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3.7.E: Problemas en espacios métricos (ejercicios) - Matemáticas


Los problemas de las "flechas" deben tenerse en cuenta para trabajos posteriores.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Demuestre que (E ^ {2} ) se convierte en un espacio métrico si las distancias ( rho ( overline {x}, overline {y}) ) están definidas por
(a) ( rho ( overline {x}, overline {y}) = left | x_ {1} -y_ {1} right | + left | x_ {2} -y_ {2} derecha | ) o
(b) ( rho ( overline {x}, overline {y}) = max left { left | x_ {1} -y_ {1} right |, left | x_ {2} -y_ {2} right | right } ),
donde ( overline {x} = left (x_ {1}, x_ {2} right) ) y ( overline {y} = left (y_ {1}, y_ {2} right) . ) En cada caso, describe (G _ { overline {0}} (1) ) y (S _ { overline {0}} (1). ) Haz lo mismo para el subespacio de puntos con no negativos coordenadas.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Demuestre las afirmaciones hechas en el texto sobre globos en un espacio discreto. Encuentra una esfera vacía en ese espacio. ¿Puede una esfera contener todo el espacio?

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Demuestre que ( rho ) en los Ejemplos ((3) ) y ((5) ) obedece a los axiomas métricos.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Sea (M ) el conjunto de todos los enteros positivos junto con el "punto" ( infty. ) Metrize (M ) estableciendo
[
rho (m, n) = left | frac {1} {m} - frac {1} {n} right |, text {con la convención de que} frac {1} { infty} = 0.
]
Verifique los axiomas métricos. Describe (G _ { infty} left ( frac {1} {2} right), S _ { infty} left ( frac {1} {2} right), ) y (G_ { 1} (1) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

( Rightarrow 5. ) Metrice el sistema de números reales extendido (E ^ {*} ) por
[
rho ^ { prime} (x, y) = | f (x) -f (y) |,
]
donde la funcion
[
f: E ^ {*} underset { text {sobre}} { longrightarrow} [- 1,1]
]
es definido por
[
f (x) = frac {x} {1+ | x |} text {if} x text {es finito,} f (- infty) = - 1, text {y} f (+ infty ) = 1.
]
Calcular ( rho ^ { prime} (0, + infty), rho ^ { prime} (0, - infty), rho ^ { prime} (- infty, + infty), rho ^ { prime} (0,1), rho ^ { prime} (1,2), ) y ( rho ^ { prime} (n, + infty). ) Describe (G_ {0} (1), G _ {+ infty} (1), ) y (G _ {- infty} left ( frac {1} {2} right). ) Verifique la métrica axiomas (también cuando se trata de infinitos).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

( Rightarrow 6. ) En el problema (5, ) demuestre que la función (f ) es uno a uno, sobre ([- 1,1], ) y creciente; es decir.
[
x ]
También demuestre que la imagen (f ) de un intervalo ((a, b) subseteq E ^ {*} ) es el intervalo ((f (a), f (b)). ) Por lo tanto deduzca que los globos en (E ^ {*} ) (con ( rho ^ { prime} ) como en el problema 5) son intervalos en (E ^ {*} ) (posiblemente infinitos).
[Sugerencia: para un valor finito de (x, )
[
y = f (x) = frac {x} {1+ | x |}.
]
Resolviendo para (x ) (por separado en los casos (x geq 0 ) y (x <0), ) muestra que
[
( forall y in (-1,1)) quad x = f ^ {- 1} (y) = frac {y} {1- | y |};
]
así (x ) está determinado únicamente por (y, ) es decir, (f ) es uno a uno y sobre-cada (y in (-1,1) ) corresponde a algún (x in E ^ {1}. ) (¿Qué tal ( pm 1?) )
Para mostrar que (f ) está aumentando, considere por separado los tres casos (x <0

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Los problemas continuos 5 y (6, ) consideran ( left (E ^ {1}, rho ^ { prime} right) ) como un subespacio de ( left (E ^ {*}, rho ^ { prime} right) ) con ( rho ^ { prime} ) como en el Problema (5. ) Demuestre que los globos en ( left (E ^ {1}, rho ^ { prime} right) ) son exactamente todos los intervalos abiertos en (E ^ {*}. ) Por ejemplo, ((0,1) ) es un globo. ¿Cuáles son su centro y radio debajo de ( rho ^ { prime} ) y debajo de la métrica estándar ( rho? )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Mida el intervalo cerrado ([0, + infty] ) en (E ^ {*} ) configurando
[
rho (x, y) = left | frac {1} {1 + x} - frac {1} {1 + y} right | ,
]
con las convenciones (1 + (+ infty) = + infty ) y (1 / (+ infty) = 0. ) Verifica los axiomas métricos. Describe (G_ {p} (1) ) para (p geq 0 ) arbitrario.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Demuestre que si ( rho ) es una métrica para (S, ) entonces otra métrica ( rho ^ { prime} ) para (S ) está dada por
(i) ( rho ^ { prime} (x, y) = min {1, rho (x, y) } );
(ii) ( rho ^ { prime} (x, y) = frac { rho (x, y)} {1+ rho (x, y)} ).
En el caso de (( mathrm {i}), ) demuestre que los globos (G_ {p} ( varepsilon) ) de radio ( varepsilon leq 1 ) son iguales en ( rho ) y ( rho ^ { prime}. ) En el caso (ii), demuestre que cualquier (G_ {p} ( varepsilon) ) en ((S, rho) ) también es un globo (G_ {p} left ( varepsilon ^ { prime} right) ) en ( left (S, rho ^ { prime} right) ) de radio
[
varepsilon ^ { prime} = frac { varepsilon} {1+ varepsilon},
]
y cualquier globo de radio ( varepsilon ^ { prime} <1 ) en ( left (S, rho ^ { prime} right) ) es también un globo en ((S, rho ). ) (¡Encuentra la fórmula inversa para ( varepsilon ) también!)
[Sugerencia para la desigualdad del triángulo en (ii): Sea (a = rho (x, z), b = rho (x, y), ) y (c = rho (y, z) ) de modo que (a leq b + c. ) La desigualdad requerida es
[
frac {a} {1 + a} leq frac {b} {1 + b} + frac {c} {1 + c}.
]
Simplifíquelo y demuestre que se sigue de (a leq b + c.] )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Demuestre que si ( left (X, rho ^ { prime} right) ) y ( left (Y, rho ^ { prime prime} right) ) son espacios métricos, entonces un La métrica ( rho ) para el conjunto (X veces Y ) se obtiene estableciendo, para (x_ {1}, x_ {2} in X ) y (y_ {1}, y_ { 2} en Y ),
(i) ( rho left ( left (x_ {1}, y_ {1} right), left (x_ {2}, y_ {2} right) right) = max left { rho ^ { prime} left (x_ {1}, x_ {2} right), rho ^ { prime prime} left (y_ {1}, y_ {2} right) right } ;) o
(ii) ( rho left ( left (x_ {1}, y_ {1} right), left (x_ {2}, y_ {2} right) right) = sqrt { rho ^ { prime} left (x_ {1}, x_ {2} right) ^ {2} + rho ^ { prime prime} left (y_ {1}, y_ {2} right) ^ {2}} ).
[Sugerencia: para abreviar, escriba ( rho_ {12} ^ { prime} = rho ^ { prime} left (x_ {1}, x_ {2} right), rho_ {12} ^ { prime prime} = rho ^ { prime prime} left (y_ {1}, y_ {2} right), ) etc. La desigualdad del triángulo en (ii),
[
sqrt { left ( rho_ {13} ^ { prime} right) ^ {2} + left ( rho_ {13} ^ { prime prime} right) ^ {2}} leq sqrt { left ( rho_ {12} ^ { prime} right) ^ {2} + left ( rho_ {12} ^ { prime prime} right) ^ {2}} + sqrt { left ( rho_ {23} ^ { prime} right) ^ {2} + left ( rho_ {23} ^ { prime prime} right) ^ {2}},
]
se verifica elevando ambos lados al cuadrado, aislando la raíz cuadrada restante del lado derecho, simplificando y elevando nuevamente al cuadrado. Simplifica usando las desigualdades triangulares válidas en (X ) y (Y, ) es decir,
[
rho_ {13} ^ { prime} leq rho_ {12} ^ { prime} + rho_ {23} ^ { prime} text {y} rho_ {13} ^ { prime prime} leq rho_ {12} ^ { prime prime} + rho_ {23} ^ { prime prime}.
]
Invierta todos los pasos, de modo que la desigualdad requerida se convierta en el último paso. (] )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Pruebalo
[
| rho (y, z) - rho (x, z) | leq rho (x, y)
]
en cualquier espacio métrico ((S, rho). )
[Precaución: La fórmula ( rho (x, y) = | x-y |, ) válida en (E ^ {n}, ) no se puede usar en ((S, rho). ) ¿Por qué? (] )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Pruebalo
[
rho left (p_ {1}, p_ {2} right) + rho left (p_ {2}, p_ {3} right) + cdots + rho left (p_ {n-1}, p_ {n} derecha) geq rho izquierda (p_ {1}, p_ {n} derecha).
]
[Sugerencia: utilice la inducción. (] )


Ver el vídeo: Math. Metric Spaces. Examples on Complete Metric Space. Lect. 4. Dr.. DSCL (Septiembre 2021).