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5.3: Límites al infinito y límites infinitos - Matemáticas


Definición

Sea (D subset mathbb {R}, f: D rightarrow mathbb {R}, ) y suponga que (a ) es un punto límite de (D ). Decimos que (f ) diverge a (+ infty ) cuando (x ) se acerca a (a ), denotado

[ lim _ {x flecha derecha a} f (x) = + infty, ]

si para cada número real (M ) existe un ( delta> 0 ) tal que

[f (x)> M text {siempre que} x neq a text {y} x in (a- delta, a + delta) cap D. ]

De manera similar, decimos que (f ) diverge a (- infty ) cuando (x ) se acerca a (a, ) denotado

[ lim _ {x flecha derecha a} f (x) = - infty, ]

si para cada número real (M ) existe un ( delta> 0 ) tal que

[f (x)

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Proporcionar definiciones para

una. ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = + infty ),

B. ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = + infty ),

C. ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = - infty ),

D. ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = - infty ).

Modele sus definiciones sobre las definiciones anteriores.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Muestre que ( lim _ {x rightarrow 4 ^ {+}} frac {7} {4-x} = - infty ) y ( lim _ {x rightarrow 4 ^ {-}} frac {7} {4-x} = + infty ).

Definición

Suponga que (D subset mathbb {R} ) no tiene un límite superior, (f: D rightarrow mathbb {R} ) y (L in mathbb {R}. ) Nosotros decir que el límite de (f ) cuando (x ) se acerca a (+ infty ) es (L, ) denotado

[ lim _ {x flecha derecha + infty} f (x) = L, ]

si para cada ( epsilon> 0 ) existe un número real (M ) tal que

[| f (x) -L | < epsilon text {siempre que} x in (M, + infty) cap D. ]

Definición

Supongamos que (D subset mathbb {R} ) no tiene un límite inferior, (f: D rightarrow mathbb {R} ) y (L in mathbb {R}. ) Nosotros decir que el límite de (f ) cuando (x ) se acerca a (- infty ) es (L, ) denotado

[ lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = L, ]

si para cada ( epsilon> 0 ) existe un número real (M ) tal que

[| f (x) -L | < epsilon text {siempre que} x in (- infty, M) cap D. ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Verifica que ( lim _ {x rightarrow + infty} frac {x + 1} {x + 2} = 1 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Proporcionar definiciones para

una. ( lim _ {x flecha derecha + infty} f (x) = + infty ),

B. ( lim _ {x flecha derecha + infty} f (x) = - infty ),

C. ( lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = + infty ),

D. ( lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = - infty ).

Modele sus definiciones sobre las definiciones anteriores.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Suponer

[f (x) = a x ^ {3} + b x ^ {2} + c x + d, ]

donde (a, b, c, d in mathbb {R} ) y (a> 0. ) Demuestre que

[ lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = + infty text {y} lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = - infty. ]


Aunque el infinito no tiene un valor específico y no se puede conectar a funciones, podemos pensar en lo que sucederá con una función dada como X enfoquesinfinito.

Todo lo que esto realmente significa es que X continuamente se vuelve infinitamente grande. Y como X se hace cada vez más grande y más grande, ¿qué y valor ¿se acercará más y más nuestra función?

Veamos algunos ejemplos comunes y su significado.

Uno dividido por el infinito

Como dije antes, el infinito no es un valor. Por lo tanto, ( frac <1> < infty> ) no es & # 8217t un número real y no & # 8217t tiene un valor. Sin embargo, lo que queremos pensar es en qué y valor 1 / x se acercará como X va al infinito. Esto es exactamente lo que se pregunta cuando vemos: $ lim_ frac <1>$

De modo que & # 8217s pensemos en lo que le sucede 1 / x cuando conectamos números cada vez más grandes para X.

X ( mathbf < frac <1>>)
11
100.1
1000.01
1,0000.001
10,0000.0001
100,0000.00001
1,000,0000.000001
10,000,0000.0000001
100,000,0000.00000001

Entonces puede ver en la tabla de arriba que como X se hace cada vez más grande, 1 / x se acerca cada vez más a 0. O en otras palabras

como X se acerca al infinito, 1 / x enfoques 0

Escribiríamos esto matemáticamente como: $ lim_ frac <1> = 0$

También podemos ver esto gráficamente usando Mathway. Observe en el gráfico de abajo que a medida que X El valor va hacia el infinito, puedes ver el y valor acercarse al eje y (y = 0).

Límites que van al infinito

El otro ejemplo común que mencioné es el límite como X va al infinito de ( mathbf). O $ lim_ e ^ x $

Una vez más, realmente no tiene sentido decir que podemos simplemente conectar el infinito para X y obtén ( mathbf> ). Esto no tiene ningún valor. Este no es un número. En cambio, queremos pensar en lo que y valor ( mathbf) va hacia como X va al infinito. Así que veamos lo que sucede a medida que aumentamos mi a una potencia cada vez mayor.

X ( mathbf)
12.718
27.389
454.598
6403.429
82,980.958
1022,026.466
1002.688 * ( mathbf <10 ^ <43>> )

Entonces podemos ver aquí que ( mathbf) comienza a darnos números muy grandes con bastante rapidez. Y a medida que continuamos conectando valores más grandes para X, ( mathbf) seguirá creciendo cada vez más.

como X enfoques infinito, ( mathbf) enfoques infinito

Escribiríamos esto matemáticamente como: $ lim_ e ^ x = infty $


Límites finitos e infinitos

Comenzaremos mostrando un pequeño resumen de las propiedades de los límites finitos.

Supongamos que $ displaystyle lim_= a $ y ese $ displaystyle lim_= b $, entonces también:

  • $ Displaystyle lim_= Displaystyle lim_ pm Displaystyle lim_= a pm b $
  • $ Displaystyle lim_= Displaystyle lim_ cdot Displaystyle lim_= a cdot b $
  • Si $ b neq 0 $, $ displaystyle lim_< frac> = frac < Displaystyle lim_> < Displaystyle lim_> = frac$
  • Si $ f (x)> $, $ displaystyle lim_<>> = Displaystyle lim_<>>> = a ^ b $
  • Si $ n $ impar o si $ n $ par y $ f (x) geqslant0 Rightarrow displaystyle lim_< sqrt [n]> = sqrt [n] < displaystyle lim_> = sqrt [n] $
  • Si $ alpha> 0 $ y $ f (x)> 0 $, $ displaystyle lim_< log _ < alpha> f (x)> = log _ < alpha> Big ( displaystyle lim_ Big) = log _ < alpha> a $

Si $ displaystyle lim_ infty>= 3 $ y $ displaystyle lim_ infty>= -5 $ entonces:

  1. $ Displaystyle lim_ infty>=3-5=-2$
  2. $ Displaystyle lim_ infty>=3-(-5)=8$
  3. $ Displaystyle lim_ infty>= 3 cdot (-5) = - 15 $
  4. $ Displaystyle lim_ infty>= 3 ^ <-5> = frac <1> <3 ^ 5> = frac <1> <243> $
  5. $ Displaystyle lim_ infty><>> $ no existe desde $ g (x) h mbox f (x)> k $$

Intuitivamente, significa que podemos tener $ f (x) $ tan grande como queramos eligiendo un $ x $ suficientemente grande.

y en particular $ displaystyle lim_ infty>= signo (p) cdot infty $, donde $ p $ es un valor real otro cero.

A partir de este punto, deducimos que las funciones polinomiales tienden al infinito a medida que $ x $ se vuelve más grande.

En este ejemplo podemos ver la función $ f (x) = 3x ^ 4 $. Cuando $ x $ se vuelve grande, la función crece hasta el infinito.

Exponencial: si $ a> 1, displaystyle lim_ infty>= + infty $

e igualmente si $ a> 1, displaystyle lim_ infty>

= signo (p) cdot infty $.

Un ejemplo para este caso es la función $ f (x) = dfrac <1> <2> e ^ x $. Tiende al infinito como $ x $ tiende al infinito.

Logarítmico: si $ a> 1, displaystyle lim_ infty> < log_x> = + infty $

Por ejemplo, la función $ f (x) = log_x = ln x $. Esta función tiende a infinito a medida que $ x $ se vuelve muy grande.

Aritmética del infinito

Supongamos que $ displaystyle lim_ infty>= + infty $ y que $ displaystyle lim_ infty>= + infty $, entonces observamos sin problemas que:

$$ Displaystyle lim_ infty>= Displaystyle lim_ infty>+ Displaystyle lim_ infty>= + infty + infty = + infty $$

$$ Displaystyle lim_ infty>= Displaystyle lim_ infty> cdot Displaystyle lim_ infty>= (+ infty) cdot (+ infty) = + infty $$

Sin embargo, tendremos problemas cuando nos encontremos con situaciones como la siguiente:

ya que a si restamos el infinito al infinito nos da una indeterminación.

Del mismo modo, podríamos preguntarnos por estas propiedades cuando tenemos una función con límite infinito y otra con límite finito.

Veamos una pequeña tabla que nos mostrará cómo trabajar cuando tenemos diferentes tipos necesarios para producir infinitos con otros infinitos y con límites finitos:

SUMAS PRODUCTOS
$ (+ infty) + a = + infty $ $ (+ infty) cdot (+ infty) = + infty $
$ (+ infty) + (+ infty) = + infty $ $ (+ infty) cdot (- infty) = - infty $
$ (- infty) + a = - infty $ $ (+ infty) cdot a = signo (a) cdot infty $
$ (- infty) + (- infty) = - infty $ $ (- infty) cdot a = -sign (a) cdot infty $
$ - (- infty) = + infty $
DIVISIONES POTESTADES
$ frac < pm infty> = 0 $ $ (+ infty) ^ <+ infty> = + infty $
$ frac <0> = pm infty $ si $ a neq 0 $ $ (+ infty) ^ <- infty> = 0 $
$ frac < pm infty> <0> = pm infty $ si $ a $ & gt $ 0 $ $$ (+ infty) ^ a = + infty $$
$ frac <0> < pm infty> = 0 $ si $ a $ & lt $ 0 $ $$ (+ infty) ^ a = 0 $$
si $ a neq 0 $ $$ a ^ 0 = 1 $$
si $ a $ & gt $ 1 $ $$ a ^ <+ infty> = + infty a ^ <- infty> = 0 $$
si $ 0 $ & lt $ a $ & lt $ 1 $ $$ a ^ <+ infty> = 0 a ^ <- infty> = + infty $$

Estas operaciones se pueden realizar después de encontrar los límites de las funciones involucradas.

Sin embargo, las operaciones que no están en la tabla pueden producir indeterminaciones, por ejemplo, las siguientes expresiones:


Re: regla trapezoidal con límites infinitos

y si al restar la singularidad te refieres a cambiar el límite de integración

No, es un término del análisis asintótico. Trate su integral así.

He restado de la singularidad el 1 / √x para intentar mejorar la geometría del integrando. Esta es la respuesta que quieres.

1.9549028485826594861172411 correcto hasta los 25 dígitos completos.

Última edición por bobbym (2009-09-06 04:18:10)

En matemáticas, no entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellos.
Si no está roto, arréglelo hasta que esté roto.
Siempre cumpla con la directiva principal de obtener la respuesta correcta por encima de todo.


Comparación

Teorema 2.3.2 (Teorema de comparación) Si una secuencia (a_n ) diverge a (+ infty ) y [existe un (n_1 in mathbb N ) tal que] (a_n leq b_n ) para todos (n geq n_1 ), entonces la secuencia (b_n ) también debe divergir a (+ infty ).

Scratchwork: Queremos (b_n & gtM ) para un (M & gt0 ) arbitrario. Sabemos que podemos hacer (a_n & gt0 ) para (n ) suficientemente grande (encuentre un límite para esto). Sabemos que (b_n geq a_n ) para (n ) suficientemente grande (corte dado en el enunciado del teorema, (n_1 )). Luego, asegúrese de que (n ) esté más allá de estos dos valores de corte (n ), y tendremos (M & lta_n ) y (a_n leq b_n ). Esto nos da (b_n & gtM ) como deseamos.

Ahora redactamos la prueba oficial.

Prueba. Sea (M & gt0 ). Elija un (n_2 ) tal que (a_n & gtM ) para todos (n geq n_2 ). También sabemos que (a_n leq b_n ) para todos (n geq n_1 ). Ahora vamos a (n ^ * = max ). Esto nos da que para cualquier (n geq n ^ * ) tenemos (M & lta_n leq b_n ).

Por lo tanto, para cualquier (M & gt0 ) arbitrario, podemos encontrar un (n ^ * ) tal que (b_n & gtM ) para todo (n geq n ^ * ). Entonces (b_n ) diverge a (+ infty ). ( blacksquare )

El teorema anterior también se puede reescribir para la divergencia a (- infty ) y la demostración es casi idéntica.

Convénzase usted mismo de que (a_n & gt sqrt n ) para todo (n ) y que ( sqrt n rightarrow infty ), por lo tanto, mediante una comparación tenemos que (a_n rightarrow infty ). (cuadrado)


Límites en el infinito

En esta sección, discutiré las pruebas de los límites del formulario . Ellos son como pruebas, aunque la configuración y el álgebra son un poco diferentes.

Recordar que significa que para cada , hay un tal que si

Definición. significa que para cada , hay una M tal que si

En otras palabras, puedo acercarme tanto a L como me plazca haciendo x lo suficientemente grande.

Observaciones. Los límites en el infinito a menudo ocurren como límites de secuencias., como

En este caso, . No haré una distinción entre el límite en el infinito de una secuencia y el límite en el infinito de una función, las pruebas que haces son esencialmente las mismas en ambos casos.

Existe una definición similar para , y las pruebas también son similares. Me quedo con aquí.

Ejemplo. Pruebalo .

Al igual que con las pruebas, hago un trabajo de scratch, trabajando al revés de lo que quiero. Luego escribo la "prueba real" en la dirección de avance.

Quiero eliminar los valores absolutos, así que asumiré . Reorganizando la desigualdad, obtengo .

Aquí está la prueba real. Dejar . Colocar . Desde , Tengo . Suponer . Luego , y

Esto prueba que .

Ejemplo. Pruebalo .

Para eliminar los valores absolutos, debo asumir .

Aquí está la prueba real. Dejar . Colocar . Si , luego y . Entonces

Tenga en cuenta que la expresión sería negativo si . Entonces tomé M como el máximo de 0 y para asegurar que si , entonces x sería positivo. Ahora realmente necesitas ser positivo para poner los valores absolutos, y Si . No es dificil probar que , por lo que, de hecho, no necesito tomar el máximo con 0 --- siempre que esté dispuesto a probar que . ¡Decidí tomar el camino más fácil!

Ejemplo. Pruebalo es indefinido.

Usaré prueba por contradicción. Suponer que

Tomando en la definición, puedo encontrar M tal que si , luego .

Elija p para que sea un número par mayor que M. Luego

Esto dice que la distancia de L a 1 es menor que , entonces

Elija q para que sea un número impar mayor que M. Luego

Esto dice que la distancia de L a -1 es menor que , entonces

Esto es una contradicción, ya que L no puede estar en y en al mismo tiempo.

Por eso, es indefinido.


5.3: Límites al infinito y límites infinitos - Matemáticas

Este suplemento sitúa el tratamiento de Aristóteles del infinito en el contexto del pensamiento matemático griego. Sin embargo, no pretende ser exhaustivo.

Estudio preliminar de Infinite Series

A modo preliminar, conviene distinguir 3 tipos de series. Dado que estamos tratando principalmente con magnitudes, pensaremos en un número, en contexto, como un número de unidades de medida. Quiero decir por una serie convergente, una que converge en un valor positivo finito, y por una serie no convergente, una que aumenta ad infinitum. Si la serie es A0, A1, & hellip, Anorte, & hellip, y una unidad de medida B, luego para cada número metro, hay un norte tal que Anorte & gt megabyte.

Tenga en cuenta que Euclides, Elementos x.1 trata la convergencia como: Dada una serie A0, A1, & hellip, Anorte, & hellip, y una magnitud A, su límite, para cualquier magnitud B, no importa lo pequeño que sea, hay un miembro de la serie, Anorte & lt & amp a : B con a & lt B, representando mi, tal que ex = Y significa que a : B = Y : X. Claramente, si a & lt B, luego Y & lt X y Y existe. Por conveniencia, piense en mi & gt pag en el sentido de alguna traducción apropiada de números reales al idioma griego de proporciones.

Desde 0 & lt mi & lt 1, se sigue que 0 & lt 1 & minus mi & lt 1, mientras que para 0 & lt q & lt 1,

Tenga en cuenta que esta serie es diferente de la serie fundamental utilizada en Euclides, Elementos x.1 así como sus aplicaciones en Elementos x 12, donde permitió que el valor de mi puede cambiar. Podemos describir la serie de la siguiente manera: dejemos mi0, & hellip, minorte, & hellip sea una serie de operadores de porciones (ver arriba), de modo que para todos norte, 0 & lt minorte & lt 1. Vamos A0 ser una magnitud.

Euclid necesita la serie A, A0, & hellip, Anorte, & hellip para volverse arbitrariamente pequeño, pero no debe exigir que mi0 = & hellip = minorte = & hellip Él es consciente de que si esta serie disminuye lo suficientemente rápido, A, A0, & hellip, Anorte, & hellip podría converger en una magnitud finita. Por lo tanto, arregla arbitrariamente minorte & gt 1/2, un valor que no pone en peligro sus pruebas.

La clasificación de Aristóteles de las series infinitas

Por tanto, podemos tener la serie de Aristóteles descrita de dos formas:

  1. Serie convergente por división: Podemos empezar con A y tomar porciones de A. Tenga en cuenta que Aristóteles usa & lsquodivision & rsquo en lugar de & lsquosubtraction & rsquo porque concibe la magnitud como dividida. La palabra no significa & lsquodivision & rsquo en el sentido de la operación aritmética. Las series A, A0, & hellip, Anorte, & hellip, se acerca a un punto o una magnitud de menor dimensión que A
  2. Serie convergente por adición: Podemos empezar con B0 y agregue las magnitudes Bn + 1 que le quitamos a cada uno Anorte. En otras palabras, C0, & hellip, Cnorte, & hellip converge en A, pero nunca lo supera.

También es obvio, como afirma Aristóteles, que toda serie convergente por adición es idéntica a alguna serie convergente por división.

Por lo tanto, también tenemos un serie por adición, que no es también una serie por división:

  1. Series no convergentes por adición:
    Dejar B0 ser parte de A
    Bn + 1 = miA
    C0 = B0
    Cn + 1 = B0 + y hellip + Bn + 1

(Obviamente, esto podría generalizarse dentro del contexto de las matemáticas griegas antiguas, pero no sería importante para el argumento o la teoría de Aristóteles).

Aristóteles reconoce, pero no trata por separado, un correspondiente series no convergentes por división, donde uno comienza con una magnitud infinita, de modo que incluso con una división infinita, se termina con una magnitud infinita.

Aristóteles distingue dos formas más de ver una serie infinita.

  1. La serie infinita en potencialidad: La serie en realidad nunca se completa. Lo que hace que la serie sea infinita es simplemente el hecho de que siempre es posible dar el siguiente paso en la serie.
  2. La serie infinita en la actualidad: Concebimos la serie como terminada.

Cuando combinamos la noción de dos de una serie infinita por adición o por división con las nociones de una serie potencial o real para construir cuatro nociones de infinito.

  • El infinito en potencialidad por división: Siempre es posible continuar un proceso de división. Aristóteles acepta esto como central para su noción de magnitudes continuas.
  • El infinito en potencialidad por adición: Hay tres situaciones posibles.
    1. La serie infinita en potencialidad por adición es idéntica a alguna serie del infinito en potencial por división. Aristóteles también acepta esta noción.
    2. La serie infinita en potencialidad por adición conduce a una magnitud mayor que la magnitud del universo. Dado que el universo es finito en tamaño y peso, Aristóteles rechaza esto por estos. Sin embargo, dado que el universo es eterno, Aristóteles no rechaza esta noción de tiempo. El tiempo es infinito en que siempre hay otro día
    3. De (b) se deduce que Aristóteles rechaza una serie no convergente en potencialidad mediante la adición de tamaño y peso, pero no de tiempo.
  • El infinito en actualidad por división: Nunca se puede completar una serie infinita de divisiones. Sin embargo, si una línea se compone de un número infinito de puntos, se deducirá que se completará un número infinito de series infinitas. Así, una línea tampoco se compone de un número infinito de puntos, ni de un plano de líneas, ni de un sólido de planos.
  • El infinito en actualidad por adición: Con la excepción del tiempo, dado que la única noción de serie infinita en potencialidad por adición que acepta Aristóteles corresponde a una serie infinita en potencialidad por división, se deduce que la única serie infinita aceptable en realidad por adición tendría que satisfacer la misma serie finitista. limitaciones. Sin embargo, cualquier serie infinita de este tipo en realidad será idéntica a alguna serie infinita en realidad por división. Por lo tanto, no hay agudeza infinita por adición para tamaños o pesos, etc. Las opiniones de Aristóteles sobre el tiempo infinito son menos claras, pero está comprometido con algún sentido de un infinito real por adición en el caso del tiempo (yendo al pasado), pero solo en un sentido débil, ya que los cambios pasados ​​ya no existen.

Muchos lectores de Aristóteles se han preguntado qué hace este punto de vista en las matemáticas griegas. ¿Un espacio matemático finito viola el principio de no revisionismo (Sección 6)? Aristóteles afirma que no, que en cualquier prueba se puede reducir la cifra proporcionalmente. Bien podría pensarse que esto requiere un axioma de proporcionalidad que aclare qué es preservar la proporcionalidad en una figura y cuáles son las propiedades de cualquier figura. Porque no se puede extender la base de un triángulo cuyos vértices están en el límite del universo. De hecho, Proclo, en su comentario sobre Euclides, Elementos i, conserva muchos ejemplos de intentos de probar teoremas para un universo finito. Muchos lectores de Aristóteles también adoptan un principio más fuerte, que las matemáticas griegas eran finitistas, no en el fuerte sentido aristotélico de que el universo es finito, sino en el sentido de que solo se usa el infinito en potencial (por división y por adición). Sin embargo, es muy difícil (quizás imposible) fundamentar una afirmación de que los matemáticos griegos se preocuparon profundamente por este tema en gran parte de su trabajo normal. En el Método, Arquímedes trata los sólidos como compuestos de planos infinitos, y Pappus trata un sólido en Collectio v como el agregado de un número infinito de sólidos infinitamente pequeños, como cabría esperar en ese tipo de trabajo. Estos son tratados sofisticados, pero incluso en Elementos i, Euclides construye una línea infinita para evitar tener que encontrar dónde un círculo se intersecará con una línea finita.


5.3: Límites al infinito y límites infinitos - Matemáticas

(Esto es cierto porque la expresión se acerca y la expresión x + 3 se acerca a medida que x se acerca. El siguiente paso se deriva del siguiente hecho simple. Si A es una cantidad positiva, entonces = A).

(Más adelante aprenderá que el paso anterior es válido debido a la continuidad de la función raíz cuadrada).

(Dentro del signo de la raíz cuadrada se encuentra una forma indeterminada. Evítelo dividiendo cada término entre, la potencia más alta de x dentro del signo de la raíz cuadrada).

(Cada una de las tres expresiones, y se acerca a 0 cuando x se acerca).

Haga clic AQUÍ para volver a la lista de problemas.

(Esto es cierto porque la expresión se acerca y la expresión x + 3 se acerca a medida que x se acerca. El siguiente paso se deriva del siguiente hecho simple. Si A es una cantidad negativa, entonces = - A de modo que = - (- A) = A . Asegúrese de pensar y comprender esto antes de continuar).

(Más adelante aprenderá que el paso anterior es válido debido a la continuidad de la función raíz cuadrada).

(Dentro del signo de la raíz cuadrada se encuentra una forma indeterminada. Evítelo dividiendo cada término entre, la potencia más alta de x dentro del signo de la raíz cuadrada).

(Cada una de las tres expresiones, y se acerca a 0 cuando x se acerca).

Haga clic AQUÍ para volver a la lista de problemas.

(Más adelante aprenderá que el paso anterior es válido debido a la continuidad de la función logaritmo. Tenga en cuenta también que la expresión conduce a la forma indeterminada. Evítelo dividiendo cada término por, la potencia más alta de x).

(El término se acerca a 0 cuando x se acerca).

Haga clic AQUÍ para volver a la lista de problemas.

(Más adelante aprenderá que el paso anterior es válido debido a la continuidad de la función coseno).

(La expresión lleva a la forma indeterminada. Evítela dividiendo cada término entre, la potencia más alta de x en la expresión).

(Cada uno de los términos y se acerca a 0 cuando x se acerca).

Haga clic AQUÍ para volver a la lista de problemas.

(A medida que x se acerca a cada una de las expresiones y se acerca a 0. Los siguientes pasos explican por qué).

Haga clic AQUÍ para volver a la lista de problemas.

(Evite esta forma indeterminada dividiendo cada término de la expresión por. La división por también funciona. Puede intentarlo de ambas formas para convencerse de esto. Además, TENGA CUIDADO con uno de los siguientes ERRORES comunes: = o =. )

(Dado que se acerca a 0 y se acerca cuando x se acerca, obtenemos el siguiente límite resultante).

(Por lo tanto, el límite no existe).

Haga clic AQUÍ para volver a la lista de problemas.

= `` '' truein truein (TENGA CUIDADO de cometer el siguiente ERROR común: =. ¡Tenga en cuenta también que la forma `` '' es indeterminada! ¡No es igual a 1! Evítelo de las siguientes formas algebraicas.)

(Factoriza el término. Si tienes tiempo, prueba a factorizar el término para convencerte de que NO parece ayudar).


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TÉRMINOS CLAVE

—Convergir es acercarse a un límite que tiene un valor finito.

—Un intervalo es un subconjunto de los números reales correspondientes a un segmento de línea de longitud finita, y que incluye todos los números reales entre sus puntos finales. Se cierra un intervalo si se incluyen los puntos finales y se abre si no lo están.

—El conjunto de números que contiene los números enteros y todos los decimales, incluidos los decimales repetidos y no repetidos.

—Una secuencia es una serie de términos, en los que cada término sucesivo se relaciona con el anterior mediante una fórmula fija.

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