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1.S: Introducción al lenguaje del álgebra (resumen)


Términos clave

coeficienteLa constante que multiplica la (s) variable (s) en un término.
número compuestoUn número compuesto es un número de conteo que no es primo.
divisibilidadSi un número m es múltiplo de n, entonces decimos que m es divisible por n.
ecuaciónUna ecuación se compone de dos expresiones conectadas por un signo igual.
evaluarEvaluar una expresión algebraica significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable se reemplaza por un número dado.
expresiónUna expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables y símbolos de operación.
mínimo común múltiplo (LCM)El número más pequeño que es un múltiplo de dos números.
términos similaresTérminos que son constantes o tienen las mismas variables con los mismos exponentes.
múltiplo de un númeroUn número es un múltiplo de n si es el producto de un número de conteo y n.
factorización primaEl producto de números primos que es igual al número.
número primoUn número de conteo mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo.
solución de una ecuaciónUn valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación. El proceso de encontrar la solución a una ecuación se llama resolver la ecuación.
términoUna constante o el producto de una constante y una o más variables.

Conceptos clave

2.1 - Usar el lenguaje del álgebra

OperaciónNotaciónDecir:El resultado es…
Adicióna + bun más bLa suma de ayb
Multiplicacióna • b, (a) (b), (a) b, a (b)a veces bEl producto de ayb
Sustraccióna - ba menos bLa diferencia de ayb
Divisióna ÷ b, a / b, ( dfrac {a} {b} ), (b overline {) a} )a dividido por bEl cociente de ayb
  • Símbolo de igualdad
    • a = b se lee como a es igual ab
    • El símbolo = se llama signo igual.
  • Desigualdad

Cuadro 2.77

Notación algebraicaDecir
a = ba es igual ab
a ≠ ba no es igual ab
a a es menor que b
a> ba es mayor que b
a ≤ ba es menor o igual que b
a ≥ ba es mayor o igual que b
  • Notación exponencial
    • Para cualquier expresión, a n es un factor multiplicado por sí mismo n veces, si n es un número entero positivo.
    • anorte significa multiplicar n factores de un
    • La expresión de unnorte se lee de la a a la nth energía

  • Orden de operaciones: Al simplificar expresiones matemáticas, realice las operaciones en el siguiente orden:
  1. Paréntesis y otros símbolos de agrupación: simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
  2. Exponentes: simplifica todas las expresiones con exponentes.
  3. Multiplicación y división: realice todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  4. Suma y resta: Realiza todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.

2.2 - Evaluar, simplificar y traducir expresiones

  • Combinar términos semejantes.
  1. Identifica términos semejantes.
  2. Reorganice la expresión de modo que los términos semejantes estén juntos.
  3. Suma los coeficientes de los términos semejantes

2.3 - Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad de la suma y la resta

  • Determina si un número es la solución de una ecuación.
  1. Sustituye el número por la variable en la ecuación.
  2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
  3. Determina si la ecuación resultante es verdadera. Si es cierto, el número es una solución. Si no es cierto, el número no es una solución.
  • Propiedad de la resta de la igualdad
    • Para cualquier número a, byc, si a = b, entonces a - c = b - c.
  • Resuelve una ecuación usando la propiedad de igualdad de la resta.
  1. Usa la propiedad de igualdad de la resta para aislar la variable.
  2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
  3. Comprueba la solución.
  • Propiedad de suma de la igualdad
    • Para cualquier número a, byc, si a = b, entonces a + c = b + c.
  • Resuelve una ecuación usando la propiedad de igualdad de la suma.
  1. Utilice la propiedad de la suma de la igualdad para aislar la variable.
  2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
  3. Comprueba la solución.

2.4 - Encontrar múltiplos y factores

Pruebas de divisibilidad
Un número es divisible por
2si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8
3si la suma de los dígitos es divisible por 3
5si el último dígito es 5 o 0
6si es divisible por 2 y 3
10si el último dígito es 0
  • Factores: Si a • b = m, entonces ayb son factores de m, y m es el producto de ay b.
  • Encuentra todos los factores de un número de conteo.
  1. Divida el número por cada uno de los números de conteo, en orden, hasta que el cociente sea menor que el divisor.
    1. Si el cociente es un número de conteo, el divisor y el cociente son un par de factores.
    2. Si el cociente no es un número de conteo, el divisor no es un factor.
  2. Enumere todos los pares de factores.
  3. Escribe todos los factores en orden de menor a mayor.
  • Determinar si un número es primo.
  1. Pruebe cada uno de los números primos, en orden, para ver si es un factor del número.
  2. Empiece con 2 y deténgase cuando el cociente sea menor que el divisor o cuando se encuentre un factor primo.
  3. Si el número tiene un factor primo, entonces es un número compuesto. Si no tiene factores primos, entonces el número es primo.

2.5 - Factorización prima y mínimo común múltiplo

  • Encuentra la factorización prima de un número compuesto usando el método del árbol.
  1. Encuentre cualquier par de factores del número dado y use estos números para crear dos ramas.
  2. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la prima.
  3. Si un factor no es primo, escríbalo como el producto de un par de factores y continúe con el proceso.
  4. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos encerrados en un círculo.
  • Encuentra la factorización prima de un número compuesto usando el método de escalera.
  1. Divide el número por el primo más pequeño.
  2. Continúe dividiendo por esa prima hasta que ya no se divida de manera uniforme.
  3. Dividir por la siguiente prima hasta que ya no se divida de manera uniforme.
  4. Continúe hasta que el cociente sea primo.
  5. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en los lados y la parte superior de la escalera.
  • Encuentre el LCM enumerando múltiplos
  1. Enumere los primeros múltiplos de cada número.
  2. Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
  3. Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.
  4. Este número es el LCM.
  • Encuentre el MCM usando el método de factores primos.
  1. Encuentra la factorización prima de cada número.
  2. Escribe cada número como un producto de números primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
  3. Baja los números primos en cada columna.
  4. Multiplica los factores para obtener el LCM.

La primera vez que lees sobre el lenguaje de Julia, la idea que se te queda en la mente es "Una velocidad similar a C, con una sencillez similar a MATLAB o R ”. Y en esa oración, el punto clave es la palabra “similar”, porque las diferencias en el lenguaje con MATLAB o R pueden ser bastante estresantes cuando las cosas no funcionan como se esperaba. Esta charla es solo un resumen de ideas y código con el que me hubiera gustado introducirme en este lenguaje para evitar algunos dolores de cabeza y mensajes de error aterradores.

En esta ocasión estaremos aprendiendo algunas de las cosas básicas para comenzar a programar en Julia, un lenguaje de programación desarrollado en el MIT. Este lenguaje es cada vez más notorio entre la comunidad científica porque, además de ser un lenguaje libre orientado a la computación científica (como R u Octave), sus desarrolladores afirman tener rendimientos de velocidad similares a C, pero sin su “complejidad de lenguaje”.

Sin embargo, al comenzar con este lenguaje, en ocasiones pueden surgir errores en el código que son difíciles de leer / resolver, por lo que la tarea de programar puede resultar bastante molesta. Para evitarlos y, lo que es más importante, para aprender a resolverlos, es por eso que hacemos esta introducción al lenguaje Julia.

Pero lo primero es lo primero. Antes de comenzar a programar, necesitamos dónde ejecutar nuestro código. Para eso tenemos dos posibilidades:

Ejecútelo en el intérprete que se puede descargar desde el sitio web oficial. Al usar esta segunda opción, también se recomienda instalar la extensión IDE.

Ahora que esto está claro, ¡comencemos!


Por que importa el álgebra

El álgebra es uno de los pocos dominios principales de las matemáticas que los estudiantes estudian desde el preescolar hasta el duodécimo grado, dice Matt Larson, presidente del Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM). “El álgebra es de vital importancia porque a menudo se la ve como un guardián de las matemáticas de nivel superior y es un curso obligatorio para prácticamente todos los programas de educación postsecundaria”, dice.

Debido a que muchos estudiantes no logran desarrollar una base matemática sólida, un número alarmante se gradúa de la escuela secundaria sin estar preparado para la universidad o el trabajo. Muchos terminan tomando matemáticas de recuperación en la universidad, lo que hace que obtener un título sea un proceso más largo y costoso que para sus compañeros de clase más preparados. Y entrar a la universidad sin una comprensión de álgebra significa que los estudiantes tienen menos probabilidades de completar un curso de matemáticas de nivel universitario, lo que puede desviarlos del camino hacia la graduación. Para los estudiantes de secundaria y sus padres, el mensaje es claro: es más fácil aprender matemáticas ahora que intentar aprenderlas o volver a aprenderlas más tarde.

El primer año de álgebra es un requisito previo para todas las matemáticas de nivel superior: geometría, álgebra II, trigonometría y cálculo. Los investigadores han encontrado en múltiples estudios que los estudiantes que toman más matemáticas de alta calidad en la escuela secundaria tienen más probabilidades de declarar especializaciones en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM) en la universidad. Los estudiantes que toman Álgebra II en la escuela secundaria también tienen más probabilidades de inscribirse en la universidad o colegio comunitario.

El álgebra puede generar muchas nuevas oportunidades de éxito en el siglo XXI. Es más, cuando los estudiantes hacen la transición de la aritmética concreta al lenguaje simbólico del álgebra, desarrollan habilidades de razonamiento abstracto necesarias para sobresalir en matemáticas y ciencias.


Operaciones derivadas

Las tres operaciones anteriores son los componentes básicos de casi todo lo demás que podemos hacer en el álgebra booleana. Ahora presentaremos lo que se llama operaciones derivadas. Se trata esencialmente de atajos para combinaciones de operaciones básicas que se utilizan habitualmente. Como descubriremos más adelante, algunas de estas operaciones derivadas son muy útiles cuando queremos hacer cálculos y otras cosas.

XOR o O exclusivo

Con la operación O vimos que siempre que una de las variables sea Cierto el resultado es Cierto. También era cierto si ambos eran verdaderos. Con la operación XOR ahora decimos que el resultado será Verdadero solo si una de las dos variables es Verdadero. Es decir, uno de ellos es Verdadero pero solo uno de ellos es Verdadero. Podemos construir esta operación a partir de las operaciones básicas así:

g XOR p es equivalente a (g OR p) Y NO (g Y p)

Cuando corchetes ( ) se usan en una expresión, esto significa que evaluamos esa parte de la expresión primero antes que las otras partes.

Repasemos un ejemplo para comprender mejor lo que está sucediendo.

Si gramo es cierto y pag es falso entonces:

Sustituyendo gramo y pag para esos valores obtenemos:

(Verdadero O Falso) Y NO (Verdadero Y Falso)

El primer conjunto de corchetes (Verdadero o falso) AND NOT (True AND False) se evalúa como True, así que reemplacemos eso en la expresión y obtenemos:

Cierto Y NO (Verdadero Y Falso)

El siguiente conjunto de corchetes Verdadero Y NO (Verdadero y falso) se evalúa como Falso, así que reemplacemos eso en la expresión y también nos da:

No falso) se evalúa como Verdadero para que podamos aplicar eso a la expresión y terminamos con:


1.S: Introducción al lenguaje del álgebra (resumen)

La mayoría de nosotros hemos escuchado que la CPU se llama el cerebro de nuestra computadora porque acepta datos, le proporciona espacio de memoria temporal hasta que se almacena (guarda) en el disco duro, realiza operaciones lógicas en él y, por lo tanto, procesa (aquí también significa convierte ) datos en información. Todos sabemos que una computadora consta de hardware y software. El software es un conjunto de programas que realizan múltiples tareas al mismo tiempo. Un sistema operativo también es un software (software del sistema) que ayuda a los humanos a interactuar con el sistema informático.

Un programa es un conjunto de instrucciones dadas a una computadora para realizar una operación específica. o computadora es un dispositivo computacional que se usa para procesar los datos bajo el control de un programa de computadora. Mientras se ejecuta el programa, los datos brutos se procesan en un formato de salida deseado. Estos programas de computadora están escritos en un lenguaje de programación que son lenguajes de alto nivel. Los lenguajes de alto nivel son lenguajes casi humanos que son más complejos que el lenguaje comprensible por computadora que se llama lenguaje máquina o lenguaje de bajo nivel, así que después de conocer los conceptos básicos, estamos listos para crear un programa muy simple y básico. Así como tenemos diferentes lenguajes para comunicarnos entre nosotros, igualmente, tenemos diferentes lenguajes como C, C ++, C #, Java, python, etc para comunicarnos con las computadoras. La computadora solo entiende el lenguaje binario (el lenguaje de ceros y unos) también llamado lenguaje comprensible por máquina o lenguaje de bajo nivel, pero los programas que vamos a escribir están en un lenguaje de alto nivel que es casi similar al lenguaje humano.

El fragmento de código que se proporciona a continuación realiza una tarea básica de imprimir “¡hola mundo! Estoy aprendiendo a programar ”en la pantalla de la consola. Debemos saber que el teclado, el escáner, el mouse, el micrófono, etc. son varios ejemplos de dispositivos de entrada y el monitor (pantalla de la consola), impresora, altavoz, etc. son los ejemplos de dispositivos de salida.

En esta etapa, es posible que no pueda comprender en profundidad cómo este código imprime algo en la pantalla. El main () es una función estándar que siempre incluirás en cualquier programa que vayas a crear a partir de ahora. Tenga en cuenta que la ejecución del programa comienza desde la función main (). La función clrscr () se usa para ver solo la salida actual en la pantalla, mientras que la función printf () nos ayuda a imprimir la salida deseada en la pantalla. Además, getch () es una función que acepta cualquier entrada de caracteres desde el teclado. En palabras simples, debemos presionar cualquier tecla para continuar (algunas personas pueden decir que getch () ayuda a mantener presionada la pantalla para ver el resultado).

Entre el lenguaje de alto nivel y el lenguaje de máquina hay un lenguaje ensamblador también llamado código de máquina simbólico. El lenguaje ensamblador es particularmente específico de la arquitectura de la computadora. Programa de utilidad (Ensamblador) se utiliza para convertir código ensamblador en código máquina ejecutable. Los lenguajes de programación de alto nivel son portátiles, pero requieren interpretación o compilación para convertirlos en un lenguaje de máquina que se entienda por computadora.

Jerarquía del lenguaje informático & # 8211

  • C
  • Pitón
  • C ++
  • Java
  • SCALA
  • C#
  • R
  • Rubí
  • Ir
  • Rápido
  • JavaScript
  • Un lenguaje de programación debe ser simple, fácil de aprender y usar, tener una buena legibilidad y ser reconocible por humanos.
  • La abstracción es una característica imprescindible para un lenguaje de programación en el que viene la capacidad de definir la estructura compleja y luego su grado de usabilidad.
  • Siempre se prefiere un lenguaje de programación portátil.
  • La eficiencia del lenguaje de programación y # 8217 debe ser alta para que pueda convertirse fácilmente en un código de máquina y su ejecución ocupe poco espacio en la memoria.
  • Un lenguaje de programación debe estar bien estructurado y documentado para que sea adecuado para el desarrollo de aplicaciones.
  • Las herramientas necesarias para el desarrollo, depuración, prueba y mantenimiento de un programa deben ser proporcionadas por un lenguaje de programación.
  • Un lenguaje de programación debe proporcionar un entorno único conocido como entorno de desarrollo integrado (IDE).
  • Un lenguaje de programación debe ser coherente en términos de sintaxis y semántica.

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Contenido

Las primeras formas de álgebra fueron desarrolladas por los babilonios y los geómetras griegos como Hero of Alexandria. Sin embargo, la palabra "álgebra" es una forma latina de la palabra árabe. Al-Jabr ("casting") y proviene de un libro de matemáticas Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah, ("Ensayo sobre el cálculo de fundición y ecuación") escrito en el siglo IX por un matemático persa, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, que era un musulmán nacido en Khwarizm en Uzbekistán. Floreció bajo Al-Ma'moun en Bagdad, Irak, hasta el 813-833 d. C., y murió alrededor del 840 d. C. El libro fue traído a Europa y traducido al latín en el siglo XII. A continuación, se le dio al libro el nombre de "Álgebra". (La terminación del nombre del matemático, al-Khwarizmi, se cambió a una palabra más fácil de pronunciar en latín y se convirtió en la palabra inglesa algoritmo). [3]

Aquí hay un ejemplo simple de un problema de álgebra:

Sue tiene 12 caramelos y Ann tiene 24 caramelos. Deciden compartir para tener la misma cantidad de caramelos. ¿Cuántos dulces tendrá cada uno?

Estos son los pasos que puede seguir para resolver el problema:

  1. Para tener la misma cantidad de caramelos, Ann tiene que darle algunos a Sue. Dejar X representan la cantidad de caramelos que Ann le da a Sue.
  2. Caramelos de Sue, más X, debe ser igual que los caramelos de Ann menos X. Esto está escrito como: 12 + x = 24 - x
  3. Restar 12 a ambos lados de la ecuación. Esto da: x = 12 - x. (Lo que sucede en un lado del signo igual debe suceder también en el otro lado, para que la ecuación siga siendo cierta. Entonces, en este caso, cuando se restó 12 de ambos lados, hubo un paso intermedio de 12 + x - 12 = 24 - x - 12. Una vez que una persona se siente cómoda con esto, el paso intermedio no está escrito).
  4. Agregar X a ambos lados de la ecuación. Esto da: 2x = 12
  5. Divida ambos lados de la ecuación por 2. Esto da x = 6. La respuesta es seis. Si Ann le da a Sue 6 caramelos, tendrán la misma cantidad de caramelos.
  6. Para comprobar esto, vuelva a colocar 6 en la ecuación original siempre que X estaba: 12 + 6 = 24 - 6
  7. Esto da 18=18, cual es verdad. Cada uno tiene ahora 18 caramelos.

Con la práctica, el álgebra se puede utilizar cuando se enfrenta a un problema que es demasiado difícil de resolver de otra manera. Problemas como construir una autopista, diseñar un teléfono celular o encontrar la cura para una enfermedad requieren álgebra.

Como en la mayor parte de las matemáticas, agregar z a y (o y más z) está escrito como y + z.

Restando z de y (o y menos z) está escrito como yz.

En álgebra, multiplicar y por z (o y veces z) se puede escribir de 4 formas: y × z, y * z, y · z, o solo yz. El símbolo de multiplicación "×" generalmente no se usa porque se parece demasiado a la letra x, que a menudo se usa como variable. Además, al multiplicar una expresión más grande, se pueden usar paréntesis: y (z + 1).

Cuando multiplicamos un número y una letra en álgebra, escribimos el número delante de la letra: 5 × y = 5y. Cuando el número es 1, entonces el 1 no se escribe porque 1 multiplicado por cualquier número es ese número (1 × y = y) por lo que no es necesario.

Como nota al margen, no tienes que usar las letras X o y en álgebra. Las variables son solo símbolos que significan un número o valor desconocido, por lo que puede usar cualquier variable. X y y Sin embargo, son los más comunes.

Una parte importante del álgebra es el estudio de funciones, ya que las funciones a menudo aparecen en ecuaciones que estamos tratando de resolver. Una función es como una máquina en la que puedes poner un número (o números) y sacar cierto número (o números). Cuando se utilizan funciones, los gráficos pueden ser herramientas poderosas para ayudarnos a estudiar las soluciones de las ecuaciones.

Una gráfica es una imagen que muestra todos los valores de las variables que hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera. Por lo general, esto es fácil de hacer cuando solo hay una o dos variables. El gráfico suele ser una línea, y si la línea no se dobla o no va hacia arriba y hacia abajo, se puede describir mediante la fórmula básica y = mx + b. La variable B es la intersección con el eje y del gráfico (donde la línea cruza el eje vertical) y metro es la pendiente o inclinación de la línea. Esta fórmula se aplica a las coordenadas de un gráfico, donde se escribe cada punto de la línea (x, y).

En algunos problemas matemáticos como la ecuación de una línea, puede haber más de una variable (X y y en este caso). Para encontrar puntos en la línea, se cambia una variable. La variable que se cambia se llama variable "independiente". Luego, se hacen las matemáticas para hacer un número. El número que se hace se llama variable "dependiente". La mayoría de las veces, la variable independiente se escribe como X y la variable dependiente se escribe como y, por ejemplo, en y = 3x + 1. Esto a menudo se pone en un gráfico, usando un X eje (que va de izquierda a derecha) y un y eje (subiendo y bajando). También se puede escribir en forma de función: f (x) = 3x + 1. Entonces, en este ejemplo, podríamos poner 5 para X y obten y = 16. Ponga 2 para X obtendría y = 7. Y 0 para X obtendría y = 1. Entonces, habría una línea que pasa por los puntos (5,16), (2,7) y (0,1) como se ve en el gráfico de la derecha.

Si x tiene una potencia de 1, es una línea recta. Si es cuadrado o de alguna otra potencia, será curvo. Si usa una desigualdad (& lt o & gt), normalmente parte del gráfico está sombreado, ya sea por encima o por debajo de la línea.

En álgebra, hay algunas reglas que se pueden usar para comprender mejor las ecuaciones. Estas se llaman reglas del álgebra. Si bien estas reglas pueden parecer obvias o sin sentido, es conveniente comprender que estas propiedades no se mantienen en todas las ramas de las matemáticas. Por tanto, será útil saber cómo se declaran estas reglas axiomáticas, antes de darlas por sentadas. Antes de pasar a las reglas, reflexione sobre dos definiciones que se le darán.

Propiedad conmutativa de la suma Editar

'Conmutativo' significa que una función tiene el mismo resultado si los números se intercambian. En otras palabras, el orden de los términos en una ecuación no importa. Cuando el operador de dos términos es una adición, se aplica la 'propiedad conmutativa de la suma'. En términos algebraicos, esto da a + b = b + a < displaystyle a + b = b + a>.

¡Tenga en cuenta que esto no se aplica a la resta! (es decir, a - b ≠ b - a < displaystyle a-b neq b-a>)

Propiedad conmutativa de la multiplicación Editar

Cuando el operador de dos términos es una multiplicación, se aplica la 'propiedad conmutativa de la multiplicación'. En términos algebraicos, esto da a ⋅ b = b ⋅ a < displaystyle a cdot b = b cdot a>.

Propiedad asociativa de la suma Editar

'Asociativo' se refiere a la agrupación de números. La propiedad asociativa de la suma implica que, al agregar tres o más términos, no importa cómo se agrupen estos términos. Algebraicamente, esto da a + (b + c) = (a + b) + c < displaystyle a + (b + c) = (a + b) + c>. Tenga en cuenta que esto no es válido para la resta, p. Ej. 1 = 0 - (0 - 1) ≠ (0 - 0) - 1 = - 1 < displaystyle 1 = 0- (0-1) neq (0-0) -1 = -1> (ver la propiedad distributiva ).

Propiedad asociativa de la multiplicación Editar

La propiedad asociativa de la multiplicación implica que, al multiplicar tres o más términos, no importa cómo se agrupen estos términos. Algebraicamente, esto da a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c < displaystyle a cdot (b cdot c) = (a cdot b) cdot c>. Tenga en cuenta que esto no es válido para la división, p. Ej. 2 = 1 / (1/2) ≠ (1/1) / 2 = 1/2 < displaystyle 2 = 1 / (1/2) neq (1/1) / 2 = 1/2>.

Propiedad distributiva Editar

Propiedad de identidad aditiva Editar

'Identidad' se refiere a la propiedad de un número de que es igual a sí mismo. En otras palabras, existe una operación de dos números para que sea igual a la variable de la suma. La propiedad de identidad aditiva establece que la suma de cualquier número y 0 es ese número: a + 0 = a < displaystyle a + 0 = a>. Esto también es válido para la resta: a - 0 = a < displaystyle a-0 = a>.

Propiedad de identidad multiplicativa Editar

La propiedad de identidad multiplicativa establece que el producto de cualquier número por 1 es ese número: a ⋅ 1 = a < displaystyle a cdot 1 = a>. Esto también es válido para la división: a 1 = a < displaystyle < frac <1>> = a>.

Propiedad inversa aditiva Editar

La propiedad aditiva inversa es algo así como lo opuesto a la propiedad aditiva de identidad. Cuando una operación es la suma de un número y su opuesto, y es igual a 0, esa operación es una operación algebraica válida. Algebraicamente, establece lo siguiente: a - a = 0 < displaystyle a-a = 0>. El inverso aditivo de 1 es (-1).

Propiedad inversa multiplicativa Editar

La propiedad inversa multiplicativa implica que cuando una operación es el producto de un número y su recíproco, y es igual a 1, esa operación es una operación algebraica válida. Algebraicamente, establece lo siguiente: a a = 1 < displaystyle < frac> = 1>. El inverso multiplicativo de 2 es 1/2.

Además del "álgebra elemental" o álgebra básica, existen formas avanzadas de álgebra, que se enseñan en colegios y universidades, como álgebra abstracta, álgebra lineal y álgebra universal. Esto incluye cómo usar una matriz para resolver muchas ecuaciones lineales a la vez. Álgebra abstracta es el estudio de las cosas que se encuentran en las ecuaciones, yendo más allá de los números a lo más abstracto con grupos de números.

Muchos problemas de matemáticas tratan de física e ingeniería. En muchos de estos problemas de física, el tiempo es una variable. El tiempo usa la letra t. El uso de las ideas básicas en álgebra puede ayudar a reducir un problema matemático a su forma más simple, lo que facilita la resolución de problemas difíciles. La energía es mi, la fuerza es F, la masa es metro, la aceleración es a y la velocidad de la luz es a veces C. Esto se usa en algunas ecuaciones famosas, como f = ma y e = mc ^ 2 (aunque se necesitaban matemáticas más complejas más allá del álgebra para llegar a esa última ecuación).


6.1 Máximo común divisor y factor de agrupación

Factoriza 56 en números primos.
Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.2.

Encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) de 18 y 24.
Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.3.

Hallar el máximo factor común de dos o más expresiones

Anteriormente, multiplicamos los factores para obtener un producto. Ahora, revertiremos este proceso, comenzaremos con un producto y luego lo dividiremos en sus factores. Dividir un producto en factores se llama factorización.

Hemos aprendido a factorizar números para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números. Ahora factorizaremos expresiones y encontraremos el máximo común divisor de dos o más expresiones. El método que usamos es similar al que usamos para encontrar el LCM.

Máximo común divisor

La máximo común divisor (MCD) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

Resumimos los pasos que usamos para encontrar el máximo factor común.

Cómo

Encuentra el máximo factor común (MCD) de dos expresiones.

  1. Paso 1. Factoriza cada coeficiente en números primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.
  2. Paso 2. Enumere todos los factores, haciendo coincidir los factores comunes en una columna. En cada columna, encierre en un círculo los factores comunes.
  3. Paso 3. Reduzca los factores comunes que comparten todas las expresiones.
  4. Paso 4. Multiplica los factores.

El siguiente ejemplo nos mostrará los pasos para encontrar el máximo común divisor de tres expresiones.

Ejemplo 6.1

Encuentre el máximo común divisor de 21 x 3, 9 x 2, 15 x. 21 x 3, 9 x 2, 15 x.

Solución

Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe el
variables con exponentes en forma expandida.
Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna.
Elimina los factores comunes.
Multiplica los factores.
El MCD de 21 x 3 21 x 3, 9 x 2 9 x 2 y 15 x 15 x es 3 x 3 x.

Encuentre el máximo común divisor: 25 m 4, 35 m 3, 20 m 2. 25 m 4, 35 m 3, 20 m 2.

Encuentra el máximo común divisor: 14 x 3, 70 x 2, 105 x. 14 x 3, 70 x 2, 105 x.

Factorizar el máximo común denominador a partir de un polinomio

Enunciamos la propiedad distributiva aquí tal como la vio en capítulos anteriores y "al revés".

Propiedad distributiva

Si a, B, y C son números reales, entonces

La forma de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.

Entonces, ¿cómo se usa la propiedad distributiva para factorizar un polinomio? ¡Simplemente encuentra el MCD de todos los términos y escribe el polinomio como un producto!

Ejemplo 6.2

Cómo usar la propiedad distributiva para factorizar un polinomio

Factor: 8 m 3 - 12 m 2 n + 20 m n 2. 8 m 3 - 12 m 2 norte + 20 m norte 2.

Solución

Factoriza: 9 x y 2 + 6 x 2 y 2 + 21 y 3. 9 x y 2 + 6 x 2 y 2 + 21 y 3.

Factoriza: 3 p 3-6 p 2 q + 9 p q 3. 3 p 3 - 6 p 2 q + 9 p q 3.

Cómo

Factoriza el máximo común denominador de un polinomio.

  1. Paso 1. Encuentra el MCD de todos los términos del polinomio.
  2. Paso 2. Reescribe cada término como un producto usando el MCD.
  3. Paso 3. Usa la propiedad distributiva “inversa” para factorizar la expresión.
  4. Paso 4. Verifique multiplicando los factores.

Factorizar como sustantivo y verbo

Usamos "factor" como sustantivo y verbo:

Ejemplo 6.3

Solución

Ejemplo 6.4

Factoriza: 8 x 3 y - 10 x 2 y 2 + 12 x y 3. 8 x 3 y - 10 x 2 y 2 + 12 x y 3.

Solución

Factoriza: 15 x 3 y - 3 x 2 y 2 + 6 x y 3. 15 x 3 y - 3 x 2 y 2 + 6 x y 3.

Factoriza: 8 a 3 b + 2 a 2 b 2-6 a b 3. 8 a 3 segundo + 2 a 2 segundo 2-6 a segundo 3.

Cuando el coeficiente principal es negativo, factorizamos el negativo como parte del MCD.

Ejemplo 6.5

Factoriza: −4 a 3 + 36 a 2-8 a. −4 a 3 + 36 a 2-8 a.

Solución

El coeficiente principal es negativo, por lo que el MCD será negativo.

Factorizar: −4 b 3 + 16 b 2-8 b. −4 b 3 + 16 b 2 - 8 b.

Factoriza: −7 a 3 + 21 a 2-14 a. −7 a 3 + 21 a 2-14 a.

Hasta ahora, nuestros mayores factores comunes han sido los monomios. En el siguiente ejemplo, el máximo factor común es un binomio.

Ejemplo 6.6

Factoriza: 3 y (y + 7) - 4 (y + 7). 3 años (y + 7) - 4 (y + 7).

Solución

El MCD es el binomio y + 7. y + 7.

Factor: 4 m (m + 3) - 7 (m + 3). 4 m (m + 3) - 7 (m + 3).

Factoriza: 8 n (n - 4) + 5 (n - 4). 8 norte (norte - 4) + 5 (norte - 4).

Factorizar por agrupación

A veces no existe un factor común de todos los términos de un polinomio. Cuando hay cuatro términos, separamos el polinomio en dos partes con dos términos en cada parte. Luego busque el MCD en cada parte. Si el polinomio se puede factorizar, encontrará un factor común que surge de ambas partes. No todos los polinomios se pueden factorizar. Al igual que algunos números son primos, algunos polinomios son primos.

Ejemplo 6.7

Cómo factorizar un polinomio agrupando

Factoriza agrupando: x y + 3 y + 2 x + 6. x y + 3 y + 2 x + 6.

Solución

Factoriza agrupando: x y + 8 y + 3 x + 24. x y + 8 y + 3 x + 24.

Factoriza por agrupación: a b + 7 b + 8 a + 56. a b + 7 segundo + 8 a + 56.

Cómo

Factoriza por agrupación.

  1. Paso 1. Agrupar términos con factores comunes.
  2. Paso 2. Factoriza el factor común en cada grupo.
  3. Paso 3. Factoriza el factor común de la expresión.
  4. Paso 4. Verifique multiplicando los factores.

Ejemplo 6.8

Factoriza por agrupación: ⓐ x 2 + 3 x - 2 x - 6 x 2 + 3 x - 2 x - 6 ⓑ 6 x 2-3 x - 4 x + 2. 6 x 2-3 x - 4 x + 2.

Solución

Sección 6.1 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Hallar el máximo factor común de dos o más expresiones

En los siguientes ejercicios, encuentre el máximo factor común.

35 x 3 y 2, 10 x 4 y, 5 x 5 y 3 35 x 3 y 2, 10 x 4 y, 5 x 5 y 3

27 p 2 q 3, 45 p 3 q 4, 9 p 4 q 3 27 p 2 q 3, 45 p 3 q 4, 9 p 4 q 3

Factorizar el máximo común denominador a partir de un polinomio

En los siguientes ejercicios, factoriza el máximo factor común de cada polinomio.

12 x y 2 + 18 x 2 y 2-30 y 3 12 x y 2 + 18 x 2 y 2-30 y 3

21 p q 2 + 35 p 2 q 2 - 28 q 3 21 p q 2 + 35 p 2 q 2 - 28 q 3

20 x 3 y - 4 x 2 y 2 + 12 x y 3 20 x 3 y - 4 x 2 y 2 + 12 x y 3

24 a 3 segundo + 6 a 2 segundo 2-18 a segundo 3 24 a 3 segundo + 6 a 2 segundo 2-18 a segundo 3

−4 p 3 q - 12 p 2 q 2 + 16 p q 2 −4 p 3 q - 12 p 2 q 2 + 16 p q 2

−6 a 3 b - 12 a 2 b 2 + 18 a b 2 −6 a 3 b - 12 a 2 b 2 + 18 a b 2

Factorizar por agrupación

En los siguientes ejercicios, factoriza por agrupación.

Práctica Mixta

En los siguientes ejercicios, factoriza.

−4 x 3 y 5 - x 2 y 3 + 12 x y 4 −4 x 3 y 5 - x 2 y 3 + 12 x y 4

Ejercicios de escritura

¿Qué significa decir que un polinomio está en forma factorizada?

¿Cómo verifica el resultado después de factorizar un polinomio?

El máximo común divisor de 36 y 60 es 12. Explica lo que esto significa.

Autochequeo

Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Ⓑ Si la mayoría de sus cheques fueran:

... con confianza. ¡Felicidades! ¡Ha logrado sus objetivos en esta sección! Reflexione sobre las habilidades de estudio que utilizó para poder seguir utilizándolas. ¿Qué hizo para tener confianza en su capacidad para hacer estas cosas? ¡Se específico!

… Con un poco de ayuda. Esto debe abordarse rápidamente ya que los temas que no domina se convierten en baches en su camino hacia el éxito. Las matemáticas son secuenciales: cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase y el instructor son buenos recursos. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

…no - I don’t get it! This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

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    • Authors: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Book title: Intermediate Algebra 2e
    • Publication date: May 6, 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping

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    Distributive Laws of Boolean Algebra

    There are two statements under the Distributive Laws:

    Statement 1

    Consider three variables A, B, and C. When two variables are ANDed and ORed with a third variable, the result is the same as ORing the first and second variable with the third variable separately, and then ANDing their result.

    In simple words, the product of two variables, when added to a third variable, produces the same result as when we add each variable with the third variable separately and multiply their sums.

    A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

    Here, the OR distributes over the AND operation.

    A + (B.C) = (A . 1) + (B.C) [A.1 = A by the Identity Property of AND]

    = (A .(1 + B))+ (B.C) [1 + B = 1 by the Annulment Property of OR]

    Hence, the distributive law holds true.

    Statement 2

    Consider three variables A, B, and C. When two variables are ORed and ANDed with a third variable, the result is the same as ANDing the first and second variable with the third variable separately, and then ORing their result.

    In simple words, the sum of two variables, when multiplied to a third variable, produces the same result as when we multiply each variable with the third variable separately and add their products.

    A.(B+C) = (A.B) + (A.C)

    Here, the AND distributes over the OR operation.

    A . (B + C) = A.(B.1) + A.(C.1) [1.B = B, 1.C = C by Identity Property of AND]

    = (A.B +A.C) [1 + A = 1 by the Annulment Property of OR]

    Hence, the distributive law holds true.


    We show that a form of divide and conquer recursion on sets together with the relational algebra expresses exactly the queries over ordered relational databases which are NC -computable. At a finer level, we relate k nested uses of recursion exactly to AC k , k 1. We also give corresponding results for complex objects. 1 Introduction NC is the complexity class of functions that are computable in poly-logarithmic time with polynomially many processors on a parallel random access machine (PRAM). The query language for NC discussed here is centered around a form of divide and conquer recursion (dcr ) on finite sets which has obvious potential for parallel evaluation and can easily express, for example, transitive closure and parity. Divide and conquer with parameters e f u defines the unique function ', notation dcr (e f u), taking finite sets as arguments, such that: '() def = e '(fyg) def = f(y) '(s 1 [ s 2 ) def = u('(s 1 ) '(s 2 )) when s 1 " s 2 = For parity, we t.


    New York State Next Generation Mathematics Learning Standards Crosswalks

    The crosswalk documents are a reference tool for educators and parents to efficiently compare the changes between the 2011 New York State P-12 Common Core Learning Standards for Mathematics and the 2017 Next Generation Mathematics Learning Standards. The crosswalks can assist educators in the preliminary work required in assessing the scope of the content changes and the impact those changes will have on student learning, locally devised curriculum, instruction and instructional resources. While the crosswalks are valuable as a reference, they do not substitute for a deeper, more comprehensive understanding of the New York State Next Generation Mathematics Learning Standards.

    La Grade-level Crosswalk uses the full text (no diagrams or charts) of both sets of standards so that readers can review and compare the two sets side-by-side. Strike-through and bolded text can be seen throughout in order to highlight content differences and wording modifications between the two sets of standards.

    La Grade-level Snapshot provides a condensed one-page summary that lists standards that were added to the grade/course, standards that were moved, and any instructional considerations that need to be highlighted based on new standard clarifications or language modification.


    Ver el vídeo: introducción al Algebra (Septiembre 2021).