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13.8.1: Simplificar y usar raíces cuadradas - Matemáticas


Al final de esta sección, podrá:
  • Simplifica expresiones con raíces cuadradas
  • Estimar raíces cuadradas
  • Raíces cuadradas aproximadas
  • Simplifica expresiones variables con raíces cuadradas

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ⓐ (9 ^ 2 ) ⓑ ((- 9) ^ 2 ) ⓒ (- 9 ^ 2 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Redondea 3.846 a la centésima más cercana.
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Para cada número, identifique si es un número real o no:
    Ⓐ (- sqrt {100} ) ⓑ ( sqrt {−100} ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Simplificar expresiones con raíces cuadradas

Recuerde que cuando un número n se multiplica por sí mismo, escribimos (n ^ 2 ) y lo leemos "n al cuadrado". Por ejemplo, (15 ^ 2 ) se lee como "15 al cuadrado" y 225 se llama el cuadrado de 15, ya que (15 ^ 2 = 225 ).

Definición: CUADRADO DE UN NÚMERO

Si (n ^ 2 = m ), entonces m es el cuadrado de n.

A veces tendremos que mirar la relación entre los números y sus cuadrados al revés. Como 225 es el cuadrado de 15, también podemos decir que 15 es una raíz cuadrada de 225. Un número cuyo cuadrado es m se llama raíz cuadrada de m.

Definición: RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO

Si (n ^ 2 = m ), entonces n es una raíz cuadrada de m.

Observe también ((- 15) ^ 2 = 225 ), por lo que −15 también es una raíz cuadrada de 225. Por lo tanto, tanto 15 como −15 son raíces cuadradas de 225.

Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. ¿Y si solo quisiéramos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? La signo radical, ( sqrt {m} ), denota la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada positiva también se llama raíz cuadrada principal.

También usamos el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque (0 ^ 2 = 0 ), ( sqrt {0} = 0 ). Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada.

Definición: NOTACIÓN DE RAÍZ CUADRADA

( sqrt {m} ) se lee como "la raíz cuadrada de m".

Si (m = n ^ 2 ), entonces ( sqrt {m} = n ), para (n ge 0 ).

La raíz cuadrada de m, ( sqrt {m} ), es el número positivo cuyo cuadrado es m.

Como 15 es la raíz cuadrada positiva de 225, escribimos ( sqrt {225} = 15 ). Llenar Figura para hacer una tabla de raíces cuadradas puede consultar mientras trabaja en este capítulo.

Sabemos que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {225} = 15 ). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo del radical. Por ejemplo, (- sqrt {225} = - 15 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {36} )
  2. ( sqrt {196} )
  3. (- sqrt {81} )
  4. (- sqrt {289} ).
Respuesta

1.
[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {36}} { text {Since} 6 ^ 2 = 36} & {6} end {array} ]
2.
[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {196}} { text {Desde} 14 ^ 2 = 196} & {14} end {array} ]
3.
[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {81}} { text {El negativo está delante del signo radical}} & {- 9} end {array} ]
4.
[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {289}} { text {El negativo está delante del signo radical}} & {- 17} end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. (- sqrt {49} )
  2. ( sqrt {225} ).
Respuesta
  1. −7
  2. 15

Ejemplo ( PageIndex {3} )

implicar:

  1. ( sqrt {64} )
  2. (- sqrt {121} ).
Respuesta
  1. 8
  2. −11

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {−169} )
  2. (- sqrt {64} )
Respuesta

1.

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {−169}} { text {No hay un número real cuyo cuadrado sea} s − 169} & { sqrt {−169} text {no es un número real.}} end {matriz} ]

2.

[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {64}} { text {El negativo está delante del signo radical}} & {- 8} end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {−196} )
  2. (- sqrt {81} ).
Respuesta
  1. no es un número real
  2. −9

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. (- sqrt {49} )
  2. ( sqrt {−121} ).
Respuesta
  1. −7
  2. no es un número real

Cuando usamos el orden de las operaciones para simplificar una expresión que tiene raíces cuadradas, tratamos el radical como un símbolo de agrupación.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {25} + sqrt {144} )
  2. ( sqrt {25 + 144} ).
Respuesta

1.

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {25} + sqrt {144}} { text {Usar el orden de las operaciones}} & {5 + 12} { text {Simplificar.}} & {17} end {matriz} ]

2.

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {25 + 144}} { text {Simplifica bajo el signo radical.}} & { sqrt {169}} { text { Simplifique.}} & {13} end {array} ]

¡Observe las diferentes respuestas en las partes 1 y 2!

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {9} + sqrt {16} )
  2. ( sqrt {9 + 16} ).
Respuesta
  1. 7
  2. 5

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {64 + 225} )
  2. ( sqrt {64} + sqrt {225} ).
Respuesta
  1. 17
  2. 23

Estimar raíces cuadradas

Hasta ahora solo hemos considerado las raíces cuadradas de números cuadrados perfectos. Las raíces cuadradas de otros números no son números enteros. Mirar Mesa debajo.

NúmeroRaíz cuadrada
4 ( sqrt {4} = 2 )
5 ( sqrt {5} )
6 ( sqrt {6} )
7 ( sqrt {7} )
8 ( sqrt {8} )
9 ( sqrt {9} = 3 )

Las raíces cuadradas de los números entre 4 y 9 deben estar entre los dos números enteros consecutivos 2 y 3, y no son números enteros. Basándonos en el patrón de la tabla anterior, podríamos decir que ( sqrt {5} ) debe estar entre 2 y 3. Usando símbolos de desigualdad, escribimos:

(2 < sqrt {5} <3 )

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Estima ( sqrt {60} ) entre dos números enteros consecutivos.

Respuesta

Piensa en los números cuadrados perfectos más cercanos a 60. Haz una pequeña tabla de estos cuadrados perfectos y sus raíces cuadradas.

Ubica 60 entre dos cuadrados perfectos consecutivos.
( sqrt {60} ) está entre sus raíces cuadradas.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Estima la raíz cuadrada ( sqrt {38} ) entre dos números enteros consecutivos.

Respuesta

(6 < sqrt {38} <7 )

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Estima la raíz cuadrada ( sqrt {84} ) entre dos números enteros consecutivos.

Respuesta

(9 < sqrt {84} <10 )

Raíces cuadradas aproximadas

Existen métodos matemáticos para aproximar raíces cuadradas, pero hoy en día la mayoría de la gente usa una calculadora para encontrarlas. Encuentra la tecla ( sqrt {x} ) en tu calculadora. Utilizará esta clave para aproximar raíces cuadradas.

Cuando usa su calculadora para encontrar la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto, la respuesta que ve no es la raíz cuadrada exacta. Es una aproximación precisa del número de dígitos que se muestra en la pantalla de su calculadora. El símbolo de una aproximación es ( approx ) y se lee "aproximadamente".

Suponga que su calculadora tiene una pantalla de 10 dígitos. Verías eso

( sqrt {5} approx 2.236067978 )

Si quisiéramos redondear ( sqrt {5} ) a dos lugares decimales, diríamos

( sqrt {5} approx 2.24 )

¿Cómo sabemos que estos valores son aproximaciones y no valores exactos? Mira lo que sucede cuando los cuadramos:

[ begin {matriz} {c} {(2.236067978) ^ 2 = 5.000000002} {(2.24) ^ 2 = 5.0176} end {matriz} ]

Sus cuadrados están cerca de 5, pero no son exactamente iguales a 5.

Usando la tecla de la raíz cuadrada en una calculadora y luego redondeando a dos lugares decimales, podemos encontrar:

[ begin {array} {c} { sqrt {4} = 2} { sqrt {5} approx 2.24} { sqrt {6} approx 2.45} { sqrt {7 } approx 2.65} { sqrt {8} approx 2.83} { sqrt {9} = 3} end {matriz} ]

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Redondea ( sqrt {17} ) a dos decimales.

Respuesta

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {17}} { text {Usa la tecla de raíz cuadrada de la calculadora.}} & {4.123105626 ...} { text {Redondea a dos decimales.}} & {4.12} {} & { sqrt {17} approx 4.12} end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Redondea ( sqrt {11} ) a dos decimales.

Respuesta

( aproximadamente 3.32 )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Redondea ( sqrt {13} ) a dos decimales.

Respuesta

( aprox 3.61 )

Simplificar expresiones variables con raíces cuadradas

¿Qué pasa si tenemos que encontrar una raíz cuadrada de una expresión con una variable? Considere ( sqrt {9x ^ 2} ). ¿Puedes pensar en una expresión cuyo cuadrado sea (9x ^ 2 )?

[ begin {array} {cc} {(?) ^ 2 = 9x ^ 2} & {} {(3x) ^ 2 = 9x ^ 2} & { text {so} sqrt {9x ^ 2 } = 3x} end {matriz} ]

Cuando usamos el signo radical para sacar la raíz cuadrada de una expresión variable, debemos especificar que x≥0x≥0 para asegurarnos de obtener el raíz cuadrada principal.

Sin embargo, en este capítulo asumiremos que cada variable en una expresión de raíz cuadrada representa un número no negativo, por lo que no escribiremos (x ge 0 ) junto a cada radical.

¿Qué pasa con las raíces cuadradas de potencias superiores de variables? Piense en la propiedad de potencia de los exponentes que usamos en el capítulo 6.

((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} )

Si elevamos al cuadrado (a ^ m ), el exponente se convertirá en 2m.

((a ^ m) ^ 2 = a ^ {2m} )

¿Cómo nos ayuda esto a echar raíces cuadradas? Veamos algunos:

[ begin {array} {cc} { sqrt {25u ^ 8} = 5u ^ 4} & { text {Porque} (5u ^ 4) ^ 2 = 25u ^ 8} { sqrt {16r ^ {20}} = 4r ^ {10}} & { text {Porque} (4r ^ {10}) ^ 2 = 16r ^ {20}} { sqrt {196q ^ {36}} = 14q ^ { 18}} & { text {Porque} (14r ^ {18}) ^ 2 = 196q ^ {36}} end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {x ^ 6} )
  2. ( sqrt {y ^ {16}} )
Respuesta

1.

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {x ^ 6}} { text {Desde} (x ^ 3) ^ 2 = x ^ 6} & {x ^ 3} end {matriz} ]

2.

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {y ^ {16}}} { text {Since} (y ^ 8) ^ 2 = y ^ {16}} & {y ^ 8} end {matriz} ]

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {y ^ 8} )
  2. ( sqrt {z ^ {12}} ).
Respuesta
  1. (y ^ 4 )
  2. (z ^ 6 )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {m ^ 4} )
  2. ( sqrt {b ^ {10}} ).
Respuesta
  1. (m ^ 2 )
  2. (b ^ 5 )

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Simplificar: ( sqrt {16n ^ 2} )

Respuesta

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {16n ^ 2}} { text {Since} (4n) ^ 2 = 16n ^ 2} & {4n} end {array } ]

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Simplifica: ( sqrt {64x ^ 2} ).

Respuesta

(8x )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Simplifica: ( sqrt {169y ^ 2} ).

Respuesta

(13 años )

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Simplifica: (- sqrt {81c ^ 2} ).

Respuesta

[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {81c ^ 2}} { text {Since} (9c) ^ 2 = 81c ^ 2} & {- 9c} end {formación}]

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Simplifica: (- sqrt {121y ^ 2} ).

Respuesta

(- 11 años )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Simplifica: (- sqrt {100p ^ 2} ).

Respuesta

(- 10p )

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Simplifica: ( sqrt {36x ^ {2} y ^ {2}} ).

Respuesta

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {36x ^ {2} y ^ {2}}} { text {Since} (6xy) ^ 2 = sqrt {36x ^ {2 } y ^ {2}}} y {6xy} end {matriz} ]

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Simplifica: ( sqrt {100a ^ {2} b ^ {2}} ).

Respuesta

10ab

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Simplifique: ( sqrt {225m ^ {2} n ^ {2}} ).

Respuesta

15mn

Ejemplo ( PageIndex {28} )

Simplifique: ( sqrt {64p ^ {64}} ).

Respuesta

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {64p ^ {64}}} { text {Since} (8p ^ 8) ^ 2 = sqrt {64p ^ {64}}} & {8p ^ 8} end {matriz} ]

Ejemplo ( PageIndex {29} )

Simplifica: ( sqrt {49x ^ {30}} ).

Respuesta

(7x ^ {15} )

Ejemplo ( PageIndex {30} )

Simplificar: ( sqrt {81w ^ {36}} )

Respuesta

(9w ^ {18} )

Ejemplo ( PageIndex {31} )

Simplificar: ( sqrt {121a ^ {6} b ^ {8}} )

Respuesta

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {121a ^ {6} b ^ {8}}} { text {Desde} (11a ^ {3} b ^ {4}) ^ 2 = sqrt {121a ^ {6} b ^ {8}}} & {11a ^ {3} b ^ {4}} end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Simplificar: ( sqrt {169x ^ {10} y ^ {14}} )

Respuesta

(13x ^ {5} y ^ {7} )

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Simplificar: ( sqrt {144p ^ {12} q ^ {20}} )

Respuesta

( sqrt {12p ^ {6} q ^ {10}} )

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con raíces cuadradas.

  • Raíces cuadradas

Conceptos clave

  • Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
  • Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. La raíz cuadrada positiva de un número positivo es la raíz cuadrada principal.
  • Podemos estimar raíces cuadradas usando cuadrados perfectos cercanos.
  • Podemos aproximar raíces cuadradas usando una calculadora.
  • Cuando usamos el signo radical para sacar la raíz cuadrada de una expresión variable, debemos especificar que (x ge 0 ) para asegurarnos de obtener la raíz cuadrada principal.

Glosario

cuadrado de un número
  • Si (n ^ 2 = m ), entonces m es el cuadrado de n
raíz cuadrada de un número
  • Si (n ^ 2 = m ), entonces n es una raíz cuadrada de m
notación de raíz cuadrada
  • Si (m = n ^ 2 ), entonces ( sqrt {m} = n ). Leemos ( sqrt {m} ) como "la raíz cuadrada de m".

13.8.1: Simplificar y usar raíces cuadradas - Matemáticas

A medida que avance en sus cursos universitarios, encontrará varias aplicaciones de raíces cuadradas. Una vez más, si usamos nuestra estrategia para las aplicaciones, ¡nos dará un plan para encontrar la respuesta!

Utilice una estrategia para aplicaciones con raíces cuadradas.

  1. Identifique lo que se le pide que busque.
  2. Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
  3. Traduce la frase a una expresión.
  4. Simplifica la expresión.
  5. Escribe una oración completa que responda a la pregunta.

RAÍZ CUADRADA

Raíz cuadrada de un número positivo. es igual a un número positivo. cuyo cuadrado es igual a. .

La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario. Si . y . son números positivos y. luego . dónde . es la unidad imaginaria.

¿QUÉ ES LA CALCULADORA DE RAÍZ CUADRADA?

  • Calcula la raíz cuadrada del número ingresado,
  • Da información adicional sobre ese número.

¿CÓMO USAR LA CALCULADORA DE RAÍCES CUADRADAS?

Puede utilizar la calculadora de raíz cuadrada de dos formas.

ENTRADAS DE USUARIO

Puede ingresar el radicando en el cuadro de entrada y hacer clic en el " CALCULAR ". El resultado y las explicaciones aparecen debajo de la calculadora

ENTRADAS ALEATORIAS

Puedes hacer click en el MORIR ICONO junto al cuadro de entrada. Si usa esta propiedad, se genera un número aleatorio y se ingresa a la calculadora, automáticamente. Puedes ver el resultado y las explicaciones debajo de la calculadora. Puede crear sus propios ejemplos y practicar con esta propiedad.

LIMPIEZA DE LA CAJA DE ENTRADA

Para verificar la raíz cuadrada de otro número, puede borrar el cuadro de entrada haciendo clic en el CLARO botón debajo del cuadro de entrada.

COPIAR Y DESCARGAR LA SOLUCIÓN

Puede copiar la solución generada haciendo clic en el enlace "Copiar texto", que aparece debajo del panel de la solución.

Incluso puede descargar la solución como un archivo de imagen con extensión .jpg si hace clic en el enlace "Descargar solución" en la parte inferior del panel de la solución. Puede compartir el archivo de imagen descargado.


Hoja de trabajo para resolver ecuaciones de raíz cuadrada 8vo grado

Usa la fórmula m y 2 y 1 x 1 x 1 para encontrar. Los estudiantes practican sacar el cuadrado y la raíz cúbica de cada lado de una ecuación.

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Hoja de trabajo para resolver ecuaciones con raíces cuadradas 8vo grado. Esta lección comienza con modelos concretos y termina con la práctica de notación algebraica. Algunas de las hojas de trabajo para este concepto son ecuaciones de raíz cuadrada resolver ecuaciones cuadráticas ley de raíz cuadrada resolver raíces cuadráticas resolver ecuaciones radicales matemáticas 154b nombrar la propiedad de la raíz cuadrada trabajar resolver ecuaciones con operaciones inversas matemáticas 154b nombrar resolver. Ecuaciones con raíces cuadradas.

Dimensiones de un cubo a partir de su volumen. Calcula la suma y el producto de las raíces. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos.

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Trabajar con la descripción de radicales y exponentes enteros. Resolver sistemas de ecuaciones graficando la resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución. Estadísticas que visualizan el centro de datos y la difusión de diagramas de dispersión de datos.

Introducción a las raíces cuadradas. Resolver ecuaciones de raíz cuadrada. Resolver ecuaciones de raíz cuadrada que muestran las 8 hojas de trabajo principales encontradas para este concepto.

Aplica la factorización prima y determina las raíces cuadradas de los primeros cincuenta cuadrados perfectos ofrecidos como números enteros positivos. Todas las hojas de trabajo creadas con preálgebra infinita. Las opciones incluyen el rango de radicandos que limita las raíces cuadradas a cuadrados perfectos, solo el tamaño de fuente, el espacio de trabajo, los formatos pdf o html y más.

Analiza la naturaleza de las raíces. Hojas de trabajo de ecuaciones de valor absoluto. Estas hojas de trabajo radicales son apropiadas para quinto grado, sexto grado, séptimo y octavo grado.

Practica resolver ecuaciones elevando al cuadrado o al cubo ambos lados. Resuelve las ecuaciones cuadráticas mediante la factorización completando la fórmula cuadrática cuadrada o los métodos de raíz cuadrada. En esta actividad de notas basada en el descubrimiento, los estudiantes podrán resolver ecuaciones que involucren soluciones de raíz cuadrada y cúbica.

Usa los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x 2 p y x 3 p donde p es un número racional positivo. Haga clic en el enlace para obtener un conjunto extenso de hojas de trabajo sobre ecuaciones cuadráticas. Raíces cuadradas Raíces cúbicas.

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Simplificar la raíz cuadrada negativa de 125

Observe que 125 no es un cuadrado perfecto y que hay un signo negativo fuera del radical.

El signo negativo fuera del radical significa que nuestra respuesta será negativa, pero realmente no tenemos que preocuparnos por eso hasta el final.

Nuestro primer trabajo es pensar en los factores de 125. En particular, queremos que uno de esos factores sea un cuadrado perfecto.

Resulta perfecto que los factores principales para 125 son 5 y 25. ¡25 es un cuadrado perfecto y esto nos permite seguir simplificando esta raíz cuadrada!

Ahora podemos reescribir la raíz cuadrada de esta manera:

¿Entonces, cómo estás? ¡Este no es un proceso tan malo cuando piensas en simplificar en términos de cuadrados perfectos!

Echemos un vistazo a un ejemplo más. ¡Este es un poco diferente!


Simplificar raíces cuadradas (radicales) que tienen fracciones

En estas lecciones, veremos algunos ejemplos de simplificación de fracciones dentro de una raíz cuadrada (o radical). Algunas técnicas utilizadas son: encontrar la raíz cuadrada del numerador y denominador por separado, reducir la fracción y cambiar a fracción impropia.

Numerador y denominador de amplificador separados

UNA. La raíz cuadrada de algunas fracciones se puede determinar encontrando la raíz cuadrada del numerador y el denominador por separado.

Para cualquier número positivo xey,
( sqrt < frac> = frac << sqrt x >> << sqrt y >> )

En otras palabras, la raíz cuadrada de una fracción es una fracción de raíces cuadradas.

Reducir fracción

B. Algunas fracciones se pueden reducir a fracciones con cuadrados perfectos como numerador y denominador. Luego, la raíz cuadrada de la fracción simplificada se puede determinar como se muestra en el siguiente ejemplo.

Cambiar a fracción impropia

C. Para un número mixto, cámbielo a una fracción impropia antes de encontrar la raíz cuadrada.

Solución:

¿Cómo simplificar fracciones dentro de una raíz cuadrada?

¿Cómo simplificar raíces cuadradas en el denominador de una fracción?

Raíces cuadradas de fracciones / números racionales

Encontrar el cuadrado de números racionales para cuadrados perfectos y estimar cuadrados no perfectos.

Regla del cociente y amplificación de raíces cuadradas

Una introducción a la regla del cociente para raíces cuadradas y radicales y cómo usarla para simplificar expresiones que contienen radicales.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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¡Simplifique los radicales en 4 sencillos pasos!



Comience haciendo que los estudiantes enumeren los cuadrados perfectos en su papel tomando cada número natural y elevándolo al cuadrado. Estos cuadrados perfectos serán clave para dominar con éxito este concepto. Entonces, hago que los estudiantes enumeren los cuadrados perfectos en la parte superior de la página de tareas también.

Verá, cuento una pequeña historia que acompaña a esta lección. El símbolo radical es la cárcel y los únicos números que pueden salir de la cárcel son los cuadrados perfectos. Cuando explotan, deben cambiar su identidad para que no los atrapen. Entonces, 36 escapa de la cárcel y cambia su identidad a 6, etc. Todos los demás números no se pueden simplificar y, por lo tanto, quedan atrapados en la cárcel.



El primer paso con este método es encontrar dos números que se multipliquen para igualar el radicando. Uno de los números debe ser un cuadrado perfecto.


Por ejemplo, simplifica




Nunca usaremos el número 1 (aunque sea un cuadrado perfecto) por razones obvias. Entonces, 1 y 12 están fuera.


Paso 2: Uno de los números debe estar & # 8220en la lista. & # 8221 Esto elimina la opción de 2 & amp 6 porque ninguno de los números es un cuadrado perfecto. 3 y 4 funcionarán porque 4 es un cuadrado perfecto y está & # 8220 en la lista & # 8221.


** Nota: Si ambos números son cuadrados perfectos, eso significa que el número original también es un cuadrado perfecto. No es necesario que continúe con los pasos, coloque la raíz cuadrada del número original. Ejemplo: 9 por 16 es igual a 144, ¡que es un cuadrado perfecto en sí mismo!


Paso 3: Saca la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. Este número sale de la cárcel y cambia de identidad una vez en el exterior.


Para este ejemplo, ¿qué número es el cuadrado perfecto? ¿Qué número puede salir de la cárcel? ¿Cuál es la raíz cuadrada de 4? La raíz cuadrada de 4 es 2. 3 no puede escapar de la cárcel. Entonces, está atrapado adentro. La respuesta final es 2 raíz 3.

Paso 4: Verifique el número dentro del radical. ¿Tiene algún factor que sea cuadrados perfectos? Si no es así, ¡hemos terminado! Si es así, repita el proceso comenzando con el paso 1.


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NUEVA INFORMACIÓN / APLICACIÓN

Pida a las mismas parejas de estudiantes que realicen la Actividad 2 de la HOJA DE TRABAJO DE RAÍZ CUADRADA.docx.

Pronto descubren que el área de GUMS es de 5 unidades cuadradas, pero pueden quedarse perplejos al encontrar la longitud de GU. Algunos estudiantes pueden decir 2.5. Anime a estos estudiantes a cuadrar 2.5. Deberían ver que están equivocados. Pídales que encuentren un número que cuando al cuadrado dé 5. Es posible que pronto digan que es imposible.

Cuando los estudiantes parezcan listos, dígale a la clase que la longitud de un lado de un cuadrado cuya área es x se llama raíz cuadrada de x. Utilice la tarea actual como ejemplo. La longitud de GU es la raíz cuadrada de 5, √5. Pídales que encuentren la raíz cuadrada de 5 con sus calculadoras y verán.

A menudo ocurre que el cálculo de √5 provoca otra discusión sobre los números irracionales. Indique que números como 9, cuya raíz cuadrada es un número entero, se llaman "cuadrados perfectos", y que el resto de las raíces cuadradas de los números son números irracionales, como √5.

Me gusta hacer una digresión en nuestra conversación en este momento. Les pido a los estudiantes que identifiquen los cuadrados perfectos del 1 al 100. Para aquellos que realmente no conocen los cuadrados perfectos, esto puede sonar abrumador. Pero obtienen el patrón después de los primeros números.

Yo digo. "Ok, es 1 un cuadrado perfecto. 1 por 1 es. 1 . está bien. Siguiente. (si siento una pausa, digo. Vamos 2 veces 2) "Dicen 4. Después de este punto, por lo general se ponen en marcha, pero pueden decir 8 o 10. Y rápidamente pregunto. ¿Qué tiempos me dan 8? Entonces, Me gusta hacer esto hasta que la clase identifique todos los cuadrados perfectos del 1 al 100.

Haga este ejercicio dos o tres veces. Luego, termino la digresión diciendo que en la Actividad 1, la raíz cuadrada de 9 es 3, porque un cuadrado con área 9 tiene el lado 3. Les muestro que la respuesta a la raíz cuadrada de 5 se escribe √5.


13.8.1: Simplificar y usar raíces cuadradas - Matemáticas

Si dejas caer un huevo de un edificio, ¿cuánto tiempo tardarás en llegar al suelo?

En la clase de física del Sr. Fraser, los estudiantes están haciendo un experimento desordenado: están tirando huevos del techo del edificio de ciencias para ver cuánto tardan en llegar al suelo. (Para minimizar la limpieza, han colocado lonas por adelantado). Antes de realizar el experimento, el Sr. Fraser pide a los estudiantes que enumeren los factores que creen que afectarán el experimento. La mayoría de los estudiantes piensan que el peso del huevo determinará parcialmente el tiempo que tarda en llegar al suelo. Pero el Sr. Fraser propone que hay & # 8217 en realidad una fórmula simple que pueden usar para calcular cuánto tardarán los huevos en llegar al suelo: la raíz cuadrada de la altura desde la que se deja caer el huevo, dividida por [látex] 4 [ /látex]. Para saber si el Sr. Fraser dice la verdad, los estudiantes deberán simplificar expresiones con raíces cuadradas. Siga leyendo para descubrir cómo hacerlo.

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

Cuestionario de preparación

Si te perdiste este problema, revisa este video.

Si se perdió este problema, revise el siguiente video.

Si se perdió este problema, revise el video a continuación.


Métodos para encontrar la raíz cuadrada

01. Utilizando factores primos

Analicemos este método a través de ejemplos.

Encuentra la raíz cuadrada de 144.

Primero tienes que dividir 144 por sus factores primos de la siguiente manera.

144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Ahora separe los factores anteriores en dos grupos por igual.

144 = (2 x 2 x 3) x (2 x 2 x 3)
Al usar la notación de índice podemos expresar,
144 = (2 x 2 x 3) 2

Halla la raíz cuadrada de 324.

324 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
324 = (2 x 3 x 3) x (2 x 3 x 3)
= (2 x 3 x 3) 2

El área de una tierra de forma cuadrada es 256 m 2 . Calcula la longitud de un lado del terreno.

02. Por observación

Anteriormente discutimos el dígito en el lugar de las unidades de los cuadrados perfectos. Como puede recordar, voy a resumir eso de otra manera.

Dígito en el lugar de las unidades del cuadrado perfecto Dígito en el lugar de las unidades de la raíz cuadrada
1 1 o 9
4 2 u 8
5 5
6 4 o 6
9 3 o 7
0 0

Sabemos que 64 es un cuadrado perfecto.

Entonces, cuando consideramos la raíz cuadrada de 64, es,

El dígito en el lugar de las unidades del cuadrado perfecto es 64 es 4.

De acuerdo con la tabla anterior, el dígito de la raíz cuadrada debe ser 2 o 8. Como puedes ver es 8.

De ahora en adelante, usaremos esta tabla para encontrar la raíz cuadrada.

Halla la raíz cuadrada de 784.

Este es un número de tres dígitos. Entonces, debes considerar el dígito en el lugar de las centenas para encontrar el dígito en el lugar de las decenas de la raíz cuadrada.

Dejemos que & # 8217s siga los pasos en orden.

Primero verifique el dígito en el lugar de las unidades. Es 4.

Entonces, el dígito en el lugar de las unidades de la raíz cuadrada será 2 o 8.

Ahora busquemos & # 8217s el dígito en el lugar de las decenas de la raíz cuadrada.

Para eso, tenemos que considerar el dígito de las centenas que es 7.
Ahora tenemos que encontrar la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. cerca de 7 y menos de 7.
Cuadrado perfecto más cerca de 7 y menos de 7 es 4 y la raíz cuadrada de 4 es 2.

Entonces el dígito del espacio en blanco será 2. Eso hace que la raíz cuadrada de 784 es 22 o 28.

Para comprobar la respuesta correcta tienes que multiplicarlos y ver.

Creo que esta lección es clara para ti. Intente hacer más ejercicios y aumente su velocidad.

Espero discutir sobre la multiplicación de la raíz cuadrada de otro artículo.

Si un número es el cuadrado de otro número, entonces el segundo número es la raíz cuadrada del primer número.

El símbolo de raíz cuadrada es

El cuadrado de un entero positivo se llama Cuadrado perfecto.