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5.6.E: Problemas del teorema de Tayior


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Completa las demostraciones de los teoremas (1,1 ^ { prime}, ) y 2.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Verifique la Nota 1 y los Ejemplos (b) y ( left ( mathrm {b} ^ { prime prime} right) ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Tomando (g (t) = (a-t) ^ {s}, s> 0, ) en ((6), ) encuentra
[
R_ {n} = frac {f ^ {(n + 1)} (q)} {n! s} (x-p) ^ {s} (x-q) ^ {n + 1-s} quad ( text {Resto de Schloemilch-Roche}).
]
Obtenga ( left (5 ^ { prime} right) ) y ( left (5 ^ { prime prime} right) ) de él.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Demuestre que (P_ {n} ) (como se define) es el único polinomio de grado (n ) tal que
[
f ^ {(k)} (p) = P_ {n} ^ {(k)} (p), quad k = 0,1, ldots, n.
]
[Sugerencia: Diferencia (P_ {n} n ) veces para verificar que satisface esta propiedad.
Para la unicidad, suponga que esto también vale para
[
P (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x-p) ^ {k}.
]
Diferencia (P n ) tiempos para demostrar que
[
P ^ {(k)} (p) = f ^ {(k)} (p) = a_ {k} k! ,
]
( left. text {so} P = P_ {n}. text {(¿Por qué?)} right] )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Con (P_ {n} ) como está definido, demuestre que si (f ) es (n ) veces diferenciable en (p, ) entonces
[
f (x) -P_ {n} (x) = o left ((x-p) ^ {n} right) text {as} x rightarrow p
]
(Teorema de Taylor con término residual de Peano).
[Sugerencia: Sea (R (x) = f (x) -P_ {n} (x) ) y
[
delta (x) = frac {R (x)} {(x-p) ^ {n}} text {with} delta (p) = 0.
]
Usando la regla de L'Hôpital "simplificada" (Problema 3 en (§3 )) repetidamente (n ) veces, pruebe ( left. Text {que} lim _ {x rightarrow p} delta (x) = 0. derecha] )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Use el teorema (1 ^ { prime} ) con (p = 0 ) para verificar las siguientes expansiones y demuestre que ( lim _ {n rightarrow infty} R_ {n} = 0 ).
(a) ( sin x = x- frac {x ^ {3}} {3!} + frac {x ^ {5}} {5!} - cdots- frac {(- 1) ^ {m} x ^ {2 m-1}} {(2 m-1)!} + frac {(- 1) ^ {m} x ^ {2 m + 1}} {(2 m + 1)! } cos theta_ {m} x )
para todo (x en E ^ {1} );
(b) ( cos x = 1- frac {x ^ {2}} {2!} + frac {x ^ {4}} {4!} - cdots + frac {(- 1) ^ { m} x ^ {2 m}} {(2 m)!} - frac {(- 1) ^ {m} x ^ {2 m + 2}} {(2 m + 2)!} sin theta_ {m} x ) para
todos (x en E ^ {1}. )
[Sugerencias: Sea (f (x) = sin x ) y (g (x) = cos x. ) La inducción muestra que
[
f ^ {(n)} (x) = sin left (x + frac {n pi} {2} right) text {y} g ^ {(n)} (x) = cos left (x + frac {n pi} {2} derecha).
]
Usando la fórmula ( left (5 ^ { prime} right), ) demuestre que
[
izquierda | R_ {n} (x) derecha | leq left | frac {x ^ {n + 1}} {(n + 1)!} right | rightarrow 0.
]
De hecho, (x ^ {n} / n! ) Es el término general de una serie convergente
[
left. sum frac {x ^ {n}} {n!} quad text {(ver Capítulo} 4, §13, text {Ejemplo} ( mathrm {d}) right).
]
( left. text {Así} x ^ {n} / n! rightarrow 0 text {por el teorema} 4 text {de la misma sección.} right] )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Para cualquier (s en E ^ {1} ) y (n en N, ) defina
[
left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} right) = frac {s (s-1) cdots (s-n + 1)} {n! } text {con} left ( begin {array} {l} {s} {0} end {array} right) = 1.
]
Luego demuestre lo siguiente.
(i) ( lim _ {n rightarrow infty} n left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} right) = 0 ) if ( s> 0 ),
(ii) ( lim _ {n rightarrow infty} left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} right) = 0 ) if (s > -1 ),
(iii) Para cualquier (s in E ^ {1} ) y (x in (-1,1) ).
[
lim _ {n rightarrow infty} left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} right) n x ^ {n} = 0;
]
por eso
[
lim _ {n rightarrow infty} left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} right) x ^ {n} = 0.
]
( left [ text {Sugerencias:} ( mathrm {i}) text {Let} a_ {n} = left | n left ( begin {array} {l} {s} {n } end {matriz} right) right |. text {Verifique que} right. )
[
a_ {n} = | s | izquierda | 1- frac {s} {1} derecha | izquierda | 1- frac {s} {2} derecha | cdots left | 1- frac {s} {n-1} right | .
]
Si (s> 0, left {a_ {n} right } downarrow ) for (n> s + 1, ) entonces podemos poner (L = lim a_ {n} = lim a_ {2 n} geq 0. ) (¡Explica!)
Pruebalo
[
frac {a_ {2 n}} {a_ {n}} < left | 1- frac {s} {2 n} right | ^ {n} rightarrow e ^ {- frac {1} {2 } s} text {as} n rightarrow infty,
]
entonces para grandes (n ),
[
frac {a_ {2 n}} {a_ {n}} ]
Con ( varepsilon ) fijo, deje (n rightarrow infty ) para obtener (L leq left (e ^ {- frac {1} {2} s} + varepsilon right) L . ) Luego, con ( varepsilon rightarrow 0, ) obtenga (L e ^ { frac {1} {2} s} leq L ).
( left. text {As} e ^ { frac {1} {2} s}> 1 text {(para} s> 0 right), ) esto implica (L = 0, ) como se afirma.
(ii) Para (s> -1, s + 1> 0, ) entonces por ((i) ),
[
(n + 1) left ( begin {array} {c} {s + 1} {n + 1} end {array} right) rightarrow 0; text {es decir,} (s + 1) left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} right) rightarrow 0. quad ( text {¿Por qué?})
]
(iii) Utilice la prueba de razón para demostrar que la serie ( sum left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} right) nx ^ {n} ) converge cuando (| x | <1 ).
( text {Luego aplique el Teorema} 4 text {del Capítulo} 4, §13.] )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Los problemas continuos 6 y (7, ) prueban que
[
(1 + x) ^ {s} = sum_ {k = 0} ^ {n} left ( begin {array} {l} {s} {k} end {array} right) x ^ {k} + R_ {n} (x),
]
donde (R_ {n} (x) rightarrow 0 ) si (| x | <1, ) o (x = 1 ) y (s> -1, ) o (x = -1 ) y (s> 0. )
[Sugerencias: (a) Si (0 leq x leq 1, ) usa ( left (5 ^ { prime} right) ) para
[
R_ {n-1} (x) = left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} right) x ^ {n} left (1+ theta_ { n} x right) ^ {sn}, quad 0 < theta_ {n} <1. text {(¡Verificar!)}
]
Deduzca que ( left | R_ {n-1} (x) right | leq left | left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} right ) x ^ {n} right | rightarrow 0. ) Utilice el problema 7 (( text {iii) si} | x | <1 text {o el problema} 7 ( text {ii}) ) si (x = 1 ).
(b) Si (- 1 leq x <0, ) escribe ( left (5 ^ { prime prime} right) ) como
[
R_ {n-1} (x) = left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} right) nx ^ {n} left (1+ theta_ { n} ^ { prime} x right) s ^ {- 1} left ( frac {1- theta_ {n} ^ { prime}} {1+ theta_ {n} ^ { prime} x } derecha) ^ {n-1}. text {(¡Compruebe!)}
]
Como (- 1 leq x <0, ) la última fracción es ( leq 1. ) (¿Por qué?) Además,
[
left (1+ theta_ {n} ^ { prime} x right) ^ {s-1} leq 1 text {if} s> 1, text {y} leq (1 + x) ^ {s-1} text {if} s leq 1.
]
Por lo tanto, con (x ) fijo, estas expresiones están limitadas, mientras que ( left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} right) nx ^ {n} rightarrow 0 ) por el problema 7 (( mathrm {i}) ) ( left. text {o} ( text {iii}). text {Deduzca eso} R_ {n-1} rightarrow 0, text {por lo tanto} R_ {n} rightarrow 0. right] )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Pruebalo
[
ln (1 + x) = sum_ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k + 1} frac {x ^ {k}} {k} + R_ {n} (x),
]
donde ( lim _ {n rightarrow infty} R_ {n} (x) = 0 ) if (- 1 [Sugerencias: Si (0 leq x leq 1, ) usa la fórmula ( left (5 ^ { prime} right) ).
Si (- 1 [
R_ {n} (x) = frac { ln (1 + x)} {(- 1) ^ {n}} left ( frac {1- theta_ {n}} {1+ theta_ {n } x} cdot x right) ^ {n}.
]
( text {Proceda como en el problema} 8.] )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Demuestre que si (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) es de clase ( mathrm {CD} ^ {1} ) en ([a, b] ) y si (- infty [
f left (x_ {0} right)> frac {f (b) -f (a)} {b-a} left (x_ {0} -a right) + f (a);
]
es decir, la curva (y = f (x) ) se encuentra por encima de la secante a través de ((a, f (a)) ) y ((b, f (b)). )
[Sugerencia: esta fórmula es equivalente a
[
frac {f left (x_ {0} right) -f (a)} {x_ {0} -a}> frac {f (b) -f (a)} {b-a},
]
es decir, el promedio de (f ^ { prime} ) en ( left [a, x_ {0} right] ) es estrictamente mayor que el promedio de (f ^ { prime} ) en ([a, b], ) ( left. text {que sigue porque} f ^ { prime} text {disminuye en} (a, b). ( text {¡Explica!}) right ] )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Demuestre que si (a, b, r, ) y (s ) son reales positivos y (r + s = 1, ) entonces
[
a ^ {r} b ^ {s} leq r a + s b.
]
(Esta desigualdad es importante para la teoría de los llamados espacios (L ^ {p} ).)
[Sugerencias: Si (a = b ), todo es trivial.
Por lo tanto, asuma (a [
a = (r + s) a ]
Utilice el problema 10 con (x_ {0} = r a + s b in (a, b) ) y
[
f (x) = ln x, f ^ { prime prime} (x) = - frac {1} {x ^ {2}} <0.
]
Verificalo
[
x_ {0} -a = x_ {0} - (r + s) a = s (b-a)
]
y (r cdot ln a = (1-s) ln a; ) por tanto deducir que
[
r cdot ln a + s cdot ln b- ln a = s ( ln b- ln a) = s (f (b) -f (a)).
]
Después de las sustituciones, obtenga
[
left.f left (x_ {0} right) = ln (r a + sb)> r cdot ln a + s cdot ln b = ln left (a ^ {r} b ^ {s} derecha). derecha]
]

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Utilice el teorema de Taylor (Teorema 1 ') para demostrar las siguientes desigualdades:
(a) ( sqrt [3] {1 + x} <1+ frac {x} {3} ) si (x> -1, x neq 0 ).
(b) ( cos x> 1- frac {1} {2} x ^ {2} ) si (x neq 0 ).
(c) ( frac {x} {1 + x ^ {2}} < arctan x 0 ).
(d) (x> sin x> x- frac {1} {6} x ^ {3} ) si (x> 0 ).


Aplicar el teorema de Taylor & # 8217s a la función definido como para estimar el valor de . Usar . Estime un límite superior para el error.

Solución

La aproximación de Taylor de la función alrededor del punto se da de la siguiente manera:

Si se utilizan términos (incluyendo ), entonces el límite superior del error es:

Con , se puede calcular un límite superior para el error asumiendo . Eso & # 8217s porque los valores absolutos de las derivadas de alcanzar su valor máximo en el intervalo en 4. Las derivadas de tener la siguiente forma:

Las derivadas de la función evaluada en el punto se puede calcular como:

Si se utilizan dos términos, entonces:

En este caso, el límite superior del error es:

Usando Mathematica, la raíz cuadrada de aproximado a 4 lugares decimales es . Por tanto, el error cuando se utilizan dos términos es:

que satisface que el error real es menos el límite superior:

Si se utilizan tres términos, entonces:

En este caso, el límite superior del error es:

El error real en este caso es de hecho menor que el límite superior:

El siguiente código proporciona una función definida por el usuario para la serie de Taylor que tiene las siguientes entradas: una función , El valor de , El valor de y el número de términos incluyendo el término constante.

Puede descargar el archivo MATLAB a continuación que proporciona la solución a esta pregunta.

Ejemplo 2

Aplicar el teorema de Taylor & # 8217s a la función definido como para estimar el valor de y . Usar . Estime un límite superior para el error.

Solución

Primero, calcularemos la solución numérica para el y :

La aproximación de Taylor alrededor se da como:

Si se utilizan términos (incluyendo ) y si , entonces el límite superior del error es:

Si , entonces, el límite superior del error es:

Las derivadas de la función vienen dadas por:

cuando se evalúa en estos tienen los valores:

Para y usando dos términos:

Los términos se acercan entre sí y cuatro términos proporcionan una buena aproximación. El término de error en el teorema da un límite superior para como sigue:

El valor máximo se obtendría para . Por lo tanto:

De hecho, el valor real del error es menor que el límite superior:

Para , la serie de Taylor para esta función alrededor no da una muy buena aproximación como se mostrará aquí, sino que sigue oscilando. Primero, usando dos términos:

De hecho, la siguiente tabla muestra los valores hasta 21 términos. Está claro que la serie de Taylor es divergente.

El término de error en el teorema da un límite superior para cuando se utilizan seis términos de la siguiente manera:

El valor máximo se obtendrá cuando :

Este es un límite superior grande e indica que usar seis términos no da una buena aproximación. En general, la serie de Taylor funciona mejor si la distancia entre y es lo más pequeño posible. Para algunas funciones, como , , y , la serie de Taylor siempre converge. Sin embargo, para funciones con raíces cuadradas, la serie de Taylor converge cuando está relativamente cerca de . Hay algunas condiciones analíticas que indicarían el radio de convergencia. de una serie de Taylor, sin embargo, esto está más allá del alcance de este curso.

El siguiente código proporciona una función definida por el usuario para la serie de Taylor que tiene las siguientes entradas: una función , El valor de , El valor de y el número de términos incluyendo el término constante.

Ejemplo 3

Utilice la expansión de la serie de Taylor & # 8217s de cero a cuarto orden para aproximar el valor de la función definido como a . Usar . Calcule el error asociado con cada expansión.

Solución

El verdadero valor de la función en es dado por:

La expansión de la serie Taylor de orden cero alrededor tiene la siguiente forma:

El error en este caso viene dado por:

La expansión de la serie Taylor de primer orden alrededor tiene la siguiente forma:

El error en este caso viene dado por:

La expansión de la serie Taylor de segundo orden alrededor tiene la siguiente forma:

El error en este caso viene dado por:

La expansión de la serie Taylor de tercer orden alrededor tiene la siguiente forma:

El error en este caso viene dado por:

La expansión de la serie Taylor de cuarto orden alrededor tiene la siguiente forma:

El error en este caso viene dado por:

Es importante notar que el error se reduce a cero cuando se usa la aproximación de la serie de Taylor de cuarto orden. Esto se debe a que la aproximación de la serie de Taylor de cuarto orden de una función polinomial de cuarto orden es idéntica a la función en sí. Puede pensar en esto de la siguiente manera, la aproximación de Taylor de orden cero proporciona una aproximación de función & # 8220 constante & # 8221. La aproximación de Taylor de segundo orden proporciona una aproximación de función parabólica, mientras que el tercer orden proporciona una aproximación de función cúbica. La enésima aproximación de la serie de Taylor de un polinomio de grado & # 8220n & # 8221 es idéntica a la función que se está aproximando.

Puede descargar el archivo MATLAB a continuación que proporciona la solución a esta pregunta.

Problemas

  1. Utilice la serie de Taylor para la función definido como para estimar el valor de . Usar una vez y para otro momento. Estime un límite superior para el error para cada aproximación. Comente el comportamiento de la serie de Taylor de esta función. (pista: para esta función en particular, utilice una expansión de Taylor alrededor de no debe dar una aproximación adecuada para porque 10 y 4 están lejos el uno del otro)
  2. Usando la serie y el escenario de Taylor , derivar las formas polinomiales de las funciones enumeradas en la sección de series de MacLaurin.
  3. Utilice el teorema de Taylor & # 8217s para encontrar una estimación de a con . Emplear el cero, primero,
    versiones de segundo y tercer orden y calcular el error de truncamiento para cada caso.
  4. Usando la expansión de la serie MacLaurin para , encuentre una aproximación para en función del número de términos hasta 5 términos. Para cada caso, encuentre el error relativo y el error relativo aproximado .
  5. Utilice expansiones de series de Taylor de orden cero a tercer orden para predecir por

5.6.E: Problemas del teorema de Tayior

p11 no es en realidad un polinomio debido al término al final que se usa para señalar qué polinomio está representado (en caso de que algunos de los coeficientes sean 0). Podemos convertir a un polinomio.

& gt p11: = convertir (p11, polinomio)

Los polinomios de Taylor suelen ser buenas aproximaciones a la función cercana a a. Grafiquemos los primeros polinomios para la función sin en x = 0.

& gt sinplot: = plot (sin, -Pi..2 * Pi, espesor = 2):

& gt tays: = plots [display] (sinplot):
para yo de 1 por 2 a 11 hago
tpl: = convertir (taylor (sin (x), x = 0, i), polinom):
tays: = tays, plots [display] ([sinplot, plot (tpl, x = -Pi..2 * Pi, y = -2..2,
color = negro, título = convertir (tpl, cadena))]) od:

& gt parcelas [mostrar] ([tays], ver = [- Pi..2 * Pi, -2..2])

La cercanía de los polinomios a la función se determina utilizando el teorema de Taylor a continuación.

Teorema: (Teorema del residuo de Taylor) Si la (n + 1) derivada de f está definida y acotada en valor absoluto por un número M en el intervalo de ay x, entonces

Este teorema es esencial cuando se utilizan polinomios de Taylor para aproximar funciones, porque proporciona una forma de decidir qué polinomio utilizar. He aquí un ejemplo.

Problema Encuentre el segundo polinomio de Taylor p [2] de en. Grafique tanto el polinomio como f en el intervalo [.5,1.5]. Determine el error máximo al usar p [2] para aproximar ln (x) en este intervalo.

& gt fplot: = plot (f, .5..1.5, espesor = 2):

& gt p [2]: = x - & gt suma ((D @@ i) (f) (1.) / i! * (x-1.) ^ i, i = 0..2)

& gt t2: = no aplicar (convertir (taylor (f (x), x = 1,3), polinomio), x)

& gt tplot: = plot (t2,1..1.5, color = negro):

& gt parcelas [mostrar] ([fplot, tplot])

Entonces el resto está limitado por

Podemos ver en la gráfica de fy el polinomio que el error real nunca es más de aproximadamente .1 en el intervalo [.5,1.5].

¿Qué polinomio de Taylor usaría para aproximar la función sin en el intervalo de -Pi a Pi dentro de 1/10 ^ 6?

Bueno, 1 es un límite en cualquier derivada del sin en cualquier intervalo. Entonces necesitamos resolver la desigualdad

para n. Resolver no será de mucha ayuda aquí debido al factorial, pero podemos encontrar el n más pequeño corriendo a través de un ciclo.

& gt n: = 1: while evalf (1 / n! * Pi ^ n) & gt 1/10 ^ 6 do n: = n + 1 od: print (`toma n como`, n)

& gt t17: = convertir (taylor (sin (x), x = 0,18), polinomio)

Se parece mucho a la función pecado.

Ejercicio: Demuestre que se aproxima a 7 decimales para todo x pulg.

en x = 0 en el intervalo [-2,2]

en x = 0 en el intervalo [-2..2]

Ejercicio: Escriba un procedimiento para calcular sin (x) para cualquier x usando p [5]. restringido al intervalo [0, Pi / 4].

Esquema de la solución : Si x es negativo, reemplace x por y use la propiedad de rareza. Si x es mayor o igual que 2 * Pi, reemplace x con x-2 * Pi y use la periodicidad. Repita este paso hasta [0, 2 * Pi). Si Pi / 4 & lt x & lt Pi / 2, entonces use la identidad trigonométrica


Sabemos que cuanto mayor es el grado de una ecuación, más "puntos de inflexión" mayo tengo. Por ejemplo, una parábola tiene un "punto de inflexión".

(Una parábola tiene una ecuación de la forma $ y = ax ^ 2 + bx + c $.)

Un cúbico de la forma $ y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d $ puede tener hasta dos "puntos de inflexión", aunque puede tener menos. En general, una ecuación de grado $ n $ puede tener hasta $ n-1 $ puntos de inflexión.

(Aquí está el polinomio $ f (x) = 2x ^ 4 - x ^ 3 -3x ^ 2 + 7x - 13 $. Es el grado 4 y tiene el número máximo de puntos de inflexión, 4-1 = 3. Pero, Tenga en cuenta que algunos polinomios de grado 4 tienen solo uno o dos puntos de inflexión. El grado nos da el número MÁXIMO: $ n-1 $.)

Esto es importante porque, si desea utilizar un polinomio para aproximar una función, deberá utilizar un polinomio de grado suficientemente alto para que coincida con las "características" de la función. La serie de Taylor le permitirá hacer esto con funciones que son "infinitamente diferenciables" ya que usa las derivadas de la función para aproximar el comportamiento de las funciones.

Aquí están los polinomios de Taylor de grado creciente y la curva sinusoidal. Observe cómo están "envolviendo" la curva sinusoidal, dando una aproximación que se ajusta cada vez mejor a una mayor parte de la curva a medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor.

Dado que la curva sinusoidal tiene Tantos puntos de inflexión es fácil ver que para hacer coincidir todas las características de la curva sinusoidal necesitaremos tomar el límite de $ n ^$ polinomio de Taylor de grado como $ n rightarrow infty $. *

Esa es la intuición detrás de la serie Taylor. Cuanto mayor sea el grado, mejor será el "ajuste". ¿Por qué? Porque la curva de mayor grado tiene más "puntos de inflexión", por lo que pueden adaptarse mejor a la forma de cosas como la función seno. (Siempre que la función que estamos aproximando sea diferenciable).

* Nota al margen: una función puede tener solo unos pocos puntos de inflexión y aún necesitar una cantidad infinita de términos del polinomio de Taylor. Tomemos la catenaria, por ejemplo, que solo tiene un punto de inflexión ya que parece una parábola. La serie de Taylor para la catenaria no tendrá ningún término donde los coeficientes sean cero, ya que las derivadas de la catenaria son funciones sinusoidales hiperbólicas.

Pero, incluso con la catenaria, los polinomios de mayor grado dan una mejor aproximación.


5.6.E: Problemas del teorema de Tayior

Descripción de la conferencia

Esta video conferencia, parte de la serie Vídeos de cálculo: series y secuencias por el Prof., actualmente no tiene una descripción detallada y el título de la videoconferencia. Si ha visto esta conferencia y sabe de qué se trata, en particular sobre los temas de matemáticas que se discuten, ayúdenos comentando este video con su sugerencia descripción y título. Muchas gracias de,

- El equipo de CosmoLearning

Índice de cursos

  1. Secuencia: convergencia y divergencia (parte 1)
  2. Secuencias: convergentes o divergentes (parte 2)
  3. Serie: Serie geométrica y la prueba de divergencia
  4. Serie geométrica: representación de fracciones
  5. Ejemplos de series geométricas y la prueba de divergencia (Parte 1)
  6. Ejemplos de series geométricas y la prueba de divergencia (Parte 2)
  7. Serie telescópica
  8. Divergencias de series: uso de sumas parciales
  9. Prueba integral para serie
  10. Uso de la prueba integral para series: ejemplo 1
  11. Uso de la prueba integral para series: ejemplo 2
  12. Uso de la prueba integral para series: ejemplo 3
  13. Serie: Prueba de comparación directa y límite
  14. Serie: Ejemplos de pruebas de comparación directa y límite
  15. Serie: Ejemplos de pruebas de comparación directa y límite (cont.)
  16. Serie alterna (Parte 1)
  17. Serie alterna (Parte 2)
  18. Teorema de estimación de series alternas
  19. Prueba de relación para determinar si una serie converge (Ej.1)
  20. Prueba de relación para determinar si una serie converge (Ej. 2)
  21. Prueba de raíz para series
  22. Representación de funciones en series de potencia
  23. Serie de potencia: intervalo de convergencia
  24. Diferenciación e integración de series de potencia
  25. Serie de potencia: multiplicar y dividir
  26. Serie Taylor y MacLaurin (Ex.1)
  27. Serie Taylor y MacLaurin (Ex.2)
  28. Teorema del resto de Taylor o desigualdad de Taylor
  29. La serie binomial (Ex.1)
  30. La serie binomial (Ex.2)

Descripción del curso


En este curso, el instructor de cálculo Patrick da 30 lecciones en video sobre series y secuencias. Algunos de los temas cubiertos son: Convergencia y divergencia, Serie geométrica, Prueba de divergencia, Serie telescópica, Prueba integral, Prueba de comparación directa y límite, Serie alterna, Teorema de estimación de serie alterna, Prueba de relación, Serie de potencia, Serie de Taylor y MacLaurin, Serie de Taylor Teorema del resto (desigualdad de Taylor), serie binomial y muchos más.


5.2 Demostración codificada

Este teorema es razonablemente intuitivo. Suponga que la variable aleatoria (X_n ) converge en distribución a una distribución normal estándar (N (0,1) ). Para la parte 1) del Teorema, observe que cuando multiplicamos una normal estándar por una constante, “estiramos” la distribución (asumiendo (| a | & gt1 ), de lo contrario la “comprimimos”). Recuerde de la discusión de la normal estándar en el Capítulo 5 que (aN (0,1) = N (0, a ^ 2) ). A medida que (n ) se acerca al infinito, por definición (A_n xrightarrow

a ), por lo que el grado en que se estira la normal estándar también convergerá a esa constante. Para demostrar esta característica visualmente, considere la siguiente simulación:

Aquí hemos definido dos variables aleatorias: X_n es una normal estándar, y A_n converge en valor a 2. Variando el valor de n, tomo (n ) extrae de una distribución normal estándar y calculo el valor de la constante convergente ( Un) . Luego genero el producto de estas dos variables. La figura traza la distribución resultante aX. Podemos ver que a medida que n aumenta, la distribución se vuelve cada vez más normal, permanece centrada alrededor de 0 y la varianza se acerca a 4 (ya que el 95% de la curva está aproximadamente delimitada entre (0 pm 2 times sqrt = 0 pm 2 times2 = 0 pm 4 )).

De manera similar, si agregamos la constante (a ) a una distribución estándar, el efecto es cambiar la distribución en su totalidad (dado que una constante no tiene varianza, no "estira" la distribución). Como (A_n ) converge en probabilidad, por lo tanto, el desplazamiento converge en la constante (a ). Nuevamente, podemos demostrar este resultado en R:

A medida que n se hace más grande, la distribución resultante se vuelve aproximadamente normal, con una varianza de 1 y un valor medio centrado alrededor de (0 + a = 2 ).

El teorema de Slutsky es tan útil precisamente porque nos permite combinar múltiples variables aleatorias con asintóticos conocidos y retener este conocimiento, es decir, sabemos a qué convergerá la distribución resultante suponiendo (n a infty ).


Resultados principales

El teorema del valor medio

El siguiente resultado ha sido probado, por ejemplo, en [34], usando transformadas de Laplace, y también en [26] usando solo la definición de derivadas e integrales AB.

Teorema 2.1

AB integrales y derivadas de tipo Caputo satisfacen la siguiente relación de inversión:

por (0 & lt alpha & lt1 ), (a & lt t & lt b ) en ( mathbb) , y (f: [a, b] flecha derecha mathbb) diferenciable de tal manera que (F') y (<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha> , f ) ambos están en (L ^ <1> [a, b] ).

Podemos usar este hecho para probar el siguiente análogo del teorema del valor medio para derivadas fraccionarias en el modelo AB.

Teorema 2.2

Dejar (0 & lt alpha & lt1 ), (a & lt b ) en ( mathbb) , y (f: [a, b] flecha derecha mathbb ) diferenciable de tal manera que (f ' en L ^ <1> [a, b] ) y (<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha> , f en C [a, b] ). Luego, para cualquier (t en [a, b] ), existe ( xi en [a, t] ) tal que

Prueba

Ahora, por el teorema del valor medio integral, ya que (<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha> , f (x) ) es continuo y ((tx) ^ < alpha-1> ) es integrable y positivo, existe ( xi in (a, t) ) tal que

Por interés, también incluimos el siguiente corolario, otra forma del teorema del valor medio fraccionario ABC en términos de desigualdad.

Corolario 2.1

Con todas las notaciones y suposiciones como en el teorema 2.2, Si F es monotónico (aumentando o disminuyendo), luego

Prueba

Partiremos de la ecuación (2) para derivar esta desigualdad. En primer lugar, utilizando de nuevo el teorema del valor medio integral, podemos escribir la derivada ABC como

para algunos (c in (a, t) ), ya que (E _ < alpha> ) es continuo y (f ') es integrable y tiene signo constante. Sustituimos esto en (2) para encontrar

Dado que la función de Mittag-Leffler en un argumento negativo es completamente monótona [35], el resultado es el siguiente. □

Teorema de Taylor

Antes de comenzar a probar los análogos del teorema de Taylor para las derivadas fraccionarias de AB, primero establecemos el siguiente lema.

Lema 2.1

Si ( alpha en (0,1) ) y (a & lt b ) en ( mathbb) y (f: [a, b] flecha derecha mathbb) es una función diferenciable tal que (F') y todas las funciones de la forma ((<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha>) ^f (t) ), (m in mathbb) , están (L ^ <1> ) funciones, luego

Prueba

Entonces, el lado izquierdo de la ecuación (4) se puede escribir de la siguiente manera, donde denotamos (<> ^ < mathrm> _ <> I_^ < alpha> ) y (<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha> ) simplemente (I ^ < alpha> ) y (D ^ < alpha> ), respectivamente, para facilitar la notación:

donde para el último paso usamos identidad (5). Denotando la constante ((D ^ < alpha>) ^f (a) ) por A, tenemos

Ahora estamos finalmente en posición de demostrar el siguiente resultado principal, nuestro primer análogo del teorema de Taylor para derivadas fraccionarias en el modelo ABC.

Teorema 2.3

(Serie AB Taylor sobre (t = a ))

Si ( alpha en (0,1) ) y (n in mathbb) y (a & lt b ) en ( mathbb) y (f: [a, b] flecha derecha mathbb) es una función diferenciable tal que (F') y todas las funciones de la forma ((<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha>) ^f (t) ), (m in mathbb) , están (L ^ <1> ) funciones, entonces para todos (t en [a, b] ),

para algunos ( xi in (a, t) ), donde la funcion S es definido por

Prueba

El resultado del Lema 2.1 se puede reescribir como

válido para cualquier (m in mathbb). Resumiendo esta identidad metro para formar una serie telescópica, obtenemos

Por tanto, bastará con demostrar que

Para establecer (8), usamos el teorema del valor medio para integrales una vez más, esta vez con una de las "funciones" involucradas siendo en realidad una distribución escrita en términos del delta de Dirac.

Para obtener una expansión infinita de la serie de Taylor para una función dada (f (t) ), basta con imponer la siguiente condición de convergencia en el término restante:

donde la norma utilizada es la norma uniforme en ([a, t] ).

Una desventaja del teorema 2.3 es que para muchas funciones F, la derivada fraccionaria ABC (<> ^ < mathrm> _ <> D ^ < alpha> _, f (t) ) evaluado en el punto inicial (t = a ) es cero. Podemos ver esto considerando la definición: dado que la derivada ABC está dada por una integral de a a t, evaluará a cero dadas ciertas condiciones sobre el comportamiento de (f (t) ) cerca de (t = a ). Así, presentamos la siguiente generalización del Teorema 2.3, inspirada en el trabajo de [36].

Teorema 2.4

(Serie AB Taylor — caso general)

Si ( alpha en (0,1) ) y (n in mathbb) y (a & lt b ) en ( mathbb) y (f: [a, b] flecha derecha mathbb) es una función diferenciable tal que (F') y todas las funciones de la forma ((<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha>) ^f (t) ), (m in mathbb) , están (L ^ <1> ) funciones, entonces para todos (c, t en [a, b] ),

donde la secuencia de funciones (Delta_) se define recursivamente por

y (Delta_= Delta_) , Las funciones (S _ < alpha, m> ) siendo definido por (7), y el término restante (R_) es una combinación lineal de términos de la forma ((<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha>) ^f ( xi) ) por ( xi en (a, b) ).

Prueba

Usamos la fórmula (6) del Teorema 2.3 como nuestro punto de partida y la aplicamos varias veces de diferentes maneras para derivar (10).

Reemplazo t por C en la ecuación (6), y reemplazando F por sus derivados ABC, según corresponda, produce las siguientes fórmulas para cualquier norte (donde usamos el hecho de que (S _ < alpha, 0> = 1 )):

Sustituyendo cada una de estas ecuaciones a su vez en (6) se obtiene la siguiente secuencia de identidades:

donde ( Delta_) están definidos por (11) y los restos sucesivos están dados por

Después norte iteraciones de este proceso, llegamos al resultado final:

Dado que ( Delta_= Delta_) por definición, y dejando (R_= R_), descubrimos la ecuación (10) según sea necesario. Tenga en cuenta que ( xi in (a, t) ) y ( xi_ in (a, c) ) para todos metro. □

ABC iterado difiere integrales a un orden arbitrario sería muy difícil de calcular directamente. Afortunadamente, podemos usar la fórmula de la serie de [26] para derivar una expresión significativamente más simple para ((<> ^ < mathrm> _ <> D_^ < alpha>) ^f ) como sigue:

donde esta serie es localmente uniformemente convergente en t. El uso de la fórmula (12) para la derivada ABC iterada facilita el cálculo de las series de Taylor (6) y (10) para funciones individuales específicas F. Consulte la siguiente sección para ver un ejemplo.

Desafortunadamente, dada la complejidad de la fórmula para el término restante (R_), será difícil saber si la serie (10) converge como norte va al infinito. Pero ciertamente tenemos un resultado válido de serie finita, que se puede verificar computacionalmente incluso para valores grandes de norte.


Preguntas cada vez más difíciles: Pitágoras / Teorema de Pitágoras

¡Las preguntas cada vez más difíciles están llegando al TES!

Tareas de piso bajo y techo alto con la oportunidad de una variedad de puntos de partida y un techo alto. El material de apoyo (si corresponde) permite la identificación de áreas para el desarrollo y una mayor práctica en estas preguntas.

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9.9 Polinomios de Taylor

Considere una función y = f ⁢ (x) y un punto (c, f ⁢ (c)). La derivada, f ′ ⁢ (c), da la tasa instantánea de cambio de f en x = c. De todas las rectas que pasan por el punto (c, f ⁢ (c)), la recta que mejor se aproxima a f en este punto es la recta tangente, es decir, la recta cuya pendiente (tasa de cambio) es f ′ ⁢ (c) .

yf ⁢ (0) = 2 f ′ ′ ′ ⁢ (0) = - 1 f ′ ⁢ (0) = 1 f (4) ⁢ (0) = - 12 f ′ ′ ⁢ (0) = 2 f (5) ⁢ (0) = - 19 Figura 9.9.1: Graficando y = f ⁢ (x) y una tabla de derivadas de f evaluadas en 0.

En la figura 9.9.1, vemos una función y = f ⁢ (x) graficada. La tabla debajo del gráfico muestra que f ⁢ (0) = 2 y f ′ ⁢ (0) = 1 por lo tanto, la recta tangente af en x = 0 es p 1 ⁢ (x) = 1 ⁢ (x - 0) + 2 = x + 2. La recta tangente también se muestra en la figura. Tenga en cuenta que "cerca" x = 0, p 1 ⁢ (x) ≈ f ⁢ (x) es decir, la recta tangente se aproxima bien a f.

Una deficiencia de esta aproximación es que la recta tangente solo coincide con la pendiente de f; por ejemplo, no coincide con la concavidad de f. Sin embargo, podemos encontrar un polinomio, p 2 ⁢ (x), que coincide con la concavidad sin mucha dificultad. La tabla de la Figura 9.9.1 proporciona la siguiente información:

f ⁢ (0) = 2 f ′ ⁢ (0) = 1 f ′ ′ ⁢ (0) = 2.

Por lo tanto, queremos que nuestro polinomio p 2 ⁢ (x) tenga estas mismas propiedades. Es decir, necesitamos

p 2 ⁢ (0) = 2 p 2 ′ ⁢ (0) = 1 p 2 ′ ′ ⁢ (0) = 2.

Este es simplemente un problema de valor inicial. Podemos resolver esto usando las técnicas descritas por primera vez en la Sección 5.1. To keep p 2 ⁢ ( x ) as simple as possible, we’ll assume that not only p 2 ′′ ⁢ ( 0 ) = 2 , but that p 2 ′′ ⁢ ( x ) = 2 . That is, the second derivative of p 2 is constant.

y Figure 9.9.2: Plotting f , p 2 , and p 4 . † † margin:

y Figure 9.9.3: Plotting f and p 13 .

If p 2 ′′ ⁢ ( x ) = 2 , then p 2 ′ ⁢ ( x ) = 2 ⁢ x + C for some constant C . Since we have determined that p 2 ′ ⁢ ( 0 ) = 1 , we find that C = 1 and so p 2 ′ ⁢ ( x ) = 2 ⁢ x + 1 . Finally, we can compute p 2 ⁢ ( x ) = x 2 + x + C . Using our initial values, we know p 2 ⁢ ( 0 ) = 2 so C = 2 . We conclude that p 2 ⁢ ( x ) = x 2 + x + 2 . This function is plotted with f in Figure 9.9.2 .

We can repeat this approximation process by creating polynomials of higher degree that match more of the derivatives of f at x = 0 . In general, a polynomial of degree n can be created to match the first n derivatives of f . Figure 9.9.2 also shows p 4 ⁢ ( x ) = - x 4 / 2 - x 3 / 6 + x 2 + x + 2 , whose first four derivatives at 0 match those of f . (Using the table in Figure 9.9.1 , start with p 4 ( 4 ) ⁢ ( x ) = - 12 and solve the related initial-value problem.)

As we use more and more derivatives, our polynomial approximation to f gets better and better. In this example, the interval on which the approximation is “good” gets bigger and bigger. Figure 9.9.3 shows p 13 ⁢ ( x ) we can visually affirm that this polynomial approximates f very well on [ - 2 , 3 ] . The polynomial p 13 ⁢ ( x ) is fairly complicated:

16901 ⁢ x 13 6227020800 + 13 ⁢ x 12 1209600 - 1321 ⁢ x 11 39916800 - 779 ⁢ x 10 1814400 - 359 ⁢ x 9 362880 + x 8 240 + 139 ⁢ x 7 5040 + 11 ⁢ x 6 360 - 19 ⁢ x 5 120 - x 4 2 - x 3 6 + x 2 + x + 2 .

The polynomials we have created are examples of Taylor polynomials, named after the British mathematician Brook Taylor who made important discoveries about such functions. While we created the above Taylor polynomials by solving initial-value problems, it can be shown that Taylor polynomials follow a general pattern that make their formation much more direct. This is described in the following definition.

Definition 9.9.1 Taylor Polynomial, Maclaurin Polynomial

Let f be a function whose first n derivatives exist at x = c .

The Taylor polynomial of degree n of f at x = c is

p n ⁢ ( x ) = f ⁢ ( c ) + f ′ ⁢ ( c ) ⁢ ( x - c ) + f ′′ ⁢ ( c ) 2 ! ⁢ ( x - c ) 2 + f ′′′ ⁢ ( c ) 3 ! ⁢ ( x - c ) 3 + ⋯ + f ( n ) ⁢ ( c ) n ! ⁢ ( x - c ) n
= ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( c ) k ! ⁢ ( x - c ) k .

A special case of the Taylor polynomial is the Maclaurin polynomial, where c = 0 . That is, the Maclaurin polynomial of degree n of f is

p n ⁢ ( x ) = f ⁢ ( 0 ) + f ′ ⁢ ( 0 ) ⁢ x + f ′′ ⁢ ( 0 ) 2 ! ⁢ x 2 + f ′′′ ⁢ ( 0 ) 3 ! ⁢ x 3 + ⋯ + f ( n ) ⁢ ( 0 ) n ! ⁢ x n
= ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( 0 ) k ! ⁢ x k .

Generally, we order the terms of a polynomial to have decreasing degrees, and that is how we began this section. This definition, and the rest of this chapter, reverses this order to reflect the greater importance of the lower degree terms in the polynomials that we will be finding.

Watch the video:
Taylor Polynomial to Approximate a Function, Ex 3 from https://youtu.be/UINFWG0ErSA

We will practice creating Taylor and Maclaurin polynomials in the following examples.

Example 9.9.1 Finding and using Maclaurin polynomials

Find the n th Maclaurin polynomial for f ⁢ ( x ) = e x .

Use p 5 ⁢ ( x ) to approximate the value of e .

We start with creating a table of the derivatives of e x evaluated at x = 0 . In this particular case, this is relatively simple, as shown in Figure 9.9.4 . † † margin: f ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ⁢ ( 0 ) = 1 f ′ ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ′ ⁢ ( 0 ) = 1 f ′′ ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ′′ ⁢ ( 0 ) = 1 ⋮ ⋮ f ( n ) ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ( n ) ⁢ ( 0 ) = 1 Figure 9.9.4: The derivatives of f ⁢ ( x ) = e x evaluated at x = 0 . By the definition of the Maclaurin polynomial, we have

p n ⁢ ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( 0 ) k ! ⁢ x k = ∑ k = 0 n 1 k ! ⁢ x k .

Using our answer from part 1, we have

p 5 ⁢ ( x ) = 1 + x + 1 2 ⁢ x 2 + 1 6 ⁢ x 3 + 1 24 ⁢ x 4 + 1 120 ⁢ x 5 .

To approximate the value of e , note that e = e 1 = f ⁢ ( 1 ) ≈ p 5 ⁢ ( 1 ) . It is very straightforward to evaluate p 5 ⁢ ( 1 ) : † † margin:

y Figure 9.9.5: A plot of f ⁢ ( x ) = e x and its 5 th degree Maclaurin polynomial p 5 ⁢ ( x ) .

p 5 ⁢ ( 1 ) = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 = 163 60 ≈ 2.71667 .

This is an error of about 0.0016 , or 0.06 % of the true value.

A plot of f ⁢ ( x ) = e x and p 5 ⁢ ( x ) is given in Figure 9.9.5 .

Example 9.9.2 Finding and using Taylor polynomials

Find the n th Taylor polynomial of y = ln ⁡ x at x = 1 .

Use p 6 ⁢ ( x ) to approximate the value of ln ⁡ 1.5 .

Use p 6 ⁢ ( x ) to approximate the value of ln ⁡ 2 .

We begin by creating a table of derivatives of ln ⁡ x evaluated at x = 1 . While this is not as straightforward as it was in the previous example, a pattern does emerge, as shown in Figure 9.9.6 .

p n ⁢ ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( c ) k ! ⁢ ( x - c ) k = ∑ k = 1 n ( - 1 ) k + 1 k ⁢ ( x - 1 ) k .

We can compute p 6 ⁢ ( x ) using our work above: † † margin: f ⁢ ( x ) = ln ⁡ x ⇒ f ⁢ ( 1 ) = 0 f ′ ⁢ ( x ) = 1 / x ⇒ f ′ ⁢ ( 1 ) = 1 f ′′ ⁢ ( x ) = - 1 / x 2 ⇒ f ′′ ⁢ ( 1 ) = - 1 f ′′′ ⁢ ( x ) = 2 / x 3 ⇒ f ′′′ ⁢ ( 1 ) = 2 f ( 4 ) ⁢ ( x ) = - 6 / x 4 ⇒ f ( 4 ) ⁢ ( 1 ) = - 6 ⋮ ⋮ f ( n ) ⁢ ( x ) = ⇒ f ( n ) ⁢ ( 1 ) = ( - 1 ) n + 1 ⁢ ( n - 1 ) ! x n ( - 1 ) n + 1 ⁢ ( n - 1 ) ! Figure 9.9.6: Derivatives of ln ⁡ x evaluated at x = 1 .

p 6 ⁢ ( x ) = ( x - 1 ) - 1 2 ⁢ ( x - 1 ) 2 + 1 3 ⁢ ( x - 1 ) 3 - 1 4 ⁢ ( x - 1 ) 4 + 1 5 ⁢ ( x - 1 ) 5 - 1 6 ⁢ ( x - 1 ) 6 .

Since p 6 ⁢ ( x ) approximates ln ⁡ x well near x = 1 , we approximate ln ⁡ 1.5 ≈ p 6 ⁢ ( 1.5 ) : † † margin:

y Figure 9.9.7: A plot of y = ln ⁡ x and its 6 th degree Taylor polynomial at x = 1 .

p 6 ⁢ ( 1.5 ) = ( 1.5 - 1 ) - 1 2 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 2 + 1 3 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 3
- 1 4 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 4 + 1 5 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 5 - 1 6 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 6
= 259 640
≈ 0.404688 .

This is a good approximation as a calculator shows that ln ⁡ 1.5 ≈ 0.4055 . Figure 9.9.7 plots y = ln ⁡ x with y = p 6 ⁢ ( x ) . We can see that ln ⁡ 1.5 ≈ p 6 ⁢ ( 1.5 ) .

We approximate ln ⁡ 2 with p 6 ⁢ ( 2 ) :

p 6 ⁢ ( 2 ) = ( 2 - 1 ) - 1 2 ⁢ ( 2 - 1 ) 2 + 1 3 ⁢ ( 2 - 1 ) 3
- 1 4 ⁢ ( 2 - 1 ) 4 + 1 5 ⁢ ( 2 - 1 ) 5 - 1 6 ⁢ ( 2 - 1 ) 6
= 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6
= 37 60
≈ 0.616667 .

This approximation is not terribly impressive: a hand held calculator shows that ln ⁡ 2 ≈ 0.693147 . The graph in Figure 9.9.7 shows that p 6 ⁢ ( x ) provides less accurate approximations of ln ⁡ x as x gets close to 0 or 2.

y Figure 9.9.8: A plot of y = ln ⁡ x and its 20 th degree Taylor polynomial at x = 1 .

Surprisingly enough, even the 20 th degree Taylor polynomial fails to approximate ln ⁡ x for x > 2 , as shown in Figure 9.9.8 . We’ll soon discuss why this is.

Taylor polynomials are used to approximate functions f ⁢ ( x ) in mainly two situations:

When f ⁢ ( x ) is known, but perhaps “hard” to compute directly. For instance, we can define y = cos ⁡ x as either the ratio of sides of a right triangle (“adjacent over hypotenuse”) or with the unit circle. However, neither of these provides a convenient way of computing cos ⁡ 2 . A Taylor polynomial of sufficiently high degree can provide a reasonable method of computing such values using only operations usually hard-wired into a computer ( + , - , × and ÷ ).

When f ⁢ ( x ) is not known, but information about its derivatives is known. This occurs more often than one might think, especially in the study of differential equations.

In both situations, a critical piece of information to have is “How good is my approximation?” If we use a Taylor polynomial to compute cos ⁡ 2 , how do we know how accurate the approximation is?

We had the same problem when studying Numerical Integration. Theorem 8.7.1 provided bounds on the error when using, say, Simpson’s Rule to approximate a definite integral. These bounds allowed us to determine that, for example, using 10 subintervals provided an approximation within ± .01 of the exact value. The following theorem gives similar bounds for Taylor (and hence Maclaurin) polynomials.

Theorem 9.9.1 Taylor’s Theorem

Let f be a function whose ( n + 1 ) th derivative exists on an open interval I and let c be in I . Then, for each x in I , there exists z x between x and c such that

f ⁢ ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( c ) k ! ⁢ ( x - c ) k + R n ⁢ ( x ) ,

where R n ⁢ ( x ) = f ( n + 1 ) ⁢ ( z x ) ( n + 1 ) ! ⁢ ( x - c ) n + 1 .

| R n ⁢ ( x ) | ≤ max z ⁡ | f ( n + 1 ) ⁢ ( z ) | ( n + 1 ) ! ⁢ | x - c | n + 1 , where z is between x and c .

The first part of Taylor’s Theorem states that f ⁢ ( x ) = p n ⁢ ( x ) + R n ⁢ ( x ) , where p n ⁢ ( x ) is the n th order Taylor polynomial and R n ⁢ ( x ) is the remainder, or error, in the Taylor approximation. The second part gives bounds on how big that error can be. If the ( n + 1 ) th derivative is large, the error may be large if x is far from c , the error may also be large. However, the ( n + 1 ) ! term in the denominator tends to ensure that the error gets smaller as n increases.

The following example computes error estimates for the approximations of ln ⁡ 1.5 and ln ⁡ 2 made in Example 9.9.2 .

Example 9.9.3 Finding error bounds of a Taylor polynomial

Use Theorem 9.9.1 to find error bounds when approximating ln ⁡ 1.5 and ln ⁡ 2 with p 6 ⁢ ( x ) , the Taylor polynomial of degree 6 of f ⁢ ( x ) = ln ⁡ x at x = 1 , as calculated in Example 9.9.2 .

We start with the approximation of ln ⁡ 1.5 with p 6 ⁢ ( 1.5 ) . The theorem references max ⁡ | f ( n + 1 ) ⁢ ( z ) | . In our situation, this is asking “How big can the 7 th derivative of y = ln ⁡ x be on the interval [ 1 , 1.5 ] ?” The seventh derivative is y = - 6 ! / x 7 . The largest absolute value it attains on I is 720. Thus we can bound the error as:

| R 6 ⁢ ( 1.5 ) | ≤ max ⁡ | f ( 7 ) ⁢ ( z ) | 7 ! ⁢ | 1.5 - 1 | 7
≤ 720 5040 ⋅ 1 2 7
≈ 0.001 .

We computed p 6 ⁢ ( 1.5 ) = 0.404688 using a calculator, we find ln ⁡ 1.5 ≈ 0.405465 , so the actual error is about 0.000778 (or 0.2 % ), which is less than our bound of 0.001 . This affirms Taylor’s Theorem the theorem states that our approximation would be within about one thousandth of the actual value, whereas the approximation was actually closer.

The maximum value of the seventh derivative of f on [ 1 , 2 ] again 720 (as the largest values come at x = 1 ). Por lo tanto

| R 6 ⁢ ( 2 ) | ≤ max ⁡ | f ( 7 ) ⁢ ( z ) | 7 ! ⁢ | 2 - 1 | 7
≤ 720 5040 ⋅ 1 7
≈ 0.28 .

This bound is not as nearly as good as before. Using the degree 6 Taylor polynomial at x = 1 will bring us within 0.3 of the correct answer. As p 6 ⁢ ( 2 ) ≈ 0.61667 , our error estimate guarantees that the actual value of ln ⁡ 2 is somewhere between 0.33667 and 0.89667 . These bounds are not particularly useful.

In reality, our approximation was only off by about 0.07 (or 11 % ). However, we are approximating ostensibly because we do not know the real answer. In order to be assured that we have a good approximation, we would have to resort to using a polynomial of higher degree.

We practice again. This time, we use Taylor’s theorem to find n that guarantees our approximation is within a certain amount.

Example 9.9.4 Finding sufficiently accurate Taylor polynomials

Find n such that the n th Taylor polynomial of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x at x = 0 approximates cos ⁡ 2 to within 0.001 of the actual answer. What is p n ⁢ ( 2 ) ?

Solution Following Taylor’s theorem, we need bounds on the size of the derivatives of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x . In the case of this trigonometric function, this is easy. All derivatives of cosine are ± sin ⁡ x or ± cos ⁡ x . In all cases, these functions are never greater than 1 in absolute value. We want the error to be less than 0.001 . To find the appropriate n , consider the following inequalities:

max ⁡ | f ( n + 1 ) ⁢ ( z ) | ( n + 1 ) ! ⁢ | 2 - 0 | n + 1 ≤ 0.001
1 ( n + 1 ) ! ⋅ 2 n + 1 ≤ 0.001

We find an n that satisfies this last inequality with trial-and-error. When n = 8 , we have 2 8 + 1 ( 8 + 1 ) ! ≈ 0.0014 when n = 9 , we have 2 9 + 1 ( 9 + 1 ) ! ≈ 0.000282 < 0.001 . Thus we want to approximate cos ⁡ 2 with p 9 ⁢ ( 2 ) .

We now set out to compute p 9 ⁢ ( x ) . We again need a table of the derivatives of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x evaluated at x = 0 . A table of these values is given in Figure 9.9.9 . Notice how the derivatives, evaluated at x = 0 , follow a certain pattern. All the odd powers of x in the Taylor polynomial will disappear as their coefficient is 0. While our error bounds state that we need p 9 ⁢ ( x ) , our work shows that this will be the same as p 8 ⁢ ( x ) . † † margin: f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x ⇒ f ⁢ ( 0 ) = 1 f ′ ⁢ ( x ) = - sin ⁡ x ⇒ f ′ ⁢ ( 0 ) = 0 f ′′ ⁢ ( x ) = - cos ⁡ x ⇒ f ′′ ⁢ ( 0 ) = - 1 f ′′′ ⁢ ( x ) = sin ⁡ x ⇒ f ′′′ ⁢ ( 0 ) = 0 f ( 4 ) ⁢ ( x ) = cos ⁡ x ⇒ f ( 4 ) ⁢ ( 0 ) = 1 f ( 5 ) ⁢ ( x ) = - sin ⁡ x ⇒ f ( 5 ) ⁢ ( 0 ) = 0 f ( 6 ) ⁢ ( x ) = - cos ⁡ x ⇒ f ( 6 ) ⁢ ( 0 ) = - 1 f ( 7 ) ⁢ ( x ) = sin ⁡ x ⇒ f ( 7 ) ⁢ ( 0 ) = 0 f ( 8 ) ⁢ ( x ) = cos ⁡ x ⇒ f ( 8 ) ⁢ ( 0 ) = 1 f ( 9 ) ⁢ ( x ) = - sin ⁡ x ⇒ f ( 9 ) ⁢ ( 0 ) = 0 Figure 9.9.9: A table of the derivatives of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x evaluated at x = 0 .

Since we are forming our polynomial at x = 0 , we are creating a Maclaurin polynomial, and: