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10.3: Encuentra la ecuación de una recta


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Encuentra una ecuación de la línea dada la pendiente y la intersección con el eje y
  • Encuentra una ecuación de la línea dada la pendiente y un punto
  • Encuentra una ecuación de la recta dados dos puntos
  • Encuentra una ecuación de una línea paralela a una línea dada
  • Encuentra una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Resuelve: ( frac {2} {3} = frac {x} {5} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 2.2.4.
  2. Simplifica: (- frac {2} {5} (x − 15) ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.10.34.

¿Cómo saben los minoristas en línea que "a usted también le puede gustar" un artículo en particular basado en algo que acaba de pedir? ¿Cómo pueden los economistas saber cómo afectará un aumento del salario mínimo a la tasa de desempleo? ¿Cómo crean los investigadores médicos medicamentos para atacar las células cancerosas? ¿Cómo pueden los ingenieros de tráfico predecir el efecto en el tiempo de viaje de un aumento o disminución en los precios de la gasolina? Todo son matemáticas.

Se encuentra en un punto emocionante de su viaje matemático, ya que las matemáticas que está estudiando tienen aplicaciones interesantes en el mundo real.

Las ciencias físicas, las ciencias sociales y el mundo empresarial están llenos de situaciones que pueden modelarse con ecuaciones lineales que relacionan dos variables. Los datos se recopilan y grafican. Si los puntos de datos parecen formar una línea recta, se puede usar una ecuación de esa línea para predecir el valor de una variable en función del valor de la otra variable.

Para crear un modelo matemático de una relación lineal entre dos variables, debemos poder encontrar la ecuación de la línea. En esta sección veremos varias formas de escribir la ecuación de una línea. El método específico que utilicemos estará determinado por la información que se nos proporcione.

Encuentre una ecuación de la recta dada la pendiente y y-Interceptar

Podemos determinar fácilmente la pendiente y la intersección de una línea si la ecuación se escribió en forma pendiente-intersección, y = mx + b. Ahora, haremos lo contrario: comenzaremos con la pendiente y y-interceptarlos y usarlos para encontrar la ecuación de la línea.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentre una ecuación de una recta con pendiente −7 y y-intercepción (0, −1).

Respuesta

Dado que se nos da la pendiente y y-intercepto de la recta, podemos sustituir los valores necesarios en la forma pendiente-intersección, y = mx + b.

Nombra la pendiente.
Nombra el y-interceptar.
Sustituye los valores en y = mx + b.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente ( frac {2} {5} ) y y-intercepción (0,4).

Respuesta

(y = frac {2} {5} x + 4 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentre una ecuación de una recta con pendiente −1 y y-intercepción (0, −3).

Respuesta

(y = −x − 3 )

A veces, la pendiente y la intersección deben determinarse a partir del gráfico.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra.

Respuesta

Necesitamos encontrar la pendiente y y-intercepto de la línea de la gráfica para que podamos sustituir los valores necesarios en la forma pendiente-intersección, y = mx + por = mx + b.

Para encontrar la pendiente, elegimos dos puntos en la gráfica.

La y-intercepto es (0, −4) y la gráfica pasa por (3, −2).

Calcula la pendiente contando la subida y corriendo.
Encuentra el y-interceptar.
Sustituye los valores en y = mx + b.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en la gráfica.

Respuesta

(y = frac {3} {5} x + 1 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en la gráfica.

Respuesta

(y = frac {4} {3} x − 5 )

Hallar una ecuación de la recta dada la pendiente y un punto

Encontrar una ecuación de una línea usando la forma pendiente-intersección de la ecuación funciona bien cuando se le da la pendiente y y-intercepción o cuando los lee en un gráfico. Pero, ¿qué pasa cuando tienes otro punto en lugar del y-¿interceptar?

Usaremos la fórmula de la pendiente para derivar otra forma de ecuación de la línea. Supongamos que tenemos una línea que tiene una pendiente mm y que contiene algún punto específico ((x_ {1}, y_ {1}) ) y algún otro punto, que simplemente llamaremos (x, y). Podemos escribir la pendiente de esta línea y luego cambiarla a una forma diferente.

( begin {array} {lrll} & m & = frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} text {Multiplica ambos lados de la ecuación por} x − x_ {1} . & m left (x-x_ {1} right) & = left ( frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} right) left (x-x_ {1} right) text {Simplify.} & m left (x-x_ {1} right) & = y-y_ {1} text {Reescribe la ecuación con los términos y a la izquierda.} & y- y_ {1} & = m left (x-x_ {1} right) end {array} )

Este formato se llama la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea.

FORMA PUNTO-PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

La forma punto-pendiente de una ecuación de una recta con pendiente mm y que contiene el punto ((x_ {1}, y_ {1}) ) es

Podemos usar la forma punto-pendiente de una ecuación para encontrar la ecuación de una línea cuando se nos da la pendiente y un punto. Luego, reescribiremos la ecuación en forma pendiente-intersección. La mayoría de las aplicaciones de ecuaciones lineales utilizan la forma pendiente-intersección.

Ejercicio ( PageIndex {7} ): Encuentre una ecuación de una línea dada la pendiente y un punto

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente (m = frac {2} {5} ) que contenga el punto (10,3). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta




Ejercicio ( PageIndex {8} )

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente (m = frac {5} {6} ) y que contenga el punto (6,3).

Respuesta

(y = frac {5} {6} x − 2 )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente (m = frac {2} {3} ) y que contenga el punto (9,2).

Respuesta

(y = frac {2} {3} x − 4 )

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA DADA LA PENDIENTE Y UN PUNTO.

  1. Identifica la pendiente.
  2. Identifica el punto.
  3. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  4. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente (m = - frac {1} {3} ) que contiene el punto (6, −4). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

Como se nos da un punto y la pendiente de la línea, podemos sustituir los valores necesarios en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).

Identifica la pendiente.
Identifica el punto.
Sustituye los valores en (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
Simplificar.
Escribe en forma pendiente-intersección.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente (m = - frac {2} {5} ) y que contenga el punto (10, −5).

Respuesta

(y = - frac {2} {5} x − 1 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente (m = - frac {3} {4} ) y que contenga el punto (4, −7).

Respuesta

(y = - frac {3} {4} x − 4 )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Encuentre una ecuación de una línea horizontal que contenga el punto (−3,8).

Respuesta

y = 8

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentre una ecuación de una línea horizontal que contenga el punto (−1,4).

Respuesta

y = 4

Hallar una ecuación de la recta dados dos puntos

Cuando se recopilan datos del mundo real, se puede crear un modelo lineal a partir de dos puntos de datos. En el siguiente ejemplo, veremos cómo encontrar la ecuación de una línea cuando solo se dan dos puntos.

Hasta ahora tenemos dos opciones para encontrar la ecuación de una línea: pendiente-intersección o punto-pendiente. Como conoceremos dos puntos, tendrá más sentido usar la forma punto-pendiente.

Pero luego necesitamos la pendiente. ¿Podemos encontrar la pendiente con solo dos puntos? Si. Luego, una vez que tenemos la pendiente, podemos usarla y uno de los puntos dados para encontrar la ecuación.

Ejercicio ( PageIndex {16} ): Encuentra una ecuación de una línea dados dos puntos

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (5,4) y (3,6). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

Usa el punto (3,6) y observa que obtienes la misma ecuación.

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (3,1) y (5,6).

Respuesta

(y = frac {5} {2} x− frac {13} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (1,4) y (6,2).

Respuesta

(y = - frac {2} {5} x + frac {22} {5} )

ENCUENTRA UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA DADOS DOS PUNTOS.

  1. Encuentra la pendiente usando los puntos dados.
  2. Elija un punto.
  3. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  4. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (−2, −4) y (1, −3).

Respuesta

(y = frac {1} {3} x− frac {10} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (−4, −3) y (1, −5).

Respuesta

(y = - frac {2} {5} x− frac {23} {5} )

Ejercicio ( PageIndex {22} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (−2,4) y (−2, −3). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

Nuevamente, el primer paso será encontrar la pendiente.

( begin {array} {lrl} text {Encuentra la pendiente de la recta que pasa por} (- 2,4) text {y} (- 2, -3) & & & & m & = & frac {y_ {2} -x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} & m & = & frac {-3-4} {- 2 - (- 2)} & m & = & frac {-7} {0} text {La pendiente no está definida.} & & & end {array} )

Esto nos dice que es una línea vertical. Ambos de nuestros puntos tienen un X-coordinada de −2. Entonces nuestra ecuación de la línea es x = −2. Como no hay yy, no podemos escribirlo en forma pendiente-intersección.

Es posible que desee esbozar un gráfico utilizando los dos puntos dados. ¿Coincide el gráfico con nuestra conclusión de que se trata de una línea vertical?

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (5,1) y (5, −4).

Respuesta

x = 5

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (−4,4) y (−4,3).

Respuesta

x = −4

Hemos visto que podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de una línea. El formulario que utilicemos dependerá de la información que se nos proporcione. Esto se resume en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Escribir una ecuación de una recta
Si se le da:Usar:Formulario:
Pendiente y y-interceptarintersección de la pendientey = mx + b
Pendiente y un puntopunto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) )
Dos puntospunto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) )
Tabla ( PageIndex {1} )

Encontrar una ecuación de una línea paralela a una línea dada

Suponga que necesitamos encontrar una ecuación de una línea que pasa por un punto específico y es paralela a una línea dada. Podemos usar el hecho de que las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces tendremos un punto y la pendiente, justo lo que necesitamos para usar la ecuación punto-pendiente.

Primero veamos esto gráficamente.

La gráfica muestra la gráfica de y = 2x − 3. Queremos graficar una línea paralela a esta línea y que pase por el punto (−2,1).

Sabemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces, la segunda línea tendrá la misma pendiente que y = 2x − 3. Esa pendiente es (m _ { |} = 2 ). Usaremos la notación (m _ { |} ) para representar la pendiente de una línea paralela a una línea con pendiente m. (Observe que el subíndice ∥ parece dos líneas paralelas).

La segunda línea pasará por (−2,1) y tendrá m = 2. Para graficar la línea, comenzamos en (−2,1) y contamos el ascenso y la ejecución. Con m = 2 (o (m = frac {2} {1} )), contamos la subida 2 y la carrera 1. Trazamos la línea.

¿Las líneas parecen paralelas? ¿La segunda línea pasa por (−2,1)?

Ahora, veamos cómo hacer esto algebraicamente.

Podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de una línea. Aquí conocemos un punto y podemos encontrar la pendiente. Entonces usaremos la forma punto-pendiente.

Ejercicio ( PageIndex {25} ): Cómo encontrar una ecuación de una línea paralela a una línea dada

Encuentre una ecuación de una línea paralela ay = 2x − 3 que contenga el punto (−2,1). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

¿Tiene sentido esta ecuación? Cuál es el y-intercepción de la línea? Cual es la pendiente?

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Encuentre una ecuación de una línea paralela a la línea y = 3x + 1 que contiene el punto (4,2). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

y = 3x − 10

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Encuentra una ecuación de una línea paralela a la línea (y = frac {1} {2} x − 3 ) que contiene el punto (6,4).

Respuesta

(y = frac {1} {2} x + 1 )

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA PARALELA A UNA LÍNEA DADA.

  1. Calcula la pendiente de la recta dada.
  2. Calcula la pendiente de la línea paralela.
  3. Identifica el punto.
  4. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  5. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Encontrar una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada

Ahora, consideremos las líneas perpendiculares. Suponga que necesitamos encontrar una línea que pase por un punto específico y que sea perpendicular a una línea dada. Podemos usar el hecho de que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. Usaremos nuevamente la ecuación punto-pendiente, como hicimos con las líneas paralelas.

La gráfica muestra la gráfica de y = 2x − 3. Ahora, queremos graficar una línea perpendicular a esta línea y que pase por (−2,1).

Sabemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas. Usaremos la notación (m _ { perp} ) para representar la pendiente de una línea perpendicular a una línea con pendiente m. (Observe que el subíndice (_ { perp} ) se parece a los ángulos rectos formados por dos líneas perpendiculares).

[ begin {array} {cl} {y = 2 x-3} & { text {línea perpendicular}} {m = 2} & {m _ { perp} = - frac {1} {2 }} end {matriz} ]

Ahora sabemos que la línea perpendicular pasará por (−2,1) con (m _ { perp} = - frac {1} {2} ).

Para graficar la línea, comenzaremos en (−2,1) y contaremos la subida −1 y la carrera 2. Luego trazamos la línea.

¿Las líneas parecen perpendiculares? ¿La segunda línea pasa por (−2,1)?

Ahora, veamos cómo hacer esto algebraicamente. Podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de una línea. En este ejemplo, conocemos un punto y podemos encontrar la pendiente, por lo que usaremos la forma punto-pendiente.

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular ay = 2x − 3 que contenga el punto (−2,1). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta





Ejercicio ( PageIndex {29} )

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a la línea y = 3x + 1 que contiene el punto (4,2). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

(y = - frac {1} {3} x + frac {10} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Encuentra una ecuación de una línea perpendicular a la línea (y = frac {1} {2} x − 3 ) que contiene el punto (6,4).

Respuesta

y = −2x + 16

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA PERPENDICULAR A UNA LÍNEA DADA.

  1. Calcula la pendiente de la recta dada.
  2. Calcula la pendiente de la recta perpendicular.
  3. Identifica el punto.
  4. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  5. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular ax = 5 que contenga el punto (3, −2). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

Nuevamente, dado que conocemos un punto, la opción punto-pendiente parece más prometedora que la opción pendiente-intersección. Necesitamos la pendiente para usar esta forma, y ​​sabemos que la nueva línea será perpendicular ax = 5. Esta línea es vertical, por lo que su perpendicular será horizontal. Esto nos dice (m _ { perp} = 0 ).

( begin {array} {lrll} { text {Identifica el punto.}} & {(3} & {,} & {- 2)} { text {Identifica la pendiente de la línea perpendicular.} } & {m _ { perp}} & {=} & {0} { text {Sustituye los valores en} y-y_ {1} = m left (x-x_ {1} right).} & {y-y_ {1}} & {=} & {m left (x-x_ {1} right)} {} & {y - (- 2)} & {=} & {0 ( x − 3)} { text {Simplify.}} & {y + 2} & {=} & {0} & {y} & {=} & {- 2} end {array} )

Dibuja la gráfica de ambas líneas. ¿Parecen ser perpendiculares?

Ejercicio ( PageIndex {32} )

Encuentra una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea x = 4 que contiene el punto (4, −5). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

y = −5

Ejercicio ( PageIndex {33} )

Encuentra una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea x = 2 que contiene el punto (2, −1). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

y = −1

En el ejercicio ( PageIndex {31} ), usamos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación. Podríamos haber visto esto de otra manera.

Queremos encontrar una línea que sea perpendicular ax = 5 que contenga el punto (3, −2). La gráfica nos muestra la línea x = 5 y el punto (3, −2).

Sabemos que cada línea perpendicular a una línea vertical es horizontal, por lo que trazaremos la línea horizontal a través de (3, −2).

¿Las líneas parecen perpendiculares?

Si miramos algunos puntos en esta línea horizontal, notamos que todos tienen y-coordenadas de −2. Entonces, la ecuación de la línea perpendicular a la línea vertical x = 5 es y = −2.

Ejercicio ( PageIndex {34} )

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular ay = −4 que contenga el punto (−4,2). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

La línea y = −4 es una línea horizontal. Cualquier línea perpendicular a ella debe ser vertical, en la forma x = a. Dado que la línea perpendicular es vertical y pasa por (−4,2), cada punto en ella tiene un X-coordinada de −4. La ecuación de la recta perpendicular es x = −4. Es posible que desee dibujar las líneas. ¿Parecen perpendiculares?

Ejercicio ( PageIndex {35} )

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea y = 1 que contiene el punto (−5,1). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Respuesta

x = −5

Ejercicio ( PageIndex {36} )

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea y = −5 que contiene el punto (−4, −5).

Respuesta

x = −4

Conceptos clave

  • Para encontrar una ecuación de una línea dada la pendiente y un punto
    1. Identifica la pendiente.
    2. Identifica el punto.
    3. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    4. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.
  • Para encontrar una ecuación de una recta dados dos puntos
    1. Encuentra la pendiente usando los puntos dados.
    2. Elija un punto.
    3. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    4. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.
  • Escribir y ecuación de una línea
    • Si se le da una pendiente y (y ) - intersección, use la forma pendiente – intersección (y = mx + b ).
    • Si se le da una pendiente y un punto, use la forma punto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    • Si se le dan dos puntos, use la forma punto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  • Para encontrar una ecuación de una línea paralela a una línea dada
    1. Calcula la pendiente de la recta dada.
    2. Calcula la pendiente de la línea paralela.
    3. Identifica el punto.
    4. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    5. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.
  • Para encontrar una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada
    1. Calcula la pendiente de la recta dada.
    2. Calcula la pendiente de la recta perpendicular.
    3. Identifica el punto.
    4. Sustituye los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    5. Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

Glosario

forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente de una ecuación de una recta con pendiente mm y que contiene el punto ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) es (y-y_ {1} = m left (x-x_ {1} derecha) ).

Encuentre la ecuación de una línea dada su pendiente y un punto en la línea

Ahora veremos cómo usar la forma punto-pendiente para obtener la ecuación de una línea dada su pendiente y un punto en la línea.

Ejemplo :

Encuentra la ecuación de una recta con pendiente & ndash3 y que pasa por (& ndash2, 1).

Paso 1 : Escriba la forma punto-pendiente

Paso 2 : Sustituya la pendiente & ndash3 y las coordenadas del punto (& ndash2, 1) en la forma punto-pendiente.

Paso 3 : Simplifica la ecuación

La ecuación requerida es y = & ndash3X & menos 5

Usando la pendiente-intersección para obtener la ecuación

Ejemplo :

Encuentra la ecuación de una recta con pendiente & ndash y que pasa por (& ndash3, 1).

Paso 1: Sustituir metro = & ndash, X = & ndash3 y y = 1 en la ecuación y = mx + c para obtener el valor de C.

Paso 2: Escribe la ecuación de la recta.

La ecuación requerida es o 2y = & ndash3X & ndash 7

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Ej 10.3 Clase 11 Matemáticas Pregunta 1.
Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma pendiente-intersección y encuentre sus pendientes y las intersecciones y.
(I) x + 7y = 0,
(ii) 6x + 3y-5 = 0,
(iii) y = 0
Solución:
(I) Hemos dado una ecuación x + 7y = 0, que se puede escribir en la forma
⇒ 7y = & # 8211 x ⇒ y = x + 0 & # 8230 (1)
Además, la forma de intersección de la pendiente es y-mx + c & # 8230 (2)
Al comparar (1) y (2), obtenemos
m =, c = 0
Por lo tanto, la pendiente es y la intersección con el eje y = 0.

(ii) Hemos dado una ecuación 6x + 3y & # 8211 5 = 0, que se puede escribir en la forma 3y = & # 8211 6x + 5
⇒ y = & # 8211 2x + & # 8230 (1)
Además, la forma de intersección de la pendiente es y = mx + c & # 8230 (2)
Al comparar (1) y (2), obtenemos
m = & # 8211 2 y c =
es decir, pendiente = & # 8211 2 y la intersección con el eje y =

(iii) Hemos dado una ecuación y = 0
y = 0 · x + 0 & # 8230 (1)
Además, la forma de intersección de la pendiente es y = mx + c & # 8230 (2) Al comparar (1) y (2), obtenemos
m = 0, c = 0.
Por lo tanto, la pendiente es 0 y la intersección con el eje y es 0.

Ej 10.3 Pregunta 2 de matemáticas de la clase 11.
Reduzca las siguientes ecuaciones en forma de intersección y encuentre sus intersecciones en los ejes.
(I) 3x + 2y & # 8211 12 = 0,
(ii) 4x & # 8211 3y = 6,
(iii) 3 años + 2 = 0
Solución:
(I) La ecuación dada es 3x + 2y & # 8211 12 = 0 Tenemos que reducir la ecuación dada en forma de intersección, es decir, & # 8230 (1)
Ahora dado, 3x + 2y = 12
⇒ ⇒ …(2)
Al comparar (1) y (2), obtenemos a = 4, b = 6 Por lo tanto, las intersecciones de la línea son 4 y 6.

(ii) La ecuación dada es 4x & # 8211 3y = 6
Tenemos que reducir la ecuación dada en forma de intersección, es decir, & # 8230 (1)
…(2)
Al comparar (1) y (2), obtenemos
a = y b = & # 8211 2
Por lo tanto, las intersecciones de la línea son y -2.

(iii) La ecuación dada es 3y + 2 = 0
Tenemos que reducir la ecuación dada en forma de intersección, es decir,
3y = -2
⇒ y =
La ecuación anterior muestra que no es la ecuación requerida de la forma de intersección, ya que es paralela al eje x.
Observamos que la intersección con el eje y de la línea es, pero no hay intersección en el eje x.

Ej 10.3 Pregunta 3 de matemáticas de la clase 11.
Reduzca las siguientes ecuaciones a su forma normal. Encuentre sus distancias perpendiculares desde el origen y el ángulo entre la perpendicular y el eje x positivo.
(I) x & # 8211 + 8 = 0,
(ii) y-2 = 0,
(iii) x-y = 4.
Solución:
(I) La ecuación dada es x & # 8211 + 8 = 0
x & # 8211 = -8
-x + = 8 & # 8230 (i)
También,

Ahora dividiendo ambos lados de (1) por 2, obtenemos

⇒ & # 8211 cos 60 ° x + sen 60 ° y = 4.

⇒ cos 120 ° x + sen 120 ° y = 4
∴ x cos 120 ° + y sin 120 ° = 4 es la ecuación requerida en forma normal
∵ La forma normal es x coso) + y sin⍵ = p
Entonces, ⍵ = 120 ° y p = 4
⍵ La distancia de la línea desde el origen es 4 y el ángulo entre el eje x perpendicular y positivo es 120 °.

(ii) La ecuación dada es y & # 8211 2 = 0
⇒ y = 2
⇒ 0 · x + l · y = 2
⇒ x cos 90 ° + y sen 90 ° = 2 es la ecuación requerida en forma normal
∵ La forma normal es x cos⍵ + y sin⍵ = p
Entonces, ⍵ = 90 ° y p = 2
⍵ La distancia de la línea desde el origen es 2 y el ángulo entre el eje x perpendicular y positivo es 90 °.

(iii) La ecuación dada es x & # 8211 y = 4 & # 8230 (1)
También

Ahora dividiendo ambos lados de (1) bt, obtenemos

es la ecuación requerida en forma normal.
∵ La forma normal es x cos⍵ + y sin⍵ = p
Entonces, P = y ⍵ = 315 °
∴ La distancia de la línea desde el origen es y el ángulo entre la perpendicular y el eje x positivo es 315 °.

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 4.
Encuentre la distancia del punto (-1, 1) desde la línea 12 (x + 6) = 5 (y - 2).
Solución:
La ecuación de la recta es 12 (x + 6) = 5 (y & # 8211 2) & # 8230 (i)
⇒ 12x + 72 = 5y-10
⇒ 12x & # 8211 5 años + 82 = 0
∴ Distancia del punto (-1, 1) a la línea (i)

Ej 10.3 Matemáticas de la clase 11 Pregunta 5.
Encuentra los puntos en el eje x, cuyas distancias desde la línea son 4 unidades.
Solución:
Tenemos una ecuación de recta, que se puede escribir como
4x + 3y & # 8211 12 = 0 & # 8230 (i)
Sea (a, 0) el punto en el eje x cuya distancia desde la línea (i) es de 4 unidades.

Ej 10.3 Pregunta 6 de matemáticas de la clase 11.
Encuentra la distancia entre líneas paralelas
(I) 15x + 8y-34 = 0 y 15x + 8y + 31 = 0
(ii) | (x + y) + p = 0 y | (x + y) & # 8211 r = 0.
Solución:
Si las líneas son Ax + By + Q = 0
y Ax + By + C2 = 0, luego la distancia entre

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 7.
Encuentre la ecuación de la línea paralela a la línea 3x & # 8211 4y + 2 = 0 y que pasa por el punto (-2, 3).
Solución:
Hemos dado una ecuación de la línea 3x & # 8211 4y + 2 = 0
Pendiente de la línea (i) =
Por lo tanto, la pendiente de cualquier línea paralela a la línea dada (i) es y pasa por (-2, 3), entonces su ecuación es

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 8.
Encuentre la ecuación de la línea perpendicular a la línea x & # 8211 7y + 5 = 0 y teniendo x intersección 3.
Solución:
La ecuación dada es x & # 8211 7y + 5 = 0 & # 8230 (i)
Pendiente de esta línea =
∴ La pendiente de cualquier línea perpendicular a la línea (i) es -7 y pasa por (3, 0) luego
y & # 8211 0 = -7 (x & # 8211 3)
[∵ El producto de la pendiente de las líneas perpendiculares es -1]
⇒ y = -7x + 21
⇒ 7x + y & # 8211 21 = 0, es la ecuación requerida de la recta.

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 9.
Encuentra ángulos entre las líneas + y = 1 y x + = 1.
Solución:
Las ecuaciones dadas son
+ y = 1 & # 8230 (i)
x + = 1 & # 8230 (ii)
Dado que tenemos que encontrar un ángulo entre las dos líneas, es decir, primero tenemos que encontrar las pendientes de (i) y (ii).

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 10.
La línea que pasa por los puntos (h, 3) y (4, 1) interseca la línea 7x & # 8211 9y & # 8211 19 = 0 en ángulo recto. Encuentra el valor de h.
Solución:
Los puntos dados son (h, 3) y (4,1).
∴ Pendiente de la línea que une (h, 3) y amp (4,1)

Ej 10.3 Pregunta 11 de matemáticas de la clase 11.
Demuestre que la recta que pasa por el punto (x1 y1) y paralelo a la recta Ax + By + C = 0 es A (x-x1) + B (interanual1) = 0.
Solución:
La ecuación dada de una línea es Ax + By + C = 0
∴ Pendiente de la línea anterior =
es decir, pendiente de cualquier línea paralela a la línea dada y que pasa por (x1, y1) es
Entonces la ecuación es (y & # 8211 y2) = (x & # 8211 x1)
= & gt B (y & # 8211 y1) = -A (x & # 8211 x1)
= & gt A (x & # 8211 x1) + B (y & # 8211 y1) = 0.
Por lo tanto probado.

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 12.
Dos líneas que pasan por el punto (2, 3) se cruzan en un ángulo de 60 °. Si la pendiente de una línea es 2, calcula la ecuación de la otra línea.
Solución:
Hemos dado un punto (2, 3), a través del cual pasan dos líneas y se cruzan en un ángulo de 60 °.
Sea m la pendiente de la otra recta


Ej 10.3 Clase 11 Matemáticas Pregunta 13.
Encuentre la ecuación de la bisectriz derecha del segmento de recta que une los puntos (3, 4) y (-1, 2).
Solución:
suponga que los puntos dados son A y B.
Sea M el punto medio de AB.

Ej 10.3 Pregunta 14 de matemáticas de la clase 11.
Encuentre las coordenadas del pie de la perpendicular desde el punto (-1, 3) a la línea 3x & # 8211 4y & # 8211 16 = 0.
Solución:
Tenemos, 3x & # 8211 4y & # 8211 16 = 0
Pendiente del ganado (i) =
Entonces la ecuación de cualquier línea ⊥ desde (-1, 3) a la línea dada (i) es

Ej 10.3 Pregunta de matemáticas de clase 11 15.
La perpendicular desde el origen a la recta y = mx + c se encuentra con ella en el punto (-1,2). Encuentra los valores de my c.
Solución:
Dado, la perpendicular desde el origen a la recta y = mx + c se encuentra con ella en el punto (-1, 2)
∴ 2 = m (-1) + c & # 8230 (i)
⇒ c & # 8211 m = 2

Ej 10.3 Clase 11 Matemáticas Pregunta 16.
Si pyq son las longitudes de las perpendiculares desde el origen hasta las líneas x cosθ & # 8211 y sinθ = k cos 2θ yx secθ + y cosecθ = k, respectivamente, demuestre que p 2 + 4q 2 = k 2.
Solución:
Dados p y q son las longitudes de las perpendiculares desde el origen hasta las líneas x cos θ & # 8211 ysinθ = k cos 2θ y xsecθ + y cosec θ = k.

Ej 10.3 Clase 11 Matemáticas Pregunta 17.
En el triángulo ABC con vértices A (2, 3), 8 (4, -1) y C (1, 2), encuentre la ecuación y la longitud de la altitud desde el vértice A.
Solución:
Hemos dado un AABC con los vértices, A (2, 3), B (4, -1) y C (1, 2)

Ej 10.3 Clase 11 Matemáticas Pregunta 18.
Si p es la longitud de la perpendicular desde el origen a la línea cuyas intersecciones en los ejes son ayb, entonces demuestre eso.
Solución:
Dado, p es la longitud de la perpendicular desde el origen hasta la línea cuyas intersecciones

Esperamos que las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11, capítulo 10, líneas rectas, ejemplo 10.3, le ayuden. Si tiene alguna consulta sobre las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11, capítulo 10, líneas rectas, ejemplo 10.3, deje un comentario a continuación y nos comunicaremos con usted lo antes posible.


Determine la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos:

La forma de gradiente & # 8211point de la ecuación de línea recta (EMBGB)

Derivamos la forma de gradiente & # 8211point de la ecuación de línea recta usando la definición de gradiente y la forma de dos puntos de una ecuación de línea recta [ frac = frac]

Sustituye (m = dfrac) en el lado derecho de la ecuación [ frac = m ]

Multiplica ambos lados de la ecuación por ((x-x_1) ) [y-y_1 = m (x-x_1) ]

Para usar esta ecuación, necesitamos conocer el gradiente de la línea y las coordenadas de un punto de la línea.


¿Cuál es la ecuación para una pendiente indefinida?

1 respuesta. Si el Pendiente de una línea es indefinido, entonces la línea es una línea vertical, por lo que no se puede escribir en Pendiente- forma de interceptación, pero lata escribirse en la forma: x = a, donde a es una constante. Si la línea tiene un pendiente indefinida y pasa por el punto (2,3), entonces el ecuación de la recta es x = 2.

Además, ¿qué es una pendiente indefinida? Un pendiente indefinida (o un infinitamente grande Pendiente) es el Pendiente de una línea vertical! La coordenada x nunca cambia, no importa qué la coordenada y es! ¡No hay carrera! En este tutorial, aprenda sobre el significado de pendiente indefinida.

Posteriormente, también se puede preguntar, ¿cuál es la ecuación para una pendiente cero?

A pendiente cero línea es una línea recta, perfectamente plana que corre a lo largo del eje horizontal de un plano cartesiano. La ecuación para una pendiente cero La línea es aquella en la que el valor X puede variar, pero el valor Y siempre será constante. Un ecuación para una pendiente cero la línea será y = b, donde la línea Pendiente es 0 (m = 0).

¿Es una pendiente de 0 indefinida?

La "Pendiente"de una línea vertical. Una línea vertical tiene pendiente indefinida porque todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x. Como resultado, la fórmula utilizada para Pendiente tiene un denominador de 0, lo que hace que el pendiente indefinida..


Cómo encontrar la ecuación de una recta a partir de dos puntos

El siguiente video le enseñará cómo encontrar la ecuación de una línea, dados dos puntos cualesquiera en esa línea.

Pasos para encontrar la ecuación de una línea desde dos puntos:

  1. Encuentra la pendiente usando la fórmula de pendiente
    • (< texto> = < texto> = frac < text> < texto> = frac << texto> _2 - < texto> _1> << texto> _2 - < texto>_1>)
    • ( exto_ <1> = ( texto_ <1>, texto_<1>))
    • ( exto_ <2> = ( texto_ <2>, texto_<2>))
  2. Usa la pendiente y uno de los puntos para resolver la intersección con el eje y (b).
    • Uno de sus puntos puede reemplazar la x y la y, y la pendiente que acaba de calcular reemplaza la m de su ecuación y = mx + b. Entonces b es la única variable que queda. Usa las herramientas que conoces para resolver una variable para resolver b.
  3. Una vez que conozca el valor de my el valor de b, puede insertarlos en la forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b) para obtener la ecuación de la línea.

Recursos adicionales

Para cada uno de los siguientes problemas, encuentre la ecuación de la línea que pasa por los siguientes dos puntos:

  1. ( left (-5,10 right) ) y ( left (-3,4 right) )
  2. ( left (-5, -26 right) ) y ( left (-2, -8 right) )
  3. ( left (-4, -22 right) ) y ( left (-6, -34 right) )
  4. ( left (3,1 right) ) y ( left (-6, -2 right) )
  5. ( left (4, -6 right) ) y ( left (6,3 right) )
  6. ( left (5,5 right) ) y ( left (3,2 right) )

Soluciones

Paso 1: Encuentra la pendiente usando la fórmula:

Tenemos dos puntos, ( left (-5,10 right) ) y ( left (-3,4 right) ). Elegiremos ( left (< color-5>, < color10> right) ) como el punto uno y ( left (< color-3>, < color4> right) ) como punto dos. (No importa cuál es el punto uno y cuál es el punto dos, siempre que seamos consistentes a lo largo de nuestros cálculos). Ahora podemos reemplazar los puntos en nuestra fórmula para la pendiente:

La pendiente de la línea es (< color-3> ), entonces la m en y = mx + b es (< color-3>).

Paso 2: Usa la pendiente y uno de los puntos para encontrar la intersección con el eje y b:

No importa qué punto usemos. Ambos nos darán el mismo valor para b ya que están en la misma línea. Elegimos el punto ( left (< color-3>, < color4> derecha) ). Ahora reemplazaremos la pendiente, (< color-3> ), y el punto en y = mx + b para obtener la ecuación de la recta:

Luego reste 9 de ambos lados:

Paso 3: Reemplaza la pendiente (m = (< color-3> )) y la intersección con el eje y (b = (< color-5> )), en y & # 61mx & # 43b:

Paso 1: Encuentra la pendiente usando la fórmula:

Tenemos dos puntos, ( left (-4, -22 right) ) y ( left (-6, -34 right) ). Elegiremos ( left (< color-4>, < color-22> right) ) como el punto uno y ( left (< color-6>, < color-34> right) ) como punto dos. (No importa cuál es el punto uno y cuál es el punto dos, siempre que seamos consistentes a lo largo de nuestros cálculos). Ahora podemos reemplazar los puntos en nuestra fórmula para la pendiente:

Entonces la pendiente de la línea es 6.

Paso 2: Usa la pendiente y uno de los puntos para encontrar b.

No importa qué punto usemos. Ambos nos darán el mismo valor para b ya que están en la misma línea. Elegimos el punto ( left (< color-4>, < color-22> derecha) ). Ahora reemplazaremos la pendiente, 6, y el punto en y = mx + b para obtener la ecuación de la recta.

Luego agregue 24 a ambos lados.

Paso 3: Reemplaza la pendiente m = 6, y la intersección con el eje y b & # 61 2, en y & # 61mx & # 43b.


Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11 Capítulo 10 Líneas rectas Ej 10.3

Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11 Capítulo 10 Líneas rectas Ej 10.3

Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11, capítulo 10, líneas rectas, ejemplo 10.3 son parte de las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 11. Here we have given Class 11 Maths NCERT Solutions Straight Lines Ch 10 Exercise 10.3.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-1

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-2

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-3

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-4

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-5

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-6

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-7

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-8

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-9

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-10

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-11

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-12

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-13

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-14

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-15

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-16

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-17

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-18

Ans.

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines (सरल रेखाएँ) Hindi Medium Ex 10.3






















Maths NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Exercise.10.3

Q1. Reduce the following equations into slope-intercept form and find their slopes and the y intercepts.

(ii) 6x + 3y – 6 = 0

Q2. Reduce the following equations into intercept form and find their intercepts on the axes.

(i) 3x + 2y – 14 = 0

(ii) 4x – 3y = 6

(iii) 3y + 2 = 0

Q3. Reduce the following equations into normal form. Find their perpendicular distances from the origin and angle between perpendicular and the positive x-axis.

(i) x – √3 y + 8 = 0

(iii) x – y = 4

Q4. Find the distance of the point (–1, 1) from the line 12(x + 6) = 5(y – 2).

Q6. Find the distance between parallel lines

(i) 15x + 8y – 34 = 0 and 15x + 8y + 31 = 0

(ii) l (x + y) + p = 0 and l (x + y) – r = 0

Q7. Find equation of the line parallel to the line 3x – 4y + 2 = 0 and passing through the point (–2, 3).

Q8. Give equation of the line perpendicular to the line x – 7y + 5 = 0 and having x intercept 3.

Q9. Calculate angles between the lines √3 x + y = 1 and x + √3 y = 1

Q10. A line passes through points (k, 3)(4, 1) intersects the line 7x – 9y – 19 = 0, at right angle. Find the value of k.

Q11. Prove that the line through the point (xa, ya) and parallel to the line Ax + By + C = 0 is A(x – xa) + B (y – ya) = 0.

Q12. The angle between the two lines is 60° at intersection and passes through the point (2, 3). Obtain the slope of a second line when the slope of first line is 2.

Q13 A line segment joining the points (4, 5) and (– 2, 3). Obtain the equation of the perpendicular bisector of the line segment.

Q14: Obtain the coordinates of the foot of perpendicular from the point (– 2, 4) to the line 3x – 4y – 16 = 0.

Q15: The normal meets point (– 2, 3), is drawn from the origin to the equation of line y = m x + c.Obtain the values of m and c.

Q16: Suppose r and s are the lengths from the lines x cos θ – y sin θ = n cos 2θ and x sec θ + y cosec θ = n to the origin perpendiculars, respectively, prove that r 2 + 4 s 2 = n 2

Q17: The vertices of the triangle PQR are P (3, 4), Q (5, – 2) and R (2, 3), obtain how long the altitude is from the vertex P and also obtain the equation.

Q 18: Suppose ‘r’ is the length of the origin to the line from perpendicular from the normal. The line has axes i and j axes as intercepts of the line, then prove that:

We hope the NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Ex 10.3, help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Exercise 10.3, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


You have two options for writing the equation of a line: point-slope form and slope-intercept form.

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Both of them require that you know at least two of the following pieces of information about the line:

The . y. -intercept, . b. (the . y. -coordinate of the point at which the graph of the line crosses the . y. -axis)

If you know any two of these things, you can find the equation of the line.

Point-slope form

The equation of a line in point-slope form can be written as

In this form, . (x_1,y_1). is a point on the line, and . m. is the slope. To use this form when you know two points on the line but you don’t know the slope, first find . m. using

Then simply plug the slope . m. and the coordinates of one point . (x_1,y_1). into the point-slope form of the equation of a line.


The Significance of (K_M) and (V_)

The Michaelis-Menten model is used in a variety of biochemical situations other than enzyme-substrate interaction, including antigen-antibody binding, DNA-DNA hybridization, and protein-protein interaction. It can be used to characterize a generic biochemical reaction, in the same way that the Langmuir equation can be used to model generic adsorption of biomolecular species. When an empirical equation of this form is applied to microbial growth. The experimentally determined parameters values vary wildly between enzymes (Table (PageIndex<1>)):

Table (PageIndex<1>) : Enzyme Kinetic parameters
Enzyme (K_m) (M) (k_) (1/s) (k_/K_m) (1/M.s)
Chymotrypsin 1.5 × 10 &minus2 0.14 9.3
Pepsin 3.0 × 10 &minus4 0.50 1.7 × 10 3
Tyrosyl-tRNA synthetase 9.0 × 10 &minus4 7.6 8.4 × 10 3
Ribonuclease 7.9 × 10 &minus3 7.9 × 10 2 1.0 × 10 5
Carbonic anhydrase 2.6 × 10 &minus2 4.0 × 10 5 1.5 × 10 7
Fumarase 5.0 × 10 &minus6 8.0 × 10 2 1.6 × 10 8

While (K_m) is equal to the substrate concentration at which the enzyme converts substrates into products at half its maximal rate and hence is related to the affinity of the substrate for the enzyme. The catalytic rate (k_) is the rate of product formation when the enzyme is saturated with substrate and therefore reflects the enzyme's maximum rate. The rate of product formation is dependent on both how well the enzyme binds substrate and how fast the enzyme converts substrate into product once substrate is bound. For a kinetically perfect enzyme, every encounter between enzyme and substrate leads to product and hence the reaction velocity is only limited by the rate the enzyme encounters substrate in solution. From Equation ( ef), the catalytic efficiency of a protein can be evaluated.

This (k_/K_m) ratio is called the specificity constant measure of how efficiently an enzyme converts a substrate into product. It has a theoretical upper limit of 10 8 &ndash 10 10 /M.s enzymes working close to this, such as fumarase, are termed superefficient (Table (PageIndex<1>)).

Determining (V_m) and (K_m) from experimental data can be difficult and the most common way is to determine initial rates, (v_0), from experimental values of ([P]) or ([S]) as a function of time. Hyperbolic graphs of (v_0) vs. ([S]) can be fit or transformed as we explored with the different mathematical transformations of the hyperbolic binding equation to determine (K_d). These included:

  • nonlinear hyperbolic fit (e.g., Figure (PageIndex<1>))
  • double reciprocal plot (e.g., Lineweaver&ndashBurk plot discussed below
  • Eadie-Hofstee plot

5 Answers 5

If you start from the equation y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1) (which is the equation of the line defined by two points), through some manipulation you can get (y1-y2) * x + (x2-x1) * y + (x1-x2)*y1 + (y2-y1)*x1 = 0 , and you can recognize that:

Get the tangent by subtracting the two points (x2-x1, y2-y1) . Normalize it and rotate by 90 degrees to get the normal vector (a,b) . Take the dot product with one of the points to get the constant, c .

If you start from the equation of defining line from 2 points

you can end up with the next equation

so the coefficients will be:

My implementation of the algorithm in C

Shortcut steps: "Problem : (4,5) (3,-7)" Solve: m=-12/1 luego 12x-y= 48 "NOTE:m is a slope" COPY THE NUMERATOR, AFFIX "X" Positive fraction Negative sign on between. (tip: simmilar sign = add + copy the sign) 1.Change the second set into opposite signs, 2.ADD y1 to y2 (means add or subtract them depending of the sign), 3.ADD x1 to x2 (also means add or subtract them depending of the sign), 4.Then Multiply 12 and 1 to any of the problem set. After that "BOOM" Tada!, you have your answer