. Determine la posición de equilibrio de la masa puntual.
  3. Encuentre la energía potencial de la masa puntual en función de x. Utilice el punto de equilibrio de (b) como su punto de referencia.
  4. Si la masa puntual se desplaza una pequeña distancia de su posición de equilibrio y luego se libera, oscilará. Comparando la ecuación de la fuerza neta sobre la masa en este sistema con un oscilador armónico simple, determine la frecuencia de esa oscilación. (Si volvemos a los sistemas que oscilan alrededor del mínimo de una energía potencial en la Sección 8.1.4, siéntase libre de echar un vistazo adelante).

3.9 Un bloque de masa m = 3.50 kg se desliza desde el reposo una distancia d hacia abajo por una pendiente sin fricción en el ángulo ( theta = 30.0 ^ circ ), donde se encuentra con un resorte de constante de resorte de 450 N / m. Cuando el bloque se detiene momentáneamente, ha comprimido el resorte en 25,0 cm.

  1. Encuentre d.
  2. ¿Cuál es la distancia entre el primer contacto bloque-resorte y el punto en el que la velocidad del bloque y rsquos es mayor?

3.10 Los toboganes del patio de juegos con frecuencia tienen secciones de pendiente variable: las más empinadas para ganar velocidad, las menos empinadas para perder velocidad, para que los niños (y estudiantes) lleguen al fondo de manera segura. Consideramos un tobogán con dos secciones empinadas (ángulo ( alpha )) y dos menos empinadas (ángulo ( beta )). Cada una de las secciones tiene un ancho L. La corredera tiene un coeficiente de fricción cinética ( mu ).

  1. Los niños comienzan en la parte superior del tobogán con velocidad cero. Calcule la velocidad de un niño de masa m al final de la primera sección empinada.
  2. Ahora calcule la velocidad del niño en la parte inferior de todo el tobogán.
  3. Si L = 1.0 m, ( alpha = 30 ^ circ ) y ( mu = 0.5 ), encuentre el valor mínimo que debe tener ( beta ) para que los niños de hasta 30 kg puedan disfrutar del tobogán (Pista: ¿cuál es el requisito mínimo para que la diapositiva sea funcional)?
  4. Una diapositiva dada tiene ( alpha = 30 ^ circ ), ( beta = 20 ^ circ ) y ( mu = 0.5 ). Un niño pequeño de 10 kg se desliza hacia abajo, mientras que su primo de 20 kg se sienta en la parte inferior. Cuando el niño que se desliza llega al final, los dos niños chocan y juntos se deslizan más por el suelo. El coeficiente de fricción cinética con el suelo es 0,70. ¿Qué tan lejos se deslizan los dos niños antes de detenerse por completo?

3.11 En este problema, consideramos el potencial anarmónico dado b

donde a, b y (x_0 ) son constantes positivas.

  1. Encuentra las dimensiones de a, by (x_0 ).
  2. Determina si la fuerza sobre una partícula en una posición (x gt gt x_0 ) es atractiva o repulsiva (tomando el origen como punto de referencia).
  3. Encuentre los puntos de equilibrio (si los hay) de este potencial y determine su estabilidad.
  4. Para b = 0, el potencial dado en la ecuación (3.24) se vuelve armónico (es decir, el potencial de un oscilador armónico), en cuyo caso oscilará una partícula que se encuentra inicialmente en un punto de no equilibrio. ¿Existen valores iniciales para x para los cuales oscilará una partícula en este potencial anarmónico? Si es así, búsquelos y encuentre la frecuencia de oscilación aproximada; de lo contrario, explique por qué no. (NB: Como el problema involucra una función polinomial de tercer orden, es posible que tenga que resolver un problema de tercer orden. Cuando eso suceda, para su respuesta, simplemente puede decir: la solución x al problema X).

3.12 Una vez que hayas terminado con éxito tu curso de mecánica, decides lanzar el libro a una órbita alrededor de la Tierra. Sin embargo, el profesor no está convencido de que ya no lo necesite y hace la siguiente pregunta: ¿Cuál es la relación entre la energía cinética y la energía potencial del libro en su órbita?

Sea m la masa del libro, (M_ < oplus> text R _ < oplus> ) la masa y el radio de la Tierra, respectivamente. El tirón gravitacional a una distancia r del centro viene dado por la ley de gravitación de Newton y rsquos (Ecuación 2.2.3):

  1. Encuentre la velocidad orbital v de un objeto a una altura h sobre la superficie de la Tierra.
  2. Expresar el trabajo necesario para llevar el libro a la altura h.
  3. Calcula la relación entre la energía cinética y potencial del libro en su órbita.
  4. ¿Qué requiere más trabajo, llevar el libro a la Estación Espacial Internacional (orbitando a h = 400 km) o darle la misma velocidad que la ISS?

3.13 Usando argumentos dimensionales, en el problema 1.4 encontramos la relación de escala de la velocidad de escape (la velocidad inicial mínima que debe tener un objeto para escapar de la atracción gravitacional del planeta / luna / otro objeto en el que se encuentra completamente) con la masa del radio de el planeta. Aquí, re-derivamos el resultado, incluido el factor numérico que los argumentos dimensionales no pueden darnos.

  1. Derivar la expresión de la energía potencial gravitacional, Ug, de un objeto de masa m debido a una fuerza gravitacional (F_g ) dada por la ley de gravitación de Newton y rsquos (Ecuación 2.2.3) [F _ < mathrm> = - frac> sombrero] Establezca el valor de la constante de integración en ( rightarrow 0 text r rightarrow infty )
  2. Encuentre la velocidad de escape en la superficie de un planeta de masa M y radio R equiparando la energía cinética inicial de su objeto (cuando se lanza desde la superficie del planeta) con la energía potencial gravitacional total que tiene allí.

3.14 Se dispara una bala de cañón hacia arriba desde la superficie de la Tierra con la velocidad suficiente para que llegue a la Luna. Calcula la velocidad de la bala de cañón cuando choca contra la superficie de la Luna y los rsquos, teniendo en cuenta la gravedad tanto de la Tierra como de la Luna. La Tabla B.3 contiene los datos astronómicos necesarios.

3.15 La fuerza de tracción F (x) de un arco turco en función del desplazamiento de la cuerda x (para x gt 0) está aproximadamente dada por un cuadrante de la elipse [ left ( frac> derecha) ^ <2> + izquierda ( frac right) ^ <2> = 1 ] En reposo, la cuerda del arco está en x = 0 cuando se tira del todo hacia atrás, y rsquos en x = -d.

  1. Calcule el trabajo realizado por el arco al acelerar una flecha de masa m = 37 g, para d = 0,85 m, y Fmax= 360 N.
  2. Suponiendo que todo el trabajo se convierte en energía cinética de la flecha, calcule la distancia máxima que puede volar la flecha. Sugerencia: ¿Qué variable puede controlar al disparar? Maximice la distancia con respecto a esa variable.
  3. Compare el resultado de (b) con el rango de un arco que actúa como un resorte simple (Hookean) con los mismos valores de Fmax y d. ¿Cuánto más lejos vuela la flecha disparada por el arco turco que la del arco de resorte simple?

3.16 Un cilindro masivo con masa M y radio R está conectado a una pared por un resorte en su centro (ver figura). El cilindro puede rodar hacia adelante y hacia atrás sin resbalar.

  1. Determine la energía total del sistema que consta del cilindro y el resorte.
  2. Diferencie la energía del problema (16a) para obtener la ecuación de movimiento del sistema de cilindro y resorte.
  3. Encuentre la frecuencia de oscilación del cilindro comparando la ecuación de movimiento en (16b) con la de un oscilador armónico simple (un sistema masa-resorte).

3.17 Se coloca una pequeña partícula (punto azul) encima del centro de un monte hemisférico de hielo de radio R (ver figura). Se desliza por el costado del soporte con una velocidad inicial insignificante. Suponiendo que no hay fricción entre el hielo y la partícula, calcule la altura a la que la partícula pierde contacto con el hielo.

Insinuación: Para resolver este problema, primero dibuje un diagrama de cuerpo libre y combine lo que sabe sobre energía y fuerzas.

3.18 Tirando de tubos de membrana

La energía (potencial) de un tubo de membrana cilíndrico de longitud L y radio R viene dada por

Aquí ( kappa ) es el módulo de flexión de la membrana & rsquos y ( sigma ) su tensión superficial.


El método de Euler

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) muy simple es el problema de valor inicial escalar explícito de primer orden:

Una solución analítica de una EDO es una fórmula que podemos evaluar, diferenciar o analizar de la forma que queramos. Las soluciones analíticas solo se pueden determinar para una pequeña clase de EDO.

Una `` solución numérica '' de una EDO es simplemente una tabla de abscisas & # 230 y valores aproximados que se aproximan al valor de una solución analítica. Esta tabla suele ir acompañada de alguna regla para interpolar valores de solución entre las abscisas & # 230. Con raras excepciones, una solución numérica siempre es incorrecta, la pregunta importante es, ¿qué tan incorrecta es? One way to pose this question is to determine how close the computed values are to the analytic solution, which we might write as .

The simplest method for producing a numerical solution of an ODE is known as Euler's method . Given a solution value , we estimate the solution at the next abscissa by:

(The step size is denoted here. Sometimes it is denoted .) We can take as many steps as we want with this method, using the approximate answer from one step as the starting point for the next step.

Matlab note: In the following function, the name of the function that evaluates is arbitrary. Recall that if you do not know the actual name of a function, but it is contained in a Matlab variable (I often use the variable name ``f'') then you can evaluate the function using the Matlab function ``feval.'' Supposing you have a Matlab function m-file named my_ode.m and its signature line looks like and suppose this name is contained in the variable f in your m-file. Then you can call the function using the syntax

Some students have difficulty distinguishing when to enclose names in quotes and mistakenly use the syntax This syntax tells Matlab to use the function whose name is f and that can be found in the file named f.m . In contrast, the correct syntax, feval(f,x,y) , tells Matlab to find the function whose name is the value of the variable f . These are very different things.

Typically, Euler's method will be applied to systems of ODEs rather than a single ODE. This is because higher order ODEs can be written as systems of first order ODEs. The following Matlab function m-file implements Euler's method for a system of ODEs.

Warning: In the above code, the initial value is a column vector, and the function that gets called returns a column vector however, the values are returned in the rows of the matrix m ! The function transpose is used instead of a prime because a prime without a dot means ``Hermitian'' or ``adjoint'' or ``conjugate-transpose,'' but only a true transpose is needed here. The .' operator could have been used, but is harder to read.

In the following exercise, you will use euler.m to find the solution of the initial value problem

  1. If you have not done so already, copy (use cut-and-paste) the above code into a file named euler.m or download euler.m .
  2. Copy the following code into a Matlab m-file called expm_ode.m .
  3. Now you can use Euler's method to march from y=yInit at x=0 : for each of the values of numSteps in the table below. Use at least four significant figures when you record your numbers, and you can use the first line as a check on the correctness of the code. In addition, compute the error as the difference between your approximate solution and the exact solution at x=2 , y=3*exp(-2)+2 , and compute the ratios of the error for each value of nstep divided by the error for the succeeding value of nstep . As the number of steps increases, your errors should become smaller and the ratios should tend to a limit.
  4. You know the error is for some . There is a simple way to estimate the value of by successively halving . If the error were exactly , then by solving twice, once using and the second time using and taking the ratio of the errors, you would get . Since the error is only , the ratio is only approximately .


How to Stimulate Parasympathetic Nervous System with Exercise

We have received an incredible response to our series on Balancing the Sympathetic and Parasympathetic Nervous Systems (if you haven’t read it, but sure and check it out – it’s a great primer for what we will discuss here!). Out of that series, we received several questions about how to stimulate the parasympathetic nervous system (PNS) with exercise. This is an interesting question, because exercise, especially when someone is just starting out or they are exercising intensely increases the sympathetic nervous system (SNS) rather than the PNS. However, the body is designed to spend most of its time in the PNS, and doing certain exercises can improve the PNS response and reduce the impact that stress has on your health.

High Intensity Training

High intensity exercise activates the SNS the more intense the exercise, the more stress the body can endure (assuming you are getting enough rest and adequate nutrition). Interestingly, studies have shown that repeated, intense exercise can decrease a person’s ability to reactivate the parasympathetic response and reestablish homeostasis. Thus, it appears that repeated, high intensity workouts can inhibit a balanced parasympathetic response.

Stimulating the Parasympathetic Nervous System

There are several ways to improve and strengthen the PNS response, which will help relax the mind and body. These include regular aerobic exercise, mind-body centered exercise (including yoga, tai chi and qi gong) and meditation.

Aerobic exercise

It has been shown that regular aerobic exercise can increase the activity of the parasympathetic nervous system and decrease sympathetic activity. Studies have shown that light to moderate intensity exercise for at least 30 minutes per day at least five days per week can improve the PNS response.

Resting and exercise heart rate are controlled by the sympathetic and parasympathetic nervous system. The SNS prepares the body for physical activity by increasing heart rate, increasing blood pressure, increasing the respiratory rate and releasing glucose from the liver to supply quick energy.

The PNS helps to slow down heart rate and breathing. At rest, the heart is controlled by the parasympathetic division, which is why the average resting heart rate of a person with a healthy PNS response is 60 beats per minute or less. With continued aerobic training, the PNS response increases and the resting heart rate decreases. This is one of the explanations as to why endurance athletes have such a low resting heart rate following long-term training.

Mind-body centered exercise

Mind-body centered exercises, like yoga, tai chi and qi gong, have been used for centuries to quiet the mind and strengthen the body’s reserves. The key is to focus on your breathing while deliberately/consciously moving in and through the poses without physical strain or mental chatter. In essence, in so doing you are getting the benefits of both light-intensity aerobic exercise as well as meditation.

Several studies have demonstrated that meditation can improve the parasympathetic response and delay the onset of SNS activation. A study done in Norway found that male runners who meditated for thirty minutes several times a week for six months had lower blood levels of lactic acid after exercise. This has at least two important implications. On the one hand, it indicates that mediation may give athletes a competitive edge by delaying the SNS activation by exercise, permitting them to exercise at higher levels of intensity for longer periods of time. On the other hand, for those that are solely looking to reestablish balance in their lives, it means that meditation may allow them to gain further PNS activation during and after their regular aerobic workouts.

We are often asked “What is the best time to meditate?” The answer is simple – whenever you can carve out 5-10 minutes. Some studies indicate that meditating after a workout can improve recovery and deepen the PNS response, so it may also be wise to end your workouts with a 5-minute guided meditation to speed recovery and promote a deeper relaxation response.

Getting Started

Many other techniques can also be used to help improve the PNS response, including deep breathing, Swedish and/or other light-touch massage and even walking. The key with any of these techniques is in their regular use. Incorporate one or two of these techniques into your daily regime every day and you’ll be experiencing the relaxation and calm that accompanies a healthy PNS response in no time at all.

Goldsmith RL, Bloomfield DM, Rosenwinkel ET. Exercise and autonomic function. Coron Artery Dis. 2000 Mar11(2):129-35.

Fu Q, Levine BD. Exercise and the autonomic nervous system. Handb Clin Neurol. 2013117:147-60.

James, D. V. B., Munson, S. C., Maldonado-Martin, S., & Croix, M. B. A. D. S. (2012). Heart rate variability: Effect of exercise intensity on post-exercise response. Research Quarterly for Exercise and Sport, 83(4), 533-9.

Sarang, P. S., & Telles, S. (2006). Oxygen consumption and respiration during and after two yoga relaxation techniques. Applied Psychophysiology and Biofeedback, 31(2), 143-53.

Solberg, E.E., Ingjer, F., Holen, A., Sundgot-Borgen, J., Nilsson, S., & Holme, I. (2000). Stress reactivity to and recovery from a standardized exercise bout: a study of 31 runners practicing relaxation techniques. British Journal of Sports Medicine, 34: 268-272.

Telles, S., Reddy, S. K., & Nagendra, H. R. (2000). Oxygen consumption and respiration following two yoga relaxation techniques. Applied Psychophysiology and Biofeedback, 25(4), 221-7.


Vector fields for autonomous systems of two first order ODEs

If the right hand side function gramo(t, y) does not depend on t, the problem is called autonomous. In this case the behavior of the differential equation can be visualized by plotting the vector gramo(t, y) at each point y = (y1,y2) in the y1,y2 plane (the so-called phase plane).

First save the files vectfield.m and vectfieldn.m into your home directory.

To plot the vector field for y1 going from a1 to b1 with a spacing of d1 and y2 going from a2 to b2 with a spacing of d2 use vectfield(g,a1:d1:b1,a2:d2:b2) . The command vectfieldn works in the same way, but produces arrows which all have the same length. This makes it easier to see the direction of the vector field.

Example: The pendulum problem from above without the driving force gives the first order system

We can plot the vector field and 10 trajectories with starting points (0,0), (0,0.3), . (0,2.7) in the phase plane as follows:


4 Answers 4

$ begin x ' = x^2 + y^2 - 1 y'= x^2 - y^2 end $

As @RobertLewis has pointed out, we find the equilibrium points $(x,y)$ at the points where we have $x' = y' = 0$. Tenemos

From $(4)$, we have $x^2 = y^2$. Substituting this back into $(3)$, yields $x=pm dfrac<1>>$. We can substitute this $x$ back into $(4)$, yielding $y = pm dfrac<1>>$. Thus, we have a total of critical points as:

You should validate that each of these four points gives you $x'= y' = 0$ by substituting them into the original system.

Your next step is to use linearization, find the Jacobian and evaluate the eigenvalues for those four critical points to determine stability. I am going to let you work that, but here are some nice notes with a summary, the gotchas with linearzation and examples (starts on page $4$). I am also not sure if you discussed nullclines, but the notes have those also and they can be superimposed on the phase portrait. Hint: there are three unstable and one stable critical point.

Here is a phase-portrait for the system showing the four critical points (which can be used to validate your critical points and stability analysis).

This answer posted in response to the modified system, given in (1) and (2) below:

Oy Gevalt! NOW there is work!

Where is Moshe now that we need him to lead us out from under Pharoah's toil?

Well, I ain't no $Moshe$ but I can cut some down algunos of the work, thus:

The system to be considered is now

the number of equilibria has jumped from none to cuatro! To see this, note that ahora $x' = y' = 0$ implies, from (1), (2), that

$2x^2 = 1 Rightarrow x = pm dfrac<2> ag<5>$

we see from (4) that $y$ may take the same values the equilibria occur at the four points

It may also be seen, geoemtrically, that the equilibria are given by (6), since (3) is the equation of a circle, centered at the origin and of radius $1$, and (4) is the combined equation of the two lines $x pm y = 0$, since

$x^2 = y^2 Rightarrow x = pm y Rightarrow x pm y = 0 ag<7>$

the circle intersects these lines at the specified points (6). In any event, having the equilibria of the system (1)-(2) at hand, the next step is to linearize the equations about these four points, and see what we get. Linearizing requires computation of the Jacobian matrix $J(x, y)$ of the vector field $(x', y')^T = (x^2 + y^2 -1, x^2 - y^2)^T$ we have

and we next must evaluate and eigen-analyze $J(pm dfrac><2>, pm dfrac><2>)$ for all four possible combinations of $pm dfrac><2>$, i.e., at all four points $(pm dfrac><2>, pm dfrac><2>)$. Well, some the the Oy! Gevalt! can be mollified by lessening the amount of work by realizing that, due to certain symmetries of the problem, there are really only dos matrices $J(x, y)$ which need to be considered, not four. This is most easily seen by breaking the situation up into quadrants:

in this way we only need perform the eigen-analysis on two matrices out of the four $J(pm dfrac><2>, pm dfrac><2>)$, so lets start with $J_I = J(dfrac ><2>, dfrac><2>)$ its characteristic polynomial, call it $p_I(lambda)$, is

$p_I(lambda) = det (egin sqrt <2>- lambda & sqrt <2> sqrt <2>& -sqrt <2>- lambda end) = lambda^2 - 4. ag<11>$

We see from (11) that the eigenvalues of $J_I$ are $lambda = pm 2$ since $J_I$ has a positive eigenvalue, the point $(dfrac><2>, dfrac><2>)$ is unstable since $J_I$ also has a negative eigenvalue, this point is a saddle by (9), $J_ = -J_I$ also has eigenvalues $pm 2$, and hence also unstable and a saddle. These facts are borne out by the excellent graphic contributed by Amzoti in his answer. We next turn to $J_$ since we are now in the second quadrant, we have

$p_(lambda) = det(J_ - lambda I) = det(egin -sqrt <2>- lambda & sqrt <2> -sqrt <2>& -sqrt <2>- lambda end)$ $= (lambda + sqrt<2>)^2 + 2 = lambda^2 + 2sqrt <2>lambda + 4 ag<13>$

the zeroes of $p_(lambda)$ are found vía the quadratic formula:

$lambda = dfrac<1><2>(-2sqrt <2>pm sqrt<8 - 16>) = dfrac<1><2>(-2sqrt <2>pm 2isqrt<2>) = -sqrt <2>pm isqrt<2> ag<14>$

we we see that the eigenvalues of $J_$ are not real, but have negative real part thus $(-dfrac><2>, dfrac><2>)$ is a stable spiral. Furthermore, since $J_ = -J_$, the eigevalues of $J_$ are $lambda = sqrt <2>pm isqrt<2>$ thus the point $(-dfrac><2>, -dfrac><2>)$ is an unstable spiral. All these computations support and are supported by Amzoti's grahic of the phase portrait of (1)-(2).

The stable spiral point at $(-dfrac><2>, dfrac><2>)$ is in fact asymptotically stable this follows from the fact that $Re(lambda) < 0$ for each of the eigenvalues of $J_$ this fact is both well-known and well documented, for example in the excellent reference provided by Amzoti in his comment.

There appears to be a discrepancy in the calculation of eigenvalues by Monolinte and myself, but we agree on the qualitative features of the equilibrium points. As ever, abstract analysis is easy but arithmetic proves difficult! Until further notice, I'm standing by my calculations.


3.2: Structure of Alkyl Radicals: Hyperconjugation

Problems

Indicate whether each Hydrogen present is primary, secondary, or tertiary. Why is quaternary not an option?

(a) ethane (b) 2,2-dimethylpropane (c) 1-methylcyclobutane

In each pair of radicals, determine whether the radical is primary, secondary, or tertiary and also decide which radical is more favorable. Give the general reason why for all of the cases.

(a) (B) (C)

Draw the electron pushing arrow mechanism for all possible pyrolysis radicals that can form from butane, assuming only C-C bonds are broken. What type of bond cleavage is this, heterolytic or homolytic?

Draw all the possible pyrolysis radical products for 2-methylbutane, and determine which bond is most likely to be broken.

Calculate the &DeltaH o (kJ/mol) of the following reactions using the given bond dissociation energies.

Bond Dissociation Energies (Homolytic) &DeltaH o (kJ/mol)
CH3-H (methane) 439
C2H5-H (ethane) 423
(CH3)3C-H 404
H-H 435
H-Cl 431
H-Br 364
CH3-Cl 356
CH3-Br 293
C2H5-Cl 352
C2H5-Br 293
(CH3)3C-Cl 356
(CH3)3C-Br 297
Cl-Cl 242
Br-Br 192

Predict all possible constitutional isomers possible if monohalogenation were performed on the molecules in problem 15 with Br2. Give the name of the haloalkane.

Given the following alkanes, draw the most likely product to form upon monohalogenation with Br2 (keep in mind that this may not be the only product to form though). If the reaction was performed with Cl2 would there be more or less selectivity in the desired product formation? ¿Por qué?

(a) (B) (C)

Draw out the full mechanism of the monochlorination of ethane with electron-pushing arrows. Label the three overall steps of the mechanism.

Calculate the statistical probablity of monobromination of propane on each unique carbon, and discuss why this is not likely. Given that the experimental monobromination produces two products, 97% one and 3% the other, assign these percentages to the corresponding product.

Draw the mechanism of the bromination of propene using Br2, on the carbon adjacent to the double bond. Can you draw any resonance structures for the intermediates in the propagation steps? Would you expect this to make the radical more or less stable?

Based on the previous question, how do you think the ∆H o to form the propene radical would compare to that of a propane radical?

Similar to problem 21, describe the resemblence to products and reactants of an early and a late transition state. In a monohalogenation, what step is early what step is late (propagation and termination)?

Draw the line-bond structure of the major product for the following reaction, if a reaction occurs, assume monohalogenation.

(a) (B) (C)

(D) (e)

For problem 27.c, calculate the product ratios using the following information (hint use the number of hydrogens in each category present to calculate the ratios).

Chlorination: 1 o Reactivity=1 2 o Reactivity=4 3 o Reactivity=5

Halo alkanes are synthetically useful compounds as you'll learn later. However, the radical halogenation is not always selective as seen in problem 27. If any of the products of the reactions were to be used as subsequent reagents, which would be more useful, 27.c or 27.d?

What are potential problems of trying to brominate the second carbon in hexane? If however, this does form draw the Newman Projection of the most favorable staggered conformation looking down the C2-C3 axis.

Calculate the &DeltaH o value for the bromination and iodination of propene, on the secondary carbon, assume monohalogenation. The bond dissociation values are as follows. What is the major difference between the two values? (Note this problem uses kcal mol -1 )

Bond Bond Dissociation Energy (kcal mol -1 )
Br-Br 46
I-I 36
(CH3)2CH-H 98.5
H-Br 87
H-I 71
Secondary C-I 56
Secondary C-Br 71

Draw the bond polarity present of chloroethane, explain how this affects the electronics of the carbon attached to the chloro group.

Write a balanced combustion reaction for the following hydrocarbons, sugars, and alchols. Assume complete combustion, what is one typical product of incomplete combustion?

(a) butane (b) octane (c) glucose (C6H 12 O6) (d) methanol

At 25 o C the heat of combustion of 2-butanone, CH3CHOCH2CH3, is 2444.1 kJ mol -1 and the heat of combustion of butanal, CHOCH2CH2CH3, is 2470.3 kJ mol -1 . Which combustion is more endothermic? What does this tell us about the relative stability of the two compounds?

Often times NBS, N-bromosuccinimide, is substituted for Br2 in radical halogenation reactions to keep the concentration of Br2 low. This low concentration favors the radical halogenation and not other alkene reactions, that you will learn later on. Using NBS, drawn below, draw the radical bromination of propene.

N-bromosuccinimide

Peroxides are also good initiators for radical reactions. Given the peroxide, RO-OR, draw the initiation step of the general peroxide and the propagation of that radical to create bromine radicals with HBr.

One radical inhibitor BHT, butylated hydroxytoluene, is often added to diethylether, CH3CH2OCH2CH3, to prevent explosive peroxides from forming. Given BHT's structure below, draw the radical formation on the oxygen of BHT with a general radical, R . . The phenoxy radical is stabilized/made unreactive by steric hindrance of the tertbutyl groups and also resonance.

Draw the two radical halogenation products of 2-methylpropane, also known as isobutane, with Cl2. Given the percentages of the two products are 37% and 63%, calculate the reactivity of each hydrogen and the ratio between the two.

Given the following reactions and the relative &DeltaH o , what is most likely the rate limiting step of the radical halogenation mechanism?

1) X-X &rarr 2X . &DeltaH1 o >0

3) R-CH2 . + X . &rarr R-CH2X &DeltaH3 o <0

Explain or use a mechanism to show how BHT, or other radical inhibitors, could cause a radical halogenation to come to a stop?

Given the following heats of combustion propane &DeltaH= -2202 kJ/mol, gasoline &DeltaH=-44,000 kJ/kg, diesel &DeltaH=-45,000 kJ/kg what fuel could potentially provide the most miles per weight of fuel?

Write out the reactions for the complete combustion of propane and gasoline, assuming gasoline is completely C8H18 (gasoline is actually a mixture of smaller and larger hydrocarbons).

Draw the transition states of the reaction of Cl . and Br . with a secondary carbon, compare the radical character of that carbon between the two transition states.

CFC's, chlorofluorocarbons (CF2Cl2), saw widespread use as refrigerants and as aerosols. However, due to their low boiling point, when sprayed into the air they rise up to the atmosphere and are exposed to large amounts of uv radiation. This light, often seen as hv in chemical equations, provides the energy needed to break the CFC's into radicals. Chlorine radicals are formed and this degrades the protective layer of ozone into oxygen, O2. Draw the formation of the chlorine radical from a CFC.

N-bromosuccinimide, NBS, is a reagent with what purpose?

(a) a strong base (b) a strong acid (c) radical initiator (d) radical inhibitor

Name the following compound.

A polymer scientist is trying to perform a halogenation on the following polymer to perform a subsequent reaction (the structure repeats itself to form a length of n units). She/he has been using Cl2 to perform the radical halogenation, but cannot obtain a uniformly halogenated product. What suggestion would you give her/him to try and achieve a more uniformly halogenated product?

Given that a radical halogenation with chlorine yields an early transition state, as defined in Hammond's Postulate, is the halogenation likely to be endothermic or exothermic?

Solutions

(a) (B) (C)

There can be no quaternary Hydrogen because a Carbon can only have four covalent bonds. In (b) the central carbon has no attached Hydrogen, but it is a quaternary carbon.

(a) left- tertiary right-secondary the left is more favorable (b) left-primary right-tertiary the right is more favorable (c) left- primary right- secondary the right is more favorable

For all of theses cases the more favorable radical is as follows 3 o >2 o >1 o . Since the radical is electron deficient, the more carbon substituents the more hyperconjugation that can occur. This stabilizes the radical, this "rule" is also true for carbocations as you will see later.

Make sure to draw single electron arrows. Also, this is homolytic bond cleavage because one electron goes to each atom involved in bonding.

The stability of radicals is as follows: 3 o >2 o >1 o >CH3, and so the second pair of radicals is most likely to form. A secondary and a primary radical are formed, compared to the other products that contain a methyl radical.

&DeltaH o =(&DeltaH o Bonds Broken)-(&DeltaH o Bonds Formed)

(g) H2 + Cl2 &rarr 2HCl &DeltaH o =(H-H + Cl-Cl)-2(H-Cl)=(435+242)-2(431)=-185 kJ mol -1

(a) ethane bromethane (b) 2,2-dimethylpropane 1-bromo-2,2-dimethylpropane (c) 1-methylcyclobutane (bromomethyl)cyclobutane, 1-bromo-1-methylcyclobutane, 1-bromo-2-methylcyclobutane, 1-bromo-3-methylcyclobutane

If the reaction were performed with Cl2 the product formation would not likely be as selective. This is due to the fact that the radical formation with chlorine is exothermic and the radical formation with bromine is endothermic. Hammond's postulate explains that the transition state of exothermic reaction will be more similar to the reactants, less like a radical, leading to a less selective radical formation. Whereas the transition state of an endothermic reaction will be more similar to the products, more radical like, leading to a selective radical formation.

The statistical distribution is calculated from the following: Total Carbons=3, Two external carbons are not unique, so probability=2/3 x 100% The center carbon probability is 1/3 x 100%. However, this is not likely, because the secondary carbon forms a much more stable radical than a primary radical.

As you'll learn, this is not the only reaction that can occur. Alkene chemistry will be discussed later on.

Since the propene radical is more favorable than the propane radical, the ∆H o would be lower than that of propane.

An early transition state resembles the reactants, and a late transition state resembles the products (Hammond's postulate). The formation of the alkyl radical, propagation, is an early transition state (if you draw the reaction coordinate diagram for this step it should be endothermic), and the formation of the alkyl halide, termination, is a late transition state (if you draw the reaction coordinate diagram for this step it should be exothermic).

(a) (B)

(C) (D) Notice how the chlorination is not as selective as the bromination.

(e)

Assuming there is no primary chlorination, which in reality is likely not the case, only 2 o and 3 o hydrogen atoms are taken into account.

# 2 o =2 Multiply by reactivity=Relative Yield => 8 Ratio= 8/(5+8) x 100%=62% 2 o

# 3 o =1 Multiply by reactivity=Relative Yield => 5 Ratio=5/(5+8) x 100%=38% 3 o

27.d produces a much more pure mixture of products, and thus is more likely to be useful. Whereas, the chlorination, 27.c, of the same alkane potentially yields a mixture of products. This mixture would require a difficult separation, and is much less likely to be synthetically useful.

However, if a different haloalkane were desired, then this could be useful after purification. As you see later on, though, there are other methods of creating haloalkanes that are more selective.

The problem with this is that there are several secondary carbons, all about as equally likely to form a radical. There are three groups of unique hydrogens on the molecule, the two primary, the adjacent secondary, and the most interior secondary. Statistically speaking the inner two and second most outer two are equally likely to be brominated, there are equal number of hydrogens. If however, the second carbon is brominated, the following is the most favorable conformation.

Since the methyl group is much larger than the bromine, the rest of the carbon chain is adjacent to the bromine to reduce the steric interaction. It is also anti to the methyl group to further reduce steric interaction.

This problem could be broken up into the individual steps of the mechanism, and the &DeltaH o values for each step could be summed together to get the same value.

&DeltaH o =Bonds Broken - Bonds Made = (Br-Br + Secondary C-H) - (Secondary C-Br + H-Br) = (46 + 98.5) - (71 + 87)= -13.5 kcal mol -1

&DeltaH o =Bonds Broken - Bonds Made = (I-I + Secondary C-H) - (Secondary C-I + H-I) = (36 + 98.5) - (56 + 71)= +7.5 kcal mol - 1

The main difference between the two is that the bromination is exothermic, whereas the iodination is endothermic. This explains why no reaction occurs in 27.b

The connectivity to a chlorine atom produces a highly polarized bond. This chlorination has further reactivity as you will see later on, taking advantage of the electron deficient carbon.

With any complete combustion reaction the only products are CO2 and H2O.

If any incomplete combustion occurred, carbon monoxide, CO, would be produced.

Butanal's combustion is more exothermic than that of 2-butanone. The heats of combustion tell us that 2-butanone is more stable, as it has a lower heat of combustion an thus less potential combustion energy in the compound.

Total number of abstractable Hydrogens=(3x3)+1=10

Relative Reactivity=[(Percentage)/(Number of Hydrogens)]

Tertiary Reactivity = 63/1=63

The ratio between the two is 63/4.1=15

The most endothermic step, most postive value of &DeltaH o , is most likely to be the rate limiting step. So, (2) is the rate limiting step.

The inihibitor stops interrupts the propagation step, effectively terminating the reaction. If a carbon or halogen radical does form, it will react with the BHT to form the radical in problem 37. The phenoxy radical in BHT is unreactive, and the reaction stops there.

First, convert the 2202 kJ/mol to kJ/kg.

(-2202 kJ/mol) x (1 mol/44.1 g) x (1000g / 1kg) = -49,931 kJ/mol

Since propane has the largest, most negative, heat of combustion it is likely to yield the best mileage. It, and natural gas, is commonly used as a fuel in buses.

The transition state with the chlorine radical is considered an early transition state and more similar to the reactants. The transition state with the bromine radical is considered a late transition state and more similar to the products.

(c) NBS is a radical initiator.

As you may have seen in previous problems, radical halogenation with chlorine is less selective than with bromine. A good suggestion would be to use Br2, as it will almost exclusively be added to the tertiary carbon if used in a 1:1 stoichiometric ratio. Wheras, the chlorine will also be added to the secondary carbons, thus producing a non-uniform product.

From Hammond's Postulate, an early transition state indicates an endothermic reaction.


Review Insight on Society: Online Privacy: Facebook and the Age of Privacy on pages 40–41, and in particular, the types of personal data that Facebook collects. Then visit Yahoo!, and try to identify what information Yahoo can collect via its various online offerings. Prepare a short report or presentation summarizing your findings.

Review Insight on Business: Start-up Boot Camp on pages 33&ndash34. Then go online and pick a company mentioned in the case or find another Y Combinator-supported company of your choosing, and find out more about how that company has progressed since "graduating." Is the company publicly traded and if so, are their financials strong? If not, are they expected to go public soon? Describe the company’s business model, audience size, and growth prospects, and explain why the company would have been a good fit for an incubator like Y Combinator.


Q3.41a

On what basis is the 0 value for standard enthalpy of formation assigned to a substance at a specific temperature? Base on that, identify which substances have &DeltaFH° = 0 and which do not at 1 atm and 25°C (give explanation for those that do not).

S3.41a

0 value for standard enthalpy of formation is assigned to elemental substances that are in their natural/standard physical state at that specific condition of temperature and pressure.

  1. H2(g), Al(s), Cl2(g) are substances with &DeltaFH° = 0 kJ/mol
  2. O3(g) is an elemental substance but does not occur naturally at 25°C, O2(g) is.
  3. Br2(g) is also not the standard state of bromine. At STP, the physical state of bromine is liquid
  4. NaCl does not have a 0 value because it is not an elemental substance

Q3.41b

Which of the following substances has a standard enthalpy of formation, at 298 K, of 0 K?

Q3.41c

Why is the standard enthalpy of formation of O2 zero at a temperature of 298 K?

S3.41c

The standard enthalpy of formation of O2 is zero at 298 K since O2 is the most stable allotropic form of oxygen at that particular temperature.


Exercises: Set B

  1. Plantwide Versus Department Allocations of Overhead: Service Company. Chan and Associates provides wetlands design and maintenance services for its customers, most of whom are developers. Billing is based on costs plus a 30 percent markup. Thus costs are allocated to customers rather than to products.

  1. Assume Chan and Associates uses the plantwide approach to allocating overhead costs and direct labor costs as the allocation base. Calculate the predetermined overhead rate, and explain how this rate will be used to allocate overhead costs. Round results to the nearest cent.
  2. Assume Chan and Associates uses the department approach for allocating overhead costs. Calculate the predetermined overhead rate for each department, and explain how these rates will be used to allocate overhead costs. Round results to the nearest cent.
  3. What are two possible interpretations of the term costs in the following statement? &ldquoCustomers are billed based on costs plus a 30 percent markup.&rdquo
  1. Computing Product Costs Using Activity-Based Costing. Petrov Company identified the following activities, estimated costs for each activity, and identified cost drivers for each activity for this coming year. (These are the first three steps of activity-based costing.)

The company produces two products, MX1 and MX2. Information about these products for the month of March follows:

Actual cost driver activity levels for the month of March are as follows: