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5.3.4: División de números racionales


Lección

Dividamos números con signo.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Dime tu signo

Considere la ecuación: (- 27x = -35 )

Sin computación:

  1. Es el solución a esta ecuación positiva o negativa?
  2. ¿Alguno de estos dos números es solución a la ecuación?

( frac {35} {27} qquad qquad - frac {35} {27} )

Ejercicio ( PageIndex {2} ): multiplicación y división

  1. Encuentra los valores perdidos en las ecuaciones.
    1. (- 3 cdot 4 =? )
    2. (- 3 cdot? = 12 )
    3. (3 cdot? = 12 )
    4. (? cdot -4 = 12 )
    5. (? cdot 4 = -12 )
  2. Reescribe los problemas de factores desconocidos como problemas de división.
  3. Complete las oraciones. Esté preparado para explicar su razonamiento.
    1. El signo de un número positivo dividido por un número positivo es siempre:
    2. El signo de un número positivo dividido por un número negativo es siempre:
    3. El signo de un número negativo dividido por un número positivo es siempre:
    4. El signo de un número negativo dividido por un número negativo es siempre:
  4. Han y Clare caminan el uno hacia el otro a un ritmo constante, se encuentran y luego continúan pasándose en direcciones opuestas. Llamaremos a la posición donde se encuentran 0 pies y el tiempo en que se encuentran 0 segundos.
    • ¿Dónde está cada persona 10 segundos antes de que se reúnan?
    • ¿Cuándo está cada persona en la posición a 10 pies del lugar de reunión?
      1. ¿Dónde está cada persona 10 segundos antes de que se reúnan?
      2. ¿Cuándo está cada persona en la posición a 10 pies del lugar de reunión?

¿Estás listo para más?

Es posible crear un nuevo sistema numérico usando solo los números 0, 1, 2 y 3. Escribiremos los símbolos para multiplicar en este sistema así: (1 otimes 2 = 2 ). La tabla muestra algunos de los productos.

( otimes )(0)(1)(2)(3)
(0)(0)(0)(0)(0)
(1)(1)(2)(3)
(2)(0)(2)
(3)
Tabla ( PageIndex {1} )
  1. En este sistema, (1 otimes 3 = 3 ) y (2 otimes 3 = 2 ). ¿Cómo puedes ver eso en la mesa?
  2. ¿Qué crees que es (2 otimes 1 )?
  3. ¿Qué pasa con (3 otimes 3 )?
  4. ¿Cuál crees que es la solución a (3 otimes n = 2 )?
  5. ¿Qué pasa con (2 otimes n = 3 )?

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Desglose

Una plataforma de perforación de pozos de agua ha cavado a una altura de -60 pies después de un día completo de uso continuo.

  1. Suponiendo que la plataforma perforara a un ritmo constante, ¿cuál fue la altura de la perforadora después de 15 horas?
  2. Si la plataforma ha estado funcionando constantemente y actualmente está a una altura de -147.5 pies, ¿cuánto tiempo ha estado funcionando?
  1. Utilice la cuadrícula de coordenadas para mostrar el progreso del simulacro.
  2. A este ritmo, ¿cuántas horas tomará hasta que el taladro alcance los -250 pies?

Resumen

Cualquier problema de división es en realidad un problema de multiplicación:

  • (6 div 2 = 3 ) porque (2 cdot 3 = 6 )
  • (6 div -2 = -3 ) porque (- 2 cdot -3 = 6 )
  • (- 6 div 2 = -3 ) porque (2 cdot -3 = -6 )
  • (- 6 div 2 = 3 ) porque (- 2 cdot 3 = -6 )

Porque sabemos cómo multiplicar números con signo, eso significa que sabemos cómo dividirlos.

  • El signo de un número positivo dividido por un número negativo siempre es negativo.
  • El signo de un número negativo dividido por un número positivo es siempre negativo.
  • El signo de un número negativo dividido por un número negativo siempre es positivo.

Un número que puede usarse en lugar de la variable que hace que la ecuación sea verdadera se llama solución a la ecuación. Por ejemplo, para la ecuación (x div -2 = 5 ), la solución es -10, porque es cierto que (- 10 div -2 = 5 ).

Entradas del glosario

Definición: solución a una ecuación

Una solución a una ecuación es un número que se puede usar en lugar de la variable para hacer que la ecuación sea verdadera.

Por ejemplo, 7 es la solución de la ecuación (m + 1 = 8 ), porque es cierto que (7 + 1 = 8 ). La solución de (m + 1 = 8 ) no es 9, porque (9 + 1 neq 8 ).

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra los cocientes:

  1. (24 div -6 )
  2. (- 15 div 0.3 )
  3. (- 4 div -20 )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra los cocientes.

  1. ( frac {2} {5} div frac {3} {4} )
  2. ( frac {9} {4} div frac {-3} {4} )
  3. ( frac {-5} {7} div frac {-1} {3} )
  4. ( frac {-5} {3} div frac {1} {6} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

¿La solución es positiva o negativa?

  1. (2 cdot x = 6 )
  2. (- 2 cdot x = 6.1 )
  3. (2.9 cdot x = -6.04 )
  4. (- 2.473 cdot x = -6.859 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentra la solución mentalmente.

  1. (3 cdot -4 = a )
  2. (b = cdot (-3) = - 12 )
  3. (- 12 cdot c = 12 )
  4. (d cdot 24 = -12 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Para hacer un tono específico de pintura verde, un pintor mezcla (1 frac {1} {2} ) cuartos de galón de pintura azul, 2 tazas de pintura verde y ( frac {1} {2} ) galón de pintura blanca. ¿Cuánto de cada color se necesita para hacer 100 tazas de este tono de pintura verde?

(De la Unidad 4.1.2)

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Aquí hay una lista de las elevaciones más altas y más bajas de cada continente.

punto más alto (m)punto más bajo (m)
Europa(4,810)(-28)
Asia(8,848)(-427)
África(5,895)(-155)
Australia(4,884)(-15)
América del norte(6,198)(-86)
Sudamerica(6,960)(-105)
Antártida(4,892)(-50)
Tabla ( PageIndex {2} )
  1. ¿Qué continente tiene la mayor diferencia de elevación? ¿El mas pequeño?
  2. Haga una visualización (diagrama de puntos, diagrama de caja o histograma) del conjunto de datos y explique por qué eligió ese tipo de visualización para representar este conjunto de datos.

(De la Unidad 5.2.2)


Toma el recíproco del segundo número racional.

Multiplica el primer número racional 2/3 por -6/7

(2/1) x (-2/7) & # xa0 = & # xa0 -4/7 & # xa0 & # xa0 Positivo multiplicado por negativo es igual a & # xa0 & # xa0 & # xa0negativo

Toma el recíproco del segundo número racional.

Multiplica el primer número racional 2 por 3/8

(-1) x (3/4) & # xa0 = & # xa0-3 / 4 & # xa0 & # xa0 Positivo multiplicado por negativo es igual a & # xa0negativo

Toma el recíproco del segundo número racional.

Multiplica el primer número racional 9/5 por 1/3

(3/5) x (1/1) & # xa0 = & # xa03 / 5 & # xa0 & # xa0 Positivo multiplicado por positivo es igual a & # xa0 positivo

Un buzo debe descender a una profundidad de 100 pies por debajo del nivel del mar. Quiere que & # xa0 lo haga en 5 descensos iguales. ¿Qué distancia debe recorrer en cada descenso?

Para saber qué tan lejos debe viajar en cada descenso, tenemos que dividir 100 entre 5. & # Xa0

Toma el recíproco del divisor 5.

Por lo tanto, debe viajar 20 pies en cada descenso.

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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Comparar números racionales

Videos, soluciones, hojas de trabajo, historias y canciones para ayudar a los estudiantes de sexto grado a aprender a comparar y ordenar números racionales. Un número racional es cualquier número que se pueda escribir como fracción.

¿Cómo comparar números racionales?

Aprenderemos tres métodos para comparar números racionales.

1. Multiplica y compara los productos.
2. Convierta ambas fracciones en fracciones con un denominador común.
3. Convierte ambas fracciones en decimales dividiendo.

Comparar y ordenar números racionales
Este video describe tres métodos para comparar números racionales entre sí ("mayor que" o "menor que") y cómo ordenar números racionales de menor a mayor o de mayor a menor.

Método de multiplicación cruzada
1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.
3. Verifique los productos para ver qué respuesta es más grande.

Método del denominador común
1. Encuentra un denominador común para cada fracción.
2. Crea fracciones equivalentes con el denominador común.
3. Compara los numeradores.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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Numeros racionales. Fracción de clase

A número racionales un número que se puede representar como una fracción racional Minnesota , dónde metro , norte , respectivamente, son el numerador y el denominador, que tienen un valor entero. Por ejemplo, en la fracción 5/6, el valor metro = 5, el valor norte = 6.

El lenguaje de programación Python para trabajar con números racionales ofrecía una clase Fraction. En la clase, el numerador metro y el denominador norte se implementan respectivamente. En la clase Fraction se realiza automáticamente la fracción de simplificación (por ejemplo, 9/18 = & gt 1/2).

Para utilizar las capacidades de la clase Fraction, primero debe incluir el módulo de fracciones

2. Creando un objeto de la clase Fraction

Un objeto de la clase Fraction se puede crear de dos formas.

Método 1. Usando un constructor que contiene valores enteros para el numerador y denominador.

Ejemplo.

En el ejemplo anterior, en una línea

el valor del numerador 8 y el denominador 12 de la variable B se simplificará automáticamente a 2/3. Es decir, el numerador de la clase es 2, el denominador es 3.

Método 2. Usando un constructor que obtiene una cadena con un valor real.

Ejemplo.

3. Operaciones con números racionales. Ejemplos de

Las siguientes operaciones aritméticas se pueden realizar en objetos de la clase Fraction:

  • adición + )
  • sustracción )
  • multiplicación * )
  • división / )
  • tomando el resto de la división % ).

La exponenciación de la operación del número de tipo Fracción devuelve el resultado real

4. Las ventajas de utilizar números racionales. Ejemplo

Como sabe, las operaciones con números reales tienen un límite de precisión, que depende de las capacidades del hardware que implementa las matemáticas de los números reales. En comparación con los números reales, los números racionales proporcionan

Ejemplo. El ejemplo demuestra la pérdida de precisión de la expresión 0,2 + 0,2 + 0,2-0,4.

El resultado del programa

5. Función as_integer_ratio (). Ejemplo

La función as_integer_ratio () devuelve el numerador y el denominador que coincide con el número dado. La forma general de la llamada al método

La función se utiliza para apoyar la conversión a números racionales.

En el ejemplo anterior, el símbolo * significa la sintaxis para descomprimir una tupla en argumentos separados.

6. Función Fraction.from_float (). Ejemplo

El método from_float () de la clase Fraction le permite obtener el numerador y denominador de un número real, así como el método as_integer_ratio ().

7. Función float (). Ejemplo

La función from_float () de la clase Fraction le permite obtener el numerador y denominador de un número real, así como el método as_integer_ratio ().


Cómo: dividir números racionales

Khanacademy aborda problemas que involucran el inverso multiplicativo (es decir, tomar el número uno y dividirlo por ese número) y dividir números racionales en su forma más simple (forma común más baja).

El inverso multiplicativo de un número es donde el número uno se divide por el número en sí. Se tratan cinco ejemplos que incluyen números enteros, fracciones y fracciones negativas y álgebra. El inverso multiplicativo de 100 es uno dividido por 100. En la fracción dos sobre ocho, el inverso multiplicativo se realiza simplemente cambiando los números de dos sobre ocho a ocho sobre dos, que es el número cuatro.

Al dividir números racionales que involucran fracciones, el problema se reescribe como un problema de multiplicación cambiando la segunda fracción de arriba hacia abajo antes de simplificarla más. Esto también funciona para problemas que involucran fracciones negativas.

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Lista de hojas de trabajo de números racionales para practicar

Para una mejor experiencia de usuario, hemos compilado todas las hojas de trabajo para Rational Numbers en un solo lugar. No busque más y comience su práctica de inmediato para obtener una buena puntuación en sus exámenes. Para preparar un tema en particular, solo necesita tocar los enlaces rápidos disponibles para acceder a la hoja de trabajo del tema correspondiente. Resuelva los problemas por su cuenta al principio y verifique las soluciones más adelante para comprender dónde se equivocó.


5.3.4: División de números racionales

Conceptos de sobrecarga del operador en OOP.

Tarea 1: Definición de funciones de miembros y clases de C ++

Crea una clase llamada Racional para realizar aritmética con fracciones. Escribe un programa para poner a prueba tu clase.

Utilice variables enteras para representar el privado datos de la clase - el numerador y el denominador. Proporcione un constructor que permita inicializar un objeto de esta clase cuando se declare. El constructor debe contener valores predeterminados en caso de que no se proporcionen inicializadores y debe almacenar la fracción en forma reducida. Por ejemplo, la fracción: 2/4 se almacenaría en el objeto como 1 en el numerador y 2 en el denominador. Proporcionar funciones de miembros públicos que realicen cada una de las siguientes tareas:

  • Sumando dos Racional números. El resultado debe almacenarse en forma reducida.
  • Restando dos Racional números. El resultado debe almacenarse en forma reducida.
  • Multiplicando dos Racional números. El resultado debe almacenarse en forma reducida.
  • Dividiendo dos Racional números. El resultado debe almacenarse en forma reducida.
  • Impresión Racional números en la forma a / b, dónde a es el numerador y B es el denominador.
  • Impresión Racional números en formato de coma flotante.

Tarea 2: Sobrecarga del operador

Cree una clase RationalNumber (fracciones) con las siguientes capacidades:

  • Cree un constructor que evite un denominador 0 en una fracción, reduzca o simplifique las fracciones que no están en forma reducida y evite los denominadores negativos.
  • Sobrecargue los operadores de suma, resta, multiplicación y división para esta clase.
  • Sobrecargue los operadores de flujo de entrada y salida para esta clase.
  • Sobrecargue los operadores relacionales y de igualdad para esta clase.

Tarea 3: Sobrecarga del operador unario

Para la clase RationalNumber creada anteriormente, realice las siguientes funcionalidades adicionales:


Explorar

Rompecabezas de multiplicar y dividir números racionales: Para continuar la práctica con decimales y fracciones con signo, los estudiantes completarán una hoja de trabajo de rompecabezas en sus mesas. La hoja cubre fracciones y decimales tanto positivos como negativos, ya que los estudiantes necesitan tiempo para trabajar con ambos a fin de desarrollar la fluidez. Caminaré y brindaré ayuda según sea necesario, ¡lo más probable es que termine sentándome con el grupo más bajo para que se pongan en marcha! Esta hoja se convertirá en tarea si no se termina en clase. Seguirá siendo muy importante que los estudiantes presten mucha atención a las reglas de signos y números enteros, ya que la precisión marcará la diferencia en una respuesta correcta o incorrecta (práctica matemática 6).


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Representación decimal de números racionales

Ej. 7 Rápido en forma decimal mediante el método de división larga.

Sol. Tenemos,

Ej.8 Convertir en forma decimal mediante el método de división larga.

Sol. Tenemos,

Ej.9 Rápido en forma decimal.

Sol. Tenemos,.

Ej.10 Rápido en forma decimal mediante el método de división larga.

Sol. Para convertir en forma decimal, primero expresamos en la forma decimal y la forma decimal de será negativo de la forma decimal de

Ej. 11 Encuentra la representación decimal de .

Sol. Por división larga, tenemos

Ej. 12 Rápido como una fracción decimal.

Sol. Por división larga, tenemos

Ej.13 Encuentra la representación decimal de

Sol. Por división larga, tenemos

Ej.14 Encuentra la representación decimal de .

Sol. Por división larga, tenemos

Entonces, la división de un número racional da una expansión decimal. Esta expansión representa dos tipos

(A) Terminando (resto = 0)

Ex. , , , ……… son iguales a 1.2, 1.6, 1.75 respectivamente, por lo que son terminantes y no repetidos (recurrentes)

(B) No terminante recurrente (repetido)

(recordatorio 0, pero igual a dividir)

Ex. = 3.333 ……… .. o

= 0.1428514285 ………. O

= 23,434343 …… ..o

Estas expansiones no están terminadas, pero los dígitos se repiten continuamente, por lo que usamos una línea en esos dígitos, llamada barra ( ).

Entonces podemos decir que los números racionales son de la forma terminante, no repetitiva o no terminante repetitiva (recurrente).

Conversión de números decimales en números racionales de forma

Caso I:

Cuando el número decimal sea de naturaleza terminante.

Paso 1 : Obtén el número racional.

Paso 2 : Determinar el número de dígitos en su parte decimal.

Paso 3 : Quite el punto decimal del numerador. Escribe 1 en el denominador y coloca tantos ceros en el lado derecho de 1 como el número de dígitos en la parte decimal del número racional dado.

Paso 4 : Encuentre un divisor común del numerador y denominador y exprese el número racional en términos más bajos dividiendo su numerador y denominador por el divisor común.

Ej.15 Exprese cada uno de los siguientes números en la forma .

Sol. (i) 0,15 =

=

[División del denominador del numerador por el divisor común 5 del numerador y el denominador]

=

(ii) 0,675 =

=

(iii) - 25,6875 =

= =

Caso II: Cuando la representación decimal sea de naturaleza repetitiva no terminante.

En un decimal periódico no terminante, hay dos tipos de representaciones decimales

(i) Un decimal en el que se repiten todos los dígitos después del punto decimal. Este tipo de decimales se conocen como decimales recurrentes puros.

Por ejemplo: son decimales recurrentes puros.

(ii) Un decimal en el que al menos uno de los dígitos después del punto decimal no se repite y luego se repiten algunos dígitos. Este tipo de decimales se conocen como decimales recurrentes mixtos.

Por ejemplo, son decimales recurrentes mixtos.

Conversión de un decimal recurrente puro a la forma

Paso 1 : Obtenga el decimal periódico y póngalo igual ax (digamos)

Paso 2 : Escriba el número en forma decimal quitando la barra de la parte superior de los dígitos repetidos y enumerando los dígitos repetidos al menos dos veces. Para la muestra, escriba x = como x = 0,888 & # 8230. y x = como

Paso 3 : Determina la cantidad de dígitos que tienen una barra en la cabeza.

Paso 4 : Si el decimal periódico tiene una repetición de 1 lugar, multiplique por 10 una repetición de dos lugares, multiplique por 100 una repetición de tres lugares, multiplique por 1000 y así sucesivamente.

Paso 5: Reste el número del paso 2 del número obtenido en el paso 4

Paso 6: Divide ambos lados de la ecuación por el coeficiente de x.

Paso 7: Escribe el número racional en su forma más simple.

Ejemplos de

Ej. 16 Expresa cada uno de los siguientes decimales en la forma :

(I)

(ii)

(iii)

Sol. (i) Sea x =

Aquí, solo tenemos un dígito que se repite, por lo tanto, multiplicamos ambos lados de (i) por 10 para obtener

Restando (i) de (ii), obtenemos

9x = 6 x =

x =

Por lo tanto = =

(ii) Sea x =

x = 0,353535 & # 8230. & # 8230. (I)

Aquí, tenemos dos dígitos repetidos después del punto decimal. Entonces, multiplicamos los lados de (i) por 10 2 = 100 para obtener

Restando (i) de (ii), obtenemos

99 x = 35

x =

Por eso,

(iii) Sea x =

x = 0,585585585 & # 8230 & # 8230. (i)

Aquí, tenemos tres dígitos repetidos después del punto decimal. entonces, multiplicamos ambos lados de

Restando (i) de (ii), obtenemos

1000x - x = (585.585585 y # 8230) - (0.585585585 y # 8230)

999x = 585

x = = =

El ejemplo anterior nos sugiere la siguiente regla para convertir un decimal recurrente puro en un número racional en la forma .

Ej. 17 Convierta los siguientes números decimales en la forma :

(I)

(ii)

Sol. (i) Sea x =

x = 5.2222 y # 8230. (i)

Multiplicando ambos lados de (i) por 10, obtenemos

Restando (i) de (ii), obtenemos

9 veces = 47

x =

(ii) Sea x =

x = 23,434343 & # 8230 ..

Multiplicando ambos lados de (i) por 100, obtenemos

Restando (i) de (ii), obtenemos

100x - x = (2343.4343 y # 8230) - (23.4343 y # 8230.)

99 x = 2320

x =

Conversión de un decimal recurrente mixto al formulario :-

Paso 1 : Obtenga el decimal recurrente mixto y escríbalo igual ax (digamos)

Paso 2 : Determine el número de dígitos después del punto decimal que no tienen barra. Sea n dígitos sin barra justo después del punto decimal

Paso 3 : Multiplica ambos lados de x por 10 n para que solo el decimal periódico esté en el lado derecho del punto decimal.

Paso 4 : Utilice el método de conversión de decimal recurrente puro a la forma y obtenga el valor de x.

Ej.18 Expresa los siguientes decimales en la forma

(I) (ii)

Sol. (i) Sea x =

Claramente, solo hay un dígito en el lado derecho del punto decimal que no tiene barra. Entonces, multiplicamos ambos lados de x por 10 para que solo quede el decimal periódico en el lado derecho del punto decimal.

Por lo tanto, 10x =

10 veces = 3 + [entonces, = ]

10 veces = 3 +

10x = 10x =

x =

(ii) Sea x =

Claramente, hay dos dígitos en el lado derecho del punto decimal que no tienen barra. Entonces, multiplicamos ambos lados de x por 10 2 = 100 para que solo quede el decimal periódico en el lado derecho del punto decimal.

por lo tanto, 100x =

100x = 12 +

100x = 12+

100x =

100x =

100x =

x =

Ej. 19 Exprese cada uno de los siguientes decimales recurrentes mixtos en la forma

(I) (ii)

Sol. (i) Sea x =

10x = [Multiplicar ambos lados de x por 10]

10 veces = 43 +

10 veces = 43 +

10x =

10x =

10x =

x =

(ii) Sea x = . Luego,

10x =

10 veces = 157 +

10 veces = 157 +

10 veces = 157 +

10x =

10x =

10x =

x = =

Ej.20 Representa 3.765 en la recta numérica.

Sol. Este número se encuentra entre 3 y 4. La distancia 3 y 4 se divide en 10 partes iguales. Luego, la primera marca a la derecha de 3 representará 3.1 y la segunda 3.2 y así sucesivamente. Ahora, 3.765 se encuentra entre 3.7 y 3.8. Dividimos la distancia entre 3.7 y 3.8 en 10 partes iguales 3.76 estará a la derecha de 3.7 en la sexta marca, y 3.77 estará a la derecha de 3.7 en la séptima marca y 3.765 estará entre 3.76 y 3.77 y pronto .

Ej.21 Visualizar en la recta numérica, hasta 4 lugares decimales.

Sol. Tenemos, = 4.2626

Este número se encuentra entre 4 y 5. La distancia entre 4 y 5 se divide en 10 partes iguales. Entonces la primera marca a la derecha de 4 representará 4.1 y la segunda 4.2 y pronto. Ahora, 4.2626 se encuentra entre 4.2 y 4.3. Dividimos la distancia entre 4.2 y 4.3 en 10 partes iguales 4.2626 se encuentra entre 4.26 y 4.27. Nuevamente dividimos la distancia entre 4.26 y 4.27 en 10 partes iguales. El número 4.2626 se encuentra entre 4.262 y 4.263. La distancia entre 4.262 y 4.263 se vuelve a dividir en 10 partes iguales. La sexta marca de derecha a 4.262 es 4.2626.

Ej.22 Expresa el decimal en la forma

Sol. Sea x =

Claramente, hay tres dígitos en el lado derecho del punto decimal que no tiene barra. Entonces, multiplicamos ambos lados de x por 10 3 = 1000 para que solo el decimal periódico quede en el lado derecho del punto decimal.

por lo tanto, 1000x =

1000x = 3 +

1000x =

1000x =

1000x =

x =

Ej. 23 Da un ejemplo de dos números irracionales, cuyo producto es (i) un número racional (ii) un número irracional

Sol. (i) El producto de y es = 9, que es un número racional.

(ii) El producto de y es , que es un número irracional.

Ej.24 Inserta un número racional e irracional entre 2 y 3.

Sol. Si ayb son dos números racionales positivos tales que ab no es un cuadrado perfecto de un número racional, entonces es un número irracional que se encuentra entre ay b. Además, si a, b son números racionales, entonces es un número racional entre ellos.

Un número racional entre 2 y 3 es

= 2.5

Un número irracional entre 2 y 3 es

=

Ej.25 Encuentra dos números irracionales entre 2 y 2.5.

Sol. Si ayb son dos números racionales positivos distintos tales que ab no es un cuadrado perfecto de un número racional, entonces es un número irracional que se encuentra entre ay b.

El número irracional entre 2 y 2,5 es

=

Del mismo modo, el número irracional entre 2 y es

Entonces, los números requeridos son y .

Ej. 26 Encuentra dos números irracionales entre y .

Sol. Sabemos que, si ayb son dos números irracionales positivos distintos, entonces es un número irracional que se encuentra entre ay b.

Número irracional entre y es = = 6 1/4

Número irracional entre y 6 1/4 es = 2 1/4 × 6 1/8 .

Por lo tanto, el número irracional requerido es 6 1/4 y 2 1/4 × 6 1/8

Ej. 27 Encuentra dos números irracionales entre 0.12 y 0.13.

Sol. Sea a = 0.12 yb = 0.13. Claramente, ayb son números racionales tales que a & lt b.

Observamos que los números ayb tienen un 1 en el primer lugar del decimal. Pero en el segundo lugar del decimal a tiene a 2 y b tiene 3. Entonces, consideramos los números

y, d = 0.12101001000100001 & # 8230 & # 8230.

Claramente, cyd son números irracionales tales que a & lt c & lt d & lt b.

Ej. 28 Encuentra dos números racionales entre 0.232332333233332 & # 8230. y

Sol. Sea a = 0.232332333233332 & # 8230.

Los números c = 0.25 yd = 0.2525

Claramente, cyd son números racionales tales que a & lt c & lt d & lt b.

Ej.29 Encuentre un número racional y también un número irracional entre los números ayb que se dan a continuación:

Sol. Dado que las representaciones decimales de ayb son no terminantes y no repetidas. Entonces, ayb son números irracionales.

Observamos que en los dos primeros lugares del decimal ayb tienen los mismos dígitos. Pero en el tercer lugar del decimal a tiene un 1 mientras que b tiene cero.

Construcción de un número racional entre ayb: como se mencionó anteriormente, los dos primeros dígitos después del punto decimal de ayb son iguales. Pero en tercer lugar, a tiene un 1 y b tiene un cero. Entonces, si consideramos el número c dado por

Entonces, c es un número racional ya que tiene una representación decimal final.

Dado que b tiene un cero en el tercer lugar del decimal y c tiene un 1.

También observamos que c & lt a, porque c tiene ceros en todos los lugares después del tercer lugar del decimal mientras que la representación decimal de a tiene un 1 en el sexto lugar.

Por tanto, c es un número racional tal que b & lt c & lt a.

Por tanto, c es el número racional requerido entre ay b.

Construcción de un número irracional entre ayb: considere el número d dado por

Claramente, d es un número irracional ya que su representación decimal no es terminante y no se repite.

Observamos que en los tres primeros lugares de su representación decimal b y d tienen los mismos dígitos pero en el cuarto lugar d y un 2 mientras que b solo tiene un 1.

Además, comparando a y d, obtenemos a & gt d

Por tanto, d es un número irracional tal que b & lt d & lt a.

Ej.30 Encuentra un número irracional entre los números ayb que se dan a continuación:

a = 0,1111 & # 8230 .. = yb = 0,1101

Sol. Claramente, ayb son números racionales, ya que a tiene un decimal periódico y b tiene un decimal final. Observamos que en el tercer lugar del decimal a tiene un 1, mientras que b tiene un cero.

Considere el número c dado por

Claramente, c es un número irracional ya que tiene una representación decimal que no se repite ni termina.

Observamos que en los dos primeros lugares de sus representaciones decimales byc tienen los mismos dígitos. Pero en tercer lugar, b tiene un cero mientras que c tiene un 1.

Además, cy a tienen los mismos dígitos en los primeros cuatro lugares de sus representaciones decimales, pero en el quinto lugar c tiene un cero y a tiene un 1.