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1.1.3: Hacer copias a escala - Matemáticas


Lección

Dibujemos copias a escala.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): ¿Más o menos?

Para cada problema, seleccione la respuesta de las dos opciones.

  1. El valor de (25 cdot (8.5) ) es:
    1. Más de 205
    2. Menos de 205
  2. El valor de ((9.93) cdot (0.984) ) es:
    1. Mas de 10
    2. Menos de 10
  3. El valor de ((0.24) cdot (0.67) ) es:
    1. Más de 0,2
    2. Menos de 0,2

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Dibujar copias a escala

  1. Dibuje una copia a escala de la Figura A o B usando un factor de escala de (3 ).
  2. Dibuje una copia a escala de la Figura C o D usando un factor de escala de ( frac {1} {2} ).

Ejercicio ( PageIndex {3} ): ¿Qué operaciones? (Parte 1)

Diego y Jada quieren escalar este polígono para que el lado que corresponde a 15 unidades en el original sea de 5 unidades en la copia escalada.

Diego y Jada utilizan cada uno una operación diferente para encontrar las nuevas longitudes de los lados. Aquí están sus dibujos terminados.

  1. ¿Qué operación crees que usó Diego para calcular las longitudes de su dibujo?
  2. ¿Qué operación crees que usó Jada para calcular las longitudes de su dibujo?
  3. ¿Cada método produjo una copia a escala del polígono? Explica tu razonamiento.

Ejercicio ( PageIndex {4} ): ¿Qué operaciones? (Parte 2)

Andre quiere hacer una copia a escala del dibujo de Jada, por lo que el lado que corresponde a 4 unidades en el polígono de Jada es de 8 unidades en su copia a escala.

  1. Andre dice "Me pregunto si debería agregar 4 unidades a la longitud de todos los segmentos". ¿Qué dirías en respuesta a Andre? Explique o muestre su razonamiento.
  2. Crea la copia a escala que quiere Andre. Si se queda atascado, considere usar el borde de una tarjeta o papel para medir las longitudes necesarias para dibujar la copia.

¿Estás listo para más?

Las longitudes de los lados del triángulo B son 5 más que las longitudes de los lados del triángulo A. ¿Puede el triángulo B ser una copia a escala del triángulo A? Explica tu razonamiento.

Resumen

Crear una copia a escala implica multiplicar las longitudes en la figura original por un factor de escala.

Por ejemplo, para hacer una copia a escala del triángulo (ABC ) donde la base es de 8 unidades, usaríamos un factor de escala de 4. Esto significa multiplicar todas las longitudes de los lados por 4, por lo que en el triángulo (DEF ), cada lado es 4 veces más largo que el lado correspondiente en el triángulo (ABC ).

Entradas del glosario

Definición: correspondiente

Cuando parte de una figura original coincide con parte de una copia, las llamamos partes correspondientes. Estos pueden ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.

Por ejemplo, el punto (B ) en el primer triángulo corresponde al punto (E ) en el segundo triángulo. El segmento (AC ) corresponde al segmento (DF ).

Definición: factor de escala

Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Este número se llama factor de escala.

En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque (4 cdot (1.5) = 6 ), (5 cdot (1.5) = 7.5 ) y (6 cdot (1.5) = 9 ) .

Definición: copia a escala

Una copia a escala es una copia de una figura en la que cada longitud de la figura original se multiplica por el mismo número.

Por ejemplo, el triángulo (DEF ) es una copia a escala del triángulo (ABC ). La longitud de cada lado del triángulo (ABC ) se multiplicó por 1,5 para obtener la longitud del lado correspondiente en el triángulo (DEF ).

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Aquí hay 3 polígonos.

Dibuja una copia a escala del Polígono A usando un factor de escala de 2.

Dibuja una copia a escala del Polígono B usando un factor de escala de ( frac {1} {2} ).

Dibuja una copia a escala del Polígono C usando un factor de escala de ( frac {3} {2} ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

El cuadrilátero A tiene lados de 6, 9, 9 y 12. El cuadrilátero B es una copia a escala del cuadrilátero A, con su lado más corto de longitud 2. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero B?

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Aquí hay un polígono en una cuadrícula.

Dibuja una copia a escala de este polígono que tenga un perímetro de 30 unidades. ¿Qué es el factor de escala? Explica cómo lo sabes.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Priya y Tyler están discutiendo las figuras que se muestran a continuación. Priya piensa que B, C y D son copias a escala de A. Tyler dice que B y D son copias a escala de A. ¿Estás de acuerdo con Priya o estás de acuerdo con Tyler? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 1.1.1)


Unidad 1 Grandes ideas

Esta semana su estudiante aprenderá a escalar formas. Una imagen es una copia a escala del original si la forma se estira de forma que no se distorsione. Por ejemplo, aquí hay una imagen original y cinco copias. Las imágenes C y D son copias a escala del original, pero las imágenes A, B y E no lo son.

En cada copia escalada, los lados son un cierto número de veces más largos que los lados correspondientes del original. Llamamos a este número el factor de escala. El tamaño del factor de escala afecta el tamaño de la copia. Un factor de escala mayor que 1 hace que la copia sea más grande que el original. Un factor de escala menor que 1 hace que la copia sea más pequeña.

Aquí hay una tarea para probar con su estudiante:

  1. Para cada copia, indique si es una copia a escala del triángulo original. Si es así, ¿cuál es el factor de escala?
  2. Dibuja otra copia a escala del triángulo original usando un factor de escala diferente.
    1. La copia 1 es una copia a escala del triángulo original. El factor de escala es 2, porque cada lado en la Copia 1 es dos veces más largo que el lado correspondiente en el triángulo original. 5 boldcdot 2 = 10, 4 boldcdot 2 = 8, (6.4) boldcdot 2 = 12.8
    2. La copia 2 es una copia a escala del triángulo original. El factor de escala es frac12 o 0.5, porque cada lado en la Copia 2 es la mitad de largo que el lado correspondiente en el triángulo original. 5 boldcdot (0.5) = 2.5, 4 boldcdot (0.5) = 2, (6.4) boldcdot (0.5) = 3.2
    3. La copia 3 no es una copia a escala del triángulo original. La forma se ha distorsionado. Los ángulos son de diferentes tamaños y no hay un número que podamos multiplicar por la longitud de cada lado del triángulo original para obtener la longitud del lado correspondiente en la Copia 3.

    Cuando dos situaciones diferentes pueden ser descritas por proporciones equivalentes, eso significa que son similares de alguna manera importante.

    Un ejemplo es una receta. Si dos personas preparan algo para comer o beber, el sabor solo será el mismo siempre que las proporciones de los ingredientes sean equivalentes. Por ejemplo, todas las mezclas de agua y bebida en esta tabla tienen el mismo sabor, porque las proporciones de tazas de agua a cucharadas de mezcla para bebidas son todas proporciones equivalentes.

    Si una mezcla no fuera equivalente a estos, por ejemplo, si la proporción de tazas de agua a cucharadas de mezcla para bebidas fuera 6: 4, entonces la mezcla tendría un sabor diferente.

    Observe que las proporciones de pares de longitudes de lados correspondientes son equivalentes en las figuras A, B y C. Por ejemplo, las proporciones de la longitud del lado superior a la longitud del lado izquierdo para las figuras A, B y C son equivalentes ratios. Las figuras A, B y C son copias a escala el uno del otro, esta es la forma importante en que se parecen.


    Si una figura tiene lados correspondientes que no están en una proporción equivalente a estos, como la figura D, entonces no es una copia a escala. En esta unidad, estudiará relaciones como estas que se pueden describir mediante un conjunto de razones equivalentes.


    1.2: Escala F (10 minutos)

    Actividad

    Esta tarea permite a los estudiantes describir con mayor precisión las características de las copias a escala y refinar el significado del término. Los estudiantes observan copias de un dibujo de línea en una cuadrícula y notan cómo las longitudes de los segmentos de línea y los ángulos formados por ellos se comparan con los del dibujo original.

    Los estudiantes participan en MP7 de múltiples formas en esta tarea. Identificar las características distintivas de las copias escaladas significa encontrar similitudes y diferencias en las formas. Además, el hecho de que las partes correspondientes aumenten en mismo El factor de escala es una propiedad estructural vital de las copias escaladas.

    Para la primera pregunta, espere que los estudiantes expliquen sus opciones de copias escaladas en términos intuitivos y cualitativos. Para la segunda pregunta, los estudiantes deben comenzar a distinguir copias escaladas y no escaladas de formas más específicas y cuantificables. Si a los estudiantes no se les ocurre mirar las longitudes de los segmentos, sugiérales que lo hagan.

    Mientras los estudiantes trabajan, vigile a los estudiantes que noten los siguientes aspectos de las figuras. Sin embargo, no se espera que los estudiantes utilicen estos términos matemáticos en este momento.

    • El dibujo original de la letra F y sus copias a escala tienen proporciones equivalentes de ancho a alto.
    • Podemos usar un factor de escala (o un multiplicador) para comparar las longitudes de diferentes figuras y ver si son copias a escala del original.
    • La figura original y las copias escaladas tienen ángulos correspondientes que tienen la misma medida.

    Lanzamiento

    Mantenga a los estudiantes en los mismos grupos. Déles de 3 a 4 minutos de tiempo de trabajo tranquilo y luego de 1 a 2 minutos para compartir sus respuestas con su pareja. Dígales a los estudiantes que la forma en que deciden si cada uno de los siete dibujos es una copia a escala puede ser muy diferente de cómo decide su compañero. Anime a los estudiantes a escuchar atentamente el enfoque de los demás y a estar preparados para compartir sus estrategias. Use gestos para obtener de los estudiantes las palabras "horizontal" y "vertical" y pida a los grupos que se pongan de acuerdo internamente en términos comunes para referirse a las partes de la F (por ejemplo, "tallos horizontales").

    Hablar: Rutina 1 del lenguaje matemático cada vez más fuerte y claro. Esta es la primera vez que se sugiere la Rutina 1 de lenguaje matemático como apoyo en este curso. En esta rutina, a los estudiantes se les da una pregunta o sugerencia que les haga reflexionar y se les pide que creen un primer borrador de respuesta por escrito. Los estudiantes se reúnen con 2 o 3 socios para compartir y perfeccionar su respuesta a través de la conversación. Durante la reunión, los oyentes hacen preguntas como, “¿Qué quisiste decir con. . .? " y "¿Puedes decir eso de otra manera?" Finalmente, los estudiantes escriben un segundo borrador de su respuesta que refleja las ideas de los socios y las mejoras en sus ideas iniciales. El propósito de esta rutina es brindar una oportunidad estructurada e interactiva para que los estudiantes revisen y perfeccionen sus ideas por medios verbales y escritos.
    Principio (s) de diseño: optimizar la salida (para obtener una explicación)

    Cómo sucede:

    Utilice esta rutina para brindarles a los estudiantes una oportunidad estructurada de refinar sus explicaciones para la primera pregunta: “Identifique todos los dibujos que son copias a escala del dibujo de la letra F original. Explica cómo lo sabes ". Conceda a los alumnos de 2 a 3 minutos para crear individualmente el primer borrador de respuestas por escrito.

    Invite a los alumnos a reunirse con 2 o 3 socios más para recibir comentarios.

    Indique al orador que comience compartiendo sus ideas sin mirar su borrador escrito, si es posible. Proporcione al oyente estas indicaciones para que los comentarios ayuden a su pareja a fortalecer sus ideas y aclarar su lenguaje: "¿Qué quieres decir cuando dices ...?", "¿Puedes describir eso de otra manera?", "¿Cómo sabes que _ ¿es una copia a escala? ”,“ ¿Podrías justificarlo de otra manera? ” Asegúrese de que los socios cambien de roles. Permita 1 o 2 minutos para discutir.

    Indique a los estudiantes que pasen a su próximo compañero y repitan esta reunión estructurada.

    Cierre las conversaciones con los compañeros e invite a los estudiantes a revisar y perfeccionar su redacción en un segundo borrador.

    Proporcione estos marcos de oraciones para ayudar a los estudiantes a organizar sus pensamientos de una manera clara y precisa: "El dibujo _ es una copia a escala del original, y lo sé porque ...", "Cuando miro las longitudes, me doy cuenta de eso ... "Y" Cuando miro los ángulos, me doy cuenta de eso ... "

    A continuación, se muestra un ejemplo de un segundo borrador:

    “El dibujo 7 es una copia a escala del original, y lo sé porque está ampliado uniformemente tanto en la dirección horizontal como en la vertical. No parece torcido o estirado de manera diferente en una dirección. Cuando miro la longitud del segmento superior, es 3 veces más grande que el original, y los otros segmentos hacen lo mismo. Además, cuando miro los ángulos, me doy cuenta de que todos son ángulos rectos tanto en el original como en la copia a escala ".

    Si el tiempo lo permite, haga que los estudiantes comparen su primer y segundo borrador. Si no es así, haga que los estudiantes continúen trabajando en los siguientes problemas.


    Lección 1

    Aquí hay un retrato de un estudiante. Mueva el control deslizante debajo de cada imagen, A – E, para ver cómo cambia.

    1. ¿En qué se parecen o se diferencian cada uno del retrato original del alumno?
    2. Algunos de los controles deslizantes hacen copias a escala del retrato original. ¿Cuáles crees que son copias a escala? Explica tu razonamiento.
    3. ¿Qué crees que significa "copia a escala"?

    1.2: Escala F

    Aquí hay un dibujo original de la letra F y algunos otros dibujos.

    Expandir imagen

    Descripción: & ltp & gtUn dibujo original de la letra F y otros 7 dibujos en una cuadrícula. En el dibujo original, el segmento vertical es de 4 unidades, el segmento horizontal superior es 2 unidades y el segmento horizontal inferior es una unidad. En el dibujo 1, el segmento vertical es de 6 unidades, el segmento horizontal superior es de 3 unidades y el segmento horizontal inferior es de 1 unidad y media. En el dibujo 2, el segmento vertical es de 8 unidades, el segmento horizontal superior es de 4 unidades y el segmento horizontal inferior es de 2 unidades. En el dibujo 3, el segmento vertical es de 4 unidades, el segmento horizontal superior es de 4 unidades y el segmento horizontal inferior es de 3 unidades. En el dibujo 4, el segmento vertical inclinado, desde el extremo inferior es 4 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia arriba desde el extremo superior, el segmento horizontal superior es 2 unidades y el segmento horizontal inferior es 1 unidad. En el dibujo 5, el segmento vertical es de 6 unidades, el segmento horizontal superior es de 3 unidades y el segmento horizontal inferior es de 2 unidades. En el dibujo 6, el segmento vertical es de 2 unidades, el segmento horizontal superior es 1 unidad y el segmento horizontal inferior es 1 unidad. En el dibujo 7, el segmento vertical es de 12 unidades, el segmento horizontal superior es de 6 unidades y el segmento horizontal inferior es de 3 unidades. & lt / p & gt


    Las copias a escala de rectángulos tienen una propiedad interesante. ¿Puedes ver lo que es?

    Aquí, el rectángulo más grande es una copia a escala del más pequeño (con un factor de escala de frac <3> <2>). Observe cómo la diagonal del rectángulo grande contiene la diagonal del rectángulo más pequeño. Este es el caso de dos copias a escala de un rectángulo si las alineamos como se muestra. Si dos rectángulos son no copias escaladas entre sí, entonces las diagonales no coinciden. En esta unidad, investigaremos cómo hacer copias a escala de una figura.


    1.1.3: Hacer copias a escala - Matemáticas

    Mucha gente ha pedido una rúbrica para usar en el proyecto; la rúbrica que uso está en blanco para que los estudiantes puedan decidir los criterios con los que deben ser evaluados. En cuanto a presentar el proyecto a los estudiantes, hice una especie de "ala" de la presentación y acompañé a los estudiantes como clase por los primeros pasos. Los estudiantes despegaron con el proyecto y no necesitaron mucha más orientación.

    Si desea una copia de la rúbrica, haga clic AQUÍ.

    79 comentarios:

    Buena colección, es muy bueno publicar algunas fotos en las escuelas, es muy atractivo para las escuelas. Escuelas IB en Bangalore

    ¡Amo esta idea! También enseño matemáticas de séptimo grado y estoy tratando de construir una colección de proyectos prácticos para el próximo año. Qué gran manera de que los niños comprendan el factor de escala mientras se divierten y luego pueden COLOREARLO. oh hombre, ¡les va a encantar! ¡Gracias por la idea!

    Me gustó la idea de que los niños agrandaran los envoltorios de caramelos y también probé esta actividad. Se divirtieron mientras aprendían en el proceso. ¡También pudieron comerse los dulces al final! Gracias por compartir esta idea.


    ¿Qué es una escala en matemáticas?

    Una escala en matemáticas se refiere a la proporción de un dibujo en comparación con el tamaño del objeto real. Una proporción es un tamaño relativo que generalmente representa dos valores. Por ejemplo, 1: 3 peras y pomelos representa que hay una pera por cada tres pomelos.

    Al usar la escala, la proporción representa tamaños de dibujos o modelos reales. Si la escala es 1:10, entonces el modelo o dibujo es 10 veces más pequeño que el objeto real. Si un coche de fundición a presión aparece como fundido a presión 1:10 o 1/10, entonces el coche real es 10 veces más grande que el modelo de coche.

    La escala se usa a menudo para representar elementos como automóviles, mapas y otros elementos. Un caballo real puede tener 1.500 mm de altura, pero el dibujo del caballo puede tener 150 mm de altura. Al igual que con el coche de fundición a presión, esta escala se representa escribiendo la proporción 1:10.

    El uso de dibujos a escala también puede ayudar a representar edificios. Los arquitectos a menudo usan la escala al dibujar un diseño o para construir modelos para mostrar el diseño a otros. Una casa de muñecas es un buen ejemplo de algo que se puede representar a escala. Si una casa de muñecas modelada a partir de una casa real es 50 veces más pequeña, entonces esa escala se puede representar escribiendo la proporción 1:50.


    Contenido

    En matemáticas, se pueden considerar las propiedades de escala de una función o curva. F (X) bajo recalculaciones de la variable x. Es decir, a uno le interesa la forma de F (λx) para algún factor de escala λ, que puede tomarse como un cambio de escala de longitud o tamaño. El requisito de F (X) para ser invariante en todas las recalificaciones generalmente se toma como

    para alguna elección de exponente Δ, y para todas las dilataciones λ. Esto equivale a que f sea una función homogénea de grado Δ.

    Un ejemplo de una curva invariante de escala es la espiral logarítmica, una especie de curva que aparece a menudo en la naturaleza. En coordenadas polares (r, θ), la espiral se puede escribir como

    Teniendo en cuenta las rotaciones de la curva, es invariante en todas las recalificaciones λ, es decir, θ(λr) es idéntico a una versión rotada de θ(r) .

    Geometría proyectiva Editar

    La idea de invariancia de escala de un monomio se generaliza en dimensiones superiores a la idea de un polinomio homogéneo y, más generalmente, a una función homogénea. Las funciones homogéneas son los habitantes naturales del espacio proyectivo, y los polinomios homogéneos se estudian como variedades proyectivas en geometría proyectiva. La geometría proyectiva es un campo particularmente rico de las matemáticas en sus formas más abstractas, la geometría de los esquemas, tiene conexiones con varios temas de la teoría de cuerdas.

    Fractales Editar

    A veces se dice que los fractales son invariantes en escala, aunque más precisamente, se debería decir que son auto-similares. Un fractal es igual a sí mismo típicamente solo para un conjunto discreto de valores λ, e incluso entonces puede ser necesario aplicar una traslación y rotación para hacer coincidir el fractal consigo mismo.

    Así, por ejemplo, la curva de Koch se escala con ∆ = 1, pero la escala es válida solo para valores de λ = 1/3 norte para entero n. Además, la curva de Koch se escala no solo en el origen, sino, en cierto sentido, "en todas partes": se pueden encontrar copias en miniatura de sí misma a lo largo de la curva.

    Algunos fractales pueden tener múltiples factores de escala en juego a la vez que dicha escala se estudia con análisis multifractal.

    Los rayos periódicos externos e internos son curvas invariantes.

    Si PAG(F ) es la potencia promedio esperada a la frecuencia f, luego el ruido se escala como

    con Δ = 0 para ruido blanco, Δ = -1 para ruido rosa y Δ = -2 para ruido browniano (y más generalmente, movimiento browniano).

    Más precisamente, el escalado en sistemas estocásticos se refiere a la probabilidad de elegir una configuración particular del conjunto de todas las configuraciones aleatorias posibles. Se necesita más contexto aquí. La probabilidad y la entropía están definitivamente relacionadas con la elección de una configuración particular, pero no es obvio cómo la invariancia de escala está relacionada con esto. Esta probabilidad viene dada por la distribución de probabilidad.

    Ejemplos de distribuciones invariantes de escala son la distribución de Pareto y la distribución de Zipfian.

    Distribuciones de Tweedie invariantes de escala Editar

    Distribuciones de tweedie son un caso especial de modelos de dispersión exponencial, una clase de modelos estadísticos utilizados para describir distribuciones de error para el modelo lineal generalizado y caracterizado por cierre bajo convolución aditiva y reproductiva, así como bajo transformación de escala. [1] Estos incluyen una serie de distribuciones comunes: la distribución normal, la distribución de Poisson y la distribución gamma, así como distribuciones más inusuales como la distribución compuesta de Poisson-gamma, distribuciones estables positivas y distribuciones extremadamente estables. Como consecuencia de su invariancia de escala inherente, variables aleatorias Tweedie Y demostrar una varianza var (Y) para significar E (Y) ley de potencia:

    dónde a y pag son constantes positivas. Esta varianza para significar la ley de potencia se conoce en la literatura de física como escala de fluctuación, [2] y en la literatura ecológica como ley de Taylor. [3]

    Las secuencias aleatorias, gobernadas por las distribuciones Tweedie y evaluadas por el método de expansión de contenedores exhiben una relación bicondicional entre la varianza de la ley de potencia media y las autocorrelaciones de la ley de potencia. El teorema de Wiener-Khinchin implica además que para cualquier secuencia que exhiba una varianza para significar la ley de potencia bajo estas condiciones también se manifestará 1 / f ruido. [4]

    La Teorema de convergencia Tweedie proporciona una explicación hipotética para la amplia manifestación de escala de fluctuación y 1 / f ruido. [5] Requiere, en esencia, que cualquier modelo de dispersión exponencial que manifieste asintóticamente una varianza para significar la ley de potencia deberá expresar una función de varianza que se encuentre dentro del dominio de atracción de un modelo Tweedie. Casi todas las funciones de distribución con funciones generadoras acumulativas finitas califican como modelos de dispersión exponencial y la mayoría de los modelos de dispersión exponencial manifiestan funciones de varianza de esta forma. Por lo tanto, muchas distribuciones de probabilidad tienen funciones de varianza que expresan este comportamiento asintótico, y las distribuciones Tweedie se convierten en focos de convergencia para una amplia gama de tipos de datos. [4]

    Así como el teorema del límite central requiere que ciertos tipos de variables aleatorias tengan como foco de convergencia la distribución gaussiana y expresen ruido blanco, el teorema de convergencia Tweedie requiere ciertas variables aleatorias no gaussianas para expresar 1 / f escalamiento de ruido y fluctuación. [4]

    Cosmología Editar

    En cosmología física, el espectro de potencia de la distribución espacial del fondo cósmico de microondas está cerca de ser una función invariante de escala. Aunque en matemáticas esto significa que el espectro es una ley de potencia, en cosmología el término "invariante de escala" indica que la amplitud, PAG(k), de fluctuaciones primordiales en función del número de onda, k, es aproximadamente constante, es decir, un espectro plano. Este patrón es consistente con la propuesta de inflación cósmica.

    La teoría clásica de campos se describe genéricamente por un campo, o conjunto de campos, φ, que dependen de las coordenadas, X. Las configuraciones de campo válidas se determinan resolviendo ecuaciones diferenciales para φ, y estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de campo.

    Para que una teoría sea invariante en escala, sus ecuaciones de campo deben ser invariantes bajo un cambio de escala de las coordenadas, combinado con un cambio de escala específico de los campos,

    El parámetro Δ se conoce como la dimensión de escala del campo, y su valor depende de la teoría en consideración. La invariancia de escala se mantendrá típicamente siempre que no aparezca una escala de longitud fija en la teoría. Por el contrario, la presencia de una escala de longitud fija indica que una teoría es no invariante de escala.

    Una consecuencia de la invariancia de escala es que dada una solución de una ecuación de campo invariante de escala, podemos encontrar automáticamente otras soluciones cambiando la escala de las coordenadas y los campos de manera apropiada. En términos técnicos, dada una solución, φ(X), siempre se tienen otras soluciones de la forma

    Invarianza de escala de configuraciones de campo Editar

    Para una configuración de campo en particular, φ(X), para ser invariante en escala, requerimos que

    dónde Δ es, de nuevo, la dimensión de escala del campo.

    Observamos que esta condición es bastante restrictiva. En general, las soluciones incluso de ecuaciones de campo invariantes en escala no ser invariante en la escala, y en tales casos se dice que la simetría se rompe espontáneamente.

    Electromagnetismo clásico Editar

    Un ejemplo de una teoría de campo clásica invariante en escala es el electromagnetismo sin cargas ni corrientes. Los campos son los campos eléctricos y magnéticos, mi(X,t) y B(X,t), mientras que sus ecuaciones de campo son ecuaciones de Maxwell.

    Sin cargas ni corrientes, estas ecuaciones de campo toman la forma de ecuaciones de onda.

    dónde C es la velocidad de la luz.

    Estas ecuaciones de campo son invariantes bajo la transformación

    Además, dadas las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, mi(X, t) y B(X, t), sostiene que miX, λt) y BX, λt) también son soluciones.

    Teoría del campo escalar sin masa Editar

    Otro ejemplo de una teoría de campo clásica invariante de escala es el campo escalar sin masa (tenga en cuenta que el nombre escalar no está relacionado con la invariancia de escala). El campo escalar φ(X, t) es una función de un conjunto de variables espaciales, Xy una variable de tiempo, t.

    Considere primero la teoría lineal. Al igual que las ecuaciones de campo electromagnético anteriores, la ecuación de movimiento para esta teoría también es una ecuación de onda,

    y es invariante bajo la transformación

    por lo que no debería sorprender que la teoría de campos escalares masivos sea no invariante de escala.

    Φ 4 teoría Editar

    Las ecuaciones de campo en los ejemplos anteriores son todas lineales en los campos, lo que significa que la dimensión de escala, Δ, no ha sido tan importante. Sin embargo, normalmente se requiere que la acción del campo escalar sea adimensional, y esto fija la dimensión de escala de φ. En particular,

    donde D es el número combinado de dimensiones espaciales y temporales.

    Dada esta dimensión de escala para φ, existen ciertas modificaciones no lineales de la teoría del campo escalar sin masa que también son invariantes en la escala. Un ejemplo es la teoría φ 4 sin masa para D = 4. La ecuación de campo es

    (Tenga en cuenta que el nombre φ 4 deriva de la forma del Lagrangiano, que contiene la cuarta potencia de φ).

    Cuando D = 4 (por ejemplo, tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo), la dimensión de escala del campo escalar es Δ = 1. La ecuación de campo es entonces invariante bajo la transformación

    El punto clave es que el parámetro g debe ser adimensional; de lo contrario, se introduce una escala de longitud fija en la teoría: para la teoría φ 4, este es solo el caso en D = 4. Tenga en cuenta que bajo estas transformaciones el argumento de la función φ no cambia.

    La dependencia de escala de una teoría cuántica de campos (QFT) se caracteriza por la forma en que sus parámetros de acoplamiento dependen de la escala de energía de un proceso físico dado. Esta dependencia energética es descrita por el grupo de renormalización y está codificada en las funciones beta de la teoría.

    Para que una QFT sea invariante en escala, sus parámetros de acoplamiento deben ser independientes de la escala de energía, y esto se indica mediante la desaparición de las funciones beta de la teoría. Estas teorías también se conocen como puntos fijos del flujo del grupo de renormalización correspondiente. [6]

    Electrodinámica cuántica Editar

    Un ejemplo simple de QFT invariante de escala es el campo electromagnético cuantificado sin partículas cargadas. Esta teoría en realidad no tiene parámetros de acoplamiento (ya que los fotones no tienen masa y no interactúan) y, por lo tanto, es invariante en escala, al igual que la teoría clásica.

    Sin embargo, en la naturaleza, el campo electromagnético está acoplado a partículas cargadas, como los electrones. La QFT que describe las interacciones de los fotones y las partículas cargadas es la electrodinámica cuántica (QED), y esta teoría no es invariante de escala. Podemos ver esto en la función beta de QED. Esto nos dice que la carga eléctrica (que es el parámetro de acoplamiento en la teoría) aumenta con el aumento de energía. Por lo tanto, mientras que el campo electromagnético cuantificado sin partículas cargadas es invariante de escala, QED es no invariante de escala.

    Teoría del campo escalar sin masa Editar

    La teoría de campo escalar cuantificado libre y sin masa no tiene parámetros de acoplamiento. Por lo tanto, al igual que la versión clásica, es invariante en escala. En el lenguaje del grupo de renormalización, esta teoría se conoce como el punto fijo de Gauss.

    Sin embargo, a pesar de que el clásico sin masa φ 4 la teoría es invariante en escala en D= 4, la versión cuantificada es no invariante de escala. Podemos ver esto en la función beta para el parámetro de acoplamiento, gramo.

    A pesar de que el cuantizado sin masa φ 4 no es invariante de escala, existen teorías de campo escalar cuantificadas invariantes de escala distintas del punto fijo gaussiano. Un ejemplo es el Punto fijo Wilson-Fisher, debajo.

    Teoría de campos conformales Editar

    Las QFT de escala invariante son casi siempre invariantes bajo la simetría conforme completa, y el estudio de tales QFT es la teoría de campo conforme (CFT). Los operadores en un CFT tienen una dimensión de escala bien definida, análoga a la dimensión de escala, , de un campo clásico discutido anteriormente. Sin embargo, las dimensiones de escala de los operadores en un CFT normalmente difieren de las de los campos en la teoría clásica correspondiente. Las contribuciones adicionales que aparecen en el CFT se conocen como dimensiones de escala anómalas.

    Escala y anomalías de conformidad Editar

    El ejemplo de la teoría φ 4 anterior demuestra que los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden ser dependientes de la escala incluso si la teoría de campos clásica correspondiente es invariante en la escala (o conforme invariante). Si este es el caso, se dice que la invariancia de escala clásica (o conforme) es anómala. Una teoría clásica de campo invariante de escala, donde la invariancia de escala se rompe por efectos cuánticos, proporciona una explicación de la expansión casi exponencial del universo temprano llamada inflación cósmica, siempre que la teoría pueda estudiarse a través de la teoría de la perturbación. [7]

    En mecánica estadística, a medida que un sistema experimenta una transición de fase, sus fluctuaciones se describen mediante una teoría de campo estadístico invariante en la escala. Para un sistema en equilibrio (es decir, independiente del tiempo) en dimensiones espaciales D, la teoría del campo estadístico correspondiente es formalmente similar a un CFT D-dimensional. Las dimensiones de escala en tales problemas generalmente se denominan exponentes críticos y, en principio, se pueden calcular estos exponentes en el CFT apropiado.

    El modelo de Ising Editar

    Un ejemplo que une muchas de las ideas de este artículo es la transición de fase del modelo de Ising, un modelo simple de sustancias ferromagnéticas. Este es un modelo de mecánica estadística, que también tiene una descripción en términos de teoría de campo conforme. El sistema consta de una serie de sitios de celosía, que forman una celosía periódica D-dimensional. Asociado con cada sitio de la red hay un momento magnético, o giro, y este giro puede tomar el valor +1 o -1. (Estos estados también se denominan hacia arriba y hacia abajo, respectivamente).

    El punto clave es que el modelo de Ising tiene una interacción giro-giro, lo que lo hace energéticamente favorable para alinear dos giros adyacentes. Por otro lado, las fluctuaciones térmicas suelen introducir una aleatoriedad en la alineación de los giros. A alguna temperatura crítica, TC , se dice que ocurre magnetización espontánea. Esto significa que debajo TC la interacción espín-espín comenzará a dominar, y habrá una alineación neta de espines en una de las dos direcciones.

    Un ejemplo del tipo de magnitudes físicas que uno quisiera calcular a esta temperatura crítica es la correlación entre espines separados por una distancia r. Esto tiene el comportamiento genérico:

    Descripción CFT Editar

    Las fluctuaciones de temperatura TC son invariantes en escala, por lo que se espera que el modelo de Ising en esta transición de fase sea descrito por una teoría de campo estadístico invariante en escala. De hecho, esta teoría es la Punto fijo Wilson-Fisher, una teoría de campo escalar invariante de escala particular.

    En este contexto, GRAMO(r) se entiende como una función de correlación de campos escalares,

    Ahora podemos unir varias de las ideas que ya hemos visto.

    De lo anterior, se ve que el exponente crítico, η, para esta transición de fase, también es un dimensión anómala. Esto se debe a que la dimensión clásica del campo escalar,

    donde D es el número de dimensiones de la red del modelo de Ising.

    Así que esto dimensión anómala en la teoría del campo conforme es el mismo como un exponente crítico particular de la transición de fase del modelo de Ising.

    Tenga en cuenta que para la dimensión D ≡ 4−ε , η se puede calcular aproximadamente, utilizando el expansión épsilony uno encuentra que

    En el caso físicamente interesante de tres dimensiones espaciales, tenemos ε = 1, por lo que esta expansión no es estrictamente confiable. Sin embargo, una predicción semicuantitativa es que η es numéricamente pequeño en tres dimensiones.

    On the other hand, in the two-dimensional case the Ising model is exactly soluble. In particular, it is equivalent to one of the minimal models, a family of well-understood CFTs, and it is possible to compute η (and the other critical exponents) exactly,

    Schramm–Loewner evolution Edit

    The anomalous dimensions in certain two-dimensional CFTs can be related to the typical fractal dimensions of random walks, where the random walks are defined via Schramm–Loewner evolution (SLE). As we have seen above, CFTs describe the physics of phase transitions, and so one can relate the critical exponents of certain phase transitions to these fractal dimensions. Examples include the 2D critical Ising model and the more general 2D critical Potts model. Relating other 2D CFTs to SLE is an active area of research.

    A phenomenon known as universality is seen in a large variety of physical systems. It expresses the idea that different microscopic physics can give rise to the same scaling behaviour at a phase transition. A canonical example of universality involves the following two systems:

    Even though the microscopic physics of these two systems is completely different, their critical exponents turn out to be the same. Moreover, one can calculate these exponents using the same statistical field theory. The key observation is that at a phase transition or critical point, fluctuations occur at all length scales, and thus one should look for a scale-invariant statistical field theory to describe the phenomena. In a sense, universality is the observation that there are relatively few such scale-invariant theories.

    The set of different microscopic theories described by the same scale-invariant theory is known as a universality class. Other examples of systems which belong to a universality class are:

      in piles of sand. The likelihood of an avalanche is in power-law proportion to the size of the avalanche, and avalanches are seen to occur at all size scales.
  1. The frequency of network outages on the Internet, as a function of size and duration.
  2. The frequency of citations of journal articles, considered in the network of all citations amongst all papers, as a function of the number of citations in a given paper. [cita necesaria]
  3. The formation and propagation of cracks and tears in materials ranging from steel to rock to paper. The variations of the direction of the tear, or the roughness of a fractured surface, are in power-law proportion to the size scale.
  4. The electrical breakdown of dielectrics, which resemble cracks and tears.
  5. The percolation of fluids through disordered media, such as petroleum through fractured rock beds, or water through filter paper, such as in chromatography. Power-law scaling connects the rate of flow to the distribution of fractures.
  6. The diffusion of molecules in solution, and the phenomenon of diffusion-limited aggregation.
  7. The distribution of rocks of different sizes in an aggregate mixture that is being shaken (with gravity acting on the rocks).
  8. The key observation is that, for all of these different systems, the behaviour resembles a phase transition, and that the language of statistical mechanics and scale-invariant statistical field theory may be applied to describe them.

    Newtonian fluid mechanics with no applied forces Edit

    In order to deduce the scale invariance of these equations we specify an equation of state, relating the fluid pressure to the fluid density. The equation of state depends on the type of fluid and the conditions to which it is subjected. For example, we consider the isothermal ideal gas, which satisfies

    Computer vision Edit

    In computer vision and biological vision, scaling transformations arise because of the perspective image mapping and because of objects having different physical size in the world. In these areas, scale invariance refers to local image descriptors or visual representations of the image data that remain invariant when the local scale in the image domain is changed. [8] Detecting local maxima over scales of normalized derivative responses provides a general framework for obtaining scale invariance from image data. [9] [10] Examples of applications include blob detection, corner detection, ridge detection, and object recognition via the scale-invariant feature transform.


    Accommodations

    Students requesting accommodations for this course due to a disability must provide a current Authorization for Accommodation (AFA) letter issued by the Office for Students with Disabilities (OSD) which is located in University Center 202 behind Center Hall. The AFA letter may be issued by the OSD electronically or in hard-copy in either case, please make arrangements to discuss your accommodations with me in advance. We will make every effort to arrange for whatever accommodations are stipulated by the OSD. For more information, see here.


    Ver el vídeo: Escalas: concepto de escala, tipos de escalas y ejercicios. Tecnología. (Septiembre 2021).