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5.5: Antiderivadas (primitivas, integrales)


Dado (f: E ^ {1} rightarrow E, ) a menudo tenemos que encontrar una función (F ) tal que (F ^ { prime} = f ) en (I ), o al menos en (IQ. ) También requerimos que (F ) sea relativamente continuo y finito en (I. ) Este proceso se llama antidiferenciación o integración.

Definición 1

Llamamos a (F: E ^ {1} rightarrow E ) una primitiva, o antiderivada, o una integral indefinida, de (f ) en (I ) sif

(i) (F ) es relativamente continuo y finito en (I, ) y

(ii) (F ) es diferenciable, con (F ^ { prime} = f, ) en (I-Q ) al menos.

Luego escribimos

[F = int f, text {o} F (x) = int f (x) dx, text {en} I. ]

(La última es la notación clásica).

Si tal (F ) existe (que no siempre es el caso), diremos que ( int f ) existe en (I, ) o que (f ) tiene una primitiva (o antiderivada ) en (I, ) o que (f ) es primitivamente integrable (brevemente integrable) en (I ).

Si (F ^ { prime} = f ) en un conjunto (B subseteq I, ) decimos que ( int f ) es exacto en (B ) y llamamos (F ) una primitiva exacta en (B. ) Por lo tanto, si (Q = emptyset, int f ) es exacta en todo (I. )

Nota 1. Claramente, si (F ^ { prime} = f, ) entonces también ((F + c) ^ { prime} = f ) para una constante finita c. Por tanto, la notación (F = int f ) es bastante incompleta; significa que (F ) es una de las muchas primitivas. Ahora mostramos que todos tienen la forma (F + c ) (o
( int f + c). )

Teorema ( PageIndex {1} )

Si (F ) y G son primitivos de (f ) en (I ), entonces (G-F ) es constante en (I ).

Prueba

Por supuesto, (F ) y (G ) son relativamente continuos y finitos en (I ); por lo tanto, también lo es (GF. ) También, (F ^ { prime} = f ) en (IQ ) y (G ^ { prime} = f ) en (IP. (Q ) y (P ) son contables, pero posiblemente (Q neq P.) )

Por tanto, tanto (F ^ { prime} ) como (G ^ { prime} ) son iguales a (f ) en (IS, ) donde (S = P cup Q, ) y (S ) es contable por sí mismo por el Teorema 2 del Capítulo 1, §9.

Así, por el Corolario 3 en §4, (F ^ { prime} = G ^ { prime} ) en (IS ) implica (GF = c ) (constante) en cada ([x, y ] subseteq I; ) por tanto (GF = c ) (o (G = F + c) ) en (I. quad square )

Definición 2

Si (F = int f ) en (I ) y si (a, b in I ) (donde (a leq b ) o (b leq a), ) nosotros definir

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a), text {también escrito} F left. (x ) right | _ {a} ^ {b}. ]

Esta expresión se llama integral definida de (f ) desde (a ) a (b. )

La integral definida de (f ) de (a ) a (b ) es independiente de la elección particular de la primitiva (F ) para (f, ) y, por tanto, inequívoca, para si ( G ) es otra primitiva, el teorema 1 produce (G = F + c, ) entonces

[G (b) -G (a) = F (b) + c- [F (a) + c] = F (b) -F (a), ]

y no importa si tomamos (F ) o (G. )

Tenga en cuenta que ( int_ {a} ^ {b} f (x) dx, ) o ( int_ {a} ^ {b} f, ) es una constante en el espacio de rango (E ) ( un vector si (f ) tiene un valor vectorial). La " (x )" en ( int_ {a} ^ {b} f (x) dx ) es solo una "variable ficticia" y puede ser reemplazada por cualquier otra letra. Por lo tanto

[ int_ {a} ^ {b} f (x) d x = int_ {a} ^ {b} f (y) d y = F (b) -F (a). ]

Por otro lado, la integral indefinida es una función: (F: E ^ {1} rightarrow E ).

Nota 2. Sin embargo, podemos variar (a ) o (b ) (o ambos) en (1). Así, manteniendo (a ) fijo y variando (b, ) podemos definir una función

[G (t) = int_ {a} ^ {t} f = F (t) -F (a), quad t in I. ]

Entonces (G ^ { prime} = F ^ { prime} = f ) en (I, ) y (G (a) = F (a) -F (a) = 0. ) Así si ( int f ) existe en (I, f ) tiene (a ) (único) primitivo (G ) en (I ) tal que (G (a) = 0. ) (Es único según el teorema 1. ¿Por qué?)

Ejemplos de

(a) Deja

[f (x) = frac {1} {x} text {y} F (x) = ln | x |, text {con} F (0) = f (0) = 0. ]

Entonces (F ^ { prime} = f ) y (F = int f ) en ((- infty, 0) ) y en ((0, + infty) ) pero no en (E ^ {1}, ) ya que (F ) es discontinua en (0, ) contrariamente a la Definición 1. Calculamos

[ int_ {1} ^ {2} f = ln 2- ln 1 = ln 2. ]

(b) En (E ^ {1}, ) deje

[f (x) = frac {| x |} {x} text {y} F (x) = | x |, text {con} f (0) = 1. ]

Aquí (F ) es continuo y (F ^ { prime} = f ) en (E ^ {1} - {0 }. ) Así (F = int f ) en (E ^ {1} ), exacto en (E ^ {1} - {0 }. ) Aquí (I = E ^ {1}, Q = {0 } ).

Nosotros calculamos

[ int _ {- 2} ^ {2} f = F (2) -F (-2) = 2-2 = 0 ]

(aunque (f ) nunca desaparece en (E ^ {1}) ).

Las propiedades básicas de las integrales se derivan de las de las derivadas. Así tenemos el siguiente.

Corolario ( PageIndex {1} ) (linealidad)

Si ( int f ) y ( int g ) existen en (I, ) también lo hace ( int (p f + qg) ) para cualquier escalar (p, q ) (en el campo escalar de (E). ) Además, para cualquier (a, b en I, ) obtenemos

(i) ( int_ {a} ^ {b} (p f + q g) = p int_ {a} ^ {b} f + q int_ {a} ^ {b} g );

(ii) ( int_ {a} ^ {b} (f pm g) = int_ {a} ^ {b} f pm int_ {a} ^ {b} g; ) y

(iii) ( int_ {a} ^ {b} p f = p int_ {a} ^ {b} f ).

Prueba

Por supuesto, hay (F ) y (G ) tales que

[F ^ { prime} = f text {en} I-Q text {y} G ^ { prime} = g text {en} I-P. ]

Por lo tanto, estableciendo (S = P cup Q ) y (H = p F + q G, ) tenemos

[H ^ { prime} = p F ^ { prime} + q G ^ { prime} = p f + q g text {en} I-S, ]

con (P, Q, ) y (S ) contables. Además, (H = p F + q G ) es relativamente continuo y finito en (I, ) al igual que (F ) y (G. )

Así, por definición, (H = int (p f + q g) ) existe en (I, ) y por (1),

[ int_ {a} ^ {b} (p f + qg) = H (b) -H (a) = p F (b) + q G (b) -p F (a) -q G (a ) = p int_ {a} ^ {b} f + q int_ {a} ^ {b} g, ]

probando (i *).

Con (p = 1 ) y (q = pm 1, ) obtenemos (ii *).

Tomando (q = 0, ) obtenemos (iii *). ( quad cuadrado )

Corolario ( PageIndex {2} )

Si tanto ( int f ) como ( int | f | ) existen en (I = [a, b], ) entonces

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | leq int_ {a} ^ {b} | f |. ]

Prueba

Como antes, deja

[F ^ { prime} = f text {y} G ^ { prime} = | f | text {en} I-S (S = Q cup P, text {todos contables),} ]

donde (F ) y (G ) son relativamente continuas y finitas en (I ) y (G = int | f | ) es real. Además, ( left | F ^ { prime} right | = | f | = G ^ { prime} ) en (I-S. ) Por lo tanto, según el teorema 1 de §4,

[| F (b) -F (a) | leq G (b) -G (a) = int_ {a} ^ {b} | f |. quad cuadrado ]

Corolario ( PageIndex {3} )

Si ( int f ) existe en (I = [a, b], ) exacto en (I-Q, ) entonces

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | leq M (b-a) ]

para algunos reales

[M leq sup _ {t en I-Q} | f (t) |. ]

Este es simplemente el Corolario 1 de §4, cuando se aplica a una primitiva, (F = int f )

Corolario ( PageIndex {4} )

Si (F = int f ) en I y (f = g ) en (I-Q, ) entonces (F ) también es una primitiva de (g, ) y

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} g quad text {para} a, b en I. ]

(Por lo tanto, podemos redefinir arbitrariamente (f ) en un (Q.) Contable)

Prueba

Deje (F ^ { prime} = f ) en (IP. ) Entonces (F ^ { prime} = g ) en (I- (P cup Q). ) El resto es claro. ( quad cuadrado )

Corolario ( PageIndex {5} ) (integración por partes)

Sean (f ) y (g ) reales o complejos (o sean (f ) con valores escalares y (g ) con valores vectoriales), ambos relativamente continuos en I y diferenciables en (IQ. ) Entonces, si ( int f ^ { prime} g ) existe en (I, ) también lo hace ( int fg ^ { prime}, ) y tenemos

[ int_ {a} ^ {b} fg ^ { prime} = f (b) g (b) -f (a) g (a) - int_ {a} ^ {b} f ^ { prime } g quad text {para cualquier} a, b en I. ]

Prueba

Por supuesto, (f g ) es relativamente continua y finita en (I, ) y

[(f g) ^ { prime} = f g ^ { prime} + f ^ { prime} g text {en} I-Q. ]

Por lo tanto, estableciendo (H = fg, ) tenemos (H = int left (fg ^ { prime} + f ^ { prime} g right) ) en (I. ) Por lo tanto, por Corolario 1 si ( int f ^ { prime} g ) existe en (I, ) también lo hace ( int left ( left (fg ^ { prime} + f ^ { prime} g right) -f ^ { prime} g right) = int fg ^ { prime}, ) y

[ int_ {a} ^ {b} fg ^ { prime} + int_ {a} ^ {b} f ^ { prime} g = int_ {a} ^ {b} left (fg ^ { prime} + f ^ { prime} g right) = H (b) -H (a) = f (b) g (b) -f (a) g (a). ]

Así sigue (2). ( quad cuadrado )

La prueba de los siguientes tres corolarios se deja al lector.

Corolario ( PageIndex {6} ) (aditividad de la integral)

Si ( int f ) existe en (I ) entonces, para (a, b, c in I ), tenemos

(i) ( int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f );

(ii) ( int_ {a} ^ {a} f = 0; ) y

(iii) ( int_ {b} ^ {a} f = - int_ {a} ^ {b} f ).

Corolario ( PageIndex {7} ) (integración por componentes)

Una función (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {n} left (^ {*} C ^ {n} right) ) es integrable en (I ) si todos sus componentes ( left (f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {n} right) ) son, y luego por el Teorema 5 en §1)

[ int_ {a} ^ {b} f = left ( int_ {a} ^ {b} f_ {1}, ldots, int_ {a} ^ {b} f_ {n} right) = sum_ {k = 1} ^ {n} vec {e} _ {k} int_ {a} ^ {b} f_ {k} text {para cualquier} a, b en I. ]

Por tanto, si (f ) es complejo,

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} f _ { mathrm {re}} + i cdot int_ {a} ^ {b} f _ { mathrm {im} } ]

(ver Capítulo 4, §3, Nota 5).

Ejemplos (continuación)

(c) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {3} ) por

[f (x) = (a cdot cos x, a cdot sin x, 2 c x), quad a, c in E ^ {1}. ]

Verificalo

[ int_ {0} ^ { pi} f (x) dx = left. left (a cdot sin x, -a cdot cos x, cx ^ {2} right) right | _ {0} ^ { pi} = left (0,2 a, c pi ^ {2} right) = 2 a vec {j} + c pi ^ {2} vec {k}. ]

(d) ( int_ {0} ^ { pi} e ^ {ix} dx = int_ {0} ^ { pi} ( cos x + i cdot sin x) dx = left. ( sin xi cdot cos x) right | _ {0} ^ { pi} = 2i. )

Corolario ( PageIndex {8} )

Si (f = 0 ) en (I-Q, ) entonces ( int f ) existe en (I, ) y

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | = int_ {a} ^ {b} | f | = 0 quad text {para} a, b en I. ]

Teorema ( PageIndex {2} ) (cambio de variables)

Suponga que (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) (real) es diferenciable en (I, ) mientras que (f: E ^ {1} rightarrow E ) tiene una primitiva en (g [I], ) exacto en (g [IQ] ).

Luego

[ int f (g (x)) g ^ { prime} (x) d x quad left (i. e., int (f circ g) g ^ { prime} right) ]

existe en (I, ) y para cualquier (a, b in I, ) tenemos

[ int_ {a} ^ {b} f (g (x)) g ^ { prime} (x) dx = int_ {p} ^ {q} f (y) dy, text {donde} p = g (a) text {y} q = g (b). ]

Por tanto, utilizando la notación clásica, podemos sustituir (y = g (x), ) siempre que
también sustituya (dy = g ^ { prime} (x) dx ) y cambie los límites de integrales (3). Aquí tratamos las expresiones (dy ) y (g ^ { prime} (x) dx ) puramente formalmente, sin asignarles ningún significado separado fuera del contexto de las integrales.

Prueba

Sea (F = int f ) en (g [I], ) y (F ^ { prime} = f ) en (g [IQ]. ) Entonces la función compuesta (H = F circ g ) es relativamente continua y finita en (I. ) (¿Por qué?) Según el teorema 3 de §1,

[H ^ { prime} (x) = F ^ { prime} (g (x)) g ^ { prime} (x) text {para} x en I-Q; ]

es decir.,

[H ^ { prime} = left (F ^ { prime} circ g right) g ^ { prime} text {en} I-Q. ]

Por tanto, (H = int (f circ g) g ^ { prime} ) existe en (I, ) y

[ int_ {a} ^ {b} (f circ g) g ^ { prime} = H (b) -H (a) = F (g (b)) - F (g (a)) = F (q) -F (p) = int_ {p} ^ {q} f. quad cuadrado ]

Nota 3. El teorema no requiere que (g ) sea uno a uno en (I, ) pero si lo es, entonces se puede descartar la suposición de que ( int f ) es exacta en (g [IQ] . ) (Vea el problema 4.)

Ejemplos (continuación)

(e) Encuentre ( int_ {0} ^ { pi / 2} sin ^ {2} x cdot cos x dx ).

Aquí (f (y) = y ^ {2}, y = g (x) = sin x, dy = cos xdx, F (y) = y ^ {3} / 3, a = 0, ) (b = pi / 2, p = sin 0 = 0, ) y (q = sin ( pi / 2) = 1, ) entonces (3) rendimientos

[ int_ {0} ^ { pi / 2} sin ^ {2} x cdot cos xdx = int_ {0} ^ {1} y ^ {2} dy = left. frac {y ^ {3}} {3} right | _ {0} ^ {1} = frac {1} {3} -0 = frac {1} {3}. ]

Para funciones reales, obtenemos algunas inferencias que tratan con desigualdades.

Teorema ( PageIndex {3} )

Si (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) son integrables en (I = [a, b], ) entonces tenemos lo siguiente:

(i) (f geq 0 ) en (I-Q ) implica ( int_ {a} ^ {b} f geq 0 ).

(i ') (f leq 0 ) en (I-Q ) implica ( int_ {a} ^ {b} f leq 0 ).

(ii) (f geq g ) en (I-Q ) implica

[ int_ {a} ^ {b} f geq int_ {a} ^ {b} g text {(ley de dominancia).} ]

(iii) Si (f geq 0 ) en (I-Q ) y (a leq c leq d leq b, ) entonces

[ int_ {a} ^ {b} f geq int_ {c} ^ {d} f text {(ley de monotonicidad).} ]

(iv) Si ( int_ {a} ^ {b} f = 0, ) y (f geq 0 ) en (IQ, ) entonces (f = 0 ) en alguna (IP , P ) contable.

Prueba

Por el Corolario 4, podemos redefinir (f ) en (Q ) de modo que nuestras suposiciones en (i) - (iv) se mantengan en todo (I ). Así escribimos " (I )" para " (I-Q. )"

Suponiendo que (F = int f ) y (G = int g ) existen en (I. ) Aquí (F ) y (G ) son relativamente continuas y finitas en ( I = [a, b], ) con (F ^ { prime} = f ) y (IP, ) para otro conjunto contable (P ) (este (P ) no se puede omitir) . Ahora considere los casos (i) - (iv). ( (P ) se fija de ahora en adelante.)

(i) Sea (f geq 0 ) en (I; ) es decir, (F ^ { prime} = f geq 0 ) en (IP. ) Luego, según el Teorema 2 en §4 , (F uparrow ) en (I = [a, b]. ) Por lo tanto (F (a) leq F (b), ) y así

[ int_ {a} ^ {b} f = F (b) -F (a) geq 0. ]

Uno prueba (i ') de manera similar.

(ii) Si (f-g geq 0, ) entonces por (i),

[ int_ {a} ^ {b} (f-g) = int_ {a} ^ {b} f- int_ {a} ^ {b} g geq 0, ]

entonces ( int_ {a} ^ {b} f geq int_ {a} ^ {b} g, ) como se afirma.

(iii) Sea (f geq 0 ) en (I ) y (a leq c leq d leq b. ) Entonces por (i),

[ int_ {a} ^ {c} f geq 0 text {y} int_ {d} ^ {b} f geq 0. ]

Así, según el Corolario 6,

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {d} f + int_ {d} ^ {b} f geq int_ {c} ^ {d} f, ]

como se afirma.

(iv) Buscando una contradicción, suponga ( int_ {a} ^ {b} f = 0, f geq 0 ) en (I, ) todavía (f (p)> 0 ) para algunos (p en IP ) ( (P ) como arriba), entonces (F ^ { prime} (p) = f (p)> 0 ).

Ahora bien, si (a leq p F (p) ) para algún (c in (p, b]). ) Entonces por ( iii),

[ int_ {a} ^ {b} f geq int_ {p} ^ {c} f = F (c) -F (p)> 0, ]

contrario a ( int_ {a} ^ {b} f = 0; ) de manera similar en el caso (a

Nota 4. Por eso

[ int_ {a} ^ {b} | f | = 0 text {implica} f = 0 text {on} [a, b] -P ]

( (P ) contable), incluso para funciones con valores vectoriales (para (| f | ) es siempre real, por lo que se aplica el Teorema 3).

Sin embargo, ( int_ {a} ^ {b} f = 0 ) no es suficiente, incluso para funciones reales (a menos que (f ) sea signo constante). Por ejemplo,

[ int_ {0} ^ {2 pi} sin x d x = 0, text {todavía} sin x not equiv 0 text {en cualquier} I-P. ]

Consulte también el Ejemplo (b).

Corolario ( PageIndex {9} ) (primera ley de la media)

Si (f ) es real y ( int f ) existe en ([a, b], ) exacto en ((a, b), ) entonces

[ int_ {a} ^ {b} f = f (q) (b-a) text {para algunos} q in (a, b). ]

Prueba

Aplicar el Corolario 3 en §2 a la función (F = int f. Quad square )

Precaución: El corolario 9 puede fallar si ( int f ) es inexacto en algún (p in (a, b). ) (Exactitud en ([a, b] -Q ) no es suficiente, ya que sí no en el Corolario 3 de §2, usado aquí.) Así, en el Ejemplo (b) anterior, ( int _ {- 2} ^ {2} f = 0. ) Sin embargo, para ningún (q ) es (f (q) (2 + 2) = 0, ) ya que (f (q) = pm 1. ) La razón es que ( int f ) es inexacta solo en (0, ) un interior punto de ([- 2,2]. )


¿Cuál es la conexión entre la integral indefinida y la integral definida?

Quiero entender la conexión entre la función primitiva o antiderivada y la integral definida.

Mi problema con esto es la variable independiente llamada t en la fórmula de la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

Aquí hay una combinación de las respuestas que ya he visto para esta pregunta. Por t no lo entiendo:

La primitiva es una función $ F (x) $ tal que

La primera parte de la FTC, que es lo que conecta diferenciación / antidiferenciación con la integral definida, es esta:

$ F (x) = int_a ^ x f (t) dt $ o “$ F (x) $ es una función primitiva de $ f (x) $. Los límites inferiores a son fijos. Los límites superiores $ x $ son variables ".

Puede escribir $ int f (x) dx $ como $ int_a ^ x f (t) dt + C $

Un análisis completo de este problema se da en el libro de cálculo de Richard Courant (vinculado a continuación) página 109+.

wneilson / mathbook.pdf página 153-154


Cuán útil / inútil es la integral indefinida

Después de haber conocido a otra persona confundida por integrales indefinidas hoy, finalmente decidí preguntarle a la comunidad.

¿Crees que tiene sentido enseñar integrales indefinidas? Mi opinión es que solo se debe enseñar la integración definida, ya que es la única que tiene sentido formal para mí. Por supuesto, las integrales indefinidas pueden ser utilizadas por personas que saben lo que están haciendo, pero no justifica la introducción de esta noción desde el principio hasta el más lego de los profanos.

Me gustaría argumentar lo siguiente:

A menudo se lee / oye $ int..dx $ es la inversa de la diferenciación, es la anti-derivada. Si bien uno puede darle algún sentido, por supuesto, todos saben que la diferenciación es una operación irreversible en la que se pierde información, por lo que no hay una verdadera inversa de esa operación. Para mí, el uso de "anti-" en el sentido de "casi-anti-" es una fuente de confusión.

En mi opinión $ int f (x) dx $ no debería verse como una función, escrita así, para mi gusto, diría que no está bien definida como función. Si es función, ¿de qué variable? Ciertamente no de $ x $. Tendría un poco más de sentido escribir $ int ^ t f (x) dx $ ya que ahora al menos uno puede usar esto para diferenciar. Pero aún así, como función, no es completamente inequívoco. Por supuesto, hay aplicaciones en las que esta incertidumbre aditiva (que puede ser infinita) no juega un papel, pero nuevamente esto no es de interés para las personas a las que solo se les está enseñando lo que son las integrales.

El único uso sensato de escribir $ int f (x) dx $ que puedo imaginar es como una especie de abreviatura en el sentido de "ya sabes qué límites tienes que insertar, así que salteémoslo". Es como escribir sumas sin dar los límites: $ sum f (n) $, lo que generalmente evitaría hacer, a menos que todos sepan a qué se refiere.


Prueba

Volviendo al problema que analizamos originalmente, dejamos [látex] u =^ <2> -3 [/ latex] y luego [latex] du = 2xdx. [/ Latex] Reescribe la integral en términos de [latex] u [/ latex]:

Usando la regla de la potencia para integrales, tenemos

Sustituye la expresión original por [látex] x [/ látex] de nuevo en la solución:

Podemos generalizar el procedimiento en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: integración por sustitución

  1. Mire cuidadosamente el integrando y seleccione una expresión [látex] g (x) [/ látex] dentro del integrando para que sea igual a [látex] u [/ látex]. Seleccionemos [látex] g (x). [/ Látex] tal que [látex]^ < prime> (x) [/ latex] también es parte del integrando.
  2. Sustituya [látex] u = g (x) [/ látex] y [látex] du =^ < prime> (x) dx. [/ latex] en la integral.
  3. Ahora deberíamos poder evaluar la integral con respecto a [látex] u [/ látex]. Si no se puede evaluar la integral, debemos volver atrás y seleccionar una expresión diferente para usar como [látex] u [/ látex].
  4. Evalúe la integral en términos de [látex] u [/ látex].
  5. Escribe el resultado en términos de [látex] x [/ látex] y la expresión [látex] g (x). [/ Látex]

Uso de la sustitución para encontrar una antiderivada

Utilice la sustitución para encontrar la antiderivada de [látex] int 6x <(3^ <2> +4)> ^ <4> dx. [/ Latex]

El primer paso es elegir una expresión para [látex] u [/ látex]. Elegimos [látex] u = 3^ <2> +4. [/ Latex] porque entonces [latex] du = 6xdx., [/ Latex] y ya tenemos du en el integrando. Escribe la integral en términos de [látex] u [/ látex]:

Recuérdalo du es la derivada de la expresión elegida para [látex] u [/ látex], independientemente de lo que haya dentro del integrando. Ahora podemos evaluar la integral con respecto a [latex] u [/ latex]:

Podemos comprobar nuestra respuesta tomando la derivada del resultado de la integración. Deberíamos obtener el integrando. Elegir un valor para C de 1, dejamos [látex] y = frac <1> <5> <(3^ <2> +4)> ^ <5> +1. [/ Latex] Tenemos

Esta es exactamente la expresión con la que comenzamos dentro del integrando.

Usa la sustitución para encontrar la antiderivada de [látex] int 3^<2><(^ <3> -3)> ^ <2> dx. [/ Látex]


Veremos ahora qué propiedades tienen las integrales indefinidas, que usaremos para simplificar los cálculos a la hora de resolver cualquier tipo de integral.

Propiedad 1

Si tenemos una constante que se multiplica a una función, podemos sacar la constante de la integral:

Propiedad 2

La integral de la suma o resta de 2 o más funciones es igual a la suma o resta de sus integrales:

Tenga mucho cuidado con esta propiedad porque no es extensible para integrales que tienen multiplicación o división de funciones.

La integral de la multiplicación de dos funciones no es igual a la multiplicación de sus integrales:

De la misma forma, la integral de la división de dos funciones no es lo mismo que la división de las integrales:


5.6. Promociones numéricas

Promoción numérica se aplica a los operandos de un operador aritmético.

Los contextos de promoción numérica permiten el uso de:

una conversión primitiva cada vez mayor (& sect5.1.2)

Las promociones numéricas se utilizan para convertir los operandos de un operador numérico en un tipo común para que se pueda realizar una operación. Los dos tipos de promoción numérica son la promoción numérica unaria (& sect5.6.1) y la promoción numérica binaria (& sect5.6.2).

5.6.1. Promoción numérica unaria

Algunos operadores aplican promoción numérica unaria a un solo operando, que debe producir un valor de tipo numérico:

Si el operando es de tipo Byte, Short, Character o Integer en tiempo de compilación, está sujeto a conversión de unboxing (& sect5.1.8). A continuación, el resultado se promueve a un valor de tipo int mediante una conversión primitiva de ampliación (& sect5.1.2) o una conversión de identidad (& sect5.1.1).

De lo contrario, si el operando es de tipo Long, Float o Double en tiempo de compilación, está sujeto a conversión de desempaquetado (& sect5.1.8).

De lo contrario, si el operando es de tipo byte, short o char en tiempo de compilación, se promueve a un valor de tipo int mediante una conversión primitiva de ampliación (& sect5.1.2).

De lo contrario, un operando numérico unario permanece como está y no se convierte.

En cualquier caso, se aplica la conversión del conjunto de valores (& sect5.1.13).

La promoción numérica unaria se realiza sobre expresiones en las siguientes situaciones:

Cada expresión de dimensión en una expresión de creación de matriz (& sect15.10)

La expresión de índice en una expresión de acceso a una matriz (& sect15.13)

El operando de un operador más unario + (& sect15.15.3)

El operando de un operador menos unario - (& sect15.15.4)

El operando de un operador de complemento bit a bit

Cada operando, por separado, de un operador de turno & gt & gt, & gt & gt & gt, o & lt & lt (& sect15.19).

Una distancia de desplazamiento larga (operando derecho) no promueve el cambio de valor (operando izquierdo) a largo.

Ejemplo 5.6.1-1. Promoción numérica unaria

Este programa produce la salida:

5.6.2. Promoción numérica binaria

Cuando un operador aplica promoción numérica binaria a un par de operandos, cada uno de los cuales debe denotar un valor que sea convertible a un tipo numérico, se aplican las siguientes reglas, en orden:

Si algún operando es de un tipo de referencia, se somete a conversión de unboxing (& sect5.1.8).

La conversión primitiva de ampliación (& sect5.1.2) se aplica para convertir uno o ambos operandos según lo especificado por las siguientes reglas:

Si alguno de los operandos es de tipo double, el otro se convierte en double.

De lo contrario, si alguno de los operandos es de tipo flotante, el otro se convierte en flotante.

De lo contrario, si alguno de los operandos es de tipo long, el otro se convierte en long.

De lo contrario, ambos operandos se convierten al tipo int.

Después de la conversión de tipo, si existe, la conversión de conjunto de valores (& sect5.1.13) se aplica a cada operando.

La promoción numérica binaria se realiza en los operandos de ciertos operadores:

Los operadores multiplicativos *, / y% (& sect15.17)

Los operadores de suma y resta para tipos numéricos + y - (& sect15.18.2)

Los operadores de comparación numérica & lt, & lt =, & gt y & gt = (& sect15.20.1)

Los operadores de igualdad numérica == y! = (

Los operadores de bits enteros & amp, ^ y | (& sección 15.22.1)

En ciertos casos, ¿el operador condicional? : (& sección 15.25)

Ejemplo 5.6.2-1. Promoción numérica binaria

Este programa produce la salida:

El ejemplo convierte el carácter ASCII G en el control ASCII-G (BEL), enmascarando todos menos los 5 bits bajos del carácter. El 7 es el valor numérico de este carácter de control.


5.6. Contextos numéricos

Contextos numéricos se aplican a los operandos de los operadores aritméticos, la creación de matrices y las expresiones de acceso, las expresiones condicionales y las expresiones de resultado de las expresiones de conmutación.

Aparece una expresión en un contexto aritmético numérico si la expresión es una de las siguientes:

El operando de un operador unario más +, un operador unario menos - o un operador de complemento a nivel de bits

Un operando de un operador multiplicativo *, / o% (& sect15.17)

Un operando de un operador de suma o resta para tipos numéricos + o - (& sect15.18.2)

Un operando de un operador de desplazamiento & lt & lt, & gt & gt, o & gt & gt & gt (& sect15.19). Los operandos de estos operadores de turno se tratan por separado en lugar de como un grupo. Una distancia de desplazamiento larga (operando derecho) no promueve el cambio de valor (operando izquierdo) a largo.

Un operando de un operador de comparación numérico & lt, & lt =, & gt o & gt = (& sect15.20.1)

Un operando de un operador de igualdad numérica == o! = (

Un operando de un operador bit a bit entero & amp, ^, o | (& sección 15.22.1)

Aparece una expresión en un contexto de matriz numérica si la expresión es una de las siguientes:

Una expresión de dimensión en una expresión de creación de matriz (& sect15.10.1)

La expresión de índice en una expresión de acceso a una matriz (& sect15.10.3)

Aparece una expresión en un contexto de elección numérica si la expresión es una de las siguientes:

El segundo o tercer operando de una expresión condicional numérica (& sect15.25.2)

Una expresión de resultado de una expresión de cambio independiente (& sect15.28.1) donde todas las expresiones de resultado se pueden convertir a un tipo numérico

Promoción numérica determina el tipo promocionado de todas las expresiones en un contexto numérico. El tipo promocionado se elige de modo que cada expresión se pueda convertir al tipo promocionado y, en el caso de una operación aritmética, la operación se define para valores del tipo promocionado. El orden de las expresiones en un contexto numérico no es significativo para la promoción numérica. Las reglas son las siguientes:

Si alguna expresión es de un tipo de referencia, se somete a conversión de unboxing (& sect5.1.8).

A continuación, se aplica la conversión primitiva de ampliación (& sect5.1.2) y la conversión de primitiva estrecha (& sect5.1.3) a algunas expresiones, de acuerdo con las siguientes reglas:

Si alguna expresión es de tipo doble, entonces el tipo promocionado es doble y otras expresiones que no son de tipo doble se someten a una conversión primitiva de ampliación a doble.

De lo contrario, si alguna expresión es de tipo float, entonces el tipo promocionado es float, y otras expresiones que no son de tipo float se someten a una conversión primitiva de ampliación a float.

De lo contrario, si alguna expresión es de tipo long, entonces el tipo promocionado es long y otras expresiones que no son de tipo long se someten a una conversión primitiva amplia a long.

De lo contrario, ninguna de las expresiones es de tipo double, float o long. En este caso, el tipo de contexto determina cómo se elige el tipo promocionado.

En un contexto aritmético numérico o un contexto de matriz numérica, el tipo promocionado es int, y cualquier expresión que no sea del tipo int se somete a una conversión primitiva de ampliación a int.

En un contexto de elección numérica, se aplican las siguientes reglas:

Si alguna expresión es de tipo int y no es una expresión constante (& sect15.29), entonces el tipo promocionado es int, y otras expresiones que no son de tipo int experimentan una conversión primitiva ampliada a int.

De lo contrario, si alguna expresión es de tipo short, y todas las demás expresiones son de tipo short o de tipo byte o una expresión constante de tipo int con un valor que es representable en el tipo short, entonces el tipo promocionado es short y el las expresiones de bytes experimentan una conversión primitiva de ampliación a corta, y las expresiones int se someten a una conversión primitiva de reducción a corta.

De lo contrario, si alguna expresión es de tipo byte, y todas las demás expresiones son de tipo byte o una expresión constante de tipo int con un valor representable en el tipo byte, entonces el tipo promocionado es byte y las expresiones int se someten a un estrechamiento. conversión primitiva a byte.

De lo contrario, si alguna expresión es de tipo char, y todas las demás expresiones son de tipo char o una expresión constante de tipo int con un valor representable en el tipo char, el tipo promocionado es char y las expresiones int se someten a un estrechamiento. conversión primitiva a char.

De lo contrario, el tipo promocionado es int, y todas las expresiones que no son del tipo int se someten a una conversión primitiva de ampliación a int.

Después de las conversiones, si las hay, se aplica la conversión del conjunto de valores (& sect5.1.13) a cada expresión.

Promoción numérica unaria consiste en aplicar promoción numérica a una sola expresión que se produce en un contexto aritmético numérico o en un contexto de matriz numérica.

Promoción numérica binaria consiste en aplicar promoción numérica a un par de expresiones que ocurren en un contexto aritmético numérico.

Promoción numérica general consiste en aplicar promoción numérica a todas las expresiones que ocurren en un contexto de elección numérica.

Ejemplo 5.6-1. Promoción numérica unaria

Este programa produce la salida:

Ejemplo 5.6-2. Promoción numérica binaria

Este programa produce la salida:

El ejemplo convierte el carácter ASCII G en el control ASCII-G (BEL), enmascarando todos menos los 5 bits bajos del carácter. El 7 es el valor numérico de este carácter de control.


3 respuestas 3

Las antiderivadas se consideran mediante integración numérica. La siguiente antiderivada

Y luego resuelto numéricamente.

Ok, aquí está la respuesta prometida en la sección de comentarios. Pensé que tendría más tiempo para elaborar, pero como de costumbre, ese no fue el caso, así que solo agregaré algunas ideas.

En primer lugar, no existe una definición obvia de la matriz de antiderivada $ A $, porque la matriz de derivada $ D $ está a un orden menos del rango completo. Esto es similar al hecho de que la antiderivada tiene una constante de integración $ c $. Entonces, reclamar $ AD = I $ od $ DA = I $ no funcionará.

Existe un método llamado colocación espectral rectangular (¡google!), Que tiene esto en cuenta y desde el primero define una matriz derivada rectangular de tamaño $ N veces N-1 $. Además, en este contexto, las personas utilizan matrices de integración como precondicionador, que permiten evitar la influencia de matrices derivadas mal condicionadas. Sin embargo, estas matrices se definen como una solución a un problema de interpolación de Birkhoff. Pero esto es solo un indicador de si se utilizan matrices de integración en la literatura.

Ahora a tu pregunta, 'por qué no se usan más'. Esto es bastante subjetivo, pero yo diría que a menudo no se necesitan. Tome su caso, integración numérica: en lugar de aplicar una matriz (que toma $ mathcal O (N ^ 2) $ y luego hacer uso del teorema fundamental, uno puede simplemente usar la integración Gaussiana o Newton-Cotes, que es al menos como Para las funciones especiales que menciona en su respuesta, existen métodos más apropiados, pero incluso si uno quisiera ir con la integración numérica, también podría usar métodos de integración estándar.


Análisis

Base 0

Una entrada

Examinemos & # 8217s primero las matrices donde la base & # 8220a & # 8221 es 0. Las matrices de una entrada con una base de cero simplemente igual al b-ésimo ilión, por lo que 0 [6] = 10 ^ 21 = sextillón. Si está familiarizado con la jerarquía de rápido crecimiento, el límite de las matrices de una entrada de base cero 0 [a] es aproximadamente f2(a) en la FGH.

Dos entradas

Debido a la tercera regla, las matrices de dos entradas en Base 0 equivalen a la ilión de Ath Tier b + 1 en el sistema Bower & # 8217s de uso común. Aquí hay un pequeño ejemplo:

0[5,1] = 0[0[5,0]/1000]
0[5,0] = 10 3*5+3 = 10 18
0[5,1] = 0[10 15 ]
0[5,1] = 10 3*10^15+3

Este número se llama & # 8220femtillion & # 8221 en el sistema Bower & # 8217s, y es igual al quinto nivel 2 -illón. Aquí hay una lista de matrices de 2 entradas Base 0 y algunas aproximaciones de ellas:

El límite de las matrices de dos entradas en Base 0 0 [a, a] es aproximadamente f3(a) en la jerarquía de rápido crecimiento.

Tres entradas

Las matrices de tres entradas en base 0 son equivalentes a la iteración de las matrices de dos entradas. Por ejemplo, 0 [1,0,1] es el primer illion de nivel 1,000,001, 0 [1,0,2] es el primer illion de 0 [1,0,1] + 1th-tier, etc. Aquí hay una ejemplo:

0[4,1,1] = 0[4,0[4,1]]
0[4,1] = 0[0[4,0]/1000]
0[4,0] = 0[4] = 10 15
0[4,1,1] = 10 10^(3*10^12+3) 3*10^12+3

Donde el exponente de la izquierda en la parte superior representa el número de niveles / torres de energía en el número. Aquí hay una lista de matrices de tres entradas Base 0 y algunas aproximaciones de ellas:

El límite de las matrices de tres entradas en Base 0 0 [a, a, a] es aproximadamente f4(a) en la jerarquía de rápido crecimiento.

Entrada 4+

El patrón continúa para más de 4 entradas. Los arreglos de base 0 de cuatro entradas son la iteración de los arreglos de base 0 de 3 entradas. Here is an incomplete expansion, because it is almost impossible to calculate discrete examples now:

0[6,0,0,1] = 0[6,0,[0,6,0,0,0]]
0[6,0,0,0] = 0[6]
0[6] = 10 3*6+3 = 10 21
0[6,0,0,1] = 0[6,0,10 21 ]
0[6,0,10 21 ] = 0[6,0[6,0,10 21 -1]]
0[6,0,10 21 -1] = 0[6,0[6,0,10 21 -2]]
0[6,0,10 21 -2] = 0[6,0[6,0,10 21 -3]]

I could continue evaluating with the rules, but as you can see, we already ran into a sextillion-long chain that would take millenia to compute. Base 0 5-entry are arrays are similar, as they iterate over base 0 4-entry arrays. In general, Base 0 n-entry arrays are the iteration of base 0 n-1-entry arrays. Here is a list of Base 0 4+-entry arrays and some approximations of them:

The limit of Base 0 arrays 0[a,a,a,a,a…] is approximately fω(a) in the fast-growing hierarchy.

Base 1

Now we’ll analyze arrays with a base of 1. The smallest such array 1[a] = 0[a,a,a,a…] with a 0s, or the diagionalization of base 0. This means it retains the fω(a) growth obtained from the zeroth base. We can continue with base 1 two-entry arrays:

These functions are already exceeding the Ackermann function in growth rate. We can go obviously continue with base 1 3-entry arrays, base 1 4-entry arrays, all the way up to the limit of the first base:

The limit of base 1 arrays 1[a,a,a,a…] is approximately f(a) in the fast-growing hierarchy.

Base 2

Similar behavior occurrs with a base of 2, except this time we add another ω to the growth rate roster from base 1:

F2ω+4(a)

The limit of base 2 arrays 2[a,a,a,a…] is approximately f(a) in the fast-growing hierarchy.


In mathematical analysis, primitive or antiderivative of a function f is said to be a derivable function F whose derivative is equal to the starting function. Denoting with the apex the derivative, F '(x) = f (x). The set of all primitives of a function f is called the indefinite integral of f. The calculation of the primitive is closely linked to the resolution of the integrals defined by the fundamental theorem of the integral calculation: in fact, the integral of a function is equal to the difference of the values of the primitive on the integration extremes.

This calculator calculates the derivative of a function and then simplifies it. The calculator will help to differentiate any function - from simple to the most complex. The program not only calculates the answer, it produces a step-by-step solution. The differentiation order is selected.