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21.7: Resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Evaluar el determinante de una matriz de 2 × 2
  • Evaluar el determinante de una matriz de 3 × 3
  • Usa la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
  • Resolver aplicaciones usando determinantes

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: (5 (−2) - (- 4) (1) ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Simplifica: (- 3 (8−10) + (- 2) (6−3) −4 (−3 - (- 4)) ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Simplifica: ( frac {−12} {- 8} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

En esta sección aprenderemos sobre otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales llamado regla de Cramer. Antes de que podamos comenzar a usar la regla, necesitamos aprender algunas definiciones y notación nuevas.

Evaluar el determinante de una matriz (2 × 2 )

Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene un número real asociado llamado su determinante. Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada ( left [ begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right] ), primero lo escribimos como ( left | begin {matrix} a & b c & d end {matriz} right | ). Para obtener el valor numérico real del determinado, restamos los productos de las diagonales, como se muestra.

DETERMINANTE

El determinante de cualquier matriz cuadrada ( left [ begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right] ), donde a B C, y D son números reales, es

[ left | begin {matriz} a & b c & d end {matriz} right | = ad − bc nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Evaluar el determinado de ⓐ ( left [ begin {matrix} 5 & −3 2 & −4 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} −4 & −6 0 y 7 end {matriz} derecha] ).

Respuesta

ⓐ (−14); ⓑ (−28)

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Evaluar el determinado de ⓐ ( left [ begin {matrix} −1 & 3 - 2 & 4 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} −7 & −3 - 5 & 0 end {matriz} derecha] ).

Respuesta

ⓐ 2 ⓑ (−15)

Evaluar el determinante de una matriz (3 × 3 )

Para evaluar el determinante de una matriz (3 × 3 ), tenemos que poder evaluar la menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el determinante (2 × 2 ) que se obtiene al eliminar la fila y la columna del determinante (3 × 3 ) que contiene la entrada.

MENOR DE ENTRADA EN (3 × 3 ) UN DETERMINANTE

La menor de una entrada en un determinante de (3 × 3 ) es el determinante de (2 × 2 ) que se obtiene al eliminar la fila y la columna del determinante de (3 × 3 ) que contiene la entrada.

Para encontrar el menor de la entrada (a_1 ), eliminamos la fila y la columna que lo contienen. Entonces eliminamos la primera fila y la primera columna. Luego escribimos el determinante (2 × 2 ) que queda.

Para encontrar el menor de la entrada (b_2 ), eliminamos la fila y la columna que lo contienen. Entonces eliminamos la fila (2 ^ {nd} ) y la columna (2 ^ {nd} ). Luego escribimos el determinante (2 × 2 ) que queda.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Para el determinante ( left | begin {matrix} 1 & −1 & 4 0 & 2 & −1 - 2 & −3 & 3 end {matrix} right | ), encuentre y luego evalúe el menor de ⓐ (a_1 ) Ⓑ (b_2 ) ⓒ (c_3 ).

Respuesta

ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Para el determinante ( left | begin {matrix} −2 & −1 & 0 3 & 0 & −1 - 1 & −2 & 3 end {matrix} right | ), encuentre y luego evalúe el menor de ⓐ (a_2 ) Ⓑ (b_3 ) ⓒ (c_2 ).

Respuesta

ⓐ (−3) ⓑ 2 ⓒ 3

Ahora estamos listos para evaluar un determinante (3 × 3 ). Para hacer esto, expandimos por menores, lo que nos permite evaluar el determinante (3 × 3 ) usando determinantes (2 × 2 ), ¡que ya sabemos cómo evaluar!

Para evaluar un determinante (3 × 3 ) expandiéndolo por menores a lo largo de la primera fila, usamos el siguiente patrón:

Recuerde, para encontrar el menor de una entrada, eliminamos la fila y la columna que contiene la entrada.

EXPANDIR POR MENORES DE LA PRIMERA FILA PARA EVALUAR UN DETERMINANTE (3 × 3 )

Evaluar un determinante de (3 × 3 ) mediante expandiéndose por menores a lo largo de la primera fila, el siguiente patrón:

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 3 & −2 & 4 0 & −1 & −2 2 & 3 & −1 end {matrix} right | ), expandiendo por menores a lo largo de la primera fila.

Respuesta

37

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 3 & −2 & −2 2 & −1 & 4 - 1 & 0 & −3 end {matrix} right | ), expandiendo por menores a lo largo de la primera fila.

Respuesta

7

Para evaluar un determinante de (3 × 3 ) podemos expandir por menores usando cualquier fila o columna. La elección de una fila o columna que no sea la primera a veces facilita el trabajo.

Cuando expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, usamos la siguiente tabla de patrones de signos.

[ left | begin {matriz} + & - & + - & + & - + & - & + end {matriz} right | nonumber ]

PATRÓN DE SEÑAL

Cuando se expande por menores usando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón. [ Left | begin {matriz} + & - & + - & + & - + & - & + end {matriz} right | nonumber ]

Observe que el patrón de signos en la primera fila coincide con los signos entre los términos en la expansión de la primera fila.

Dado que podemos expandir por cualquier fila o columna, ¿cómo decidimos qué fila o columna usar? Por lo general, tratamos de elegir una fila o columna que facilite nuestro cálculo. Si el determinante contiene un 0, el uso de la fila o columna que contiene el 0 facilitará los cálculos.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 4 & −1 & −3 3 & 0 & 2 5 & −4 & −3 end {matrix} right | ) expandiendo por menores.

Respuesta

Para expandir por menores buscamos una fila o columna que nos facilite nuestros cálculos. Dado que 0 está en la segunda fila y en la segunda columna, expandir por cualquiera de ellos es una buena opción. Dado que la segunda fila tiene menos negativos que la segunda columna, la expandiremos en la segunda fila.

Expanda usando la segunda fila.
Cuidado con las señales.
Evalúe cada determinante.
Simplificar.
Simplificar.
Agregar.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 2 & −1 & −3 0 & 3 & −4 3 & −4 & −3 end {matrix} right | ) expandiendo por menores.

Respuesta

(−11)

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} −2 & −1 & −3 - 1 & 2 & 2 4 & −4 & 0 end {matrix} right | ) expandiendo por menores.

Respuesta

8

Utilice la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones

La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. Puede derivarse resolviendo la forma general de los sistemas de ecuaciones por eliminación. Aquí demostraremos la regla para ambos sistemas de dos ecuaciones con dos variables y para sistemas de tres ecuaciones con tres variables.

Comencemos con los sistemas de dos ecuaciones con dos variables.

LA REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES

Para el sistema de ecuaciones ( left { begin {array} {l} a_1x + b_1y = k_1 a_2x + b_2y = k_2 end {array} right. ), La solución ((x, y ) ) puede ser determinado por

Observe que para formar el determinante D, usamos tomar los coeficientes de las variables.

Observe que para formar el determinante (D_x ) y (D_y ), sustituimos las constantes por los coeficientes de la variable que estamos encontrando.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer

Resuelva usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 2x + y = −4 3x − 2y = −6 end {array} right. )

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Resuelve usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x + y = −3 2x + 3y = 6 end {array} right. )

Respuesta

((- frac {15} {7}, frac {24} {7}) )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Resuelve usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} −x + y = 2 2x + y = −4 end {array} right. )

Respuesta

((−2,0))

RESUELVE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES USANDO LA REGLA DE CRAMER.

  1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.
  2. Evalúe el determinante (D_x ). Utilice las constantes en lugar de X coeficientes.
  3. Evalúe el determinante (D_y ). Utilice las constantes en lugar de y coeficientes.
  4. Encontrar X y y. (x = frac {D_x} {D} ), (y = frac {D_y} {D} )
  5. Escribe la solución como un par ordenado.
  6. Verifica que el par ordenado sea una solución para ambas ecuaciones originales.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables con la regla de Cramer, básicamente hacemos lo que hicimos para un sistema de dos ecuaciones. Sin embargo, ahora tenemos que resolver tres variables para obtener la solución. ¡Los determinantes también serán (3 × 3 ) lo que hará que nuestro trabajo sea más interesante!

LA REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES

Para el sistema de ecuaciones ( left { begin {array} {l} a_1x + b_1y + c_1z = k_1 a_2x + b_2y + c_2z = k_2 a_3x + b_3y + c_3z = k_3 end {array} derecha. ), la solución ((x, y, z) ) puede ser determinada por

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Resuelva el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x + 8y + 2z = −5 ​​2x + 5y − 3z = 0 x + 2y − 2z = −1 end {matriz} right. )

Respuesta

((−9,3,−1))

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Resuelva el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x + y − 6z = −3 2x + 6y + 3z = 0 3x + 2y − 3z = −6 end {matriz} right. )

Respuesta

((−6,3,−2))

La regla de Cramer no funciona cuando el valor de la D determinante es 0, ya que esto significaría que estaríamos dividiendo por 0. Pero cuando (D = 0 ), el sistema es inconsistente o dependiente.

Cuando el valor de (D = 0 ) y (D_x, space D_y ) y D son todos cero, el sistema es consistente y dependiente y hay infinitas soluciones.

Cuando el valor de (D = 0 ) y (D_x, space D_y ) y (D_z ) no son todos cero, el sistema es inconsistente y no hay solución.

SISTEMAS DE ECUACIONES DEPENDIENTES E INCONSISTENTES

Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante (D = 0 ),

[ begin {array} {lll} textbf {Valor de determinantes} & textbf {Tipo de sistema} & textbf {Solución} {D = 0 text {y} D_x, space D_y text { y} D_z text {son todos cero}} & text {consistente y dependiente} & text {infinitas soluciones} {D = 0 text {y} D_x, space D_y text {y} D_z text {no son todos cero}} & text {inconsistente} & text {sin solución} end {matriz} nonumber ]

En el siguiente ejemplo, usaremos los valores de los determinantes para encontrar la solución del sistema.

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} x + 3y = 4 - 2x − 6y = 3 end {array} right. )

Respuesta

( begin {matriz} {ll} {} & { left { begin {matriz} {l} x + 3y = 4 - 2x − 6y = 3 end {matriz} right.} { begin {array} {l} text {Evalúe el determinanteD, usando los} text {coeficientes de las variables.} end {array}} & {D = left | begin {matrix} 1 & 3 −2 & −6 end {matriz} right |} {} & {D = −6 - (- 6)} {} & {D = 0} end {matriz} )

No podemos usar la regla de Cramer para resolver este sistema. Pero al observar el valor de los determinantes (D_x ) y (D_y ), podemos determinar si el sistema es dependiente o inconsistente.

( begin {array} {ll} { text {Evaluar el determinante} D_x.} & {D_x = left | begin {matrix} 4 & 3 3 & −6 end {matrix} right |} {} & {D_x = −24−9} {} & {D_x = 15} end {array} )

Dado que todos los determinantes no son cero, el sistema es inconsistente. No hay solución.

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Resuelva el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 4x − 3y = 8 8x − 6y = 14 end {array} right. )

Respuesta

sin solución

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} x = −3y + 4 2x + 6y = 8 end {array} right. )

Respuesta

infinitas soluciones

Resolver aplicaciones usando determinantes

Una interesante aplicación de determinantes nos permite probar si los puntos son colineales. Tres puntos ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) y ((x_3, y_3) ) son colineales si y solo si el determinante de abajo es cero.

[ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ]

PRUEBA DE PUNTOS COLLINEALES

Tres puntos ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) y ((x_3, y_3) ) son colineales si y solo si

[ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ]

Usaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Determina si los puntos ((5, −5) ), ((4, −3) ) y ((3, −1) ) son colineales.

Respuesta
Sustituye los valores en el determinante.
((5, −5) ), ((4, −3) ) y ((3, −1) )
Evaluar el determinante expandiendo
por menores utilizando la columna 3.
Evalúe los determinantes.
Simplificar.
Simplificar.
El valor del determinado es 0, por lo que el
los puntos son colineales.

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Determina si los puntos ((3, −2) ), ((5, −3) ) y ((1, −1) ) son colineales.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Determina si los puntos ((- 4, −1) ), ((- 6,2) ) y ((- 2, −4) ) son colineales.

Respuesta

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con la resolución de sistemas de desigualdades lineales mediante gráficos.

  • Resolver sistemas de desigualdades lineales mediante la representación gráfica
  • Sistemas de desigualdades lineales

Conceptos clave

  • Determinante: El determinante de cualquier matriz cuadrada ( left [ begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right] ), donde a B C, y D son números reales, es

    [ left | begin {matriz} a & b c & d end {matriz} right | = ad − bc nonumber ]

  • Expansión por menores a lo largo de la primera fila para evaluar un determinante de 3 × 3: Para evaluar un determinante (3 × 3 ) expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, el siguiente patrón:
  • Patrón de señal: Cuando se expande por menores usando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón.

    [ left | begin {matrix} + & - & + - & + & - + & - & + end {matrix} right | nonumber ]

  • Regla de Cramer: Para el sistema de ecuaciones ( left { begin {array} {l} a_1x + b_1y = k_1 a_2x + b_2y = k_2 end {array} right. ), La solución ((x, y ) ) puede ser determinado por

    Observe que para formar el determinante D, usamos tomar los coeficientes de las variables.
  • Cómo resolver un sistema de dos ecuaciones usando la regla de Cramer.
    1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.
    2. Evalúe el determinante (D_x ). (x = frac {D_x} {D} ), (y = frac {D_y} {D} ).
    3. Escribe la solución como un par ordenado.
    4. Compruebe que el par ordenado sea una solución para ambas cosas ecuaciones originales.
    5. Sistemas de ecuaciones dependientes e inconsistentes: Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante (D = 0 ), [ begin {array} {lll} textbf {Valor de determinantes} & textbf {Tipo de sistema} & textbf {Solución} {D = 0 text {y} D_x, space D_y text {y} D_z text {son todos cero}} & text {consistente y dependiente} & text {infinitas soluciones} {D = 0 text {y} D_x, space D_y text {y} D_z text {no son todos cero}} & text {inconsistente} & text {sin solución} end {array} nonumber ]
    6. Prueba de puntos colineales: Tres puntos ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) y ((x_3, y_3) ) son colineales si y solo si

      [ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ]

Glosario

determinante
Cada matriz cuadrada tiene un número real asociado llamado su determinante.
menor de una entrada en un determinante de 3 × 33 × 3
El menor de una entrada en un determinante de 3 × 33 × 3 es el determinante de 2 × 22 × 2 que se encuentra al eliminar la fila y la columna en el determinante de 3 × 33 × 3 que contiene la entrada.
matriz cuadrada
Una matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas.

Como ya hemos visto, cualquier conjunto de ecuaciones lineales puede reescribirse como una ecuación matricial (A textbf) = ( textbf). Las ecuaciones lineales se clasifican como ecuaciones lineales simultáneas o ecuaciones lineales homogéneas, dependiendo de si el vector ( textbf) en el RHS de la ecuación es distinto de cero o cero.

Para un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas (distinto de cero ( textbf)) es bastante evidente que si existe una solución única, se puede encontrar multiplicando ambos lados por la matriz inversa (A ^ <-1> ) (ya que (A ^ <-1> A ) en el lado izquierdo es igual a la matriz de identidad, que no tiene efecto sobre el vector ( textbf))

En la práctica, existen métodos matriciales más fáciles para resolver ecuaciones simultáneas que encontrar la matriz inversa, pero no es necesario que nos interesen aquí. En la sección 8.4, descubrimos que para que una matriz tenga una inversa, debe tener un determinante distinto de cero. Dado que (A ^ <-1> ) debe existir para que un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas tenga una solución, esto significa que el determinante de la matriz (A ) debe ser distinto de cero para que las ecuaciones sean soluble.

Lo contrario es cierto para las ecuaciones lineales homogéneas. En este caso, el conjunto de ecuaciones solo tiene solución si el determinante de (A ) es igual a cero. Las ecuaciones seculares que queremos resolver son ecuaciones homogéneas, y usaremos esta propiedad del determinante para determinar las energías orbitales moleculares. Una propiedad importante de las ecuaciones homogéneas es que si un vector ( textbf) es una solución, también lo es cualquier múltiplo de ( textbf), lo que significa que las soluciones (los orbitales moleculares) se pueden normalizar sin causar ningún problema.


Resolver ecuaciones simultáneas usando un determinante

Factoriza el determinante $ textempezarz & amp 1 & amp 2 1 & amp z & amp 3 1 & amp 1 & amp z + 1 end$ y, por lo tanto, resuelva las ecuaciones simultáneas $ zx + y = 2, x + zy = 3, x + y = z + 1. $

El determinante es $ (z-1) (z ^ 2 + 2z-4) $, pero ¿cómo ayuda esto a resolver las ecuaciones simultáneas?

Una forma de resolver las ecuaciones es sustituyendo $ y = z + 1 - x $ en las dos primeras ecuaciones, obteniendo $ z (x + 1) = x + 1 $ y $ x + z (z + 1 - x) = 3. $ Entonces, si $ x neq -1 $ obtenemos $ z = 1 $, lo que implica que $ x + 2 - x = 3 $, una contradicción. Por tanto, $ x = -1 $.

Sustituyendo esto en las tres ecuaciones simultáneas obtenemos $ zy = 4 $ y $ y = z + 2 $. Por lo tanto $ z neq 0 $, y entonces $ frac <4> = z + 2 $, produciendo $ z ^ 2 + 2z - 4 = 0 $ (¡uno de los factores del determinante!). Resolviendo esta ecuación cuadrática para $ z $ y usando el hecho de que $ y = z + 2 $ obtenemos $ z = -1 pm sqrt <5> $ y $ y = 1 pm sqrt <5> $.

No veo la conexión con el determinante en el enunciado del problema. ¿Cómo la factorización del determinante conduce a una solución de las ecuaciones simultáneas?


Resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes

(A) encuentre el determinante de $ A, $ (b) encuentre $ A ^ <-1>, $ (c) encuentre $ operatorname left (A ^ <-1> right), $ y
(d) compare sus resultados de las partes (a) y (c). Haz una conjetura basada en tus resultados.
$ A = left [ begin
-1 y amp 3 y amp 2
1 & amp 3 y amp -1
1 y amp 1 y amp -2
final right] $

(A) encuentre el determinante de $ A, $ (b) encuentre $ A ^ <-1>, $ (c) encuentre $ operatorname left (A ^ <-1> right), $ y
(d) compare sus resultados de las partes (a) y (c). Haz una conjetura basada en tus resultados.
$ A = left [ begin
1 y amperio -3 y amperio -2
-1 y amp 3 y amp 1
0 y amp 2 y amp -2
final right] $

(A) encuentre el determinante de $ A, $ (b) encuentre $ A ^ <-1>, $ (c) encuentre $ operatorname left (A ^ <-1> right), $ y
(d) compare sus resultados de las partes (a) y (c). Haz una conjetura basada en tus resultados.
$ A = left [ begin
5 & ​​amp -1
2 y amperio -1
final right] $

(A) encuentre el determinante de $ A, $ (b) encuentre $ A ^ <-1>, $ (c) encuentre $ operatorname left (A ^ <-1> right), $ y
(d) compare sus resultados de las partes (a) y (c). Haz una conjetura basada en tus resultados.
$ A = left [ begin
1 y amp 2
-2 y amp 2
final right] $

Determina si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
Piénselo Sea $ A $ una matriz de $ 3 times 3 $ tal que $ | A | = 5. $ ¿Puede usar esta información para encontrar $ | 2 A | ? $ Explique.

Determina si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
Exploración Encuentre un par de $ 3 veces 3 $ matrices $ A $ y $ B $ para demostrar que $ | A + B | neq | A | + | B | $

Determina si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
Si dos columnas de una matriz cuadrada son iguales, entonces el determinante de la matriz será cero.

Determina si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
Si una matriz cuadrada tiene una fila completa de ceros, entonces el determinante siempre será cero.

Evalúe el determinante en el que las entradas son funciones. Los determinantes de este tipo ocurren cuando se realizan cambios de variables en el cálculo.
$ left | begin
x & amp x ln x
1 y amp 1+ ln x
final right | $

Evalúe el determinante en el que las entradas son funciones. Los determinantes de este tipo ocurren cuando se realizan cambios de variables en el cálculo.
$ left | begin
x & amp ln x
1 y amperio 1 / x
final right | $

Evalúe el determinante en el que las entradas son funciones. Los determinantes de este tipo ocurren cuando se realizan cambios de variables en el cálculo.
$ left | begin
e ^ <-x> & amp x e ^ <-x>
-e ^ <-x> & amp (1-x) e ^ <-x>
final right | $

Evalúe el determinante en el que las entradas son funciones. Los determinantes de este tipo ocurren cuando se realizan cambios de variables en el cálculo.
$ left | begin
e ^ <2 x> & amp e ^ <3 x>
2 e ^ <2 x> y amp 3 e ^ <3 x>
final right | $


Base de conocimiento sobre determinantes

Un determinante es una propiedad de una matriz cuadrada.

El valor del determinante tiene muchas implicaciones para la matriz. Un determinante de 0 implica que la matriz es singular y, por tanto, no invertible. Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver creando una matriz a partir de los coeficientes y tomando el determinante, este método se llama regla de Cramer & # x27s, y solo se puede usar cuando el determinante no es igual a 0. Geométricamente, el determinante representa el signo área del paralelogramo formado por los vectores columna tomados como coordenadas cartesianas.

Se utilizan muchos métodos para calcular el determinante. Algunas matrices, como las matrices diagonales o triangulares, pueden tener sus determinantes calculados tomando el producto de los elementos en la diagonal principal. Para una matriz de 2 por 2, el determinante se calcula restando la diagonal inversa de la diagonal principal, que se conoce como fórmula de Leibniz. El determinante del producto de las matrices es igual al producto de los determinantes de esas matrices, por lo que puede ser beneficioso descomponer una matriz en matrices más simples, calcular los determinantes individuales y luego multiplicar los resultados. Algunos métodos de descomposición útiles incluyen la descomposición de QR, LU y Cholesky. Para matrices más complicadas, se debe utilizar la fórmula de Laplace (expansión del cofactor), la eliminación de Gauss u otros algoritmos para calcular el determinante.


Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes

La solución a las ecuaciones anteriores está dada por

D es el determinante de las variables.

Pasos para resolver el sistema de ecuaciones

1. Calcule el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.

2. Calcule el determinante D1, usando las constantes en lugar de los coeficientes x.

3. Calcule el determinante D2, usando las constantes en lugar de los coeficientes y.

4. Encuentra x e y usando las ecuaciones x = D1/ D y y = D2/D.

5. Escribe la solución como un par ordenado.

Sistema de resolución de tres ecuaciones con tres variables.

La solución a las ecuaciones anteriores está dada por

Al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables con la regla de Cramer, hacemos lo que hicimos para un sistema de dos ecuaciones. Ahora tenemos que resolver tres variables para obtener la solución. Echemos un vistazo a un ejemplo de resolución de ecuaciones con dos variables utilizando el método determinante.

Condiciones para soluciones infinitas y sin soluciones

1. Si D = 0 y D1 = D2 = D3 = 0, entonces el sistema de ecuaciones puede ser consistente o no.

2. Si el valor de x, yyz satisface la tercera ecuación, se dice que el sistema es consistente y tendrá infinitas soluciones.

3. Si los valores de x, y, z no satisfacen la tercera ecuación, se dice que el sistema es inconsistente y no tendrá solución.

4. Si D1 = D2 = D3 = 0, entonces el sistema de ecuaciones lineales se llama ecuaciones lineales homogéneas, que tendrán al menos una solución, es decir (0, 0, 0). Esto se conoce como una solución trivial para ecuaciones lineales homogéneas.

5. Si el sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene soluciones distintas de cero y D = 0, entonces el sistema dado tiene infinitas soluciones. Entonces podemos resolver las ecuaciones usando el método de inversión de matrices.

Ecuaciones lineales en álgebra

El álgebra es un tema extenso que tiene muchas aplicaciones. El álgebra lineal se usa en geometría fractal, ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias, relatividad, arqueología, demografía, etc. Los estudiantes pueden esperar preguntas deecuaciones lineales en álgebra para el examen JEE. La forma estándar de una ecuación lineal en dos variables es ax + by = c, donde ayb son números reales. Las variables son xey.

Al resolver las ecuaciones en una variable, seguimos las reglas como la regla de la suma, la regla de la resta, la regla de la multiplicación y la regla de la división. Según el tipo de soluciones, el sistema de ecuaciones puede ser consistente o inconsistente.


Lección Resolver sistemas de ecuaciones lineales en tres incógnitas usando determinantes (regla de Cramer)

Resolver sistemas de ecuaciones lineales en tres incógnitas usando determinante (regla de Cramer)

En esta lección encontrará ejemplos típicos sobre la solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas usando determinantes (regla de Cramer).
La lección es una continuación de la lección CÓMO resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres incógnitas usando determinantes (regla de Cramer) en el tema actual de este sitio.

Regla de Cramer

ser un sistema de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas, donde,,,,,,,, son coeficientes, y son constantes del lado derecho, y son incógnitas. Para resolver el sistema de ecuaciones lineales (1) usando la regla de Cramer necesitas

1. para formar la matriz de coeficientes y calcular su determinante D = det.

Si el determinante no es cero, entonces la solución existe y es única, y los siguientes pasos son aplicables.

2. para calcular la primera incógnita es necesario modificar la matriz de coeficientes reemplazando su primera columna por la columna del lado derecho. Obtienes la matriz.
Luego calcule el determinante de esta matriz modificada Dx = det y divídalo por el determinante de la matriz de coeficientes: =.
3. para calcular la segunda incógnita es necesario modificar la matriz de coeficientes reemplazando su segunda columna por la columna del lado derecho. Obtienes la matriz.
Luego calcule el determinante de esta matriz modificada Dy = det y divídalo por el determinante de la matriz de coeficientes: =.
4. para calcular la tercera incógnita es necesario modificar la matriz de coeficientes reemplazando su tercera columna por la columna del lado derecho. Obtienes la matriz.
Luego calcule el determinante de esta matriz modificada Dy = det y divídalo por el determinante de la matriz de coeficientes: =.
En esta etapa se completa la solución.

Ejemplo 1

Resuelve el sistema usando la regla de Cramer

La matriz de coeficientes es =.

Calculemos su determinante usando la co-factorización (expansión) a lo largo de la primera fila (vea la lección Co-factorización del determinante de una matriz de 3x3 en el tema actual):

= 2 * det - 2 * det + (-1) * det = 2 * (- 1 - (- 1)) - 2 * (- 1-1) + (-1) * (- 1-1) = 0 - 2 * (- 2) + (-1) * (- 2) = 0 + 4 + 2 = 6.

El determinante es distinto de cero, por lo que es aplicable la regla de Cramer.

Ahora, calculemos el determinante de la primera matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Nuevamente, use el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 2 * det - 2 * det + (-1) * det = 2 * (- 1 - (- 1)) - 2 * (- 4-2) + (-1) * (- 4-2) = 0 - 2 * (- 6) - 1 * (- 6) = 0 + 12 + 6 = 18.

A continuación, calcule el determinante de la segunda matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Utilice el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 2 * det - 2 * det + (-1) * det = 2 * (- 4-2) - 2 * (- 1-1) + (-1) * (2-4) = 2 * ( -6) - 2 * (- 2) + (-1) * (- 2) = -12 +4 + 2 = -6.

Por último, calcule el determinante de la tercera matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Utilice el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 2 * det - 2 * det + 2 * det = 2 * (2 + 4) - 2 * (2-4) + 2 * (- 1-1) = 2 * 6 - 2 * (- 2) + 2 * (- 2) = 12.

Puede verificar fácilmente esta solución sustituyendo los valores encontrados en el sistema de ecuaciones original. La solución es única.

Ejemplo 2

Resuelve el sistema usando la regla de Cramer

Reescribamos el sistema usando coeficientes cero para las variables que no se muestran

La matriz de coeficientes es =.

Calculemos su determinante usando la co-factorización (expansión) a lo largo de la primera fila (vea la lección Co-factorización del determinante de una matriz de 3x3 en el tema actual):

= 0 * det - 1 * det + (-2) * det = 0 - 1 * (1-0) + (-2) * (0 + 3) = 0 - 1 - 6 = -7.

El determinante es distinto de cero, por lo que es aplicable la regla de Cramer.
Ahora, calculemos el determinante de la primera matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Nuevamente, use el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = (-3) * det - 1 * det + (-2) * det = (-3) * (- 1) - 1 * 2 + (-2) * 11 = 3 - 2 - 22 = -21 .

A continuación, calcule el determinante de la segunda matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Utilice el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 0 * det - (-3) * det + (-2) * det = 0 - (-3) * 1 + (-2) * (11-6) = 0 + 3 + (-2) * 5 = 3 - 10 = -7.

Por último, calcule el determinante de la tercera matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Utilice el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 0 * det - 1 * det + (-3) * det = 0 - 1 * (11-6) + (-3) * 3 = 0 - 5 - 9 = -14.

Puede verificar fácilmente esta solución sustituyendo los valores encontrados en el sistema de ecuaciones original. La solución es única.

Ejemplo 3

Resuelve el sistema usando la regla de Cramer

Observe que todos los términos del lado derecho son ceros en el sistema de ecuaciones dado. Estos sistemas con los términos cero del lado derecho se denominan sistemas homogéneos.

La matriz de coeficientes es =.

Calculemos su determinante usando la co-factorización (expansión) a lo largo de la primera fila (vea la lección Co-factorización del determinante de una matriz de 3x3 en el tema actual):

= 1 * det - 1 * det + 1 * det = 1 * ((- 1) * (- 2) - (- 3) * 1) - 1 * (1 * (- 2) -1 * (- 3) ) + 1 * (1 - (- 1)) = 5 - 1 + 2 = 6.

El determinante es distinto de cero, por lo que es aplicable la regla de Cramer.

Ahora, la primera matriz modificada tiene la primera columna que consta de ceros. Si calcula su determinante usando co-factorización a lo largo de la primera columna, obtendrá todos los términos en expansión iguales a cero. Por tanto, la primera matriz modificada tiene el determinante cero.

De manera similar, la segunda y tercera matrices modificadas también tienen determinantes cero.

Implica que el sistema de ecuaciones dado tiene la solución cero, y esta solución es única.

Con base en este ejemplo, puede llegar a la conclusión general de que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con determinante distinto de cero solo tiene una solución cero.


Para completar esta lección, le mostraré que a veces la regla de Cramer puede ayudarlo a resolver incluso sistemas de ecuaciones no lineales (!).
. . . Por supuesto, si el sistema de ecuaciones no lineal dado se puede reducir al lineal después de reemplazar las incógnitas :)
A continuación se muestra un ejemplo.

Ejemplo 4

Resolver el sistema de tres ecuaciones no lineales en tres incógnitas

Introduzcamos nuevas variables =, = y =.
Entonces el sistema dado de ecuaciones no lineales se reduce al lineal:

La matriz de coeficientes es. Su determinante es 1 * 1 * 1 + 1 * 1 * 1 + 1 * (- 1) * (- 1) - 1 * 1 * (- 1) - 1 * 1 * 1 - (-1) * 1 * 1 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 4.

El determinante es distinto de cero. Por tanto, es aplicable la regla de Cramer.

Calculemos el determinante de la primera matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Utilice el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 4 * det - 1 * det + (-1) * det = 4 * (1-1) - 1 * (6-8) - 1 * (6-8) = 0 + 2 + 2 = 4.

Ahora, calculemos el determinante de la segunda matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Utilice el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 1 * det - 4 * det + (-1) * det = 1 * (6-8) - 4 * (- 1-1) + (-1) * (- 8-6) = -2 + 8 + 14 = 20.

Por último, calculemos el determinante de la tercera matriz modificada, que es el numerador de la fracción para. Nuevamente, use el determinante que se expande a lo largo de la primera fila:

= det = 1 * det - 1 * det + 4 * det = 1 * (8-6) - 1 * (- 8-6) + 4 * (- 1-1) = 2 + 14 - 8 = 8.

Puede verificar fácilmente esta solución sustituyendo los valores encontrados en el sistema de ecuaciones original. La solución es única.


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MÉTODO DETERMINANTE PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, usamos las siguientes reglas.

Si ∆ ≠ 0. Entonces el sistema tiene una solución única y podemos resolver las ecuaciones usando la fórmula

y al menos uno de los coeficientes a11, a12, a21, a22 no es cero, entonces el sistema es consistente y tiene infinitas soluciones.

Si & # xa0∆ = 0 y al menos uno de los valores & # xa0∆ₓ, ∆ᵧ & # xa0 es distinto de cero, entonces el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Resuelva la siguiente ecuación & # xa0 usando el método determinante

Escriba los valores de & # xa0 Δ, & # xa0 Δx ​​y & # xa0 Δy y evalúe

Entonces, el sistema es consistente y tiene una solución única.

Por tanto, la solución es (1, 1).

Solve the  following equation using determinant method

So, the system is consistent and it has unique solution.

Hence the solution is (1, 1).

Solve the  following equation using determinant method

So, the system is inconsistent and it has no solution.

Solve the  following equation using determinant method

Since ∆ = 0, ∆  = 0 and  ∆  = 0 and atleast one of the element in ∆ is non zero.

Then the system is consistent and it has infinitely many solution. The above system is reduced into one equation. To solve this equation we have to assign y = k.

So, the solution is (3-2k, k). Here k  ∈ R where R is real numbers.

Solve the  following equation using determinant method

Here ∆ = 0 but ∆  ≠ 0, then the system is consistent and it has no solution.

Solve the  following equation using determinant method

Since ∆ = 0, ∆  = 0 and  ∆  = 0 and atleast one of the element in ∆ is non zero. Then the system is consistent and it has infinitely many solution. The above system is reduced into single equation. To solve this equation we have to assign y = k.

So, the solution is ((3-k)/2, k). Here k  ∈ R where R is real numbers.

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Determinants and Simultaneous Linear Equations

Definition 1: The determinant, det A, also denoted |A|, of an norte × norte square matrix A is defined recursively as follows:

Si A is a 1 × 1 matrix [a] (i.e. a scalar) then det A = a. Otherwise,

dónde Aij is matrix A with row I and column j removed.

Note that if A = , then we use the notation for det A.

Excel Functions: Excel provides the following function for calculating the determinant of a square matrix:

MDETERM(A): If A is a square array, then MDETERM(A) = det A. This is not an array function.

The Real Statistics function DET(A) provides equivalent functionality.

  1. det A T = det A
  2. Si A is a diagonal matrix, then det A = the product of the elements on the main diagonal of A

Proof : Both of these properties are a simple consequence of Definition 1

Example 1: Calculate det A dónde

From Definition 1 and Property 2 it follows that

Of course, we can get the same answer by using Excel’s function MDETERM(A).

Property 3: If A y B are square matrices of the same size then det AB = det A ∙ det B

Property 4: A square matrix A is invertible if and only if det A ≠ 0. If A is invertible then

The first assertion is equivalent to saying that a square matrix A is singular if and only if det A = 0.

Property 5: Rules for evaluating determinants:

  1. The determinant of a triangular matrix is the product of the entries on the diagonal.
  2. If we interchange two rows, the determinant of the new matrix is the negative of the old one.
  3. If we multiply one row by a constant, the determinant of the new matrix is the determinant of the old one multiplied by the constant.
  4. If we add one row to another one multiplied by a constant, the determinant of the new matrix is the same as the old one.

Observation: The rules in Property 5 are sufficient to calculate the determinant of any square matrix. The idea is to transform the original matrix into a triangular matrix and then use rule 1 to calculate the value of the determinant.

We now present an algorithm based on Property 5 for calculating det A, where A = [aij] is an norte × norte matrix. Start by setting the value of the determinant to 1, and then perform steps 1 to norte como sigue.

Paso k – part 1(a): If akk ≠ 0, multiply the current value of the determinant by akk and then divide all the entries in row k by akk (rule 3 of Property 5).

Paso k – part 1(b): If akk = 0, exchange row k with any row m below it (i.e. k < mnorte) for which amk ≠ 0, multiply the current value of the determinant by -1 (rule 2) and then perform step 1(a) above. If no such row exists then terminate the algorithm and return the value of 0 for the determinant.

Paso k – part 2: For every row m below row k, add –amk times row k to row m (rule 4). This guarantees that aij = 0 for all I & gt k y jk.

After the completion of step norte, we will have a triangular matrix whose diagonal contains all 1s, and so by rule 1, the determinant is equal to the current value of the determinant.

Example 2: Using Property 5, find

We present the steps looking from left to right and then top to bottom in Figure 1. For each step, the rule used is specified as well as the multiplier of the determinant calculated up to that point.

Figure 1 – Calculating the determinant in Example 2

This shows that the determinant is -5, the same answer given when using Excel’s MDETERM function.

Observation: In step k – part 1(b) of the above procedure we exchange two rows if akk = 0. Given that we need to deal with roundoff errors, what happens if akk is small but not quite zero? In order to reduce the impact of round off errors, we should modify step k – part 1 as follows:

Paso k – part 1: Find mk such that the absolute value of amk is largest. If this amk ≈ 0 (i.e. |amk|< ϵ where ϵ is some predefined small value) then terminate the procedure. Si m & gt k then exchange rows m y k.

Observation: The determinant can be used to solve systems of linear equations as described in Systems of Linear Equations via Cramer’s Rule. Also, the Gaussian elimination technique used to calculate the determinant can also be used to solve systems of linear equations.

9 responses to Determinants and Simultaneous Linear Equations

Charles,
For example 6, there are calculation errors in the Gaussian Elimination steps. The correct ones should be as follows:
Paso 1:
1 2 2 0
0 5 -2 0
0 -5 2 0

Paso 2:
1 2 2 0
0 1 -0.4 0
0 -5 2 0

Paso 3:
1 2 2 0
0 1 -0.4 0
0 0 0 0

Paso 4:
1 0 2.8 0
0 1 -0.4 0
0 0 0 0

Hi Sun,
Thanks again for identifying another typo. In this case the calculations are correct, but the statement of the linear equations is not correct. I have now corrected this on the website.
As always, thanks a million for your help.
Charles

Charles,
I am having a difficulty to confirm the property 3. It states that A & B are square matrics of the same size, then det AB = det A* det B.

Let A matrix is
2 0 0
0 3 0
0 0 4
B matrix is
6 7 8
6 4 8
1 1 2

Then AB =
12 0 0
0 12 0
0 0 8
So, det AB = 1152

While det A = 24 and det B = -12. So their product is -288.

Can you please advise me where I understood the property incorrectly?
-Sun

Charles,
Please disregard my inquiry. I made a mistake in calculating the matrix multiplication. AxB should be
12 14 16
18 12 24
4 4 8
and its determinant is -288, which is the exactly same as the multiplication of individual determinants of matrices.

Great blog! Do you have any tips for aspiring writers?
I’m hoping to start my own website soon but I’m a little lost on everything.
Would you advise starting with a free platform like WordPress or go for a paid option? There are so many
options out there that I’m completely overwhelmed .. Any ideas?
¡Muchas gracias!

Ireej,
To gain some experience I started by putting the website up on the free WordPress platform. It worked for a while until I found that I needed some of the tools that are not available on the free platform.
Charles

As a side note – if we accept “Definition 1” then “Property 2” should be read as $egin a & b c & d end = ad – bc$.
Not “ac – bd”.

Eugene,
Thanks for catching this typo. I have now corrected the formula on the webpage.
Charles

Really this site have help me a lot and i am really appreciate the efforts of all those who contributed to development of this site. I am looking forward to send me more problems and solutions on determinant and matrices to my email address to enable me study at home because, presently i am student.


21.7: Solve Systems of Equations Using Determinants

Solution of linear systems by determinants. Properties of determinants. Evaluation of determinants. Minor. Cofactor. Cramer’s Rule. Homogeneous systems.

Def. Determinant. A square array of quantities, called elements, symbolizing the sum of certain products of these elements. The symbol

denotes a determinant of order n. It is an abbreviation for the algebraic sum of all possible products

where each product of n factors contains one and only one element from each row and one and only one element from each column. There will be n! such products. Each product has a plus or minus sign attached to it according as the column indices form an even or odd permutation when the row indices are in natural order (i.e. 1, 2, 3, . ). For example, the term a13a21a34a42 of the expansion of a determinant of order four has the column indices in order (3,1,4,2) . This term should have a negative sign attached, since three successive interchanges will change the column indices to (1,3,4,2), (1,3,2,4) and (1,2,3,4), the last being in natural order.

Determinants of the second order. The value of the determinant

The solution of a system of two linear equations in two unknowns given in terms of determinants. The solution of the linear system

providing the equations are consistent and independent. The equations are consistent and independent if and only if

Note that the denominator determinants are the same for both x and y and consist of the coefficients of the variables x and y arranged exactly as they appear in the left members of 1). This denominator determinant is called the determinant of the coefficients or the determinant of the system . The numerator determinants are constructed from this denominator determinant by replacing the column containing the coefficients of the variable being solved for by the column of constants, c1 and c2, from the right side of 1) i.e. the numerator determinant in the solution for x is constructed from the denominator determinant by replacing the coefficients a1 and a2 of x by c1 and c2 and likewise in the solution for y.

Determinants of the third order. The value of the determinant

This sum can be remembered by the device shown in Fig. 1 where elements connected by red lines correspond to positive products and elements connected by blue lines represent negative products.

The solution of a system of three linear equations in three unknowns given in terms of determinants. The solution of the linear system                     

providing the equations are consistent and independent. The equations are consistent and independent if and only if

Determinants are most easily evaluated by a technique employing the following properties of determinants.

Properties of determinants .

1. If all the elements of a column (or row) are zero, the value of the determinant is zero.

2. If each of the elements in a row (or column) of a determinant is multiplied by the same number p, the value of the determinant is multiplied by p.

3. If two columns (or rows) are identical, the value of the determinant is zero.

4. Interchanging any two rows (or columns) reverses the sign of the determinant.

5. The value of a determinant is unaltered when all the corresponding rows and columns are interchanged. Thus any theorem proved true for rows holds for columns, and conversely.

6. If each element of a row (or column) of a determinant is expressed as the sum of two (or more) terms, the determinant can be expressed as the sum of two (or more) determinants.

7. If to each element of a row (or column) of a determinant is added m times the corresponding element of another row (or column) the value of the determinant is not changed.

Def. Minor of an element in a determinant . The determinant, of next lower order, obtained by striking out the row and column in which the element lies.

Def. Cofactor of an element in a determinant . Denote the minor of element aij of the i-th row and j-th column of a determinant |A| by |Mij |. The cofactor αij of the element aij is given as the signed minor (-1) i+j |Mij | i.e. it is the minor, taken with a positive or negative sign, according as the sum of the column number and the row number is even or odd.

Then the minor of element a21 es

The cofactor of element a21 es

Evaluation of a determinant by minors .

Theorem 1. The value of a determinant of order n is equal to the sum of the products formed by multiplying each element of any selected row (or column) by its cofactor. The value of a determinant of order 1 is the value of the single element of the determinant.

The usual procedure for evaluating a determinant of order greater than 3 is the following:

Step 1. For some selected row or column use property 7 above to reduce to zero all elements except one.

Step 2. Expand the elements of the selected row (or column) using Theorem 1. This yields a single determinant of lower order than the original determinant.

Step 3. Repeat Step 2 until the remaining determinant is of the second or third order.

Example. Evaluate the determinant

Solution . In general, the first step in the procedure is to locate an element in the matrix that is either 1 or -1. If one doesn’t exist, we create one using property 2 or 7 listed above. In this case there is a -1 in the second column. We will use it to reduce to zero the other elements in the same column. Adding the third row to the first gives

Adding twice the third row to the second gives

Subtracting three times the third row from the fourth gives

We now expand the determinant along the elements of the second column to obtain

The solution of a system of n linear equations in n unknowns by determinants.

Cramer’s Rule. Given a system of n linear equations in n unknowns

where the n unknowns in the left members are assumed to appear in the same order in all equations and the constant terms, k1, k2, . , knorte, are in the right members. Let D denote the determinant of the coefficients formed from the coefficients in the left members arranged just as they appear in the system. Let NX be the determinant formed from D by replacing the coefficients of x with the constant terms k1, k2, . , knorte, let Ny be the determinant formed from D by replacing the coefficients of y with the constant terms k1, k2, . , knorte, etc. Then:

Case 1. D ≠ 0. The system has a unique solution given by

Case 2. D = 0 and at least one of NX , Ny , Nz , . ≠ 0. The system has no solution. It is inconsistent.

Case 3. D = 0 and NX , Ny , Nz , . = 0. The system may or may not have a solution. If it has a solution, the equations are dependent and there will be an infinite number of solutions. If it doesn’t have a solution, the equations are inconsistent.

Linear systems containing fewer equations than unknowns. Ordinarily if there are fewer equations than unknowns in a system, the system will have an infinite number of solutions. However, if the system contains inconsistent equations, there will be no solution.

To solve a consistent system of m equations in n unknowns, where m < n, solve for m of the unknowns in terms of the others.

Linear systems containing more equations than unknowns. Ordinarily if there are more equations than unknowns, the system is inconsistent. However, this need not be the case and the system may contain a number of dependent equations in which case there may be either one or an infinite number of solutions.

Homogeneous systems. A linear equation is homogeneous if its constant term is zero. Every system of homogeneous equations

has the so-called trivial solution x = 0, y = 0, z = 0, .  

Theorem. A necessary and sufficient condition that a system of n homogeneous linear equations in n unknowns have solutions other than the trivial solution is that its determinant of the coefficients is zero. If the determinant of the coefficients is zero, it will have an infinite number of solutions.