Artículos

17.6: Dividir expresiones radicales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Dividir expresiones radicales
  • Racionalizar un denominador de un término
  • Racionalizar un denominador de dos términos

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ( dfrac {30} {48} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.24.
  2. Simplifica: (x ^ {2} ⋅x ^ {4} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.12.
  3. Multiplicar: ((7 + 3x) (7−3x) ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.32.

Dividir expresiones radicales

Hemos utilizado el Propiedad del cociente de expresiones radicales para simplificar raíces de fracciones. Volvemos a proporcionar la propiedad del cociente de las expresiones radicales para facilitar la referencia. Recuerde, asumimos que todas las variables son mayores o iguales a cero para que no se necesiten barras de valor absoluto.

Definición ( PageIndex {1} ): propiedad de cociente de expresiones radicales

Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b ≠ 0 ), y para cualquier número entero (n≥2 ) entonces ,

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} quad text {y} quad dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

Usaremos la propiedad del cociente de expresiones radicales cuando la fracción con la que comenzamos es el cociente de dos radicales, y ninguno de los radicales es una potencia perfecta del índice. Cuando escribimos la fracción en un solo radical, podemos encontrar factores comunes en el numerador y denominador.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {72 x ^ {3}}} { sqrt {162 x}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {32 x ^ {2}}} { sqrt [3] {4 x ^ {5}}} )

Solución:

una.

( dfrac { sqrt {72 x ^ {3}}} { sqrt {162 x}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente,

( sqrt { dfrac {72 x ^ {3}} {162 x}} )

Elimina los factores comunes.

( sqrt { dfrac { cancel {18} cdot 4 cdot x ^ {2} cdot cancel {x}} { cancel {18} cdot 9 cdot cancel {x}}} )

Simplificar.

( sqrt { dfrac {4 x ^ {2}} {9}} )

Simplifica el radical.

( dfrac {2 x} {3} )

B.

( dfrac { sqrt [3] {32 x ^ {2}}} { sqrt [3] {4 x ^ {5}}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente, ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} ).

( sqrt [3] { dfrac {32 x ^ {2}} {4 x ^ {5}}} )

Simplifica la fracción debajo del radical.

( sqrt [3] { dfrac {8} {x ^ {3}}} )

Simplifica el radical.

( dfrac {2} {x} )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {50 s ^ {3}}} { sqrt {128 s}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {56 a}} { sqrt [3] {7 a ^ {4}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5s} {8} )
  2. ( dfrac {2} {a} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {75 q ^ {5}}} { sqrt {108 q}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {72 b ^ {2}}} { sqrt [3] {9 b ^ {5}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5 q ^ {2}} {6} )
  2. ( dfrac {2} {b} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {147 a b ^ {8}}} { sqrt {3 a ^ {3} b ^ {4}}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 250 m norte ^ {- 2}}} { sqrt [3] {2 m ^ {- 2} n ^ {4}}} )

Solución:

una.

( dfrac { sqrt {147 a b ^ {8}}} { sqrt {3 a ^ {3} b ^ {4}}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( sqrt { dfrac {147 a b ^ {8}} {3 a ^ {3} b ^ {4}}} )

Elimina los factores comunes de la fracción.

( sqrt { dfrac {49 b ^ {4}} {a ^ {2}}} )

Simplifica el radical.

( dfrac {7 b ^ {2}} {a} )

B.

Reescribe usando la propiedad del cociente.

Simplifica la fracción debajo del radical.

Simplifica el radical.

(- dfrac {5 m} {n ^ {2}} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {162 x ^ {10} y ^ {2}}} { sqrt {2 x ^ {6} y ^ {6}}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 128 x ^ {2} y ^ {- 1}}} { sqrt [3] {2 x ^ {- 1} y ^ {2}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {9 x ^ {2}} {y ^ {2}} )
  2. ( dfrac {-4 x} {y} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {300 m ^ {3} n ^ {7}}} { sqrt {3 m ^ {5} n}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 81 p q ^ {- 1}}} { sqrt [3] {3 p ^ {- 2} q ^ {5}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {10 n ^ {3}} {m} )
  2. ( dfrac {-3 p} {q ^ {2}} )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {54 x ^ {5} y ^ {3}}} { sqrt {3 x ^ {2} y}} )

Solución:

( dfrac { sqrt {54 x ^ {5} y ^ {3}}} { sqrt {3 x ^ {2} y}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( sqrt { dfrac {54 x ^ {5} y ^ {3}} {3 x ^ {2} y}} )

Elimina los factores comunes de la fracción.

( sqrt {18 x ^ {3} y ^ {2}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( sqrt {9 x ^ {2} y ^ {2} cdot 2 x} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt {9 x ^ {2} y ^ {2}} cdot sqrt {2 x} )

Simplificar.

(3 x y sqrt {2 x} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {64 x ^ {4} y ^ {5}}} { sqrt {2 x y ^ {3}}} )

Respuesta

(4 x y sqrt {2 x} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Simplifica: ( dfrac { sqrt {96 a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt {2 a ^ {3} b}} )

Respuesta

(4 a b sqrt {3 b} )

Racionalizar un denominador de un término

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, ¡aproximar el valor de una fracción con un radical en el denominador era un proceso muy engorroso!

Por esta razón, un proceso llamado racionalizando el denominador fue desarrollado. Una fracción con un radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente cuyo denominador es un número entero. Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos son números irracionales. Cuando racionalizamos el denominador, escribimos una fracción equivalente con un número racional en el denominador. Este proceso todavía se utiliza hoy en día y también es útil en otras áreas de las matemáticas.

Definición ( PageIndex {2} ): Racionalización del denominador

Racionalizando el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador en una fracción equivalente cuyo denominador es un número entero.

Aunque tenemos calculadoras disponibles en casi todas partes, una fracción con un radical en el denominador aún debe racionalizarse. No se considera simplificado si el denominador contiene un radical.

Del mismo modo, un expresión radical no se considera simplificado si el radicando contiene una fracción.

Expresiones radicales simplificadas

Una expresión radical se considera simplificada si hay

  • no hay factores en el radicando y tienen potencias perfectas del índice
  • sin fracciones en el radicando
  • sin radicales en el denominador de una fracción

Para racionalizar un denominador con raíz cuadrada, usamos la propiedad de que (( sqrt {a}) ^ {2} = a ). Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.

Usaremos esta propiedad para racionalizar el denominador en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {4} { sqrt {3}} )
  2. ( sqrt { dfrac {3} {20}} )
  3. ( dfrac {3} { sqrt {6 x}} )

Solución:

Para racionalizar un denominador con un término, podemos multiplicar una raíz cuadrada por sí misma. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

una.

Multiplica tanto el numerador como el denominador por ( sqrt {3} ).

Simplificar.

Tabla 8.5.1

B. Siempre simplificamos primero el radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta forma, los números se mantienen más pequeños y es más fácil trabajar con ellos.

La fracción no es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la propiedad del cociente.

Simplifica el denominador.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {5} ).

Simplificar.

Simplificar.

Tabla 8.5.2

C.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {6x} ).

Simplificar.

Simplificar.

Tabla 8.5.3

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {5} { sqrt {3}} )
  2. ( sqrt { dfrac {3} {32}} )
  3. ( dfrac {2} { sqrt {2 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5 sqrt {3}} {3} )
  2. ( dfrac { sqrt {6}} {8} )
  3. ( dfrac { sqrt {2 x}} {x} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {6} { sqrt {5}} )
  2. ( sqrt { dfrac {7} {18}} )
  3. ( dfrac {5} { sqrt {5 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {6 sqrt {5}} {5} )
  2. ( dfrac { sqrt {14}} {6} )
  3. ( dfrac { sqrt {5 x}} {x} )

Cuando racionalizamos una raíz cuadrada, multiplicamos el numerador y el denominador por una raíz cuadrada que nos daría un cuadrado perfecto debajo del radical en el denominador. Cuando sacamos la raíz cuadrada, el denominador ya no tenía radical.

Seguiremos un proceso similar para racionalizar las raíces superiores. Para racionalizar un denominador con un radical de índice más alto, multiplicamos el numerador y el denominador por un radical que nos daría un radicando que es una potencia perfecta del índice. Cuando simplificamos el nuevo radical, el denominador ya no tendrá un radical.

Por ejemplo,

Usaremos esta técnica en los siguientes ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [3] {6}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {7} {24}} )
  3. ( dfrac {3} { sqrt [3] {4 x}} )

Solución:

Para racionalizar un denominador con raíz cúbica, podemos multiplicar por una raíz cúbica que nos dará un cubo perfecto en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

una.

El radical en el denominador tiene un factor de (6 ). Multiplica tanto el numerador como el denominador por ( sqrt [3] {6 ^ {2}} ), lo que nos da (2 ) más factores de (6 ).

Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene (3 ) potencias de (6 ).

Simplifica la raíz cúbica en el denominador.

Tabla 8.5.4

B. De esta forma, los números se mantienen más pequeños y es más fácil trabajar con ellos.

La fracción no es un cubo perfecto, así que reescribe usando la propiedad del cociente.

Simplifica el denominador.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [3] {3 ^ {2}} ). Esto nos dará (3 ) factores de (3 ).

Simplificar.

Recuerde, ( sqrt [3] {3 ^ {3}} = 3 ).

Simplificar.

Cuadro 8.5.5

C.

Reescribe el radicando para mostrar los factores.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [3] {2 cdot x ^ {2}} ). Esto nos dará (3 ) factores de (2 ) y (3 ) factores de (x ).

Simplificar.

Simplifica el radical en el denominador.

Tabla 8.5.6

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [3] {7}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {5} {12}} )
  3. ( dfrac {5} { sqrt [3] {9 y}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [3] {49}} {7} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {90}} {6} )
  3. ( dfrac {5 sqrt [3] {3 y ^ {2}}} {3 y} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [3] {2}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {3} {20}} )
  3. ( dfrac {2} { sqrt [3] {25 n}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [3] {4}} {2} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {150}} {10} )
  3. ( dfrac {2 sqrt [3] {5 n ^ {2}}} {5 n} )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [4] {2}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {5} {64}} )
  3. ( dfrac {2} { sqrt [4] {8 x}} )

Solución:

Para racionalizar un denominador con una cuarta raíz, podemos multiplicar por una cuarta raíz que nos dará una cuarta potencia perfecta en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

una.

El radical en el denominador tiene un factor de (2 ).
Multiplica tanto el numerador como el denominador por ( sqrt [4] {2 ^ {3}} ), lo que nos da (3 ) más factores de (2 ).

Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene (4 ) potencias de (2 ).

Simplifica la cuarta raíz del denominador.

Tabla 8.5.7

B. De esta forma, los números se mantienen más pequeños y es más fácil trabajar con ellos.

La fracción no es una cuarta potencia perfecta, así que reescribe usando la propiedad del cociente.

Reescribe el radicando en el denominador para mostrar los factores.

Simplifica el denominador.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [4] {2 ^ {2}} ). Esto nos dará (4 ) factores de (2 ).

Simplificar.

Recuerde, ( sqrt [4] {2 ^ {4}} = 2 ).

Simplificar.

Tabla 8.5.8

C.

Reescribe el radicando para mostrar los factores.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [4] {2 cdot x ^ {3}} ). Esto nos dará (4 ) factores de (2 ) y (4 ) factores de (x ).

Simplificar.

Simplifica el radical en el denominador.

Simplifica la fracción.

Tabla 8.5.9

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [4] {3}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {3} {64}} )
  3. ( dfrac {3} { sqrt [4] {125 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [4] {27}} {3} )
  2. ( dfrac { sqrt [4] {12}} {4} )
  3. ( dfrac {3 sqrt [4] {5 x ^ {3}}} {5 x} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [4] {5}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {7} {128}} )
  3. ( dfrac {4} { sqrt [4] {4 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [4] {125}} {5} )
  2. ( dfrac { sqrt [4] {224}} {8} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {64 x ^ {3}}} {x} )

Racionalizar un denominador de dos términos

Cuando el denominador de una fracción es una suma o diferencia con raíces cuadradas, usamos el Producto del patrón de conjugados a racionalizar el denominador.

( begin {array} {cc} {(ab) (a + b)} & {(2- sqrt {5}) (2+ sqrt {5})} {a ^ {2} - b ^ {2}} & {2 ^ {2} - ( sqrt {5}) ^ {2}} {} & {4-5} {} & {- 1} end {array} )

Cuando multiplicamos un binomio que incluye una raíz cuadrada por su conjugado, el producto no tiene raíces cuadradas.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar: ( dfrac {5} {2- sqrt {3}} )

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplica los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplificar.
Tabla 8.5.10

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Simplifique: ( dfrac {3} {1- sqrt {5}} ).

Respuesta

(- dfrac {3 (1+ sqrt {5})} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Simplifique: ( dfrac {2} {4- sqrt {6}} ).

Respuesta

( dfrac {4+ sqrt {6}} {5} )

Observe que no distribuimos (5 ) en la respuesta del último ejemplo. Al dejar el resultado factorizado, podemos ver si hay algún factor que pueda ser común tanto para el numerador como para el denominador.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {3}} { sqrt {u} - sqrt {6}} ).

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplica los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Tabla 8.5.11

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {5}} { sqrt {x} + sqrt {2}} ).

Respuesta

( dfrac { sqrt {5} ( sqrt {x} - sqrt {2})} {x-2} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {10}} { sqrt {y} - sqrt {3}} )

Respuesta

( dfrac { sqrt {10} ( sqrt {y} + sqrt {3})} {y-3} )

Tenga cuidado con los signos al multiplicar. El numerador y el denominador se ven muy similares cuando se multiplica por el conjugado.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {x} + sqrt {7}} { sqrt {x} - sqrt {7}} ).

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplica los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Tabla 8.5.12

No cuadramos el numerador. Dejándolo en forma factorizada, podemos ver que no hay factores comunes para eliminar del numerador y denominador.

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {p} + sqrt {2}} { sqrt {p} - sqrt {2}} ).

Respuesta

( dfrac {( sqrt {p} + sqrt {2}) ^ {2}} {p-2} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {q} - sqrt {10}} { sqrt {q} + sqrt {10}} )

Respuesta

( dfrac {( sqrt {q} - sqrt {10}) ^ {2}} {q-10} )

Conceptos clave

  • Propiedad del cociente de expresiones radicales
    • Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b ≠ 0 ), y para cualquier número entero (n≥2 ) entonces , ( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) y ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )
  • Expresiones radicales simplificadas
    • Una expresión radical se considera simplificada si hay:
      • no hay factores en el radicando que tengan potencias perfectas del índice
      • sin fracciones en el radicando
      • sin radicales en el denominador de una fracción

Glosario

racionalizando el denominador
Racionalizar el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador en una fracción equivalente cuyo denominador es un número entero.

Dividiendo expresiones radicales

así que necesito ayuda para dividir, simplificar y racionalizar. Mi maestra siguió los pasos, pero no explicó por qué hacer lo que hizo.

Algunos ejemplos de problemas son:
dividir y simplificar:
[³√ (270x ^ 20)] / [³√ (5x)]

racionalizar el denominador de la expresión:
[√ (6x ^ 8y ^ 9)] / [√ (5x ^ 2y ^ 4)]
o
[2+³√(3)]/ [³√(6)]

Solo necesito que alguien me haga los pasos, ¡sería increíble!

Denis

Miembro senior

¡Youtch! Seguro que no es fácil. ¿En que grado estás?

Tu expresión:
[(270x ^ 20) ^ (1/3)] / [(5x) ^ (1/3)]
= [(270x ^ 20) ^ (1/3)] * [(5x) ^ (- 1/3)] regla: a / b ^ x = a * b ^ (- x)

Término por término:
270^(1/3) = 27^(1/3) * 10^(1/3) = 3 * 10^(1/3) = 3 * 2^(1/3) * 5^(1/3)

Entonces combinando arriba:
3 * 2 ^ (1/3) * 5 ^ (1/3) * x ^ (20/3) * 5 ^ (- 1/3) * x ^ (- 1/3)

5 ^ (1/3) * 5 ^ (- 1/3) = 5 ^ 0 = 1: entonces esos están fuera

Y nos quedamos con:
3 * 2 ^ (1/3) * x ^ (19/3)

Eso es correcto (lo probé) sin embargo, puede haber una forma mejor / más simple
si lo hay, estoy seguro de que alguien saltará a humillarme


Dividir radicales y racionalizar el denominador: concepto

La división larga se puede utilizar para dividir un polinomio por otro polinomio, en este caso un binomio de menor grado. Cuándo dividir polinomios, planteamos el problema de la misma manera que cualquier problema de división larga, pero tenemos cuidado con los términos con coeficientes cero. Por ejemplo, en el polinomio x ^ 3 + 3x + 1, x ^ 2 tiene un coeficiente de cero y debe incluirse como x ^ 3 + 0x ^ 2 + 3x + 1 en el problema de división.

Una cosa para recordar acerca de la simplificación de expresiones radicales es que no tendrás un radical en el denominador. De lo que estoy hablando es de que no quieres tener raíces cuadradas en la parte inferior de la fracción. Para sacarlo de la parte inferior de la fracción, tendrás que usar un montón de técnicas.
Primero, si le dan una fracción que tiene una raíz cuadrada en la parte inferior, si no quiere reducir la fracción primero, esa es una posibilidad. Otra cosa que podría querer hacer es buscar los factores cuadrados perfectos y reducirlos como ustedes han estado haciendo con expresiones radicales todo el tiempo.
Un par de cosas a tener en cuenta también cuando vea fracciones. La raíz cuadrada de 3 más la raíz cuadrada de 7 no es lo mismo que la raíz cuadrada de 3 + 7. Esa es una distinción realmente importante. Eso sería cierto para multiplicar la raíz cuadrada de 3 por la raíz cuadrada de 7 es igual a la raíz cuadrada de 3 por 7. No te confundas esas cosas en la cabeza. Entonces, cuando observemos estas sumas o diferencias de expresiones radicales que tienen diferentes radicandos, nos encontraremos con lo que llamamos conjugados.
Los conjugados se ven así. Hay dos sumas diferentes en las diferencias que tienen los mismos dos términos, como tengo raíz 3 más raíz 8 y raíz 3 menos raíz 8. Estos se llaman conjugados y hay algunas propiedades realmente interesantes que surgen cuando estás multiplicando conjugados. Si multiplica dos conjugados, su resultado es siempre un número entero o un número entero o entero. Eso es bueno cuando intentas sacar raíces cuadradas de la parte inferior de una fracción.
Entonces, al juntarlo todo, tenemos un proceso llamado racionalización del denominador. Si te dan una fracción que tiene una raíz cuadrada en el denominador, racionalizas el denominador multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Eso tendrá mucho más sentido cuando empiece a mirar ejemplos, pero de nuevo, lo más importante que debe recordar es que nunca quiere dejar una expresión radical o eso significa una raíz cuadrada en la parte inferior de una fracción. Siempre siempre siempre racionaliza multiplicando por el conjugado del denominador.


Dividir radicales y racionalizar el denominador - Problema 3

Necesito simplificar esta fracción y la forma en que lo haré es racionalizando el denominador porque tengo la suma de 2 radicales y un denominador.

Racionalizar el denominador significa que voy a multiplicar la parte superior y la inferior por el conjugado de este tipo. Esa es una palabra elegante para simplemente cambiar el letrero allí.

La raíz 12 menos la raíz 8 se multiplica en la parte superior e inferior. Además, sigamos adelante y distribuya. Tendré -3 raíz 12 más 3 raíz 8, cuidado con los signos negativos que es lo que me hizo tropezar menos, menos es positivo. En la parte inferior, veamos FOIL, la raíz 12 por la raíz 12 es 12 regular. Mis externos tendrían una raíz negativa 8, ¿cuánto es 8 por 12? 96 a la derecha 96, lo siento. Tendría raíz negativa 96 más raíz 96, esos tipos se cancelan, y luego, cuando miro mis hormas, tendré menos 8 allí. Eso es genial, mi denominador ya no tiene expresiones radicales, lo que significa que estoy haciendo este proceso correctamente.

El objetivo de multiplicar por el conjugado era deshacerse de los radicales aquí abajo. Así que ahora la parte inferior de mi fracción es solo 4, en la parte superior, aunque tendré que simplificar un poco. La raíz cuadrada de 12 Voy a simplificar eso como la raíz cuadrada de 4 veces la raíz cuadrada de 3, que es 2 raíz 3. Así que tengo 2 raíz 3 veces menos 3, que va a ser -6 raíz 3 nuevamente porque yo hice -3 veces 2 para obtener -6, luego me quedaba la raíz 3, ese es mi primer término.

Aquí también puedo reducir la raíz cuadrada de 8. La raíz cuadrada de 8 es lo mismo que la raíz cuadrada de 4 veces la raíz cuadrada de 2 o 2 la raíz 2. Así que ahora tengo 3 veces 2 raíz 2, que va a ser 6 raíz 2 Esto se puede simplificar aún más, compruébalo. Tengo un factor común. Tengo 6 o -6, depende de ti cuál eliges descartar. Voy a factorizar +6, también puede optar por factorizar -6, debería obtener la misma respuesta. Factorizo ​​+6 y luego tendré la raíz negativa 3 más la raíz 2 en la parte superior, en la parte inferior tengo el 4.

Finalmente, mi último paso será reducir 6 sobre 4 a 3 sobre 2. Esta será mi respuesta final. 3 veces la cantidad negativa raíz 3 más raíz 2 encima de 2. Eso fue complicado. Tuve que usar muchas habilidades diferentes y es por eso que a los profesores de matemáticas les encanta asignar problemas como estos. Tienes que saber hallar el conjugado, tienes que poder multiplicar correctamente para que tu denominador ya no tenga términos racionales, tienes que poder reducir a ambos tipos, tener cuidado con los signos y también recordar multiplica por estos 3, luego tienes que factorizar un factor común y finalmente reconocer que la fracción se puede reducir.

Este es un problema bastante desagradable, pero apuesto a que tu cruel profesor de matemáticas te obligará a hacer algo como esto. Puede hacerlo, simplemente realice un seguimiento de todos sus aspectos positivos y negativos. Tenga mucho cuidado de asegurarse de que esté completamente simplificado y de que lo hagan bien.


Chistes de álgebra


P: ¿Por qué el estudiante tenía miedo de la intersección con el eje y?
A: Ella pensó que la picaría la b.

P: ¿Quién inventó el álgebra?
A: Un inteligente X-pert.

P: ¿Cómo llamas a los amigos que aman las matemáticas?
A: algebros

P: ¿Qué tienen en común Álgebra y mi pene?
R: Ambos son difíciles para ti.

P: ¿Por qué Ricitos de Oro no bebe un vaso de agua con 8 piezas de hielo?
A: Está demasiado en cubos.

P: ¿Cuál es el término matemático oculto? BOLA BOLA
A: Parábolas (par de bolas)

P: ¿Qué obtienes cuando cruzas una clase de álgebra con el baile de graduación?
A: El formal cuadrático.

P: ¿Qué obtienes cuando cruzas un alpinista y un mosquito?
A: ¡Nada! Sabes que no puedes cruzar un escalar y un vector.

P: ¿Por qué un libro de álgebra siempre es infeliz?
R: Porque siempre tiene muchos problemas.

P: ¿Por qué raras veces encuentra matemáticos pasando tiempo en la playa?
R: ¡Porque tienen seno y coseno para broncearse y no necesitan el sol!

P: ¿Qué es púrpura y conmutativo?
A: una uva abeliana

P. ¿Qué figura suele esperarle en Stabucks?
A. Una línea.

P: ¿Por qué la relación necesitaba un tutor de matemáticas?
R: Falló la prueba de la línea vertical.

P: ¿Cómo puede un pescador determinar cuántos peces necesita pescar para obtener ganancias?
R: Utilizando una desigualdad codratica.

P: ¿Por qué el número imaginario se puso rojo?
R: Se quedó sin i-drops.

P: ¿Qué lleva la sirenita?
R: Un sujetador de algas.

P: ¿Cómo resuelve un fantasma una ecuación cuadrática?
R: Completando el susto.

P: ¿Qué es una prueba?
R: Medio por ciento de alcohol.

P: ¿Qué le dijo el libro de álgebra y matemáticas al otro?
R: ¡No me molestes, tengo mis propios problemas!

P: ¿Cuál es la definición de oso polar?
A: Un oso rectangular después de una transformación de coordenadas.

P: ¿Por qué se conocían todas las manzanas del frutero?
R: Eran relaciones centrales.

P: ¿Por qué se detuvo la matriz?
R: Entrada ilegal.

P: ¿Cómo se llama a un roedor con bebés?
R: Un padre cuádruple.

P: ¿Qué obtienes cuando cruzas a un apoyador con un fanático de las computadoras?
A: un programador lineal.

P: ¿Por qué el teorema de la raíz racional es tan educado?
A: Le importa sus p's y q's.

P: ¿Por qué se marchitó la planta polinomial?
R: Sus raíces eran imaginarias.

P: ¿Cómo sabe que su dentista estudió álgebra?
R: Dijo que todos esos dulces me daban una caída exponencial.

P: ¿Cómo encontró el pollo la inversa?
R: Reflejó la función en y = huevos.

Maestra: ¿Por qué no hiciste tu tarea de matemáticas?
Estudiante: Se suicidó porque tenía demasiados ex

P: ¿Por qué el médico envió la expresión a un psiquiatra?
R: Porque no fue racional.

P: ¿Cómo puede predecir cuántos manifestantes se presentarán en un mitin?
R: Usando una función radical.

P: ¿Has oído hablar del profesor de álgebra estreñido?
R: Lo resolvió con un lápiz.

P: ¿Por qué tamborilea en su libro de álgebra con dos palos grandes?
R: Porque estamos estudiando ritmos logarítmicos.

P: ¿Cómo llamas a una serpiente después de que bebe tres tazas de café?
A: Una hiperboa.

P: ¿Cuál es el tipo de matemáticas favorito de los pájaros inteligentes?
A: búho-gebra

P: ¿Qué es Ho en cubos?
A: HoHoHo

P: ¿Cómo puede saber cuándo un factorial está entusiasmado?
R: Siempre es entusiasta, ¡tiene un signo de exclamación!

P: ¿Cómo se llama a un profesor de álgebra que se va de vacaciones a la playa?
A: una tangente.

P: ¿Qué animal salvaje es bueno en álgebra?
A: El león tangente.

P: ¿Por qué eres tan negativo?
R: ¡Tómame por mi valor absoluto!

Maestro: "¿Qué son siete Q más tres Q?"
Estudiante: "Diez Q"
Maestro: "De nada".

Padre: ¿Estudió su lección de álgebra en la reunión familiar?
Estudiante: Claro, fue una función con relaciones.

Maestra: ¿Por qué tu madre y tu padre hicieron tu tarea de álgebra?
Estudiante: Entienden realmente las funciones de los padres.

Maestro: ¿Qué es 2n más 2n?
Estudiante: No lo sé. Me suena 4n (extranjero).

Maestro: Hallemos la raíz cuadrada de 1 millón.
Estudiante: ¿No crees que eso es demasiado radical?

Cirujano: ¡Enfermera! ¡Tengo tantos pacientes! ¿Con quién trabajo primero?
Enfermera: Sencillo. Utilice el orden de las operaciones.

Maestro: ¿Tu comportamiento me recuerda a la raíz cuadrada de 2?
Estudiante: ¿Por qué?
Maestro: Porque es 'completamente irracional.

Estudiante: El artista Picasso debe haber sido muy bueno en álgebra.
Padre: ¿Por qué dices eso?
Estudiante: Era un cubista famoso, por lo que probablemente tuvo que hacer mucho factoring.

TOC Toc.
¿Quién está ahí?
Polly.
Polly quien?
Polinomio. ¿Por qué el tercer grado?

Papá, todo lo relacionado con las niñas me asusta. ¿Por eso reprobé mi examen de álgebra?
¿Qué quieres decir?
Porque tiene la palabra "sujetador".

JFK
Nueva York (CNN): Hoy en el Aeropuerto Internacional John F. Kennedy, un hombre caucásico (que luego se descubrió que era un profesor de matemáticas de secundaria) fue arrestado cuando intentaba abordar un vuelo mientras tenía una brújula, un transportador y una calculadora gráfica. .
Según los funcionarios encargados de hacer cumplir la ley, se cree que tiene vínculos con la red Al-Gebra. Se le acusará de portar armas de instrucción matemática.

Cuatro amigos
A cuatro amigos les ha ido muy bien en su clase de álgebra: han obtenido las mejores calificaciones en sus tareas y en el examen de mitad de período. Entonces, cuando llega el momento de la final, deciden no estudiar el fin de semana anterior, sino conducir hasta la fiesta de cumpleaños de otro amigo en otra ciudad, aunque el examen está programado para el lunes por la mañana. Da la casualidad de que beben demasiado en la fiesta, y el lunes por la mañana, todos tienen resaca y se quedan dormidos. Cuando finalmente llegan al campus, el examen ya ha terminado.

Van a la oficina del profesor y le ofrecen una explicación: "Fuimos a la fiesta de cumpleaños de nuestro amigo, y cuando conducíamos de regreso a casa muy temprano el lunes por la mañana, de repente nos pinchamos una llanta. No teníamos una de repuesto, y como estábamos conduciendo por carreteras secundarias, nos tomó horas hasta que obtuvimos ayuda ".

El profesor asiente con simpatía y dice: "Veo que no fue tu culpa. Te permitiré recuperar el examen perdido mañana por la mañana".

Cuando llegan temprano el martes por la mañana, el profesor coloca a los estudiantes en una gran sala de conferencias y se sientan tan separados unos de otros que, incluso si lo intentaron, no tuvieron oportunidad de hacer trampa. Los cuadernillos de exámenes ya están en su lugar y, con confianza, los estudiantes comienzan a escribir.

La primera pregunta, cinco puntos de cien, es un simple ejercicio de álgebra, y los cuatro lo terminan en diez minutos.

Cuando el primero de ellos ha completado el problema, pasa la página del cuadernillo del examen y lee el siguiente:

Problema 2 (95 puntos sobre 100): ¿Qué neumático se desinfló?

George W. Bush
George W. Bush visita Argelia.
Como parte de su programa, da un discurso al pueblo argelino: "Saben, lamento tener que dar este discurso en inglés. Preferiría mucho hablar con ustedes en su propio idioma. Pero desafortunadamente, estaba nunca bueno en álgebra ".

Novia
"¿Qué le pasó a tu novia, esa linda estudiante de matemáticas?"
"Ella ya no es mi novia. La pillé engañándome".
"¡No creo que te haya engañado!"
"Bueno, hace un par de noches la llamé por teléfono y me dijo que estaba en la cama luchando con tres desconocidos".

Historia vs Matemáticas
Una vez, un profesor de matemáticas y un profesor de historia tuvieron una pelea sobre si las matemáticas son mejores o la historia.

Profesor de historia: llamaré a todo el ejército de Stalin y te mataré.

Profesor de matemáticas: Luego pondré todo el ejército en el corchete y lo multiplicaré por cero.


17.6: Dividir expresiones radicales - Matemáticas

Esta fracción estará en forma simplificada cuando se elimine el radical del denominador. Si creamos un cuadrado perfecto debajo del radical de la raíz cuadrada en el denominador, el radical se puede eliminar. Para hacerlo, multiplicamos la parte superior e inferior de la fracción por el mismo valor (esto en realidad es multiplicar por & quot 1 & quot). Si multiplicamos por el radical de raíz cuadrada que estamos tratando de eliminar (en este caso multiplicar por), habremos eliminado el radical del denominador.
¡Acaba de & quotracionalizar & quot el denominador!
Convirtió un valor irracional en un valor racional en el denominador.

Necesitamos & quotracionalizar el denominador & quot. Cuando el denominador es una raíz cúbica, tienes que esforzarte más para sacarlo del fondo. Desafortunadamente, no es tan fácil como multiplicar la parte superior e inferior por el radical, como hicimos en el Ejemplo 2. Aquí está el por qué:

En el primer caso, la potencia de 2 y el índice de 2 permiten un cuadrado perfecto debajo de una raíz cuadrada y se puede eliminar el radical.
En el segundo caso, la potencia de 2 con un índice de 3 no crea una situación inversa y el radical no se elimina. Necesitamos un factor adicional de la raíz cúbica de 4 para crear una potencia de 3 para el índice de 3.

Puede darse el caso de que el radicando de la raíz cúbica sea lo suficientemente simple como para permitirle "ver" dos partes de un cubo perfecto que se esconden en su interior. En este caso, puede simplificar su trabajo y multiplicar por solo una raíz cúbica adicional. Como se muestra a continuación, un factor adicional de la raíz cúbica de 2 crea un cubo perfecto en el radicando.

¡Usaremos un conjugado para racionalizar el denominador! El problema con esta fracción es que el denominador contiene un radical. Como tal, no se considera que la fracción esté en su forma más simple. Como vimos en el Ejemplo 8 anterior, multiplicar un binomio por su conjugado racionalizará el producto. Este proceso eliminará el radical del denominador en este problema (si multiplicamos el denominador por 1 + />). Para no & quot; cambiar & quot el valor de la fracción, multiplicaremos tanto la parte superior como la inferior por 1 + />, multiplicando así por 1.


Mientras que el numerador "parece" peor, el denominador ahora es un número racional y la fracción se considera en la forma más simple. Observe que no hay nada más que podamos hacer para simplificar el numerador.

¿Notaste cómo el proceso de & quot racionalizar el denominador & quot usando un conjugado se asemeja a la & quot diferencia de cuadrados & quot: a 2 - B 2 = (a + b)(a - b)? Ambos crean cuadrados perfectos y eliminan cualquier término & quot medio & quot.

Si bien el conjugado resultó útil en el último problema cuando se trataba de una raíz cuadrada en el denominador, no será útil con una raíz cúbica en el denominador. Mira lo que sucede cuando multiplicamos por un conjugado:

La raíz cúbica de 9 no es un cubo perfecto y no se puede quitar del denominador. En lugar de eliminar la raíz cúbica del denominador, el conjugado simplemente creó una nueva raíz cúbica en el denominador.

Para resolver este problema, debemos pensar en la fórmula & quotsum of cubes & quot:
a 3 + B 3 = (a + b)(a 2 - ab + B 2). Esta fórmula nos muestra que para obtener cubos perfectos necesitamos multiplicar por algo más que un término conjugado.
Dejar a = 1 y B = la raíz cúbica de 3. Multiplicaremos la parte superior e inferior por
a 2 - ab + B 2 .



¡GUAU!

Nota: Si el denominador hubiera sido 1 & quot menos & quot la raíz cúbica de 3, se habría utilizado la & quot fórmula de diferencia de cubos & quot: a 3 - B 3 = (a - b)(a 2 + ab + B 2 ).


17.6: Dividir expresiones radicales - Matemáticas

Utilice este formulario si desea
tener este solucionador matemático en su sitio web,
gratis.

Miles de usuarios están utilizando nuestro software para conquistar su tarea de álgebra. Estas son algunas de sus experiencias:

Al graduarme de la escuela secundaria, fui uno de los mejores estudiantes de matemáticas de mi clase. Entrar en la universidad fue una lección de humildad porque de repente apenas estaba en la media. Entonces, mis padres me ayudaron a elegir a Algebrator y, en unas semanas, regresé. Su programa no solo es excelente para principiantes, como mis hermanos menores en la escuela secundaria, sino que también me ayudó, ¡como nuevo estudiante universitario!
Dale Morrisey, Florida

¡Encuentro que el programa es de gran utilidad! ¡Gracias!
Linda Taylor, KY

Mi hija está en décimo grado y mi hijo en séptimo grado. I used to spend hours teaching them arithmetic, equations and algebraic expressions. Then I bought this software. Now this algebra tutor teaches my children and they are improving at a better pace.
Franklin Bradley, AK


17.6: Divide Radical Expressions - Mathematics

I recommend this program to every student that comes in my class. Since I started this, I have noticed a dramatic improvement.
Christian Terry, ID.

I want to thank the support staff for the invaluable help you have provided me so far. I would otherwise fail the math course I am taking without a doubt.
Maria Chavez, TX

I never used to take interest in math and always found algebra boring. Time has changed since I bought this software. My concepts are very clear and I love the step-by-step approach.
Kevin Woods, WI

My 12-year-old son, Jay has been using the program for a few months now. His fraction skills are getting better by the day. Thanks so much!
Daniel Swan, IA

My former algebra tutor got impatient whenever I couldn't figure out an equation. I eventually got tired of her so I decided to try the software. I'm so impressed with it! I can't stress enough how great it is!
Chuck Jones, LA


17.6: Divide Radical Expressions - Mathematics

Terms of Use Contact Person: Donna Roberts

Multiplying and dividing radicals makes use of the "Product Rule" and the "Quotient Rule" as seen at the right. El & quotnorte" simply means that the index could be any value. Our examples will be using the index to be 2 (square root).

Multiply the values under the radicals.
Then simplify the result.

Multiply out front and multiply under the radicals.
Then simplify the result.

"The radical of a product is equal to the product of the radicals of each factor."

"The radical of a quotient is equal to the quotient of the radicals of the numerator and denominator."


Multiply under the radicals.
Then simplify the result.

Distribute across the parentheses. Remember there is an implied " 1 " in front of .

Use the distributive property to multiply. Combine like terms.

Use the distributive property to multiply. There are NO like terms to be combined.

Divide out front and divide under the radicals.
Then simplify the result.

This fraction will be in simplified form when the radical is removed from the denominator. You need to create a perfect square under the square root radical in the denominator by multiplying the top and bottom of the fraction by the same value (this is actually multiplying by " 1 "). The easiest approach is to multiply by the square root radical you need to convert (in this case multiply by ).
You have just " rationalized " the denominator!

Rationalize the denominator is the concept used to simplify a fraction with a square root or cube root in the denominator. It is the process of removing the root from the denominator. You are creating a "rational" number in the denominator instead of an "irrational" number.


Descripción Dividing Radical Expressions

In order to divide radical expressions, we must simplify them. So knowing tools for simplifying radical expressions is key to dividing them.

The most important tool for dividing radical expressions is the quotient property of square roots.

This property states that √a / √b =√(a/b).

The quotient property of square roots can be used when simplifying or performing operations like division in radical expressions.

Specifically, √a / √b = √(a/b) can be used when a and b are not perfect squares and a/b is a rational number.

Also, √(a/b) = √a / √b can be used when a/b is not a perfect square, but separately a and b are rational numbers.

It is important to remember that the final result of dividing radical expressions must be in simplest radical form as well.

This video will show examples that explain how to use the quotient property of square roots for division of radical expressions.

Expressions and Equations Work with radicals and integer exponents.

Transcript Dividing Radical Expressions

Meet the man they call Wendelin
the path he takes is bafflin'.
The loyal, royal courier is he,
who expresses himself quite radically.
With no time to wander,
his travels take him yonder,
trundlin' packages for his Lord and Lady.
For a full day,
he travels the way
from Arden to Barton via Circuity.
Taking the long way 'round,
there's sure to be found,
a way shorter than his route currently.
What do I spy?
Is there a new bridge nearby?
Is it really a shortcut, Wendelin wonders.
To figure this out,
and leave no doubt,
we answer questions that divide radical expressions.

Rather than traveling two-thirds of a day to Circuity, to trip trap 'cross the bridge, and then travel an additional one-third of a day from there to Barton, Wendelin can simply cross the new bridge and travel directly from Arden to Barton! How's that, you ask?

The Pythagorean Theorem

Remember the Pythagorean Theorem? ‘a’ squared plus ‘b’ squared is equal to ‘c’ squared. Side 'c' se llama el hypotenuse and is the longest side! Using the Pythagorean Theorem to solve for la missing measurement, Wendelin knows how to set up la ecuación a solve for a positive rational expression, but he needs help simplifying the radical expression.

The Quotient Property of Square Roots

To solve this type of problem, use the Quotient Property de Raíces cuadradas: The square root of a quotient is equal to the quotient of the square roots of the numerador y denominador. For all positive real numbers 'a' and 'b' - 'b' does not equal zero. Take a look at how we can apply the quotient property of square roots to solve this problem: The square root of 90 divided by the square root of 10. This is the same as the square root of the fraction 90 over 10. We can simplify this to the square root of 9, and then solve. The quotient is 3, since squaring this number gives you 9.

Let’s try another problem: the square root of the fraction 49 over 9. Hmm, simplifying the fraction won't help, but we can split up the parts and take the square roots. The square root of 49 is equal to 7, and the square root of 9 is equal to 3 giving us 7 over 3. For more complex fractions such as this, note how we separate the coefficients from the radicals, and then apply the quotient property to simplify the square root. The fraction under this radical is simplified to the square root of 4, and the rest is easy.

Getting back to the original problem. Wendelin uses what he’s learned to simplificar la radical expression. Using the Quotient Property of Square Roots, the solution is the square root of 5 over 3. Compared to the old route, the new route will save him one-quarter of a day!

Wendelin makes his merry way,
along his newfound pathway
to try out the new overpass.
He notices a troll,
who's blocking his goal,
with a lot of zeal and a lot of sass.
Radical as can be,
Wendelin solves the problems effortlessly,
but tomorrow's another story.