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8.2.2 Gráficos de puntos - Matemáticas


Lección

Investiguemos lo que nos pueden decir los diagramas de puntos y los gráficos de barras.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Ingredientes para pizza (Parte 1)

A quince clientes de una pizzería se les preguntó: "¿Cuántos aderezos agregaste a tu pizza de queso?" Aquí están sus respuestas:

(1 qquad 2 qquad 1 qquad 3 qquad 0 qquad1 qquad 1 qquad 2 qquad 0 qquad 3 qquad 0 qquad 0 qquad 1 qquad 2 qquad 2 )

  1. ¿Podrías usar un diagrama de puntos para representar los datos? Explica tu razonamiento.
  2. Completa la tabla.
número de coberturasfrecuencia (número)
(0)
(1)
(2)
(3)
Tabla ( PageIndex {1} )

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Ingredientes para pizza (Parte 2)

  1. Utilice las tablas del calentamiento para mostrar el número de ingredientes como un diagrama de puntos. Etiqueta tu dibujo claramente.
  1. Utilice su diagrama de puntos para estudiar la distribución de la cantidad de ingredientes. ¿Qué notas sobre la cantidad de ingredientes que pidió este grupo de clientes? Escriba de 2 a 3 oraciones que resuman sus observaciones.

¿Estás listo para más?

Piense en una pregunta estadística que pueda responderse con los datos sobre el número de ingredientes ordenados, como se muestra en el diagrama de puntos. Entonces responde esta pregunta.

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Hora de la tarea

Veinticinco estudiantes de sexto grado respondieron la pregunta: "¿Cuántas horas por lo general dedica a la tarea cada semana?"

Este diagrama de puntos muestra la cantidad de horas por semana que estos 25 estudiantes informaron gastar en tareas.

Usa el diagrama de puntos para responder las siguientes preguntas. Para cada uno, muestre o explique su razonamiento.

  1. ¿Qué porcentaje de los estudiantes informó dedicar 1 hora a la tarea cada semana?
  2. ¿Qué porcentaje de los estudiantes informó dedicar 4 horas o menos a la tarea cada semana?
  3. ¿Sería 6 horas por semana una buena descripción de la cantidad de horas que este grupo de estudiantes dedica a la tarea por semana? ¿Qué tal 1 hora por semana? Explica tu razonamiento.
  4. ¿Qué valor crees que sería una buena descripción del tiempo de tarea de los estudiantes de este grupo? Explica tu razonamiento.
  5. Alguien dijo: "En general, estos estudiantes pasan aproximadamente la misma cantidad de horas haciendo la tarea". ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.

Resumen

A menudo recopilamos y analizamos datos porque estamos interesados ​​en aprender qué es "típico" o qué es común y se puede esperar en un grupo.

A veces es fácil saber qué es un miembro típico del grupo. Por ejemplo, podemos decir que una forma típica en este conjunto es un círculo grande.

Sin embargo, solo mirar a los miembros de un grupo no siempre nos dice lo que es típico. Por ejemplo, si nos interesa la longitud de los lados típica de los cuadrados de este conjunto, no es fácil hacerlo con solo estudiar el conjunto visualmente.

En una situación como esta, es útil reunir las longitudes de los lados de los cuadrados en el conjunto y observar su distribución, como se muestra en este diagrama de puntos.

Podemos ver que muchos de los puntos de datos están entre 2 y 4, por lo que podríamos decir que las longitudes de los lados entre 2 y 4 centímetros o cercanas a estas longitudes son típicas de los cuadrados de este conjunto.

Entradas del glosario

Definición: Distribución

La distribución indica cuántas veces ocurre cada valor en un conjunto de datos. Por ejemplo, en el conjunto de datos azul, azul, verde, azul, naranja, la distribución es 3 azules, 1 verde y 1 naranja.

Aquí hay un diagrama de puntos que muestra la distribución para el conjunto de datos 6, 10, 7, 35, 7, 36, 32, 10, 7, 35.

Definición: Frecuencia

La frecuencia de un valor de datos es cuántas veces ocurre en el conjunto de datos.

Por ejemplo, había 20 perros en un parque. La tabla muestra la frecuencia de cada color.

colorfrecuencia
blanco(4)
marrón(7)
negro(3)
multicolor(6)
Tabla ( PageIndex {2} )

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Clare registró la cantidad de tiempo que los estudiantes de sexto, octavo y décimo grado dedicaron a hacer la tarea, en horas por semana. Hizo un diagrama de puntos de los datos para cada grado y proporcionó el siguiente resumen.

  • Los estudiantes de sexto grado tienden a dedicar menos tiempo a la tarea que los estudiantes de octavo y décimo grado.
  • Los tiempos de tarea para los estudiantes de décimo grado son más parecidos que los tiempos de tarea para los estudiantes de octavo grado.

Utilice el resumen de Clare para hacer coincidir cada diagrama de puntos con el grado correcto (sexto, octavo o décimo).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Mai jugó 10 partidos de baloncesto. Ella registró la cantidad de puntos que obtuvo e hizo un diagrama de puntos. Mai dijo que anotó entre 8 y 14 puntos en la mayoría de los 10 juegos, pero un juego fue excepcional. Durante ese juego, anotó más del doble de su puntuación típica de 9 puntos. Usa la recta numérica para hacer un diagrama de puntos que se ajuste a la descripción que dio Mai.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Un cine muestra tres películas diferentes. Los gráficos de puntos representan las edades de las personas que estuvieron en la proyección del sábado por la tarde de cada una de estas películas.

  1. Una de estas películas fue una película animada con clasificación G para el público en general. ¿Crees que fue la película A, B o C? Explica tu razonamiento.
  2. ¿Qué película tiene un diagrama de puntos con edades que se centran en aproximadamente 30 años?
  3. ¿Cuál es la edad típica de las personas que asistieron a la película A?

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Calcula el valor de cada expresión.

  1. (3.727+1.384)
  2. (3.727-1.384)
  3. (5.01 cdot 4.8 )
  4. (5.01 div 4.8 )

(De la Unidad 5.4.5)


Matemáticas. Método Atan2 (doble, doble)

Alguna información se relaciona con el producto en versión preliminar que puede modificarse sustancialmente antes de su lanzamiento. Microsoft no ofrece ninguna garantía, expresa o implícita, con respecto a la información proporcionada aquí.

Devuelve el ángulo cuya tangente es el cociente de dos números especificados.

Parámetros

La coordenada y de un punto.

La coordenada x de un punto.

Devoluciones

Un ángulo, θ, medido en radianes, tal que -π ≤ θ ≤ π, y tan (θ) = y / x, donde (x, y) es un punto en el plano cartesiano. Observe lo siguiente:

Para (x, y) en el cuadrante 1, 0 & lt θ & lt π / 2.

Para (x, y) en el cuadrante 2, π / 2 & lt θ ≤ π.

Para (x, y) en el cuadrante 3, -π & lt θ & lt -π / 2.

Para (x, y) en el cuadrante 4, -π / 2 & lt θ & lt 0.

Para los puntos en los límites de los cuadrantes, el valor de retorno es el siguiente:

Si y es 0 y x no es negativo, θ = 0.

Si y es 0 y x es negativo, θ = π.

Si y es positivo y x es 0, θ = π / 2.

Si y es negativo y x es 0, θ = -π / 2.

Si y es 0 y x es 0, θ = 0.

Si xoy es NaN, o si xey son PositiveInfinity o NegativeInfinity, el método devuelve NaN.


Comprensión de los gráficos de puntos

Un diagrama de puntos agrupa visualmente el número de puntos de datos en un conjunto de datos según el valor de cada punto. Esto proporciona una descripción visual de la distribución de los datos, similar a un histograma o una función de distribución de probabilidad. Los gráficos de puntos permiten un análisis visual rápido de los datos para detectar la tendencia central, la dispersión, la asimetría y la modalidad de los datos.

Los gráficos de puntos se organizan típicamente con un eje que muestra el rango de valores o categorías a lo largo del cual se agrupan los puntos de datos y un segundo eje que muestra el número de puntos de datos en cada grupo. Los puntos se pueden apilar vertical u horizontalmente para mostrar cuántos hay en cada grupo para facilitar la comparación visual.

Esto no es diferente a un gráfico de líneas. La gran diferencia es que los puntos en un diagrama de puntos no están conectados a través de una línea. Sin embargo, los gráficos de líneas conectan los puntos con una línea. El gráfico de líneas, como un diagrama de puntos, tiene un eje xy un eje y.

Los gráficos de puntos funcionan mejor para conjuntos de datos más pequeños, ya que la cantidad de puntos puede volverse menos manejable con conjuntos de datos más grandes.


El graficador aceptará cualquiera de las siguientes funciones (use la notación que se muestra). Puede copiar de los ejemplos a continuación si lo desea.

  • Lineas rectas: (como 3x - 2)
  • Polinomios: (como x ^ 3 + 3x ^ 2 - 5x + 2)
  • Cualquiera de los funciones trigonométricas: sin (x), cos (x / 2), tan (2x), csc (3x), sec (x / 4), cot (x)
  • La funciones trigonométricas inversas: arcsin (x), arccos (x), arctan (x), arccsc (x), arcsec (x), arccot ​​(x)
  • Exponencial (e ^ x) y logaritmo (ln (x) para log natural y log (x) para log base 10)
  • Valor absoluto: use & quotabs & quot así: abs (x)
  • La funciones hiperbólicas y sus inversas: sinh (x), cosh (x), tanh (x), arcsinh (x), arccosh (x), arctanh (x)
  • Firmar (1 si el signo es positivo, & menos1 si el signo de la función es negativo). Por ejemplo, pruebe con el signo (sin (x))

De hecho, puede utilizar la mayoría de las funciones matemáticas de JavaScript, incluidas

  • techo: ceil (x) y redondo: redondo (x) aleatorio: aleatorio (x)
  • raíz cuadrada: sqrt (x)

También puede usar cualquier combinación de los anteriores, como ln (abs (x)).

Si su gráfico no funciona: ¡Intenta usar corchetes! Por ejemplo, "tan 2x" no funcionará. Tienes que poner tan (2x).


Vectores con puntos iniciales que NO están en el origen

A veces, no colocamos el punto inicial de un vector en el origen. Por ejemplo, considere un vector que tiene su punto inicial en $ P (2, 2) $ y su punto terminal en $ Q (6, 3) $. Para dibujar este vector, podemos trazar estas coordenadas y conectarlas como un vector. Alternativamente, podemos denotar este vector con un conjunto general de componentes:

Para nuestro ejemplo, $ vec = (4, 1) $, y el siguiente gráfico ilustra nuestro vector de dos formas:


Los programas de diseño Graphviz toman descripciones de gráficos en un lenguaje de texto simple y crean diagramas en formatos útiles, como imágenes y SVG para páginas web PDF o Postscript para incluirlos en otros documentos o mostrarlos en un navegador de gráficos interactivo. Graphviz tiene muchas características útiles para diagramas concretos, como opciones de colores, fuentes, diseños de nodos tabulares, estilos de línea, hipervínculos y formas personalizadas.

punto - & ldquohierarchical & rdquo o dibujos en capas de gráficos dirigidos. Esta es la herramienta predeterminada para usar si los bordes tienen direccionalidad.

neato - & ldquospring modelo & rdquo diseños. Esta es la herramienta predeterminada para usar si el gráfico no es demasiado grande (alrededor de 100 nodos) y no sabe nada más al respecto. Neato intenta minimizar una función de energía global, que es equivalente al escalado multidimensional estadístico.

fdp - & ldquospring model & rdquo diseños similares a los de neato, pero lo hace reduciendo las fuerzas en lugar de trabajar con energía.

sfdp - versión multiescala de fdp para el diseño de gráficos grandes.

twopi - diseños radiales, según Graham Wills 97. Los nodos se colocan en círculos concéntricos dependiendo de su distancia desde un nodo raíz dado.

circo - diseño circular, después de Six y Tollis 99, Kauffman y Wiese 02. Esto es adecuado para ciertos diagramas de múltiples estructuras cíclicas, como ciertas redes de telecomunicaciones.


Cosas para hacer:

  1. Arrastre los controles deslizantes `mu` y` sigma` para cambiar la desviación estándar y media, y para ver el efecto en la curva de campana.
  2. Arrastre los controles deslizantes `x_1` y` x_2` para cambiar la parte de la curva para la que necesita encontrar la probabilidad.
  3. Ahora haga clic en "Mostrar curva normal estándar" para ver el área sombreada equivalente cuando la curva azul se traduce a la forma estándar.
  4. Ahora haga clic en "Mostrar cálculos de puntuación` z` "para ver cómo se hace.
  5. Ahora vea el cálculo de probabilidad para su situación.
  6. Observe la proporción del área bajo la curva de `mu` a` 1` desviación estándar de `mu` (alrededor del 34%, y observe en la curva gris que es` sigma = 1`), `mu` a` 2` estándar desviaciones (alrededor del 47,7%, o `sigma = 2` en la curva normal estándar) y de` mu` a 3 desviaciones estándar (casi todo el lado derecho, alrededor del 49,9%, y `<: sigma = 3)`
  7. Intente establecer `mu = 0` y` sigma = 1` para la curva verde. En este caso, ha hecho lo que la puntuación `z` hace por nosotros, es decir, ha utilizado la curva normal estándar.

Las funciones complejas del coseno y del seno

Ahora ampliaremos las funciones de seno y coseno de valor real a funciones de valor complejo. Como referencia, las gráficas de las funciones coseno (rojo) y seno (azul) en valor real se dan a continuación:

Recuerde de la página La función exponencial compleja que para cualquier número imaginario $ iy $ tenemos que:

Entonces, dado que $ cos y $ es una función par y $ sin y $ es una función impar, tenemos que:

Y si restamos $ (*) $ y $ (**) $ obtenemos:

Con estas dos fórmulas identificadas, ahora podemos definir las funciones de seno y coseno complejas.

Definición: La Función coseno compleja está definido para todo $ z in mathbb$ por $ Displaystyle < cos z = frac<>+ e ^ <-iz>> <2>> $ y el Función sinusoidal compleja está definido para todo $ z in mathbb$ por $ Displaystyle < sin z = frac<>- e ^ <-iz>> <2i>> $.

Es importante notar que en realidad no hemos verificado que estas fórmulas sean extensiones sensibles a las funciones de seno y coseno de valor real. De hecho lo son, y posteriormente veremos algunas de sus propiedades.


8.2.2 Gráficos de puntos - Matemáticas

En las dos secciones anteriores, hemos examinado un par de temas de Cálculo I en términos de ecuaciones paramétricas. Ahora necesitamos ver un par de temas de Cálculo II en términos de ecuaciones paramétricas.

En esta sección veremos la longitud de arco de la curva paramétrica dada por,

[x = f left (t right) hspace <0.5in> y = g left (t right) hspace <0.5in> alpha le t le beta ]

También asumiremos que la curva se traza exactamente una vez a medida que (t ) aumenta de ( alpha ) a ( beta ). También necesitaremos suponer que la curva se traza de izquierda a derecha a medida que (t ) aumenta. Esto es equivalente a decir,

Entonces, comencemos la derivación recordando la fórmula de la longitud del arco tal como la obtuvimos por primera vez en la sección de longitud del arco del capítulo Aplicaciones de las integrales.

Usaremos la primera (ds ) anterior porque tenemos una buena fórmula para la derivada en términos de ecuaciones paramétricas (ver la sección Tangentes con ecuaciones paramétricas). Para usar esto, también necesitaremos saber que,

La fórmula de la longitud del arco se convierte entonces en,

Esta es una fórmula particularmente desagradable. Sin embargo, si factorizamos el denominador de la raíz cuadrada a la que llegamos,

Ahora, haciendo uso de nuestra suposición de que la curva se está trazando de izquierda a derecha, podemos eliminar las barras de valor absoluto en la derivada, lo que nos permitirá cancelar las dos derivadas que están fuera de la raíz cuadrada y esto da,

Longitud de arco para ecuaciones paramétricas

Observe que podríamos haber usado la segunda fórmula para (ds ) anterior si hubiéramos asumido en su lugar que

Si hubiéramos seguido esta ruta en la derivación, habríamos obtenido la misma fórmula.

Veamos un ejemplo.

Sabemos que este es un círculo de radio 3 centrado en el origen de nuestra discusión anterior sobre la representación gráfica de curvas paramétricas. También sabemos por esta discusión que se rastreará exactamente una vez en este rango.

Entonces, podemos usar la fórmula que obtuvimos arriba. Primero necesitaremos lo siguiente,

[ frac <><

> = 3 cos left (t right) hspace <0.5in> hspace <0.25in> frac <><
> = - 3 sin left (t right) ]

Dado que se trata de un círculo, podríamos haber utilizado el hecho de que la longitud del círculo es solo la circunferencia del círculo. Esta es una buena manera, en este caso, de verificar nuestro resultado.

Echemos un vistazo a una posible consecuencia si se traza una curva más de una vez y tratamos de encontrar la longitud de la curva sin tener esto en cuenta.

Observe que este es el círculo idéntico que teníamos en el ejemplo anterior, por lo que la longitud sigue siendo 6 (p ). Sin embargo, para el rango dado, sabemos que trazará la curva tres veces en lugar de una vez, como se requiere para la fórmula. A pesar de esa restricción, usemos la fórmula de todos modos y veamos qué sucede.

En este caso las derivadas son,

y la fórmula de longitud da,

La respuesta que obtuvimos de la fórmula de la longitud del arco en este ejemplo fue 3 veces la longitud real. Recordando que también determinamos que este círculo se trazaría tres veces en el rango dado, la respuesta debería tener algún sentido.

Si hubiéramos querido determinar la longitud del círculo para este conjunto de ecuaciones paramétricas, necesitaríamos determinar un rango de (t ) para el cual este círculo se traza exactamente una vez. Esto es, (0 le t le frac << 2 pi >> <3> ). Usando este rango de (t ) obtenemos lo siguiente para la longitud.

Cuál es la respuesta correcta.

Tenga cuidado de no suponer que esto es siempre lo que sucederá si se traza la curva más de una vez. ¡El hecho de que la curva traza (n ) veces no significa que la fórmula de la longitud del arco nos dará (n ) veces la longitud real de la curva!

Antes de pasar a la siguiente sección, observemos que podemos poner la fórmula de la longitud del arco derivada en esta sección en la misma forma que teníamos cuando miramos por primera vez la longitud del arco. La única diferencia es que agregaremos una definición para (ds ) cuando tengamos ecuaciones paramétricas.


Método del triángulo:

Dibuja los vectores uno tras otro, colocando el punto inicial de cada vector sucesivo en el punto terminal del vector anterior. Luego dibuja la resultante desde el punto inicial del primer vector hasta el punto terminal del último vector. Este método también se llama método de la cabeza a la cola .

Suma de vectores:

Resta de vectores:

Sustituya los valores dados de u 1, u 2, v 1 y v 2 en la definición de suma vectorial.

Vuelva a escribir la diferencia u & rarr & minus v & rarr como una suma u & rarr + (& minus v & rarr). Necesitaremos determinar los componentes de & menos v & rarr.

Recuerde que & menos v & rarr es un múltiplo escalar de & menos 1 veces v . De la definición de multiplicación escalar, tenemos:

Ahora agregue los componentes de u & rarr y & minus v & rarr.

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