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5.10.E: Problemas de funciones reguladas - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Completa todos los detalles en la demostración de los teoremas (1-3 ).

Ejercicio ( PageIndex {1 '} )

Explica los ejemplos ((a) - (g) ).

Ejercicio ( PageIndex {2 *} )

Demuestre la nota (2. ) De manera más general, suponiendo que (T ) esté completo, demuestre que si
[
g_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) text {on} I = [a, b]
]
y si las (g_ {n} ) están reguladas en (I, ) también lo está (f ).
[Sugerencia: Arregle (p in (a, b]). ) Use el Teorema 2 del Capítulo (4, §11 ) con
[
X = [a, p], Y = N cup {+ infty }, q = + infty, text {y} F (x, n) = g_ {n} (x).
]
Entonces muestra eso
[
f left (p ^ {-} right) = lim _ {x rightarrow p ^ {-}} lim _ {n rightarrow infty} g_ {n} (x) text {existe; }
]
( left. text {de manera similar para} f left (p ^ {+} right). right] )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Dado (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1}, ) define (f vee g ) y (f wedge g ) como en el problema 12 del capítulo (4, §8. ) Usando la sugerencia dada allí, demuestre que (f vee g ) y (f wedge g ) están reguladas si (f ) y (g ) lo están.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Demuestre que la función (g circ f ) no necesita ser regulada incluso si (g ) y (f ) sí lo están.
[Sugerencia: deje
[
f (x) = x cdot sin frac {1} {x}, g (x) = frac {x} {| x |}, text {y} f (0) = g (0) = 0 text {con} I = [0,1].
]
Continuar.]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

( Rightarrow ) Dado (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho), ) regulado en (I, ) put
[
j (p) = max left { rho left (f (p), f left (p ^ {-} right) right), rho left (f (p), f left (p ^ {+} right) right), rho left (f left (p ^ {-} right), f left (p ^ {+} right) right) right } ;
]
llámalo (j u m p ) en (p ).
(i) Demuestre que (f ) es discontinua en (p en I ^ {0} ) iff (j (p)> 0, ) es decir, sif
[
( existe n en N) quad j (p)> frac {1} {n}.
]
(ii) Para un (n en N, ) fijo, demuestre que un subintervalo cerrado (J subseteq I ) contiene a lo sumo un número finito de (x ) con (j (x)> 1 / n ).
[Sugerencia: De lo contrario, hay una secuencia de puntos distintos (x_ {m} en J, j left (x_ {m} right)> frac {1} {n}, ) por lo tanto, una subsecuencia ( x_ {m_ {k}} rightarrow p in J. ) (¿Por qué?) Usa el Teorema 1 del Capítulo (4, ) §2, ( left. text {para demostrar que} f left ( p ^ {-} right) text {o} f left (p ^ {+} right) text {no existe.} right] )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

( Rightarrow ) Demuestre que si (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho) ) está regulado en (I, ) entonces tiene como mucho muchas discontinuidades contables en (I; ) todos son del tipo "salto" (Problema 5).
[Sugerencia: por el problema 5, cualquier subintervalo cerrado (J subseteq I ) contiene, para cada (n, ) como máximo, un número finito de discontinuidades (x ) con (j (x)> 1 / n. ) Por lo tanto, para (n = 1,2, ldots, ) obtenga ( text {contablemente muchos de esos} x.] )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Demuestre que si (E ) está completo, todos los mapas (f: E ^ {1} rightarrow E, ) con (V_ {f} [I] <+ infty ) en (I = [ a, b], ) están regulados en (I. )
[Sugerencia: use el Corolario 1, Capítulo 4, §2, para mostrar que (f left (p ^ {-} right) ) y (f left (p ^ {+} right) ) existen .
Decir,
[
x_ {n} rightarrow p text {con} x_ {n}

]
pero ( left {f left (x_ {n} right) right } ) no es Cauchy. Luego encuentre una subsecuencia, ( left {x_ {n_ {k}} right } uparrow, ) y ( varepsilon> 0 ) tal que
[
izquierda | f izquierda (x_ {n_ {k + 1}} derecha) -f izquierda (x_ {n_ {k}} derecha) derecha | geq varepsilon, quad k = 1,3,5, ldots
]
Deducir una contradicción a (V_ {f} [I] <+ infty. )
( left. quad text {Proporciona un argumento similar para el caso} x_ {n}> p. right] )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Demuestre que si (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho) ) está regulado en (I, ) entonces ( overline {f [B]} ) (el cierre ( el texto {de} f [B]) ) es compacto en ((T, rho) ) siempre que (B ) es un subconjunto compacto de (I. )
[Sugerencia: Dado ( left {z_ {m} right } ) en ( overline {f [B]} ), encuentra ( left {y_ {m} right } subseteq f [B] ) tal que ( rho left (z_ {m}, y_ {m} right) rightarrow 0 ) (use ( text {Teorema} 3 text {del Capítulo} 3 , §16). ) Luego "imite" la demostración del Teorema 1 en el Capítulo ( text {ter} 4, §8 ) adecuadamente. Distinguir los casos:
(i) todos menos un número finito de (x_ {m} ) son (

(ii) infinitos (x_ {m} ) exceden (p; ) o
(iii) infinitos (x_ {m} ) iguales a (p ).]