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5.9.E: Problemas de convergencia en diferenciación e integración


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Completa todos los detalles de la prueba en los Teoremas 1 y (3, ) Corolarios 1 y (2, ) y Nota (3. )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Muestre que los supuestos (a) y (c) del Teorema 1 pueden reemplazarse por (F_ {n} rightarrow F ) (puntual) en (I ). (En esta forma, el teorema se aplica también a espacios incompletos (E ).)
( left. text {[Sugerencia:} F_ {n} rightarrow F ( text {pointwise} e), text {junto con la fórmula (} 3 right), ) implica (F_ {n} rightarrow F ) (uniformemente) ( text {en} I.] )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Demuestre que el Teorema 1 falla sin suponer (( mathrm {b}), ) incluso si (F_ {n} rightarrow F ) (uniformemente) y si (F ) es diferenciable en (I. )
[Sugerencia: para un contraejemplo, pruebe (F_ {n} (x) = frac {1} {n} sin nx, ) en cualquier (I. ) No degenerado. Verifique que (F_ {n} flecha derecha 0 ) (uniformemente), pero (b) y la aserción (iii) fallan.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Demuestre el teorema de Abel (Capítulo (4, §13, ) Problema 15) para series
[
sum a_ {n} (x-p) ^ {n},
]
con todo (a_ {n} ) en (E ^ {m} left (^ {*} text {o en} C ^ {m} right) ) pero con (x, p in E ^ {1} ).
[Sugerencia: Divida (a_ {n} (x-p) ^ {n} ) en componentes.]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Demuestre el corolario 3.
( text {[Sugerencia: según el teorema de Abel (ver Problema} 4), ) podemos poner
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-p) ^ {n} = F (x)
]
( left. text {uniformemente en} left [p, x_ {0} right] text {(respectivamente,} left [x_ {0}, p right] right). ) Esto implica que (F ) es relativamente continua en (x_ {0}. ) (¿Por qué?) También lo es (f, ) por suposición. También (f = F ) en ( left [p, x_ {0} right) left ( left (x_ {0}, p right] right). ) Muestre que
[
f left (x_ {0} right) = lim f (x) = lim F (x) = F left (x_ {0} right)
]
como (x rightarrow x_ {0} ) desde la izquierda (derecha).]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

En los siguientes casos, encuentre la serie de Taylor de (F ) alrededor de 0 integrando la serie de (F ^ { prime}. ) Utilice el teorema 3 y el corolario 3 para encontrar el radio de convergencia (r ) y para investigar la convergencia en (- r ) y (r. ) Use (( mathrm {b}) ) para encontrar una fórmula para ( pi. )
(a) (F (x) = ln (1 + x) );
(b) (F (x) = arctan x );
(c) (F (x) = arcsin x ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Pruebalo
[
int_ {0} ^ {x} frac { ln (1-t)} {t} dt = sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {x ^ {n}} {n ^ { 2}} quad text {para} x in [-1,1].
]
[Sugerencia: use el teorema 3 y el corolario (3. ) Obtenga derivadas de ambos lados.]


5.9.E: Problemas de convergencia en diferenciación e integración

Función, gráfico de función, dominio, rango. Funciones crecientes y decrecientes, funciones pares e impares. Funciones inversas. La clase de funciones elementales. Funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logarítmicas. Leyes de potencia, logaritmos. Límites, reglas para calcular límites, límites estándar. Continuidad, teoremas sobre funciones continuas. Derivada, reglas de diferenciación, teorema del valor medio, diferenciación implícita, aplicaciones: tasa de cambio, aproximación lineal, tangente, problemas de valores extremos, trazar la gráfica de una función, regla de l'Hôpital. Fórmula de Taylor con estimaciones de error. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y sus aplicaciones. La integral de Riemann, funciones primitivas, el teorema fundamental integral calcolus, sustitución de variables, integración por partes, fracciones parciales. Sumas de Riemann, aplicaciones geométricas y de otro tipo de integrales, integrales impropias, estimaciones y convergencia. Paramterización de curvas y longitud de arco. Secuencias y series, criterios de convergencia, prueba integral de Cauchy. Serie de Taylor.


Métodos de variables discretas

Los métodos de variables discretas se aproximan a (y (t) ) en una malla (t_0 & lt t_1 & lt ldots & lt t_f . ) Comienzan con el valor inicial (y_0 = A ) y al llegar a (t_n , ) paso a (t_ = t_n + h_n ) calculando (y_ approx y (t_) . ) Los métodos se analizan a menudo con la suposición de que los tamaños de paso (h_n ) son constantes, pero los solucionadores de propósito general varían el tamaño de paso por las razones que se describen a continuación. Se han propuesto muchos métodos, pero dominan tres tipos: Runge-Kutta, Adams, BDF (fórmulas de diferenciación hacia atrás). Al llegar a (t_n ) hay valores disponibles (y_n, y_, ldots ) ​​y (F_n = F (t_n, y_n), F_, ldots ) ​​que podrían ser explotados. Los métodos con memoria como Adams y BDF usan algunos de estos valores.Métodos de un paso como Runge-Kutta evalúan (F ) solo en puntos en ([t_n, t_] .)

Métodos Euler

Cualquier función suave (u (t) ) se puede expandir en una serie de Taylor [u (t_) = u (t_n) + h_n u't_n) + h_n ^ 2 frac(t_n)> <2> + ldots ] Si (u (t) ) es la solución local definida por [ tag <3> u '= F (t, u), quad u (t_n) = y_n ]

esta expansión sugiere una aproximación de (u (t_)) llamada El método de Euler o el método de Euler hacia adelante [y_ = y_n + h_n F (t_n, y_n) ] Esta es una fórmula explícita que requiere una evaluación de (F ) por paso. La serie muestra que el error local [ etiqueta <4> le_n = u (t_) - y_ ]

es (O (h_n ^ 2) . ) Cuando (u (t) ) en esta definición es la solución (y (t) ) del problema de valor inicial, el error local se llama error de truncamiento o error de discretización.

La método de Euler hacia atrás es [y_ = y_n + h_n F (t_, y_) ] No es obvio por qué podríamos estar interesados ​​en una fórmula que defina (y_) implícitamente como la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas y tiene la misma precisión que una fórmula explícita, pero resulta que esta fórmula es efectiva para sistemas rígidos y el método de Euler hacia adelante no lo es. Estos dos métodos de un solo paso se pueden derivar de varias formas con extensiones que conducen a los tipos populares de métodos.

Fórmulas de diferenciación hacia atrás

El método de Euler hacia atrás se puede derivar de una aproximación en diferencias a la derivada en la ecuación (1) [ frac <>- y_n> = F (t_, y_) ] Aproximaciones de diferencias que usan más valores (y_n, y_, ldots ) ​​dan como resultado otros fórmulas de diferenciación hacia atrás (BDF). La teoría de la interpolación o la expansión de la serie de Taylor muestra que cada (y_) used aumenta el orden del error de truncamiento en uno. La fórmula de Euler al revés es BDF1, el miembro de orden más bajo de la familia. Estas fórmulas son las más populares para resolver sistemas rígidos.

Métodos Adams

Métodos de Adams surgen de integrar (3) para obtener [u (t_) = y_n + int ^<>>_ F (t, u (t)) , dt ] Si la función (F (t, u (t)) ) aquí es aproximada por un polinomio interpolando valores (F_n, F_, ldots , ) un explícito Fórmula de Adams-Bashforth (AB) es obtenido. El método de Euler es AB1, el miembro de orden más bajo de la familia. Si el polinomio también interpola (F (t_, y_) , ) un implícito Fórmula de Adams-Moulton (AM) es obtenido. Al igual que con los BDF, cada (F_) used aumenta el orden del error de truncamiento en uno. El método de Euler hacia atrás es AM1. La interpolación lineal da como resultado AM2 de segundo orden, [y_ = y_n + frac<2> , [F (t_n, y_n) + F (t_, y_)] ] que se conoce como regla trapezoidal.

La forma en que se evalúa una fórmula implícita es fundamental para su uso. Un explícito vaticinador la fórmula se usa primero para calcular un valor tentativo (p_ . ) Se sustituye por (y_) en el lado derecho del implícito corrector fórmula y la fórmula evaluada para obtener una mejor aproximación a (y_. ) Por ejemplo, si las fórmulas AB1 y AM1 se utilizan como un par, este proceso de iteración simple comienza con el valor predicho [y_^ <[0]> = y_n + h_n F (t_n, y_) ] y corrige sucesivamente los valores [y_^ <[m + 1]> = y_n + h_n F (t_, y_^ <[m]>) ] Este proceso se repite hasta que la fórmula implícita se satisface lo suficientemente bien o el paso se considera un fracaso. Si el paso falla, (h_n ) se reduce para mejorar la tasa de convergencia y la precisión de la predicción, y el programa nuevamente intenta dar un paso. La iteración simple es la forma estándar de evaluar fórmulas implícitas para problemas no rígidos. Si es un predeterminado, reparado número de iteraciones, el método resultante se llama predictor-corrector fórmula. Si el predictor tiene un error de truncamiento que es del mismo orden que la fórmula implícita, una sola iteración produce un resultado con un error de truncamiento que coincide con el orden inicial con el de la iteración hasta el final. Si el predictor es de orden uno inferior, el resultado tiene el mismo orden que el corrector, pero los términos iniciales del error de truncamiento son diferentes. Hay dos formas en que las fórmulas de Adams se implementan en solucionadores populares. Ambos predicen con una fórmula de Adams-Bashforth y corrigen con un método de Adams-Moulton. Una forma es iterar hasta el final, de modo que la integración se realice de manera efectiva con un método implícito de Adams-Moulton. La otra es hacer una sola corrección, lo que equivale a una fórmula explícita. Para problemas no rígidos, hay poca diferencia en la práctica, pero las dos implementaciones se comportan de manera muy diferente al resolver problemas rígidos. Como ejemplo, si predecimos con el método de Euler (AB1) y corregimos una vez con la regla trapezoidal (AM2), obtenemos una fórmula [p_ = y_n + h_n F (t_n, y_n) ] [y_ = y_n + frac<2> , [F (t_n, y_n) + F (t_,pag_)] ] que se conoce como De Heun método. Es un método explícito que cuesta dos evaluaciones de (F ) por paso y tiene un error local que es (O (h_n ^ 3) . )

Métodos de Runge-Kutta

El método de Euler, el método de Euler hacia atrás, la regla trapezoidal y el método de Heun son todos ejemplos de Métodos de Runge-Kutta (RK). Los métodos RK a menudo se derivan escribiendo la forma del método de un paso, expandiendo en la serie de Taylor y eligiendo coeficientes para igualar los términos en una expansión de la serie de Taylor de la solución local al orden más alto posible. La forma general de un método explícito de Runge-Kutta que involucra dos evaluaciones de (F , ) o como se les llama en este contexto, etapas, es [y_ = y_n + alpha_ <1> h_n F (t_n, y_n) ] [y_ = y_n + h_n , [ beta_ <2,0> F (t_n, y_n) + beta_ <2,1> F (t_, y_)] ] Resulta que no es posible obtener el orden tres con solo dos etapas, pero los coeficientes del método de Heun muestran que es posible obtener el orden dos. Otra fórmula de orden dos que se ha utilizado en algunos solucionadores es [y_ = y_n + frac <2> F (t_n, y_n) ] [y_ = y_n + h_n , F (t_, y_) ] Los métodos RK explícitos son muy populares para resolver IVP no rígidos. Los métodos RK implícitos son muy populares para resolver BVP y también se utilizan para resolver IVP rígidos.


Camino de una pelota de béisbol: Pasos

Paso 1: Defina las variables utilizadas en ambas ecuaciones paramétricas.

  • Represente la altura en pies por & # 8216h & # 8217,
  • El ángulo en grados por & # 8216a & # 8217,
  • La velocidad inicial en pies por segundo por & # 8216v & # 8217
  • El tiempo en segundos por & # 8216t & # 8217.

Paso 2: escribe una ecuación para el movimiento horizontal de la pelota de béisbol en función del tiempo:

Paso 3: escribe una ecuación para describir el movimiento vertical de la pelota de béisbol en función del tiempo:

En esta fórmula, t 2 es el cuadrado de la variable & # 8216t & # 8217, que es simplemente t * t o t 2.

El par de ecuaciones x (t) e y (t) son las ecuaciones paramétricas requeridas que describen la trayectoria de la pelota de béisbol en cálculo.


Principios del análisis matemático

La tercera edición de este conocido texto continúa proporcionando una base sólida en el análisis matemático para estudiantes de pregrado y posgrado de primer año. El texto comienza con una discusión del sistema de números reales como un campo ordenado completo. (La construcción de Dedekind se trata ahora en un apéndice del Capítulo I.) El trasfondo topológico necesario para el desarrollo de conve.

La tercera edición de este conocido texto continúa proporcionando una base sólida en el análisis matemático para estudiantes de pregrado y posgrado de primer año. El texto comienza con una discusión del sistema de números reales como un campo ordenado completo. (La construcción de Dedekind se trata ahora en un apéndice del Capítulo I.) El trasfondo topológico necesario para el desarrollo de la convergencia, la continuidad, la diferenciación y la integración se proporciona en el Capítulo 2. Hay una nueva sección sobre la función gamma, y ​​muchos nuevos y se incluyen interesantes ejercicios.

Este texto es parte de la serie para estudiantes de Walter Rudin en matemáticas avanzadas.


Otro problema interesante de AMM

Aquí se da una solución al siguiente problema. Mi solución, aunque usa la misma idea, la mantiene simple.

Problema 1. Muestra esa

Solución. Tenemos

Está claro que la identidad

se cumple porque los intervalos de convergencia de la serie de Maclaurin de y son ambos. Además, según la prueba alterna, la identidad es válida para (¡consulte el ejercicio 2 en esta publicación!).

Problema 2 (Mensual Matemática Estadounidense, 2018). Muestra esa

Solución. Tenemos

Ahora, para encontrar no usamos el método que usamos para encontrar porque, a diferencia de la serie Maclaurin de la serie Maclaurin, no es muy agradable. En su lugar, usamos la serie de Maclaurin de y luego encontramos cada término. Entonces tenemos

por la parte vii) del comentario en esta publicación, y por lo tanto por

Ejercicio 1. En el ejercicio 4 de esta publicación, vimos que ahora muestra que

Ejercicio 2. Muestra esa
Insinuación. Comience integrando la serie de Maclaurin dada en el problema 1.


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Problemas y errores de convergencia de circuitos comunes

El análisis de circuitos se realiza típicamente mediante programación dinámica acotada, donde hay una serie de valores variables que deben determinarse simultáneamente y dentro de restricciones. Muy a menudo, los algoritmos de estos programas son técnicas de optimización iterativas. El éxito o la convergencia se logra cuando se pueden encontrar valores para todas las variables de manera que no haya violaciones de las restricciones. Para la mayoría de los problemas bien definidos, la convergencia es posible. Sin embargo, si hay errores o parámetros de programa mal definidos, el resultado puede ser una solución incorrecta o ninguna solución. A continuación, se muestra una lista de problemas y errores comunes de convergencia que pueden impedir que su simulación encuentre una solución.

Problemas y errores típicos de convergencia de circuitos:

Problemas con el modelo de circuito

Se produce una discontinuidad si un parámetro no tiene un valor para un intervalo de tiempo del programa. Este error puede producir resultados erróneos.

Los parámetros indefinidos son manejados de diferentes formas por varios programas. Algunos pueden asumir un valor predeterminado, mientras que otros pueden detener la ejecución.

La mayoría de los elementos deben conectarse entre dos nodos diferentes, de lo contrario, si a uno le falta un circuito abierto (resistencia infinita) o se asume un dispositivo flotante y si ambos nodos son iguales, existe un cortocircuito, lo que elimina efectivamente todas las demás rutas del circuito.

Los valores irrazonables pueden producir resultados impredecibles o incluso provocar no convergencia.

Problemas del programa de simulación

Las tolerancias, al igual que valores como el voltaje y la corriente, pueden ser absolutas (fijas) o relativas (dependientes de algún otro valor de parámetro). Estos son también los determinantes de si se obtiene la convergencia y cuándo. Si son demasiado pequeños, es posible que no se pueda acceder a ellos y que el programa se atasque en un bucle o no converja.

Los tamaños de paso suelen ser tiempos, aunque pueden ser frecuencias o magnitudes. Si son demasiado grandes, el programa puede omitir la solución. Este problema puede ser un problema para cualquier método de solución que utilice la diferenciación, como el descenso de gradientes.

Las iteraciones pueden ser demasiado pequeñas o demasiado grandes. Si es demasiado pequeño, el programa puede detenerse antes de que se logre la convergencia. Si es demasiado grande y se combina con otro problema, como una gran tolerancia, el programa puede ejecutarse durante un tiempo excesivamente largo sin la posibilidad de encontrar una solución. Sin un monitoreo constante, esta condición puede pasar desapercibida y costar un valioso tiempo de desarrollo de PCB.

Modelado de comportamiento analógico (ABM)

Los dispositivos analógicos y el procesamiento generalmente se modelan como discretos para fines de programación. Las singularidades, que son pasos en los que el modelo no está definido, pueden causar no convergencia.

La lista anterior no es exhaustiva, pero define con precisión una serie de errores y problemas comunes que pueden hacer que falle la simulación. Afortunadamente, en la mayoría de los casos, estos se pueden abordar con algunos pasos simples, que se analizan a continuación.


EXAMEN FINAL OPCIONAL

Si no está satisfecho con su calificación, puede realizar el examen final.

Viernes 12 de diciembre, de 3 a 6 p.m., en Carnegie 201.

Solo se permite una sábana de cuna de 8 y 1/2 por 11 ", no se permite ningún otro tipo de ayuda.

Por favor, envíeme un correo electrónico a kovacg a rpi dot edu antes del miércoles 10 de diciembre si desea tomar la final.

Si decide tomar la final, perderá todas sus calificaciones anteriores.

Hora: Lunes y jueves de 10:00 a 23:50 h.
Sala: Lally 104
Instructor: Gregor Kovacic
Oficina: 420 Amos Eaton
Teléfono: 276-6908
Correo electrónico: kovacg en rpi dot edu
Horas de oficina: Haga clic aquí.

Temas

Sistemas numéricos: Enteros, infinito contable, inducción, racionales, irracionales, el anillo ordenado de números reales, suprema e infima, el límite superior mínimo y propiedades de Arquímedes, representación decimal, infinitud incontable de números reales, desigualdades básicas, números complejos, raíces de unidad.

Topología del eje real y del plano complejo: Teoría de conjuntos básica, productos cartesianos, axioma de elección, intervalos abiertos y cerrados, bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, puntos de agrupamiento, interiores, cierres, límites, conjuntos acotados, conjuntos conectados, subconjuntos abiertos de la línea real, conjunto de Cantor .

Límites: Funciones, dominios, rangos, funciones sobre y uno a uno, inversas, secuencias infinitas y sus límites, convergencia y divergencia, secuencias de Cauchy, secuencias acotadas y puntos de agrupamiento, secuencias monotónicas, operaciones sobre límites, algunos límites especiales, limsup y liminf , completitud de los números reales, construcción de los números reales, límites de funciones, límites a la izquierda y a la derecha.

Continuidad: Continuidad en un punto, límites y continuidad, funciones continuas, ejemplos de funciones continuas, operaciones sobre funciones continuas, continuidad de funciones compuestas, preimágenes continuas de conjuntos abiertos y cerrados, compacidad, teoremas de Bolzano-Weierstrass y Heine-Borel, continuidad uniforme, continua imágenes de intervalos compactos, continuidad de Lipschits y Holder, discontinuidades, funciones monótonas y sus inversas.

Diferenciación: Derivada en un punto, pendiente de la tangente, funciones diferenciables, derivadas de funciones elementales, diferenciabilidad y continuidad, cálculo de derivadas, derivadas de funciones compuestas y la regla de la cadena, teorema del valor medio, derivadas y monotonicidad, derivadas de funciones inversas, derivadas superiores , máximos y mínimos de funciones, falta de diferenciabilidad en un punto, teorema del valor intermedio, regla de L'Hospital.

Integral de Rieman: Sumas de Riemann y Darboux, particiones y refinamientos, integral de Riemann, integrales de funciones continuas, operaciones sobre integrales, integrales del valor absoluto, integrales sobre intervalos adyacentes, teorema del valor medio, antiderivadas y el teorema fundamental del cálculo, cambio de variable, integración por partes, integrabilidad de funciones continuas por partes, una función no integrable, funciones logarítmicas y exponenciales, funciones hiperbólicas y sus inversas, métodos de integración para funciones racionales, integrales impropias, función gamma.

Series numéricas y funcionales: Fórmula de Taylor y serie de Taylor, resto de Lagrange y Cauchy, expansión de funciones elementales de Taylor, expresiones indefinidas y regla de L'Hospital, series numéricas, criterio de Cauchy, convergencia absoluta y condicional, suma y multiplicación de series, secuencias funcionales y series, puntuales y uniformes convergencia, prueba de Weierstrass, integración y diferenciación de series funcionales, series de potencias y radio de convergencia, exponenciales complejas, teorema de aproximación de Weierstrass.

Las notas de clase del semestre de otoño de 2015 se depositan aquí.
Las notas de clase del semestre de otoño de 2014 se depositan aquí.
Las notas de clase del semestre de otoño de 2013 se depositan aquí.
Aquí hay otro conjunto de notas, escrito por Joshua Sauppe.

Libros de texto

T. M. Apostol, Cálculo, vol. 1: Cálculo de una variable con una introducción al álgebra lineal, Wiley.
T. M. Apostol, Análisis matemático, segunda edición, Addison-Wesley.
A. Browder, Análisis matemático: una introducción, Springer-Verlag.
R. C. Buck, Cálculo avanzado, Waveland.
R. Courant, Cálculo diferencial e integral, vol. 1, Springer-Verlag.
R. Courant y F. John, Introducción al cálculo y análisis, vol. 1, Springer-Verlag.
Jerga, Análisis de pregrado, Springer-Verlag.
J. E. Marsden y M. J. Hoffman, Análisis clásico elemental, W. H. Freeman.
M. Rosenlicht, Introducción al análisis, Dover.
W. Rudin, Principios del análisis matemático, McGraw-Hill.
G. E. Shilov, Análisis elemental real y complejo, Dover.
M. Spivak, Cálculo, Publicar o perecer.
R. S. Strichartz, El camino del análisis, Jones y Bartlett.
V. R. Zorich, Análisis matemático I, Springer-Verlag.


Matemáticas avanzadas

Se realiza un examen SQA externo al final del curso.

Aplicaciones

Aplicaciones 1.1 Aplicación de habilidades algebraicas a formas rectilíneas.
Aplicaciones 1.2 Aplicar habilidades algebraicas a círculos.
Aplicaciones 1.3 Aplicar habilidades algebraicas a secuencias.
Aplicaciones 1.4 Aplicar habilidades de cálculo a la optimización y área.

Expresiones y funciones

E & ampF 1.1: Aplicar habilidades algebraicas a logaritmos y exponenciales.
E & ampF 1.2: Aplicar habilidades trigonométricas para manipular expresiones.
E & ampF 1.3: Aplicar habilidades algebraicas y trigonométricas a funciones.
E & ampF 1.4: Aplicar habilidades geométricas a los vectores.

Relaciones y cálculo

R & ampC 1.1: Aplicar habilidades algebraicas para resolver ecuaciones.
R & ampC 1.2: Aplicar habilidades trigonométricas para resolver ecuaciones.
R & ampC 1.3: Aplicación de habilidades de cálculo de diferenciación.
R & ampC 1.4: Aplicación de habilidades de cálculo de integración.

Debe tener un buen conocimiento de lo siguiente:

  • Completando el cuadrado.
  • Cambiando el tema de la fórmula.
  • Manipulación de fracciones algebraicas.
  • Factorización.
  • Manipulación de Surds e índices.
  • Manipular cuadráticas.
  • Trigonometría básica.


Ver el vídeo: Paso 4 - Diferenciación e integración numérica (Septiembre 2021).