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20.2: Encontrar funciones compuestas e inversas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Encontrar y evaluar funciones compuestas
  • Determinar si una función es uno a uno
  • Encuentra la inversa de una función

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Si (f (x) = 2 x-3 ) y (g (x) = x ^ {2} +2 x-3 ), encuentre (f (4) ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 3.48.
  2. Resuelve para (x ), (3x + 2y = 12 ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.31.
  3. Simplifica: (5 frac {(x + 4)} {5} -4 ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.25.

En este capítulo, presentaremos dos nuevos tipos de funciones, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Estas funciones se utilizan ampliamente en los negocios y las ciencias, como veremos.

Encontrar y evaluar funciones compuestas

Antes de presentar las funciones, necesitamos ver otra operación sobre funciones llamada composición. En composición, la salida de una función es la entrada de una segunda función. Para las funciones (f ) y (g ), la composición se escribe (f∘g ) y está definida por ((f∘g) (x) = f (g (x)) ).

Leemos (f (g (x)) ) como " (f ) de (g ) de (x )".

Para hacer una composición, la salida de la primera función, (g (x) ), se convierte en la entrada de la segunda función, (f ), por lo que debemos estar seguros de que es parte del dominio de (F).

Definición ( PageIndex {1} )

La composición de las funciones (f ) y (g ) se escribe (f cdot g ) y se define por

((f circ g) (x) = f (g (x)) )

Leemos (f (g (x)) ) como (f ) de (g ) de (x ).

De hecho, hemos usado la composición sin usar la notación muchas veces antes. Cuando graficamos funciones cuadráticas usando traducciones, estábamos componiendo funciones. Por ejemplo, si primero graficamos (g (x) = x ^ {2} ) como una parábola y luego la desplazamos verticalmente cuatro unidades hacia abajo, estábamos usando la composición definida por ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) donde (f (x) = x − 4 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Para las funciones (f (x) = 4x-5 ) y (g (x) = 2x + 3 ), encuentre

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )

Solución:

  1. Usa la definición de ((f circ g) (x) ).
    Distribuir.
    Simplificar.
    Tabla 10.1.1
  2. Usa la definición de ((f circ g) (x) ).
    Distribuir.
    Simplificar.
    Tabla 10.1.2

Observe la diferencia en el resultado del inciso a. y parte b.

C. Observe que ((f cdot g) (x) ) es diferente a ((f circ g) (x) ). En la parte a. hicimos la composición de las funciones. Ahora en la parte c. no los estamos componiendo, los estamos multiplicando.

Usa la definición de ((f cdot g) (x) ).

((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )

Sustituye (f (x) = 4 x-5 ) y (g (x) = 2 x + 3 ).

((f cdot g) (x) = (4 x-5) cdot (2 x + 3) )

Multiplicar.

((f cdot g) (x) = 8 x ^ {2} +2 x-15 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para las funciones (f (x) = 3x-2 ) y (g (x) = 5x + 1 ), encuentre

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )
Respuesta
  1. (15x + 1 )
  2. (15x-9 )
  3. (15 x ^ {2} -7 x-2 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Para las funciones (f (x) = 4 x-3 ) y (g (x) = 6x-5 ), encuentre

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )
Respuesta
  1. (24 x-23 )
  2. (24 x-23 )
  3. (24 x ^ {2} -38 x + 15 )

En el siguiente ejemplo evaluaremos una composición para un valor específico.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Para las funciones (f (x) = x ^ {2} -9 ) y (g (x) = 2x + 5 ), encuentre

  1. ((f circ g) (- 2) )
  2. ((g circ f) (- 3) )
  3. ((f circ f) (4) )
Respuesta
  1. (-8)
  2. (5)
  3. (40)

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Para las funciones (f (x) = x ^ {2} +1 ) y (g (x) = 3x-5 ), encuentre

  1. ((f circ g) (- 1) )
  2. ((g circ f) (2) )
  3. ((f circ f) (- 1) )
Respuesta
  1. (65)
  2. (10)
  3. (5)

Determinar si una función es uno a uno

Cuando presentamos las funciones por primera vez, dijimos un función es una relación que asigna a cada elemento en su dominio exactamente un elemento en el rango. Para cada par ordenado en la relación, cada valor (x ) - se empareja con solo un valor (y ) -.

Usamos el ejemplo del cumpleaños para ayudarnos a comprender la definición. Cada persona tiene un cumpleaños, pero nadie tiene dos cumpleaños y está bien que dos personas compartan un cumpleaños. Dado que cada persona tiene exactamente un cumpleaños, esa relación es una función.

Una función es doce y cincuenta y nueve de la noche si cada valor en el rango tiene exactamente un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada y-valor coincide con un solo (x ) - valor.

Nuestro ejemplo de la relación de cumpleaños no es una función de uno a uno. Dos personas pueden compartir el mismo cumpleaños. El valor de rango el 2 de agosto es el cumpleaños de Liz y junio, por lo que un valor de rango tiene dos valores de dominio. Por lo tanto, la función no es uno a uno.

Definición ( PageIndex {2} )

Una función es doce y cincuenta y nueve de la noche si cada valor del rango corresponde a un elemento del dominio. Para cada par ordenado en la función, cada valor de (y ) se empareja con un solo valor de (x ). No hay valores (y ) repetidos.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, de ser así, si la función es uno a uno.

  1. ({(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)})
  2. ({(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)})

Solución:

  1. ({(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)})

    Cada valor (x ) - se compara con solo un valor (y ) -. Entonces esta relación es una función.

    Pero cada valor de (y ) no está emparejado con un solo valor de (x ), ((- 3,27) ) y ((3,27) ), por ejemplo. Entonces esta función no es uno a uno.

  2. ({(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)})

    Cada valor (x ) - se compara con solo un valor (y ) -. Entonces esta relación es una función.

    Dado que cada valor (y ) - está emparejado con solo un valor (x ) -, esta función es uno a uno.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, de ser así, es la función uno a uno.

  1. ({(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)})
  2. ({(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)})
Respuesta
  1. Función uno a uno
  2. Función; no uno a uno

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, de ser así, es la función uno a uno.

  1. ({(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)})
  2. ({(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)})
Respuesta
  1. No es una función
  2. Función; no uno a uno

Para ayudarnos a determinar si una relación es una función, usamos la prueba de línea vertical. Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto. Además, si alguna línea vertical se cruza con el gráfico en más de un punto, el gráfico no representa una función.

La línea vertical representa un valor (x ) y comprobamos que interseca la gráfica en un solo valor (y ). Entonces es una función.

Para verificar si una función es uno a uno, usamos un proceso similar. Usamos una línea horizontal y verificamos que cada línea horizontal interseque el gráfico en un solo punto. La línea horizontal representa un valor (y ) y comprobamos que interseca la gráfica en un solo valor (x ). Si cada línea horizontal interseca la gráfica de una función en como máximo un punto, es una función uno a uno. Este es el prueba de línea horizontal.

Definición ( PageIndex {3} )

Prueba de línea horizontal

Si cada línea horizontal interseca la gráfica de una función en como máximo un punto, es una función uno a uno.

Podemos probar si la gráfica de una relación es una función usando la prueba de la línea vertical. Entonces podemos saber si la función es uno a uno aplicando la prueba de la línea horizontal.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Determinar

  1. si cada gráfico es el gráfico de una función y, de ser así,
  2. si es uno a uno

Solución:



  1. Figura 10.1.40

Dado que cualquier línea vertical interseca la gráfica en un punto como máximo, la gráfica es la gráfica de una función. Dado que cualquier línea horizontal interseca la gráfica en un punto como máximo, la gráfica es la gráfica de una función uno a uno.

B.

Dado que cualquier línea vertical interseca la gráfica en un punto como máximo, la gráfica es la gráfica de una función. La línea horizontal que se muestra en el gráfico la cruza en dos puntos. Este gráfico no representa una función uno a uno.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Determinar

  1. si cada gráfica es la gráfica de una función y, de ser así,
  2. si es uno a uno
Respuesta
  1. No es una función
  2. Función uno a uno

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Determinar

  1. si cada gráfica es la gráfica de una función y, de ser así,
  2. si es uno a uno
Respuesta
  1. Función; no uno a uno
  2. Función uno a uno

Hallar la inversa de una función

Veamos una función uno a uno, (f ), representada por los pares ordenados ( {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8) } ). Para cada valor de (x ), (f ) suma (5 ) para obtener el valor de (y ). Para "deshacer" la suma de (5 ), restamos (5 ) de cada valor de (y ) y volvemos al valor de (x ) original. Podemos llamar a esto "tomar la inversa de (f )" y nombrar la función (f ^ {- 1} ).

Observe que los pares ordenados de (f ) y (f ^ {- 1} ) tienen sus valores (x ) - y (y ) - valores invertidos. El dominio de (f ) es el rango de (f ^ {- 1} ) y el dominio de (f ^ {- 1} ) es el rango de (f ).

Definición ( PageIndex {4} )

Inversa de una función definida por pares ordenados

Si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

En el siguiente ejemplo encontraremos la inversa de una función definida por pares ordenados.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentra la inversa de la función ( {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) } ). Determina el dominio y el rango de la función inversa.

Solución:

Esta función es uno a uno ya que cada valor (x ) - se empareja con exactamente un valor (y ) -.

Para encontrar la inversa, invertimos los valores de (x ) y los valores de (y ) en los pares ordenados de la función.

( begin {array} {ll} { text {Función}} & { {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) }} { text {Función inversa}} & { {(3,0), (5,1), (7,2), (9,3) }} { text {Dominio de la función inversa}} & { {3, 5, 7, 9 }} { text {Rango de función inversa}} & { {0, 1, 2, 3 }} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Encuentra la inversa de ( {(0,4), (1,7), (2,10), (3,13) } ). Determina el dominio y el rango de la función inversa.

Respuesta

Función inversa: ( {(4,0), (7,1), (10,2), (13,3) } ). Dominio: ( {4,7,10,13 } ). Rango: ( {0,1,2,3 } ).

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Encuentra la inversa de ( {(- 1,4), (- 2,1), (- 3,0), (- 4,2) } ). Determina el dominio y el rango de la función inversa.

Respuesta

Función inversa: ( {(4, -1), (1, -2), (0, -3), (2, -4) } ). Dominio: ( {0,1,2,4 } ). Rango: ( {- 4, -3, -2, -1 } ).

Acabamos de notar que si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

Entonces, si un punto ((a, b) ) está en la gráfica de una función (f (x) ), entonces el par ordenado ((b, a) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ). Ver la figura 10.1.43.

La distancia entre dos pares ((a, b) ) y ((b, a) ) se corta a la mitad por la línea (y = x ). Entonces decimos que los puntos son imágenes especulares entre sí a través de la línea (y = x ).

Dado que cada punto en la gráfica de una función (f (x) ) es una imagen especular de un punto en la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ), decimos que las gráficas son imágenes especulares de entre sí a través de la línea (y = x ). Usaremos este concepto para graficar la inversa de una función en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Grafique, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno que se muestra.

Solución:

Podemos usar puntos en la gráfica para encontrar puntos en la gráfica inversa. Algunos puntos en la gráfica son: ((- 5, −3), (- 3, −1), (- 1,0), (0,2), (3,4) ).

Entonces, la función inversa contendrá los puntos: ((- 3, −5), (- 1, −3), (0, −1), (2,0), (4,3) ).

Observe cómo la gráfica de la función original y la gráfica de las funciones inversas son imágenes en espejo a través de la línea (y = x ).

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Grafique, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Grafique, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno.

Respuesta

Cuando comenzamos nuestra discusión sobre una función inversa, hablamos sobre cómo la función inversa "deshace" lo que la función original le hizo a un valor en su dominio para volver al valor (x ) original.

Definición ( PageIndex {5} )

Funciones inversas

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f )

(f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} )

Podemos usar esta propiedad para verificar que dos funciones sean inversas entre sí.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Verifique que las funciones sean funciones inversas. (f (x) = 4 x-3 ) y (g (x) = frac {x + 3} {4} ).

Respuesta

(g (f (x)) = x ) y (f (g (x)) = x ), por lo que son inversas.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Verifique que las funciones sean funciones inversas. (f (x) = 2 x + 6 ) y (g (x) = frac {x-6} {2} )

Respuesta

(g (f (x)) = x, ) y (f (g (x)) = x, ) entonces son inversas.

Hemos encontrado inversas de función definidas por pares ordenados y de una gráfica. Ahora veremos cómo encontrar una inversa usando una ecuación algebraica. El método usa la idea de que si (f (x) ) es una función uno a uno con pares ordenados ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x ) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

Si invertimos (x ) y (y ) en la función y luego resolvemos (y ), obtenemos nuestro función inversa.

Ejemplo ( PageIndex {8} ) Cómo encontrar la inversa de una función uno a uno

Encuentra la inversa de (f (x) = 4 x + 7 ).

Solución:

Paso 1. Sustituye (y ) por (f (x) ).Reemplaza (f (x) ) con (y ). ( begin {alineado} f (x) & = 4 x + 7 y & = 4 x + 7 end {alineado} )
Paso 2: Intercambia las variables (x ) y (y ).Reemplaza (x ) con (y ) y luego (y ) con (x ). (x = 4y + 7 )
Paso 3: Resuelve para (y ).

Resta (7 ) de cada lado.

Dividir por (4 ).

(x-7 = 4 y )
( frac {x-7} {4} = y )
Paso 4: Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).Reemplaza (y ) con (f ^ {- 1} (x) ). ( frac {x-7} {4} = f ^ {- 1} (x) )
Paso 5: Verifique que las funciones sean inversas.

Muestra (f ^ {- 1} (f (x)) = x )

y (f left (f ^ {- 1} (x) right) = x )

( begin {alineado} f ^ {- 1} (f (x)) & stackrel {?} {=} x f ^ {- 1} (4x + 7) & stackrel {?} {= } x frac {(4x + 7) -7} {4} & stackrel {?} {=} x frac {4x} {4} & stackrel {?} {=} x x & = x f (f ^ {- 1} (x)) & stackrel {?} {=} x f left ( frac {x-7} {4} right) & stackrel {?} {=} x 4 left ( frac {x-7} {4} right) + 7 & stackrel {?} {=} x x-7 + 7 & stackrel {? } {=} x x & = x end {alineado} )
Tabla 10.1.7

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentra la inversa de la función (f (x) = 5x-3 ).

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = frac {x + 3} {5} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Encuentra la inversa de la función (f (x) = 8 x + 5 ).

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = frac {x-5} {8} )

Resumimos los pasos a continuación.

Cómo encontrar la inversa de una función uno a uno

  1. Sustituye (y ) por (f (x) ).
  2. Intercambie las variables (x ) y (y ).
  3. Resuelve para (y ).
  4. Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).
  5. Verifique que las funciones sean inversas.

Ejemplo ( PageIndex {9} ) Cómo encontrar la inversa de una función uno a uno

Encuentra la inversa de (f (x) = sqrt [5] {2 x-3} ).

Solución:

(f (x) = sqrt [5] {2 x-3} )

Sustituye (y ) por (f (x) ).

(y = sqrt [5] {2 x-3} )

Intercambie las variables (x ) y (y ).

(x = sqrt [5] {2 y-3} )

Resuelve para (y ).

Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +3} {2} )

Verifique que las funciones sean inversas.

( begin {array} {rr} {f ^ {- 1} (f (x)) stackrel {?} {=} x} & {f left (f ^ {- 1} (x) right ) stackrel {?} {=} x} {f ^ {- 1} ( sqrt [5] {2x-3}) stackrel {?} {=} x} & {f left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right)} stackrel {?} {=} x { frac {( sqrt [5] {2x-3}) ^ {5} +3} {2} stackrel {?} {=} X} & { sqrt [5] {2 left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right) -3} stackrel {?} {=} x} { frac {2x-3 + 3} {2} stackrel {?} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5} + 3-3} stackrel {?} {=} x} { frac {2x} {2} stackrel {?} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5}} stackrel {?} {= } x} {x = x} & {x = x} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Encuentra la inversa de la función (f (x) = sqrt [5] {3 x-2} ).

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +2} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentra la inversa de la función (f (x) = sqrt [4] {6 x-7} ).

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {4} +7} {6} )

Conceptos clave

  • Composición de funciones: La composición de las funciones (f ) y (g ), se escribe (f∘g ) y se define por

    ((f circ g) (x) = f (g (x)) )

    Leemos (f (g (x)) ) como (f ) de (g ) de (x ).
  • Prueba de línea horizontal: Si cada línea horizontal interseca la gráfica de una función en como máximo un punto, es una función uno a uno.
  • Inversa de una función definida por pares ordenados: Si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).
  • Funciones inversas: Para cada (x ) en el dominio de la función uno a uno (f ) y (f ^ {- 1} ),

    (f ^ {- 1} (f (x)) = x )
    (f left (f ^ {- 1} (x) right) = x )

  • Cómo encontrar la inversa de una función uno a uno:
    1. Sustituye (y ) por (f (x) ).
    2. Intercambia las variables (x ) y (y ).
    3. Resuelve para (y ).
    4. Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).
    5. Verifique que las funciones sean inversas.

Glosario

función uno a uno
Una función es uno a uno si cada valor en el rango tiene exactamente un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada valor de (y ) se empareja con un solo valor de (x ).

CÓMO ENCONTRAR LA INVERSIÓN DE UNA FUNCIÓN USANDO COMPOSICIÓN

Veamos algunos ejemplos para entender el concepto anterior.

¿Son f (x) y g (x) inversas entre sí?

Para comprobar si g (x) es la inversa de f (x), encuentre f ∘g (x) y g ∘f (x).

Entonces, f (x) y g (x) son inversas entre sí. & # Xa0

¿Son f (x) y g (x) inversas entre sí?

Para comprobar si g (x) es la inversa de f (x), encuentre f ∘g (x) y g ∘f (x).

Como & # xa0 f ∘g (x) & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 x, no tenemos que encontrar g ∘f (x). & # Xa0

Entonces, f (x) y g (x) no son inversas entre sí. & # Xa0

¿Son f (x) y g (x) inversas entre sí?

Para comprobar si g (x) es la inversa de f (x), encuentre f ∘g (x) y g ∘f (x).

Entonces, f (x) y g (x) son inversas entre sí. & # Xa0

¿Son f (x) y g (x) inversas entre sí?

Para comprobar si g (x) es la inversa de f (x), encuentre f ∘g (x) y g ∘f (x).

Como & # xa0 f ∘g (x) & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 x, no tenemos que encontrar g ∘f (x). & # Xa0

Entonces, f (x) y g (x) no son inversas entre sí. & # Xa0

¿Son f (x) y g (x) inversas entre sí?

Para comprobar si g (x) es la inversa de f (x), encuentre f ∘g (x) y g ∘f (x).

Como & # xa0 f ∘g (x) & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 x, no tenemos que encontrar g ∘f (x). & # Xa0

Entonces, f (x) y g (x) son inversas entre sí. & # Xa0

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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7 respuestas 7

Use la definición de inversa y asociatividad de composición para demostrar que el lado derecho es el inverso de $ (f circ g) $.

Primero te pones los calcetines y luego los zapatos, pero te quitas los zapatos antes de quitarte los calcetines.

$ begin & amp text = & amp f circ f ^ circ = & amp f circ text circ f ^ circ = & amp f circ (g circ g ^ circ) circ f ^ circ = & amp f circ g circ g ^ circ circ f ^ circ = & amp (f circ g) circ (g ^ circ circ f ^ circ) end$

Por lo tanto $ (f circ g) ^ circ = g ^ circ circ f ^ circ $.

Aquí hay una pista: la chaqueta se pone después de la camisa, pero se quita antes.

sea ​​$ (x, y) in (f circ g) ^ <-1> $
$ Leftrightarrow (y, x) in (f circ g) $
$ Leftrightarrow existe t ((y, t) in g land (t, x) in f) $
$ Flecha izquierda existe t ((t, y) in g ^ <-1>) tierra existe ((x, t) in f ^ <-1>)) $
$ Leftrightarrow (x, y) in g ^ <-1> circ f ^ <-1> $

$ f: Y a Z $ y $ g: X a Y $ son funciones invertibles. Necesitamos demostrar $ (f circ g) ^ <-1> = g ^ <-1> circ f ^ <-1> $.

$ (f circ g) ^ <-1> circ (f circ g) = (g ^ <-1> circ f ^ <-1>) circ (f circ g) = (g ^ < -1> circ f ^ <-1>) circ f) circ g = (g ^ <-1> circ (f ^ <-1> circ f)) circ g = (g ^ <- 1> circ I_) circ g = g ^ <-1> circ g = I_ $ De manera similar, $ (f circ g) circ (f circ g) ^ <-1> = (f circ g) circ (g ^ <-1> circ f ^ <-1>) = f circ (g circ (g ^ <-1> circ f ^ <-1>)) = f circ ((g circ g ^ <-1>) circ f ^ <-1>) = f circ (I_ circ f ^ <-1>) = (f circ I_) circ f ^ <-1> = f circ f ^ <-1> = I_ $

$ (g ^ <-1> circ f ^ <-1>) circ (f circ g) = I_$ y $ (f circ g) circ (g ^ <-1> circ f ^ <-1>) = I_$ demuestra que $ f circ g $ es invertible con $ (f circ g) ^ <-1> = g ^ <-1> circ f ^ <-1> $.


Funciones inversas

Una bomba de calor reversible es un sistema de control de clima que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo dispositivo. Operado en una dirección, bombea calor fuera de una casa para proporcionar enfriamiento. Al funcionar en reversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en climas fríos, para proporcionar calefacción. Como calentador, una bomba de calor es varias veces más eficiente que el calentamiento por resistencia eléctrica convencional.

Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las funciones "máquinas" que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. [enlace] proporciona una representación visual de esta pregunta. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.

Verificación de que dos funciones sean funciones inversas

Supongamos que un diseñador de moda que viaja a Milán para un desfile de moda quiere saber cuál será la temperatura. Él no está familiarizado con el Celsius escala. Para tener una idea de cómo se relacionan las mediciones de temperatura, le pide a su asistente, Betty, que convierta 75 grados Fahrenheit a grados Celsius. Ella encuentra la formula

Sabiendo que unos cómodos 75 grados Fahrenheit son aproximadamente 24 grados Celsius, envía a su asistente el pronóstico del tiempo de la semana desde [enlace] para Milán y le pide que convierta todas las temperaturas a grados Fahrenheit.

Al principio, Betty considera usar la fórmula que ya encontró para completar las conversiones. Después de todo, ella conoce su álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para F

después de sustituir un valor por C.

Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir

Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será tremendamente tedioso. Se da cuenta de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener una fórmula diferente, una que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit.

La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de un función inversa, que es una función para la cual la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa.

representamos su inverso como f - 1 (x),

es parte de la notación. No es un exponente, no implica una potencia de −1

La notación "similar a un exponente" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que a - 1 a = 1

(1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número a distinto de cero,

es igual a la función de identidad, es decir,

De manera informal, esto significa que las funciones inversas se "deshacen" entre sí. Sin embargo, al igual que cero no tiene un recíproco, algunas funciones no tienen inversas.

podemos verificar si alguna otra función g (x)

comprobando si g (f (x)) = x

es verdad. Podemos probar la ecuación con la que sea más conveniente trabajar porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, la otra también).

Algunos pares de coordenadas de la gráfica de la función y = 4 x

son (−2, −8), (0, 0) y (2, 8). Algunos pares de coordenadas de la gráfica de la función y = 1 4 x

son (−8, −2), (0, 0) y (8, 2). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en la gráfica de la función inversa.

Para cualquier función uno a uno f (x) = y,

es un función inversa apagado

Esto también se puede escribir como f - 1 (f (x)) = x

También se deduce que f (f - 1 (x)) = x

inverso." Como cualquier otra función, podemos usar cualquier nombre de variable como entrada para f - 1,

por lo que a menudo escribiremos f - 1 (x),

y no todas las funciones tienen inversas.

Si para una función uno a uno en particular f (2) = 4

¿Cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes para la función inversa?

La función inversa invierte las cantidades de entrada y salida, por lo que si

Alternativamente, si queremos nombrar la función inversa g,

Observe que si mostramos los pares de coordenadas en forma de tabla, la entrada y la salida están claramente invertidas. Ver [enlace].

(x, f (x))
(x, g (x))
( 2 , 4 )
( 4 , 2 )
( 5 , 12 )
( 12 , 5 )

¿Cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes de la función original h?

probar si las funciones son inversas entre sí. **

    Determina si f (g (x)) = x

Si alguna de las afirmaciones es falsa, ambas son falsas y

Esto es suficiente para responder afirmativamente a la pregunta, pero también podemos verificar la otra fórmula.

Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original.

(la función del cubo) y g (x) = 1 3 x,

No, las funciones no son inversas.

La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz cúbica x 3 = x 1 3,

es decir, un tercio es un exponente, no un multiplicador.

Si f (x) = (x - 1) 3 y g (x) = x 3 + 1,

Encontrar dominio y rango de funciones inversas

Las salidas de la función f

es también el dominio de f - 1.

Asimismo, debido a que las entradas af

Podemos visualizar la situación como en [enlace].

Cuando una función no tiene función inversa, es posible crear una nueva función donde esa nueva función en un dominio limitado tiene una función inversa. Por ejemplo, la inversa de f (x) = x

porque un cuadrado "deshace" una raíz cuadrada, pero el cuadrado es solo el inverso de la raíz cuadrada en el dominio [0, ∞),

ya que ese es el rango de f (x) = x.

Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática del juego de herramientas) f (x) = x 2.

Si queremos construir una inversa a esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y –3. Pero una salida de una función es una entrada a su inversa si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), ¡entonces la “inversa” no es una función en absoluto! Para decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función uno a uno, no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene una función inversa. Para que una función tenga una inversa, debe ser una función uno a uno.

En muchos casos, si una función no es uno a uno, aún podemos restringir la función a una parte de su dominio en la que es uno a uno. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada f (x) = x 2

con su dominio limitado a [0, ∞),

que es una función uno a uno (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada).

entonces la función inversa es f - 1 (x) = x + 1.

¿Es posible que una función tenga más de una inversa?

*No. Si dos funciones supuestamente diferentes, digamos, g

ambos cumplen la definición de ser inversos de otra función f,

entonces puedes probar que g = h.

Acabamos de ver que algunas funciones solo tienen inversas si restringimos el dominio de la función original. En estos casos, puede haber más de una forma de restringir el dominio, dando lugar a diferentes inversas. Sin embargo, en cualquier dominio, la función original todavía tiene una única inversa. *

El rango de una función f (x)

es el dominio de la función inversa f - 1 (x).

Dada una función, encuentra el dominio y rango de su inverso.

  1. Si la función es uno a uno, escriba el rango de la función original como el dominio de la inversa y escriba el dominio de la función original como el rango de la inversa.
  2. Si es necesario restringir el dominio de la función original para convertirlo en uno a uno, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa.

Identifique cuáles de las funciones del kit de herramientas, además de la función cuadrática, no son una a una, y encuentre un dominio restringido en el que cada función sea una a una, si corresponde. Las funciones del kit de herramientas se revisan en [enlace]. Restringimos el dominio de tal manera que la función asume todos y-valores exactamente una vez.

Constante Identidad Cuadrático Cúbico Recíproco
f (x) = c f (x) = x f (x) = x 2 f (x) = x 3 f (x) = 1 x
Cuadrado recíproco raíz cúbica Raíz cuadrada Valor absoluto
f (x) = 1 x 2 f (x) = x 3 f (x) = x f (x) = | x |

La función constante no es uno a uno, y no hay ningún dominio (excepto un único punto) en el que pueda ser uno a uno, por lo que la función constante no tiene una inversa significativa.

La función de valor absoluto se puede restringir al dominio [0, ∞),

donde es igual a la función de identidad.

La función recíproca al cuadrado se puede restringir al dominio (0, ∞).

Podemos ver que estas funciones (si no están restringidas) no son uno a uno al mirar sus gráficos, que se muestran en [enlace]. Ambos fallarían en la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, si una función está restringida a un cierto dominio para que pase la prueba de la línea horizontal, entonces, en ese dominio restringido, puede tener una inversa.

y el rango de función f

Encuentra el dominio y rango de la función inversa.

El dominio de la función f - 1

y el rango de la función f - 1

Encontrar y evaluar funciones inversas

Una vez que tenemos una función uno a uno, podemos evaluar su inversa en entradas de función inversa específicas o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos.

Inversión de funciones tabulares

Suponga que queremos encontrar la inversa de una función representada en forma de tabla. Recuerda que el dominio de una función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Entonces necesitamos intercambiar el dominio y el rango.

Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas para la función inversa. De manera similar, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa.

se da en [enlace], mostrando la distancia en millas que un automóvil ha viajado en t

minutos. Encuentre e interprete f - 1 (70).

t (minutos) 30 50 70 90
f (t) (millas) 20 40 60 70

La función inversa toma una salida de f

y devuelve una entrada para f.

Entonces, en la expresión f - 1 (70),

70 es un valor de salida de la función original, que representa 70 millas. La inversa devolverá la entrada correspondiente de la función original f,

90 minutos, entonces f - 1 (70) = 90.

La interpretación de esto es que, para conducir 70 millas, tomó 90 minutos.

Alternativamente, recuerde que la definición de la inversa era que si f (a) = b,

Según esta definición, si se nos da f - 1 (70) = a,

entonces buscamos un valor a

En este caso, buscamos una t

Usando [enlace], encuentre e interprete (a) f (60),

t (minutos) 30 50 60 70 90
f (t) (millas) 20 40 50 60 70

En 60 minutos se recorren 50 millas.

Para viajar 60 millas, tomará 70 minutos.

Evaluación de la inversa de una función, dada una gráfica de la función original

Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función se puede leer observando la extensión horizontal de su gráfica. Encontramos el dominio de la función inversa observando el vertical extensión de la gráfica de la función original, porque corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. De manera similar, encontramos el rango de la función inversa observando el horizontal extensión de la gráfica de la función original, ya que esta es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, encontramos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original.

Dada la gráfica de una función, evalúa su inversa en puntos específicos.

  1. Busque la entrada deseada en el yeje del gráfico dado.
  2. Lea la salida de la función inversa de la Xeje del gráfico dado.

encontramos 3 en el X-eje y encuentre el valor de salida correspondiente en el y-eje. El punto (3, 1)

recuerde que por definición g - 1 (3)

significa el valor de X para lo cual g (x) = 3.

Al buscar el valor de salida 3 en el eje vertical, encontramos el punto (5, 3)

en el gráfico, lo que significa g (5) = 3,

entonces, por definición, g - 1 (3) = 5.

Usando la gráfica en [enlace], (a) encuentre g - 1 (1),

Encontrar inversas de funciones representadas por fórmulas

A veces, necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para unos pocos. Si la función original se da como fórmula, por ejemplo, y

a menudo podemos encontrar la función inversa resolviendo para obtener x

Dada una función representada por una fórmula, encuentre la inversa.

Encuentre una fórmula para la función inversa que dé la temperatura Fahrenheit en función de la temperatura Celsius.

Resolviendo en general, hemos descubierto la función inversa. Si

En este caso, introdujimos una función h

para representar la conversión porque las variables de entrada y salida son descriptivas, y escribir C - 1


20.2: Encontrar funciones compuestas e inversas

Demostrar que dos funciones son
Inverso del otro
(página 7 de 7)

He mostrado cómo dibujar una inversa si se le da la gráfica, y cómo encontrar una inversa si se le da la fórmula. Pero suponga que le dan dos funciones y le dicen que verifique (que compruebe) que son inversas entre sí. ¿Cómo lo harías tú? Primero, debe tener en cuenta que dibujar los gráficos no es una & quot; prueba & quot. Para enfatizar que una imagen no es una prueba, las instrucciones a menudo le dirán que "verifique algebraicamente" que las funciones son inversas. ¿Cómo haces eso?

Si piensa en la definición de un inverso, el punto del inverso es que es al revés de lo que comenzó con lo que lo lleva de regreso a donde comenzó. For instance, if the point (1, 3) is on the graph of the function, then the point (3, 1) is on the graph of the inverse. That is, if you start with X = 1 , you will go to y = 3 then you plug this into the inverse, and you'll go right back to X = 1 , where you started from.

  • Determine algebraically whether F (X) = 3X 2 and gramo(X) = (X + 2) /3 are inverses of each other. Copyright Elizabeth Stapel 2000-2011 All Rights Reserved

I will plug the formula for gramo(X) into every instance of " X " in the formula for F (X) :

Now I will plug the formula for F (X) into every instance of " X " in the formula for gramo(X) :

Both ways, I ended up with just " X ", so F (X) and gramo(X) are inverses of each other.

  • Determine algebraically whether F (X) = 3X 2 and gramo(X) = ( 1 /3)X + 2 are inverses of each other.

I'll plug the formula for gramo(X) into every instance of " X " in the formula for F (X) :

I didn't end up with just " X ", so F (X) and gramo(X) are not inverses of each other.

Once you've found one composition that doesn't work, you're done. You don't have to show that the composition doesn't work the other way, either.

A close examination of this last example above points out something that can cause problems for some students. Since the inverse "undoes" whatever the original function did to X , the instinct is to create an "inverse" by applying reverse operations. In this case, since F (X) multiplied X by 3 and then subtracted 2 from the result, the instinct is to think that the inverse would be to divide X by 3 and then to add 2 to the result. But as you saw above, this is not correct. Comparing this example with the previous example, you can see that the reversed operations were correct, but that they also need to be applied in reverse order. That is, since F (X) first multiplied X by 3 and then subtracted off 2 , the inverse first adds the 2 back on, and then divides the 3 back off.

  • Determine algebraically whether F (X) = X 2 , and are inverses of each other.

First, I'll plug gramo(X) into F (X) :

Since I started by plugging X into gramo(X) , then I started with non-negative X -values. Since the absolute value of zero is zero and the absolute value of a positive number is just itself, then, in this case, I can simplify | X | as just " X ". Then I have ( F o gramo)(X) = X .

Where did the absolute-value bars come from? The square root of something squared is the technical definition of the absolute value: the square of the value will always be positive, as will the square root, so taking the square root of something squared always returns the positive of the original number. In this case, the domain of gramo(X) was defined as non-negative, so the absolute-value bars could be dropped above. But this isn't always the case:

Looking good so far. Now I'll plug F (X) into gramo(X) :

Hmm. Since I started by plugging X into F (X) , then I was starting with any value of X . In particular, the value of X might have been negative. Since I don't know if X is negative or positive, then I can't remove the absolute-value bars on the final answer, and I'm stuck with an answer of " (gramo o F )(X) = | X | ". So (gramo o F )(X) does not simplify to X .

The answer is: gramo(X) and F (X) are not inverses of each other.

This is why you need to check both ways: sometimes there are fussy technical considerations, usually involving square roots, that force the composition not to work, because the domains and ranges of the two functions aren't compatible. In this case, if F (X) had been restricted to non-negative X , then the functions would have been inverses. In general, though, if one composition gives you just " X ", then the other one will, too, especially if you're not dealing with restricted domains. But you should remember to do both compositions on tests and such, in order to get full credit.


Ejemplos de

The process of logarithmic differentiation allows us to calculate the derivatives of complicated functions. For example, the function y = x x cannot be differentiated using any of the methods we have covered thus far. The steps of logarithmic differentiation are outlined below.

1) Given an equation y = f(x), take the logarithm of each side and simplify the equation using the properties of logarithms.

2) Use the method of implicit differentiation to differentiate the simplified equation, with respect to x.

3) Solve the equation for y'

Although this method of differentiation may seem complicated, it will be much clearer after a few examples.


HOW TO FIND THE RANGE OF COMPOSITE FUNCTIONS

The set of all images of the elements of X under f is called the ‘range’ of f.

The range of a function is a subset of its co-domain.

Let A, B, C  ⊆  N and a function f : A -> B be defined by f(x) = 2x + 1 and g : B -> C be defined by g(x) = x 2 . Find the range of f o g and g o f .

Now we apply  x 2  instead of x in f(x).

Now we apply 2x + 1 instead of x in g(x).

Let f (x) = x 2 −1 . Find (i) f o f (ii) f o f o f

Now we apply  x 2  −1 instead of x in f(x).

Now we apply  x 4  - 2x 2 instead of x in f(x).

If f : R -> R and g : R -> R are defined by f(x) = x 5 and g(x) = x 4 then check if f, g are one-one and f o g is one-one?

For every positive and negative values of x, we get positive and negative values of y.

Every element in x is associated with different elements of y. Hence it is one to one function.

For every positive and negative values of x, we get only positive values of y.

Negative values of y is not associated with any elements of x. Hence it is not one to one function.

now, we apply x 4 instead of x in f(x)

fog is not one to one function.

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20.2: Finding Composite and Inverse Functions

TITLE: INVERSE FUNCTIONS

Heath Algebra 2: An Integrated Approach. Pages 298-304

Glencoe Mathematics Algebra 2, North Carolina Edition. Pages 390-395

Contemporary Precalculs: through applications

Objectives AND GOALS:

Understand and perform transformations such as arithmetically combining, composing, and inverting commonly used functions, using technology to perform such operations on more-complicated symbolic expressions

(new) 2.01: Use the composition and inverse of functions to model and solve problems justify results

(old) 3.04: Find the composition and inverse of functions

STUDENTS SHOULD BE ABLE TO IDENTIFY INVERSE FUNCTIONS AND RELATIONS. Students should also be VERIFY THAT TWO FUNCTIONS ARE INVERSES OF EACH OTHER. Students should be able to decide whether an inverse is or is not a function.

T here are questions for the students included within this lesson plan. Any expected answers are listed within parenthesis.

Today our lesson is about Inverse Functions. But first, let's review some compositions of functions. [many students in College Algebra have trouble understanding the concept of function composition so it will be good to review some more examples and see if they have questions about function composition from their homework.]

Here is a word problem to work on while I go over homework:

You are standing on a bridge over a calm pond and drop a pebble, causing ripples of concentric circles in the water. The radius
(in feet) of the outer ripple is given by r(t)=0.6t, dónde t is time in seconds after the pebble hits the water. The area of a circle is

given by the function A(r)=πr2. Find an equation for the composite function A(r(t)) and fill in the following table where t is the time in seconds after the pebble hits the water.

Recall that a relation is a set of what? (ask the class) Ordered pairs! Can someone give me four ordered pairs to write on the board? (wait for response and write the four pairs on the board). La inverse relation is the set of ordered pairs that is obtained by reversing the coordinates of the original ordered pairs. (now write the inverse of the given ordered pairs on the board). The domain of the original relation becomes the range of the inverse relation and the range of the original relation becomes the domain of the inverse relation.

Another example:
ORIGINAL RELATION: <(0,2),(3,7),(2,7),(5,8),(2,4)>
INVERSE RELATION:

The graph of the inverse relation is the reflection of the graph of the original relation. The mirror of the reflection is the line y=x.

You can plot the points on the calculator for the overhead or you can have the students plot the points on their own calculators.

Problem: Find an equation for the inverse of the relation y=5X+6.

Solution: Begin with the original equation then switch the roles of X y y.

Original: y=5X+6.

Inverse: x=5y+6. (Switch the roles of X y y to find the equation for the inverse relation.)


By looking at the graph we can see that the two equations are no equivalent. When you find the equation of an inverse of a relation or function, you are forming a different equation. You can visually see this by sketching their graphs.

Problem: The ordered pairs of the relation <(2,1),(5,1),(2,-4)>are the coordinates of the vertices of a right triangle. Find the inverse of this relation and determine whether the resulting ordered pairs are also the vertices of a right triangle.

Solution: To solve this problem, the first step is to find the inverse of the relation.
The inverse of the relation is

Have the students plot the points on their graph paper and connect the vertices of the triangles.

The next step is to plot both relations and connect the vertices to construct triangles.
Addressing the class:

If the pink triangle is our original relation and the green triangle is our inverse relation, which line do they reflect across? (y=x.)
Is the green triangle a right triangle? (Yes.)

How can we tell? (We know that we did not adjust the angles of the triangles, we only flipped the triangle across a mirror line so the triangles should remain congruent.)

Discussion:
So far all we have talked about are inverses of relations. We can also have inverse functions. The inverse function is found in the same way you find the inverse of a relation. ¿Por qué? (Because a function is a special type of relation.) But unlike the inverse of a relation which will always be a relation, the inverse of a function may not always be a function.

Ejemplos:
Problem: Find the inverse of the function f(x)=3X-1. Is the inverse a function of x?

Solution: To begin, replace f(x) con y. Then switch the X y y in the equation:

Original: f(x)=3X-1

Replace f(x) with y: y=3X-1

Switch the y and the x: X=3y-1

Have students graph on their calculators the three equations (including y=x) so they can see how the inverse reflects over the y=x line.

*Note that when you graph the equation x=3y+1 in the calculator, you have to enter it in slope-intercept form*


Thus, the inverse relation is given by the linear equation X=3y+1. Ask the students: what are some ways we can check to see if this relation is a function? (we can write the equation in slope-intercept form which we learned in Algebra I: y=(1/3)x+(1/3). Once we find the slope-intercept form we can graph the equation and see if the graph passes the vertical line test.) Because there is no vertical line that intersects the graph twice, we can conclude that the inverse relation is a function.

Problem: Find the inverse of the function f(x)=x 2 +1. Is the inverse a function of x?

Solution: To begin, replace f(x) con y. Then switch the X y y in the equation:

Replace f(x) con y: y =x 2 +1

Switch the y and the x: X =y 2 +1
Have students graph on their calculators the three equations (including y=x) so they can see how the inverse reflects over the y=x line.

*Note: on the students' calculators, they may have to graph the square root of (x-1) and the negative square root of (x-1) to create a full parabola*


We see that the inverse relation of f(x)= x 2 +1 is given by the quadratic equation X =y 2 +1. By constructing a table of x and y values or graphing the equation in a calculator, we see that the graph of this equation does not pass the vertical line test for function. Thus, this inverse relation is not a function

Another way to check for the inverse relation to be a function is a horizontal line test. If no horizontal line intersects the graph of F twice, then the inverse of F is itself a function.

The final time to discuss during this lesson is how to use composition to verify inverse functions.

If the functions F y gramo are inverses of each other, then

PROBLEM: Verify that the functions from the second example are inverses of each other.

F (x)=3X-1 and g(x)= ⅓x+⅓

Here is the classwork for this section.

Here is the answer key for the classwork.

What is another term we can use to address the line y=x? (mirror line, reflection line)

How do you verify if two functions are inverses of each other? (Use function composition and if both compositions equal x then the functions are inverses)

How do you use the horizontal line test? (If no horizontal line passes through the original function, then the inverse is a function)

How is the HLT different from the vertical line test? (HLT tests to see if the inverse relation is a function, VLT tests to see if the relation is a function)

Every section within this unit on FUNctions is very closely related. Today when we learned about inverses, we used knowledge we have gained about relations, functions, and composition of functions. It is always beneficial to recall information that you have previously gained because you will be able to apply that information to knew knowledge and make knew connections.

Assess the questions the students ask during class and while working on classwork.

Circulate room during classwork to see if written work is being completed successfully .


Proving Two Functions are Inverses - Concept

Carl taught upper-level math in several schools and currently runs his own tutoring company. He bets that no one can beat his love for intensive outdoor activities!

The definition of a function can be extended to define the definition of an inverse, or an invertible function. It's important to understand proving inverse functions, and the method of proving inverse functions helps students to better understand how to find inverse functions. Students should review how to find an inverse algebraically and the basics of proofs.

Proving two functions are inverses Algebraically. So when we have 2 functions, if we ever want to prove that they're actually inverses of each other, what we do is we take the composition of the two of them. So remember when we plug one function into the other, and we get at x. The key to this is we get at x no matter what the order is. So if we take f of g of x, claiming that f and g are inverses, we should get x. And also if we take g of f of x we should also get x, okay?
There is a chance that this could come out, and one of them could come out to be x, that doesn't prove that we have inverses on our hand. We realy need to do both, if they both come out to be x's. Voila! We have 2 inverses.


Inverse of composition of functions

Before proving this theorem, it should be noted that some students encounter this result long before they are introduced to formal proof. Fortunately, there is an intuitive way to think about this theorem: Think of the function g as putting on one’s socks and the function f as putting on one’s shoes. Then f ∘ g denotes the process of putting one one’s socks, then putting on one’s shoes. (Recall that function composition works from right to left.) Note that ( f ∘ g ) - 1 refers to the reverse process of f ∘ g , which is taking off one’s shoes (which is f - 1 ) followed by taking off one’s socks (which is g - 1 ).

Due to the intuitive argument given above, the theorem is referred to as the socks and shoes rule. This name is a mnemonic device which reminds people that, in order to obtain the inverse of a composition of functions, the original functions have to be undone in the opposite order.

Prueba.

Let A , B , and C be sets such that g : A → B and f : B → C . Then the following two equations must be shown to hold:

Note that id X denotes the identity function on the set X .

The two equations given above follow easily from the fact that function composition is associative.

The socks and shoes rule has a natural generalization :

Corollary .

Let n be a positive integer and f 1 , … , f n be invertible functions such that their composition f 1 ∘ … ∘ f n is well defined. Then f 1 ∘ … ∘ f n is invertible and

( f 1 ∘ … ∘ f n ) - 1 = f n - 1 ∘ … ∘ f 1 - 1 .

A sketch of a proof is as follows: Using induction on n , the socks and shoes rule can be applied with f = f 1 ∘ … ∘ f n - 1 and g = f n .


Ver el vídeo: Función Inversa y Función Compuesta de la Inversa Ejercicio 1 (Septiembre 2021).