Artículos

6.5: Regla de L'Hopital


El siguiente resultado es un caso de la regla de (l ^ { prime} ) l'Hópital.

Teorema ( PageIndex {1} )

Suponga que (a, b in mathbb {R}, f ) y (g ) son diferenciables en ((a, b), g ^ { prime} (x) neq 0 ) para todos (x in (a, b), ) y

[ lim _ {x rightarrow a ^ {+}} frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = lambda. ]

Si ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = 0 ) y ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} g (x) = 0, ) entonces

[ lim _ {x rightarrow a ^ {+}} frac {f (x)} {g (x)} = lambda. ]

Prueba

Dado ( epsilon> 0, ) existe ( delta> 0 ) tal que

[ lambda- frac { epsilon} {2} < frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} < lambda + frac { epsilon} {2 } ]

siempre que (x in (a, a + delta). ) Ahora, según el Teorema del valor medio generalizado, para cualquier (x ) y (y ) con (a

[ frac {f (y) -f (x)} {g (y) -g (x)} = frac {f ^ { prime} (c)} {g ^ { prime} (c) }. ]

Por eso

[ lambda- frac { epsilon} {2} < frac {f (y) -f (x)} {g (y) -g (x)} < lambda + frac { epsilon} {2 }. ]

Ahora

[ lim _ {x rightarrow a ^ {+}} frac {f (y) -f (x)} {g (y) -g (x)} = frac {f (y)} {g (y)} ]

y así tenemos

[ lambda- epsilon < lambda- frac { epsilon} {2} leq frac {f (y)} {g (y)} leq lambda + frac { epsilon} {2} < lambda + epsilon ]

para cualquier (y in (a, a + delta). ) Por lo tanto

[ lim _ {x rightarrow a ^ {+}} frac {f (x)} {g (x)} = lambda. ]

Q.E.D.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Utilice la regla de l'Hôpital para calcular

[ lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} frac { sqrt {1 + x} -1} {x}. ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Suponga que (a, b in mathbb {R}, f ) y (g ) son diferenciables en ((a, b), g ^ { prime} (x) neq 0 ) para todos (x en (a, b), ) y

[ lim _ {x rightarrow b ^ {-}} frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = lambda. ]

Demuestre que si ( lim _ {x rightarrow b ^ {-}} f (x) = 0 ) y ( lim _ {x rightarrow b ^ {-}} g (x) = 0, ) luego

[ lim _ {x rightarrow b ^ {-}} frac {f (x)} {g (x)} = lambda. ]


Uso de L & # 8217Hopital para evaluar límites

L & # 8217Hopital & # 8217s La regla es un método de
diferenciación para resolver indeterminado
límites. Los límites indeterminantes son límites de
funciones donde tanto la función en el numerador como la función
en el denominador se acercan a 0 o infinito positivo o negativo. No lo es
claro cuál es el límite de las formas indeterminadas, pero al aplicar la regla L & # 8217Hopital & # 8217s,
los límites indeterminados pueden facilitarse la evaluación.

Evalúe los siguientes límites:

Estos límites son indeterminantes porque el cociente de la izquierda es 0 & frasl0 Cuándo X =
3, y el límite de la derecha es & infin & frasl- e infin Cuándo X se acerca al infinito.
No podemos simplemente conectar el valor aproximado de X para encontrar el límite. Afortunadamente,
hay diferentes métodos que podemos utilizar.

(1) Para el primer límite, podríamos
factorizar un (x-3)

Es fácil ver que cuando X es 3, el límite es 6.

(2) Para el segundo límite, podemos factorizar un x 2

Sabiendo que el límite de cualquier número sobre el infinito es 0, podemos conectar 0 en el
limitar y simplificar a 6 & frasl-5.

(3) Pero, ¿qué pasa con este límite?

No podemos descartar nada, entonces, ¿cómo lo evaluamos?

Podemos ver que cuando X se acerca a 0, tanto el enfoque del numerador como el del denominador
0. Porque el cociente será 0 & frasl0, no está claro cuál será el límite. En
la página de límites, evaluamos este límite mirando el gráfico de la función & # 8217s
comportamiento a medida que se acercaba a 0 desde la izquierda y la derecha. Usando la regla L & # 8217Hopital & # 8217s,
ahora podemos evaluar el límite en una forma determinante. Dado que tanto el numerador como
el denominador va a 0 y ambas funciones tienen un deritivo, podemos aplicar L & # 8217Hopital & # 8217s
regla.

L & # 8217Hopital & # 8217s La regla establece que para funciones f (x) y g (x):

Usemos & # 8217s la regla L & # 8217Hopital & # 8217s para nuestro límite.

Diferenciar tanto el numerador como el denominador simplificará el cociente
y facilitar la evaluación del límite.

Tomando la derivada del numerador y denominador, el límite es más fácil de ver.
Sabemos que el cos (0) es 1, por lo que el límite cuando x se acerca a 0 es 1. Para verificar,
puede graficar ambas funciones y ver que ambas convergen para y = 1 como X enfoques
0.

Usemos & # 8217s la regla L & # 8217Hopital & # 8217s en nuestros dos primeros límites para ver si funciona.

(1) y (2) Evalúe los siguientes límites:

Tomamos la derivada y conectamos 3 para X para conseguir nuestro límite.

Tomamos la derivada dos veces y la simplificamos. Después de la primera derivada, el cociente
es todavía & infin & frasl- e infin, para que podamos aplicar la regla L & # 8217Hopital & # 8217s de nuevo
y tomar la derivada. Simplificando, obtenemos 6 & frasl-5.


La Figura 1 justifica visualmente la Ecuación (i). La Figura 1 (a) muestra las gráficas de dos funciones diferenciables (f ) y (g ) cerca de (x = a ). Si nos acercamos al punto ((a, 0) ) (Figura 1 (b)), las gráficas de (f ) y (g ) parecen casi lineales, por lo que podemos aproximar la razón de (f ) y (g ) por la razón de sus linealizaciones locales. Es decir, porque [f (x) approx L_(x) = underbrace_ <= 0> + f ^ prime (a) (x-a) ] y [g (x) approx L_(x) = underbrace_ <= 0> + g ^ prime (a) (x-a), ] tenemos [ frac approx frac= frac.]

Utilice la ecuación (i) solo cuando (f (a) = g (a) = 0 ). Si no se cumple esta condición, no podemos utilizar esta ecuación.

Por ejemplo, considere [ lim_ frac <1 + 2x> <1-x> ] Aquí (f (x) = 1 + 2x ) y (g (x) = 1-x ). Debido a que (f (0) / g (0) neq0 / 0 ), no podemos usar la Ecuación (i). Si usamos (i), porque (f ^ prime (0) = 2 ) y (g ^ prime (0) = - 1 ), obtenemos (2 / (- 1) = - 2 ). Pero la respuesta correcta se puede obtener simplemente sustituyendo 0 por (x ): [ lim_ frac <1 + 2x> <1-x> = frac <1 + 2 times0> <1-0> = 1 neq frac= frac <2> <-1> = -2. ]

  • El siguiente teorema generaliza los casos en los que podemos usar la ecuación (i). Establece que la ecuación (i) es verdadera en condiciones menos estrictas y también es válida para límites unilaterales y límites en (+ infty ) y (- infty ).

Según la hipótesis de que (< displaystyle lim_> f ^ prime (x) / g ^ prime (x) ) existe, se asume tácticamente que hay un intervalo abierto (I ) que contiene (a ) tal que

  1. Tanto (f ) como (g ) son diferenciables ( (f ^ prime (x) ) y (g ^ prime (x) ) existen) para todo (x ) en ( I ) (excepto posiblemente (x = a )).
  2. (g ^ prime (x) neq0 ) en (I ) (excepto posiblemente cuando (x = a )).

Muestre la prueba ...

Ocultar la prueba

Si (a & ltx ) y (x in I ), entonces (F ) y (G ) son continuas en ([a, x] ) y diferenciables en ((a, x) ) (porque (f ^ prime = f ^ prime ) y (g ^ prime = g ^ prime )). Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de valor medio de Cauchy al intervalo ([a, x] ) y obtener [ left [ underbrace_ <= f (x)> - overset <= 0> < cancel> right] underbrace_ <= g ^ prime (c)> = left [ underbrace_ <= g (x)> - overset <= 0> < cancel> right] underbrace_ <= f ^ prime (c)> ] o [f (x) g ^ prime (c) = g (x) f ^ prime (c) tag <*> ] para algunos ( c ) en el intervalo ((a, x) ).

Porque (g ^ prime (x) neq0 ) para todo (x ) en (I- ) , tenemos:

(2) (g (x) neq0 ), porque si (g (x) = 0 ), entonces tendríamos (g (x) = g (a) = 0 ) y según la teoría de Rolle , habría un punto (c_ <1> ) entre (a ) y (x ) tal que (g ^ prime (c_ <1>) = 0 ).

Por lo tanto, dividimos ambos lados de (*) entre (g ^ prime (c) ) y (g (x) ) y obtenemos [ frac= frac. ] Ahora si dejamos (x a a ^ <+> ), entonces (c a ^ <+> ) (porque (a & ltc & ltx )), entonces [ lim_> frac= lim_> frac. ] El método necesita algunas modificaciones menores para mostrar que el resultado es válido como (x to a ^ <-> ). La combinación de estos dos casos límite unilaterales demuestra que el teorema es verdadero como (x a ).

  • Observa que (f ^ prime (x) / g ^ prime (x) ) es la derivada del numerador dividida por la derivada del denominador y es diferente de la derivada de la fracción (f (x) / g (x) ). [ frac neq frac left ( frac right) = frac<[g (x)] ^ <2>>. ]
  • Si aplicamos la regla de L'Hôpital al límite conocido ( lim_ sin x / x ), obtenemos [ lim_ frac < sin x> stackrel<=> lim_ frac < cos x> <1> = cos0 = 1 ] Aunque podríamos obtener este límite fácilmente, para derivar la fórmula ( frac sin x = cos x ), asumimos la verdad de este límite.
  1. Asegúrese de que el límite de (f (x) / g (x) ) asuma la forma 0/0 como (x to s ).
  2. Diferencia (f (x) ) y (g (x) ) por separado.
  3. Encuentra el límite de (f ^ prime (x) / g ^ prime (x) ) como (x to s ). Si el límite es un número, (+ infty ), o (- infty ), entonces es igual al límite de (f (x) / g (x) ) de lo contrario, NO PODEMOS concluir que el límite de (f (x) / g (x) ) no existe.

Es un error común aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el límite de (6x / (12x-2) ) como (x to1 ). Aplicar la regla de L'Hôpital conduce a un valor incorrecto porque este límite no es indeterminado y se puede obtener simplemente sustituyendo 1 por (x ).


Asignaciones de tareas

Tenga en cuenta que los problemas marcados con * son adicionales

Sección 2.1 (página 38) 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5-21.12.
Sección 2.2 (página 43) 2.2.1, 2.2.2, 2.2.7, 2.2.8.
Sección 1.1 (página 4) 1.1.1, 1.1.2, 1.1.7, 1.1.9, 1.1.14
Sección 1.2 (página 8) 1.2.1, 1,2,2, 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6
Sección 1.3 (página 13) 1.3.1, 1.3.2, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.7
Sección 1.4 (página 16) 1.4.1, 1.4.3, 1.4.4, 1.4.5, 1.4.8, 1.4.9, 1/4/12
Sección 1.5 (página 21) 1.5.1, 1.5.4, 1.5.5
Sección 1.6 (página 25) 1.6.1, 1.6.2, 1.6.4, 1.6.7.
Sección 1.7 (página 29) 1.7.1, 1.7.2, 1.7.4
Sección 1.8 (página 33) 1.8.1, 1.8.2, 1.8.6.
Sección 3.2 (página 58) 3.2.1, 3.2.2, 3.2.4, 3.2.6, 3.2.8, 3.2.13.
Sección 3.4 (página 66) 3.4.1, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5, 3.4.7
Sección 3.5 (página 68) 3,5,3, 3.5.5 (página 69) 3.5.8,3.5.11, 3.5.14 (página 72) 3.5.22, 3.5.25, 3.5.27
Sección 3.6 (página 76) 3.6.1, 3.6.6, 3.6.10, 3.6.11.
Sección 3.7 (página 80) 3.7.2, 3.7.4, 3.7.7, 3.7.12.
Sección 3.9 (página 88) 3.9.1, 3.9.4, 3.9.8, 3.9.9, 3.9.10.
Sección 4.1 (página 93) 4.1.1, 4.1.2, 4.1.4, 4.1.11.
Sección 4.2 (página 98) 4.2.1, 4.2.2, 4.2,3, 4.2,5
Sección 4.3 (página 103) 4.3.1, 4.3.2, 4.3.6, 4.3.7, 4.3.9, 4.3.10, 4.3.11.
Sección 4.4 (página 108) 4.4.1, 4.4.2, 4.4.9, 4.4.11.
Sección 4.5 (página 113) 4.5.1, 4.5.2, 4.5.4 4.5.5, 4.5.6
Sección 4. 6 (página 116) 4.6.1, 4.6.2, 4.6.3, 4.6.7, 4.6.10
Sección 5.1. (página 121)
5.1.1, 5.1.2, 5.1.5, 5.1.7, 5.1.17
Sección 5.2 (página 126)
5.2.2, 5.2.3, página 128 5.2.10, página 130 5.2.14, página 1335.2.20
Sección 6.2 (página 143) 6.2.1, 6.2.2, 6.2.7, 6.2.10
Sección 6.3 (página 147) 6.3.2, 6.2.5, 6.3.7
Sección 6.4 (página 151) 6.4.2, 6.4.5, 6,4,13
Sección 6.5 (página 155) 6.5.3, 6.5.4, 6.5.5, 6.5.10, 6.5.12
Sección 6.6 (página 158) 6/6/1, 6.6.6, 6.6.9, 6.6.10, 6.6.11, 6.6.12


¿Puede utilizar siempre la regla de l & # x27Hopitals para los límites?

Sé que a veces tiene más sentido usar un método más simple, como los conjugados. Pero imaginemos que no puede encontrar un límite y que hay un método simple que puede utilizar, pero parece que no lo encuentra, o quiere volver a comprobarlo. ¿Puedes usar siempre la regla l & # x27Hopital & # x27s?

Por favor, corrija mi ignorancia si me equivoco, pero ¿no necesita infinito / infinito o 0/0 para aplicar la regla de L & # x27Hopitals?

Sí, tiene que ser de forma indeterminada (así que lo que dijiste).

No, hay algunos ejemplos en los que no funciona. Por ejemplo, x va al infinito en x / sqrt (1 + x 2)

Puede usarlo siempre que tenga la forma indeterminada 0/0 o ∞ / ∞ y el numerador y el denominador sean diferenciables cerca del punto límite (o para valores suficientemente grandes o pequeños de la variable) sin embargo, siempre ganó & # x27t ayuda por sí misma:

Considere, como un ejemplo simple, lim (ln (x 2) / e 1 / x ^ 2, x, 0).

Tanto el numerador como el denominador son diferenciables cerca del punto límite, y esta es una forma indeterminada de tipo ∞ / ∞.

Según la regla de L & # x27Hôpital & # x27s, este límite es igual a lim ((2 / x) / (- 2 / x 3 * e 1 / x ^ 2), x, 0).

Si usara ciegamente la Regla nuevamente, obtendría numeradores y denominadores cada vez más complicados, pero con una reordenación fácil, obtendrá

Aquí & # x27s un ejemplo menos simple:

Tanto el numerador como el denominador son diferenciables cerca del punto límite, y esta es una forma indeterminada de tipo ∞ / ∞.

Por la regla L & # x27Hôpital & # x27s, este límite es igual a lim ((x / √ (1 + x 2)) / (1 + x 3 / (1 + x 4) 3/4), x, + ∞).

Incluso si reorganiza esto a lim (x / (√ (1 + x 2) + x 3 √ (1 + x 2) / (1 + x 4) 3/4), x, + ∞), eso no & # x27t ayuda mucho.

En última instancia, debe confiar en el hecho de que para x & gt0, x = √x 2 = √√x 4, y reorganizar el original de esta manera:


Cálculo AP AB - A. Tennyson

¡Haga clic aquí para encontrar el zoom de su profesor asesor! ¡La asesoría se reúne todos los lunes y viernes de 9: 30-10!

Abrir todo Cerrar todo

Instrucciones: Al hacer clic en el nombre de la sección, se mostrará / ocultará la sección.

Introducción al curso / Calendarios / Reseñas de unidades

Northwest ISD no es responsable del contenido de sitios web o servicios externos.

Unidad 1 Límites y continuidad

Notas de la clase (puede elegir la versión en video o mp4 de cada tema)

  • Perteneces a Séptimo período
  • Es antes 22 de septiembre de 2020 4:15 p.m.
  • Perteneces a Sexto período
  • Es antes 15 de septiembre de 2020 16:45
  • Perteneces a Sexto período
  • Es antes 9 de septiembre de 2020 15:10

Unidad 2 Derivadas

Notas de la clase (puede elegir la versión en video o mp4 de cada tema)

Unidad 3 Regla de la cadena, tasas implícitas, relacionadas

Notas de la clase (puede elegir la versión en video o mp4 de cada tema)

Unidad 4 Derivadas de funciones trascendentales

Unidad 5 Aplicaciones de las derivadas

Unidad 6 Área e integrales

Unidad 7 sustitución en U

Unidad 8 Ecuaciones diferenciales

Unidad 9 Área y volumen

Reseñas de exámenes AP

Sra. Tennyson


Amie Tennyson
[email protected]
817-698-5659

Tutoriales de Calculus AB:
Martes y jueves 4-4: 30


6.5: Regla de L'Hopital

Formas indeterminadas y regla de L'Hopital

Llamamos $ frac <0> <0> $ y $ frac < infty> < infty> $ formas indeterminadas ya que no garantizan que exista un límite. O cuál es el límite, si es que existe. Por ejemplo, $ displaystyle lim_ frac = frac <0> <0> $. Anteriormente, simplemente hubiéramos factorizado el numerador y reducido la fracción como $ displaystyle lim_ frac= Displaystyle lim_ frac <(x + 1) (x-1)>= Displaystyle lim_ x-1 = -2 $

Tras la sustitución directa cuando obtuvimos una forma indeterminada, se necesitaba más investigación para determinar si realmente había un límite o no. A veces obtendremos un buen resultado, en cuyo caso el límite existirá, pero es muy posible que el límite no exista.

Hay un par de otras formas indeterminadas con las que tendremos que sentirnos cómodos en este curso:

Forma indeterminada del producto: cdot infty $

Diferencia de forma indeterminada: $ infty- infty $

Forma indeterminada de poder: $ 1 ^ infty $, $ infty ^ 0 $ y ^ 0 $

Regla de L'Hopital: Suponga que $ f $ y $ g $ son funciones que son continuas en un intervalo cerrado $ [a, b] $ que contiene $ c $ y diferenciables en un intervalo abierto $ (a, b) $ excepto posiblemente en $ c $ sí mismo. Suponga que $ g (x) neq 0 $ para todos $ x $ en $ (a, b) $ excepto posiblemente en $ c $. Si el límite de $ frac$ es $ frac <0> <0> $ o $ frac < pm infty> < pm infty> $, luego $ displaystyle lim_ frac= Displaystyle lim_ frac(x)>(x)> $ siempre que exista el límite a la derecha.

Si el límite de la derecha no existe, ¡NO PUEDE invocar la regla de L'Hopital!

Cuando usamos la regla LH, estamos encontrando derivadas de $ f (x) $ y $ g (x) $ por separado. NO estamos usando la regla del cociente para diferenciar $ frac$.

Cuando utilice la regla LH, DEBE indicar una forma indeterminada e indicar exactamente dónde se está utilizando LH. Preste atención a la notación y a cómo se presentan las soluciones a continuación.


Regla de L'Hopital

Conectar no funciona, porque obtenemos 0/0. La división por cero no está definida, tanto en el sistema numérico real como en el hiperreal. Un número distinto de cero dividido por un número pequeño da un número grande, un número distinto de cero dividido por un número muy pequeño da un número muy grande y un número distinto de cero dividido por un número infinitesimal da un número infinito. Por otro lado, dividir cero por cero significa buscar una solución a la ecuación, donde q es el resultado de la división. Pero cualquiera es una solución de esta ecuación, por lo que incluso hablando casualmente, no es correcto decir que 0/0 es infinito, no es infinito, es cualquier cosa que nos guste.

Dado que ingresar cero no funcionó, intentemos estimar el límite ingresando un número que sea pequeño, pero no cero. En una calculadora,

Parece que el límite es 1. Podemos confirmar nuestra conjetura con mayor precisión utilizando la capacidad de Yacas para hacer aritmética de alta precisión:

Se ve bastante único. Esta es la idea de la definición de límite de Weierstrass: parece que podemos obtener una respuesta tan cercana a 1 como queramos, si estamos dispuestos a acercarnos a 0 tanto como sea necesario. El gráfico ayuda a que esto sea plausible.

La idea general aquí es que para valores pequeños de, se obtiene la aproximación de ángulo pequeño sin, y a medida que se hace más y más pequeña, la aproximación mejora y mejora, por lo que se acerca más y más a 1.

Pero todavía no hemos probado rigurosamente que el límite sea exactamente 1. Intentemos usar la definición del límite en términos de infinitesimales.

dónde hemos utilizado la identidad y. . . significa términos de orden. Entonces

De hecho, este límite es el mismo que usaríamos si estuviéramos evaluando la derivada de la función seno, aplicando la definición de derivada como límite.

Podemos verificar nuestro trabajo usando Inf:

(El. Es donde he recortado los términos finales de la salida).

Nuestro ejemplo que involucra el límite del pecado es un caso especial de la siguiente regla para calcular los límites que involucran:

Regla de L'Hopital (forma más simple)

Si y son funciones con y, las derivadas y están definidas y la derivada, entonces

Prueba: Dado que, y la derivada se define en, es infinitesimal, y también para. Según la definición del límite, el límite es la parte estándar de

donde, por supuesto, el numerador y el denominador están definidos (y son finitos, porque la derivada se define en términos de la parte estándar). La parte estándar de un cociente como es igual al cociente de las partes estándar, siempre que ambos y sean finitos (que hemos establecido) y (que es cierto por supuesto). Pero la parte estándar de es la definición de la derivada, y también para, por lo que esto establece el resultado.

Por cierto, el acento de la azotea en la "o" en l’Hopital significa que en francés antiguo solía escribirse y pronunciarse "l’Hospital", pero la "s" luego se quedó en silencio, por lo que dejaron de escribirla. Entonces sí, es la misma palabra que "hospital".


Sobre los autores)

Joel Hass recibió su doctorado de la Universidad de California — Berkeley. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad de California — Davis. Ha sido coautor de seis textos de cálculo ampliamente utilizados, así como de dos guías de estudio de cálculo. Actualmente forma parte del consejo editorial de Geometriae Dedicata y Matemáticas mejoradas por los medios. Ha sido miembro del Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton y del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, y fue miembro de Investigación Sloan. Las áreas de investigación actuales de Hass incluyen la geometría de proteínas, variedades tridimensionales, matemáticas aplicadas y complejidad computacional. En su tiempo libre, Hass disfruta del kayak.

Maurice D. Weir tiene un DA y MS de Carnegie-Mellon University y recibió su BS en Whitman College. Es profesor emérito del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la Escuela de Postgrado Naval en Monterey, California. Weir disfruta enseñando modelos matemáticos y ecuaciones diferenciales. Sus áreas de investigación actuales incluyen modelado y simulación, así como educación matemática. Weir ha sido galardonado con la Medalla al Servicio Civil Destacado, el Premio al Servicio Civil Superior y el Premio Schieffelin a la Excelencia en la Enseñanza. Ha sido coautor de ocho libros, incluido el Cálculo universitario serie y la duodécima edición de Cálculo de Thomas.

George B. Thomas, Jr. (tarde) del Instituto de Tecnología de Massachusetts, fue profesor de matemáticas durante treinta y ocho años, se desempeñó como director ejecutivo del departamento durante diez años y como director de registro de graduados durante cinco años. Thomas ocupó un lugar en la junta de gobernadores de la Asociación Estadounidense de Matemáticas y en el comité ejecutivo de la división de matemáticas de la Sociedad Estadounidense para la Educación en Ingeniería. Su libro, Cálculo y geometría analítica , se publicó por primera vez en 1951 y desde entonces ha pasado por múltiples revisiones. El texto se encuentra ahora en su duodécima edición y continúa guiando a los estudiantes a través de sus cursos de cálculo. También fue coautor de monografías sobre matemáticas, incluido el texto Probabilidades y estadísticas .


Ver el vídeo: Η Ισλαμική Αστυνομία και ένα μήνυμα στον Υπουργό Προστασίας του Πολίτη (Septiembre 2021).