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4.5: Función monótona - Matemáticas


Se dice que una función (f: A rightarrow E ^ {*}, ) con (A subseteq E ^ {*}, ) no es decreciente en un conjunto (B subseteq A ) si

[x leq y text {implica} f (x) leq f (y) text {para} x, y in B. ]

Se dice que no aumenta en (B ) iff

[x leq y text {implica} f (x) geq f (y) text {para} x, y in B. ]

Notación: (f uparrow ) y (f downarrow ( text {on} B), ) respectivamente.

En ambos casos, se dice que (f ) es monótono o monótono en (B ) Si (f ) también es uno a uno en (B ) (es decir, cuando se restringe a (B )), decimos que es estrictamente monótono (aumentando si (f uparrow ) y disminuyendo si (f downarrow )).

Claramente, (f ) no es decreciente sif la función (- f = (- 1) f ) no es creciente. Por lo tanto, en las demostraciones, necesitamos considerar solo el caso (f uparrow ). El caso (f downarrow ) se reduce aplicando el resultado a (- f. )

Teorema ( PageIndex {1} )

Si una función (f: A rightarrow E ^ {*} left (A subseteq E ^ {*} right) ) es monótona en (A, ) tiene una izquierda y una derecha (posiblemente infinitas ) límite en cada punto (p en E ^ {*} ).

En particular, si (f uparrow ) en un intervalo ((a, b) neq emptyset, ) entonces

[f left (p ^ {-} right) = sup _ {a

y

[f left (p ^ {+} right) = inf _ {p

(En el caso de (f flecha hacia abajo, ) intercambie "sup" e "inf.")

Prueba

Para arreglar ideas, asuma (f uparrow ).

Deje (p en E ^ {*} ) y (B = {x en A | x

Hay tres casos posibles:

(1) Si (q ) es finito, cualquier globo (G_ {q} ) es un intervalo ((c, d), c

[c

Por tanto, como (f uparrow, ) ciertamente tenemos

[c x_ {0} text {} (x in B). ]

Además, como (f (x) in f [B], ) tenemos

[f (x) leq sup f [B] = q

entonces (c

Así hemos demostrado que

[ left ( forall G_ {q} right) left ( existe x_ {0}

entonces (q ) es un límite izquierdo en (p ).

(2) Si (q = + infty, ) la misma demostración funciona con (G_ {q} = (c, + infty]. ) ¡Verifique!

(3) Si (q = - infty, ) entonces

[( forall x in B) quad f (x) leq sup f [B] = - infty, ]

es decir, (f (x) leq- infty, ) entonces (f (x) = - infty ) (constante) en (B ). Por tanto, (q ) también es un límite izquierdo en (p ) (§1, Ejemplo (a)).

En particular, si (f uparrow ) en (A = (a, b) ) con (a, b en E ^ {*} ) y (a

[q = f left (p ^ {-} right) = sup f [B] = sup _ {a

Así, todo está probado para los límites izquierdos.

La prueba de los límites correctos es bastante similar; uno solo tiene que configurar

[B = {x en A | x> p }, q = inf f [B]. quad cuadrado ]

Nota 1. La segunda cláusula del Teorema 1 es válida incluso si ((a, b) ) es solo un subconjunto de (A, ) porque los límites en cuestión no se ven afectados por la restricción de (f ) a ((a, b). ) (¿Por qué?) Los puntos finales (a ) y (b ) pueden ser finitos o infinitos.

Nota 2. Si (D_ {f} = A = N ) (los naturales), entonces, por definición, (f: N rightarrow E ^ {*} ) es una secuencia con término general (x_ {m} = f (m), m in N ) (ver §1, Nota 2). Luego, estableciendo (p = + infty ) en la demostración del Teorema 1, obtenemos el Teorema 3 del Capítulo 3, §15. (¡Verificar!)

Ejemplo ( PageIndex {1} )

La función exponencial (F: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) a la base (a> 0 ) está dada por

[F (x) = a ^ {x}. ]

Es monótono (Capítulo 2, §§11-12, fórmula (1)), entonces (F left (0 ^ {-} right) ) y (F left (0 ^ {+} right )) existe. Por el criterio secuencial (Teorema 1 de §2), podemos usar una secuencia adecuada para encontrar (F left (0 ^ {+} right), ) y elegimos (x_ {m} = frac { 1} {m} rightarrow 0 ^ {+}. ) Entonces

[F left (0 ^ {+} right) = lim _ {m rightarrow infty} F left ( frac {1} {m} right) = lim _ {m rightarrow infty } a ^ {1 / m} = 1 ]

(ver Capítulo 3, §15, Problema 20).

De manera similar, tomando (x_ {m} = - frac {1} {m} rightarrow 0 ^ {-}, ) obtenemos (F left (0 ^ {-} right) = 1. ) Por lo tanto

[F left (0 ^ {+} right) = F left (0 ^ {-} right) = lim _ {x rightarrow 0} F (x) = lim _ {x rightarrow 0 } a ^ {x} = 1. ]

(Véase también el problema 12 del § 2.)

A continuación, corrija cualquier (p en E ^ {1}. ) Observando que

[F (x) = a ^ {x} = a ^ {p + x-p} = a ^ {p} a ^ {x-p}, ]

establecemos (y = x-p. ) (¿Por qué es admisible esta sustitución?) Entonces (y rightarrow 0 ) como (x rightarrow p, ) así que obtenemos

[ lim _ {x rightarrow p} F (x) = lim a ^ {p} cdot lim _ {x rightarrow p} a ^ {xp} = a ^ {p} lim _ {y rightarrow 0} a ^ {y} = a ^ {p} cdot 1 = a ^ {p} = F (p). ]

Como ( lim _ {x rightarrow p} F (x) = F (p), F ) es continua en cada (p en E ^ {1}. ) Por lo tanto, todas las exponenciales son continuas.

Teorema ( PageIndex {2} )

Si una función (f: A rightarrow E ^ {*} left (A subseteq E ^ {*} right) ) no es decreciente en un intervalo finito o infinito (B = (a, b) subseteq A ) y si (p in (a, b), ) entonces

[f left (a ^ {+} right) leq f left (p ^ {-} right) leq f (p) leq f left (p ^ {+} right) leq f left (b ^ {-} right), ]

y para no (x in (a, b) ) tenemos

[f left (p ^ {-} right)

de manera similar en el caso (f downarrow ) (con todas las desigualdades invertidas).

Prueba

Según el Teorema 1, (f uparrow ) en ((a, p) ) implica

[f left (a ^ {+} right) = inf _ {a

por tanto, ciertamente (f left (a ^ {+} right) leq f left (p ^ {-} right). ) Como (f uparrow, ) también tenemos (f (p ) geq f (x) ) para todo (x in ) ((a, p); ) por lo tanto

[f (p) geq sup _ {a

Por lo tanto

[f left (a ^ {+} right) leq f left (p ^ {-} right) leq f (p); ]

de manera similar para el resto de (1).

Además, si (a

[f left (p ^ {-} right) = sup _ {a

Sin embargo, si (p leq x

Nota 3. Si (f left (p ^ {-} right), f left (p ^ {+} right), ) y (f (p) ) existen (todos finitos), entonces

[ left | f (p) -f left (p ^ {-} right) right | text {y} left | f left (p ^ {+} right) -f (p) derecha | ]

se llaman, respectivamente, los saltos a la izquierda y a la derecha de (f ) en (p; ) su suma es el salto (total) en (p. ) Si (f ) es monótono, el salto es igual a ( left | f left (p ^ {+} right) -f left (p ^ {-} right) right |. )

Para un ejemplo gráfico, considere la Figura 14 en §1. Aquí (f (p) = f left (p ^ {-} right) ) (ambos finitos (), ) por lo que el salto a la izquierda es (0. ) Sin embargo, (f left ( p ^ {+} right)> f (p), ) por lo que el salto a la derecha es mayor que (0. ) Dado que

[f (p) = f left (p ^ {-} right) = lim _ {x rightarrow p ^ {-}} f (x), ]

(f ) es continuo a la izquierda (pero no continuo a la derecha) en (p ).

Teorema ( PageIndex {3} )

Si (f: A rightarrow E ^ {*} ) es monótono en un intervalo finito o infinito ((a, b) ) contenido en (A, ) entonces todas sus discontinuidades en ((a, b), ) si los hay, son "saltos", que
es decir, los puntos (p ) en los que (f left (p ^ {-} right) ) y (f left (p ^ {+} right) ) existen, pero (f izquierda (p ^ {-} right) neq f (p) ) o (f left (p ^ {+} right) neq f (p). )

Prueba

Según el Teorema 1, (f left (p ^ {-} right) ) y (f left (p ^ {+} right) ) existen en cada (p in (a, b) ).

Si, además, (f left (p ^ {-} right) = f left (p ^ {+} right) = f (p), ) entonces

[ lim _ {x rightarrow p} f (x) = f (p) ]

por el Corolario 3 de §1, entonces f es continua en (p ). Por lo tanto, las discontinuidades ocurren solo si (f left (p ^ {-} right) neq f (p) ) o (f left (p ^ {+} right) neq f (p). cuadrado)


Función monótona


Una función de una variable, definida en un subconjunto de los números reales, cuyo incremento $ Delta f (x) = f (x ^ prime) - f (x) $, para $ Delta x = x ^ prime - x & gt 0 $, no cambia de signo, es decir, es siempre negativo o siempre positivo. Si $ Delta f (x) $ es estrictamente mayor (menor) que cero cuando $ Delta x & gt 0 $, entonces la función se llama estrictamente monótona (ver Función creciente Función decreciente). Los diversos tipos de funciones monótonas se representan en la siguiente tabla.

Si en cada punto de un intervalo $ f $ tiene una derivada que no cambia de signo (respectivamente, es de signo constante), entonces $ f $ es monótono (estrictamente monótono) en este intervalo.

La idea de una función monótona se puede generalizar a funciones de varias clases. Por ejemplo, una función $ f (x _ <1> dots x _ ) $ definido en $ mathbf R ^ $ se llama monótono si la condición $ x _ <1> leq x _ <1> ^ prime dots x _ leq x _ ^ prime $ implica que en todas partes $ f (x _ <1> dots x _ ) leq f (x _ <1> ^ prime dots x _ ^ prime) $ o $ f (x _ <1> puntos x _ ) geq f (x _ <1> ^ prime dots x _ ^ prime) $ en todas partes. Una función monótona en el álgebra de la lógica se define de manera similar.

Una función monótona de muchas variables, aumentando o disminuyendo en algún momento, se define de la siguiente manera. Sea $ f $ definido en el cubo cerrado dimensional $ n $ $ Q ^ $, sea $ x _ <0> en Q ^ $ y deje $ E _ = < : > > $ sea un conjunto de niveles de $ f $. La función $ f $ se llama creciente (respectivamente, decreciente) en $ x _ <0> $ si para cualquier $ t $ y cualquier $ x ^ prime en Q ^ setminus E _ $ no separados en $ Q ^ $ por $ E _ $ de $ x _ <0> $, se cumple la relación $ f (x ^ prime) & lt t $ (respectivamente, $ f (x ^ prime) & gt t $), y para cualquier $ x ^ < prime primo> en Q ^ setminus E _ $ que está separado en $ Q ^ $ por $ E _ $ de $ x _ <0> $, se mantiene la relación $ f (x ^ < prime prime>) & gt t $ (respectivamente, $ f (x ^ < prime prime>) & lt t $). Una función que aumenta o disminuye en algún momento se denomina monótona en ese momento.


4.5: Función monótona - Matemáticas

En la investigación de ingeniería, a veces un diagrama puede ayudar al investigador a comprender mejor una función. La tendencia creciente o decreciente de una función es útil al dibujar un borrador.

Una función se llama creciente en un intervalo si el valor de la función aumenta a medida que aumenta el valor independiente. Eso es si x1 > x2, luego f (x1) & gt f (x2). Por otro lado, una función se llama decreciente en un intervalo si el valor de la función disminuye a medida que aumenta el valor independiente. Eso es si x1 & gt x2, luego f (x1) & lt f (x2). La tendencia creciente o decreciente de una función se llama monotonicidad en su dominio.

El concepto de monotonicidad se puede entender mejor al encontrar el intervalo creciente y decreciente de la función, digamos y = (x-1) 2. En el intervalo de (- & infin, 1], la función disminuye. En el intervalo de [1, + & infin), la función aumenta. Sin embargo, la función no es monótona en su dominio (- & infin, + & infin).

En el Derivado y monótono gráfico de la izquierda, la función disminuye en [x1, X2] y [x3, X4], y la pendiente de las rectas tangentes de la función es negativa. Por otro lado, la función aumenta en [x2, X3] y la pendiente de la recta tangente de la función es positiva. ¿Existe alguna relación entre la monotonicidad y la derivada? La respuesta es sí y se analiza a continuación.

Prueba para estados de funciones monótonas:

Suponga que una función es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).

  • Si la derivada es mayor que cero para todo x en (a, b), entonces la función aumenta en [a, b].
  • Si la derivada es menor que cero para todo x en (a, b), entonces la función es decreciente en [a, b].

La prueba de funciones monótonas se puede entender mejor al encontrar el rango creciente y decreciente para la función f (x) = x 2 - 4.

La función f (x) = x 2 - 4 es una función polinomial, es continua y diferenciable en su dominio (- & infin, + & infin), por lo que satisface la condición de prueba de función monoatómica. Para encontrar su monotonicidad, es necesario calcular la derivada de la función. Es decir

Es obvio que la función df (x) / dx = 2x es negativa cuando x & lt 0, y es positiva cuando x & gt 0. Por lo tanto, la función f (x) = x 2 - 4 aumenta en el rango de (- & infin, 0) y decreciente en el rango de (0, + & infin). Este resultado está confirmado por el diagrama de la izquierda.


Función booleana monótona


Una función booleana $ f (x _ <1> dots x _ ) $, $ n = 0, 1 dots $ que tiene la siguiente propiedad: Si para algunos conjuntos $ widetilde alpha = ( alpha _ <1> dots alpha _ ) $ y $ widetilde beta = ( beta _ <1> dots beta _ ) $, $ alpha _ , beta _ in <0, 1 > $, la condición $ alpha _ leq beta _ $ se mantiene para todos $ i $ (uno luego escribe $ widetilde alpha prec widetilde beta $), luego $ f ( widetilde alpha) leq f ( widetilde beta) $. Por ejemplo, la función $ f (x _ <1>, x _ <2>) = x _ <1> oplus x _ <2> $ (módulo de adición 2) no es monótona ya que $ (0, 1) prec (1, 1) $ pero $ 1 = f (0, 1) & gt f (1, 1) = 0 $.

Ejemplos de funciones booleanas monótonas son: Las constantes $ 0 $ y $ 1 $, la función identidad $ f (x) = x $, la disyunción $ x _ <1> lor x _ <2> $, la conjunción $ x _ <1> & x _ <2> $, etc. Ejemplos de funciones booleanas no monótonas son: la negación $ overline $, la implicación $ x _ <1> rightarrow x _ <2> $, etc. Cualquier función obtenida por composición de funciones booleanas monótonas es en sí misma monótona. En otras palabras, la clase de todas las funciones booleanas monótonas está cerrada. Además, la clase de todas las funciones booleanas monótonas es una de las cinco clases máximas (precompletadas) en el conjunto de todas las funciones booleanas, es decir, no existe una clase cerrada de funciones booleanas que contenga todas las funciones booleanas monótonas y sea distinta de la clase de funciones monótonas y la clase de todas las funciones booleanas. La forma normal disyuntiva reducida de cualquier función booleana monótona distinta de $ 0 $ y $ 1 $ no contiene negaciones de variables. El conjunto de funciones $ <0, 1, x _ <1> lor x _ <2>, x _ <1> & x _ <2> > $ es un sistema completo (y, además, una base ) en la clase de todas las funciones booleanas monótonas.

Para el número $ psi (n) $ de funciones booleanas monótonas que dependen de $ n $ variables, se sabe que

$ psi (n) = 2 ^ < left ( begin n [n / 2] end right) (1 + epsilon (n))>, $

donde $ 0 & lt epsilon (n) & lt c ( mathop < rm log> n) / n $ y $ c $ es una constante (ver [2]).

La complejidad de realización de la clase de funciones booleanas monótonas por diagramas de elementos funcionales y por circuitos de conmutación (cf. Diagrama de elementos funcionales Esquema de contacto) tiene un valor menor que la complejidad de realización de funciones booleanas arbitrarias (ver Problemas de síntesis). Ciertos problemas extremos discretos se reducen al problema de evaluar funciones booleanas monótonas. En este problema se requiere, sabiendo que una función $ f (x _ <1> dots x _ ) $ es una función booleana monótona, para aclarar su valor en todos los conjuntos utilizando la menor cantidad posible de preguntas de la forma: "¿Cuál es el valor de fa1 ... an en un determinado conjunto a = a1 ... an?" Se ha sugerido un algoritmo, [3], que para la evaluación de una función booleana monótona arbitraria requiere como máximo

$ left ( begin n [n / 2] end right) + left ( begin n [n / 2] + 1 end right) $

preguntas. Por otro lado, no existe un algoritmo de evaluación que distinga la función

$ f (x _ <1> puntos x _ ) = left < begin 0 & textrm sum _ 1 ^ x _ leq left [ frac <2> right], 1 & textrm sum _ 1 ^ x _ geq left [ frac <2> right] + 1 end derecho. PS

entre todas las otras funciones booleanas monótonas en menos de

$ left ( begin n [n / 2] end right) + left ( begin n [n / 2] + 1 end right) $

Una generalización de la idea de una función booleana monótona es la de una función monótona de lógica valorada en $ k $. Si se da un pedido parcial arbitrario $ S $ en el conjunto $ E _ = <0 dots k - 1 > $ (escrito como $ leq _ $), entonces, por definición, para dos conjuntos cualesquiera $ widetilde alpha = ( alpha _ <1> dots alpha _ ) $ y $ widetilde beta = ( beta _ <1> dots beta _ ) $, $ alpha _ , beta _ en E _ $, $ widetilde alpha prec _ widetilde beta $ significa que $ alpha _ leq _ beta _ $ para todos los $ i $. Una función de $ k $ - lógica valorada $ f (x _ <1> dots x _ ) $ (es decir, definido y tomando valores en $ E _ $) se llama monótono en relación con $ S $ si para cualquier conjunto $ widetilde alpha = ( alpha _ <1> dots alpha _ ) $ y $ widetilde beta = ( beta _ <1> dots beta _ ) $, la condición $ widetilde alpha prec _ widetilde beta $ implica $ f ( widetilde alpha) leq _ f ( widetilde beta) $. La clase de todas las funciones que son monótonas en relación con algún orden parcial $ S $ en $ E _ $ es siempre una clase cerrada, es una clase precompleta en $ k $ - lógica valorada si y solo si hay precisamente un elemento máximo y precisamente un elemento mínimo en $ S $ [4]. El número $ psi _ (n) $ de funciones de $ k $ - la lógica valorada que depende de $ n $ variables y que son monótonas en relación con $ S $ satisface, como $ n rightarrow infty $,

donde $ C (S) $ es una constante que es efectivamente calculable en relación con un pedido parcial dado $ S $ (ver [5]).


Algoritmos inherentemente paralelos en viabilidad y optimización y sus aplicaciones

1. INTRODUCCIÓN

La Problema de desigualdad variacional [6, 52, 118, 119] ha sido y seguirá siendo uno de los problemas centrales en el análisis no lineal y se define de la siguiente manera: operador monótono dado ℱ: ℋ → ℋ y conjunto convexo cerrado C ⊂ ℋ, donde ℋ es un espacio de Hilbert real con producto interno 〈·, ·〉 y norma inducida ∥ · ∥, encuentre X* ∈ C tal que 〈XX*, ℱ (X*)〉 ≥ 0 para todos XC. Esta condición es la condición de optimalidad del problema de optimización convexa: min Θ over C cuando ℱ = Θ ′. El procedimiento iterativo más simple para el problema de desigualdad variacional (VIP) puede ser el conocido método de gradiente proyectado [119] : Xnorte + 1 = PAGC(Xnorteμℱ (Xnorte)) (norte = 0,1,2,…) donde PAGC : ℋ → C es la proyección convexa sobre C y μ es un número real positivo (este método es un ejemplo del llamado método de proyección de gradiente [57, 74]. A continuación, el método especificado por esta fórmula se denomina método de gradiente proyectado para distinguirlo de Rosens método de proyección de gradiente [90, 91]). De hecho, cuando ℱ es fuertemente monótono y lipschitziano, el método de gradiente proyectado, con cualquier X0C y ciertos μ & gt 0, genera una secuencia (Xnorte)norte ≥ 0 convergiendo fuertemente hacia la solución única del VIP. El uso de la método de gradiente proyectado requiere la expresión de forma cerrada de Ordenador personal, que lamentablemente no siempre se conoce.

Motivado por los tremendos avances en la teoría del punto fijo de asignaciones no expansivas (ver, por ejemplo, [60, 48, 75, 104, 106, 39, 5, 8, 9, 16-18, 87, 88, 101, 102, 55, 56] y referencias en el mismo), el método híbrido de descenso más empinado [108, 109, 47, 110, 111, 80, 112] se ha desarrollado como un algoritmo de tipo de descenso más pronunciado que minimiza ciertas funciones convexas en la intersección de conjuntos de puntos fijos de asignaciones no expansivas. Este método es esencialmente una solución algorítmica para el VIP anterior que no requiere la expresión de forma cerrada de PAGC pero en su lugar requiere una expresión de forma cerrada de un mapeo no expansivo T, cuyo conjunto de puntos fijos es C.

La generalización hecha por el método híbrido de descenso más empinado, del uso directo de la proyección convexa Ordenador personal a la de un mapeo no expansivo, es importante en muchas situaciones prácticas donde no hay expresión de forma cerrada de PAGC se conoce pero donde la expresión de forma cerrada de un mapeo no expansivo cuyo conjunto de puntos fijos es C puede basarse en los fundamentos de la teoría del punto fijo y en algoritmos para problemas de viabilidad convexa [39, 8, 10, 32, 37, 100]. Una ventaja notable del método híbrido de descenso más empinado, sobre los métodos que utilizan la expresión de forma cerrada de PAGC , es que es aplicable en los casos frecuentes en los que el conjunto C no es lo suficientemente simple como para tener una expresión de forma cerrada de PAGC pero se define como la intersección de múltiples conjuntos convexos cerrados CI(IJ) cada uno de los cuales es lo suficientemente simple como para tener una expresión de forma cerrada de P C i.

El primer objetivo del trabajo es presentar de manera sencilla las ideas que subyacen método híbrido de descenso más empinado [108, 109, 47]. El segundo objetivo es demostrar las aplicaciones de su fórmula simple a la Problema pseudoinverso generalizado restringido convexo [51, 93, 110] así como al problema de viabilidad convexo [37, 32, 8, 10, 100] de amplio interés interdisciplinario en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería matemáticas.

El resto de este artículo se divide en cuatro secciones. La siguiente sección contiene preliminares sobre puntos fijos, mapeos no expansivos y proyecciones convexas, así como breves introducciones al problema de desigualdad variacional y a la topología débil en un espacio real de Hilbert. Allí también se recogen otros hechos matemáticos necesarios. La tercera sección contiene los principales teoremas de la método híbrido de descenso más empinado, donde se mostrará que el problema de desigualdad variacional, definido sobre el conjunto de puntos fijos de asignaciones no expansivas, bajo ciertas condiciones, puede resolverse algorítmicamente mediante fórmulas sorprendentemente simples. La cuarta sección, después de discutir las aplicaciones de la método híbrido de descenso más empinado a los problemas de viabilidad convexa, introduce una importante caracterización de punto fijo de la conjunto factible convexo generalizado en [108, 109] junto con su otra caracterización de punto fijo presentada independientemente en [41]. Con base en estas caracterizaciones de punto fijo, demostramos cómo método híbrido de descenso más empinado puede aplicarse, de una manera matemáticamente sólida, a la Problema pseudoinverso generalizado restringido convexo. Por último, en la sección final, concluimos el artículo con algunas observaciones sobre nuestra reciente generalización parcial que muestra que la método híbrido de descenso más empinado También es adecuado para los problemas de desigualdad variacional en condiciones más generales, lo que incluye el caso en el que el problema puede tener múltiples soluciones sobre el conjunto factible convexo generalizado.


4.5: Funciones matemáticas

  • Contribuido por Chuck Severance
  • Profesor asociado clínico (Escuela de información) en la Universidad de Michigan

Python tiene un módulo matemático que proporciona la mayoría de las funciones matemáticas familiares. Antes de que podamos usar el módulo, tenemos que importarlo:

Esta declaración crea una objeto de módulo matemáticas nombradas. Si imprime el objeto del módulo, obtiene cierta información al respecto:

El objeto de módulo contiene las funciones y variables definidas en el módulo. Para acceder a una de las funciones, debe especificar el nombre del módulo y el nombre de la función, separados por un punto (también conocido como punto). Este formato se llama notación de puntos.

El primer ejemplo calcula el logaritmo en base 10 de la relación señal / ruido. El módulo matemático también proporciona una función llamada log que calcula logaritmos en base e.

El segundo ejemplo encuentra el seno de radianes. El nombre de la variable es una pista de que sin y las otras funciones trigonométricas (cos, tan, etc.) toman argumentos en radianes. Para convertir de grados a radianes, divida por 360 y multiplique por 2&Pi:

La expresión math.pi obtiene la variable pi del módulo matemático. El valor de esta variable es una aproximación de &Pi, con una precisión de aproximadamente 15 dígitos.

Si conoce su trigonometría, puede verificar el resultado anterior comparándolo con la raíz cuadrada de dos dividida por dos:


Monotonicidad de funciones

Una función se dice que aumenta monótonamente (o no disminuye) si sus valores solo aumentan y nunca disminuyen con valores crecientes de ( con ). Del mismo modo, se dice que disminuye monótonamente (o no aumenta) si sus valores solo disminuyen y nunca aumentan ( con ).

Es estrictamente creciente si los valores siempre se vuelven más grandes y no pueden ser constantes ( con ). Es estrictamente decreciente cuando solo cae sin ser constante ( con ).

Para encontrar la monotonicidad de una función, analizamos su primera derivada />. La derivada es positiva en un punto si la función es ascendente y negativa si desciende en este punto. La raíz de la derivada es un punto en el que la función no aumenta ni disminuye. Si la derivada tiene al menos una raíz, la función completa no puede ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Entonces, si no se puede encontrar una raíz, podemos evaluar la derivada /> en cualquier punto para determinar que la función es estrictamente creciente si es positiva, o estrictamente decreciente si es negativa. Si tiene una o más raíces, aún podemos determinar su monotonicidad en los intervalos entre las raíces.

Para encontrar los intervalos de la función en la que está subiendo o bajando, primero encontramos las raíces de la derivada. En estos puntos, la función puede cambiar de descendente a ascendente y viceversa. Si la derivada es positiva a la izquierda de este punto y negativa a la derecha, sabemos que está cambiando de ascendente a descendente. Por lo tanto, podemos observar un valor de la derivada inmediatamente a la izquierda e inmediatamente a la derecha de la raíz. Otra forma es usar la segunda derivada y determinar si es positiva o negativa en este punto.

Ejemplo

Considere la siguiente función:

A continuación, encontramos las raíces de la derivada:

(1)

Entonces sabemos que la monotonicidad cambia en y . Para encontrar cómo cambia, evaluamos la derivada en tres puntos, a la izquierda de , Entre y y finalmente a la derecha de :

(2)

significa que la función aumenta a medida que se acerca a la raíz de la derivada desde la izquierda. Luego cambia y disminuye (según lo encontrado por ) hasta llegar a la otra raíz donde cambia de nuevo y aumenta a partir de ahí (según lo encontrado por ). El siguiente gráfico ilustra esto. La línea roja es la función y la línea violeta es la derivada :

Por lo tanto está aumentando monótonamente para , disminuyendo monótonamente para y aumentando monótonamente para .

Alternativamente, podemos determinar la monotonicidad usando la segunda derivada y evaluarlo en las raíces de la primera derivada que ya encontramos (es decir, en y ). Si la segunda derivada es positiva, la monotonicidad cambia de descendente a ascendente y si es negativa cambia de ascendente a descendente.

(3)

Usando este método, llegamos a la misma conclusión, a saber, que la función cambió de ascendente a descendente en y cambió de caer a levantarse en .


Nociones básicas y propiedades de funciones.

Función. Dominio y codominio de una función.
Regla (ley) de correspondencia. Función monótona.
Función limitada e ilimitada. Continuo y
función discontinua. Función par e impar.
Función periódica. Periodo de una función.
Ceros (raíces) de una función. Asíntota.

Dominio y codominio de función.En matemáticas elementales estudiamos funciones solo en un conjunto de números reales R. Esto significa que un argumento de una función puede adoptar solo aquellos valores reales en los que se define una función, es decir, también adopta solo valores reales. Un conjunto X de todos los valores reales admisibles de un argumento X, en el que una función y = F ( X ) está definido, se llama dominio de Una función. Un conjunto Y de todos los valores reales y, que adopta una función, se llama codominio de una función. Ahora podemos formular una definición de función de manera más exacta: tal regla (ley) de una correspondencia entre un conjunto X y un conjunto Y, que para cada elemento de un conjunto X uno y solo un elemento de un conjunto Y se puede encontrar, se llama función. De esta definición se deduce que se da una función si:
- el dominio de una función X es dado
- el codominio de una función Y es dado
- se conoce la regla de correspondencia (ley).
Una regla de correspondencia debe ser tal, que para cada valor de un argumento solo un valor de una función puede ser encontrado. Este requisito de una función de valor único es obligatorio.

Función monótona. Si para dos valores cualesquiera de un argumento X 1 y X 2 de la condición X 2 & gt X 1 sigue F ( X 2 ) & gt F ( X 1 ), entonces se llama a una función creciente si por alguna X 1 y X 2 de la condición X 2 & gt X 1 sigue F ( X 2 ) & lt F ( X 1 ), entonces se llama a una función decreciente. Una función, que solo aumenta o solo disminuye, se llama función monótona.

Funciones limitadas y ilimitadas. Una función es encerrado, si tal número positivo METRO existe, que | F ( X ) | METRO para todos los valores de X . Si tal número positivo no existe, entonces esta función es ilimitado.

Una función, que se muestra en la figura 3, es una función acotada, pero no monótona. En la figura 4, todo lo contrario, vemos una función monótona, pero ilimitada. (¡Explique esto, por favor!).

Funciones continuas y discontinuas.Una función y = F ( X ) se llama continuo función en un punto x = a, Si:
1) la función se define en X = a , es decir. F ( a ) existe
2) una finito lim F ( X ) existe
Xa
(ver el párrafo "Límites de funciones" en la sección "Principios de análisis")

3) F ( a ) = lim F ( X ) .
Xa

Si incluso una de estas condiciones no se ejecuta, esta función se llama discontinuo en el punto X = a.

Si una función es continua en todas puntos de su dominio, se llama un función continua.

Funciones pares e impares. Si por alguna X desde un dominio de función: F ( – X ) = F ( X ), entonces esta función se llama incluso
Si F ( – X ) = – F ( X ), entonces esta función se llama impar . Una gráfica de una función par es simétrica relativamente y-eje (Fig.5), una gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de las coordenadas (Fig.6).

Función periódica.Una función F ( X ) es periódico, si tal distinto de cero número T existen que para alguna X desde un dominio de función:
F ( X + T ) = F ( X ). La menos tal número se llama período de una función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

Ejemplo 1 . Demuestra ese pecado X tiene un número 2 como punto.

S o l u t i o n. Sabemos, ese pecado x + 2norte ) = pecado X, dónde norte = 0, ± 1, ± 2, …
Por lo tanto, sumando 2norte a un argumento de un seno no cambia su valor.
¿Quizás exista otro número con esa propiedad?
Asumir que PAG es el número, es decir, la igualdad:

pecado ( x + PAG ) = pecado X,
es válido para cualquier valor de X. Entonces esto es válido para X = / 2, es decir

pecado (/ 2 + PAG ) = sen / 2 = 1.

Pero el pecado (/ 2 + PAG ) = cos PAG de acuerdo con la fórmula de reducción.
las dos últimas expresiones que sigue, que cos PAG = 1, pero sabemos que este
la igualdad es correcta solo si PAG = 2norte. Porque el menor número distinto de cero de
2norte es 2, este es un período de pecado X. Análogamente se prueba que 2 también es
un período para cos X .
Demuestre, por favor, que funciona tan X y cuna X tener como punto.

E x a m p l e 2. ¿Qué número es un período para la función sin 2X ?

S o l u t i o n. Considerar
pecado 2X = pecado (2x + 2norte ) = pecado [2 ( X + norte ) ].
Vemos, que agregando norte a una discusión X, no cambia el valor de la función.
El menor número distinto de cero de norte es, entonces este es un período de pecado 2X .

Ceros de función.Un valor de argumento, en el que una función es igual a cero, se llama cero (raíz) de la función. Puede ser que una función tenga algunos ceros. Por ejemplo, la función y = X ( X + 1 ) ( X - 3) tiene tres ceros: X = 0, X = – 1, X = 3. Geométricamente, un cero de una función es X-coordenada de un punto de intersección de la función gráfica y X-eje. En la figura 7 una gráfica de una función con ceros X = a, x = B y X = C es representado.

Asíntota.Si una gráfica de una función se acerca ilimitadamente a una línea recta en ella, partiendo de un origen de coordenadas, entonces esta línea recta se llama una línea recta. asíntota.


Algunos ejercicios de inducción

1. Sea D n la cantidad de formas de cubrir los cuadrados de un tablero de 2xn usando dominós simples. Entonces es fácil ver que D 1 = 1, D 2 = 2 y D 3 = 3. Calcule algunos valores más de D n y adivine una expresión para el valor de D n y use la inducción para demostrar que tiene razón.

2. La desigualdad del triángulo dice que para dos números reales cualesquiera xey,.
Muestre eso para cualquier n números reales & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

3. ¿De cuántas formas hay de cubrir los cuadrados de un tablero de ajedrez de 2xn con dominó?

Sea D n el número de tales formas. Por ejemplo, D 1 = 1, D 2 = 2 y D 3 = 3 como

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Calcula el valor de D 4 y tal vez D 5, y adivina una expresión para D n. Para verificar su conjetura, deberá utilizar la forma fuerte de inducción. Eso significa que en lugar de simplemente asumir que el resultado es verdadero para algunos k, asume que es cierto para todos los valores menores que algunos k, y luego demuestra que debe ser cierto para k.

(B). ¿La serie converge o diverge?

5. Sea a n el número de subconjuntos de <1, 2, 3,. n> (incluido el conjunto vacío
y el propio set.)
& nbsp & nbsp & nbsp (a). Muestre a n = 2a n-1. (Esto es bastante simple, no necesita inducción aquí).
& nbsp & nbsp & nbsp (b). Adivina una fórmula para el valor de una ny usa la inducción para demostrar que tienes razón.

6. Demuestre que para cualquier n> = 1, 4 | 3 (2n-1) +1

7. Demuestre por inducción: Para cualquier n> = 1, 1 3 + 2 3 + 3 3 +. + n 3 = (1 + 2 + 3 +. + n) 2.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Ejemplos de pruebas de inducción

1. Demuestre que para todo n> = 1,

Argumentamos por inducción. Para n = 1, la expresión tiene el valor. Entonces, la afirmación es verdadera para n = 1.

Ahora suponga que para algún entero k,. Entonces debe existir un número entero t tal que. Ahora debemos mostrar que la aserción debe ser verdadera para k + 1, es decir, eso '.

Así que tenemos, y el resultado sigue por inducción.

2. Demuestre por inducción que la suma 1 + 3 + 5 + 7 +. + 2n-1 es un cuadrado perfecto.

Es casi imposible probar esta afirmación sin probar mucho más.

Por conveniencia, sea S n = 1 + 3 + 5 + 7 +. + 2n-1. Entonces S n + 1 = S n + (2n + 1).

Ahora se ve fácilmente que el resultado es cierto en el caso k = 1, ya que 1 es un cuadrado perfecto.

Ahora suponga que S k es un cuadrado perfecto, digamos S k = t 2 para algún t. Entonces debemos demostrar que S k + 1 también es un cuadrado perfecto. Bueno, S k + 1 = S k + (2k + 1) = t 2 + 2k +1.

¿¿Ahora que?? Bueno, parece que estamos estancados. La prueba no va a ninguna parte.

Pero mire lo que sucede si intentamos probar el resultado más fuerte de que S n = n 2.

Nuestro argumento sería casi el mismo que antes, excepto que al final

& nbsp & nbsp & nbsp S k + 1 = S k + (2k + 1) = k 2 + 2k +1 = (k + 1) 2.

¡Y ahora la prueba de inducción funciona!

Esta es la paradoja del inventor: a menudo es más fácil demostrar un resultado más sólido que el que necesita. Aquí demostramos no solo que S n es un cuadrado perfecto, sino que es un cuadrado perfecto particular, a saber, n 2.

3. Sea f n el n-ésimo número de Fibonacci,
Demuestre por inducción: Para todo n> = 1, 2 | f 3n (es decir, f 3n es par)


Prueba .
Argumentamos por inducción. Para n = 1, esto dice que f 3 = 2 es par, lo cual es.

Ahora suponga que para algunos k, f 3k es par. Entonces f 3k = 2m para algún entero m.
Ahora debemos demostrar que f 3 (k + 1) es par.

Entonces, f 3 (k + 1) = f 3k + 3 = f 3k + 2 + f 3k + 1 = f 3k + 1 + f 3k + f 3k + 1 = 2f 3k + 1 + f 3k = 2 (f 3k +1 + m).

4. Demuestre por inducción: para todos los números enteros n> = 1,

Prueba: Para n = 1, esto afirma eso, lo cual es ciertamente cierto. Ahora suponga que para algún entero k> = 1,. Por tanto, hay un entero m tal que.

Nosotros lo reclamamos. Pero esto equivale a mostrar eso.
Sin embargo, y entonces es un múltiplo de 4 y el resultado sigue por inducción.

5. Demuestre por inducción: Para cualquier n> = 1, 7 | 8 n - 1.
Argumentamos por inducción. Para n = 1, esto solo dice que 7 | 7 que es cierto.
Ahora suponga que para algunos k> = 1, 7 | 8 k - 1. De modo que 8 k - 1 = 7t para algún número entero t.
Debemos demostrar que 7 | 8 k + 1 - 1. Pero, 8 k + 1 - 1 = 8 (8 k - 1) + 7 = 8 (7t) + 7 = 7 (8t +1).
Entonces tenemos 8 k + 1 - 1 es un múltiplo de 7 y entonces, 7 | 8 k + 1 - 1.

Un problema de la serie de Fibonacci

Recuerde que los números de Fibonacci están definidos por la relación de recurrencia,

f norte = f norte-1 + f norte-2 norte> 2, f 1 = 1, f 2 = 1.

Entonces, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13, f 8 = 21, f 9 = 34,.

En este ejercicio determinaremos algunas propiedades muy interesantes de los números de Fibonacci.

A. Muestre por inducción que para todo n> 2.

C. Muestre (mediante una simple manipulación algebraica) eso.

D. Recuerde que toda secuencia acotada y monótona converge. Usando este hecho, demuestre:

Lema. Si una n es una secuencia acotada en la que

E. Demuestre que satisface las condiciones del lema en (D). En consecuencia, sabemos que la secuencia debe converger hasta algún límite t.

Problema: Encuentre el valor exacto de t. Tenga en cuenta que por (A) su respuesta debe ser un número entre 1 y 2.

F. Usando el resultado de (E), determine si la serie de potencias converge o diverge.


4.5: Función monótona - Matemáticas

Aquí hay una colección de actividades y curiosidades matemáticas. disfrútalas!


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Mensajes de nuestros seguidores:

Aquí hay un truco divertido para mostrárselo a un amigo, un grupo o una clase completa de personas. He usado este divertido truco matemático con miles de personas desde 1963 cuando lo aprendí. Dile a la persona (o clase) que piense en su cumpleaños. y que lo vas a adivinar.

Paso 1) Haga que tomen el número del mes de su cumpleaños: enero = 1, febrero = 2, etc.
Paso 2) Multiplica eso por 5
Paso 3) Luego suma 6
Paso 4) Luego multiplica ese total por 4
Paso 5) Luego suma 9
Paso 6) Luego, multiplique este total por 5 una vez más.
Paso 7) Finalmente, pídales que agreguen a ese total el día en que nacieron. Si nacieron el día 18, suman 18, etc.

Haga que le den el total. En su cabeza, reste 165, ¡y tendrá el mes y el día en que nació!

Cómo funciona: Sea M el número del mes y D será el número del día. Después de los siete pasos, la expresión para su cálculo es:

5 (4 (5 M + 6) + 9) + D = 100 M + D + 165

Por lo tanto, si resta 165, ¡lo que quedará será el mes en cientos más el día!

Por cierto, si desea saber cuántos minutos y segundos ha estado vivo y mucho más sobre cuándo nació, puede probar este sitio web == & gt Calculadora de cumpleaños

Para saber si algún número X es divisible por cierto número, pruebe el número usando la información de la tabla a continuación.

Por 2 Si el último dígito es divisible por dos, entonces X es demasiado
Por 3 Si la suma de los dígitos del número X es divisible por tres, entonces X es demasiado
Por 4 Si los dos últimos dígitos son divisibles por cuatro, entonces X es demasiado
Por 5 Si el último dígito es 5 o 0, entonces X es divisible por 5
Por 6 Si X es divisible por 2 y por 3, entonces X es divisible por 6
Por 7 Esta regla se llama L-2M. Lo que haces es duplicar el último dígito del número X y restarlo de X sin su último dígito. Por ejemplo, si el número X que está probando es 345678, restará 16 de 34567. Repita este procedimiento hasta que obtenga un número que sepa con certeza que es o no divisible por siete. Entonces la divisibilidad de la X será la misma.
A las 8 Si los últimos tres dígitos son divisibles por 8, entonces X es demasiado
A las 9 Si la suma de los dígitos del número X es divisible por nueve, entonces X es demasiado
Por 10 Si el último dígito de X es 0, entonces X es divisible por 10
A las 11 Lo que haces aquí es sumar dos dígitos y restarlos. La primera suma es la suma del primer, tercer, quinto, séptimo, etc. dígitos y la otra suma es la suma del segundo, cuarto, sexto, octavo, etc. dígitos. Si, al restar las sumas entre sí, la diferencia es divisible por 11, entonces el número X es demasiado
A las 12 Si X es divisible por 4 y por 3, entonces X es divisible por 12
Por 13 Esta regla se llama L + 4M. Lo que haces es cuadriplicar el último dígito del número X y sumarlo desde X sin su último dígito. Por ejemplo, si el número X que está probando es 345678, sumaría 32 a 34567. Repita este procedimiento hasta que obtenga un número que sepa con certeza que es o no divisible por trece. Entonces la divisibilidad de la X será la misma.
A los 14 Si X es divisible por 7 y por 2, entonces X es divisible por 14
A los 15 Si X es divisible por 5 y por 3, entonces X es divisible por 15
A los 16 Si los últimos cuatro dígitos son divisibles por 16, entonces X es demasiado
A los 17 * Esta regla se llama L-5M. Vea las reglas para 7 y 13 sobre cómo presentar la solicitud.
A los 18 Si X es divisible por 9 y por 2, entonces X es divisible por 18
Por 19 * Esta regla se llama L + 2M. Vea las reglas para 7 y 13 sobre cómo presentar la solicitud.
A los 20 Si X es divisible por 5 y por 4, entonces X es divisible por 20
A los 21 Si X es divisible por 7 y por 3, entonces X es divisible por 21
A los 22 Si X es divisible por 11 y por 2, entonces X es divisible por 22
A los 24 Si X es divisible por 8 y por 3, entonces X es divisible por 24
A los 25 Si los dos últimos dígitos de X son divisibles por 25, entonces X es demasiado
Más alto Puede utilizar varias reglas para varios divisores. por ejemplo, para verificar si un número es divisible entre 57, verifique si es divisible entre 19 y 3, etc., ya que 57 = 19 x 3.

* ¡Muchas gracias a Torsten Sillke por estas reglas!

Alfamética --- la construcción alfabética y matemática donde cada letra está representada por un número único en el problema. Cada uno de ellos tiene una solución única.

ENVIAR + MÁS = DINERO CINCUENTA + ESTADOS = AMÉRICA
TIERRA + AIRE + FUEGO + AGUA = NATURALEZA TERRIBLE + NÚMERO = TRECE
SATURNO + URANO + NEPTUNO + PLUTÓN = PLANETAS GEORGIA + OREGON + VERMONT = VIRGINIA
SEIS + SEIS + SEIS + BESTIA = SATANÁS SIETE + SIETE + SEIS = VEINTE

¿Te encantan los "alfaméticos"? ¿Quieres mas? ¡Ven aquí! (Gran sitio de Mike Keith)

Buen truco matemático de cartas

Aquí hay un truco de cartas realmente limpio que seguramente sorprenderá y sorprenderá a sus amigos o compañeros de clase en sus programas de MBA.

Haga que un amigo baraje una baraja estándar de 52 cartas a su satisfacción. Pídale que dé la vuelta, boca arriba, a un montón de veinticinco cartas. Mientras cuentan las cartas hasta veinticinco, actúa como si estuvieras memorizando intensamente cada una de ellas en orden. En verdad, solo te interesa el 17 tarjeta en la pila. Memoriza eso 17 tarjeta..

Dé la vuelta a la pila de veinticinco cartas, ahora boca abajo, y déjela a un lado.

Tome las tarjetas restantes y haga lo siguiente:

Si es una carta de dos a nueve, colóquela boca arriba y cuente las cartas hasta el número diez. Por ejemplo, si muestra un seis, lo colocará boca arriba y luego contará cuatro cartas que van hacia abajo, diciendo "Siete, ocho, nueve, diez". Si mostraba un tres, luego siete cartas, diciendo "Cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez".

Si la carta que muestra es un as, diez o una imagen, dígale a su amigo que debe tener cartas del 2 al nueve para este truco y coloque la carta en la parte inferior de la baraja, boca abajo como el resto de las cartas. (Alguien me dijo que los ases y las imágenes también funcionan, pero aún no lo he verificado).

Repita este procedimiento hasta que haya completado cuatro columnas de "diez cuentas".

Toma las cartas restantes que tengas después de hacer las cuatro columnas y colócalas boca abajo en la PARTE SUPERIOR de la pila de veinticinco cartas que apartaste antes.

Ahora pídale a su amigo que sume los números en la parte superior de las cuatro columnas.

Digamos que el total fue 23. Contando desde la parte superior de las cartas reservadas más el resto, indique que está interesado en la carta número 23. Justo antes de dar la vuelta a la carta número 23, indique qué carta es. (Es el 17 tarjeta que memorizaste al principio del truco!)

Si hiciste todo correctamente, ¡siempre funciona! ¡Increíble!

¿Sabías que 27 ^ 5 + 84 ^ 5 + 110 ^ 5 + 133 ^ 5 = 144 ^ 5?

¿Sabías que 9 ^ 3 + 10 ^ 3 = 12 ^ 3 + 1 ^ 3?

¿Sabías que 2682440 ^ 4 + 15365639 ^ 4 + 18796760 ^ 4 = 20615673 ^ 4?

¿Sabías que 95800 ^ 4 + 217519 ^ 4 + 414560 ^ 4 = 422481 ^ 4?

¿Sabías que 111,111,111 x 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321?

Sabía usted que 123,456,789 x 989,010,989 = 122,100,120,987,654,321 ?

¿Sabías que e ^ (pi * sqrt (163)) = 262537412640768743.9999999999992? ¿Coincidencia?

¿Sabías que solo hay cuatro números (después del 1) que son las sumas de los cubos de sus dígitos?
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3 y
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3 ?

¿Sabías que 1,741,725 ​​= 1 ^ 7 + 7 ^ 7 + 4 ^ 7 + 1 ^ 7 + 7 ^ 7 + 2 ^ 7 + 5 ^ 7?

Sistema de Matemáticas de Velocidad de Trachtenberg

Cuando tenía solo siete u ocho años, encontré un libro fascinante llamado Sistema de Matemáticas Rápidas de Trachtenberg (o algo así). En él se describe una forma de hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de formas que nunca antes había visto. Ninguno de mis profesores había oído hablar de él antes. Pude hacer las multiplicaciones por once y doce en mi cabeza más rápido que mis amigos en el papel. Si odia las matemáticas formales (o si tiene un hijo que las odia), le insto a que descargue el software que lo presenta todo para usted.

Si el enlace no funciona, envíeme un correo electrónico y se lo enviaré.

Otros dos sitios que lo ofrecen están aquí y aquí.

Jakow Trachtenberg nació el 17 de junio de 1888 en Odessa, Rusia. Trabajó como ingeniero durante su juventud en los Astilleros Obuschoff, luego de graduarse con los más altos honores del Instituto de Ingeniería de Minas en San Petersburgo. Se mudó a Berlín durante la Primera Guerra Mundial y pronto se convirtió en un experto en asuntos rusos. Allí ideó un método de enseñanza de idiomas que todavía se utiliza en algunas partes de Europa del Este. Como judío, fue capturado por los nazis y deportado a un campo de concentración. Allí, sin papel ni lápiz (algunos dicen que un clavo de hierro común se convirtió en su posesión más preciada), ideó un método para hacer aritmética mental. Trachtenberg logró escapar y huyó a Suiza, donde perfeccionó su sistema. En 1950, fundó el Instituto de Matemáticas en Zúrich, donde enseñó sus métodos a niños y adultos por igual.

Datos sobre polígonos regulares y poliedros

La siguiente leyenda pertenece a la tabla a continuación:

s = longitud de un lado A = área d = diagonal
R = radio del círculo o esfera circunscrita V = volumen a = longitud de un borde
r = radio del círculo inscrito h = altura S = superficie

Triángulo A = ((s ^ 2) * raíz cuadrada (3)) / 4
Siete formas de hallar el área de un triángulo. ir
AQUÍ .
Tetraedro V = (1/12) * raíz cuadrada (2) * a ^ 3
R = (1/3) * s * sqrt (3) S = a ^ 3 * raíz cuadrada (3)
r = (1/6) * s * sqrt (3) R = (1/4) * a * raíz cuadrada (6)
Área isósceles = (c / 4) (sqrt (4a ^ 2 - c ^ 2)
donde (c es la base, a son las piernas)
r = (1/12) * a * raíz cuadrada (6)
Cuadrado A = s ^ 2 Cubo V = a ^ 3
R = (1/2) * s * sqrt (2) S = 6 * a ^ 2
r = (1/2) * s R = (1/2) * a * raíz cuadrada (3)
r = (1/2) * a
Pentágono A = (s ^ 2/4) (raíz cuadrada (25 + 10 * raíz cuadrada (5))) Octaedro V = (1/3) * a ^ 3 * raíz cuadrada (2)
R = (1/10) * s * sqrt (50 + 10 * sqrt (5)) S = 2 * a ^ 2 * raíz cuadrada (3)
r = (1/10) * s * sqrt (25 + 10 * sqrt (5)) R = (1/2) * a * raíz cuadrada (2)
r = (1/6) * a * raíz cuadrada (6)
Hexágono A = (3/2) * s ^ 2 * raíz cuadrada (3) Dodecaedro V = (1/4) * a ^ 3 * (15 + 7 * raíz cuadrada (5))
R = s S = 3 * a ^ 2 * raíz cuadrada (25 + 10 * raíz cuadrada (5))
r = (1/2) * s * raíz cuadrada (3) R = (1/4) * a * (raíz cuadrada (3) + raíz cuadrada (15))
r = (1/4) * a * raíz cuadrada ((50 + 22 * ​​raíz cuadrada (5)) / 5)
Octágono A = 2 * s ^ 2 * (1 + raíz cuadrada (2)) Icosaedro V = (5/12) * a ^ 3 * (3 + raíz cuadrada (5))
R = (1/2) * a * raíz cuadrada (4 + 2 * raíz cuadrada (2)) S = 5 * a ^ 2 * raíz cuadrada (3)
r = (1/2) * a * (1 + raíz cuadrada (2)) R = (1/4) * a * raíz cuadrada (10 + 2 * raíz cuadrada (5))
r = (1/2) * a * raíz cuadrada ((7 + 3 * raíz cuadrada (5)) / 6)
Decágono A = (5/2) * s ^ 2 * raíz cuadrada (5 + 2 * raíz cuadrada (5)) Esfera V = (4/3) * pi * a ^ 3
R = (1/2) * a * (1 + raíz cuadrada (5)) S = 4 * pi * a ^ 2
r = (1/2) * a * raíz cuadrada (5 + 2 * raíz cuadrada (5))
Cono S = (pi) * r * raíz cuadrada (r ^ 2 + h ^ 2) Radio del círculo inscrito en un triángulo R = raíz cuadrada [s * (s - a) * (s - b) * (s - c)] / s
donde s = (1/2) * (a + b + c)

Truco de magia --- Tome cualquier número entero mayor que 0. Tome la mitad si es par o triplíquelo y agregue uno si es impar. Repita una y otra vez. Siempre obtendrás el mismo resultado --- & gt 1.

Los cinco números más importantes en matemáticas en una ecuación

Por cierto, ¡puedes ver el valor de e hasta 10,000 dígitos AQUÍ! (Gracias a la Universidad de Utah)

Secuencias de enteros infinitos? ¡Hay toda una enciclopedia dedicada a ellos! ¡AQUÍ!

¡Primes! A partir de 2003, el número primo más grande conocido se ha verificado como 2 ^ 13466917 - 1. Conocido como el número 39º primo de Mersenne, es decir, de la forma 2 ^ p - 1, donde p también es primo, ¡tiene 4.053.946 dígitos enormes! ¡Puedes verlo aqui!

¡En febrero de 2005, se encontró una prima de Mersenne aún mayor! Sí, lo crea o no, el número primo 42 de Mersenne se verificó de forma independiente como 2 ^ 25,964,951-1, un número asombroso que tiene 7,816,230 dígitos increíbles. también hay un cartel disponible. Tendré que encontrar dónde.

¡¡ESPERE!! - NEWS FLASH - ¡En UCLA, se acaba de descubrir la 46th Mersenne Prime! ¡¡Su increíble valor tiene más de 13 millones de dígitos !! El número es 2 ^ 43,112,609 - 1. Ganaron un premio de $ 100,000 de la Electronic Frontier Foundation por encontrarlo. Es el octavo primo de Mersenne descubierto en UCLA.

Por cierto, llevan el nombre del matemático francés del siglo XVII Marin Mersenne, quien los descubrió.

Para obtener más información sobre los primos de Mersenne, ¡vaya AQUÍ!

A partir de febrero de 2013 - & gt MAYOR NÚMERO PRIME ENCONTRADO (48th Mersenne): prepárese para algunas respuestas aún más difíciles sobre
esas pruebas de matemáticas.Los matemáticos & # 8212 con la ayuda de una red gigante de computadoras & # 8212 dijeron el martes que habían descubierto el principal más grande
número & # 8212 y tiene 17.425.170 dígitos de longitud. Descubierto por el matemático Curtis Cooper de la Universidad de Central Missouri, el número & # 82122 elevado a
la potencia 57.885.161 menos 1 & # 8212 aplasta el último número primo descubierto, que tenía solo 12.978.189 dígitos. & # 8220Es & # 8217 es análogo a escalar el Monte
Everest, & # 8221, dijo el científico informático retirado George Woltman. El número también es el 48 de un raro grupo de primos conocidos como Mersenne Primes,
que toman la forma de 2 elevado a la potencia de un número primo menos 1 & # 8212 descrito por primera vez por el monje francés Mersenne hace 350 años. Hay un
artículo sobre esto AQUÍ.

¡Qué rebanada de pi! En 2005, el mayor cálculo de pi lo realizó el profesor Yasumasa Kanada y un equipo de investigadores que establecieron un nuevo récord mundial al calcular el valor de pi en 1,24 billones de lugares (eso es 1.240.000.000.000). El récord anterior, establecido por Canadá en 1999, fue de 206.158 mil millones de lugares. ¡lea sobre esto AQUÍ! ¡Para los primeros 100,000 dígitos de pi, vaya AQUÍ! ¡Incluso puedes buscar tu cumpleaños en pi! Intenta aquí. Un tipo incluso ha memorizado los primeros 40.000 dígitos de Pi. ¡lea sobre él y muchas otras hazañas de memoria increíbles AQUÍ!

También podemos conjurar pi de los números enteros, así:
pi ^ 2/6 = 1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + 1/4 ^ 2 + 1/5 ^ 2 +. . .
O podemos hacerlo solo con los números impares:
pi / 4 = 1 & # 8211 1/3 + 1/5 & # 8211 1/7 + 1/9 & # 8211 1/11 +. . .
O sus cuadrados:
pi ^ 2/8 = 1/1 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + 1/5 ^ 2 + 1/7 ^ 2 + 1/9 ^ 2 +. . .
O con pares y probabilidades combinados:
pi = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 *. . .

Programa C para calcular Pi --- Aquí hay un programa de 160 caracteres en C, escrito por D. T. Winter, que calculará los primeros 800 dígitos de pi:

Extrañas propiedades del 666, "El número de la bestia"

El último libro de la Biblia, Apocalipsis, menciona el número 666 como el número de la bestia relacionado con el fin de esta era y la venida del Mesías. Encontrará la referencia directa en el capítulo 13, versículo 18 de Apocalipsis. Además de esa referencia cataclísmica, el número 666 tiene bastantes propiedades muy interesantes.

(Mike Keith menciona que solo hay otros cinco números enteros positivos que exhiben esta propiedad. ¡Encuéntrelos!)

666 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2

666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 123 + 456 + 78 + 9 = 9 + 87 + 6 + 543 + 21

Además, 666 es igual a la suma de los cubos de los dígitos en su cuadrado (666 ^ 2 = 443556, y la suma de los cubos de estos dígitos es 4 ^ 3 + 4 ^ 3 + 3 ^ 3 + 5 ^ 3 + 5 ^ 3 + 6 ^ 3 = 621) más la suma de los dígitos en su cubo (666 ^ 3 = 295408296, y 2 + 9 + 5 + 4 + 0 + 8 + 2 + 9 + 6 = 45, y 621+ 45 = 666).

Increíblemente, el número 666 es igual a la suma de los dígitos de su potencia 47, y también es igual a la suma de los dígitos de su potencia 51. Es decir,

666 ^47 = 5049969684420796753173148798405564772941516295265
4081881176326689365404466160330686530288898927188
59670297563286219594665904733945856

666 ^51 = 9935407575913859403342635113412959807238586374694
3100899712069131346071328296758253023455821491848
0960748972838900637634215694097683599029436416

y la suma de los dígitos del lado derecho es, en ambos casos, 666. De hecho, el 666 es el único entero mayor que uno con esta propiedad. (Además, tenga en cuenta que de las dos potencias, 47 y 51, obtenemos (4 + 7) (5 + 1) = 66.)

El Sr. Keith también señala que si asignamos valores numéricos a las letras del alfabeto que comienzan con A = 36, B = 37, etc., encontramos que las letras de la palabra

Del colaborador James Watt llega lo siguiente: "Aquí hay algunas otras cosas interesantes sobre el 666 que parece tener
descubierto (ya que nunca encontré ninguna referencia en ningún otro lugar). 6 + 6 + 6 = 18 y 18 x 37 = 666.
De manera similar, 4 + 4 + 4 = 12. 12 x 37 = 444. etc. En números romanos (y los equivalentes griegos), que John habría usado
para escribirlos, es DCLXVI, el orden descendente secuencial exacto de los números romanos.
Ahora 1/81 = .012345679012345679012345679. Observe que falta el 8. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 37.
El otro 'número de la bestia' se llama número vulgar. Es 616. Si se utilizan números romanos 'vulgares' en
orden ascendente, los números romanos vulgares 616 son IVXCD. Falta la 'L' ".

Del colaborador Matt Westwood llega este hecho interesante: "666 es también el total de todos los números en un cuadrado mágico de 6x6. Es decir, es el número 36 del triángulo, siendo & ltmath & gtsum_^ <36> k & lt / math & gt. "También continúa mencionando" En una de las muchas ramas de la magia hermita que una vez estudié, los cuadrados mágicos de varios tamaños eran talismanes para las diversas influencias planetarias: 3x3: Saturno, 4x4 : Júpiter, 5x5: Marte, 6x6: Sol, 7x7: Venus, 8x8: Mercurio, 9x9: Luna. Un libro más reciente sobre el tema trató de convencer de que 11x11 era Neptuno, o algo así, pero esto está lejos de ser profundo: existe un algoritmo simple para crear * cualquier * cuadrado mágico de orden impar con números naturales consecutivos a partir de 1. Aunque yo Lo encontré profundo en el momento en que gané un boleto de rifa con el número 369 (el número del cuadrado de 9x9) el mismo día que me mudé a una nueva casa. Sume o reste n de cada dígito de cualquier cuadrado mágico y, por supuesto, seguirá siendo mágico ".

15) La respuesta del truco de magia de las cenizas

Este es mi truco de magia matemática favorito de todos los tiempos. Elija un entorno grupal como una gran cena familiar navideña, una conferencia informal con el maestro, una clase de matemáticas o incluso una fiesta. Necesitará un lápiz, dos hojas de papel del tamaño de una libreta, un cenicero grande vacío, algunos fósforos o un encendedor y una pastilla de jabón.

Preparación: Diez minutos antes de comenzar el truco, discúlpate y ve al baño. Allí toma una pastilla de jabón en la mano y con la esquina del extremo humedecido, dibuja con cuidado el número 1089 encima de su antebrazo izquierdo. Déjelo secar al aire.

Cuando comience este truco, pregunte por alguien en su audiencia que crea que tiene la habilidad de ESP y puede hacer sumas y restas correctamente. ¡Lo que es aún mejor es pedirle a ese tío o abuelo rico que haga el truco contigo!

Paso 1) Dígales que elijan cualquier número de tres dígitos donde el primer y último dígito difieran en dos o más. Escríbalo en la primera hoja de papel. Números como 187, 249, 386 están bien, pero números como 172, 584 y 928 no lo son.

Paso 2) Dígales que inviertan los dígitos y resten el número menor del mayor. Por ejemplo, si inicialmente eligieran 672 como su número, estarían restando 276 del 672 para obtener 396.

Paso 3) Luego dígales que inviertan los dígitos de la diferencia que encontraron y que ahora los sumen. En nuestro ejemplo, agregaría 693 a 396. (Por supuesto, observe que el total será 1089. gran sorpresa, ¿eh?)

Paso 4) Dígales que verifiquen su trabajo y que muestren a todos el resultado final cuando les dé la espalda. Luego dígales que escriban el resultado final bonito y grande en la segunda hoja de papel.

Paso 5) Dígales que doblen ambas hojas de papel tres o cuatro veces para que no pueda ver lo que está escrito en ellas.

Paso 6) Coloque ambos trozos de papel en el cenicero grande, enciéndalos y queme completamente hasta convertirlos en cenizas.

Paso 7) Dígale a su marca que se concentre intensamente en el número del resultado final y dígale a su audiencia que adivinará el número directamente de las cenizas. Entra en tu acto de Kreskin. Luego, recoja algunas cenizas y frótelas directamente sobre su brazo escrito en jabón. A medida que continúe frotando las cenizas, se pegarán al jabón seco y, increíblemente, la respuesta. 1089 aparecerá en tu brazo !!

¡Vence a tu calculadora! --- Si usted es una de esas personas que siente que es algo degradante usar una calculadora para hacer multiplicaciones simples de dos dígitos u otras tareas matemáticas simples, ¡esta página es para usted! ¡Ven aquí!

Página 17 --- Para aquellos de ustedes que aman el número 17, hay una página web completa dedicada a él. ¡AQUÍ!

¿Números más grandes que un Googolplex? --- Bueno, sí, las hay! De hecho, bastantes. pero déjeme que un experto describa el número de Graham, la notación de Knuth, la función de Ackerman, la notación de Conway y el número de Moser: ¡AQUÍ!

La música en los números --- ¿Sabías que la música fractal se produce usando números puros? Lars Kindermann de la Universidad de Erlangen ha producido MusiNum, un programa para PC que hace precisamente eso. ¡Ven aquí!

La lista cronológica de matemáticos --- Hay una lista de todos los matemáticos famosos, casi famosos y no tan famosos que jamás hayan existido. comenzando alrededor de 1650 a.C. al presente. ¡Compruébalo AQUÍ!

Método de Newton para calcular una raíz cuadrada: este método implica un poco de multiplicar y dividir, pero llegará a la raíz cuadrada precisa con el tiempo y las pruebas:

Paso 1) Sea X el número del cual desea encontrar la raíz cuadrada. Sea G su mejor estimación en cada etapa del cálculo.
Paso 2) Para encontrar la siguiente G, llámala G ', estableces G' igual a:

Paso 3) Esta G 'se convierte en su próxima G. Itere, es decir, repita el cálculo una y otra vez (como se muestra a continuación), y finalmente llegará a la raíz cuadrada que busca.

Si está interesado en métodos que puede emplear para encontrar raíces cúbicas, ¡vaya AQUÍ o AQUÍ!

¿En qué día de la semana nació? --- A pesar de que estaba allí en el momento de su nacimiento, es posible que no recuerde exactamente qué día de la semana fue. De hecho, este método no solo lo ayudará a averiguarlo, sino que también puede averiguar el día de la semana para cualquier fecha que desee en el siglo XX. Aquí hay un pequeño truco para ayudarlo a determinar qué día fue ese:

Paso 1) Escriba los dos últimos dígitos del año en que nació. Llámalo A.
Paso 2) Divida ese número, es decir, divida A entre cuatro. Suelta el resto si hay uno.
Llame a esta respuesta, sin el resto, B.
Paso 3) Encuentre el número de mes correspondiente al mes en el que nació en la tabla a continuación. Llámalo C.
Paso 4) Oh, la fecha en la que naciste, llámala D. (Si nació el día 12, llame al D 12.)
Paso 5) Ahora agregue A + B + C + D. Divida esta suma por 7. El resto que obtiene es la clave del día de la semana.
Paso 6) En la tabla de días a continuación, haga coincidir el resto con el día de la semana en que nació.
NOTA: Este truco funcionará para cualquier fecha del siglo XX.

TABLA DE MESES TABLA DE DÍAS
Domingo = 1
Enero = 1 (0 en años bisiestos) Julio = 0 Lunes = 2
Febrero = 4 (3 en años bisiestos) Agosto = 3 Martes = 3
Marzo = 4 Septiembre = 6 Miércoles = 4
Abril = 0 Octubre = 1 Jueves = 5
Mayo = 2 Noviembre = 4 Viernes = 6
Junio ​​= 5 Diciembre = 6 Sábado = 0

De Arthur Overton llega una versión mejorada de esto que le permitirá buscar el día de la semana para CUALQUIER año d.C., no solo los del siglo XX. gracias amablemente Arthur!

Paso 1) Escriba los dos últimos dígitos del año. Llámalo A.
Paso 2) Divida ese número por cuatro dejando caer el resto, llame a esta respuesta B.
Paso 3) Encuentre el número de mes correspondiente al mes en la tabla a continuación. Llámalo C.
Paso 4) El día lo llamo D.
Paso 5) Tome el número de siglo del año y divídalo por cuatro.
Si el resto es 0 entonces E = 6
Si el resto es 1 entonces E = 4
Si el resto es 2 entonces E = 2
Si el resto es 3 entonces E = 0
Paso 6) Ahora agregue A + B + C + D + E. Divida esta suma por 7. El resto que obtiene es la clave del día de la semana.
Paso 7) En la tabla de días a continuación, haga coincidir el resto con el día de la semana.

TABLA DE MESES TABLA DE DÍAS ** AÑOS BISIESTOS
Domingo = 1 Si el año divide 400, sí
Jan = 1 (0 en año bisiesto) Julio = 0 Lunes = 2 Si el año divide 100, no
Feb = 4 (3 en año bisiesto) Agosto = 3 Martes = 3 Si el año se divide en 4, sí
Mar = 4 Septiembre = 6 Miércoles = 4 Si el año no divide 4, no
Abril = 0 Oct = 1 Jueves = 5
Mayo = 2 Noviembre = 4 Viernes = 6
Junio ​​= 5 Dic = 6 Sábado = 0

** De Alison viene este comentario: "En el método Overton mejorado, para determinar qué día de la semana en función de la fecha de nacimiento, parece que la tabla que relaciona el resto después de la división por 7 con los días de la semana está compensada por un día. I creo que debería leer Domingo = 0, Lunes = 1, Martes = 2, etc. " ¡GRACIAS ALISON!

Números amistosos --- Hay algunos pares de números que tienen una afinidad muy peculiar entre sí y son los llamados "números amistosos". Tomemos, por ejemplo, el par de números 220 y 284. Resulta que todos los factores de 220, es decir, los menores que él mismo, suman 284. Y, sorprendentemente, los factores de 284 suman 220. Solo conozco otros tres pares como estos: 1.184 y 1.210 (descubierto por un italiano de 16 años llamado Nicolo Paganini), 17.296 y 18.416, y el par grande 9.363.584 y 9.437.056. ¿Puedes encontrar otros?

Increíbles calculadoras humanas --- Oh, es posible que conozca a alguien que puede hacer problemas de multiplicación de dos o incluso tres lugares en su cabeza, y hay quienes pueden sumar más rápido que usted con una calculadora electrónica, pero ¿conoce las historias? de Zerah Colburn y Truman Henry Safford?

Zerah Colburn nació en 1804, hijo de un granjero de Vermont. A la edad de ocho años, estaba dando exhibiciones matemáticas en Inglaterra donde un miembro de la audiencia le pidió que calculara 8 elevado a 16. Dio la respuesta correcta 281,474,976,710,656 en unos treinta segundos y hizo llorar a la asombrada audiencia. Zerah finalmente se quedó en Inglaterra, recibió su educación formal allí, pero extrañamente sus increíbles habilidades de cálculo disminuyeron a medida que envejecía. Murió en 1840, con tan solo 36 años, tras una vida de enseñar griego, latín, francés, español e inglés en Estados Unidos, no sin antes escribir su autobiografía en la que esboza sus métodos de cálculo.

Otro prodigio calculador, Truman Henry Safford, nació en 1836, casualmente en Vermont. Cuando tenía diez años, el reverendo H. W. Adam le dio un problema en la iglesia: ¡Multiplique en su cabeza 365,365,365,365,365,365 por sí mismo! Según el propio relato del buen reverendo, Truman "volaba por la habitación como un trompo, poniéndose los pantalones por encima de las botas, mordiéndose las manos, poniendo los ojos en blanco, a veces sonriendo y hablando, y luego pareciendo estar en agonía." Sin embargo, en menos de un minuto se le ocurrió la respuesta correcta: 133,491,850,208,566,925,016,658,299,941,583,225. El niño admitió que estaba agotado después de este cálculo. Nunca hizo ninguna exhibición pública, fue a la universidad, estudió astronomía y, como Zerah Colburn, perdió gran parte de sus increíbles habilidades a medida que envejecía. Murió en 1901.

Ha habido otros niños prodigios famosos y no tan famosos como John Wallis, el gran Johann Carl Friedrich Gauss, Andrés Marie Ampere, George Parker Bidder (Senior y Junior), Johann Martin, Zacharias Dase, Jacques Inaudi y Shakuntale. Devi. AQUÍ se puede encontrar una buena lista y una descripción de otros niños prodigios matemáticos.

Datos interesantes y poco conocidos de álgebra y geometría --- Aquí hay algunos pequeños datos útiles y útiles que evaden a la mayoría de los estudiantes y profesores de álgebra y geometría:

El tetraedro mágico (muchas gracias a R. Leo Gillis) --- Aquí hay un buen truco que involucra todos los números del 1 al 26, y tres de los cinco sólidos platónicos, las formas poliédricas más básicas. Empecemos por el tetraedro. Un tetraedro, a veces llamado pirámide triangular, es una forma formada por cuatro esquinas, cuatro caras triangulares equiláteras y seis bordes. Dado que cada cara es un triángulo, también tiene un total de 12 ángulos en sus cuatro caras. Entonces, el tetraedro tiene un total de 26 componentes (4 esquinas + 4 caras + 6 bordes + 12 ángulos = 26). Estos componentes se pueden numerar del 1 al 26 de forma especial.

La base del truco es usar tres pares de números para crear un valor para cada parte del tetraedro. Los tres pares son: 1 y 2, 3 y 6, 9 y 18. Estos seis números se colocarán en los seis bordes del tetraedro. Cada borde siempre está directamente opuesto a otro borde, es decir, si dibuja una línea a través del centro del objeto comenzando desde un borde, siempre llegará a otro borde en el lado opuesto.

Seleccione cualquier borde y coloque el número 1 en él. En el borde opuesto coloque el número 2. Seleccione cualquiera de los bordes restantes y coloque el número 3 en él, y luego coloque el número 6 en el borde opuesto. En los dos últimos bordes coloque los números 9 y 18. Ahora está listo para determinar el resto de los números y dónde van en el tetraedro.

Cada esquina tiene tres bordes que se unen. Sume el valor de los tres bordes y dé ese número a la esquina. Cada lado tiene tres bordes que lo rodean. Suma el valor de las tres aristas y dale ese número a la cara. Cada ángulo de las caras está formado por dos bordes que se encuentran allí. Suma el valor de estos dos bordes y da ese número al ángulo.

Cuando haya terminado, descubrirá que ha utilizado todos los números del 1 al 26 sin repetir ningún número. Hay dos posibles tetraedros que se pueden hacer de esta manera. ¿Puedes encontrarlos a ambos?

Este truco también se puede hacer en un cubo, pero sin utilizar los ángulos de las caras. Un cubo tiene seis caras, ocho esquinas y doce aristas 6 + 8 + 12 = 26. Usando los mismos tres pares de números con los que comenzamos arriba, podemos dar valores a las seis caras. Coloque el número 1 en una cara y el número 2 en la cara opuesta. Coloque el número 3 en cualquiera de las caras restantes y el número 6 en la cara opuesta. Luego coloque los números 9 y 18 en las caras restantes.

Al igual que antes, sumaremos estos seis números para crear todos los demás. Cada borde de un cubo es el lugar de encuentro de dos caras. Suma los números de estas dos caras y da ese total al borde. Cada rincón de un cubo es el lugar de encuentro de tres caras. Suma los números de estas caras y da ese total a la esquina. Haga esto para todas las partes del cubo y usará todos los números del 1 al 26 sin repeticiones. A diferencia del tetraedro, solo hay una forma de lograr esta hazaña en un cubo.

La técnica también funcionará en el octaedro, que tiene seis esquinas, ocho lados y doce bordes 6 + 8 + 12 = 26. En este caso, los tres pares de números opuestos se colocan en las seis esquinas del octaedro. Como antes, coloque 1 y 2 en esquinas opuestas, 3 y 6 en esquinas opuestas y 9 y 18 en las esquinas restantes. Cada uno de los doce bordes del octaedro conecta dos esquinas. Suma estas dos esquinas para encontrar el número de ese borde. Cada uno de los ocho lados triangulares del octaedro está rodeado por tres esquinas. Suma esas tres esquinas para obtener el valor de ese lado. Cuando lo hayas completado, habrás usado nuevamente todos los números del 1 al 26 sin repeticiones. Al igual que con el cubo, solo hay una forma de lograrlo.

El observador agudo habrá notado que el conjunto especial de 3 pares opuestos se usa para los bordes de un tetraedro, las caras de un cubo y las esquinas de un octaedro, lo que puede revelar algo importante sobre las relaciones de los puntos en el espacio.Además, para el solucionador de acertijos empedernido, las soluciones a las cifras anteriores pueden escribirse en números de Base 3, con resultados muy interesantes.

500 dígitos de e - Nombrado en honor al mundialmente famoso matemático y niño prodigio extremo Leonhard Euler, la base logarítmica natural tiene innumerables aplicaciones en todos los campos de la ciencia, los negocios y las matemáticas. aquí están solo los primeros 500 dígitos más o menos.

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249
77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713
82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043
57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988
07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675
09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107
53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204
49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306
96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389
78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163
68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698
95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793
32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068
32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173

Interferencia de formas de onda sinusoidales, etc. - Existe un sitio que le mostrará gráficamente cómo interactúan dos sinusoides, ya sean en fase o nuestra de fase, ya sean de la misma amplitud o diferentes, o de la misma longitud de onda o diferentes. muy instructivo. ve a verlo AQUÍ. El mismo profesor que me presentó esta página también tiene una página para explicar las funciones "amortiguadas", un fenómeno muy importante en prácticamente todas las disciplinas de la ingeniería. puedes verlo aqui.

El último teorema de Fermat - La prueba - Aquí hay un enlace al sitio web Nova On Line de PBS que describe la búsqueda de 350 años de la prueba de uno de los mayores misterios de las matemáticas. Lo puedes encontrar aquí.

El rompecabezas de los cuatro 4: cuando estaba enseñando matemáticas SAT, tuve la oportunidad de probar este rompecabezas. la idea es que usando cuatro 4 y cualquier combinación de operaciones matemáticas, se pueden escribir expresiones que igualen los valores de 0 a 100 como respuesta. Ahora lo terminé y mis notas están en algún lugar del archivador de mi salón de clases, pero encontré un lugar donde se enumera una solución. así que AQUÍ vas. ¡Prueba tu propia mano antes de hacer trampa! ¡Es más divertido así!

Magic Squares: hay varios sitios web dedicados a estas pequeñas gemas. ya sabes, las cuadrículas cuadradas de números donde las filas, columnas y diagonales suman el mismo número. Bueno, te impresionará lo lejos que te puede llevar un pequeño concepto como ese. prueba AQUÍ, o tal vez AQUÍ. incluso AQUÍ para un montón de enlaces cuadrados mágicos. incluso encontrar su historia está AQUÍ.

La enciclopedia de poliedros: aunque incluyo algunos poliedros muy interesantes con texturas mapeadas con fractales en algunas de mis composiciones fractales, e incluso muestro algunos en páginas de galería separadas, apenas les doy la atención extremadamente completa que George Hart hace en su impresionante sitio web. ven aquí. encontrarás miles, sí miles de poliedros de realidad virtual para explorar y disfrutar. mucha diversión matemática muy interesante seguro.

Aritmética de Chisenbop: hace muchos años, me encontré con un joven estudiante coreano en mi clase que me mostró un conjunto de formas realmente ingeniosas de hacer aritmética con los dedos. multiplicar, sumar, realmente bastante intrigante y tan simple que, bueno, un niño podría aprenderlos. no fue hasta quizás diez años después que volví a saber de él. se llama Chisenbop. lo crea o no, incluso hay un sitio web dedicado a ello. Aquí lo tienes.

Chisenbop Multiplicar por 9

Extienda las manos frente a usted de modo que los pulgares apunten el uno hacia el otro.

Visualiza que tu dedo meñique izquierdo representa 1, el siguiente dedo 2, y así de izquierda a derecha, hasta que tu dedo meñique derecho represente 10. Esos dedos representan el número que deseas multiplicar por 9. Para hacerlo, simplemente baja el dedo. desea multiplicar por 9. Todos los dedos a la izquierda del dedo hacia abajo representan el dígito de las decenas de la respuesta, mientras que todos los dedos a la derecha representan el dígito de las unidades.

Ejemplo: 6 x 9. Ponga el dedo que representa el 6 hacia abajo (el pulgar de la mano derecha). A la izquierda del dedo hacia abajo, tiene 5 dedos hacia arriba. Ese es tu dígito de las decenas, 5. A la derecha, tienes 4 dedos hacia arriba. Ahí está el dígito de las unidades, 4. Ponlos juntos y tienes tu respuesta: 54. Muy lindo.

Curiosidades aritméticas: aquí hay algunos patrones interesantes en aritmética que usted o sus estudiantes pueden explorar. Verifique estos resultados con papel y lápiz o con calculadora (si es necesario):

1 x 9 + 2 = 11 9 x 9 + 7 = 88 9 x 9 = 81 6 x 7 = 42
12 x 9 + 3 = 111 98 x 9 + 6 = 888 99 x 99 = 9801 66 x 67 = 4422
123 x 9 + 4 = 1111 987 x 9 + 5 = 8888 999 x 999 = 998001 666 x 667 = 444222
1234 x 9 + 5 = 11111 9876 x 9 + 4 = 88888 9999 x 9999 = 99980001 6666 x 6667 = 44442222

Usos más antiguos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas: ¡AQUÍ hay un sitio que lo dice todo!

Un número primo extraño: el número primo 73,939,133 tiene una propiedad muy extraña. Si sigue quitando un dígito del extremo derecho del número, cada uno de los números restantes también es primo. Es el número más grande conocido con esta propiedad. Eche un vistazo: ¡73,939,133 y 73,939,13 y 73,939,1 y 73,939 y 7,393 y 739 y 73 y 7 son todos prime! (Gracias a Toby Howard)

Torres de Hanoi - Torre de Brahma - Las torres de Hanoi Puzzle fue inventado en 1883 por Edouard Lucas, un matemático francés. Este rompecabezas se vendió originalmente como un juguete y se describió como una versión simplificada de la "Torre de Brahma".

Cuenta la leyenda que la mítica Torre de Brahma, en la ciudad india de Benarés, tiene un poste con 64 discos de oro apilados en tamaños decrecientes. Se dice que estos discos son movidos, uno a la vez, por los sacerdotes del templo hindú desde el poste original a uno de los otros dos postes, y un disco más grande nunca se coloca encima de un disco más pequeño. Se dijo que para cuando los 64 discos hayan sido transferidos a otra publicación en el orden original, el templo se convertirá en polvo y la tierra desaparecerá.

A una velocidad de movimiento de 1 disco por segundo durante todo el día, se estima que tomará alrededor de 585 mil millones de años completar la transferencia de los discos de oro en la Torre de Brahma. Esto se calculó usando la fórmula: X = 2 ^ n - 1, donde X es el número de movimientos requeridos y donde n es el número de discos que se moverán.

Multiplicación "práctica" - Justo cuando pensaba que lo sabía todo (risas), alguien vino y me mostró una forma muy "práctica" de memorizar y aprender la tabla de multiplicar, pensada para los seis hasta las decenas.

Lo que debe hacer es esto: levante las manos frente a usted, las palmas hacia usted. Numere cada meñique 6, dedo anular 7, hombre alto 8, puntero 9 y pulgar 10. Suena tonto, lo sé, pero es genial.

Digamos que desea multiplicar 9 x 7. Está bien, toque el dedo anular (el 7) de una mano con el puntero (el 9) de la otra mano, y haga una línea horizontal, uniéndolos. ahora pregunte: "¿Cuántos dedos hay en esta línea o debajo?" Bueno, hay seis. Ese es el dígito de las decenas de su respuesta. Ahora mire los dedos por encima de la línea. multiplícalos. 1 por 3 es 3. ese es su dígito de unidades. por lo tanto, 9 x 7 = 63. muy bien, ¿eh?

Numerología: este es uno de los sitios web más extensos dedicados a la numerología que he visto == & gt The Number Wizard

Números triangulares: un grupo interesante de números se llama números triangulares. Estos números son aquellos "que se pueden representar en forma de una cuadrícula triangular de puntos donde la primera fila contiene un solo elemento y cada fila siguiente contiene un elemento más que la anterior". Puede encontrar una discusión completa de ellos AQUÍ.

Nick Hobson señala que puedes "Tomar cualquier número triangular y agregar el dígito 1. Por ejemplo, el número 100 triangular es 5050, por lo que obtenemos 50501. Luego, todos los divisores del número resultante terminan en 1 o 9. Al principio A la vista, parecería que un divisor podría terminar en 3 o 7, ¡pero esto nunca sucede! Por ejemplo, 50501 tiene los divisores 1, 11, 4591 y 50501. Vea la solución a mi rompecabezas 149 (http://www.qbyte.org /puzzles/puzzle15.html#p149) para obtener más explicaciones ".

También señala que 666 (ver la discusión sobre ESE número arriba) es el número triangular más grande que consta del mismo dígito.

Medidas caprichosas: ahora sé que han estado circulando por Internet durante muchos años. Recientemente, alguien me envió un grupo de gran tamaño de estos pequeños factores de conversión divertidos. algunos de los cuales son bastante inteligentes. mira lo que piensas.

Método fascinante para encontrar Pi - De Jonas Castillo Toloza de Colombia viene este método interesante para encontrar pi. me ha enviado numerosas curiosidades matemáticas en el pasado. Simplemente no tengo tiempo para mirarlos todos con detenimiento.

Usando denominadores numéricos "triangulares", sostiene que

pi - 2 = 1/1 + 1/3 - 1/6 - 1/10 + 1/15 + 1/21 -.

Observe los dos términos positivos seguidos de dos negativos, etc., algo bastante inusual. y los números "triangulares" son aquellos que son generados por n (n + 1) / 2.

Su prueba es algo así. sea ​​A igual a la suma de los términos impares y B sea la suma de los términos pares, es decir:

A = 1/1 - 1/6 + 1/15 -.
B = 1/3 - 1/10 + 1/21 -.

Ahora A = 2 / (1 * 2) - 2 / (3 * 4) + 2 / (5 * 6) - 2 / (7 * 8) +.

A = (2/1 - 2/2) - (2/3 - 2/4) + (2/5 - 2/6) - (2/7 - 2/8) +.

Ahora bien, si unimos los términos con denominadores pares, obtiene

y eso es igual a (- log 2) según la conocida expansión

log (1 + x) = x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - x ^ 4/4 + x ^ 5/5 -.

Los términos con denominadores impares son

que es igual a pi / 2, según una conocida expansión de pi.

B = 2 / (2 * 3) - 2 / (4 * 5) + 2 / (6 * 7) - 2 / (8 * 9) +.

B = (2/2 - 2/3) - (2/4 - 2/5) + (2/6 - 2/7) - (2/8 - 2/9) +.

Si unimos los términos con denominadores pares, obtenemos

1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - .

que es igual a log 2.

Los términos con denominadores impares son iguales a

- 2/3 + 2/5 - 2/7 + 2/9 - 2/11 + 2/13 - 2/15 + .

que es igual a pi / 2 - 2

Por tanto, B = pi / 2 - 2 + log.

Si unimos las dos partes A y Bm obtenemos

A + B = pi / 2 - log 2 + pi / 2 - 2 + log 2 = pi - 2.

Gracias a Cándido Otero por avisarme.

Más del Sr. Otero: Aquí están los archivos adjuntos ARCTANGENT.PDF ARCSINE.PDF y PI_HOBBES.PDF,
¿Dónde están las nuevas fórmulas que calculan las funciones, Arcano y Arcoseno,
y la fórmula que está en el archivo PI_HOBBES.PDF para calcular PI dividido por
cualquier número real x.

Los otros archivos, PIHOBBES2.PDF PIHOBBES3.PDF y HOBBES.PDF, son casos especiales que
aplicar a la fórmula que está en el archivo, PI_HOBBES.PDF.

El fenómeno de CoPrimes (gracias al hijo de Eileen)

Imagina que tienes dos grandes pilas de sellos. Una pila está formada por sellos por valor de 3 céntimos cada uno, mientras que la otra pila está formada enteramente por sellos de 5 céntimos.
Este año, el franqueo es de 8 centavos, pero el servicio postal ha decretado que el franqueo aumentará en 1 centavo cada año durante el resto del tiempo (gracias, Obama).
y debes pagar el precio exacto. Así que el año que viene, el franqueo será de 9 centavos, el año siguiente de 10 centavos, luego de 11 centavos y así sucesivamente. Ya que solo tienes 3 & centavo
y sellos de 5 centavos, ¿en qué años no podrá enviar cartas porque no puede calcular el costo exacto del envío?

La respuesta es nunca. Nunca podrá enviar una carta, porque cualquier entero positivo mayor que 7 puede formarse con alguna combinación de 3 y 5:
8 = 3 + 5
9 = 3 y multiplicado por 3
10 = 5 y multiplicado por 2
11 = 5 + 3 y multiplicado por 2
1236 = 5 y multiplicado por 246 + 3 y multiplicado por 2
etc.

Este es un fenómeno ridículamente genial asociado con números coprimos y números mdash cuyo único divisor común es uno. Dos números coprimos ayb
se puede combinar para formar cualquier número entero positivo cuyo valor sea mayor que ab & ndash (a + b). Las combinaciones de 3 y 5 pueden hacer que cualquier número sea mayor que 7 2 y 7
puede hacer cualquier número mayor que 5 73 y 182 puede hacer cualquier número mayor que 13,031 y así sucesivamente.

El problema del cumpleaños (gracias al hijo de Eileen)

Un poco de probabilidad genial que sería divertido de llevar a cabo en las fiestas, si vas al tipo correcto de fiestas y mdash o al tipo incorrecto, probablemente (¿entiendes? ¿Probablemente? ¿Eh? ¿Ehhh?):
En una sala llena de cincuenta personas, ¿cuál es la probabilidad de que dos personas tengan el mismo cumpleaños?
Piensa en ello un segundo. Hay 365 días en el año (este es un mundo matemático idealizado, por lo que los años bisiestos no existen), y solo cincuenta personas en la sala.
no lo suficiente para garantizar que todos los días estén cubiertos, ¿verdad?

Bueno, cierto, pero eso no es lo que pregunta la pregunta. Queremos saber si dos personas comparten un cumpleaños, no si dos personas nacen en un día determinado.
Suponiendo una distribución uniforme de los cumpleaños a lo largo del año (lo cual no es totalmente cierto, pero lo que sea), vamos a encontrar la posibilidad de que dos personas en la habitación no compartan
un cumpleaños. Para hacer eso, comenzamos con la segunda persona en la habitación. La posibilidad de que la segunda persona comparta un cumpleaños con la primera persona en la habitación es una de 365 & mdash
pero la posibilidad de que no compartan un cumpleaños es 364/365. La probabilidad de que la tercera persona no comparta su cumpleaños con la primera o la segunda persona es 363/365.

La cuarta persona tiene una probabilidad de 362/365 de no compartir un cumpleaños, y así sucesivamente, hasta que llegue a la quincuagésima persona, que tiene una probabilidad de 316/365 de nacer en un día único.
Dado que la fecha de nacimiento de todas las personas es independiente entre sí (para simplificar, debemos asumir que no hay pactos de embarazo parentales extraños entre los padres de las personas en la habitación), para encontrar la probabilidad total de que dos personas no compartan un cumpleaños, tenemos que multiplicar todas estas probabilidades individuales. Imagínese lanzar una moneda, que es el evento arquetípico independiente y mdash, la probabilidad de obtener cara es 1/2, pero la posibilidad de obtener dos caras seguidas es 1/2 x 1/2 = 1/4, y así sucesivamente. Eso significa que tenemos:

O, usando el operador factorial y reordenando:

Dado que las probabilidades siempre tienen que sumar el 100%, la probabilidad de que al menos dos personas compartan un cumpleaños es uno menos este resultado y mdash, que equivale al 97% (!). Eso significa que, en una variedad aleatoria de solo cincuenta personas, tener dos personas compartiendo un cumpleaños es casi una certeza.

De hecho, con solo 23 personas en una habitación, hay más de un 50% de posibilidades de que dos de ellos compartan cumpleaños. ¡Matemáticas!


Ver el vídeo: Clase Matemática UBA XXI - Composición de funciones. función inversa función monótona - Profe Eze (Septiembre 2021).