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6.1.3: Razonamiento de ecuaciones con diagramas de cinta - Matemáticas


Lección

Veamos cómo las ecuaciones pueden describir los diagramas de cintas.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): encontrar expresiones equivalentes

Seleccione todas las expresiones que son equivalente a (7 (2-3n) ). Explique cómo sabe que cada expresión que selecciona es equivalente.

  1. (9-10n )
  2. (14-3n )
  3. (14-21n )
  4. ((2-3n) cdot 7 )
  5. (7 cdot 2 cdot (-3n) )

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Emparejar ecuaciones con diagramas de cinta

  1. Empareja cada ecuación con uno de los diagramas de cintas. Esté preparado para explicar cómo la ecuación coincide con el diagrama.
  2. Ordene las ecuaciones en categorías de su elección. Explique los criterios para cada categoría.
  • (2x + 5 = 19 )
  • (2 + 5x = 19 )
  • (2 (x + 5) = 19 )
  • (5 (x + 2) = 19 )
  • (19 = 5 + 2x )
  • ((x + 5) cdot 2 = 19 )
  • (19 = (x + 2) cdot 5 )
  • (19 div 2 = x + 5 )
  • (19-2 = 5x )

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Dibujar diagramas de cinta para representar ecuaciones

  1. Dibuja un diagrama de cinta para que coincida con cada ecuación.
    1. (114 = 3x + 18 )
    2. (114 = 3 (y + 18) )
  2. Usa cualquier método para encontrar valores para (x ) y (y ) que hagan que las ecuaciones sean verdaderas.

¿Estás listo para más?

Para hacer un copo de nieve de Koch:

  • Comienza con un triángulo equilátero que tenga lados de 1. Este es el paso 1.
  • Reemplaza el tercio medio de cada segmento de línea con un pequeño triángulo equilátero con el tercio medio del segmento formando la base. Este es el paso 2.
  • Haz lo mismo con cada uno de los segmentos de línea. Este es el paso 3.
  • Sigue repitiendo este proceso.
  1. ¿Cuál es el perímetro después del paso 2? ¿Paso 3?
  2. ¿Qué sucede con el perímetro, o la longitud de la línea trazada a lo largo del exterior de la figura, a medida que continúa el proceso?

Resumen

Hemos visto cómo los diagramas de cintas representan relaciones entre cantidades. Debido al significado y las propiedades de la suma y la multiplicación, a menudo se puede usar más de una ecuación para representar un solo diagrama de cinta.

Echemos un vistazo a dos diagramas de cintas.

Podemos describir este diagrama con varias ecuaciones diferentes. Éstos son algunos de ellos:

  • (26 + 4x = 46 ), porque las partes suman el todo.
  • (4x + 26 = 46 ), porque la suma es conmutativa.
  • (46 = 4x + 26 ), porque si dos cantidades son iguales, no importa cómo las coloquemos alrededor del signo igual.
  • (4x = 46-26 ), porque una parte (la parte formada por (4x ) ’s) es la diferencia entre el todo y la otra parte.

Para este diagrama:

  • (4 (x + 9) = 76 ), porque la multiplicación significa tener varios grupos del mismo tamaño.
  • ((x + 9) cdot 4 = 76 ), porque la multiplicación es conmutativa.
  • (76 div 4 = x + 9 ), porque la división nos dice el tamaño de cada parte igual.

Entradas del glosario

Definición: Expresiones equivalentes

Las expresiones equivalentes son siempre iguales entre sí. Si las expresiones tienen variables, son iguales siempre que se use el mismo valor para la variable en cada expresión.

Por ejemplo, (3x + 4x ) es equivalente a (5x + 2x ). No importa qué valor usemos para (x ), estas expresiones son siempre iguales. Cuando (x ) es 3, ambas expresiones son iguales a 21. Cuando (x ) es 10, ambas expresiones son iguales a 70.

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Resuelve cada ecuación mentalmente.

  1. (2x = 10 )
  2. (- 3x = 21 )
  3. ( frac {1} {3} x = 6 )
  4. (- frac {1} {2} x = -7 )

(De la Unidad 5.5.1)

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Completa los cuadrados mágicos para que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal en una cuadrícula sean todas iguales.

(De la Unidad 5.2.2)

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Dibuja un diagrama de cinta para que coincida con cada ecuación.

  1. (5 (x + 1) = 20 )
  2. (5x + 1 = 20 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Seleccione todas las ecuaciones que coinciden con el diagrama de cintas.

  1. (35 = 8 + x + x + x + x + x + x )
  2. (35 = 8 + 6x )
  3. (6 + 8x = 35 )
  4. (6x + 8 = 35 )
  5. (6x + 8x = 35x )
  6. (35-8 = 6x )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Cada automóvil viaja a una velocidad constante. Calcula la cantidad de millas que recorre cada automóvil en 1 hora a la velocidad dada.

  1. (135 ) millas en (3 ) horas
  2. (22 ) millas en ( frac {1} {2} ) hora
  3. (7.5 ) millas en ( frac {1} {4} ) hora
  4. ( frac {100} {3} ) millas en ( frac {2} {3} ) hora
  5. (97 frac {1} {2} ) millas en ( frac {3} {2} ) hora

(De la Unidad 4.1.2)


Lección 1

En esta lección, los estudiantes verán cómo usar la propiedad distributiva para escribir una expresión compacta para situaciones en las que una cantidad se describe en relación con otra cantidad en el lenguaje, como "la mitad de nuevo" y "un tercio más de". Si (y ) es la mitad de nuevo que (x ), entonces (y = x + frac12 x ). Usando la propiedad distributiva, esto se puede escribir como (y = (1 frac12) x ). Los estudiantes aplican este tipo de razonamiento a diversas situaciones. Una actividad de calentamiento activa su conocimiento previo sobre el uso de la propiedad distributiva para escribir expresiones equivalentes. Cuando los estudiantes buscan oportunidades para usar la propiedad distributiva para escribir ecuaciones de una manera más simple, están participando en MP7.

En la próxima lección, considerarán situaciones similares que involucran fracciones expresadas como decimales. Estas dos lecciones los preparan para un estudio posterior de situaciones que implican un aumento y una disminución porcentuales.

Metas de aprendizaje

Usemos fracciones para describir aumentos y disminuciones.

Preparación requerida

Imprima y corte las hojas de la tarjeta Representaciones de relaciones proporcionales. Clasifique el patrón de línea negra. Prepare 1 copia por cada 2 estudiantes. Estos se pueden reutilizar si tiene más de una clase. Considere hacer algunas copias adicionales que no estén cortadas para que sirvan como clave de respuestas.

Objetivos de aprendizaje

Estándares CCSS

Entradas del glosario

Un diagrama de cinta es un grupo de rectángulos juntos para representar una relación entre cantidades.

Por ejemplo, este diagrama de cinta muestra una proporción de 30 galones de pintura amarilla por 50 galones de pintura azul.

Expandir imagen

Si cada rectángulo estuviera etiquetado como 5, en lugar de 10, entonces la misma imagen podría representar la proporción equivalente de 15 galones de pintura amarilla por 25 galones de pintura azul.

Materiales con formato de impresión

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Lección 2

Problema 1

  1. La temperatura es -2 $ ^ circ textPS Si la temperatura aumenta en 15 $ ^ circ text$, ¿cuál es la nueva temperatura?
  2. A medianoche la temperatura es de -6 $ ^ circ textPS Al mediodía la temperatura es de 9 $ ^ circ textPS ¿Cuánto subió la temperatura?

Problema 2 (de la Unidad 5, Lección 1)

Complete cada enunciado con un número que haga que el enunciado sea verdadero.

  1. _____ & lt $ 7 ^ circ text$
  2. _____ & lt $ text- 3 ^ circ text$
  3. $ text- 0.8 ^ circ text$ & lt _____ & lt $ text- 0.1 ^ circ text$
  4. _____ & gt $ text- 2 ^ circ text$

Problema 3

Dibuja un diagrama para representar cada una de estas situaciones. Luego, escribe una expresión de suma que represente la temperatura final.

  1. La temperatura era de $ 80 ^ circ text$ y luego cayó $ 20 ^ circ text$.
  2. La temperatura era $ text-13 ^ circ text$ y luego subió $ 9 ^ circ text$.
  3. La temperatura era $ text-5 ^ circ text$ y luego cayó $ 8 ^ circ text$.

Problema 4 (de la Unidad 2, Lección 7)

Decide si cada tabla podría representar una relación proporcional. Si la relación pudiera ser proporcional, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad?

El número de ruedas de un grupo de autobuses.

El número de ruedas de un tren.

Problema 5 (de la Unidad 4, Lección 7)

A Noah se le asignó la tarea de hacer 64 galletas para la venta de pasteles. Hizo el 125% de ese número. Se vendió el 90% de las galletas que hizo. ¿Cuántas galletas de Noah quedaron después de la venta de pasteles?


Comparación de soluciones de diagramas de cinta con soluciones algebraicas



Ejemplos, videos y soluciones para ayudar a los estudiantes de séptimo grado a aprender a comparar soluciones de diagramas de cintas con soluciones algebraicas.

Matemáticas Básicas Comunes del Estado de Nueva York Grado 7, Módulo 2, Lección 17

Lección 17 Resultados de los estudiantes

Los estudiantes usan diagramas de cintas para resolver ecuaciones de la forma px + q = r y p (x + q) = r, (donde p, qyr son pequeños números enteros positivos) e identifican la secuencia de operaciones utilizadas para encontrar el solución.

Los estudiantes traducen problemas de palabras para escribir y resolver ecuaciones algebraicas usando diagramas de cinta para modelar los pasos que registran algebraicamente.

Los diagramas de cinta se pueden usar para modelar e identificar la secuencia de operaciones para encontrar una solución algebraicamente.

El objetivo de resolver ecuaciones algebraicamente es aislar la variable.

El proceso de hacer esto requiere & ldquouning & rdquo suma o resta para obtener un 0 y & ldquouning & rdquo multiplicación o división para obtener un 1. Se aplican las propiedades aditiva inversa e inversa multiplicativa, para obtener el 0 (la identidad aditiva) y el 1 (la identidad multiplicativa) .

Las propiedades de igualdad de suma y multiplicación se aplican porque en una ecuación, A = B, cuando se suma o multiplica un número en ambos lados, la suma o el producto resultante permanece igual.


Ejemplo 1
Gastos de sus vacaciones familiares
John y Ag están resumiendo algunos de los gastos de sus vacaciones familiares para ellos y sus tres hijos, Louie, Missy y Bonnie. Cree un modelo para determinar cuánto costará cada artículo, utilizando toda la información proporcionada. Luego, responda las preguntas que siguen.

Para cenar una noche, la familia fue a la pizzería local. El costo de un refresco era. Si cada miembro de la familia tenía un refresco y una porción de pizza, ¿cuánto costaba una porción de pizza?

Preguntas de discusión / lección para el enfoque algebraico

1. Al resolver una ecuación con paréntesis, se debe seguir el orden de las operaciones. ¿Qué propiedad se puede usar para eliminar paréntesis, por ejemplo, 3 (a + b) = 3a + 3b?

2. Otro método para resolver el problema es eliminar primero el coeficiente. ¿Cómo se haría para eliminar el coeficiente?

3. ¿Cómo "hacemos" la multiplicación?

4. ¿Cuál es el resultado al "deshacer" la multiplicación en cualquier problema?

5. ¿Qué propiedad matemática se está aplicando al "descuidar" la multiplicación?

6. ¿Qué enfoque se debe tomar al resolver una variable en una ecuación y se requiere & ldquouning & rdquo adición?

7. ¿Cómo se puede mostrar este enfoque con un diagrama de cinta?

8. ¿Cuál es el resultado cuando se & ldquouning & rdquo además en cualquier problema?

9. ¿Qué propiedad matemática se está aplicando cuando se "quita" la suma?

10. ¿Qué propiedad matemática nos permite realizar una operación (o "hacer lo mismo") en ambos lados de la ecuación?

11. ¿Cómo se aplican las propiedades de igualdad de suma y multiplicación?

El costo de un servicio de niñera en un crucero es de $ 10 por la primera hora y $ 12 por cada hora adicional. Si el costo total de cuidar al bebé Aaron fue de $ 58, ¿cuántas horas estuvo Aaron en la niñera?

¿Cómo se puede utilizar un diagrama de cinta para modelar este problema?

¿En qué se parece el diagrama de cintas para este problema a los diagramas de cintas utilizados en la actividad anterior?

¿En qué se diferencia el diagrama de cintas para este problema de los diagramas de cintas utilizados en la actividad anterior?

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Matemáticas ilustrativas Unidad 6.6, Lección 6: Escribir expresiones donde las letras representan números

Dejemos que & rsquos use expresiones con variables para describir situaciones.

Resumen de la lección 6

El siguiente diagrama muestra cómo usar expresiones con variables para describir situaciones.

Lección 6.1 Charla de álgebra: cuando x es 6

Resuelve cada ecuación. Esté preparado para explicar su razonamiento. Si x es 6, ¿cuál es?

Desplácese hacia abajo en la página para ver las soluciones hasta la sección & ldquo¿Estás listo para más? & Rdquo.

Lección 6.2 Ventas de limonada y alturas

  1. Lin instaló un puesto de limonada. Ella vende la limonada a .50 la taza. una. Complete la tabla para mostrar cuánto dinero recolectaría si vendiera cada número de tazas.

Lección 6.3 Construir expresiones

  1. Clare es 5 años mayor que su prima.
    una. ¿Qué edad tendría Clare si su prima es:
    ¿10 años?
    ¿2 años de edad?
    x años?
    B. Clare tiene 12 años. ¿Qué edad tiene la prima de Clare?
  2. Diego tiene 3 veces más cómics que Han.
    una. ¿Cuántos cómics tiene Diego si Han tiene:
    6 libros de historietas?
    n libros?
    B. Diego tiene 27 cómics. ¿Cuántos cómics tiene Han?
  3. Dos quintas partes de las verduras del huerto de Priya son tomates.
    una. ¿Cuántos tomates hay si el jardín de Priya tiene:
    20 verduras?
    x verduras?
    B. El jardín de Priya tiene 6 tomates. ¿Cuántas verduras en total hay?
  4. Una escuela pagó $ 31.25 por cada calculadora.
    una. Si la escuela compró x calculadoras, ¿cuánto pagaron?
    B. La escuela gastó $ 500 en calculadoras. ¿Cuántos compró la escuela?

¿Estás listo para más?

Kiran, Mai, Jada y Tyler fueron al carnaval de su escuela. Todos ganaron fichas que pudieron canjear por premios. Kiran ganó 2/3 tantas fichas como Jada. Mai ganó 4 veces más fichas que Kiran. Tyler ganó la mitad de fichas que Mai.

  1. Escribe una expresión para la cantidad de fichas que ganó Tyler. Solo debes usar una variable:, que representa la cantidad de fichas que ganó Jada.
  2. Si Jada ganó 42 fichas, ¿cuántas fichas ganaron Tyler, Kiran y Mai cada uno?
    • Mostrar respuesta

Número de fichas que ganó Jada: J
Número de fichas que ganó Kiran: 2/3 J
Número de fichas que ganó Mai: 4 · 2/3 J = 8/3 J

  1. Número de fichas que ganó Tyler: 1/2 · 8/3 J = 4/3 J
  2. J = 42
    Número de fichas que ganó Kiran: 2/3 · 42 = 28
    Número de fichas que ganó Mai: 8/3 J = 8/3 · 42 = 112
    Número de fichas que ganó Tyler: 4/3 J = 4/3 · 42 = 56

Problemas de práctica de la lección 6

  1. Las instrucciones para un proyecto de manualidades dicen que la longitud de un trozo de cinta roja debe ser 7 pulgadas menos que la longitud de un trozo de cinta azul.
    una. ¿Cuánto mide la cinta roja si la longitud de la cinta azul es:
    ¿10 pulgadas?
    27 pulgadas?
    x pulgadas?
    B. ¿Cuánto mide la cinta azul si la cinta roja mide 12 pulgadas?
  2. Tyler tiene 3 veces más libros que Mai.
    una. ¿Cuántos libros tiene Mai si Tyler tiene:
    15 libros?
    21 libros?
    x libros?
    B. Tyler tiene 18 libros. ¿Cuántos libros tiene Mai?
  3. Una botella tiene capacidad para 24 onzas de agua. Tiene x onzas de agua.
    una. ¿Qué representa 24 - x en esta situación?
    B. Escribe una pregunta sobre esta situación que tenga 24 - x como respuesta.
  4. Escribe una ecuación representada por este diagrama de cinta que use cada una de las siguientes operaciones.
    una. adición
    B. sustracción
    C. multiplicación
    D. división
  5. Seleccione todas las ecuaciones que describen cada situación y luego encuentre la solución.
    una. La casa Han & rsquos está a 450 metros de la escuela. La casa de Lin está 135 metros más cerca de la escuela. ¿A qué distancia está la casa de Lin de la escuela?
    z = 450 + 135
    z = 450 - 135
    z - 135 = 450
    z + 135 = 450
    B. La lista de reproducción de Tyler & rsquos tiene 36 canciones. La lista de reproducción de Noah tiene una cuarta parte de las canciones que la lista de reproducción de Tyler & rsquos. ¿Cuántas canciones hay en la lista de reproducción de Noah?
    w = 4 · 36
    w = 36 ÷ 4
    4w = 36
    w / 4 = 36
  6. Tenías $ 50. Gastaste el 10% del dinero en ropa, el 20% en juegos y el resto en libros. ¿Cuánto dinero se gastó en libros?
  7. Un cubo de basura tiene una capacidad de 50 galones. ¿Qué porcentaje de su capacidad es cada uno de los siguientes? Muestre su razonamiento.
    una. 5 galones
    B. 30 galones
    C. 45 galones
    D. 100 galones

El plan de estudios de matemáticas de Open Up Resources se puede descargar gratis del sitio web de Open Up Resources y también está disponible en Illustrative Mathematics.

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Indicadores de progreso de la escuela intermedia

Indicador de progreso: M.NO.1d que representa números enteros (números positivos / negativos) y los ubica en una recta numérica
Conectores de contenido principal: 6 Dominio / Clúster CCSS Estándar estatal básico común
6.NO.1d1 Identifica números como positivos o negativos Expresiones y ecuaciones

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

a) Reconocer los signos opuestos de los números que indican ubicaciones en lados opuestos del 0 en la recta numérica reconocer que el opuesto del opuesto de un número es el número mismo, por ejemplo, - (- 3) = 3, y que 0 es el suyo opuesto.

b) Comprender los signos de los números en pares ordenados como indicativos de ubicaciones en cuadrantes del plano de coordenadas. Reconocer que cuando dos pares ordenados difieren solo por signos, las ubicaciones de los puntos están relacionadas por reflejos en uno o ambos ejes.

c) Encuentra y coloca números enteros y otros números racionales en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical. Encuentra y coloca pares de números enteros y otros números racionales en un plano de coordenadas.

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

a) Reconocer los signos opuestos de los números que indican ubicaciones en lados opuestos del 0 en la recta numérica reconocer que el opuesto del opuesto de un número es el número mismo, por ejemplo, - (- 3) = 3, y que 0 es el suyo opuesto.

b) Comprender los signos de los números en pares ordenados como indicativos de ubicaciones en cuadrantes del plano de coordenadas. Reconocer que cuando dos pares ordenados difieren solo por signos, las ubicaciones de los puntos están relacionadas por reflejos en uno o ambos ejes.

c) Encuentra y coloca números enteros y otros números racionales en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical. Encuentra y coloca pares de números enteros y otros números racionales en un plano de coordenadas.

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

a) Reconocer los signos opuestos de los números que indican ubicaciones en lados opuestos del 0 en la recta numérica reconocer que el opuesto del opuesto de un número es el número mismo, por ejemplo, - (- 3) = 3, y que 0 es el suyo opuesto.

b) Comprender los signos de los números en pares ordenados como indicativos de ubicaciones en cuadrantes del plano de coordenadas. Reconocer que cuando dos pares ordenados difieren solo por signos, las ubicaciones de los puntos están relacionadas por reflejos en uno o ambos ejes.

c) Encuentra y coloca números enteros y otros números racionales en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical. Encuentra y coloca pares de números enteros y otros números racionales en un plano de coordenadas.

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

c) Encuentra y coloca números enteros y otros números racionales en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical. Encuentra y coloca pares de números enteros y otros números racionales en un plano de coordenadas.

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

c) Encuentra y coloca números enteros y otros números racionales en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical. Encuentra y coloca pares de números enteros y otros números racionales en un plano de coordenadas.

6 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de números al sistema de números racionales.

a) Entender el valor absoluto de un número racional como su distancia de 0 en la recta numérica interpretar el valor absoluto como magnitud para una cantidad positiva o negativa en una situación del mundo real. Por ejemplo, para un saldo de cuenta de -30 dólares, escriba | -30 | = 30 para describir el tamaño de la deuda en dólares.

6 RP Entender conceptos de razones y usar el razonamiento de razones para resolver problemas.

c) Encuentra un porcentaje de una cantidad como una tasa por 100 (por ejemplo, 30% de una cantidad significa 30/100 veces la cantidad) resuelve problemas que involucran encontrar el todo, dada una parte y el porcentaje.

6 RP Entender conceptos de razones y usar el razonamiento de razones para resolver problemas.

6 RP Entender conceptos de razones y usar el razonamiento de razones para resolver problemas.

6 RP Entender conceptos de razones y usar el razonamiento de razones para resolver problemas.

a) Haga tablas de razones equivalentes que relacionen cantidades con medidas de números enteros, encuentre los valores faltantes en las tablas y trace los pares de valores en el plano de coordenadas. Use tablas para comparar razones.

6 RP Entender conceptos de razones y usar el razonamiento de razones para resolver problemas.

a) Resolver problemas de tasa unitaria, incluidos los que involucran precio unitario y velocidad constante. Por ejemplo, si tomó 7 horas cortar 4 céspedes, entonces a ese ritmo, ¿cuántos céspedes se podrían cortar en 35 horas? ¿A qué ritmo se poda el césped?

5 NBT Entender el sistema de valor posicional.

Expresiones y ecuaciones

6 EE Aplicar y ampliar conocimientos previos de aritmética a expresiones algebraicas.

6.EE.A.1 Escribir y evaluar expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros.

6 EE Aplicar y ampliar conocimientos previos de aritmética a expresiones algebraicas.

7 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de operaciones con fracciones para sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales.

b) Entender p + q como el número ubicado a una distancia | q | de p, en sentido positivo o negativo según q sea positivo o negativo. Demuestre que un número y su opuesto tienen una suma de 0 (son inversos aditivos). Interpretar sumas de números racionales describiendo contextos del mundo real.

c) Entender la resta de números racionales como la suma del inverso aditivo, p - q = p + (–q). Muestre que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia y aplique este principio en contextos del mundo real.

7 NS Aplicar y ampliar conocimientos previos de operaciones con fracciones para sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales.

c) Entender la resta de números racionales como la suma del inverso aditivo, p - q = p + (–q). Muestre que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia y aplique este principio en contextos del mundo real.

6 RP Entender conceptos de razones y usar el razonamiento de razones para resolver problemas.

d) Usar el razonamiento de razones para convertir unidades de medida, manipular y transformar unidades de manera apropiada al multiplicar o dividir cantidades.

8 EE Trabaja con radicales y exponentes enteros.

8 EE Trabaja con radicales y exponentes enteros.

8 NS Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales.

8 NS Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales.

8 NS Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales.


Más temas sobre Florida

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MAFS.3.MD.1.1 Decir y escribir la hora al minuto más cercano y medir los intervalos de tiempo en minutos. Resolver problemas verbales que involucran sumas y restas de intervalos de tiempo en minutos, por ejemplo, representando el problema en un diagrama de recta numérica.


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  • 2 soportes para azulejos scrabble

Como calentamiento, comience con un repaso rápido de fracciones. Distribuya el papel para doblar y pida a sus alumnos que doblen las fracciones (lo más rápido posible, el primero que se haga es el ganador) a medida que los diga. Diga ½, 1/3, ¼, 1/6 y 1/8, en orden aleatorio.

Si tienen alguna dificultad, continúe con este ejercicio durante varias rondas. Cuando logre fluidez, dígale que está orgulloso. Dígales que tiene un tema divertido para analizar hoy y que es un tema que ni siquiera necesitará enseñar para que puedan descubrirlo todo por sí mismos. Entregue a cada estudiante un juego parcial de tarjetas visuales de ½, ¼, 2/4 y ¾ de números de fracción y tarjetas visuales y numéricas. Pídales que hagan coincidir las tarjetas con las imágenes del pastel y luego que ordenen ambos juegos según el tamaño, de menor a mayor.

Cuando hayan terminado, camine por la sala y revise el trabajo de los estudiantes. Ayude a todos los que hayan tenido problemas, animándolos a mirar las tarjetas ilustradas y comparar tamaños relativos. Busque dos estudiantes que hayan elegido diferentes órdenes y entrégueles los soportes para azulejos de scrabble. Pídales que coloquen sus tarjetas numéricas con cuidado en el soporte de los azulejos, luego vayan al frente del salón y muestren su orden a la clase. Observe que estos son dos ordenamientos diferentes del mismo conjunto pregunte cuál está mal.

Invite a los alumnos que señalen que uno u otro es incorrecto a explicar por qué está mal, utilizando las tarjetas ilustradas y comparando tamaños.

Si sus estudiantes dicen unánimemente que ninguno de los dos está equivocado, dígales que tienen razón. Dibuje en la pizarra las fracciones del círculo visual y demuestre cómo las dos partes son exactamente iguales.

Dígales que en matemáticas las dos fracciones ½ y 2/4 se llaman fracciones equivalentes. Explique que lo que eso significa es que son dos nombres para la misma cosa. A veces, un nombre es más útil, a veces el otro lo es. Pregúnteles si conocen a alguien que tenga dos nombres. Si no dan sus propios ejemplos, recuérdeles de un conocido común: el director, tal vez, que se llama Sr. Brown en la escuela, papá en casa y Jake por sus amigos golfistas. Señale que el hombre al que se refieren estos nombres es el mismo, sin importar el nombre que se le dé, y que todos estos nombres le pertenecen por igual.

También puede usarse a sí mismo como ejemplo.

Dibuje un semicírculo en la pizarra y dígales a sus alumnos que esto podría etiquetarse como ½ o 2/4, y ambas respuestas serían completamente correctas. Pregúnteles si pueden pensar en otros nombres para esta misma porción.

Si alguno de los alumnos tiene alguna sugerencia, invítelos a que se presenten y demuestren la equivalencia en la pizarra con dibujos. Si nadie tiene idea, use líneas para dividir el círculo en el tablero en ocho cuñas iguales, y señale que la mitad también son cuatro cuñas de 1/8, o 4/8.

Pregunte a sus alumnos cuántos nombres tiene cada porción. Permítales pensar y discutir esto, y luego demuestre cómo cada porción tendrá un número infinito de nombres, porque siempre puede dividir las piezas existentes por la mitad nuevamente para obtener el doble de piezas más pequeñas.

Reparta los juegos de tarjetas restantes y pida a los estudiantes que hagan coincidir las tarjetas numéricas con las tarjetas visuales y luego ordenen todas las tarjetas por tamaño de porción, de menor a mayor. Sugiérales que muestren equivalencia colocando fracciones equivalentes al mismo nivel en sus ordenaciones.

Deje que sus estudiantes tomen su tiempo sobre sus pedidos. Si terminan rápidamente y le queda tiempo antes del final de la clase, haga un trabajo de prueba: dibuje partes sombreadas en la pizarra y pida a sus alumnos que lo ayuden a elaborar una lista de posibles & # 8216 nombres & # 8217.


Estándar 6 - Sentido numérico - Grados 7-8

Indicadores y actividades

Los indicadores de progreso acumulados para el octavo grado aparecen a continuación en negrita. A cada indicador le siguen actividades que ilustran cómo se puede abordar en el aula en los grados 7 y 8.

Sobre la base del conocimiento y las habilidades adquiridas en los grados anteriores, las experiencias en los grados 7-8 serán tales que todos los estudiantes:

10. Comprender las notaciones monetarias, contar y calcular dinero y reconocer la naturaleza decimal de la moneda de los Estados Unidos.

    Los estudiantes pueden resolver una variedad de problemas de dinero del mundo real, tales como: Si gana $ 750.00 al mes, ¿preferiría tener un aumento del 12% o un aumento de $ 85 al mes? o ¿Qué oferta es mejor con un suéter de $ 17,00, una rebaja de 1/3, un descuento de $ 5,00 o un descuento del 30%?

11. Ampliar su comprensión del sistema numérico construyendo significados para enteros, números racionales, porcentajes, exponentes, raíces, valores absolutos y números representados en notación científica.

    Los estudiantes desarrollan unas Olimpiadas de notación científica creando eventos como el sprint de 9.144 x 10 3 centímetros (carrera de 100 yardas) o el lanzamiento de 7.272 x 10 6 miligramos (lanzamiento de peso).

12. Desarrollar el sentido numérico necesario para la estimación.

    Los estudiantes luchan con este problema clásico: después de pasar la mayor parte del día buscando a su gato perdido, Whiskers, la excéntrica multimillonaria, la Sra. Money Bags, recibió una demanda de rescate. La persona que llamó dijo que debía llevar una maleta con $ 1,000,000 en billetes de uno y cinco dólares a la estación de autobuses y dejarla en el casillero n. ° 26-C. Entonces su mascota le sería devuelta. ¿Cómo respondió ella?

13. Ampliar el sentido de magnitudes de diferentes tipos de números para incluir enteros, números racionales y raíces.

    Los estudiantes juegan a Ubicar el Punto. Una recta numérica con los puntos finales -5 y 5 se suspende en el aula, usando una cadena larga con pestañas para indicar las posiciones de los números enteros entre los dos números finales. Los estudiantes reciben tarjetas con diferentes tipos de números. (Por ejemplo: -12/3, 1.1, 1.01, cuadrado (2), Pi, -2 2 , (-2) 2 , cuadrado (3), cuadrado (8), 1.999. 2, la raíz cúbica de 8, etc.) Se turnan y colocan su tarjeta en el lugar apropiado de la recta numérica. Los compañeros de clase deciden si la posición es la correcta. Si se usa más de una expresión para el mismo número, las tarjetas con esos números se adjuntan con cinta adhesiva.

14. Comprender y aplicar razones, proporciones y porcentajes en una variedad de situaciones.

    Los estudiantes toman datos de precios al consumidor de hace 10 y 25 años y calculan el porcentaje de aumento o disminución en los precios de varios productos durante esos períodos de tiempo. Discuten preguntas como: ¿Qué hace que suba un precio? ¿Qué lo haría bajar?

15. Desarrollar y usar relaciones de orden para números enteros y racionales.

    Los estudiantes usan modelos concretos y pictóricos para desarrollar relaciones de orden entre fracciones y números enteros. Usando varillas de Cuisenaire y variando la unidad, los estudiantes demuestran que una fracción es más grande que otra. Se hacen argumentos y conclusiones similares en una recta numérica para números enteros.

16. Recognize and describe patterns in both finite and infinite number sequences involving whole numbers, rational numbers, and integers.

    Students formulate a description of the nth row of Pascal's triangle.

17. Develop and apply number theory concepts, such as primes, factors, and multiples, in real-world and mathematical problem situations.

    Students write a Logo or a BASIC computer program to find all the factors of any number that is provided as input. They can then use the same program to determine if any input number is prime.

18. Investigate the relationships among fractions, decimals, and percents, and use all of them appropriately.

    Given a circle graph of some interesting data, students estimate the size of each section of the graph as a fraction, a percent, and as a decimal. Students also create their own circle graphs.

19. Identify, derive, and compare properties of numbers.

    Students work on this problem from the Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (p. 93): Find five examples of numbers that have exactly three factors. Repeat for four factors, and then again for five factors. What can you say about the numbers in each of your lists?

Referencias

Heyman, Tom. On an Average Day . New York: Fawcett Columbine, 1989.

National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics . Reston, VA, 1989.

Software

Logo . Many versions of Logo are commercially available.

Survival Math . Sunburst Communications.

The Whatsit Corporation . Sunburst Communications.

Video

Powers of Ten . Philip Morrison, Phylis Morrison, and the office of Charles and Roy Eames. New York: Scientific American Library, 1982.

On-Line Resources

The Framework will be available at this site during Spring 1997. In time, we hope to post additional resources relating to this standard, such as grade-specific activities submitted by New Jersey teachers, and to provide a forum to discuss the Mathematics Standards .


Solutions

Solution: Using a tape diagram

For every 4 boys there are 5 girls and 9 students at the school. So that means that $frac49$ of the students are boys. $frac49$ of the total number of students is 120 students: $frac49 imes ? = 120$ If $frac49$ the number of students is 120, then $frac14$ of 120 is $frac19$ of the total number of students. In other words, $frac14 imes 120 = 30$ is $frac19$ the total number of students. Then 9 times this amount will give the total number of students: $9 imes 30 = 270$ So there is a total of 270 students at the school. Note that this is equivalent to finding the answer to the division problem: $120div frac49 =?$ We can see all of this very succinctly by using a tape diagram:

There are 4 units of boys and 9 units of students. Therefore 4/9 of the students are boys.

There are 270 students altogether.

Boys Girls All students
4 5 9
40 50 90
80 100 180
120 150 270

Students can multiply the numbers in the first row by 10 to get the second row, and then double that amount to get the third row. Adding the entries in the second and third row gives the fourth row that has the solution.

Alternatively, since $120 div 4 = 30$, students can just multiply the numbers in the first row by 30 to get the values in the fourth row.


Ver el vídeo: Usando el diagrama de cinta (Septiembre 2021).