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13.8.8: Exponentes racionales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Simplifica expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )
  • Simplifica expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )
  • Usa las leyes de los exponentes para expresar expresiones simples con exponentes racionales.

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Suma: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Simplifica: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ 3 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Simplifica: (5 ^ {- 3} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Simplifique expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )

Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.

La propiedad de potencia de los exponentes dice que ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} ) cuando metro y norte son números enteros. Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

Supongamos que queremos encontrar un número pag tal que ((8 ^ p) ^ 3 = 8 ). Usaremos la propiedad de potencia de los exponentes para encontrar el valor de pag.

[ begin {array} {cc} {} & {(8 ^ p) ^ 3 = 8} { text {Multiplica los exponentes de la izquierda.}} & {8 ^ {3p} = 8} { text {Escribe el exponente 1 a la derecha.}} & {8 ^ {3p} = 8 ^ 1} { text {Los exponentes deben ser iguales.}} & {3p = 1} { text {Resuelve para p.}} & {p = frac {1} {3}} nonumber end {array} ]

Pero también sabemos (( sqrt [3] {8}) ^ 3 = 8 ). Entonces debe ser que (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} )

Esta misma lógica se puede utilizar para cualquier exponente entero positivo norte para mostrar que (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

Definición: EXPONENTE RACIONAL (a ^ { frac {1} {n}} )

Si ( sqrt [n] {a} ) es un número real y (n ge 2 ), (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

Habrá ocasiones en las que trabajar con expresiones será más fácil si usa exponentes racionales y momentos en los que será más fácil si usa radicales. En los primeros ejemplos, practicarás la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Escribe como una expresión radical:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} )
  3. (z ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta

Queremos escribir cada expresión en la forma ( sqrt [n] {a} ).

1. (x ^ { frac {1} {2}} )
El denominador del exponente es 2, por lo que el índice del radical es 2. No mostramos el índice cuando es 2. ( sqrt {x} )
2. (y ^ { frac {1} {3}} )
El denominador del exponente es 3, por lo que el índice es 3. ( sqrt [3] {y} )
3. (z ^ frac {1} {4}} )
El denominador del exponente es 4, entonces el índice es 4. ( sqrt [4] {z} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Escribe como una expresión radical:

  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2. (m ^ { frac {1} {3}} )
  3. (r ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta
  1. ( sqrt {t} )
  2. ( sqrt [3] {m} )
  3. ( sqrt [4] {r} )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Escribe como una expresión radical:

  1. (b ^ { frac {1} {2}} )
  2. (z ^ { frac {1} {3}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta
  1. ( sqrt {b} )
  2. ( sqrt [3] {z} )
  3. ( sqrt [4] {p} )

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {x} )
  2. ( sqrt [3] {y} )
  3. ( sqrt [4] {z} ).
Respuesta

Queremos escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {1} {n}} ).

1. ( sqrt {x} )
No se muestra ningún índice, por lo que es 2. El denominador del exponente será 2. (x ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {y} )
El índice es 3, por lo que el denominador del exponente es 3. (y ^ { frac {1} {3}} )
3. ( sqrt [4] {z} )
El índice es 4, por lo que el denominador del exponente es 4. (z ^ { frac {1} {4}} )

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {s} )
  2. ( sqrt [3] {x} )
  3. ( sqrt [4] {b} ).
Respuesta
  1. (s ^ { frac {1} {2}} )
  2. (x ^ { frac {1} {3}} )
  3. (b ^ { frac {1} {4}}

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {v} )
  2. ( sqrt [3] {p} )
  3. ( sqrt [4] {p} ).
Respuesta
  1. (v ^ { frac {1} {2}} )
  2. (p ^ { frac {1} {3}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} )

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {5y} )
  2. ( sqrt [3] {4x} )
  3. (3 sqrt [4] {5z} ).
Respuesta
1. ( sqrt {5y} )
No se muestra ningún índice, por lo que es 2. El denominador del exponente será 2. ((5y) ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {4x} )
El índice es 3, por lo que el denominador del exponente es 3. ((4x) ^ { frac {1} {3}} )
3. (3 sqrt [4] {5z} )
El índice es 4, por lo que el denominador del exponente es 4. (3 (5z) ^ { frac {1} {4}} )

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {10m} )
  2. ( sqrt [5] {3n} )
  3. (3 sqrt [4] {6y} ).
Respuesta
  1. ((10 ^ m) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((3n) ^ { frac {1} {5}} )
  3. ((486y) ^ { frac {1} {4}} )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt [7] {3k} )
  2. ( sqrt [4] {5j} )
  3. ( sqrt [3] {82a} ).
Respuesta
  1. ((3k) ^ { frac {1} {7}} )
  2. ((5j) ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((1024a) ^ { frac {1} {3}} )

En el siguiente ejemplo, puede que le resulte más fácil simplificar las expresiones si las reescribe primero como radicales.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (256 ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta
1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
Reescribe como una raíz cuadrada. ( sqrt {25} )
Simplificar.5
2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
Reescribe como una raíz cúbica. ( sqrt [3] {64} )
Recognize 64 es un cubo perfecto. ( sqrt [3] {4 ^ 3} )
Simplificar.4
3. (256 ^ { frac {1} {4}} )
Reescribe como cuarta raíz. ( sqrt [4] {256} )
Reconocer que 256 es una cuarta potencia perfecta. ( sqrt [4] {4 ^ 4} )
Simplificar.4

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (16 ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta
  1. 6
  2. 2
  3. 2

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta
  1. 10
  2. 3
  3. 3

Tenga cuidado con la ubicación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Necesitaremos usar la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ) en un caso.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} ).
Respuesta
1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
Reescribe como una raíz cúbica. ( sqrt [3] {- 64} )
Reescribe − 64 como un cubo perfecto. ( sqrt [3] {(- 4) ^ 3} )
Simplificar.−4
2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
El exponente se aplica solo al 64. (- (64 ^ { frac {1} {3}}) )
Reescribe como una raíz cúbica. (- sqrt [3] {64} )
Reescribe 64 como (4 ^ 3 ). (- sqrt [3] {4 ^ 3} )
Simplificar.−4
3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} )

Reescribe como una fracción con un exponente positivo, usando la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

Escribe como una raíz cúbica.

( frac {1} { sqrt [3] {64}} )
Reescribe 64 como (4 ^ 3 ). ( frac {1} { sqrt [3] {4 ^ 3}} )
Simplificar. ( frac {1} {4} )

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Simplificar:

  1. ((- 125) ^ { frac {1} {3}} )
  2. (- 125 ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((125) ^ {- frac {1} {3}} ).
Respuesta
  1. −5
  2. −5
  3. ( frac {1} {5} )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Simplificar:

  1. ((- 32) ^ { frac {1} {5}} )
  2. (- 32 ^ { frac {1} {5}} )
  3. ((32) ^ {- frac {1} {5}} ).
Respuesta
  1. −2
  2. −2
  3. ( frac {1} {2} )

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Simplificar:

  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} ).
Respuesta
1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
Reescribe como cuarta raíz. ( sqrt [4] {- 16} )
No hay un número real cuya cuarta potencia sea −16.
2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
El exponente se aplica solo al 16. (- (16 ^ { frac {1} {4}}) )
Reescribe como cuarta raíz. (- sqrt [4] {16} )
Reescribe 16 como (2 ^ 4 ) (- sqrt [4] {2 ^ 4} )
Simplificar.−2
3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )

Reescribe como una fracción con un exponente positivo, usando la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )
Reescribe como cuarta raíz. ( frac {1} { sqrt [4] {16}} )
Reescribe 16 como (2 ^ 4 ). ( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ 4}} )
Simplificar. ( frac {1} {2} )

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Simplificar:

  1. ((- 64) ^ { frac {1} {2}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {2}} ).
Respuesta
  1. −8
  2. −8
  3. ( frac {1} {8} )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Simplificar:

  1. ((- 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((256) ^ {- frac {1} {4}} ).
Respuesta
  1. −4
  2. −4
  3. ( frac {1} {4} )

Simplifique expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )

Trabajemos un poco más con la propiedad de potencia para exponentes.

Supongamos que elevamos (a ^ { frac {1} {n}} ) a la potencia metro.

[ begin {array} {ll} {} & {(a ^ { frac {1} {n}}) ^ m} { text {Multiplica los exponentes.}} & {a ^ { frac {1} {n} · m}} { text {Simplificar.}} & {A ^ { frac {m} {n}}} { text {Entonces} a ^ { frac {m } {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m text {también.}} & {} nonumber end {array} ]

Ahora suponga que llevamos (a ^ m ) a la potencia ( frac {1} {n} ).

[ begin {array} {ll} {} & {(a ^ m) ^ { frac {1} {n}}} { text {Multiplica los exponentes.}} & {a ^ {m · frac {1} {n}}} { text {Simplificar.}} & {a ^ { frac {m} {n}}} { text {Entonces} a ^ { frac {m } {n}} = sqrt [n] {a ^ m} text {también.}} & {} nonumber end {array} ]

¿Qué forma usamos para simplificar una expresión? Por lo general, tomamos la raíz primero, de esa manera mantenemos los números en el radicando más pequeños.

Definición: EXPONENTE RACIONAL (a ^ { frac {m} {n}} )

Para cualquier número entero positivo metro y norte,

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m )

(a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} )

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {y ^ 3} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ 2} )
  3. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
Respuesta

Queremos usar (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} ) para escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {m} {n }} ).

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt {x ^ 5} )
  2. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
  3. ( sqrt [5] {y ^ 2} ).
Respuesta
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2. (z ^ { frac {3} {4}} )
  3. (y ^ { frac {2} {5}} )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Escribe con un exponente racional:

  1. ( sqrt [5] {a ^ 2} )
  2. ( sqrt [3] {b ^ 7} )
  3. ( sqrt [4] {m ^ 5} ).
Respuesta
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2. (b ^ { frac {7} {3}} )
  3. (m ^ { frac {5} {4}} )

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Simplificar:

  1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {3} {4}} ).
Respuesta

Primero reescribiremos cada expresión como un radical usando la propiedad, (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ). Esta forma nos permite tomar la raíz primero y así mantenemos los números en el radicando más pequeños que si usáramos la otra forma.

1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
La potencia del radical es el numerador del exponente, 3. Dado que el denominador del exponente es 2, esta es una raíz cuadrada. (( sqrt {9}) ^ 3 )
Simplificar.(3^3)
27
2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
La potencia del radical es el numerador del exponente, 2. Dado que el denominador del exponente es 3, esta es una raíz cuadrada. (( sqrt [3] {125}) ^ 2 )
Simplificar.(5^2)
25
3. (81 ^ { frac {3} {4}} )
La potencia del radical es el numerador del exponente, 2. Dado que el denominador del exponente es 3, esta es una raíz cuadrada. (( sqrt [4] {81}) ^ 3 )
Simplificar.(3^3)
27

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Simplificar:

  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ { frac {3} {4}} ).
Respuesta
  1. 8
  2. 9
  3. 125

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Simplificar:

  1. (8 ^ { frac {5} {3}} )
  2. (81 ^ { frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ { frac {3} {4}} ).
Respuesta
  1. 32
  2. 729
  3. 8

Recuerda que (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). El signo negativo del exponente no cambia el signo de la expresión.

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Simplificar:

  1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
  3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
Respuesta

Reescribiremos cada expresión primero usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ) y luego cambiaremos a la forma radical.

1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )
Cambiar a forma radical. La potencia del radical es el numerador del exponente, 3. El índice es el denominador del exponente, 2. ( frac {1} {( sqrt {16}) ^ 3} )
Simplificar. ( frac {1} {4 ^ 3} )
( frac {1} {64} )
2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )
Cambiar a forma radical. ( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ 2} )
Reescribe el radicando como una potencia. ( frac {1} {( sqrt [5] {2 ^ 5}) ^ 2} )
Simplificar. ( frac {1} {2 ^ 2} )
( frac {1} {4} )
3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {4 ^ { frac {5} {2}}} )
Cambiar a forma radical. ( frac {1} {( sqrt {4}) ^ 5} )
Simplificar. ( frac {1} {2 ^ 5} )
( frac {1} {32} )

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Simplificar:

  1. (8 ^ {- frac {5} {3}} ) 8
  2. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ {- frac {3} {4}} ).
Respuesta
  1. ( frac {1} {32} )
  2. ( frac {1} {729} )
  3. ( frac {1} {8} )

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Simplificar:

  1. (4 ^ {- frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ {- frac {3} {4}} ).
Respuesta
  1. ( frac {1} {8} )
  2. ( frac {1} {9} )
  3. ( frac {1} {125} )

Ejemplo ( PageIndex {28} )

Simplificar:

  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
Respuesta
1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
Reescribe en forma radical. (- ( sqrt {25}) ^ 3 )
Simplifica el radical(−5^3)
Simplificar.−125
2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
Reescribe usando (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). (- ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}}) )
Reescribe en forma radical. (- ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ 3}) )
Simplifica el radical. (- ( frac {1} {5 ^ 3}) )
Simplificar. (- frac {1} {125} )
3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
Reescribe en forma radical. (( sqrt {−25}) ^ 3 )
No hay un número real cuya raíz cuadrada sea − 25.No es un número real.

Ejemplo ( PageIndex {29} )

Simplificar:

  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} ).
Respuesta
  1. −64
  2. (- frac {1} {64} )
  3. no es un número real

Ejemplo ( PageIndex {30} )

Simplificar:

  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} ).
Respuesta
  1. −729
  2. (- frac {1} {729} )
  3. no es un número real

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

Las mismas leyes de los exponentes que ya usamos se aplican también a los exponentes racionales. Aquí enumeraremos las propiedades de los exponentes para tenerlas como referencia mientras simplificamos expresiones.

RESUMEN DE PROPIEDADES EXPONENTES

Si a, b son números reales ym, n son números racionales, entonces

[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad del producto}} & {a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n}} { textbf {Propiedad de potencia}} & {(a ^ m) ^ n = a ^ {m · n}} { textbf {Producto a una potencia}} & {(ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m}} { textbf {Propiedad del cociente}} & { frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}, a ne 0, m> n} {} & { frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}, a ne 0, n> m} { textbf {Definición de exponente cero}} & {a ^ 0 = 1, a ne 0} { textbf {Cociente de una propiedad de potencia}} & {( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}, b ne 0} nonumber end {matriz} ]

Cuando multiplicamos la misma base, sumamos los exponentes.

Ejemplo ( PageIndex {31} )

Simplificar:

  1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
  2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
  3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} ).
Respuesta
1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
Las bases son las mismas, así que sumamos los exponentes. (2 ^ { frac {1} {2} + frac {5} {2}} )
Suma las fracciones. (2 ^ { frac {6} {2}} )
Simplifica el exponente.(2^3)
Simplificar.8
2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
Las bases son las mismas, así que sumamos los exponentes. (x ^ { frac {2} {3} + frac {4} {3}} )
Suma las fracciones. (x ^ { frac {6} {3}} )
Simplificar. (x ^ 2 )
3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} )
Las bases son las mismas, así que sumamos los exponentes. (z ^ { frac {3} {4} + frac {5} {4}} )
Suma las fracciones. (z ^ { frac {8} {4}} )
Simplificar. (z ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Simplificar:

  1. (3 ^ { frac {2} {3}} · 3 ^ { frac {4} {3}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} · y ^ { frac {8} {3}} )
  3. (m ^ { frac {1} {4}} · m ^ { frac {3} {4}} ).
Respuesta
  1. 9
  2. (y ^ 3 )
  3. metro

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Simplificar:

  1. (5 ^ { frac {3} {5}} · 5 ^ { frac {7} {5}} )
  2. (z ^ { frac {1} {8}} · z ^ { frac {7} {8}} )
  3. (n ^ { frac {2} {7}} · n ^ { frac {5} {7}} ).
Respuesta
  1. 25
  2. z
  3. norte

Usaremos la propiedad de potencia en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {34} )

Simplificar:

  1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} ).
Respuesta
1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (x ^ {4 · frac {1} {2}} )
Simplificar. (x ^ 2 )
2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (y ^ {6 · frac {1} {3}} )
Simplificar. (y ^ 2 )
3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (z ^ {9 · frac {2} {3}} )
Simplificar. (z ^ 6 )

Ejemplo ( PageIndex {35} )

Simplificar:

  1. ((p ^ {10}) ^ { frac {1} {5}} )
  2. ((q ^ 8) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ((x ^ 6) ^ { frac {4} {3}} )
Respuesta
  1. (p ^ )
  2. (q ^ 6 )
  3. (x ^ 8 )

Ejemplo ( PageIndex {36} )

Simplificar:

  1. ((r ^ 6) ^ { frac {5} {3}} )
  2. ((s ^ {12}) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ((m ^ 9) ^ { frac {2} {9}} )
Respuesta
  1. (r ^ {10} )
  2. (s ^ 9 )
  3. (m ^ 2 )

La propiedad del cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

Ejemplo ( PageIndex {37} )

Simplificar:

  1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
  2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
  3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} ).
Respuesta
1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes. (x ^ { frac {4} {3} - frac {1} {3}} )
Simplificar.X
2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes. (y ^ { frac {3} {4} - frac {1} {4}} )
Simplificar. (y ^ { frac {1} {2}} )
3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} )
Para dividir con la misma base, restamos los exponentes. (z ^ { frac {2} {3} - frac {5} {3}} )
Reescribe sin exponente negativo. ( frac {1} {z} )

Ejemplo ( PageIndex {38} )

Simplificar:

  1. ( frac {u ^ { frac {5} {4}}} {u ^ { frac {1} {4}}} )
  2. ( frac {v ^ { frac {3} {5}}} {v ^ { frac {2} {5}}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} ).
Respuesta
  1. tu
  2. (v ^ { frac {1} {5}} )
  3. ( frac {1} {x} )

Ejemplo ( PageIndex {39} )

Simplificar:

  1. ( frac {c ^ { frac {12} {5}}} {c ^ { frac {2} {5}}} )
  2. ( frac {m ^ { frac {5} {4}}} {m ^ { frac {9} {4}}} )
  3. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} ).
Respuesta
  1. (c ^ 2 )
  2. ( frac {1} {m} )
  3. ( frac {1} {d} )

A veces necesitamos usar más de una propiedad. En los siguientes dos ejemplos, usaremos tanto el Producto para una propiedad de potencia como luego la propiedad de potencia.

Ejemplo ( PageIndex {40} )

Simplificar:

  1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
  2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
Respuesta
1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Primero usamos el Producto a una propiedad de potencia. ((27) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Reescribe 27 como una potencia de 3. ((3 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. ((3 ^ 2) (u ^ { frac {1} {3}}) )
Simplificar. (9u ^ { frac {1} {3}} )
2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
Primero usamos el Producto a una propiedad de potencia. ((8) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
Reescribe 8 como una potencia de 2. ((2 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. ((2 ^ 2) (v ^ { frac {1} {6}}) )
Simplificar. (4v ^ { frac {1} {6}} )

Ejemplo ( PageIndex {41} )

Simplificar:

  1. (32x ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {5}} )
  2. ((64y ^ { frac {2} {3}}) ^ { frac {1} {3}} ).
Respuesta
  1. (8x ^ { frac {1} {5}} )
  2. (4y ^ { frac {2} {9}} )

Ejemplo ( PageIndex {42} )

Simplificar:

  1. ((16m ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {2}} )
  2. ((81n ^ { frac {2} {5}}) ^ { frac {3} {2}} ).
Respuesta
  1. (64m ^ { frac {1} {2}} )
  2. (729n ^ { frac {3} {5}} )

Ejemplo ( PageIndex {43} )

Simplificar:

  1. ((m ^ {3} n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
  2. ((p ^ {4} q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} ).
Respuesta
1. ((m ^ {3} n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
Primero usamos el Producto a una propiedad de potencia. ((m ^ {3}) ^ { frac {1} {3}} (n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (mn ^ 3 )
2. ((p ^ {4} q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} )
Primero usamos el Producto a una propiedad de potencia. ((p ^ {4}) ^ { frac {1} {4}} (q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} )
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. (pq ^ 2 )

Usaremos las propiedades del producto y del cociente en el siguiente ejemplo.

Ejercicio ( PageIndex {44} )

Simplificar:

  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} · x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
  2. ( frac {y ^ { frac {4} {3}} · y} {y ^ {- frac {2} {3}}} ).
Respuesta
1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} · x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
Usa la propiedad del producto en el numerador, suma los exponentes. ( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
Utilice la propiedad del cociente, reste los exponentes. (x ^ { frac {8} {4}} )
Simplificar. (x ^ 2 )
2. ( frac {y ^ { frac {4} {3}} · y} {y ^ {- frac {2} {3}}} )
Usa la propiedad del producto en el numerador, suma los exponentes. ( frac {y ^ { frac {7} {3}}} {y ^ {- frac {2} {3}}} )
Utilice la propiedad del cociente, reste los exponentes. (y ^ { frac {9} {3}} )
Simplificar. (y ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {45} )

Simplificar:

  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} · m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}}} )
  2. ( frac {n ^ { frac {1} {6}} · n} {n ^ {- frac {11} {6}}} ).
Respuesta
  1. (m ^ 2 )
  2. (n ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {46} )

Simplificar:

  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} · u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}}} )
  2. ( frac {v ^ { frac {1} {2}} · v} {v ^ {- frac {7} {2}}} ).
Respuesta
  1. (u ^ 3 )
  2. (v ^ 5 )

Conceptos clave

  • Resumen de las propiedades de los exponentes
  • Si a, b son números reales ym, n son números racionales, entonces
    • Propiedad del producto (a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n} )
    • Propiedad de energía ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} )
    • Producto a una potencia ((ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m} )
    • Propiedad del cociente:

      ( frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}, a ne 0, m> n )

      ( frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}, a ne 0, n> m )

    • Definición de exponente cero (a ^ 0 = 1, a ne 0 )
    • Cociente de una propiedad de potencia (( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}, b ne 0 )

Glosario

exponentes racionales
  • Si ( sqrt [n] {a} ) es un número real y (n ge 2 ), (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )
  • Para cualquier número entero positivo metro y norte, (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ) y (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n ] {a ^ m} )

13.8.8: Exponentes racionales

A continuación se muestra una lista de tonos en 19-edo, con letras nominales que usan "C" como referencia (como en la notación musical ilustrada arriba), mostrando las equivalencias enarmónicas que ocurren en 19-edo:

Una propuesta temprana y muy simple para una afinación de significados fue 1/3 de coma de significados y su pariente cercano 19-edo. La primera referencia a una afinación que puede ser 19-edo se encuentra en el quinto tratado del manuscrito de Berkeley; aunque no está claro exactamente cómo funcionó la afinación aquí descrita, sí establece que el tono se divide en 3 partes, que son aparentemente igual. El primer supuesto uso de esta afinación es por Guillaume Costeley en 1558, en su chanson Seigneur Dieu ta piti & eacute. La referencia temprana más conocida, para ambas afinaciones, fue la de Salinas en 1577.

Meanone de 1/4 de coma es la única afinación de la familia de meanone que proporciona un "tono" que es la media exacta entre los dos tamaños de "tonos" de entonación justa de 5 límites: el "tono" de 1/3. El significado de coma y 19-edo es, por lo tanto, más pequeño que el verdadero significado, y más cercano en tamaño a la proporción de 10: 9, el más pequeño de los dos tonos de entonación justa.

Las afinaciones de la familia Meantone son históricamente muy importantes para el desarrollo de la música occidental, ya que los paradigmas postulados por la teoría musical de la "práctica común" dependen en gran medida de la eliminación o templado de la coma sintónica, que es probablemente la más común. característica prominente de todos los significados.

Tenga en cuenta que mientras que en la afinación familiar de 12 edos (que también es un miembro de la familia de los significados) hay un conjunto completo de equivalentes enarmónicos, de modo que las 7 notas que tienen "bemoles" también se pueden "escribir" como 7 notas diferentes que tienen "sostenidos" junto con un nominal un paso más bajo, en todos los demás significados los "bemoles" tienen un tono más alto que los "sostenidos" supuestamente equivalentes enarmónicamente. Esto es lo opuesto al caso en la afinación pitagórica mucho más antigua, y también lo opuesto al caso en la "entonación expresiva" que se ha enseñado ampliamente en las escuelas eurocéntricas de tocar desde la época de Beethoven (alrededor de 1800).

Las afinaciones de la familia meanone fueron lo más parecido a una afinación "estándar" en la mayor parte de Europa desde aproximadamente 1500 a 1700, y todavía se encontraban comúnmente en teclados (especialmente órganos) hasta aproximadamente 1850. Sería justo decir que la mayoría de la música instrumental de los períodos del Renacimiento y el Barroco estaba destinado a ser tocado en alguna forma de significado, e incluso después del crecimiento en popularidad de los buenos temperamentos para teclados después de 1700, alguna forma de significado (generalmente más como 1/6-coma o 55-edo ) todavía estaba destinado a la música orquestal.

Durante la vida de Mozart (finales de 1700), los músicos orquestales comenzaron a usar una "entonación expresiva" que se desvió hacia el pitagórico, y el lenguaje musical de Beethoven ciertamente alentó la difusión del 12-edo, pero hasta cierto punto significaba que uno persistió en la interpretación orquestal hasta aproximadamente la época de Wagner (de mediados a finales del siglo XIX). Después de la adopción casi universal del 12-edo, Mahler lamentó la pérdida de meanone a principios del siglo XX. (ver Monzo, Un siglo de música nueva en Viena).

La coma de 1/3 significa una "quinta", el generador, es (3/2) / ((81/80) (1/3)). Usando la suma de vectores, eso es: Esto tiene el efecto de templar la coma sintónica para que desaparezca, por lo que 4 "quintas" menos 2 "8ves" bastante cerca de la "tercera mayor" justa: la diferencia entre la entonación justa y el 1/3-coma significaba "mayores-3rds" es: Esta cantidad es exactamente 1/3 de una coma sintónica.

Suponiendo que la "octava" -equivalencia (es decir, los exponentes de 2 son irrelevantes para la construcción de la escala, por lo que he agregado 2 -2 al vector aquí para poner la nota en la referencia "octava"), la siguiente nota en el ciclo después del "quinto", el de +2 generadores, es el "tono completo" 2 (2/3) 3 - (2/3) 5 (2/3) =

189.5724753 centavos. Si comparamos esto con los dos "tonos completos" de entonación justa, restando el tono medio del pitágoras 9/8 más grande y restando el límite 5 más pequeño 10/9 del tono medio, encontramos dónde se encuentra el tono medio entre los dos justo -tonación "tonos enteros":

La escala diatónica de 7 tonos en 1/3 de coma significada contiene solo dos tamaños de "pasos": el

189.5724753 cent "tono completo" descrito anteriormente, entre C: D, D: E, F: G, G: A y A: B, y el

126.0688117 cent "semitono diatónico" entre E: F y B: C:

Escala diatónica de significados de 7 tonos y 1/3 de coma

Al introducir "Bb" en la escala, aparece un nuevo intervalo entre grados: el

63.50366367 cent "semitono cromático" entre Bb: B:

Escala diatónica de 1/3 coma significada con Bb

Continuando agregando tonos en cada extremo de la cadena, finalmente llegamos a la escala cromática de 12 tonos "típica" utilizada en Europa durante la era de los tonos medios, desde Eb hasta G #. Esta escala tiene como intervalos entre grados solo los dos tamaños de semitonos, cromático y diatónico:

Agregar una nota más a cada extremo da como resultado otro nuevo intervalo entre grados, de

62.565148 centavos, como entre G #: Ab en mi ejemplo aquí:

Se puede ver tanto en los números como en el gráfico que este intervalo es casi del mismo tamaño que el último derivado, por lo tanto, esencialmente no hay diferencia en la media de 1/3-coma entre el semitono cromático y la diésis enarmónica, y en 19-edo, de hecho, son exactamente del mismo tamaño:

Uno puede continuar agregando 6 notas más de esta manera sin encontrar un tamaño de paso que sea radicalmente diferente, por lo tanto, debido a la similitud del semitono cromático de 1/3 de coma significada y la diesis enarmónica, la división del "8ve" tiende a igualar:

Escala cromática significada de 19 tonos y 1/3 de coma

Se puede ver en el gráfico directamente arriba que esto divide el "8ve" en 19 pasos casi idénticos, por lo que se puede inferir fácilmente que otras notas nuevas serán bastante similares a las ya producidas y que, por lo tanto, el sistema está en efecto cerrado a las 19 notas.

Si se agrega una nota 20, por ejemplo -7 (Cb), se produce un nuevo intervalo diminuto entre grados, que de hecho es la misma "pequeña diésis" calculada anteriormente:

15 /16) ciento, ocurriendo entre Cb y B #:

A todos los efectos, esta diferencia puede ignorarse, por lo que 19-edo puede considerarse idéntico a una cadena de 19 tonos de 1/3-coma meanone.

0.049395561 centavo: esta minúscula cantidad es la diferencia entre la media coma de 1/3 una "quinta" y la "quinta" de 19-edo.

Escala de 20 tonos de 1/3 de coma

A continuación se muestra un gráfico que muestra la altura de tono de esta cadena de 20 tonos de 1/3-coma significa uno. La línea roja conecta los dos campos que están muy juntos.

Cadena de 20 tonos de 1/3 de coma

19-edo es audiblemente indistinguible de 1/3-comma meanone. 2 (19/11) = 696,7741935 centavos. Usando la suma de vectores nuevamente para comparar la coma de 1/3 que significa un "quinto" con el "quinto" de 19 edo, obtenemos una diferencia entre los dos de:

Por lo tanto, 2 (19/3) * 3 - (19/3) * 5 (19/3) actúa como un vector unísono que es no templado en 1/3-coma significa uno, y actúa como un vector unísono que es templado en 19-edo. Debido a que este intervalo es tan pequeño, realmente no importa si está templado "oficialmente" o no: sonará como un unísono en cualquier caso.

Salinas en 1577 (De Musica, libro 3, capítulo 16) describió por primera vez el significado de 1/3-coma con exactitud matemática. Primero construyó un sistema de entonación justa de 24 tonos, que tenía pares duplicados de algunos tonos separados por una coma sintónica, el más alto de los cuales estaba etiquetado como "superius" y el más bajo como "inferius". Luego explicó la cantidad de temple para cada uno de los lanzamientos de significados. Al templar la coma completa que existe entre los 5 pares de tonos "superius / inferius", redujo el número de tonos de 24 a 19.

A continuación se muestra una celosía que coloca el significado de coma de 1/3 de Salinas en el espacio principal y muestra su relación con su sistema de entonación justa, como él lo describe, las flechas inclinadas representan la coma sintónica:

Se puede ver que todos los tonos del meanone son exactamente los del sistema de entonación justa de Salinas, o son 1/3, 2/3 o una coma completa más alta o más baja que las de su sistema de entonación justa.

Continúa explicando cómo templar el sistema de entonación justa de 24 notas en 19 notas de 2/7 comas significadas una, y luego también en 19 notas de 1/4 coma significadas una, la última de las cuales finalmente declara ser el mejor de los tres temperamentos.

Salinas no mencionó explícitamente la naturaleza igual de la división 8ve en su medio de coma 1/3, pero él mismo lo habría sabido y se puede inferir de las medidas que describió. Los sistemas de 19 tonos de los significados 2/7 de coma y 1/4 de coma están menos espaciados por igual, más cerca de los subconjuntos de 50-edo y 31-edo, respectivamente.

A continuación se muestra un diagrama de celosía triangular de 5 límites de proporciones de entonación justa, que muestra un ejemplo de bloque de periodicidad de 19 tonos que está definido y delimitado por 2 vectores unísonos, la coma-sintónica y la coma mágica, que pueden formar una base para ser templado en 19-edo. Los datos proporcionados para cada punto de celosía son la representación de la proporción de la nota, el grado de 19 edo y el nombre de la letra (con accidental cuando sea necesario).

De hecho, esta estructura describe perfectamente la estructura de entonación justa de Salinas como se describió anteriormente.

A continuación se muestran dos gráficos circulares de 19-edo en su uso típico de meanone (¡tenga en cuenta que 19-edo también pertenece a otras familias de temperamento!). Un gráfico organiza los tonos en orden escalar por generadores de grados de escala de 1/3 de tono alrededor del círculo, y el otro organiza los tonos en el orden de los generadores diatónicos-5, ambos muestran las equivalencias enarmónicas que ocurren en 19-edo.

Círculo de grados de 19 edo

Círculo de quintos de 19 edo


Problemas de práctica

Encuentra el área de superficie de la pirámide que se muestra a continuación.

El área de la superficie de la pirámide es

= & # xa0Suma de áreas de las 5 caras

En la pirámide de arriba, la base es un cuadrado con una longitud de lado de 5 cm y cada pared es un triángulo con una base de 5 cm y una altura de 8 cm.

Encontremos el área de cada cara por separado. & # Xa0

Área de la base & # xa0 = & # xa05 x 5 & # xa0 = & # xa025 cm cuadrados

Área de cada pared lateral & # xa0 = & # xa0 (1/2) x 5 x 8 & # xa0 = & # xa020 cm cuadrados & # xa0

Área de las 4 paredes laterales & # xa0 = & # xa04 x 20 & # xa0 = & # xa080 cm cuadrados & # xa0

El área de la superficie de la pirámide anterior es

Encuentra el área de la superficie de la pirámide que se muestra a continuación.

El área de la superficie de la pirámide es

= & # xa0Suma de áreas de las 4 caras

En la pirámide de arriba, la base es un triángulo equilátero con una longitud de lado de 4 cm y cada pared es un triángulo con una base de 4 cm y una altura de 6 cm.

Encontremos el área de cada cara por separado. & # Xa0

Área de la base & # xa0 = & # xa0 (√3 / 4) x 4 2 & # xa0 = & # xa04 √3 cm cuadrados

Área de cada pared lateral & # xa0 = & # xa0 (1/2) x 4 x 6 & # xa0 = & # xa012 cm cuadrados & # xa0

Área de las 3 paredes laterales & # xa0 = & # xa03 x 12 & # xa0 = & # xa036 cm cuadrados & # xa0

El área de la superficie de la pirámide anterior es & # xa0

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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