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13.8.7: Raíces superiores


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Simplifica expresiones con raíces más altas
  • Utilice la propiedad del producto para simplificar expresiones con raíces superiores
  • Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones con raíces superiores
  • Sumar y restar raíces superiores

Nota

  1. Simplifica: (y ^ {5} y ^ {4} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 6.2.7.
  2. Simplifica: ((n ^ 2) ^ 6 ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 6.2.19.
  3. Simplifica: ( frac {x ^ 8} {x ^ 3} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 6.5.1.

Simplifique expresiones con raíces más altas

Hasta ahora, en este capítulo hemos trabajado con cuadrados y raíces cuadradas. Ahora ampliaremos nuestro trabajo para incluir poderes superiores y raíces superiores.

Primero repasemos algo de vocabulario.

[ begin {array} {cc} {} & {} { textbf {Escribimos:}} & { textbf {Decimos:}} {n ^ 2} & { text {n al cuadrado }} {n ^ 3} & { text {n cubed}} {n ^ 4} & { text {n al cuarto}} {n ^ 5} & { text {n al el quinto}} nonumber end {array} ]

Los términos "cuadrado" y "cubo" provienen de las fórmulas para el área de un cuadrado y el volumen de un cubo.

Será útil tener una tabla de las potencias de los números enteros de −5 a 5. Vea la Figura ( PageIdnex {1} ).

Observe los signos en la Figura ( PageIndex {1} ). Todos los poderes de los números positivos son positivos, por supuesto. Pero cuando tenemos un número negativo, las potencias pares son positivas y las potencias impares son negativas. Copiaremos la fila con las potencias de −2 a continuación para ayudarlo a ver esto.

Anteriormente en este capítulo definimos la raíz cuadrada de un número.

Si (n ^ 2 = m ), entonces n es una raíz cuadrada de m.

Y hemos usado la notación ( sqrt {m} ) para denotar el raíz cuadrada principal. Entonces ( sqrt {m} ge 0 ) siempre.

Ahora ampliaremos la definición a raíces superiores.

Definición: norteLA RAÍZ DE UN NÚMERO

Si (b ^ n = a ), entonces b es un nortela raíz de un número una.

El director nortela raíz de a se escribe ( sqrt [n] {a} = b )

norte se llama el índice del radical.

No escribimos el índice para una raíz cuadrada. Al igual que usamos la palabra "al cubo" para (b ^ 3 ), usamos el término "raíz cúbica" para ( sqrt [3] {a} ).

Nos referimos a la Figura ( PageIndex {1} ) para ayudarnos a encontrar raíces más altas.

[ begin {array} {cc} {4 ^ 3 = 64} & { sqrt [3] {64} = 4} {3 ^ 4 = 81} & { sqrt [4] {81} = 3} {(−2) ^ 5 = −32} & { sqrt [5] {- 32} = - 2} nonumber end {array} ]

¿Podríamos tener una raíz par de un número negativo? No. Sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Lo mismo es cierto para cualquier raíz uniforme. Incluso las raíces de números negativos no son números reales. Las raíces impares de números negativos son números reales.

Definición: PROPIEDADES DE ( sqrt [n] {a} )

Cuando n es un número par y

  • (a ge 0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) es un número real
  • (a <0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) no es un número real

Cuando n es un número impar, ( sqrt [n] {a} ) es un número real para todos los valores de a.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {8} )
  2. ( sqrt [4] {81} )
  3. ( sqrt [5] {32} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {8} )
Dado que ((2) ^ 3 = 8 ).2
2. ( sqrt [4] {81} )
Dado que ((3) ^ 4 = 81 ).3
3. ( sqrt [5] {32} )
Dado que ((2) ^ 5 = 32 ).2

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {27} )
  2. ( sqrt [4] {256} )
  3. ( sqrt [5] {243} ).
Respuesta
  1. 3
  2. 4
  3. 3

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {1000} )
  2. ( sqrt [4] {16} )
  3. ( sqrt [5] {32} ).
Respuesta
  1. 10
  2. 2
  3. 2

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 64} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} )
  3. ( sqrt [5] {- 243} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {- 64} )
Dado que ((- 4) ^ 3 = −64 ).−4
2. ( sqrt [4] {- 16} )
Piensa, ((?) ^ 4 = −16 ). Ningún número real elevado a la cuarta potencia es positivo.No es un número real.
3. ( sqrt [5] {- 243} )
Dado que ((- 3) ^ 5 = −243 ).−3

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 125} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} )
  3. ( sqrt [5] {- 32} ).
Respuesta
  1. −5
  2. irreal
  3. −2

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 216} )
  2. ( sqrt [4] {- 81} )
  3. ( sqrt [5] {- 1024} ).
Respuesta
  1. −6
  2. irreal
  3. −4

Cuando trabajamos con raíces cuadradas que tenían variables en el radicando, restringimos las variables a valores no negativos. Ahora eliminaremos esta restricción.

La raíz impar de un número puede ser positiva o negativa. Hemos visto que ( sqrt [3] {- 64} = - 4 ).

Pero la raíz par de un número no negativo siempre es no negativa, porque tomamos el principal norteth raíz.

Suponga que comenzamos con a = −5.

[ begin {matriz} {cc} {(−5) ^ 4 = 625} & { sqrt [4] {625} = 5} nonumber end {matriz} ]

¿Cómo podemos asegurarnos de que la cuarta raíz de −5 elevada a la cuarta potencia, ((- 5) ^ 4 ) sea 5? Veremos en la siguiente propiedad.

Definición: SIMPLIFICAR RAÍCES PARAS E IMPARES

Para cualquier número entero (n ge 2 ),

[ begin {array} {cc} { text {cuando n es impar}} & { sqrt [n] {a ^ n} = a} { text {cuando n es par}} & { sqrt [n] {a ^ n} = | a |} nonumber end {array} ]

Debemos usar los signos de valor absoluto cuando sacamos una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {x ^ 2} )
  2. ( sqrt [3] {n ^ 3} )
  3. ( sqrt [4] {p ^ 4} )
  4. ( sqrt [5] {y ^ 5} ).
Respuesta

Usamos el valor absoluto para asegurarnos de obtener la raíz positiva.

1. ( sqrt {x ^ 2} )
Dado que ((x) ^ 2 = x ^ 2 ) y queremos la raíz positiva.| x |
2. ( sqrt [3] {n ^ 3} )
Dado que ((n) ^ 3 = n ^ 3 ). Es una raíz impar, por lo que no es necesario un signo de valor absoluto.norte
3. ( sqrt [4] {p ^ 4} )
Dado que ((p) ^ 4 = p ^ 4 ) y queremos la raíz positiva.| p |
4. ( sqrt [5] {y ^ 5} )
Dado que ((y) ^ 5 = y ^ 5 ). Es una raíz impar, por lo que no es necesario un signo de valor absoluto.y

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {b ^ 2} )
  2. ( sqrt [3] {w ^ 3} )
  3. ( sqrt [4] {m ^ 4} )
  4. ( sqrt [5] {q ^ 5} ).
Respuesta
  1. | b |
  2. w
  3. | m |
  4. q

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {y ^ 2} )
  2. ( sqrt [3] {p ^ 3} )
  3. ( sqrt [4] {z ^ 4} )
  4. ( sqrt [5] {q ^ 5} )
Respuesta
  1. | y |
  2. pag
  3. | z |
  4. q

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {y ^ {18}} )
  2. ( sqrt [4] {z ^ 8} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {y ^ {18}} )
Dado que ((y ^ 6) ^ 3 = y ^ 18 ). ( sqrt [3] {(y ^ 6) ^ 3} )
(y ^ 6 )
2. ( sqrt [4] {z ^ 8} )
Dado que ((z ^ 2) ^ 4 = z ^ 8 ). ( sqrt [4] {(z ^ 2) ^ 4} )
Dado que (z ^ 2 ) es positivo, no necesitamos un signo de valor absoluto. (z ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [4] {u ^ {12}} )
  2. ( sqrt [3] {v ^ {15}} ).
Respuesta
  1. (u ^ 3 )
  2. (v ^ 5 )

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [5] {c ^ {20}} )
  2. ( sqrt [6] {d ^ {24}} ).
Respuesta
  1. (c ^ 4 )
  2. (d ^ 4 )

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {64p ^ 6} )
  2. ( sqrt [4] {16q ^ {12}} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {64p ^ 6} )
Reescribe (64p ^ 6 ) como ((4p ^ 2) ^ 3 ). ( sqrt [3] {(4p ^ 2) ^ 3} )
Toma la raíz cúbica. (4p ^ 2 )
2. ( sqrt [4] {16q ^ {12}} )
Reescribe el radicando como una cuarta potencia. ( sqrt [4] {(2q ^ 3) ^ 4} )
Toma la cuarta raíz. (2 | q ^ 3 | )

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {27x ^ {27}} )
  2. ( sqrt [4] {81q ^ {28}} ).
Respuesta
  1. (3x ^ 9 )
  2. (3∣q ^ 7∣ )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {125p ^ 9} )
  2. ( sqrt [5] {243q ^ {25}} )
Respuesta
  1. (5p ^ 3 )
  2. (3q ^ 5 )

Utilice la propiedad del producto para simplificar expresiones con raíces más altas

Simplificaremos expresiones con raíces superiores de la misma manera que simplificamos expresiones con raíces cuadradas. Un norteLa raíz se considera simplificada si no tiene factores de (m ^ n ).

Definición: SIMPLIFICADO norteLA RAÍZ

( sqrt [n] {a} ) se considera simplificado si a no tiene factores de (m ^ n ).

Generalizaremos la propiedad del producto de raíces cuadradas para incluir cualquier raíz entera (n ge 2 ).

Definición: PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE norteTH RAÍCES

( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} · sqrt [n] {b} ) y ( sqrt [n] {a} · sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )

cuando ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales y para cualquier entero (n ge 2 )

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {x ^ 4} )
  2. ( sqrt [4] {x ^ 7} ).
Respuesta

1.

( sqrt [3] {x ^ 4} )
Reescribe el radicando como un producto usando el factor cúbico perfecto más grande. ( sqrt [3] {x ^ 3 · x} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [3] {x ^ 3} · sqrt [3] {x} )
Simplificar. (x sqrt [3] {x} )
2. ( sqrt [4] {x ^ 7} )
Reescribe el radicando como un producto utilizando el mayor factor de potencia perfecto del cuarto. ( sqrt [4] {x ^ 4 · x ^ 3} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [4] {x ^ 4} · sqrt [4] {x ^ 3} )
Simplificar. (| x | sqrt [4] {x ^ 3} )

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [4] {y ^ 6} )
  2. ( sqrt [3] {z ^ 5} ).
Respuesta
  1. (| y∣ sqrt [4] {y ^ 2} )
  2. (z sqrt [3] {z ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [5] {p ^ 8} )
  2. ( sqrt [6] {q ^ {13}} ).
Respuesta
  1. (p sqrt [5] {p ^ 3} )
  2. (q ^ 2 sqrt [6] {q} )

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {16} )
  2. ( sqrt [4] {243} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {16} )
( sqrt [3] {2 ^ 4} )
Reescribe el radicando como un producto usando el factor de cubo perfecto más grande. ( sqrt [3] {2 ^ 3 · 2} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [3] {2 ^ 3} · sqrt [3] {2} )
Simplificar. (2 sqrt [3] {2} )
2. ( sqrt [4] {243} )
( sqrt [4] {3 ^ 5} )
Reescribe el radicando como un producto utilizando el mayor factor de potencia perfecto del cuarto. ( sqrt [4] {3 ^ 4 · 3} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [4] {3 ^ 4} · sqrt [4] {3} )
Simplificar. (3 sqrt [4] {3} )

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {81} )
  2. ( sqrt [4] {64} ).
Respuesta
  1. (3 sqrt [3] {3} )
  2. (2 sqrt [4] {4} )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {625} )
  2. ( sqrt [4] {729} ).
Respuesta
  1. (5 sqrt [3] {5} )
  2. (3 sqrt [4] {9} )

No olvide utilizar los signos de valor absoluto al sacar una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {24x ^ 7} )
  2. ( sqrt [4] {80y ^ {14}} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {24x ^ 7} )
Reescribe el radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos. ( sqrt [3] {2 ^ {3} x ^ {6} · 3x} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [3] {2 ^ {3} x ^ {6}} · sqrt [3] {3x} )
Reescribe el primer radicando como ((2x ^ 2) ^ 3 ) ( sqrt [3] {(2x ^ {2}) ^ 3} · sqrt [3] {3x} )
Simplificar. (2x ^ 2 sqrt [3] {3x} )
2. ( sqrt [4] {80y ^ {14}} )
Reescribe el radicando como un producto usando factores de potencia de cuarto perfecto. ( sqrt [4] {2 ^ {4} y ^ {12} · 5y ^ 2} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [4] {2 ^ {4} y ^ {12}} · sqrt [4] {5y ^ 2} )
Reescribe el primer radicando como ((2y ^ 3) ^ 4 ) ( sqrt [4] {(2y ^ 3) ^ 4} · sqrt [4] {5y ^ 2} )
Simplificar. (2 | y ^ 3 | sqrt [4] {5y ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {54p ^ [10}] )
  2. ( sqrt [4] {64q ^ {10}} ).
Respuesta
  1. (3p ^ 3 sqrt [3] {2p} )
  2. (2q ^ 2 sqrt [4] {4q ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {128m ^ {11}} )
  2. ( sqrt [4] {162n ^ 7} ).
Respuesta
  1. (4m ^ 3 sqrt [3] {2m ^ 2} )
  2. (3 | n | sqrt [4] {2n ^ 3} )

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {- 27} )
Reescribe el radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos. ( sqrt [3] {(- 3) ^ 3} )
Toma la raíz cúbica.−3
2. ( sqrt [4] {- 16} )
No hay un número real n donde (n ^ 4 = −16 ).No es un número real.

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 108} )
  2. ( sqrt [4] {- 48} ).
Respuesta
  1. (- 3 sqrt [3] {4} )
  2. irreal

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 625} )
  2. ( sqrt [4] {- 324} ).
Respuesta
  1. (- 5 sqrt [3] {5} )
  2. irreal

Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones con raíces más altas

Podemos simplificar raíces superiores con cocientes de la misma manera que simplificamos raíces cuadradas. Primero simplificamos las fracciones dentro del radical.

Ejemplo ( PageIndex {28} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] { frac {a ^ 8} {a ^ 5}} )
  2. ( sqrt [4] { frac {a ^ {10}} {a ^ 2}} ).
Respuesta

1.

( sqrt [3] { frac {a ^ 8} {a ^ 5}} )
Simplifica primero la fracción debajo del radical. ( sqrt [3] {a ^ 3} )
Simplificar.a
2. ( sqrt [4] { frac {a ^ {10}} {a ^ 2}} )
Simplifica primero la fracción debajo del radical. ( sqrt [4] {a ^ 8} )
Reescribe el radicando usando factores de potencia de cuarto perfecto. ( sqrt [4] {(a ^ 2) ^ 4} )
Simplificar. (a ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {29} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [4] { frac {x ^ 7} {x ^ 3}} )
  2. ( sqrt [4] { frac {y ^ {17}} {y ^ 5}} ).
Respuesta
  1. | x |
  2. (y ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {30} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] { frac {m ^ {13}} {m ^ 7}} )
  2. ( sqrt [5] { frac {n ^ {12}} {n ^ 2}} ).
Respuesta
  1. (m ^ 2 )
  2. (n ^ 2 )

Anteriormente, usamos la propiedad del cociente "al revés" para simplificar las raíces cuadradas. Ahora generalizaremos la fórmula para incluir raíces superiores.

Definición: PROPIEDAD DEL COCIENTE DE norteTH RAÍCES

( sqrt [n] { frac {a} {b}} = frac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) y ( frac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { frac {a} {b}} )

cuando ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b ne 0 ), y para cualquier entero (n ge 2 )

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Simplificar:

  1. ( frac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
  2. ( frac { sqrt [4] {96x ^ 7}} { sqrt [4] {3x ^ 2}} )
Respuesta
1. ( frac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
Ninguno de los radicandos es un cubo perfecto, así que usa la propiedad del cociente para escribir como un radical. ( sqrt [3] { frac {−108} {2}} )
Simplifica la fracción debajo del radical. ( sqrt [3] {- 54} )
Reescribe el radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos. ( sqrt [3] {(- 3) ^ 3 · 2} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [3] {(- 3) ^ 3} · sqrt [3] {2} )
Simplificar. (- 3 sqrt [3] {2} )
2. ( frac { sqrt [4] {96x ^ 7}} { sqrt [4] {3x ^ 2}} )
Ninguno de los radicandos es una cuarta potencia perfecta, así que usa la propiedad del cociente para escribir como un radical ( sqrt [4] { frac {96x ^ 7} {3x ^ 2}} )
Simplifica la fracción debajo del radical. ( sqrt [4] {32x ^ 5} )
Reescribe el radicando como un producto usando factores de potencia de cuarto perfecto. ( sqrt [4] {2 ^ {4} x ^ 4 · 2x} )
Reescribe el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt [4] {(2x) ^ 4} · sqrt [4] {2x} )
Simplificar. (2 | x | sqrt [4] {2x} )

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Simplificar:

  1. ( frac { sqrt [3] {- 532}} { sqrt [3] {2}} )
  2. ( frac { sqrt [4] {486m ^ {11}}} { sqrt [4] {3m ^ 5}} )
Respuesta
  1. irreal
  2. (3 | m | sqrt [4] {2m ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Simplificar:

  1. ( frac { sqrt [3] {- 192}} { sqrt [3] {3}} )
  2. ( frac { sqrt [4] {324n ^ 7}} { sqrt [4] {2n ^ 3}} ).
Respuesta
  1. −4
  2. (3 | n | sqrt [4] {2} )

Si la fracción dentro del radical no se puede simplificar, usamos la primera forma de la propiedad del cociente para reescribir la expresión como el cociente de dos radicales.

Ejemplo ( PageIndex {34} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] { frac {24x ^ 7} {y ^ 3}} )
  2. ( sqrt [4] { frac {48x ^ {10}} {y ^ 8}} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] { frac {24x ^ 7} {y ^ 3}} )
La fracción del radicando no se puede simplificar. Utilice la propiedad del cociente para escribir como dos radicales. ( frac { sqrt [3] {24x ^ 7}} { sqrt [3] {y ^ 3}} )
Reescribe cada radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos. ( frac { sqrt [3] {8x ^ 6 · 3x}} { sqrt [3] {y ^ 3}} )
Reescribe el numerador como el producto de dos radicales. ( frac { sqrt [3] {(2x ^ 2) ^ 3} · sqrt [3] {3x}} { sqrt [3] {y ^ 3}} )
Simplificar. ( frac {2x ^ 2 sqrt [3] {3x}} {y} )
2. ( sqrt [4] { frac {48x ^ {10}} {y ^ 8}} )
La fracción del radicando no se puede simplificar. Utilice la propiedad del cociente para escribir como dos radicales. ( frac { sqrt [4] {48x ^ {10}}} { sqrt [4] {y ^ 8}} )
Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. ( frac { sqrt [4] {16x ^ 8 · 3x ^ 2}} { sqrt [4] {y ^ 8}} )
Reescribe el numerador como el producto de dos radicales. ( frac { sqrt [4] {(2x ^ 2) ^ 4} · sqrt [4] {3x ^ 2}} { sqrt [4] {(y ^ 2) ^ 4}} )
Simplificar. ( frac {2x ^ 2 sqrt [4] {3x ^ 2}} {y ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {35} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] { frac {108c ^ {10}} {d ^ 6}} )
  2. ( sqrt [4] { frac {80x ^ {10}} {y ^ 5}} ).
Respuesta
  1. ( frac {3c ^ 3 sqrt [3] {4c}} {d ^ 2} )
  2. ( frac {x ^ 2} {∣y∣} sqrt [4] { frac {80x ^ 2} {y}} )

Ejemplo ( PageIndex {36} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] { frac {40r ^ 3} {s}} )
  2. ( sqrt [4] { frac {162m ^ {14}} {n ^ {12}}} )
Respuesta
  1. (r sqrt [3] { frac {40} {s}} )
  2. ( frac {3m ^ 3 sqrt [4] {2m ^ 2}} {∣n ^ 3∣} )

Sumar y restar raíces superiores

Podemos sumar y restar raíces superiores como sumamos y restamos raíces cuadradas. Primero proporcionamos una definición formal de como radicales.

Definición: COMO RADICALES

Los radicales con el mismo índice y el mismo radicando se denominan como radicales.

Los radicales iguales tienen el mismo índice y el mismo radicando.

  • (9 sqrt [4] {42x} ) y (- 2 sqrt [4] {42x} ) son como radicales.
  • (5 sqrt [3] {125x} ) y (6 sqrt [3] {125y} ) no son como radicales. Los radicandos son diferentes.
  • (2 sqrt [5] {1000q} ) y (- 4 sqrt [4] {1000q} ) no son como radicales. Los índices son diferentes.

Sumamos y restamos radicales iguales de la misma manera que sumamos y restamos términos semejantes. Podemos sumar (9 sqrt [4] {42x} + (- 2 sqrt [4] {42x}) ) y el resultado es (7 sqrt [4] {42x} ).

Ejemplo ( PageIndex {37} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {4x} + sqrt [3] {4x} )
  2. (4 sqrt [4] {8} −2 sqrt [4] {8} )
Respuesta
1. ( sqrt [3] {4x} + sqrt [3] {4x} )
Los radicales son como, así que sumamos los coeficientes (2 sqrt [3] {4x} )
2. (4 sqrt [4] {8} −2 sqrt [4] {8} )
Los radicales son como, entonces restamos los coeficientes. (2 sqrt [4] {8} )

Ejemplo ( PageIndex {38} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [5] {3x} + sqrt [5] {3x} )
  2. (3 sqrt [3] {9} - sqrt [3] {9} )
Respuesta
  1. (2 sqrt [5] {3x} )
  2. (2 sqrt [3] {9} )

Ejemplo ( PageIndex {39} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [4] {10y} + sqrt [4] {10y} )
  2. (5 sqrt [6] {32} −3 sqrt [6] {32} ).
Respuesta
  1. (2 sqrt [4] {10y} )
  2. (2 sqrt [6] {32} )

Cuando una expresión no parece tener radicales iguales, primero simplificaremos cada radical. A veces, esto conduce a una expresión con radicales similares.

Ejemplo ( PageIndex {40} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {54} - sqrt [3] {16} )
  2. ( sqrt [4] {48} + sqrt [4] {243} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {54} - sqrt [3] {16} )
Reescribe cada radicando usando factores de cubo perfectos. ( sqrt [3] {27} · sqrt [3] {2} - sqrt [3] {8} · sqrt [3] {2} )
Reescribe los cubos perfectos. ( sqrt [3] {(3) ^ 3} · sqrt [3] {2} - sqrt [3] {(2) ^ 3} · sqrt [3] {2} )
Simplifique los radicales cuando sea posible. (3 sqrt [3] {2} −2 sqrt [3] {2} )
Combinar como radicales. ( sqrt [3] {2} )
2. ( sqrt [4] {48} + sqrt [4] {243} )
Reescribe usando factores de potencia de cuarto perfecto. ( sqrt [4] {16} · sqrt [4] {3} + sqrt [4] {81} · sqrt [4] {3} )
Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. ( sqrt [4] {(2) ^ 4} · sqrt [4] {3} + sqrt [4] {(3) ^ 4} · sqrt [4] {3} )
Reescribe el numerador como el producto de dos radicales. (2 sqrt [4] {3} +3 sqrt [4] {3} )
Simplificar. (5 sqrt [4] {3} )

Ejemplo ( PageIndex {41} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {192} - sqrt [3] {81} )
  2. ( sqrt [4] {32} + sqrt [4] {512} ).
Respuesta
  1. ( sqrt [3] {3} )
  2. (6 sqrt [4] {2} )

Ejemplo ( PageIndex {42} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {108} - sqrt [3] {250} )
  2. ( sqrt [5] {64} + sqrt [5] {486} ).
Respuesta
  1. (- sqrt [3] {2} )
  2. (5 sqrt [5] {2} )

Ejemplo ( PageIndex {43} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {24x ^ 4} - sqrt [3] {- 81x ^ 7} )
  2. ( sqrt [4] {162y ^ 9} + sqrt [4] {512y ^ 5} ).
Respuesta
1. ( sqrt [3] {24x ^ 4} - sqrt [3] {- 81x ^ 7} )
Reescribe cada radicando usando factores de cubo perfectos. ( sqrt [3] {8x ^ 3} · sqrt [3] {3x} - sqrt [3] {- 27x ^ 6} · sqrt [3] {3x} )
Reescribe los cubos perfectos. ( sqrt [3] {(2x) ^ 3} · sqrt [3] {3x} - sqrt [3] {(- 3x ^ 2) ^ 3} · sqrt [3] {3x} )
Simplifique los radicales cuando sea posible. (2x sqrt [3] {3x} - (- 3x ^ 2 sqrt [3] {3x}) )
2. ( sqrt [4] {162y ^ 9} + sqrt [4] {516y ^ 5} )
Reescribe usando factores de potencia de cuarto perfecto. ( sqrt [4] {81y ^ 8} · sqrt [4] {2y} + sqrt [4] {256y ^ 4} · sqrt [4] {2y} )
Reescribe cada radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos. ( sqrt [4] {(3y ^ 2) ^ 4} · sqrt [4] {2y} + sqrt [4] {(4y) ^ 4} · sqrt [4] {2y} )
Reescribe el numerador como el producto de dos radicales. (3y ^ 2 sqrt [4] {2y} +4 | y | sqrt [4] {2y} )

Ejemplo ( PageIndex {44} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {32y ^ 5} - sqrt [3] {- 108y ^ 8} )
  2. ( sqrt [4] {243r ^ {11}} + sqrt [4] {768r ^ {10}} ).
Respuesta
  1. (2y sqrt [3] {4y ^ 2} + 3y ^ 2 sqrt [3] {4y ^ 2} )
  2. (3r ^ 2 sqrt [4] {3r ^ 3} + 4r ^ 2 sqrt [4] {3r ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {45} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {40z ^ 7} - sqrt [3] {- 135z ^ 4} )
  2. ( sqrt [4] {80s ^ {13}} + sqrt [4] {1280s ^ 6} ).
Respuesta
  1. (2z ^ 2 sqrt [3] {5z} + 3z ^ 5 sqrt [3] {5z} )
  2. (2∣s ^ 3∣ sqrt [4] {5s} +4 | s | sqrt [4] {5s} )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la simplificación de raíces superiores.

  • Simplificando raíces superiores
  • Sumar / restar raíces con índices más altos

Conceptos clave

  • Propiedades de
  • ( sqrt [n] {a} ) cuando n es un número par y
    • (a ge 0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) es un número real
    • (a <0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) no es un número real
    • Cuando n es un número impar, ( sqrt [n] {a} ) es un número real para todos los valores de a.
    • Para cualquier entero (n ge 2 ), cuando norte es impar ( sqrt [n] {a ^ n} = a )
    • Para cualquier entero (n ge 2 ), cuando norte es par ( sqrt [n] {a ^ n} = | a | )
  • ( sqrt [n] {a} ) se considera simplificado si a no tiene factores de (m ^ n ).
  • ( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} · sqrt [n] {b} ) y ( sqrt [n] {a} · sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )
  • ( sqrt [n] { frac {a} {b}} = frac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) y ( frac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { frac {a} {b}} )
  • Para combinar radicales iguales, simplemente sume o reste los coeficientes manteniendo el radical igual.

Glosario

nortela raíz de un número
Si (b ^ n = a ), entonces b es un nortela raíz de a.
principal norteth raíz
El director norteLa raíz de a se escribe ( sqrt [n] {a} ).
índice
( sqrt [n] {a} ) norte se llama el índice del radical.
como radicales
Los radicales con el mismo índice y el mismo radicando se denominan radicales similares.


Ver el vídeo: CALCULO DE UNA RAIZ INFINITA. (Septiembre 2021).