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15.6.1: Más ejemplos de aplicaciones: matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Resolver aplicaciones que involucren movimiento uniforme (problemas de distancia).
  • Resuelva aplicaciones de tasa de trabajo.
  • Configure y resuelva aplicaciones que involucren variación directa, inversa y conjunta.

Solución de problemas de movimiento uniforme

Movimiento uniforme (o distancia)37 Los problemas involucran la fórmula (D = rt ), donde la distancia (D ) se da como el producto de la tasa promedio (r ) y el tiempo (t ) viajado a esa tasa. Si dividimos ambos lados por la tasa promedio (r ), obtenemos la fórmula

(t = frac {D} {r} )

Por esta razón, cuando la cantidad desconocida es el tiempo, la configuración algebraica para problemas de distancia a menudo resulta en una ecuación racional. Comenzamos cualquier problema de movimiento uniforme organizando primero nuestros datos con un gráfico. Utilice esta información para configurar una ecuación algebraica que modele la aplicación.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Sally viajó (15 ) millas en el autobús y luego otras (72 ) millas en un tren. El tren fue (18 ) millas por hora más rápido que el autobús, y el viaje total tomó (2 ) horas. ¿Cuál fue la velocidad media del tren?

Solución

Primero, identifique la cantidad desconocida y organice los datos.

Sea (x ) la velocidad promedio (en millas por hora) del autobús.

Sea (x + 18 ) la velocidad promedio del tren.

Para evitar introducir dos variables más para la columna de tiempo, use la fórmula (t = frac {D} {r} ). El tiempo de cada tramo del viaje se calcula de la siguiente manera:

( begin {alineado} color {Cerulean} {Tiempo : pasado : en : el : autobús:} color {negro} {t} = frac {D} {r} & = frac { 15} {x} color {Cerulean} {Tiempo : pasado : en : el : tren:} color {negro} {t} = frac {D} {r} & = frac { 72} {x + 18} end {alineado} )

Usa estas expresiones para completar la tabla.

La configuración algebraica está definida por la columna de tiempo. Sume el tiempo invertido en cada tramo del viaje para obtener un total de (2 ) horas:

Comenzamos a resolver esta ecuación primero multiplicando ambos lados por el MCD, (x (x + 18) ).

Resuelve la ecuación cuadrática resultante factorizando.

Como estamos buscando una velocidad promedio, ignoraremos la respuesta negativa y concluiremos que el autobús promedió (30 ) mph. Sustituye (x = 30 ) en la expresión identificada como la velocidad del tren.

(x + 18 = 30 + 18 = 48 )

Respuesta:

La velocidad del tren era (48 ) mph.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Un bote puede promediar (12 ) millas por hora en aguas tranquilas. En un viaje río abajo, el barco pudo viajar (29 ) millas con la corriente. En el viaje de regreso, el barco solo pudo viajar (19 ) millas en la misma cantidad de tiempo contra la corriente. ¿Cuál fue la velocidad de la corriente?

Solución

Primero, identifique las cantidades desconocidas y organice los datos.

Sea (c ) la velocidad de la corriente del río.

A continuación, organice los datos dados en un gráfico. Viajando río abajo, la corriente aumentará la velocidad del barco, por lo que se suma a la velocidad media del barco. Viajando río arriba, la corriente ralentiza el barco, por lo que se restará de la velocidad media del barco.

Usa la fórmula (t = frac {D} {r} ) para completar la columna de tiempo.

Debido a que el bote viajó la misma cantidad de tiempo río abajo que río arriba, termine la configuración algebraica estableciendo las expresiones que representan los tiempos iguales entre sí.

Dado que hay una sola fracción algebraica en cada lado, podemos resolver esta ecuación mediante la multiplicación cruzada.

Respuesta:

La velocidad de la corriente era (2 frac {1} {2} ) millas por hora.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Un avión a reacción puede promediar (160 ) millas por hora en aire en calma. En un viaje, la aeronave viajó (600 ) millas con viento de cola y devolvió las (600 ) millas contra un viento en contra de la misma velocidad. Si el viaje de ida y vuelta total tomó (8 ) horas, ¿cuál fue la velocidad del viento?

Respuesta

(40 ) millas por hora

www.youtube.com/v/0NglBthTwss

Resolver problemas de ritmo de trabajo

La velocidad a la que se puede realizar una tarea se denomina ritmo de trabajo38. Por ejemplo, si un pintor puede pintar una habitación en (6 ) horas, entonces la tarea es pintar la habitación y podemos escribir

( frac {1 text {tarea}} {6 text {horas}} quad color {Cerulean} {trabajo : tarifa} )

En otras palabras, el pintor puede completar ( frac {1} {6} ) de la tarea por hora. Si trabaja menos de (6 ) horas, realizará una fracción de la tarea. Si trabaja más de (6 ) horas, puede completar más de una tarea. Por ejemplo,

( begin {alineado} color {Cerulean} {tasa de trabajo : : times : : time} & color {black} {=} color {Cerulean} {cantidad : de : tarea : completado} frac {1} {6} quad times quad3 hrs & = : frac {1} {2} quad color {Cerulean} {la mitad : de : la : habitación : pintada} frac {1} {6} quad times quad 6 horas & = : 1 quad color {Cerulean} {una : habitación : entera : pintada} frac {1} {6} quad times : : 12 text {hrs} & = : 2 quad color {Cerulean} {dos : habitaciones : enteras : pintadas} end { alineado})

Obtenga la cantidad de la tarea completada multiplicando la tasa de trabajo por la cantidad de tiempo que trabaja el pintor. Por lo general, los problemas de ritmo de trabajo involucran personas o máquinas que trabajan juntas para completar tareas. En general, si (t ) representa el tiempo que dos personas trabajan juntas, entonces tenemos lo siguiente fórmula de tasa de trabajo39:

( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = color {Cerulean} {cantidad : de : tarea : completada : juntos} )

Aquí ( frac {1} {t _ {1}} ) y ( frac {1} {t _ {2}} ) son las tasas de trabajo individuales.

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Joe puede pintar una habitación típica en (2 ) horas menos que Mark. Si Joe y Mark pueden pintar (5 ) habitaciones trabajando juntos en un turno de (12 ) horas, ¿cuánto tiempo les toma a cada uno pintar una sola habitación?

Solución

Sea (x ) el tiempo que tarda Mark en pintar una habitación típica.

Sea (x - 2 ) el tiempo que le toma a Joe pintar una habitación típica.

Por lo tanto, la tasa de trabajo individual de Mark es ( frac {1} {x} ) habitaciones por hora y la de Joe es ( frac {1} {x − 2} ) habitaciones por hora. Ambos hombres trabajaron durante (12 ) horas. Podemos organizar los datos en un gráfico, tal como lo hicimos con los problemas de distancia.

Trabajando juntos, pueden pintar 5 habitaciones en total en 12 horas. Esto nos lleva a la siguiente configuración algebraica:

Multiplica ambos lados por el MCD, (x (x − 2) ).

Resuelve la ecuación cuadrática resultante factorizando.

Podemos ignorar ( frac {4} {5} ) porque volver a sustituir en (x - 2 ) produciría un tiempo negativo para pintar una habitación. Considere (x = 6 ) como la única solución y utilícela para encontrar el tiempo que le toma a Joe pintar una habitación típica.

Respuesta:

Joe puede pintar una habitación típica en (4 ) horas y Mark puede pintar una habitación típica en (6 ) horas. Como comprobación, podemos multiplicar ambas tasas de trabajo por (12 ) horas para ver que juntas pueden pintar (5 ) habitaciones.

( left. begin {array} {l} { color {Cerulean} {Joe} : : color {black} { frac {1 text {room}} {4 text {hrs}} } cdot 12 text {hrs} = 3 text {habitaciones}} { color {Cerulean} {Mark} : : color {negro} { frac {1 text {habitación}} {6 text {hrs}}} cdot 12 text {hrs} = 2 text {habitaciones}} end {matriz} right } Total : 5 : habitaciones : color {Cerulean} {✓} )

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Bill necesita el doble de tiempo para colocar un piso de baldosas por sí mismo que Manny. Después de trabajar junto con Bill durante (4 ) horas, Manny pudo completar el trabajo en (2 ) horas adicionales. ¿Cuánto tiempo le habría llevado a Manny trabajar solo?

Solución

Sea (x ) el tiempo que le toma a Manny colocar el piso solo.

Sea (2x ) el tiempo que le toma a Bill colocar el piso solo.

La tasa de trabajo de Manny es ( frac {1} {x} ) del piso por hora y la tasa de trabajo de Bill es ( frac {1} {2x} ). Bill trabajó en el trabajo durante (4 ) horas y Manny trabajó en el trabajo durante (6 ) horas.

Esto nos lleva a la siguiente configuración algebraica:

( frac {1} {x} cdot 6 + frac {1} {2 x} cdot 4 = 1 )

Resolver.

( begin {alineado} frac {6} {x} + frac {4} {2 x} & = 1 color {Cerulean} {x} color {black} { cdot} left ( frac {6} {x} + frac {2} {x} right) & = color {Cerulean} {x} color {black} { cdot} 1 6 + 2 & = x 8 & = x end {alineado} )

Respuesta:

Manny habría tardado (8 ) horas en completar el piso por sí mismo.

Considere la fórmula de la tasa de trabajo en la que se debe completar una tarea.

( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = 1 )

Factoriza el tiempo (t ) y luego divide ambos lados por (t ). Esto dará como resultado fórmulas de tasa de trabajo especializadas equivalentes:

( begin {alineado} t left ( frac {1} {t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} right) & = 1 frac {1} { t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} & = frac {1} {t} end {alineado} )

En resumen, tenemos las siguientes fórmulas de tasa de trabajo equivalente:

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {Work : rate : formulas}} { frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = 1 quad text {o} quad frac {t} {t _ {1}} + frac {t} {t _ {2}} = 1 quad text {o } quad frac {1} {t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} = frac {1} {t}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Matt puede colocar azulejos en una encimera en (2 ) horas, y su asistente puede hacer el mismo trabajo en (3 ) horas. Si Matt comienza el trabajo y su asistente se une a él (1 ) hora más tarde, ¿cuánto tiempo tomará colocar los azulejos en la encimera?

Respuesta

(1 frac {3} {5} ) horas

www.youtube.com/v/5g6sSFWGb7M

Resolución de problemas que involucran variación directa, inversa y conjunta

Muchos problemas del mundo real que se encuentran en las ciencias involucran dos tipos de relaciones funcionales. El primer tipo se puede explorar usando el hecho de que la distancia (s ) en pies que cae un objeto desde el reposo, sin tener en cuenta la resistencia del aire, se puede aproximar usando la siguiente fórmula:

(s = 16t ^ {2} )

Aquí (t ) representa el tiempo en segundos que el objeto ha estado cayendo. Por ejemplo, después de (2 ) segundos, el objeto habrá caído (s = 16 (2) ^ {2} = 16 cdot 4 = 64 ) pies.

Tiempo (t ) en segundosDistancia (s = 16 t ^ {2} ) en pies
(0)(0)
(1)(16)
(2)(64)
(3)(144)
(4)(256)
Tabla ( PageIndex {1} )

En este ejemplo, podemos ver que la distancia varía con el tiempo como el producto de una constante (16 ) y el cuadrado del tiempo (t ). Esta relación se describe como Variación directa40 y (16 ) se llama constante de variación41. Además, si dividimos ambos lados de (s = 16t ^ {2} ) por (t ^ {2} ) tenemos

( frac {s} {t ^ {2}} = 16 )

De esta forma, es razonable decir que (s ) es proporcional a (t ^ {2} ), y (16 ) se llama constante de proporcionalidad42. En general, tenemos

Palabras claveTraducción
" (y ) varía (x ) directamente como (x )" (y = kx )
" (y ) es directamente proporcional43 a (x ) "
" (y ) es proporcional a (x )"
Tabla ( PageIndex {2} )

Aquí (k ) es distinto de cero y se llama constante de variación o constante de proporcionalidad. Normalmente, se nos dará información a partir de la cual podemos determinar esta constante.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

El peso de un objeto en la Tierra varía directamente con su peso en la Luna. Si un hombre pesa (180 ) libras en la Tierra, entonces pesará (30 ) libras en la Luna. Establezca una ecuación algebraica que exprese el peso en la Tierra en términos del peso en la Luna y utilícela para determinar el peso de una mujer en la Luna si pesa (120 ) libras en la Tierra.

Solución

Sea (y ) el peso en la Tierra.

Sea (x ) el peso en la Luna.

Se nos da que "el peso en la Tierra varía directamente con el peso en la Luna".

(y = kx )

Para encontrar la constante de variación (k ), usa la información dada. Un hombre de (180 ) - lb en la Tierra pesa (30 ) libras en la Luna, o (y = 180 ) cuando (x = 30 ).

(180 = k cdot 30 )

Resuelve para (k ).

( begin {matriz} {c} { frac {180} {30} = k} {6 = k} end {matriz} )

A continuación, configure una fórmula que modele la información dada.

(y = 6x )

Esto implica que el peso de una persona en la Tierra es (6 ) veces su peso en la Luna. Para responder la pregunta, usa el peso de la mujer en la Tierra, (y = 120 ) lbs, y resuelve para (x ).

( begin {matriz} {l} {120 = 6 x} { frac {120} {6} = x} {20 = x} end {matriz} )

Respuesta:

La mujer pesa (20 ) libras en la Luna.

La segunda relación funcional se puede explorar usando la fórmula que relaciona la intensidad de la luz (I ) con la distancia desde su fuente (d ).

(I = frac {k} {d ^ {2}} )

Aquí (k ) representa alguna constante. Un pie de vela es una medida de la intensidad de la luz. Un pie de vela se define como la cantidad de iluminación producida por una vela estándar medida a un pie de distancia. Por ejemplo, una luz de crecimiento fluorescente de (125 ) - Watt se anuncia para producir (525 ) pie-candelabros de iluminación. Esto significa que a una distancia (d = 1 ) pie, (I = 525 ) pie-velas y tenemos:

( begin {matriz} {l} {525 = frac {k} {(1) ^ {2}}} {525 = k} end {matriz} )

Usando (k = 525 ) podemos construir una fórmula que da la intensidad de luz producida por la bombilla:

(I = frac {525} {d ^ {2}} )

Aquí (d ) representa la distancia entre la luz en crecimiento y las plantas. En el siguiente cuadro, podemos ver que la cantidad de iluminación se desvanece rápidamente a medida que aumenta la distancia a las plantas.

Distancia (t ) en piesIntensidad de luz (I = frac {525} {d ^ {2}} )
(1)(525)
(2)(131.25)
(3)(58.33)
(4)(32.81)
(5)(21)
Tabla ( PageIndex {3} )

Este tipo de relación se describe como una variación inversa44. Nosotros decimos eso I es inversamente proporcional45 al cuadrado de la distancia (d ), donde (525 ) es la constante de proporcionalidad. En general, tenemos

Palabras claveTraducción
" (y ) varía inversamente a (x )" (y = frac {k} {x} )
" (y ) es inversamente proporcional a (x )"
Tabla ( PageIndex {4} )

Nuevamente, (k ) es distinto de cero y se llama constante de variación o constante de proporcionalidad.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

El peso de un objeto varía inversamente al cuadrado de su distancia desde el centro de la Tierra. Si un objeto pesa (100 ) libras en la superficie de la Tierra (aproximadamente (4,000 ) millas desde el centro), ¿cuánto pesará a (1,000 ) millas sobre la superficie de la Tierra?

Solución

Sea (w ) el peso del objeto.

Sea (d ) la distancia del objeto al centro de la Tierra.

Dado que " (w ) varía inversamente al cuadrado de (d )", podemos escribir

(w = frac {k} {d ^ {2}} )

Usa la información dada para encontrar (k ). Un objeto pesa (100 ) libras en la superficie de la Tierra, aproximadamente (4,000 ) millas desde el centro. En otras palabras, (w = 100 ) cuando (d = 4,000 ):

(100 = frac {k} {(4000) ^ {2}} )

Resuelve para (k ).

( begin {align} color {Cerulean} {(4,000) ^ {2}} color {black} { cdot} 100 & = color {Cerulean} {(4,000) ^ {2}} color { negro} { cdot} frac {k} {(4,000) ^ {2}} 1,600,000,000 & = k 1.6 times 10 ^ {9} & = k end {alineado} )

Por tanto, podemos modelar el problema con la siguiente fórmula:

(w = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {d ^ {2}} )

Para usar la fórmula para encontrar el peso, necesitamos la distancia desde el centro de la Tierra. Dado que el objeto está (1,000 ) millas sobre la superficie, calcula la distancia desde el centro de la Tierra sumando (4,000 ) millas:

(d = 4,000 + 1,000 = 5,000 : : text {millas} )

Para responder la pregunta, use la fórmula con (d = 5,000 ).

( begin {alineado} y & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {( color {Verde oliva} {5,000} color {negro} {)} ^ {2}} & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {25,000,000} & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {2.5 times 10 ^ {9}} & = 0.64 times 10 ^ { 2} & = 64 end {alineado} )

Respuesta:

El objeto pesará (64 ) libras a una distancia (1,000 ) millas sobre la superficie de la Tierra.

Por último, definimos relaciones entre múltiples variables, descritas como variación conjunta46. En general, tenemos

Palabras claveTraducción
" (y ) varía conjuntamente como (x ) y (z )" (y = k x z )
" (y ) es conjuntamente proporcional47 a (x ) y (z ) "
Tabla ( PageIndex {5} )

Aquí (k ) es distinto de cero y se llama constante de variación o constante de proporcionalidad.

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

El área de una elipse varía conjuntamente como (a ), la mitad del eje mayor de la elipse y (b ), la mitad del eje menor de la elipse como se muestra en la imagen. Si el área de una elipse es (300π cm ^ {2} ), donde (a = 10 ) cm y (b = 30 ) cm, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? Da una fórmula para el área de una elipse.

Solución

Si dejamos que (A ) represente el área de una elipse, entonces podemos usar el enunciado "el área varía conjuntamente como (a ) y (b )" para escribir

(A = kab )

Para encontrar la constante de variación (k ), usa el hecho de que el área es (300π ) cuando (a = 10 ) y (b = 30 ).

( begin {array} {c} {300 pi = k ( color {Verde oliva} {10} color {negro} {)} ( color {Verde oliva} {30} color {negro} {)} } {300 pi = 300 k} { pi = k} end {matriz} )

Por lo tanto, la fórmula para el área de una elipse es

(A = πab )

Respuesta:

La constante de proporcionalidad es (π ) y la fórmula para el área de una elipse es (A = abπ ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Dado que (y ) varía directamente como el cuadrado de (x ) e inversamente con (z ), donde (y = 2 ) cuando (x = 3 ) y (z = 27 ), encuentre (y ) cuando (x = 2 ) y (z = 16 ).

Respuesta

( frac {3} {2} )

www.youtube.com/v/ee3AFf7b6Kg

Conclusiones clave

  • Al resolver problemas de distancia donde se desconoce el elemento tiempo, use la forma equivalente de la fórmula de movimiento uniforme, (t = frac {D} {r} ), para evitar introducir más variables.
  • Al resolver problemas de tasa de trabajo, multiplique la tasa de trabajo individual por el tiempo para obtener la parte de la tarea completada. La suma de las partes de la tarea da como resultado la cantidad total de trabajo completado.
  • La configuración de los problemas de variación generalmente requiere varios pasos. Primero, identifique las palabras clave para establecer una ecuación y luego use la información dada para encontrar la constante de variación (k ). Después de determinar la constante de variación, escribe una fórmula que modele el problema. Una vez que encuentre una fórmula, úsela para responder la pregunta.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Usa álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

  1. Todas las mañanas, Jim pasa (1 ) hora haciendo ejercicio. Corre (2 ) millas y luego anda en bicicleta (16 ) millas. Si Jim puede andar en bicicleta dos veces más rápido de lo que puede correr, ¿a qué velocidad promedia en su bicicleta?
  2. Sally corre (3 ) veces más rápido que camina. Corrió ( frac {3} {4} ) de una milla y luego caminó otras (3 frac {1} {2} ) millas. El entrenamiento total tomó (1 frac {1} {2} ) horas. ¿Cuál fue la velocidad promedio al caminar de Sally?
  3. En un viaje de negocios, un ejecutivo viajó (720 ) millas en avión y luego otras (80 ) millas en helicóptero. Si el avión promedió (3 ) veces la velocidad del helicóptero, y el viaje total tomó (4 ) horas, ¿cuál fue la velocidad promedio del avión?
  4. Un triatleta puede correr (3 ) veces más rápido que nadar y andar en bicicleta (6 ) veces más rápido que nadar. La carrera consiste en una ( frac {1} {4} ) milla de natación, (3 ) carrera de milla y una carrera en bicicleta de (12 ) millas. Si puede completar todos estos eventos en (1 frac {5} {8} ) hora, ¿qué tan rápido puede nadar, correr y andar en bicicleta?
  5. En un viaje por carretera, Marty pudo conducir un promedio de (4 ) millas por hora más rápido que George. Si Marty pudo conducir (39 ) millas en la misma cantidad de tiempo que George condujo (36 ) millas, ¿cuál fue la velocidad promedio de Marty?
  6. El autobús es (8 ) millas por hora más rápido que el tranvía. Si el autobús viaja (9 ) millas en la misma cantidad de tiempo que el trolebús puede viajar (7 ) millas, ¿cuál es la rapidez promedio de cada uno?
  7. Terry decidió correr las (5 ) millas hasta la ciudad. En el viaje de regreso, caminó (5 ) millas a casa a la mitad de la velocidad a la que podía trotar. Si el viaje total tomó (3 ) horas, ¿cuál fue su velocidad promedio de trote?
  8. James condujo (24 ) millas hasta la ciudad y regresó en (1 ) hora. En el viaje de regreso, pudo promediar (20 ) millas por hora más rápido de lo que promedió en el viaje a la ciudad. ¿Cuál fue su velocidad promedio en el viaje a la ciudad?
  9. Una avioneta fue capaz de viajar (189 ) millas con un viento de cola de (14 ) millas por hora al mismo tiempo que pudo viajar (147 ) millas en su contra. ¿Cuál fue la velocidad de la aeronave en aire en calma?
  10. Un jet voló (875 ) millas con un viento de cola de (30 ) millas por hora. En el viaje de regreso, contra un viento en contra de (30 ) millas por hora, pudo cubrir solo (725 ) millas en la misma cantidad de tiempo. ¿Qué tan rápido fue el avión en el aire en calma?
  11. Un helicóptero promedió (90 ) millas por hora en aire en calma. Volando con el viento, pudo viajar (250 ) millas en la misma cantidad de tiempo que le llevó viajar (200 ) millas en su contra. Cual es la velocidad del viento?
  12. Mary y Joe hicieron un viaje por carretera en motocicletas separadas. La velocidad promedio de Mary fue (12 ) millas por hora menos que la velocidad promedio de Joe. Si María condujo (115 ) millas en el mismo tiempo que Joe condujo (145 ) millas, ¿cuál fue la velocidad promedio de María?
  13. Un bote promedió (12 ) millas por hora en aguas tranquilas. En un viaje río abajo, con la corriente, el barco pudo viajar (26 ) millas. El barco luego dio la vuelta y regresó corriente arriba (33 ) millas. ¿Qué tan rápida fue la corriente si el viaje total tomó (5 ) horas?
  14. Si la corriente del río fluye a un promedio de (3 ) millas por hora, un bote turístico puede hacer un recorrido de (18 ) millas río abajo con la corriente y retroceder las (18 ) millas contra la corriente en ( 4 frac {1} {2} ) horas. ¿Cuál es la velocidad media del barco en aguas tranquilas?
  15. José condujo (10 ​​) millas hasta la casa de su abuela para cenar y regresó esa misma noche. Debido al tráfico, promedió (20 ) millas por hora menos en el viaje de regreso. Si tardó ( frac {1} {4} ) hora más en llegar a casa, ¿cuál fue su velocidad promedio conduciendo hasta la casa de su abuela?
  16. Jerry remaba con su kayak, corriente arriba contra una corriente de (1 ) mph, durante (12 ) millas. El viaje de regreso, aguas abajo con la corriente de (1 ) mph, tomó una hora menos de tiempo. ¿Qué tan rápido remaba Jerry el kayak en aguas tranquilas?
  17. James y Mildred salieron del mismo lugar en autos separados y se reunieron en Los Ángeles a (300 ) millas de distancia. James fue capaz de promediar (10 ​​) millas por hora más rápido que Mildred en el viaje. Si James llegó (1 ) hora antes que Mildred, ¿cuál fue la velocidad promedio de Mildred?
  18. Un autobús es (20 ) millas por hora más rápido que una bicicleta. Si Bill sube a un autobús a la misma hora y en el mismo lugar en que Mary sale en su bicicleta, Bill llegará al centro a (5 ) millas de distancia ( frac {1} {3} ) hora antes que Mary. ¿Cuál es la velocidad media del autobús?
Respuesta

1. (20 ) millas por hora

3. (240 ) millas por hora

5. (52 ) millas por hora

7. (5 ) millas por hora

9. (112 ) millas por hora

11. (10 ​​) millas por hora

13. (1 ) milla por hora

15. (40 ) millas por hora

17. (50 ) millas por hora

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usa álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

  1. Mike puede pintar la oficina solo en (4 frac {1} {2} ) horas. Jordan puede pintar la oficina en (6 ) horas. ¿Cuánto tiempo les llevará pintar la oficina trabajando juntos?
  2. Barry puede colocar un camino de entrada de ladrillos por sí mismo en (3 frac {1} {2} ) días. Robert hace el mismo trabajo en (5 ) días. ¿Cuánto tiempo les llevará colocar el camino de entrada de ladrillos trabajando juntos?
  3. Una tubería más grande llena un tanque de agua dos veces más rápido que una tubería más pequeña. Cuando se utilizan ambas tuberías, llenan el tanque en (10 ​​) horas. Si se deja la tubería más grande, ¿cuánto tiempo tardará la tubería más pequeña en llenar el tanque?
  4. Una impresora más nueva puede imprimir dos veces más rápido que una impresora anterior. Si ambas impresoras que trabajan juntas pueden imprimir un lote de folletos en (45 ) minutos, ¿cuánto tiempo le tomaría a la impresora más antigua imprimir el lote trabajando sola?
  5. Mary puede armar una bicicleta para exhibirla en (2 ) horas. Jane tarda (3 ) horas en montar una bicicleta. ¿Cuánto tiempo tomarán Mary y Jane, trabajando juntas, para armar (5 ) bicicletas?
  6. Trabajando solo, James tarda el doble de tiempo en montar una computadora que Bill. En un turno de (8 ) horas, trabajando juntos, James y Bill pueden ensamblar (6 ) computadoras. ¿Cuánto tiempo le tomaría a James armar una computadora si estuviera trabajando solo?
  7. Trabajando solo, Harry tarda una hora más que Mike en instalar una fuente. Juntos pueden instalar (10 ​​) fuentes en (12 ) horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Mike instalar (10 ​​) fuentes por sí mismo?
  8. Trabajando solo, Henry tarda (2 ) horas más que Bill en pintar una habitación. Trabajando juntos, pintaron (2 frac {1} {2} ) habitaciones en (6 ) horas. ¿Cuánto tiempo habría tardado Henry en pintar la misma cantidad si estuviera trabajando solo?
  9. Manny, trabajando solo, puede instalar un gabinete personalizado en (3 ) horas menos que su asistente. Trabajando juntos, pueden instalar el gabinete en (2 ) horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Manny instalar el gabinete trabajando solo?
  10. Trabajando solo, Garret puede montar un cobertizo de jardín en (5 ) horas menos que su hermano. Trabajando juntos, necesitan (6 ) horas para construir el cobertizo del jardín. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Garret construir el cobertizo trabajando solo?
  11. Trabajando solo, el subgerente toma (2 ) horas más que el gerente para registrar el inventario de toda la tienda. Después de trabajar juntos durante (2 ) horas, le tomó al subdirector (1 ) hora adicional completar el inventario. ¿Cuánto tiempo le habría tomado al gerente completar el inventario trabajando solo?
  12. Una impresora más antigua puede imprimir un lote de folletos de ventas en (16 ) minutos. Una impresora más nueva puede imprimir el mismo lote en (10 ​​) minutos. Después de trabajar juntos durante algún tiempo, la impresora más nueva se apagó y la impresora anterior tardó (3 ) minutos más en completar el trabajo. ¿Cuánto tiempo estuvo funcionando la impresora más nueva?
Respuesta

1. (2 frac {4} {7} ) horas

3. (30 ) horas

5. (6 ) horas

7. (20 ) horas

9. (3 ) horas

11. (4 ) horas

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Traduce cada una de las siguientes oraciones en una fórmula matemática.

  1. La distancia (D ) que puede viajar un automóvil es directamente proporcional al tiempo (t ) que viaja a una velocidad constante.
  2. La extensión de un resorte colgante (d ) es directamente proporcional al peso (w ) que se le atribuye.
  3. La distancia de frenado de un automóvil (d ) es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del automóvil (v ).
  4. El volumen (V ) de una esfera varía directamente como el cubo de su radio (r ).
  5. El volumen (V ) de una masa de gas dada es inversamente proporcional a la presión (p ) que se ejerce sobre ella.
  6. Cada partícula de materia en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza (F ) que es directamente proporcional al producto de las masas (m_ {1} ) y (m_ {2} ) de las partículas, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellos.
  7. El interés simple (I ) es conjuntamente proporcional a la tasa de interés anual (r ) y el tiempo (t ) en años en que se invierte una cantidad fija de dinero.
  8. El tiempo (t ) que tarda un objeto en caer es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia (d ) que cae.
Respuesta

1. (D = kt )

3. (d = kv ^ {2} )

5. (V = frac {k} {p} )

7. (I = krt )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Construya un modelo matemático dado lo siguiente:

  1. (y ) varía directamente como (x ) y (y = 30 ) cuando (x = 6 ).
  2. (y ) varía directamente como (x ) y (y = 52 ) cuando (x = 4 ).
  3. (y ) es directamente proporcional a (x ), y (y = 12 ) cuando (x = 3 ).
  4. (y ) es directamente proporcional a (x ), y (y = 120 ) cuando (x = 20 ).
  5. (y ) es directamente proporcional a (x ), y (y = 3 ) cuando (x = 9 ).
  6. (y ) es directamente proporcional a (x ), y (y = 21 ) cuando (x = 3 ).
  7. (y ) varía inversamente como (x ), y (y = 2 ) cuando (x = frac {1} {8} ).
  8. (y ) varía inversamente como (x ), y (y = frac {3} {2} ) cuando (x = frac {1} {9} ).
  9. (y ) es conjuntamente proporcional a (x ) y (z ), donde (y = 2 ) cuando (x = 1 ) y (z = 3 ).
  10. (y ) es conjuntamente proporcional a (x ) y (z ), donde (y = 15 ) cuando (x = 3 ) y (z = 7 ).
  11. (y ) varía conjuntamente como (x ) y (z ), donde (y = frac {2} {3} ) cuando (x = frac {1} {2} ) y (z = 12 ).
  12. (y ) varía conjuntamente como (x ) y (z ), donde (y = 5 ) cuando (x = frac {3} {2} ) y (z = frac {2} {9} ).
  13. (y ) varía directamente como el cuadrado de (x ), donde (y = 45 ) cuando (x = 3 ).
  14. (y ) varía directamente como el cuadrado de (x ), donde (y = 3 ) cuando (x = frac {1} {2} ).
  15. (y ) es inversamente proporcional al cuadrado de (x ), donde (y = 27 ) cuando (x = frac {1} {3} ).
  16. (y ) es inversamente proporcional al cuadrado de (x ), donde (y = 9 ) cuando (x = frac {2} {3} ).
  17. (y ) varía conjuntamente como (x ) y el cuadrado de (z ), donde (y = 6 ) cuando (x = frac {1} {4} ) y (z = frac {2} {3} ).
  18. (y ) varía conjuntamente como (x ) y (z ) e inversamente como el cuadrado de (w ), donde (y = 5 ) cuando (z = 1, z = 3 ) y (w = frac {1} {2} ).
  19. (y ) varía directamente como la raíz cuadrada de (x ) e inversamente como el cuadrado de (z ), donde (y = 15 ) cuando (x = 25 ) y (z = 2 ).
  20. (y ) varía directamente como el cuadrado de (x ) e inversamente como (z ) y el cuadrado de (w ), donde (y = 14 ) cuando (x = 4, w = 2 ) y (z = 2 ).
Respuesta

1. (y = 5x )

3. (y = 4x )

5. (y = frac {27} {x} )

7. (y = frac {1} {4x} )

9. (y = frac {2} {3} xz )

11. (y = frac {1} {9} xz )

13. (y = 5x ^ {2} )

15. (y = frac {3} {x ^ {2}} )

17. (y = 54 x z ^ {2} )

19. (y = frac {12 sqrt {x}} {z ^ {2}} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Resuelva aplicaciones que involucren variación.

  1. Los ingresos en dólares son directamente proporcionales a la cantidad de sudaderas de marca vendidas. Los ingresos obtenidos por la venta de (25 ) sudaderas son ($ 318,75 ). Determine los ingresos si se venden (30 ) sudaderas.
  2. El impuesto sobre las ventas por la compra de un automóvil nuevo varía directamente con el precio del automóvil. Si se compra un auto nuevo ($ 18,000 ), entonces el impuesto sobre las ventas es ($ 1,350 ). ¿Cuánto impuesto sobre las ventas se cobra si el auto nuevo tiene un precio de ($ 22,000 )?
  3. El precio de una acción ordinaria de una empresa es directamente proporcional a las ganancias por acción (EPS) de los (12 ) meses anteriores. Si el precio de una acción ordinaria de una empresa es de $ 22,55 y la UPA se publica en ($ 1,10 ), determine el valor de la acción si la UPA aumenta en ($ 0,20 ).
  4. La distancia recorrida en un viaje por carretera varía directamente con el tiempo que se pasa en la carretera. Si se puede hacer un viaje de (126 ) millas en (3 ) horas, entonces, ¿qué distancia se puede recorrer en (4 ) horas?
  5. La circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su radio. La circunferencia de un círculo con radio (7 ) centímetros se mide como (14π ) centímetros. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
  6. El área del círculo varía directamente como el cuadrado de su radio. Se determina que el área de un círculo con radio (7 ) centímetros es (49π ) centímetros cuadrados. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
  7. El área de la superficie de una esfera varía directamente con el cuadrado de su radio. Cuando el radio de una esfera mide (2 ) metros, el área de la superficie mide (16π ) metros cuadrados. Encuentra el área de la superficie de una esfera con radio (3 ) metros.
  8. El volumen de una esfera varía directamente como el cubo de su radio. Cuando el radio de una esfera mide (3 ) metros, el volumen es (36π ) metros cúbicos. Calcula el volumen de una esfera con radio (1 ) metro.
  9. Con una altura fija, el volumen de un cono es directamente proporcional al cuadrado del radio en la base. Cuando el radio en la base mide (10 ​​) centímetros, el volumen es (200 ) centímetros cúbicos. Determina el volumen del cono si el radio de la base se reduce a la mitad.
  10. La distancia (d ) que cae un objeto en caída libre varía directamente con el cuadrado del tiempo (t ) que ha estado cayendo. Si un objeto en caída libre cae (36 ) pies en (1,5 ) segundos, entonces ¿cuánto habrá caído en (3 ) segundos?
Respuesta

1. ($382.50)

3. ($26.65)

5. (2π )

7. (36π ) metros cuadrados

9. (50 ) centímetros cúbicos

Ejercicio ( PageIndex {9} )

La ley de Hooke sugiere que la extensión de un resorte colgante es directamente proporcional al peso que se le atribuye. La constante de variación se llama constante de resorte.

  1. Un resorte colgante se estira (5 ) pulgadas cuando se le coloca un peso de (20 ) libras. Determine su constante de resorte.
  2. Un resorte colgante se estira (3 ) centímetros cuando se le coloca un peso de (2 ) - kilogramo. Determine la constante del resorte.
  3. Si un resorte colgante se estira (3 ) pulgadas cuando se coloca un peso de (2 ) - libras, ¿cuánto se estirará con un peso de (5 ) - libras?
  4. Si un resorte colgante se estira (6 ) centímetros cuando se le coloca un peso de (4 ) - kilogramo, ¿cuánto se estirará con un peso de (2 ) - kilogramo?
Respuesta

1. ( frac {1} {4} )

3. (7.5 ) pulgadas

Ejercicio ( PageIndex {10} )

La distancia de frenado de un automóvil es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad.

  1. It takes (36) feet to stop a particular automobile moving at a speed of (30) miles per hour. How much breaking distance is required if the speed is (35) miles per hour?
  2. After an accident, it was determined that it took a driver (80) feet to stop his car. In an experiment under similar conditions, it takes (45) feet to stop the car moving at a speed of (30) miles per hour. Estimate how fast the driver was moving before the accident.
Respuesta

1. (49) feet

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Boyle’s law states that if the temperature remains constant, the volume (V) of a given mass of gas is inversely proportional to the pressure (p) exerted on it.

  1. A balloon is filled to a volume of (216) cubic inches on a diving boat under (1) atmosphere of pressure. If the balloon is taken underwater approximately (33) feet, where the pressure measures (2) atmospheres, then what is the volume of the balloon?
  2. A balloon is filled to (216) cubic inches under a pressure of (3) atmospheres at a depth of (66) feet. What would the volume be at the surface, where the pressure is (1) atmosphere?
  3. To balance a seesaw, the distance from the fulcrum that a person must sit is inversely proportional to his weight. If a (72)-pound boy is sitting (3) feet from the fulcrum, how far from the fulcrum must a (54)-pound boy sit to balance the seesaw?
  4. The current (I) in an electrical conductor is inversely proportional to its resistance (R). If the current is (frac{1}{4}) ampere when the resistance is (100) ohms, what is the current when the resistance is (150) ohms?
  5. The amount of illumination (I) is inversely proportional to the square of the distance (d) from a light source. If (70) foot-candles of illumination is measured (2) feet away from a lamp, what level of illumination might we expect (frac{1}{2}) foot away from the lamp?
  6. The amount of illumination (I) is inversely proportional to the square of the distance (d) from a light source. If (40) foot-candles of illumination is measured (3) feet away from a lamp, at what distance can we expect (10) foot-candles of illumination?
  7. The number of men, represented by (y), needed to lay a cobblestone driveway is directly proportional to the area (A) of the driveway and inversely proportional to the amount of time (t) allowed to complete the job. Typically, (3) men can lay (1,200) square feet of cobblestone in (4) hours. How many men will be required to lay (2,400) square feet of cobblestone in (6) hours?
  8. The volume of a right circular cylinder varies jointly as the square of its radius and its height. A right circular cylinder with a (3)-centimeter radius and a height of (4) centimeters has a volume of (36π) cubic centimeters. Find a formula for the volume of a right circular cylinder in terms of its radius and height.
  9. The period (T) of a pendulum is directly proportional to the square root of its length (L). If the length of a pendulum is (1) meter, then the period is approximately (2) seconds. Approximate the period of a pendulum that is (0.5) meter in length.
  10. The time (t) it takes an object to fall is directly proportional to the square root of the distance (d) it falls. An object dropped from (4) feet will take (frac{1}{2}) second to hit the ground. How long will it take an object dropped from (16) feet to hit the ground?
Respuesta

1. (108) cubic inches

3. (4) feet

5. (1,120) foot-candles

7. (4) men

9. (1.4) seconds

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Newton’s universal law of gravitation states that every particle of matter in the universe attracts every other particle with a force (F) that is directly proportional to the product of the masses (m_{1}) and (m_{2}) of the particles and inversely proportional to the square of the distance (d) between them. The constant of proportionality is called the gravitational constant.

  1. If two objects with masses (50) kilograms and (100) kilograms are (frac{1}{2}) meter apart, then they produce approximately (1.34 × 10^{−6}) newtons (N) of force. Calculate the gravitational constant.
  2. Use the gravitational constant from the previous exercise to write a formula that approximates the force (F) in newtons between two masses (m_{1}) and (m_{2}), expressed in kilograms, given the distance (d) between them in meters.
  3. Calculate the force in newtons between Earth and the Moon, given that the mass of the Moon is approximately (7.3 × 10^{22}) kilograms, the mass of Earth is approximately (6.0 × 10^{24}) kilograms, and the distance between them is on average (1.5 × 10^{11}) meters.
  4. Calculate the force in newtons between Earth and the Sun, given that the mass of the Sun is approximately (2.0 × 10^{30}) kilograms, the mass of Earth is approximately (6.0 × 10^{24}) kilograms, and the distance between them is on average (3.85 × 10^{8}) meters.
  5. If (y) varies directly as the square of (x), then how does (y) change if (x) is doubled?
  6. If (y) varies inversely as square of (t), then how does (y) change if (t) is doubled?
  7. If (y) varies directly as the square of (x) and inversely as the square of (t), then how does (y) change if both (x) and (t) are doubled?
Respuesta

1. (6.7 imes 10 ^ { - 11 } mathrm { Nm } ^ { 2 } / mathrm { kg } ^ { 2 })

3. (1.98 imes 10 ^ { 20 } mathrm { N })

5. (y) changes by a factor of (4)

7. (y) remains unchanged

37Described by the formula (D = rt), where the distance (D) is given as the product of the average rate (r) and the time (t) traveled at that rate.

38The rate at which a task can be performed.

39(frac { 1 } { t _ { 1 } } cdot t + frac { 1 } { t _ { 2 } } cdot t = 1), where (frac { 1 } { t _ { 1 } }) and (frac { 1 } { t _ { 2 } }) are the individual work rates and t is the time it takes to complete the task working together.

40Describes two quantities (x) and (y) that are constant multiples of each other: (y = kx).

41The nonzero multiple (k), when quantities vary directly or inversely.

42Used when referring to the constant of variation.

43Used when referring to direct variation.

44Describes two quantities (x) and (y), where one variable is directly proportional to the reciprocal of the other: (y = frac{k}{x}).

45Used when referring to inverse variation.

46Describes a quantity (y) that varies directly as the product of two other quantities (x) and (z: y = kxz).

47Used when referring to joint variation.


Introduction to Binomial Expansion

You’ll probably have to learn how to expand polynomials to various degrees (powers) using what we call the Binomial Theorem o Binomial Expansion (o Binomial Series).
We use this when we want to expand (multiply out) the power of a binomial like ( < ight)>^>) into a sum with terms (a<^><^>), where B y C are non-negative integers (and it turns out that B + C = norte ). A perfect square trinomial is a simple example: ( < ight)>^<2>>=<^<2>>+2xy+<^<2>>). (The coefficients in this case are 1 , 2 , y 1 , respectively.)

It just turns out that the coefficient a in this expansion is equal to (left( <egin<*<20>> n c end> ight)) (also written as (displaystyle <>_<_>)), where (left( <egin<*<20>> n c end> ight),,=,,frac<> < ight)!>>) (this is called the binomial coefficient). Remember that (n!=nleft( derecha izquierda( ight),,,….) (until you get to 1 ). (You can also get (displaystyle <>_<_>) on your graphing calculator. Type in what you want for norte , then MATH PROB, and hit 3 or scroll to nCr, and then type C and then ENTER). (displaystyle <>_<_>) is actually the number of ways to choose C items out of norte terms, where order doesn’t matter – also called the Combination función.

Here is the Binomial Theorem (also called Binomial Formula o Binomial Identity):

See how the exponents of the X ’s are going down (from norte a 0 ), while the exponents of the y ’s are going up (from 0 to norte )? And remember that anything raised to the 0 is just 1 . And for a binomial raise to the “ norte ”, we have “ norte + 1 ” terms.

The coefficients can also be found using a Pascal Triangle, which starts with 1 , and is a triangle with all 1 ’s on the outside. Then on the inside, add the two numbers above to get the next number down:

As an example of how to use the Pascal Triangle, start with the second row for ( < ight)>^<1>>=1x+1y), so the coefficients are both 1 . When using the Pascal Triangle, the exponent of the binomial is off by 1 for example, we used the 2 nd row to get the coefficients for ( < ight)>^<1>>).

Here’s another illustration of just how Pascal’s Triangle is used for expanding binomials:

Here’s a hint: when finding the coefficients of a binomial expansion using Pascal’s triangle, find the line with the second term the same as the power you want. For example, for a binomial with power 5 , use the line 1 5 10 10 5 1 for coefficients.


15.6.1: More Examples of Applications - Mathematics

Throughout history, the ratio for length to width of rectangles of 1.61803 39887 49894 84820 has been considered the most pleasing to the eye. This ratio was named the golden ratio by the Greeks. In the world of mathematics, the numeric value is called "phi", named for the Greek sculptor Phidias. The space between the collumns form golden rectangles. There are golden rectangles throughout this structure which is found in Athens, Greece.

He sculpted many things including the bands of sculpture that run above the columns of the Parthenon. You can take a slide show visit to the Parthenon which is pictured above.

Phidias widely used the golden ratio in his works of sculpture. The exterior dimensions of the Parthenon in Athens, built in about 440BC, form a perfect golden rectangle. How many examples of golden rectangles can you find in the below floorplan of the Parthenon? You may want to print the diagram and measure the distances using a ruler.

Following are more examples of art and architecture which have employed the golden rectangle. This first example of the Great Pyramid of Giza is believed to be 4,600 years old, which was long before the Greeks. Its dimensions are also based on the Golden Ratio. The website about the pyramid gives very extensive details on this.

Many artists who lived after Phidias have used this proportion. Leonardo Da Vinci called it the "divine proportion" and featured it in many of his paintings. To the left is the famous "Mona Lisa". Try drawing a rectangle around her face. Are the measurements in a golden proportion? You can further explore this by subdividing the rectangle formed by using her eyes as a horizontal divider. He did an entire exploration of the human body and the ratios of the lengths of various body parts.

Golden Section Plate 1, 1993
by Fletcher Cox
birds-eye maple, spalted
red oak, bubinga, wenge, and maple veneer lathe-turned
31 x 4 cm
Lent by the White House
gift of the artist
Photograph by John Bigelow Taylor

Above is an example of a modern day artist who is interested in the golden ratio. He titled his work the Golden Section which is simply another name for ratio, meaning it is cut into sections of golden proportion.


Examples of Awesome Personal Statements

Write your own awesome personal statement with our COLLEGE APPLICATION ESSAY LAB, which will guide you through the process, providing tips and even more examples along the way.

Before you start, check out our own sample essays—or scroll down for the Best of the Web. Whether you're an athlete, a minority, or no one special (or, uh, probably some combination), we've got you covered.

No One Special

Emotional Hardship

Physical Hardship

International Student

Special Skills

Non-Traditional Age

Some are surprising and some are clever, but they're all good examples of a "hook," not the kind with the pointy mustache but something that writers use to grab their reader's attention and make them want to keep reading.

Grab Them with the First Line
Stanford Magazine compiled the following list of great opening lines written by hopeful Stanford applicants.

Essays That Worked
Connecticut College posts a list of college essays “that worked.”

More Essays that Worked
Hamilton College provides access to some of their favorite application essays.

Other Resources for College Essay Writing

Writing the Personal Statement
The Purdue Online Writing lab offers a guide to writing all kinds of personal statements.

Application Tips: Tackling the Personal Essay
Abc.com provides some good tips on approaching the personal essay.

The Elements of Style
Flip through this famous guide to writing by William Strunk, Jr. that many students and teachers use. Read the 1918 version for free online.

Get Your Writing On
Some great handbooks on writing by writing guru Andrea Lunsford.

Grammar Resources
The University of Chicago’s guide to grammar.


10 Awesome Reasons Why Statistics Are Important

Why statistics are important in our life? Statistics are the sets of mathematical equations that we used to analyze the things. It keeps us informed about, what is happening in the world around us. Statistics are important because today we live in the information world and much of this information’s are determined mathematically by Statistics Help. It means to be informed correct data and statics concepts are necessary. To be more specific about the importance of statics in our life, here are 10 amazing reasons that we have heard on several occasions.

1) Every b ody watches weather forecasting. Have you ever think how do you get that information? There are some computers models build on statistical concepts. These computer models compare prior weather with the current weather and predict future weather.

2) Statistics mostly used by the researcher. They use their statistical skills to collect the relevant data. Otherwise, it results in a loss of money, time and data.

3) What do you understand by insurance? Everybody has some kind of insurance, whether it is medical, home or any other insurance. Based on an individual application some businesses use statistical models to calculate the risk of giving insurance.

4) In financial market also statistic plays a great role. Statistics are the key of how traders and businessmen invest and make money.

5) Statistics play a big role in the medical field. Before any drugs prescribed, scientist must show a statistically valid rate of effectiveness. Statistics are behind all the study of medical.

6) Statistical concepts are used in quality testing. Companies make many products on a daily basis and every company should make sure that they sold the best quality items. But companies cannot test all the products, so they use statistics sample.

7) In everyday life we make many predictions. For examples, we keep the alarm for the morning when we don’t know that we will be alive in the morning or not. Here we use statistics basics to make predictions.

8) Doctors predict disease on based on statistics concepts. Suppose a survey shows that 75%-80% people have cancer and not able to find the reason. When the statistics become involved, then you can have a better idea of how the cancer may affect your body or is smoking is the major reason for it.

9) News reporter makes a prediction of winner for elections based on political campaigns. Here statistics play a strong part in who will be your governments.

10) Statistics data allow us to collect the information around the world. The internet is a devise which help us to collect the information. The fundamental behind the internet is based on statistics and mathematics concepts.

To know more about the statistics take online math help. Hope these 10 everyday reasons help you to understand the importance of statistics.


Rolling Two Dice

With the sample space now identified, formal probability theory requires that we identify the possible eventos. These are always subsets of the sample space, and must form a sigma-algebra. In an example such as this, where the sample space is finite because it has only 36 different outcomes, it is perhaps easiest to simply declare ALL subsets of the sample space to be possible events. That will be a sigma-algebra and avoids what might otherwise be an annoying technical difficulty. We make that declaration with this example of two dice.

With the above declaration, the outcomes where the sum of the two dice is equal to 5 form an event. If we call this event E, we have

Consider next the probability of E, P(E). Here we need more information. If the two dice are fair y independent , each possibility (a,b) is equally likely. Because there are 36 possibilities in all, and the sum of their probabilities must equal 1, each singleton event <(a,b)>is assigned probability equal to 1/36. Because E is composed of 4 such distinct singleton events, P(E)=4/36= 1/9.

In general, when the two dice are fair and independent, the probability of any event is the number of elements in the event divided by 36.

What if the dice aren't fair, or aren't independent of each other? Then each outcome <(a,b)>is assigned a probability (a number in [0,1]) whose sum over all 36 outcomes is equal to 1. These probabilities aren't all equal, and must be estimated by experiment or inferred from other hypotheses about how the dice are related and and how likely each number is on each of the dice. Then the probability of an event such as E is the sum of the probabilities of the singleton events <(a,b)>that make up E.


TABE Practice Test

If you are preparing to take the TABE test, you realize that it is going to be a challenge. Every hour you spend preparing will help you get a better score.

Going back to college (or trade school or technical school) after being out of high school for several years or decades can be a daunting and bewildering experience. Juniors and seniors in high school have all kinds of people and resources to turn to when it comes to navigating the college application process: parents, teachers, guidance counselors, peers who are also applying, etc.

Older people hoping to start college later in life generally do not have access to these same resources they are left to fend for themselves, and have to figure much of this stuff out on their own. One of the biggest areas of confusion is which test (or tests) a person must take before enrolling in college, which is where the TABE comes in.

So where does the TABE fit in? If you are confused, it is easy to understand why. After all, in the realm of tests related to college admissions, in addition to the TABE, there are the ACT test, the SAT exam, the COMPASS, the ASSET exam, CLEP tests, AP tests, GED tests, the CPAt test, and many more.

On top of this confusing number of exams, there is also a ton of paperwork and other essentials that must be taken care of when applying to school. It is easy to start feeling overwhelmed. However, the TABE is easy enough to understand once you discover what it is all about. Taking numerous TABE practice tests is recommended for test day success.

Essentially, the TABE is a placement test. (The name stands for Test of Adult Basic Education.) It is used by trade schools, technical schools and some colleges to give them a good idea of what level of academic challenge you are ready to face. The test covers the basics of reading, English and math.

Based on your test scores, schools will decide if you are up to the challenge without further preparation, and if so, whether you can take basic, intermediate or advanced courses, or if you need remedial courses in some areas before taking on actual college credit courses, or if it might be best for you to wait until you have gotten better prepared to tackle college courses. There are other programs that might require you to take the TABE, such as GED prep classes and Adult Education programs.

One thing to keep in mind is that there is no “passing” score, as such. Every school or program will have guidelines and standards in place, and they will determine where your score places you based on those standards. Also, a low score does not necessarily mean that you can never go to college. It just means that you might have to put in some hard work to accomplish your goals.


Law of Conservation of Energy

According to the law of conservation of energy, the total energy of a system remains constant, though energy may transform into another form. Two billiard balls colliding, for example, may come to rest, with the resulting energy becoming sound and perhaps a bit of heat at the point of collision. When the balls are in motion, they have kinetic energy. Whether they are in motion or stationary, they also have potential energy because they are on a table above the ground.

Energy cannot be created, nor destroyed, but it can change forms and is also related to mass. The mass-energy equivalence theory states an object at rest in a frame of reference has a rest energy. If additional energy is supplied to the object, it actually increases that object's mass. For example, if you heat a steel bearing (adding thermal energy), you very slightly increase its mass.


Process Id Arrival time Burst time
A 0 4
B 0 1
C 0 8
D 0 1

Gantt chart-

Ready Queue-

Clearly, completion time of process A = 9 unit.

To gain better understanding about Round Robin Scheduling,

Get more notes and other study material of Operating System.

Watch video lectures by visiting our YouTube channel LearnVidFun.


15.6.1: More Examples of Applications - Mathematics

Addition Rule
Sum Rule for Probability

A method for finding the probability that either or both of two events occurs.

P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B)

In a group of 101 students 30 are freshmen and 41 are sophomores. Find the probability that a student picked from this group at random is either a freshman or sophomore.

Note that P(freshman) = 30/101 and P(sophomore) = 41/101. Por lo tanto

P(freshman or sophomore) = 30/101 + 41/101 = 71/101

This makes sense since 71 of the 101 students are freshmen or sophomores.

In a group of 101 students 40 are juniors, 50 are female, and 22 are female juniors. Find the probability that a student picked from this group at random is either a junior or female.

Note that P(junior) = 40/101 and P(female) = 50/101, and P(junior and female) = 22/101. Por lo tanto

P(junior or female) = 40/101 + 50/101 – 22/101 = 68/101

This makes sense since 68 of the 101 students are juniors or female.

Not sure why? When we add 40 juniors to 50 females and get a total of 90, we have overcounted. The 22 female juniors were counted twice 90 minus 22 makes 68 students who are juniors or female.