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1.4.E: Problemas en conjuntos contables e incontables (ejercicios)


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Demuestre que si (A ) es contable pero (B ) no lo es, entonces (B-A ) es incontable.
[Sugerencia: si (B-A ) fuera contable, también lo sería
[
(B-A) cup A supseteq B. quad ( mathrm {¿Por qué?})
]
Utilice el corolario (1.] )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Sea (f ) un mapeo y (A subseteq D_ {f}. ) Demuestre que
(i) si (A ) es contable, también lo es (f [A] );
(ii) si (f ) es uno a uno y (A ) es incontable, también lo es (f [A] ).
( left [ text {Sugerencias:} left ( text {i) Si} A = left {u_ {n} right }, text {luego} right. right. )
[
f [A] = left {f left (u_ {1} right), f left (u_ {2} right), ldots, f left (u_ {n} right), ldots derecho}
]
(ii) Si (f [A] ) fuera contable, también lo sería (f ^ {- 1} [f [A]], ) por (i). Verificalo
[
f ^ {- 1} [f [A]] = A
]
aquí; cf. Problema 7 en §§4-7.]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Sean (a, b ) números reales ((a [
f (x) = a + x (b-a).
]
Demuestre que (f ) es uno a uno y en el intervalo ([a, b) = {x | a leq x

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Demuestre que entre cualquier número real (a, b (a [Sugerencia: según el corolario 3 y los problemas 1 y (3, ) el conjunto ((a, b) -R ) es incontable. Explicar en detalle.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Demuestre que todo conjunto infinito (A ) contiene un conjunto infinito numerable, es decir, una secuencia infinita de términos distintos.
[Sugerencia: Arregle cualquier (a_ {1} in A; A ) no puede consistir en (a_ {1} ) solo, por lo que hay otro elemento
[
a_ {2} in A- left {a_ {1} right }. quad ( mathrm {¿Por qué}?)
]
Nuevamente, (A neq left {a_ {1}, a_ {2} right }, ) entonces hay un (a_ {3} en A- left {a_ {1}, a_ {2} right }. ) (¿Por qué?) Continúe así ad infinitum para obtener la secuencia requerida ( left {a_ {n} right }. ) ¿Por qué están todos (a_ {n} ) ¿distinto? (] )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Del problema (5, ) demuestre que si (A ) es infinito, hay un mapa (f: A rightarrow A ) que es uno a uno pero no en (A. )
[Sugerencia: Con (a_ {n} ) como en el Problema (5, ) defina (f left (a_ {n} right) = a_ {n + 1}. ) Si, sin embargo, (x ) no es ninguno de (a_ {n}, ) put (f (x) = x ). Observe que (f (x) = a_ {1} ) nunca es cierto, entonces (f ) no está en (A. ) Demuestre, sin embargo, que (f ) es uno a uno.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

A la inversa (cf. Problema 6), demuestre que si hay un mapa (f: A rightarrow A ) que es uno a uno pero no sobre (A, ) entonces (A ) contiene una secuencia infinita ( left {a_ {n} right } ) de términos distintos.
[Sugerencia: como (f ) no está en (A, ) hay (a_ {1} in A ) tal que (a_ {1} notin f [A]. ) (¿Por qué ?) Arregle (a_ {1} ) y defina
[
a_ {2} = f left (a_ {1} right), a_ {3} = f left (a_ {2} right), ldots, a_ {n + 1} = f left (a_ { n} derecha), ldots text {ad infinitum. }
]
Para probar la distinción, demuestre que cada (a_ {n} ) es distinto de todos (a_ {m} ) con (m> n. ) Para (a_ {1}, ) esto es cierto ya que (a_ {1} notin f [A], ) mientras que (a_ {m} in f [A] (m> 1). ) Luego proceda inductivamente.]


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P.10 Colección de todos los subconjuntos finitos de N estados como incontables. ¿No es contable?

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La colección de subconjuntos finitos de N = Unión de subconjuntos de N de orden 1,2,3 ..
Los subconjuntos de N de orden 1, 2, 3, etc. son todos contables.
Entonces, la colección de subconjuntos finitos de N, al ser una unión contable de conjuntos contables, debería ser contable.

La colección de todos los subconjuntos finitos del conjunto contable es contable

La colección de todos los subconjuntos finitos de un conjunto contable es contable

La cardinalidad de todos los conjuntos en la pregunta 3 es la misma que la cardinalidad de R. ¿verdad?

Perdón por mi comentario equivocado. Creo que solo la opción 4 es incorrecta. Compruébelo cuidadosamente.

Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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Deseo sugerir una elaboración para la pregunta 2. Un subconjunto de Reals está conectado si es un intervalo. Aquí el (los) elemento (s) del subconjunto X de R contiene SÓLO irracionales, por lo que no puede ser un intervalo en R. Debe ser, por lo tanto, un singleton con cardinalidad 1, ya que en cualquier intervalo hay racionales e irracionales por el teorema de la densidad. Por lo tanto, la opción correcta es 4, si la cardinalidad de X es 1.

¿Puedes elaborar la última respuesta?

Dados a, b & # 8712 R y 0 & lt λ & lt 1, sea (an) una secuencia de números reales definida por a1 = a, a2 = by an + 1 = (1 + λ) an & # 8722 λan & # 87221 & # 8704 n & # 8712 N, n & # 8805 2. Demuestre que (an) es una secuencia de Cauchy y su límite es (b + λa) / (1 & # 8722 λ). ¿Podrías resolver este problema?


Ejemplos de sustantivos contables

Todo lo que se pueda contar, ya sea en singular (un perro, una casa, un amigo, etc. o en plural), algunos libros, muchas naranjas, etc., es un sustantivo contable. Los siguientes ejemplos de sustantivos contables le ayudarán a ver la diferencia entre sustantivos contables e incontables. Observe que los verbos singulares se usan con sustantivos contables singulares, mientras que los verbos plurales se usan con sustantivos contables plurales.

  1. Hay al menos veinte italianos restaurantes en Little Italy.
  2. Megan tomó mucho fotografias cuando fue al Gran Cañón.
  3. Tu libro esta en la cocina mesa.
  4. Cuantos velas están en eso pastel de cumpleaños?
  5. Tienes varios pinturas estudiar en apreciación del arte clase.
  6. Hay un gran marrón perro corriendo por el vecindario.

Bijection y conjuntos incontables (comprensión)

Estoy tratando de entender los diferentes tamaños de infinitos y lo que significa todo (tratando de juntar todo).

Entonces, si encontramos una biyección entre un conjunto $ A $ y otro conjunto $ B $ donde $ B $ es contable (infinito contable), entonces eso implica que $ A $ es contable (¿es así?).

Además, podemos encontrar una biyección entre dos conjuntos contables (creo que esto es correcto).

Si encontramos una biyección entre dos conjuntos finitos, entonces los dos conjuntos deben tener la misma cardinalidad.

Un subconjunto adecuado de un conjunto finito, A tiene una cardinalidad menor que el conjunto $ A $.

Sin embargo, cada subconjunto infinito de un conjunto contable es contable. Por ejemplo, $ mathbb subconjunto mathbb$ y $ mathbb$ es contable y $ mathbb$ es contable.

Sin embargo, me confundo cuando trato con innumerables conjuntos. ¿Es cierto que puedo encontrar siempre biyección entre conjuntos incontables? Por ejemplo, siempre es posible construir una biyección entre dos conjuntos incontables. ¿Hay ejemplos de casos en los que pueda construir una biyección entre dos conjuntos incontables y casos en los que no pueda? Por ejemplo, ¿hay una biyección entre $ [0,1] $ y $ mathbbPS (No puedo pensar en uno).

En general, ¿cómo demuestro que un conjunto es incontable? Sé que si contiene un conjunto que es incontable, entonces debe ser incontable. Además, he leído algunos argumentos de diagonalización, aunque los encuentro un poco confusos. ¿Es la diagonalización la única forma de demostrar la incontables ocasiones? ¿O hay otras formas? ¿Cuáles son ejemplos de conjuntos incontables? $ Mathbb$, el conjunto de secuencias binarias (creo que no estoy seguro), intervalos como $ [0,1] $, ¿cualquier otro estándar? (Quiero practicar la prueba de que los conjuntos son incontables, por lo que cualquier sugerencia sobre ejemplos en los que pueda probar que un conjunto es incontable es muy apreciada) .Si encontramos una biyección, entre un conjunto A y un conjunto incontable (dado), ¿eso significa que A es incontables también?

Además, para mostrar dos conjuntos que son a lo sumo contables (ya sean finitos o contables) no tienen la misma cardinalidad, muestro que es imposible construir una biyección entre ellos.


Sustantivos incontables & # 8211 Video

Algunos sustantivos son contables. Puedes contarlos. Por ejemplo, plumas son contables. Puedes contarlos.

Un bolígrafo, dos bolígrafos, tres bolígrafos, etc.

Algunos sustantivos son incontables. No puedes contarlos. Por ejemplo, agua es incontable.

¿Un agua, dos aguas…? No, eso no funciona. No puedes contar el agua.

¿Conoces otros sustantivos incontables?

Verá más ejemplos en la siguiente sección, pero aquí hay tres: dinero, arroz y conocimiento son todos sustantivos incontables.

Los sustantivos contables e incontables se comportan de manera diferente. Siguen reglas diferentes.

Primero, los sustantivos incontables no pueden estar en plural. Eso significa que no puedes decir dinero, arroces o conocimientos. Estos formularios no existen.

En segundo lugar, debes usar un verbo singular con sustantivos incontables. Por ejemplo:

  • Este arroz no sabe bien.
  • Tu dinero está sobre la mesa.
  • Su conocimiento de este tema ha mejorado significativamente.

A continuación, no puede usar a o an con un sustantivo incontable. No se puede decir arroz, dinero o conocimiento. Sin embargo, puede utilizar algunos o alguna. Por ejemplo:

Finalmente, usamos diferentes palabras para hablar de cantidades con sustantivos contables e incontables.

Con sustantivos contables, usamos muchos hablar de grandes cantidades, y pocos hablar de pequeñas cantidades.

Con sustantivos incontables, usamos mucho y pequeño.

Puedes usar un montón de o un montón de con sustantivos contables e incontables.

  • No queda mucho arroz.
  • No quedan muchas patatas.
  • Tengo un poco de dinero en el bolsillo.
  • Hay algunas monedas en esa pequeña caja.

Bien, ahora ya conoces los conceptos básicos sobre los sustantivos incontables y cómo usarlos.

A continuación, una pregunta importante:

2. ¿Qué sustantivos son incontables?

Muchos sustantivos incontables son palabras para comida y bebida, como pasta, carne, fruta, café, cerveza o Leche.

Ten cuidado porque Fruta es incontable, pero verduras son contables.

Muchos sustantivos colectivos son incontables.

Los sustantivos colectivos son sustantivos que describen un grupo de objetos en conjunto. Por ejemplo, mueble, equipo, equipaje o tráfico.

Por último, los sustantivos abstractos suelen ser incontables. Por ejemplo: conocimiento, información, asesoramiento o Progreso.

Está bien, tengo un desafío para ti.

Aquí tienes tres grupos de sustantivos: comida y bebida, sustantivos colectivos y sustantivos abstractos.

Quiero que pause el video y encuentre un sustantivo incontable más para agregar a cada grupo.

Eso significa que necesita encontrar un sustantivo incontable de comida o bebida, un sustantivo colectivo incontable y un sustantivo abstracto incontable. Escriba sus respuestas.

Por qué sigues aquí? ¡Pausa el video y encuentra tus respuestas!

Hay muchas respuestas posibles que podrías tener aquí. ¿Cómo puedes comprobarlo?

Fácil: encuentra un diccionario. Puede utilizar un diccionario en línea como Longman o un diccionario en papel si se siente un poco anticuado.

Busque las palabras que escribió. En el diccionario, debería decirte si son contables o incontables.

Algunos diccionarios hacen esto agregando una "u" para incontables o una "c" para contables después del sustantivo. Los diferentes diccionarios tienen diferentes estilos.

Así que ahora puedes comprobar tus respuestas. ¿Estabas en lo correcto?

Ahora las cosas se complican más.

3. Sustantivos que pueden ser contables o incontables

Si los sustantivos solo pudieran ser contables o incontables, este tema sería muy simple.

Sin embargo, muchos sustantivos pueden ser contables e incontables, con diferentes significados.

Por ejemplo, papel puede ser contable o incontable.

¿Sabe usted la diferencia? Cuál es la diferencia entre papel y un papel?

Papel es el material: sobre lo que escribes.

Un papel es otra forma de decir un periódico.

Veamos algunos ejemplos más como este. Piénselo: ¿cuál es la diferencia entre:

¿Listo? Veamos las respuestas:

Pescado (incontable) significa la comida. Come pescado.

Un pez (contable) significa un animal entero, vivo o muerto. Comparar:

  • Comemos mucho pescado. & # 8211 & gt En general, comemos mucho pescado.
  • ¡Hay un pez en el inodoro! & # 8211 & gt Un pez vivo.
  • Se comió tres pescados enteros. & # 8211 & gt Tres animales enteros.

Qué pasa vidrio y un vaso?

Vidrio es un material. Un vaso es algo de lo que bebes. Por ejemplo:

Finalmente, que tal hora y un momento?

Hora es el significado general del tiempo. ¡Es una idea tan básica que realmente no puedo explicarla en términos más simples!

Un momento tiene un significado similar a una ocasión o un período.

  • No tengo mucho tiempo libre.
  • ¿Cuánto tiempo necesitarás para terminar esto?
  • Ha habido muchas ocasiones en las que quise rendirme.
  • Lo pasamos muy bien en su barbacoa.

¿Puedes ver la diferencia ahora?

Entonces, hay muchos sustantivos que pueden ser contables e incontables, a menudo con diferentes significados.

Hay demasiados ejemplos para explicarlos todos aquí, pero le daré una idea general que podría ser útil.

A menudo, cuando un sustantivo puede ser contable o incontable, el sustantivo incontable tiene un significado general o colectivo. El sustantivo contable tiene un significado específico.

Por ejemplo, piensa en la palabra cabello. Puede ser contable o incontable.

Cabello (incontable) tiene un significado general. Significa, por ejemplo, las cosas que crecen en tu cabeza.

Cabello (contable) tiene un significado más específico.

¿Alguna vez has cometido el error en inglés donde dices algo como:

Si dices esto, quieres decir que tu amigo tiene un pelo largo.

Probablemente eso no sea lo que querías decir, ¿verdad?

Para comprender realmente los sustantivos contables e incontables, tendrá que recordar mucha información. Sin embargo, esta idea básica puede ayudarte: los sustantivos incontables son más generales y los sustantivos contables abstractos son más específicos.

4. Algunos otros sustantivos extraños en inglés

En esta lección, hemos hablado de sustantivos contables, sustantivos incontables y sustantivos que pueden ser ambos.

Hay algunos sustantivos extraños que no encajan claramente en ninguna de estas categorías.

Por ejemplo, dijimos al principio que los sustantivos incontables no pueden ser plurales. No se puede decir arroces ni conocimientos.

En general, eso es cierto, pero hay algunos sustantivos incontables que solo pueden ser en plural. Ellos son:

No puedes hacer que estos sustantivos sean singulares. No se puede decir un policía o un pantalón.

Recuerda usar un verbo en plural con estos sustantivos. Por ejemplo:

  • La policía ha entrevistado a todos los testigos.
  • Estos pantalones no me quedan bien.
  • Cuidado con las tijeras, están afiladas.

Otra palabra extraña es noticias. Es incontable y singular, aunque termine con "s". Entonces, no digas:

Finalmente, hay algunos sustantivos colectivos como personal, equipo o tripulación. Algunos de estos son incontables (como personal), y otros pueden ser contables, como equipo o tripulación.

Estos sustantivos generalmente se hacen en plural en inglés británico. En el Reino Unido decimos:

Sin embargo, en los Estados Unidos, estos sustantivos colectivos suelen ser singulares. En los EE. UU., Es posible que escuche:

Ambos son posibles, pero trata de ser coherente. Si hace que estos sustantivos sean plurales, entonces siempre deben ser plurales. Si los hace singulares, siempre debe hacerlos singulares.

Dicho esto, los hablantes nativos no siempre son consistentes. No se preocupe demasiado por eso y no se sorprenda si escucha ambas formas.

Bien, tenemos una cosa más que hacer.

El punto de los sustantivos incontables es que no puedes contarlos.

Pero a veces es necesario.

5. Hacer contables los sustantivos incontables

Tome un sustantivo incontable que vio antes: arroz.

No hay forma de contar el arroz directamente. El arroz nunca puede contarse. Nunca se puede decir tres arroces.

Pero, a veces, es necesario contar cosas, incluso si son incontables. ¿Cómo se puede contar el arroz?

De hecho, hay muchas formas de hacerlo.

El arroz se compone de un solo granos de arroz. Acá hay uno grano de arroz.

También puedes tener una bolsa de arroz, un paquete de arroz, o una ración de arroz.

Al agregar un sustantivo + de, puede hacer que un sustantivo incontable sea contable.

Veamos cómo funciona esto en algunas oraciones de ejemplo:

  • Quedaba un solo grano de arroz en el fondo de su cuenco.
  • ¿Puedes traer dos de esos grandes sacos de arroz?
  • Quisiéramos tres porciones de arroz, por favor.

Al igual que con el arroz, a menudo hay muchos sustantivos diferentes que puedes agregar para hacer que un sustantivo incontable sea contable.

Esa es la buena noticia. La mala noticia es que debes agregar diferentes sustantivos dependiendo del sustantivo incontable que estés usando.

Practiquemos esto para que veas lo que quiero decir.

Aquí hay cinco sustantivos incontables. ¿Cómo podrías hacerlos contables?

Puedes darle a alguien un pequeño consejo, o dos consejos si te sientes generoso. Agrega un Pieza de para hacer Consejo contable.

Una pieza de es muy útil, porque puede usarlo para hacer contables muchos sustantivos incontables.

También puedes tener un pedazo de pan. Con un pan tienes otras posibilidades: una barra de pan o una rodaja de pan.

Qué pasa dinero? Tu puedes tener Una suma de dinero o una cantidad de dinero. Por ejemplo, podría decir:

Para mueble, tu puedes decir un mueble o posiblemente un mueble, aunque esto es muy formal y poco común.

Finalmente, ¿qué pasa con café? Tu puedes tener una taza de café, un paquete de cafe, una cucharada de cafe, o una taza de cafe.

En todos estos casos, existen otras posibles respuestas. Sin embargo, estos son los más comunes.

Entonces, eso es todo para esta clase. Asegúrese de repasar la gramática con esta lección de inglés en línea de Oxford: Cómo mejorar la gramática del inglés.


Sustantivos contables e incontables con diferentes significados

Algunos sustantivos se pueden utilizar de forma contable o incontable, pero con diferentes significados.

Compramos una plancha nueva y una tabla de planchar.

La gente creía que los barcos hechos de hierro se hundirían.

La mesa estaba hecha de vidrio endurecido.

Te gustaría un chocolate ?

Te gustaría un poco de chocolate ?

Consigamos un periódico y veamos qué hay en el cine.

La impresora se ha quedado sin papel.

"Hamlet" es una de las obras más famosas de Shakespeare.

Tenía trabajo que hacer, así que no podía salir.


Algunos elementos de la teoría clásica de la medida

2.7 Ejemplos de medidas

La medida de contar. Dejar S ser un conjunto incontable, por ejemplo, S = ℝ, y sea μ para estar contando medir en S. Entonces μ es σ-aditivo, completo, no σ-finito, no es una medida de probabilidad ni es totalmente finito, es estrictamente localizable y μ es puramente atómico. Obviamente, μ no carece de átomos.

La medida contable-contable. Dejar S ser cualquier conjunto. Sea Σ la familia de esos conjuntos E ⊆ S tal que ya sea mi o S / E es contable. Entonces Σ es un σ-álgebra de subconjuntos de S. Σ se llama σ-álgebra contable-contable de S. Sea μ: Σ → <0, 1> definido por μ (mi) = 0 si mi es contable, μ (mi) = 1 si mi no es contable. Entonces μ es una medida σ-aditiva, μ se llama medida contable-contable en S. Si S es cualquier conjunto incontable y μ es la medida contable-contable en S, entonces μ es una medida de probabilidad puramente atómica completa.

La medida Stieltjes. Dejar a ∈ ℝ y I un intervalo, cerrado a la izquierda, de la forma [a, b [ con a & lt b ≤ + ∞ o de la forma [una. B], con a & lt b & lt + ∞. Denotamos por PI] el semirrígido de los subintervalos de I, de la forma [a], o ]S t] con a & lt s. El anillo generado por PI] consiste en uniones finitas y disjuntas de conjuntos de PI]. El semiring PI] genera el σ-álgebra de Borel B(I).

DEFINICIÓN (Variación de una función)

Dejar F ser una función de valor real y D un subconjunto de ℝ. VarD(F), la variación de f en D, se define por: si D ⋂ Dom f = ∅, Var D (f) = 0, y en caso contrario, VarD(F) es

Las propiedades básicas de la variación se recogen a continuación (véase, por ejemplo, Fremlin (2000b), Vol. 2).

PROPOSICIÓN

Si f, g son dos funciones con valores reales, entonces

Si c ∈ ℝ luego Var D (c f) = | c | Var D (f).

con igualdad si x ∈ D ∩ Dom F.

Si D ⊆ D′ ⊆ ℝ luego Var D (f) y lt Var D ′ (f).

| f (x) - f (y) | ≤ Var D (f) para todo x, y ∈ D ∩ Dom F. En consecuencia, si f es de variación acotada en D, entonces f está acotada en D ∩ Dom f y (si D ∩ Dom f ≠ ∅)

Si f es monótona y D ⊆ ℝ Satisface Dom f, entonces

TEOREMA

Los siguientes son equivalentes:

f es de variación acotada en D

Hay una función no decreciente acotada f1, F2: ℝ → ℝ tal que F = F1F2 en D ∩ Domf y Var D (f) = Var f 1 + Var f 2.

Dejar g: yo → ℝ ser una función. Asumimos g es correcto continuo en cada punto ta y eso gramo tiene variación finita Var J(gramo) en cada intervalo acotado J. La función de variación de gramo es la función | g | : I → ℝ + definido por | g | (t) = Var[a](gramo), por t ∈ yo. Luego | g | es creciente y continua a la derecha en cada punto t ≠ a.

A la función gramo asociamos la medida finitamente aditiva metro gramo: PI] → ℝ+ definido por

La medida metrogramo es positivo si y solo si gramo esta incrementando.

Luego a la función de variación |gramo| asociamos la medida positiva metro| g |, y tenemos

Desde | g | es correcto continuo en cada t ≠ a, la medida metro| g | es σ-aditivo en P [l] y puede extenderse únicamente a una medida σ-aditiva, positiva y finita en el anillo ℛ (I), todavía denotado por metro| g |.

De la desigualdad anterior, se sigue que metrogramo es σ-aditivo y con variación finita | m g | ≤ m | g | en PI], por eso metrogramo se puede extender a una medida σ-aditiva en el anillo ℛ (I), todavía denotado por metrogramo, y todavía tenemos

De hecho, tenemos la igualdad | m g | ≤ m | g | .

La medida positiva metro| g | se puede extender únicamente a una medida σ-aditiva μ: ℬ (I) → [0, + ∞]. Además, μ es finito en el anillo δ D (I) de subconjuntos acotados de I. De ello se deduce que la medida metrogramo se puede ampliar a una medida σ-aditiva metro: D (I) → ℝ con variación finita | m | = μ.

Si gramo posee encerrado variación I, luego | g | está limitado a I, la medida metro| g | está limitado a ℛ (I) y su extensión μ está limitada a ℬ (I). De ello se deduce entonces que metrogramo se puede extender a una medida finita σ-aditiva m: ℬ (yo) → ℝ en el σ-álgebra de Borel, con variación acotada | m | = μ.

Continuaremos denotando μ por metro| g | y metro por metro. Entonces todavía tenemos

o por A ∈ ℬ (yo), Si gramo tiene variación limitada. La medida σ-aditiva metrogramo en D (I) o ℬ (I) se llama la medida de Stieltjes en I asociado a la función gramo.

La medida de Lebesgue. La medida de Lebesgue sobre I es la medida metrogramo correspondiente a la función continua, creciente gramo(s) = s, por sI. En este caso tenemos m g] s, t] = m g [s, t] = m g [s, t [= m g] s, t [= t - s para cada s & lt t en I.

Sea −∞ ≤ a & lt + ∞ y considera un intervalo I, abierto a la izquierda, de la forma ] a, b] con a & lt b & lt + ∞ o de la forma ]a. B[. con a & lt b & lt + ∞. En particular podemos tener I =] - ∞, + ∞ [. Esta vez denotamos por RHODE ISLAND] el semirrígido de los subintervalos de I, de la forma ]S t] con a & lt s. Todavía denotamos por ℛ (I) el anillo generado por PI]. El semiring PI] genera el σ-álgebra de Borel ℬ (I).

Dejar g: yo → ℝ ser una función. Asumimos gramo es derecha continua en cada punto tl y eso gramo tiene variación finita VarJ (gramo) en cada intervalo ]a] ⊂ I. La función de variación de gramo es la función | g | : I → ℝ + definido por | g | (t) = Var | a, t | (g). Entonces |gramo| es creciente y continua a la derecha en cada punto ta.

A la función gramo asociamos la medida finitamente aditiva metrogramo: PI] → ℝ definido por

La medida metrogramo es positivo si y solo si gramo esta incrementando. Luego a la función de variación |gramo| asociamos la medida positiva metro| g |. Como en el caso anterior, la medida metrogramo es σ-aditivo, mgramo es σ-aditivo, con variación finita | mgramo| = mgramo. Podemos extender metro| g | a un σ-aditivo μ: ℝ (yo) → [0, + ∞] y luego podemos extender metrogramo a una medida σ-aditiva metro: D (I) → ℝ con variación finita | m | = μ. Si gramo posee encerrado variación en I, luego metrogramo se puede ampliar a una medida σ-aditiva m: ℬ (yo) → ℝ en el σ-álgebra de Borel, con variación acotada | m | = μ. Como en el caso anterior, continuamos denotando μ por metro| g | y metro por metrogramo. La medida σ-aditiva metrogramo en D (I) o ℬ (I) se llama la medida de Stieltjes en I asociado a la función gramo.

La medida de Lebesgue sobre I es la medida positiva asociada a la función continua creciente gramo(s) = s, por sI. En este caso, todavía tenemos

Observación. Si I es un intervalo cerrado a la izquierda o abierto a la izquierda y si g: yo → ℝ es una función con variación finita, podemos considerar la función continua correcta gramo+: I → ℝ definido por gramo+(a) = gramo(a), Si aI y gramo+(t) = gramo(t+), si a & ltty proceda como se indicó anteriormente.

Como consecuencia del Teorema de clases monótonas tenemos el siguiente resultado: si μ, υ son dos medidas en ℬ (ℝ r), donde r ≥ 1, ambos definidos y de acuerdo, en todos los intervalos del formulario

para a = (α 1,…, α r) ∈ ℝ r, y μ (ℝ r) & lt ∞ entonces μ y υ son iguales en todos los subconjuntos de Borel de ℝr.

TEOREMA (Medidas de la imagen). Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida, Y cualquier conjunto, y φ - 1: S → Y Una función. Colocar

Después y, T, υ) es un espacio de medida, υ se denomina medida de imagen μ φ - 1.


1.4.E: Problemas en conjuntos contables e incontables (ejercicios)


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Tipo: hoja de cálculo


Sustantivos contables e incontables
Una hoja de trabajo para revisar "SUSTANTIVOS CONTABLES E INCONTABLES". En primer lugar, hay una breve guía gramatical para sus estudiantes. Esta hoja de trabajo ayuda a sus estudiantes a aprender la diferencia entre sustantivos contables e incontables. Espero que usted y sus alumnos lo encuentren divertido y útil. DISFRUTAR)
Nivel: elemental
Edad: 12-17
Tipo: hoja de cálculo


SUSTANTIVOS CONTABLES E INCONTABLES
Explicaciones y ejercicios sencillos sobre sustantivos contables e incontables para principiantes.
Nivel: elemental
Edad: 9-11
Tipo: hoja de cálculo


¿Contable o no contable?
Este ws es muy útil para la consolidación CONTABLE e INCONTABLE.
Nivel: intermedio
Edad: 9-17
Tipo: hoja de cálculo


Sustantivos contables e incontables
WS de 2 páginas: explicaciones breves sobre sustantivos contables / incontables, contenedores, mucho / muchos y algunos / cualquiera y ejercicios sencillos para que los pts practiquen. ¡Espero que te guste!
Nivel: elemental
Edad: 10-14
Tipo: hoja de cálculo


¿Contable o no contable? II (2/2)
Es una hoja de trabajo para que los estudiantes practiquen el uso de sustantivos contables e incontables. Hay una breve explicación gramatical, algunos ejemplos y actividades para practicar. ¡Espero que les sea útil!
Nivel: intermedio
Edad: 10-17
Tipo: hoja de cálculo


SUSTANTIVOS CONTABLES E INCONTABLES
Hoja de estudio + tarea- Versión B / N (fotocopiable) + formato A4 incluido (totalmente editable)
Nivel: elemental
Edad: 10-12
Tipo: hoja de cálculo


CONTABLE E INCONTABLE (llave incluida)
Hay / hay, un / un / algo / cualquiera, mucho / muchos, cuánto / cuántos y ejercicios de alimentación contables e incontables. Gracias a mycuteghapics por las hermosas fotos !! Que tengas un buen jueves !! :)
Nivel: intermedio
Edad: 8-14
Tipo: hoja de cálculo


MUCHOS MÁS
Una hoja de trabajo para practicar MUCHO y MUCHOS. Consta de 5 ejercicios y una breve GUÍA GRAMÁTICA: 1). Complete los espacios con MUCHOS o MUCHO. 2). Utilice MUCHOS o MUCHO. . 3). Hacer frases. 4). Pon MUCHOS o MUCHO. 5). Haga la oración con MUCH y MUCHAS y cada una de las siguientes palabras. Espero que lo encuentre útil con sus estudiantes principiantes y de primaria. Tener un.
Nivel: elemental
Edad: 6-17
Tipo: hoja de cálculo


Sustantivos contables e incontables ppt
Este material fue preparado para enseñar sustantivos contables e incontables.
Nivel: intermedio
Edad: 13-17
Formato: PowerPoint


Hay algunos .. Hay algunos. + Vocabulario de alimentos 3/4
Vocabulario de ALIMENTOS + Hay + algunos + sustantivo incontable singular Hay + a / an + sustantivo contable singular Hay + algunos + sustantivo contable plural Clip Art Harangoz T nde
Nivel: elemental
Edad: 7-17
Formato: PowerPoint


Alimentos contables e incontables
Alimentos contables e incontables
Nivel: elemental
Edad: 10-17
Formato: PowerPoint


Sustantivos contables e incontables
Hablar sobre la diferencia entre sustantivos contables e incontables.
Nivel: intermedio
Edad: 10-17
Formato: PowerPoint


Hay algunos .. Hay algunos. + Vocabulario de alimentos 4/4
Vocabulario de ALIMENTOS + Hay + algunos + sustantivo incontable singular Hay + un / an + sustantivo contable singular Hay + algunos + sustantivo contable plural. Las partes 1-3 se encuentran en http: //www.eslprinta bles.com/powerpoint. asp? id = 61294 # thetop http: //www.eslprint ables.com/powerpoint .asp? id = 61295 # thetop http: //www.eslprin tables.com/powerpoin t.asp? id = 61296.
Nivel: elemental
Edad: 7-17
Formato: PowerPoint


Sustantivos contables e incontables con alimentos y bebidas
Power point sobre sustantivos contables e incontables. Es muy interactivo y divertido para los estudiantes de primaria.
Nivel: elemental
Edad: 9-12
Formato: PowerPoint


Alguno y Cualquiera
Un archivo ppt útil para explicar "algunos y cualquiera" al dejar claros los sustantivos contables e incontables.
Nivel: elemental
Edad: 4-10
Formato: PowerPoint


sustantivos contables e incontables
útil para enseñar sustantivos contables e incontables, a, an, some, any
Nivel: intermedio
Edad: 9-17
Formato: PowerPoint


Serpientes y escaleras
Un juego de mesa para prctizar los usos de artículos y sustantivos contables e incontables. las reglas están establecidas y los estudiantes disfrutan mucho de esto.
Nivel: avanzado
Edad: 14-17
Formato: PowerPoint


Algunos un poco
Presentación muy fácil que enfatiza los sustantivos contables / incontables y sus diferencias.
Nivel: elemental
Edad: 7-17
Formato: PowerPoint


Sustantivos contables e incontables
PPT agradable y simple con una descripción de contables e incontables y un par de ejercicios. Espero que te guste :)
Nivel: elemental
Edad: 10-14
Formato: PowerPoint


Peligro de tiempos y estructuras
Este es un juego para jugar con Ss. Tiene diferentes contenidos como Presente simple, Presente continuo, Pasado simple, Contable e incontable y Debe y debe. Los niños deben elegir una categoría y resolver la pregunta o problema y obtienen los puntos de la tarjeta que elijan.
Nivel: elemental
Edad: 9-100
Formato: PowerPoint


Cuantificadores
Después de presentar el tema Comida y bebida , esta presentación de PowerPoint se puede utilizar para introducir o consolidar el uso de cuantificadores con sustantivos contables e incontables.
Nivel: intermedio
Edad: 12-17
Formato: PowerPoint


Muchos vs Mucho
Cuestionario sobre sustantivos contables-incontables: muchos y mucho ---
Nivel: elemental
Edad: 8-12
Formato: PowerPoint


sustantivos contables e incontables
Descripción de sustantivos contables e incontables, tiempos presentes
Nivel: elemental
Edad: 12-17
Formato: PowerPoint



Hojas de trabajo en vivo
Hojas de trabajo que escuchan. Hojas de trabajo que hablan. Hojas de trabajo que motivan a los estudiantes. Hojas de trabajo que ahorran papel, tinta y tiempo.



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Aprende inglés con Emma

Materiales de clase:
PowerPoint 20/21 de octubre: Aquí

Aquí hay una página muy interesante sobre los diferentes destinos turísticos del mundo y cómo los turistas los afectan:
http://www.mnn.com/lifestyle/eco-tourism/photos/15-travel-destinations-being-ruined-by-tourism

Ponencia sobre el medio ambiente para FCE:

Todas las partes del documento FCE sobre el medio ambiente:

Formaciones de palabras

La tercera parte del artículo de Uso del inglés en el examen del primer certificado es la formación de palabras en la que debe usar una raíz como 'capaz' y crear una palabra adecuada (deshabilitar, incapaz, capacidad) para llenar el espacio en un texto. Piensa primero . si necesita un verbo, adjetivo, sustantivo o adverbio en la oración! This can be done using clues such as word order. For example, if there is an article preceding the gap, you will need to place a noun after it. If there is already a noun after the gap,

then you will need an adjective etc.

http://www.flo-joe.com/fce/students/strategy/p3pt5a.htm

Countable and uncountable nouns



Grammar pages and exercises: Aquí
-If you wish to complete the grammar pages, hand in the answers to me on a separate piece of paper in class for marking


Munkres: Chapter 1, Section 7

Example 3, from Munkres, established that is countable. Note that is countably infinite. This follows from Theorem 7.6 (finite products of countable sets are countable). Define by if , if , and if . This map is clearly injective. Equivalently, we conclude that is countable (Theorem 7.1: Equivalent Conditions of Countable Sets).

4. (a) Assuming that any polynomial has only finitely many roots, show that the set of algebraic numbers is countable.

Note: By (1) and that finite products of countable sets are countable, we have that is countable for any .

Define . We claim that is countable for each . Fix and define given by

Notice that is injective. Since is countable and is injective, then is countable. Furthermore, and countable unions of countable sets are countable. Hence, is countable.

By assumption, is finite for any . Also, we can write the set of algebraic numbers as . Thus, the set of algebraic numbers is a countable union of finite sets. Therefore, the set of algebraic numbers is countable.

(b) Show that the set of transcendental numbers are uncountable.

Observe that the set of transcendental numbers is . Since is uncountable and is countable, then the set of transcendental numbers are uncountable.

5. Determine, for each of the following sets, whether or not it is countable. Justify your answer.

(a) The set of all function .

Define given by . It’s easy to check that is injective and since is countable we conclude that is countable.

(b) The set of all function .

Fix . We can view as the set of -tuples of natural numbers, via a similar map to the one from (a). Also, finite products of countable sets are countable. Hence, is countable.

Countable unions of countable sets are countable, so it follows immediately from (b) that is countable .

(d) The set of all function .

Notice that contains the set of functions . The latter set is uncountable by Theorem 7.7. Thus, is uncountable since it contains an uncountable subset.

(i) The set of all two-element subsets of .

Fix . Define . Observe that is countable. Also, . Thus, is countable, since it’s a countable union of countable sets.

(j) The set of all finite subsets of .

For a fixed , define . Define given by

where we have ordered the elements of in increasing order, i.e. . Because of this ordering, we note that is well defined. Also, is injective and is countable. Hence, is countable for any . Finally, observe that . That is, is a countable union of countable sets and we conclude that is countable.

8. Let and let be the collection of countable subsets of . Show that and have the same cardinality.

Define given by . It’s obvious that is injective. Next, define given by