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9.6E: Ejercicios


La práctica hace la perfección

Utilice la fórmula de distancia, velocidad y tiempo

En los siguientes ejercicios, resuelve.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Steve condujo durante 8 ( frac {1} {2} ) horas a 72 millas por hora. ¿Cuánta distancia recorrió?

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Socorro condujo durante 4 ( frac {5} {6} ) horas a 60 millas por hora. ¿Cuánta distancia viajó ella?

Respuesta

290 millas

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Yuki caminó durante 1 ( frac {3} {4} ) horas a 4 millas por hora. ¿Qué tan lejos caminó?

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Francie montó su bicicleta durante 2 ( frac {1} {2} ) horas a 12 millas por hora. ¿Qué tan lejos viajó?

Respuesta

30 millas

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Connor quiere conducir desde Tucson hasta el Gran Cañón, una distancia de 338 millas. Si conduce a una velocidad constante de 52 millas por hora, ¿cuántas horas tomará el viaje?

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Megan está tomando el autobús desde la ciudad de Nueva York a Montreal. La distancia es de 380 millas y el autobús viaja a una velocidad constante de 76 millas por hora. ¿Cuánto tiempo durará el viaje en autobús?

Respuesta

5 horas

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Aurelia conduce de Miami a Orlando a una velocidad de 65 millas por hora. La distancia es de 235 millas. A la décima de hora más cercana, ¿cuánto tiempo durará el viaje?

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Kareem quiere andar en bicicleta desde St. Louis hasta Champaign, Illinois. La distancia es de 180 millas. Si viaja a una velocidad constante de 16 millas por hora, ¿cuántas horas tomará el viaje?

Respuesta

11.25 horas

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Javier se dirige a Bangor, a 240 millas de distancia. Si necesita estar en Bangor en 4 horas, ¿a qué ritmo necesita conducir?

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Alejandra se dirige a Cincinnati, a 450 millas de distancia. Si quiere estar allí en 6 horas, ¿a qué ritmo necesita conducir?

Respuesta

75 mph

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Aisha tomó el tren de Spokane a Seattle. La distancia es de 280 millas y el viaje tomó 3,5 horas. ¿Cuál fue la velocidad del tren?

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Philip consiguió un viaje con un amigo de Denver a Las Vegas, una distancia de 750 millas. Si el viaje duró 10 horas, ¿qué tan rápido conducía el amigo?

Respuesta

75 mph

Resolver una fórmula para una variable específica

En los siguientes ejercicios, use la fórmula (d = rt ).

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Resuelve para (t )

  1. cuando (d = 350 ) y (r = 70 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Resuelve para (t )

  1. cuando (d = 240 ) y (r = 60 )
  2. en general
Respuesta
  1. (t = 4 )
  2. (t = frac {d} {r} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Resuelve para (t )

  1. cuando (d = 510 ) y (r = 60 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Resuelve para (t )

  1. cuando (d = 175 ) y (r = 50 )
  2. en general
Respuesta
  1. (t = 3,5 )
  2. (t = frac {d} {r} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Resuelve para (r )

  1. cuando (d = 204 ) y (t = 3 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Resuelve para (r )

  1. cuando (d = 420 ) y (t = 6 )
  2. en general
Respuesta
  1. (r = 70 )
  2. (r = frac {d} {t} )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Resuelve para (r )

  1. cuando (d = 160 ) y (t = 2.5 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Resuelve para (r )

  1. cuando (d = 180 ) y (t = 4.5 )
  2. en general
Respuesta
  1. (r = 40 )
  2. (r = frac {d} {t} )

En los siguientes ejercicios, usa la fórmula (A = frac {1} {2} b h )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Resuelve para (b )

  1. cuando (A = 126 ) y (h = 18 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {22} )

Resuelve para (h )

  1. cuando (A = 176 ) y (b = 22 )
  2. en general
Respuesta
  1. (h = 16 )
  2. (h = frac {2 A} {b} )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Resuelve para (h )

  1. cuando (A = 375 ) y (b = 25 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Resuelve para (b )

  1. cuando (A = 65 ) y (h = 13 )
  2. en general
Respuesta
  1. (b = 10 )
  2. (b = frac {2 A} {h} )

En los siguientes ejercicios, use la fórmula (I = Prt ).

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Resuelva para el principal, (P ) para

  1. (I = $ 5,480 ), (r = 4 \% ), (t = 7 ) años
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Resuelva para el principal, (P ) para

  1. (I = $ 3,950 ), (r = 6 \% ), (t = 5 ) años
  2. en general
Respuesta
  1. (P = $ 13,166.67 )
  2. (P = frac {I} {r t} )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Resuelve el tiempo, (t ) para

  1. (I = $ 2,376 ), (P = $ 9,000 ), (r = 4.4 \% )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Resuelve el tiempo, (t ) para

  1. (I = $ 624 ), (P = $ 6,000 ), (r = 5.2 \% )
  2. en general
Respuesta
  1. (t = 2 ) años
  2. (t = frac {I} {Pr} )

En los siguientes ejercicios, resuelve.

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Resuelve la fórmula (2x + 3y = 12 ) para (y )

  1. cuando (x = 3 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Resuelve la fórmula (5x + 2y = 10 ) para (y )

  1. cuando (x = 4 )
  2. en general
Respuesta
  1. (y = −5 )
  2. (y = frac {10-5 x} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Resuelve la fórmula (3x − y = 7 ) para (y )

  1. cuando (x = −2 )
  2. en general

Ejercicio ( PageIndex {32} )

Resuelve la fórmula (4x + y = 5 ) para (y )

  1. cuando (x = −3 )
  2. en general
Respuesta
  1. (y = 17 )
  2. (y = 5−4x )

Ejercicio ( PageIndex {33} )

Resuelve (a + b = 90 ) para (b ).

Ejercicio ( PageIndex {34} )

Resuelve (a + b = 90 ) para (a )

Respuesta

(a = 90-b )

Ejercicio ( PageIndex {35} )

Resuelve (180 = a + b + c ) para (a )

Ejercicio ( PageIndex {36} )

Resuelve (180 = a + b + c ) para (c )

Respuesta

(c = 180-a-b )

Ejercicio ( PageIndex {37} )

Resuelve la fórmula (8 x + y = 15 ) para (y )

Ejercicio ( PageIndex {38} )

Resuelve la fórmula (9 x + y = 13 ) para (y )

Respuesta

(y = 13-9 x )

Ejercicio ( PageIndex {39} )

Resuelve la fórmula (- 4 x + y = -6 ) para (y )

Ejercicio ( PageIndex {40} )

Resuelve la fórmula (- 5 x + y = -1 ) para (y )

Respuesta

(y = -1 + 5 x )

Ejercicio ( PageIndex {41} )

Resuelve la fórmula (4 x + 3 y = 7 ) para (y )

Ejercicio ( PageIndex {42} )

Resuelve la fórmula (3 x + 2 y = 11 ) para (y )

Respuesta

(y = frac {11-3 x} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {43} )

Resuelve la fórmula (x-y = -4 ) para (y )

Ejercicio ( PageIndex {44} )

Resuelve la fórmula (x-y = -3 ) para (y )

Respuesta

(y = 3 + x )

Ejercicio ( PageIndex {45} )

Resuelve la fórmula (P = 2 L + 2 W ) para (L )

Ejercicio ( PageIndex {46} )

Resuelve la fórmula (P = 2 L + 2 W ) para (W )

Respuesta

(W = frac {P-2 L} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {47} )

Resuelve la fórmula (C = pi d ) para (d )

Ejercicio ( PageIndex {48} )

Resuelve la fórmula (C = pi d ) para ( pi )

Respuesta

( pi = frac {C} {d} )

Ejercicio ( PageIndex {49} )

Resuelve la fórmula (V = L W H ) para (L )

Ejercicio ( PageIndex {50} )

Resuelve la fórmula (V = L W H ) para (H )

Respuesta

(H = frac {V} {L W} )

Matemáticas cotidianas

Ejercicio ( PageIndex {51} )

Conversión de temperatura Mientras estaba de gira en Grecia, Tatyana vio que la temperatura era de 40o Celsius. Resuelve F en la fórmula (C = frac {5} {9} (F − 32) ) para encontrar la temperatura Fahrenheit.

Ejercicio ( PageIndex {52} )

Conversión de temperatura Yon estaba de visita en los Estados Unidos y vio que la temperatura en Seattle un día era de 50oFahrenheit. Resuelve C en la fórmula (F = frac {9} {5} C + 32 ) para encontrar la temperatura Celsius.

Respuesta

(10 ​​^ { circ} mathrm {C} )

Ejercicios de escritura

Ejercicio ( PageIndex {53} )

Resuelve la ecuación (2x + 3y = 6 ) para (y )

  1. cuando (x = −3 )
  2. en general
  3. ¿Qué solución es más fácil para ti, 1 o 2? ¿Por qué?

Ejercicio ( PageIndex {54} )

Resuelve la ecuación (5x − 2y = 10 ) para (x )

  1. cuando (y = 10 )
  2. en general
  3. ¿Qué solución es más fácil para ti, 1 o 2? ¿Por qué?
Respuesta

Las respuestas variarán.

Autochequeo

Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Ⓑ ¿Qué le dice esta lista de verificación sobre su dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomará para mejorar?


Requerimientos de instalación¶

InterProScan está desarrollado para ejecutarse en Linux. No hay versiones previstas para los sistemas operativos Windows o Apple (MAC OS X). Esto se debe a las limitaciones de los distintos archivos binarios de terceros que ejecuta InterProScan.

Tenga en cuenta que InterProScan y los análisis de bases de datos de miembros individuales requieren un uso intensivo del procesador y la memoria.

Un requisito mínimo de especificación es una máquina con 2 núcleos y 4 GB de RAM, lo que permitirá el análisis de una pequeña cantidad de secuencias a la vez. Sin embargo, cuantos más recursos, más rápido será el análisis / más secuencias se pueden analizar a la vez.

  • Linux de 64 bits
  • Perl 5 (predeterminado en la mayoría de las distribuciones de Linux)
  • Python 3 (InterProScan 5.30-69.0 en adelante)
  • Java JDK / JRE versión 11 (InterProScan 5.37-76.0 en adelante)
  • Conjunto de variables de entorno
    • $ JAVA_HOME debe apuntar a la ubicación de la JVM
    • $ JAVA_HOME / bin debe agregarse a $ PATH

    Introducción al control estadístico de calidad, sexta edición

    Leer la versión de texto

    6.2 Mediante este proceso se producirán cuadros de control para y Rx 235. La figura 6.3b muestra un proceso para el cual la PCR C p = 1, es decir, el proceso utiliza toda la banda de tolerancia. Para una distribución normal, esto implicaría aproximadamente un 0,27% (o 2700 ppm) de unidades no conformes. Finalmente, la Fig. 6.3c presenta un proceso para el cual la PCR C p & lt 1, es decir, el proceso usa más del 100% de la banda de tolerancia. En este caso, el proceso es muy sensible al rendimiento y se producirá una gran cantidad de unidades no conformes. Tenga en cuenta que todos los casos de la figura 6.3 asumen que el proceso está centrado en el punto medio de la banda de especificación. En muchas situaciones éste no será el caso, y como veremos en el Capítulo 8 (que está dedicado a un tratamiento más extenso del análisis de capacidad del proceso), es necesaria alguna modificación del PCR C p para describir esta situación adecuadamente. Revisión de límites de control y líneas centrales. El uso eficaz de cualquier gráfico de control requerirá una revisión periódica de los límites de control y las líneas centrales. Algunos médicos establecen períodos regulares para revisar y revisar los límites de las tablas de control, como cada semana, cada mes o cada 25, 50 o 100 muestras. Al revisar los límites de control, recuerde que es muy conveniente utilizar al menos 25 muestras o subgrupos (algunas autoridades recomiendan 200 a 300 observaciones individuales) para calcular los límites de control. x A veces, el usuario reemplazará la línea central del gráfico con un valor objetivo, digamos .x 0 Si el gráfico R muestra control, esto puede ser útil para cambiar el promedio del proceso al valor deseado, particularmente en procesos donde la media puede ser cambiado por un ajuste bastante simple de una variable manipulable en el proceso. Si la media no se ve influenciada fácilmente por un simple ajuste del proceso, entonces es probable que sea una función compleja y desconocida de varios procesos que pueden no ser útiles, ya que el uso de ese valor podría resultar en muchas variables y un valor objetivo x 0 puntos fuera los límites de control. En tales casos, no sabríamos necesariamente si el punto estaba realmente asociado con una causa asignable o si se trazó fuera de los límites debido a una mala elección de la línea central. Cuando la gráfica R está fuera de control, a menudo eliminamos los puntos fuera de control y volvemos a calcular un valor revisado de. Luego, este valor se usa para determinar nuevos límites y una línea central R en el gráfico R y nuevos límites en el gráfico. Esto ajustará los límites en ambos gráficos, x haciéndolos consistentes con una desviación estándar del proceso s consistente con el uso de la R revisada en la relación R / d 2. Esta estimación de s podría utilizarse como base de un análisis preliminar de la capacidad del proceso. Fase II Operación de los gráficos y R. Una vez que se establece un conjunto de límites de control confiables, usamos el gráfico de control para monitorear la producción futura. Esto se denomina uso de gráficos de control de fase II. Se recolectaron veinte muestras adicionales de obleas del proceso de horneado duro después de que se establecieron los gráficos de control y se trazaron los valores de muestra de y R en los gráficos de controlx inmediatamente después de que se tomó cada muestra. Los datos de estas nuevas muestras se muestran en la Tabla 6.2, y las continuaciones de los gráficos y R se muestran en la Fig. 6.4. Los gráficos de controlx indican que el proceso está bajo control, hasta que se grafica el valor -de la muestra 43.x Dado que este punto (así como el valor -de la muestra 45) se traza por encima del límite de control superior, x sospecharíamos que un la causa asignable ha ocurrido en ese momento o antes. El patrón general de puntos en el gráfico desde aproximadamente el subgrupo 38 en adelante es indicativo de un cambio en la media del proceso x. Una vez que se establece el gráfico de control y se usa en el monitoreo de procesos en línea, a menudo se siente la tentación de usar las reglas de sensibilización (o reglas de Western Electric) discutidas en el Capítulo 5 (Sección 5.3.6) para acelerar la detección de turnos. Aquí, por ejemplo, el uso de tales reglas probablemente resultaría en la detección del cambio alrededor de la muestra 40. Sin embargo, recuerde la discusión de la Sección 5.3.3 en la que desaconsejamos el uso rutinario de estas reglas de sensibilización.

    236 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6. 2 muestras adicionales para el ejemplo 6.1 Número de muestra de obleas 1 2 3 4 5 ¯ xi R i 26 1.4483 1.5458 1.4538 1.4303 1.6206 1.4998 0.1903 27 1.5435 1.6899 1.5830 1.3358 1.4187 1.5142 0.3541 28 1.5175 1.3446 1.4723 1.6657 1.6661 1.5332 0.3215 29 1.5454 1.50931 1.523 30 1.4418 1.5059 1.5124 1.4620 1.6263 1.5097 0.1845 31 1.4301 1.2725 1.5945 1.5397 1.5252 1.4724 0.3220 32 1.4981 1.4506 1.6174 1.5837 1.4962 1.5292 0.1668 33 1.3009 1.5060 1.6231 1.5831 1.6454 1.5317 0.3445 34 1.6231 1.5831 1.6454 1.5317 0.3445 34 1.481 1.451 1.453 1.493 1.497 1.373 1.485 1.7014 1.4026 1.2773 1.4541 1.4824 0.4241 37 1.4936 1.4373 1.5139 1.4808 1.5293 1.4910 0.0920 38 1.5729 1.6738 1.5048 1.5651 1.7473 1.6128 0.2425 39 1.8089 1.5513 1.8250 1.4389 1.6558 1.6560 0.3861 40 1.6236 1.5393 1.6738 1.453 1.7809 1.5504 1.6252 0.2899 43 1.5971 1.7394 1.6832 1.6677 1.7974 1.6970 0.2003 44 1.4295 1.6536 1.9134 1.7272 1.4370 1.6321 0.4839 45 1.6217 1.8220 1.7915 1.6744 1.9404 1.7700 0.3187 para monitoreo en línea de un proceso estable porque aumentan en gran medida la ocurrencia de falsas alarmas. Al examinar los datos de la gráfica de control, a veces es útil construir una gráfica de ejecución de las observaciones individuales en cada muestra. Este gráfico a veces se denomina gráfico de niveles o diagrama de tolerancia. Esto puede revelar algún patrón en los datos, o puede mostrar que un particular 1.8 1 UCL = 1.693 1 1.7 Media de la muestra 1.6 Media = 1.506 1.5 1.4 LCL = 1.318 1.3 Subgrupo 0 10 20 30 40 50 (a) 0.7 UCL = 0.6876 Muestra rango 0.6 R = 0.3252 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 LCL = 0 0 10 20 30 40 50 (b) ■ FIGURA 6. 4 Continuación de los gráficos y R del ejemplo 6.1.x

    6.2 Gráficos de control para y Rx 237 2.0 Límite de especificación superior 2.00 micrones 1.9 1.8 1.7 μ = 1.6633 micrones Ancho de flujo 1.6 μ = 1.5056 micrones 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 Límite de especificación inferior 1.00 micrones 1.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Número de muestra ■ FIGURA 6. Gráfico de 5 niveles construido usando el procedimiento de diagrama de caja de Minitab para los datos de ancho de flujo. El valor de o R fue producido por una o dos observaciones inusuales en la muestra. Un diagrama de caja suele ser una forma muy sencilla de construir el diagrama de niveles. En la figura 6.5 se muestra un diagrama de niveles de las observaciones de datos de ancho de flujo. Este gráfico no indica que las señales fuera de control fueron generadas por observaciones individuales inusuales, sino que probablemente resultaron de un cambio en la media alrededor del momento en que se tomó la muestra 38. El promedio de los promedios de las muestras 38 a 45 es 1.6633 micrones. Los límites de especificación de 1,50 ± 0,50 micrones se representan en la figura 6.5, junto con un esquema de la distribución normal que representa la salida del proceso cuando la media del proceso es igual al valor en control de 1,5056 micrones. En la figura 6.5 también se muestra un esquema de la distribución normal que representa la producción del proceso en el nuevo diámetro medio aparente de 1.6633 micrones. Es obvio que se producirá un porcentaje mucho mayor de obleas no conformes con este nuevo caudal medio. Dado que el proceso está fuera de control, se debe realizar una búsqueda de la causa de este cambio en la media. El plan de acción fuera de control (OCAP) para este cuadro de control, que se muestra en la Fig. 5.6, jugaría un papel clave en estas actividades al dirigir al personal operativo a través de una serie de actividades secuenciales para encontrar la causa asignable. A menudo, se necesitan aportaciones y apoyo adicionales de los ingenieros, la gerencia y el personal de ingeniería de calidad para encontrar y eliminar las causas asignables. Límites de control, límites de especificación y límites de tolerancia natural. Un punto que debe enfatizarse es que no hay conexión o relación entre los límites de control en los gráficos y R y los límites de especificación en el proceso. Los límites de control están impulsados ​​x por la variabilidad natural del proceso (medida por la desviación estándar del proceso s), es decir, por los límites de tolerancia natural del proceso. Es habitual definir los límites de tolerancia natural superior e inferior, digamos UNTL y LNTL, como 3 por encima y por debajo de la media del proceso. Los límites de especificación, por otro lado, se determinan externamente. Pueden ser establecidos por la dirección, los ingenieros de fabricación, el cliente o los desarrolladores / diseñadores de productos.Se debe tener conocimiento de la variabilidad inherente del proceso al establecer especificaciones, pero recuerde que no existe una relación matemática o estadística entre los límites de control y los límites de especificación. La situación se resume en la figura 6.6. Nos hemos encontrado con profesionales que han trazado los límites de especificación en el gráfico de control.x Esta práctica es completamente incorrecta y no debe realizarse. Cuando se trata de gráficos de observaciones individuales (no promedios), como en la figura 6.5, es útil trazar los límites de especificación en ese gráfico.

    238 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables LSL (Determinado externamente) LNTL Distribución de procesos individuales LCL 3σ mediciones, x σ 3σ = 3 ___ Distribución x √ n de valores x Línea central μ en el gráfico x 3σ UCL UNTL USL (Determinado externamente) ■ FIGURA 6. 6 Relación de los límites de tolerancia natural, los límites de control y los límites de especificación. Subgrupos racionales. Los subgrupos racionales juegan un papel importante en el uso de gráficos de control andx R. Definir un subgrupo racional en la práctica puede ser más fácil con una comprensión clara de las funciones de los dos tipos de gráficos de control. El gráfico monitorea el nivel de calidad promediox en el proceso. Por lo tanto, las muestras deben seleccionarse de tal manera que se maximicen las posibilidades de que ocurran cambios en el promedio del proceso entre muestras y, por lo tanto, se muestren como puntos fuera de control en el gráfico. La gráfica R, por otro lado, mide la capacidad de variación dentro de una muestra. Por lo tanto, las muestras deben seleccionarse de modo que la variabilidad dentro de las muestras mida solo el azar o las causas aleatorias. Otra forma de decir esto es que el gráfico x monitorea la variabilidad entre muestras (variabilidad en el proceso a lo largo del tiempo) y el gráfico R mide la variabilidad dentro de la muestra (la variabilidad instantánea del proceso en un momento dado). Un aspecto importante de esto es evidente al examinar cuidadosamente cómo se determinan los límites de control para los gráficos y R a partir de datos anteriores. La estimación de la desviación estándar x del proceso utilizada en la construcción de los límites de control se calcula a partir de la variabilidad dentro de cada muestra (es decir, a partir de los rangos de muestras individuales). En consecuencia, la estimación de s refleja solo la variabilidad dentro de la muestra. No es correcto estimar s basándose en el estimador cuadrático habitual, digamos, ij (mn 2 ∑ ∑ x -) xs = i = 1 j = 1 mn −1 donde x ij es la j-ésima observación en la i-ésima muestra, porque si las medias de la muestra difieren, entonces esto hará que s sea demasiado grande. En consecuencia, se sobrestimará s. La combinación de todos los datos preliminares de esta manera para estimar s no es una buena práctica porque potencialmente combina la variabilidad entre muestras y dentro de la muestra. Los límites de control deben basarse únicamente en la variabilidad dentro de la muestra. Consulte el material de texto complementario para obtener más detalles. Lineamientos para el Diseño de la Gráfica de Control. Para diseñar los gráficos y R, x debemos especificar el tamaño de la muestra, el ancho del límite de control y la frecuencia de muestreo que se utilizará. No es posible dar una solución exacta al problema del diseño del gráfico de control, a menos que el analista tenga información detallada sobre las características estadísticas del gráfico de control

    6.2 Gráficos de control para pruebas y Rx 239 y los factores económicos que afectan el problema. Una solución completa del problema conoce el costo del muestreo, los costos de investigar y posiblemente corregir el proceso en respuesta a señales fuera de control y los costos asociados con la producción de un producto que no cumple con las especificaciones. Dado este tipo de información, se podría construir un modelo de decisión económica para permitir un diseño de gráficos de control económicamente óptimo. En el Capítulo 10 (Sección 10.6) discutimos brevemente este enfoque del problema. Sin embargo, ahora es posible dar algunas pautas generales que ayudarán en el diseño de gráficos de control. Si el gráfico se utiliza principalmente para detectar cambios de proceso de moderados a grandes, por ejemplo, del orden de 2 segundos o más, entonces las muestras relativamente pequeñas de tamaño n = 4, 5 o 6 son razonablemente efectivas. Por otro lado, si estamos tratando de detectar pequeños cambios, entonces se necesitan tamaños de muestra más grandes de posiblemente n = 15 an = 25. Cuando se utilizan muestras más pequeñas, hay menos riesgo de que se produzca un cambio de proceso mientras se toma una muestra. Si ocurre un cambio mientras se toma una muestra, el promedio de la muestra puede ocultar este efecto. En consecuencia, este es un argumento para usar un tamaño de muestra tan pequeño como sea consistente con la magnitud del cambio de proceso que se está tratando de detectar. Una alternativa para aumentar el tamaño de la muestra es utilizar límites de advertencia y otros procedimientos de sensibilización para mejorar la capacidad del gráfico de control para detectar pequeños cambios en el proceso. Sin embargo, como discutimos en el Capítulo 5, no estamos a favor del uso rutinario de estas reglas de sensibilización. Si está interesado en cambios pequeños, utilice los gráficos CUSUM o EWMA del Capítulo 9. El gráfico R es relativamente insensible a los cambios en la desviación estándar del proceso para muestras pequeñas. Por ejemplo, las muestras de tamaño n = 5 tienen solo un 40% de probabilidad de detectar en la primera muestra un cambio en la desviación estándar del proceso de sa 2 s. Las muestras más grandes parecerían ser más efectivas, pero también sabemos que el método de rango para estimar la desviación estándar disminuye drásticamente en eficiencia a medida que n aumenta. En consecuencia, para n grandes, digamos 2 n & gt 10 o 12, probablemente sea mejor usar una gráfica de control para s o s en lugar de la gráfica R. Los detalles de la construcción de estos gráficos se muestran en las Secciones 6.3.1 y 6.3.2. Desde un punto de vista estadístico, las curvas de características operativas de los gráficos y Rx pueden ser útiles para elegir el tamaño de la muestra. Proporcionan una idea de la magnitud del cambio de proceso que se detectará con una probabilidad establecida para cualquier tamaño de muestra n. Estas curvas de características operativas se analizan en la Sección 6.2.6. El problema de elegir el tamaño de la muestra y la frecuencia del muestreo es el de asignar el esfuerzo de muestreo. Generalmente, el tomador de decisiones tendrá solo un número limitado de recursos para asignar al proceso de inspección. Las estrategias disponibles serán normalmente tomar muestras pequeñas y frecuentes o tomar muestras más grandes con menos frecuencia. Por ejemplo, la elección puede ser entre muestras de tamaño 5 cada media hora o muestras de tamaño 20 cada dos horas. Es imposible decir qué estrategia es la mejor en todos los casos, pero la práctica actual de la industria favorece las muestras pequeñas y frecuentes. La creencia general es que si el intervalo entre muestras es demasiado grande, se producirá demasiado producto defectuoso antes de que ocurra otra oportunidad para detectar el cambio de proceso. Por consideraciones económicas, si el costo asociado con la producción de artículos defectuosos es alto, las muestras más pequeñas y más frecuentes son mejores que las más grandes y menos frecuentes. Por supuesto, podrían utilizarse esquemas de intervalo de muestra variable y de tamaño de muestra variable. Consulte el Capítulo 10. La tasa de producción también influye en la elección del tamaño de la muestra y la frecuencia de muestreo. Si la tasa de producción es alta, digamos, 50 000 unidades por hora, entonces se requiere un muestreo más frecuente que si la tasa de producción es extremadamente lenta. A altas tasas de producción, muchas unidades de producto no conformes se producirán en muy poco tiempo cuando se produzcan cambios de proceso. Además, a altas tasas de producción, a veces es posible obtener muestras bastante grandes de forma económica. Por ejemplo, si producimos 50.000 unidades por hora, no se necesita una diferencia apreciable en el tiempo para recolectar una muestra de tamaño 20 en comparación con una muestra de tamaño 5. Si los costos de inspección y prueba por unidad no son excesivos, altos Los procesos de producción de velocidad a menudo se controlan con tamaños de muestra moderadamente grandes. El uso de límites de control de tres sigma en los gráficos de control y R es una práctica generalizada. Sin embargo, hay situaciones en las que las desviaciones de esta elección habitual de límites de control

    240 Capítulo 6 ■ Los gráficos de control para variables son útiles. Por ejemplo, si las falsas alarmas o los errores de tipo I (cuando se genera una señal fuera de control cuando el proceso está realmente bajo control) son muy costosos de investigar, entonces puede ser mejor utilizar límites de control más amplios que tres. sigma, quizás tan ancho como 3.5-sigma. Sin embargo, si el proceso es tal que las señales fuera de control se investigan rápida y fácilmente con una mínima pérdida de tiempo y costo, entonces son apropiados límites de control más estrechos, tal vez a 2.5 sigma. Cambio del tamaño de la muestra en los gráficos y R.x Hemos presentado el desarrollo de los gráficos y R suponiendo que el tamaño de la muestra n es constante de una muestra a otra.x Sin embargo, hay situaciones en las que el tamaño de la muestra n no es constante. Una situación es la de un tamaño de muestra variable en los gráficos de control, es decir, cada muestra puede constar de un número diferente de observaciones. Los gráficos y R generalmente no se utilizan en este caso porque conducen a una línea central cambiante en el gráfico R, lo que es difícil de interpretar para muchos usuarios. En este caso, serían preferibles los gráficos ys de la Sección 6.3.2.x Otra situación es la de realizar un cambio permanente (o semipermanente) en el tamaño de la muestra debido al costo o porque el proceso ha mostrado una buena estabilidad y se están utilizando menos recursos. asignados para el seguimiento del proceso. En este caso, es fácil recalcular los nuevos límites de control directamente de los antiguos sin recolectar muestras adicionales basadas en el nuevo tamaño de muestra. Sea R antiguo = rango medio para el tamaño de muestra antiguo R nuevo = rango medio para el tamaño de muestra nuevo n antiguo = tamaño de muestra antiguo n nuevo = tamaño de muestra nuevo d 2 (antiguo) = factor d 2 para el tamaño de muestra antiguo d 2 ( nuevo) = factor d 2 para el nuevo tamaño de muestra Para el gráfico, los nuevos límites de control son x ⎡d 2 (nuevo) ⎤ UCL = + A ⎢ ⎥ R x 2 (antiguo) antiguo ⎣ d 2 ⎦ (6.12) ⎡d 2 ( nuevo) ⎤ LCL = - A 2 ⎢ ⎥ R antiguo x ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ donde la línea central no cambia y el factor A 2 se selecciona para el nuevo tamaño de muestra. Para el gráfico R, los nuevos parámetros son ⎡d 2 (nuevo) ⎤ UCL = D ⎢ ⎥ R 4 (antiguo) antiguo ⎣ d 2 ⎦ ⎡d 2 (nuevo) ⎤ CL = R nuevo = ⎢ ⎥ R antiguo ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ (6.13) ⎧ ⎡d (nuevo) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 0, LCL = max ⎨ D 3 ⎢ 2 ⎥ R antiguo ⎬ ⎪ ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ ⎪ ⎭ ⎩ donde D 3 y D 4 están seleccionados para el nuevo tamaño de muestra.

    6.2 Gráficos de control para y Rx 241 E XEMPLO 6.2 Cambio del tamaño de la muestra Para ilustrar el procedimiento anterior, considere los gráficos y R que, dado que el proceso exhibe un buen control, la ingeniería de proceso desarrollada para el proceso de horneado duro en el ejemplo 6.1. Este nuevo personal desea reducir el tamaño de la muestra a tres gráficos y se basó en un tamaño de muestra de cinco obleas. Supongamos obleas. Configure los nuevos gráficos de control. S OLUCIÓN Del ejemplo 6.1, sabemos que Para la gráfica R, los nuevos parámetros vienen dados por la ecuación (6.13): n = 5 R = 0 32521. (nuevo) ⎤ antiguo antiguo ⎡d 2 UCL = D 4 ⎢ ⎥ R antiguo y del Cuadro VI del Apéndice tenemos ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ 2 (. 2 (d antiguo) = 2 326. d nuevo) = 1 693. = (2 574) ⎡ 1 693 ⎤ ⎥ ⎦ (0 32521). . ⎢. Por lo tanto, los nuevos límites de control en el gráfico se encuentran a partir de ⎣2 326 x. = 0 6093 ecuación (6.12) como ⎡ d (nuevo) ⎤ CL = R nuevo = ⎢ 2 ⎥ R antiguo ⎡d (nuevo) ⎤ ⎣ d (antiguo) ⎦ 2 x UCL = + A 2 ⎢ 2 ⎥ R antiguo ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ = ⎡ 1 693. ⎤ ⎥ (0 32521.) ⎢ ⎣2 326. = 1 5056. + (1 023.) ⎡ 1 693. ⎤ ⎥ ⎦ (0 32521.) = 0 2367. ⎦ ⎢ ⎣2 326. = 1 5056 0 2422 1 7478. +. =. ⎧ ⎪ ⎡d (nuevo) ⎤ ⎫ ⎪ LCL = max ⎨, 0 D 3 ⎢ 2 ⎥ R antiguo ⎬ y ⎪ ⎩ ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ ⎪ ⎭ = 0 ⎡d (nuevo) ⎤ x LCL = - A 2 ⎢ 2 ⎥ R anterior La Figura 6.7 muestra los nuevos límites de control. Tenga en cuenta que el efecto de ⎣ d 2 (antiguo) ⎦ al reducir el tamaño de la muestra es aumentar el ancho de los límites x = 1 5056. - (1 023.) ⎡ 1 693. ⎤ ⎥ ⎦ (0 32521.) en el gráfico (porque s / 1n es menor cuando n = 5 que cuando ⎢ n = 3) y para bajar la línea central y el límite de control superior ⎣2 326. = 1 5056 0 2422 1 2634. -. =. en el gráfico R (porque el rango esperado de una muestra de n = 3 es menor que el rango esperado de una muestra de n = 5). 1.8 UCL = 1.7978 UCL = 1.693 1.7 1.6 CL = 1.506 Media de la muestra 1.4 LCL = 1.318 1.5 1.3 1.2 LCL = 1.2634 Subgrupo 0 5 10 15 20 25 Límites basados ​​en n = 5 Límites basados ​​en n = 3 0.7 UCL = 0.6093 UCL = 0.6876 Rango de muestra 0.6 CL = 0.3252 0.5 0.4 ■ Figura 6. 7 0.3 CL = 0.2367 Límites de control recalculados 0.2 para el proceso de horneado duro 0.1 en el Ejemplo 6.1 a 0.0 LCL = 0 LCL = 0 reflejan el cambio del tamaño de muestra 0 5 10 15 20 25 de n = 5 a n = 3 . Límites basados ​​en n = 5 Límites basados ​​en n = 3

    242 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables Límites de probabilidad en los gráficos y R.x Es habitual expresar los límites de control en los gráficos y R como un múltiplo de la desviación estándar de la estadística trazada en los gráficos. Si el múltiplo elegido es k, entonces los límites se denominan límites k-sigma, siendo la opción habitual k = 3. Como se mencionó en el Capítulo 5, sin embargo, también es posible definir los límites de control especificando el error de tipo I nivel para la prueba. Estos se denominan límites de probabilidad para gráficos de control y se utilizan ampliamente en el Reino Unido y algunas partes de Europa Occidental. Es fácil elegir límites de probabilidad para el gráfico. Dado que se distribuye aproximadamente normalmentexx, podemos obtener un error de tipo I deseado de a eligiendo el múltiplo de sigma para el límite de control como k = Z a / 2, donde Z a / 2 es el punto porcentual superior a / 2 del estándar. distribución normal. Tenga en cuenta que los límites de control habituales de tres sigma implican que la probabilidad de error de tipo I es a = 0,0027. Si elegimos a = 0.002, por ejemplo, como hacen la mayoría de los escritores que recomiendan límites de probabilidad, entonces Z a / 2 = Z 0.001 = 3.09. En consecuencia, hay muy poca diferencia entre dichos límites de control y los límites de control de tres sigma. También podemos construir gráficos R usando límites de probabilidad. Si a = 0,002, se requieren 0,001 y 0,999 puntos porcentuales de la distribución del rango relativo W = R / s. Estos puntos obviamente dependen del tamaño del subgrupo n. Denotando estos puntos por W 0.001 (n) y W 0.999 (n), y) y estimando s por R / d 2, tendríamos los límites de 0.001 y 0.999 para R como W 0.001 (n) (R / d 2). Si dejamos que D 0,001 = W 0,001 (n) / d 2 y D 0,999 = W 0,999 (n) / d 2, entonces la probabilidad W 0,999 (n) (los límites de R / d 2 para la gráfica R son UCL = DR 0,999 LCL = DR 0.001 Las tablas de pares de valores (D 0.001, D 0.999), (D 0.005, D 0.995) y (D 0.025, D 0.975) para 2 ≤ n ≤ 10 están en Grant y Leavenworth (1980). Estos controles Los límites no diferirán sustancialmente de los límites habituales de tres sigma. Sin embargo, para tamaños de muestra 3 ≤ n ≤ 6, producirán un límite de control inferior positivo para la gráfica R, mientras que los límites convencionales de tres sigma no. 6.2. 3 Gráficos basados ​​en valores estándar Cuando es posible especificar valores estándar para la media del proceso y la desviación estándar, podemos usar estos estándares para establecer los gráficos de control para y R sin análisis de datos pastx. Suponga que los estándares dados son my s Entonces, los parámetros del gráfico son x σ + UCL = μ 3 n Línea central = μ σ (6.14) - LCL = μ 3 n La cantidad 3 / 1n = A, digamos, es una constante que depende de n, que tiene ha sido tabulado en el Cuadro VI del Apéndice. En consecuencia, podríamos escribir los parámetros del gráfico como x UCL = μ + σA Línea central = μ (6.15) LCL = μ - σ A

    6.2 Gráficos de control para y Rx 243 Para construir el gráfico R con un valor estándar de s, recuerde que s = R / d 2, donde d 2 es la media de la distribución del rango relativo. Además, la desviación estándar de R es s R = d 3 s, donde d 3 es la desviación estándar de la distribución del rango relativo. Por tanto, los parámetros del gráfico de control son UCL = d σ + d3 σ 2 3 Línea central = d σ 2 (6.16) LCL = d σ - d3 σ 3 2 Es habitual definir las constantes D = d - d 3 3 1 2 D = d + d 3 2 2 3 Estas constantes se tabulan en el Cuadro VI del Apéndice. Por lo tanto, los parámetros de la gráfica R con s estándar dados son UCL = D σ 2 Línea central = d σ 2 (6.17) LCL = D σ 1 Se debe tener mucho cuidado cuando se dan los valores estándar de my s. Es posible que estos estándares no sean realmente aplicables al proceso y, como resultado, los gráficos xy R producirán muchas señales fuera de control en relación con los estándares especificados. Si el proceso está realmente bajo control en alguna otra media y desviación estándar, entonces el analista puede dedicar un esfuerzo considerable a buscar causas asignables que no existen. Los valores estándar de s parecen causar más problemas que los valores estándar de m. En los procesos en los que la media de la característica de calidad se controla mediante ajustes en la máquina, los valores estándar o objetivo de m a veces son útiles para lograr los objetivos de gestión con respecto al rendimiento del proceso. 6.2.4 Interpretación de las gráficas x y R Hemos observado anteriormente que una gráfica de control puede indicar una condición fuera de control aunque no se tracen gráficas de un solo punto fuera de los límites de control, si el patrón de los puntos graficados exhibe un comportamiento no aleatorio o sistemático. En muchos casos, el patrón de los puntos graficados proporcionará información de diagnóstico útil sobre el proceso, y esta información se puede utilizar para realizar modificaciones en el proceso que reducen la variabilidad (el objetivo del control estadístico del proceso). Además, estos patrones ocurren con bastante frecuencia en la fase I (estudio retrospectivo de datos pasados), y su eliminación es a menudo crucial para llevar un proceso bajo control. En esta sección, discutimos brevemente la interpretación de los gráficos de control, centrándonos en algunos de los patrones más comunes que aparecen en los gráficos R y algunas de las características del procesox

    244 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para las variables que pueden producir los patrones. Para interpretar eficazmente los gráficos R, el analista debe estar familiarizado con los principios estadísticos que subyacen al gráfico de control y con el proceso en sí. En el Manual de control de calidad estadístico de Western Electric (1956, págs. 149-183) se encuentra información adicional sobre la interpretación de patrones en gráficos de control. x Al interpretar los patrones en el gráfico, primero debemos determinar si el gráfico R tiene el control o no. Algunas causas asignables aparecen tanto en la gráfica como en la R. Si las gráficas xx y R muestran un patrón no aleatorio, la mejor estrategia es eliminar primero las causas asignables de la gráfica R. En muchos casos, esto eliminará automáticamente el patrón no aleatorio en el gráfico. Nunca intente interpretar el gráfico cuando el gráfico R indique una condición fuera de controlxx. Los patrones cíclicos aparecen ocasionalmente en el gráfico de control. En la figura 6.8 se muestra un ejemplo típico. Tal patrón en la tabla puede resultar de cambios ambientales sistemáticos tales como temperatura, fatiga del operador, rotación regular de operadores y / o máquinas, o fluctuación en el voltaje o presión o alguna otra variable en el equipo de producción. A veces, las tablas R revelarán ciclos debido a programas de mantenimiento, fatiga del operador o desgaste de la herramienta que resulte en una variabilidad excesiva.En un estudio en el que participó este autor, la variabilidad sistemática en el volumen de llenado de un recipiente metálico fue causada por el ciclo de encendido y apagado de un compresor en la máquina de llenado. Se indica una mezcla cuando los puntos graficados tienden a caer cerca o ligeramente fuera de los límites de control, con relativamente pocos puntos cerca de la línea central, como se muestra en la figura 6.9. Un patrón de mezcla se genera mediante dos (o más) distribuciones superpuestas que generan la salida del proceso. Las distribuciones de probabilidad que podrían asociarse con el patrón de mezcla de la figura 6.9 se muestran en el lado derecho de esa figura. La severidad del patrón de mezcla depende del grado en que se superponen las distribuciones. A veces, las mezclas son el resultado de un "control excesivo", en el que los operadores realizan ajustes de proceso con demasiada frecuencia, respondiendo a variaciones aleatorias en la salida en lugar de causas sistemáticas. También puede ocurrir un patrón de mezcla cuando el producto de salida de varias fuentes (como máquinas paralelas) se alimenta a una corriente común que luego se muestrea para propósitos de monitoreo del proceso. En la figura 6.10 se ilustra un cambio en el nivel del proceso. Estos cambios pueden resultar de la introducción de nuevos trabajadores, cambios en los métodos, materias primas o máquinas, un cambio en el método de inspección o estándares o un cambio en la habilidad, atención o motivación de los operadores. A veces, se observa una mejora en el desempeño del proceso después de la introducción de un programa de gráficos de control, simplemente debido a factores motivacionales que influyen en los trabajadores. En el gráfico de control de la figura 6.11 se muestra una tendencia o movimiento continuo en una dirección. Las tendencias suelen deberse a un desgaste o deterioro gradual de una herramienta o de algún otro componente crítico del proceso. En los procesos químicos, a menudo ocurren debido a la sedimentación UCL UCL LCL LCL Número de muestra Número de muestra ■ F I G U R E 6. 8 ciclos en un gráfico de control. ■ F I G U R E 6. 9 Un patrón de mezcla.

    6.2 Gráficos de control para y Rx 245 UCL UCL LCL LCL Número de muestra Número de muestra ■ F I G U R E 6. 1 0 Un cambio en el nivel del proceso. ■ F I G U R E 6. 11 Una tendencia a nivel de proceso. o separación de los componentes de una mezcla. También pueden deberse a causas humanas, como la fatiga del operador o la presencia de supervisión. Finalmente, las tendencias pueden resultar de influencias estacionales, como la temperatura. Cuando las tendencias se deben al desgaste de la herramienta u otras causas sistemáticas de deterioro, esto puede incorporarse directamente en el modelo de gráfico de control. Un dispositivo útil para monitorear y analizar procesos con tendencias es el gráfico de control de regresión [ver Mandel (1969)]. La tabla de control modificada, discutida en el Capítulo 9, también se usa cuando el proceso presenta desgaste de la herramienta. La estratificación, o una tendencia de los puntos a agruparse artificialmente alrededor de la línea central, se ilustra en la figura 6.12. Observamos que hay una marcada falta de variabilidad natural en el patrón observado. Una posible causa de estratificación es el cálculo incorrecto de los límites de control. Este patrón también puede resultar cuando el proceso de muestreo recolecta una o más unidades de varias distribuciones subyacentes diferentes dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, suponga que se obtiene una muestra de tamaño 5 tomando una observación de cada uno de los cinco procesos paralelos. Si las unidades más grandes y más pequeñas de cada muestra están relativamente separadas porque provienen de dos distribuciones diferentes, entonces R se inflará incorrectamente, lo que hará que los límites de la gráfica x sean demasiado amplios. En este caso, R mide incorrectamente la variabilidad entre las diferentes distribuciones subyacentes, además de la variación de la causa casual que se pretende medir. Al interpretar patrones en los gráficos y R, se deben considerar los dos gráficos en conjunto. X Si la distribución subyacente es normal, entonces las variables aleatorias y R calculadas a partir de la misma muestra son estadísticamente independientes. Por lo tanto, x y R deben comportarse de forma independiente en el gráfico de control. Si existe una correlación entre los valores de y R, es decir, si los puntos x en los dos gráficos se "siguen" entre sí, esto indica que la distribución subyacente está sesgada. Si las especificaciones se han determinado asumiendo normalidad, entonces esos análisis pueden ser erróneos. UCL LCL Número de muestra ■ F I G U R E 6. 1 2 Un patrón de estratificación.

    246 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables 6.2.5 El efecto de la no normalidad en los gráficos y R x A menudo se asume que vincula los gráficos de normalidad y control en el desarrollo de las propiedades de rendimiento de los gráficos de control y R, es decir, que el subyacente La distribuciónx de la característica de calidad es normal. En muchas situaciones, podemos tener motivos para dudar de la validez de esta suposición. Por ejemplo, podemos saber que la distribución subyacente no es normal, porque hemos recopilado una gran cantidad de datos que indican que el supuesto de normalidad es inapropiado. Ahora bien, si conocemos la forma de la distribución subyacente, es posible derivar las distribuciones de muestreo de y R (o alguna otra medida de variabilidad del proceso) y obtener los límites de probabilidad exactos para los gráficos de control. Este enfoque podría ser difícil en algunos casos, y la mayoría de los analistas probablemente preferirían utilizar el enfoque estándar basado en el supuesto de normalidad si creyeran que el efecto de apartarse de este supuesto no es grave. Sin embargo, es posible que no sepamos nada sobre la forma de la distribución subyacente, y entonces nuestra única opción puede ser utilizar los resultados de la teoría normal. Evidentemente, en cualquier caso, estaríamos interesados ​​en conocer el efecto de las desviaciones de la normalidad en las gráficas de control habituales para y R.x Varios autores han investigado el efecto de las desviaciones de la normalidad en las gráficas de control. Burr (1967) señala que las constantes límite de control de la teoría normal habitual son muy robustas al supuesto de normalidad y pueden emplearse a menos que la población sea extremadamente anormal. Schilling y Nelson (1976), Chan, Hapuarachchi y Macpherson (1988) y Yourstone y Zimmer (1992) también han estudiado el efecto de la no normalidad en los límites de control del gráfico. Schilling y Nelson investigaron la distribución uniforme, triangular rectángulo, gammax (con l = 1 y r = 1, 1, 2, 3 y 4) y dos distribuciones bimodales formadas como mezclas de dos distribuciones normales de 2. Su estudio indica que, en la mayoría de los casos, las muestras de tamaño 4 o 5 son suficientes para asegurar una solidez razonable al supuesto de normalidad. Los peores casos observados fueron para valores pequeños de r en la distribución gamma [r = 1 2 y r = 1 (la distribución exponencial)]. Por ejemplo, informan que el riesgo a real es 0.014 o menos si n ≥ 4 para la distribución gamma con r = 1, en contraposición a un valor teórico de 2 0.0027 para la distribución normal. Si bien el uso de límites de control de tres sigma en el gráfico producirá un riesgo a de x 0,0027 si la distribución subyacente es normal, no ocurre lo mismo con el gráfico R. La distribución muestral de R no es simétrica, incluso cuando se toma muestras de la distribución normal, y la cola larga de la distribución está en el lado alto o positivo. Por lo tanto, los límites simétricos de tres sigma son solo una aproximación, y el riesgo a en una gráfica R de este tipo no es 0.0027. (De hecho, para n = 4, es a = 0,00461). Además, la gráfica R es más sensible a las desviaciones de la normalidad que la gráfica. x Una vez más, es importante recordar el papel de la teoría y supuestos como la normalidad y la independencia. Estos son fundamentales para el estudio del desempeño del gráfico de control que es muy útil para evaluar su idoneidad para la fase II, pero juega un papel mucho menos importante en la fase I. De hecho, estas consideraciones no son una preocupación principal en fase I. 6.2.6 La función de característica de operación La capacidad de los gráficos y R para detectar cambios en la calidad del proceso se describe mediante sus curvas de característica de operación x (OC). En esta sección, presentamos estas curvas OC para gráficos utilizados para el monitoreo de la fase II de un proceso. Considere la curva característica de operación (OC) para un gráfico de control x. Se supone que la desviación estándar s es conocida y constante. Si la media cambia del valor bajo control, digamos, m 0, a otro valor m 1 = m 0 + ks, la probabilidad de no detectar este cambio en la primera muestra subsiguiente o el riesgo b es σ β = (6.18) P k 1 0

    6.2 Gráficos de control para y Rx 247 2 Dado que x ∼ N (m, s / n), y los límites de control superior e inferior son UCL = m 0 + Ls / 1n y LCL = m 0 - Ls / 1n, podemos escribir la ecuación (6.18) como σ σ k ⎡UCL μ +) ⎤ ⎡LCL μ +) ⎤ k β = Φ ⎢ - (0 ⎥ - Φ ⎢ - (0 ⎥ ⎣ σ n ⎦ ⎣ σ n ⎦ ⎡ μ + L σ n μ +) ⎤ ⎡ μ - L σ n μ +) ⎤ σ σ kk = Φ ⎢ 0 - (0 ⎥ - Φ ⎢ 0 - (0 ⎥ ⎣ ⎢ σ n ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ σ n ⎦ ⎥ donde Φ denota la normal estándar función de distribución acumulativa. Esto se reduce a - Φ Φ β = (Lk n) - (- −L kn) (6.19) Para ilustrar el uso de la ecuación (6.19), suponga que estamos usando una gráfica con L = 3x (la habitual límites de tres sigma), el tamaño de la muestra n = 5, y deseamos determinar la probabilidad de detectar un cambio am 1 = m 0 + 2s en la primera muestra después del cambio. Entonces, como L = 3, k = 2, y n = 5, tenemos [] [] - - - β = Φ 32 5 - Φ 3 2 5 = (−147.) - (−7 37.) Φ Φ ≅ 0 0708. Esta es la b -riesgo, o la probabilidad de no detectar tal cambio. La probabilidad de que tal cambio se detecte en el primer La primera muestra subsiguiente es 1 - b = 1 - 0.0708 = 0.9292. Para construir la curva OC para el gráfico, grafique el riesgo b contra la magnitud del desplazamiento x que deseamos detectar expresado en unidades de desviación estándar para varios tamaños de muestra n. Estas probabilidades se pueden evaluar directamente a partir de la ecuación (6.19). Esta curva OC se muestra en la figura 6.13 para el caso de límites de tres sigma (L = 3). La figura 6.13 indica que para los tamaños de muestra típicos 4, 5 y 6, el gráfico no es particularmente eficaz para detectar un pequeño cambio, digamos, del orden de 1,5 so menos, en la primera muestra después del cambio. . Por ejemplo, si el desplazamiento es 1.0 sy n = 5, entonces de la figura 6.13, tenemos b = 0.75, aproximadamente. Por lo tanto, la probabilidad de que se detecte el cambio en la primera muestra es solo 1 - b = 0,25. Sin embargo, la probabilidad de que el cambio se detecte en 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 β 0.5 0.4 n = 1 0.3 n = 10 n = 2 0.2 n = 15 n = 4 n = 3 0.1 n = 20 n = 5 ■ F I G U R E 6. 1 3 Curvas 0 de característica de funcionamiento para el gráfico x con límites de tres sigma. b = P 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 (sin detectar un cambio de kσ en la media en la primera muestra k después del cambio).

    248 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables la segunda muestra es b (1 - b) = 0,75 (0,25) = 0,19, mientras que la probabilidad de que se detecte 2 2 en la tercera muestra es b (1 - b) = (0,75) 0,25 = 0,14. Por lo tanto, la probabilidad de que el desplazamiento se detecte en la ª muestra subsiguiente es simplemente 1 - b veces la probabilidad de no detectar el desplazamiento en cada una de las r - 1 muestras iniciales, o r − 1 β) β (1 - En general, el número esperado de muestras tomadas antes de que se detecte el cambio es simplemente la duración promedio de la serie, o ∞ 1 ARL = ∑ rβ r −1 (1 -) = β r = 1 1 - β Por lo tanto, en nuestro ejemplo, tienen ARL = 1 = 1 = 4 1 - β 025. En otras palabras, el número esperado de muestras tomadas para detectar un cambio de 1.0s con n = 5 es cuatro. La discusión anterior proporciona un argumento de apoyo para el uso de muestras pequeñas tamaños en el gráfico. Aunque los tamaños de muestra pequeños a menudo dan como resultado un riesgo b relativamente grande, x debido a que las muestras se recolectan y analizan periódicamente, existe una gran posibilidad de que el cambio se detecte con razonable rapidez, aunque tal vez no en la primera muestra después del desplazamiento Para construir la curva OC para la gráfica R, se emplea la distribución del rango relativo W = R / s. Suponga que el valor bajo control de la desviación estándar es s 0. Luego, la curva OC traza la probabilidad de no detectar un cambio a un nuevo valor de s, digamos, s 1 & gt s 0, en la primera muestra que sigue al cambio. La figura 6.14 presenta la curva OC, en la que b se representa frente a l = s 1 / s 0 (la relación entre la desviación estándar del proceso nuevo y el anterior) para varios valores de n. Al examinar la figura 6.14, observamos que la gráfica R no es muy eficaz para detectar cambios de proceso para tamaños de muestra pequeños. Por ejemplo, si la desviación estándar del proceso se duplica (es decir, l = s 1 / s 0 = 2), que es un cambio bastante grande, entonces las muestras de tamaño 5 tienen solo un 40% de probabilidad de detectar este cambio en cada muestra subsiguiente. . La mayoría de los ingenieros de calidad creen que el gráfico R es insensible a cambios pequeños o moderados para los tamaños de subgrupos habituales de n = 4, 5 o 6. Si n & gt 10 o 12, generalmente se debe usar el gráfico s discutido en la Sección 6.3.1 en lugar de la gráfica R. 1,00 0,90 0,80 0,70 β 0,60 0,50 0,40 n = 2 0,30 n = 6 n = 8 n = 3 0,20 n = 10 n = 12 n = 4 ■ F I G U R E 6. 1 4 Característica de funcionamiento 0,10 n = 5 n = 15 curvas para la gráfica R con límites de tres sigma. (Adaptado 0 de AJ Duncan, "Operating Characteristics of 1 2 3 4 5 6 R Charts", Industrial Quality Control, vol. 7, no. 5, = /, relación de proceso nuevo a antiguo σ σ págs. 40–41, 1951, con permiso de la Sociedad Estadounidense de Control de Calidad de 10 desviaciones estándar).

    6.2 Gráficos de control para y Rx 249 Las curvas OC de las Figs. 6.13 y 6.14 asumen que los gráficos y R se utilizan para el monitoreo del proceso en línea, es decir, el monitoreo del proceso de la fase II. En ocasiones, es útil estudiar el rendimiento estadístico de un gráfico utilizado para analizar datos pasados ​​(fase I). Esto puede dar alguna indicación de cómo el número de subgrupos preliminares utilizados para establecer el gráfico de control afecta la capacidad del gráfico para detectar condiciones fuera de control que existían cuando se recopilaron los datos. Es a partir de estos estudios analíticos, así como de la experiencia práctica, que ha evolucionado la recomendación de utilizar al menos 20 a 25 subgrupos preliminares para establecer y R gráficosx. 6.2.7 La longitud de ejecución promedio para el gráficox Para cualquier gráfico de control de Shewhart, hemos observado anteriormente que el ARL se puede expresar como ARL = 1 (P parcelas de un punto fuera de control) o ARL = 1 (6.20) 0 α para el ARL bajo control y ARL = 1 (6.21) 1 1 - β para el ARL fuera de control. Estos resultados son bastante intuitivos. Si las observaciones trazadas en la gráfica de control son independientes, entonces el número de puntos que deben trazarse hasta que el primer punto exceda un límite de control es una variable aleatoria geométrica con el parámetro p (ver Capítulo 3). La media de esta distribución geométrica es simplemente 1 / p, la longitud de ejecución promedio. x Dado que es relativamente fácil desarrollar una expresión general para b para que la gráfica de control detecte un cambio en la media de ks [ver ecuación (6.19)], entonces no es difícil construir un conjunto de curvas ARL para la gráfica. La figura 6.15 presenta estas curvas ARL para tamaños de muestra de n = xx 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 y 16 para el gráfico de control, donde el ARL está en términos del número esperado de muestras tomadas para detectar el cambio. Para ilustrar el uso de la figura 6.15, observe que si deseamos detectar un desplazamiento de 1.5 s usando un tamaño de muestra de n = 3, entonces el número promedio de muestras requeridas será ARL 1 = 3. Tenga en cuenta también que podría reducir el ARL 1 a aproximadamente 1 si aumentamos el tamaño de la muestra an = 16. Recuerde nuestra discusión en el Capítulo 5 (Sección 5.3.3) que indica que los ARL están sujetos a algunas críticas como medidas de desempeño para gráficos de control. Notamos allí (y también arriba) que la distribución de la longitud de ejecución para un gráfico de control de Shewhart es geométrica y que puede ser una distribución muy sesgada, por lo que el promedio (es decir, el ARL) puede no ser la mejor medida de un longitud de ejecución típica. Otro problema relacionado con ARL se relaciona con el hecho de que los cálculos para un gráfico de control específico generalmente se basan en estimaciones del proceso.

    250 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables Longitud de ejecución promedio (muestras) para detectar el cambio, ARL 13 9 8 7 6 5 4 5 7 16 15 14 12 11 10 9 3 2 ples) para el gráfico con límites de tres sigma, donde thex 2 cambios de la media del proceso en ks. (Adaptado de Modern 1 Methods for Quality Control and Improvement, por 0 0.5 0 n = 16 1.0 43 2.0 2.5 1 3.0 ■ FIGURA 6. 1 5 Duración promedio de la corrida (sam- 1.5 HM Wadsworth, KS Stephens y AB Godfrey, k 2nd edición, John Wiley & amp Sons, 2002.). Esto da como resultado la inflación de ARL 0 y ARL 1. Por ejemplo, suponga que la línea central del gráfico se estima perfectamente, pero la desviación estándar del proceso se sobreestima en 10 Esto daría como resultado un ARL 0 = 517, considerablemente más largo que el valor nominal o "teórico" de 370. Con un proceso normalmente distribuido, es muy probable que subestimemos la desviación estándar del proceso en un 10%, y esto daría como resultado ARL 0 = 268, un valor considerablemente más corto que 370. El promedio es (268 + 517) / 2 = 392.5, lo que sugiere que los errores en la estimación de la desviación estándar del proceso dan como resultado ARL que se sobreestiman. Hay una revisión y discusión de literatura muy completa de este tema en el artículo de Jensen et al. (2006). Otras dos medidas de desempeño basadas en ARL a veces son de interés. El tiempo promedio para señalizar es el número de períodos de tiempo que ocurren hasta que se genera una señal en el gráfico de control. Si las muestras se toman en intervalos de tiempo h igualmente espaciados, entonces el tiempo promedio para señalizar o el ATS es ATS = ARL h (6.22) También puede ser útil expresar el ARL en términos del número esperado de unidades individuales muestreadas, digamos , Yo, en lugar de la cantidad de muestras tomadas para detectar un cambio. Si el tamaño de la muestra es n, la relación entre I y ARL es I = n ARL (6.23) La figura 6.16 presenta un conjunto de curvas que trazan el número esperado de unidades individuales I que deben muestrearse para que el gráfico detecte un cambio. de ks. Para ilustrar el uso de la curva, x tenga en cuenta que para detectar un desplazamiento de 1,5 s, un gráfico con n = 16 requerirá que se muestreen aproximadamente 16x unidades, mientras que si el tamaño de la muestra es n = 3, solo unas 9 unidades serán muestreadas. requerido, en promedio.

    6.3 Gráficos de control para y sx 251 40 Se espera que las unidades individuales cambien por defecto, I 25 n = 16 35 30 20 15 n = 4 n = 9 10 ■ F I G U R E 6. 1 6 Longitud de corrida promedio n = 3 n = 7 (unidades individuales) para la gráfica x con tres- n = 2 n = 5 5 límites sigma, donde la media del proceso cambia en ks. (Adaptado de Modern Methods for Quality n = 1 Control and Improvement, por HM Wadsworth, 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 KS Stephens y AB Godfrey, 2a edición, k John Wiley & amp Sons, 2002.) 6.3 Cuadros de control para y sx Aunque los gráficos x y R se utilizan ampliamente, en ocasiones es deseable estimar la desviación estándar del proceso directamente en lugar de indirectamente mediante el uso del rango R. Esto conduce a gráficos de control para xys, donde s es la desviación estándar muestral. 1 Generalmente, los gráficos ys son preferibles a sus contrapartes más familiares, y los gráficos R, xx cuando 1. El tamaño de la muestra n es moderadamente grande, digamos, n & gt 10 o 12. (Recuerde que el método de rango para estimar s pierde estadísticas eficiencia para muestras moderadas a grandes) 2.El tamaño de la muestra n es variable. En esta sección, ilustramos la construcción y operación de gráficos de control xys. También mostramos cómo lidiar con el tamaño de muestra variable y discutimos una alternativa al gráfico s. 6.3.1 Construcción y operación de gráficos ysx La configuración y operación de gráficos de control para ys requiere aproximadamente la misma secuencia de pasosx que los gráficos para y R, excepto que para cada muestra debemos calcular el promedio de la muestra x x y la desviación estándar de la muestra. s. La Tabla 6.3 presenta las medidas del diámetro interior de los anillos de pistón de motores de automóviles forjados. Cada muestra o subgrupo consta de cinco aros de pistón. Hemos calculado el promedio de la muestra y la desviación estándar de la muestra para cada una de las 25 muestras. Usaremos estos datos para ilustrar la construcción y operación de los gráficos ys. X 2 Si s es la varianza desconocida de una distribución de probabilidad, entonces un estimador insesgado 2 de s es la varianza muestral n 2 i (∑ x - x) = s = i 1 2 n 1− 1 Algunos autores se refieren al gráfico s como gráfico s.

    252 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6. 3 Medidas de diámetro interior (mm) para anillos de pistón de motor de automóvil Número de muestra Observaciones ¯ xisi 1 74.030 74.002 74.019 73.992 74.008 74.010 0.0148 2 73.995 73.992 74.001 74.011 74.004 74.001 0.0075 3 73.988 74.024 74.021 74.005 74.002 74.008 0.0147 4 74.002 74.003 0.00156 73 73.992 74.007 74.015 73.989 74.014 74.003 0.0122 6 74.009 73.994 73.997 73.985 73.993 73.996 0.0087 7 73.995 74.006 73.994 74.000 74.005 74.000 0.0055 8 73.985 74.003 73.993 74.015 73.988 73.997 0.0123 9 74.008 73.995 73.988 73.997 0.0123 9 74.008 73.995 73.988 73.997 0.0123 9 74.008 73.995 73.988 73.997 0.0123 9 74.008 73.995 73.988 73.994.005 74.008 73.995 74.009 74.994.007 74.008 73.995 73.009 74.994.008 74.008 73.995 73.995 73.994 73.995 73.990 73.994 0.0029 12 74.004 74.000 74.007 74.000 73.996 74.001 0.0042 13 73.983 74.002 73.998 73.997 74.012 73.998 0.0105 14 74.006 73.967 73.994 74.000 73.984 73.990 0.0153 15 74.012 74.014 73.998 73.999 73.001 73.996 74,007 74,001 0,0106 18 74,006 74,010 74.018 74.003 74.000 74.007 0.0070 19 73.984 74.002 74.003 74.005 73.997 73.998 0.0085 20 74.000 74.010 74.013 74.020 74.003 74.009 0.0080 21 73.982 74.001 74.015 74.005 73.996 74.000 0.0122 22 74.004 73.999 73.990 74.006 74.009 74.002 0.0074 74.010 74.005 0.0087 25 73.982 73.984 73.995 74.017 74.013 73.998 0.0162 Σ = 1850.028 0.2351 = 74.001 ¯ s = 0.0094 x = Sin embargo, la desviación estándar muestral s no es un estimador insesgado de s. En el Capítulo 4 (Sección 4.2) observamos que si la distribución subyacente es normal, entonces s en realidad estima c 4 s, donde c 4 es una constante que depende del tamaño de la muestra n. Además, la desviación estándar de s es s21 - c 4. Esta información se puede utilizar para establecer gráficos de control en y s.x Considere el caso en el que se proporciona un valor estándar para s. Dado que E (s) = c 4 s, la línea central de la gráfica es c 4 s. Los límites de control de tres sigma para s son entonces UCL = c σ + 3σ 1 - c 2 4 4 LCL = c σ - 3σ 1 - c 4 2 4 Es habitual definir las dos constantes B = c - 31− c y B = c + 31− c 4 2 (6.24) 2 4 4 5 6 4

    6.3 Gráficos de control para y sx 253 En consecuencia, los parámetros del gráfico s con un valor estándar para s dado se convierten en UCL = B σ 6 Línea central = c σ 4 (6.25) LCL = B σ 5 Los valores de B 5 y B 6 son tabulados para varios tamaños de muestra en el Cuadro VI del Apéndice. Los parámetros de la gráfica correspondiente se dan en la ecuación (6.15), Sección 6.2.3.x Si no se da un estándar para s, entonces debe estimarse analizando datos pasados. Suponga que hay m muestras preliminares disponibles, cada una de tamaño n, y sea s i la desviación estándar de la i-ésima muestra. El promedio de las desviaciones estándar m es m s = 1 ∑ s i m i = 1 es un estimador insesgado de s. Por lo tanto, los parámetros del gráfico s El estadístico s / c 4 sería s 2 UCL = + s 3 1 - c 4 c 4 Línea central = ss 2 s LCL = - 3 1 - c 4 c 4 Normalmente definimos las constantes B = - 3 1− c y B = + 3 1− c 2 2 1 1 3 4 4 4 c 4 c 4 (6.26) En consecuencia, podemos escribir los parámetros de la gráfica s como UCL = Bs 4 Línea central = s (6.27) LCL = Bs 3 Tenga en cuenta que B 4 = B 6 / c 4 y B 3 = B 5 / c 4. se utiliza para estimar s, podemos definir los límites de control en el gráfico correspondiente Cuando s / c 4 x como s 3 UCL = + x c 4 n Línea central = x LCL = - s 3 x c 4 n

    254 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables Sea la constante A 3 = 3 / (c 4 1n). Entonces los parámetros del gráfico se convierten en x UCL = + x A s 3 Línea central = x (6.28) LCL = - A sx 3 Las constantes B 3, B 4 y A 3 para la construcción de gráficos ys a partir de datos anteriores se enumeran en x Tabla del apéndice VI para varios tamaños de muestra. Tenga en cuenta que hemos asumido que la desviación estándar de la muestra se define como ni (∑ x - x) 2 s = i = 1 (6.29) n −1 Algunos autores definen s con n en el denominador de la ecuación (6.29) en lugar de n - 1. Cuando este es el caso, las definiciones de las constantes c 4, B 3, B 4 y A 3 se modifican. Las constantes correspondientes basadas en el uso de n en el cálculo de s se denominan c 2, B 1, B 2 y A 1, respectivamente. Ver Bowker y Lieberman (1972) para sus definiciones. Tradicionalmente, los ingenieros de calidad han preferido el gráfico R al gráfico s debido a la simplicidad de calcular R a partir de cada muestra. La disponibilidad de calculadoras portátiles con cálculo automático de sy computadoras en las estaciones de trabajo para implementar gráficos de control en el sitio ha eliminado cualquier dificultad computacional. E XEMPLO 6.3 Gráficos xys para los datos de los aros de pistón Construya e interprete los gráficos xys utilizando las medidas del diámetro interior del aro del pistón en la Tabla 6.3. S OLUCIÓN El gran promedio y la desviación estándar promedio son y para el gráfico s. . . ∑ x = 1 25 x = 1 (1850 028) = 74 001 CLU = Bs = (2089) (0 0094) = 0 0196 4. . 25 i = 1 i 25 CL = = 0 0094 s. 0. y LCL = Bs = () (0 0094) = 0 3 25 s = 1 ∑ s = 1 (0 2351) = 0 0094 Los gráficos de control se muestran en la Fig. 6.17. No hay indica-. . que el proceso está fuera de control, por lo que esos límites podrían ser 25 i = 1 i 25 adoptados para el monitoreo de la fase II del proceso. respectivamente. En consecuencia, los parámetros del chartx son. X . . UCL = + A s = 74 001 + (1427) (0 0094) = 74 014. 3 CL = x = 74 001. . X . LCL = - A s = 74 001 - (1427) (0 0094) = 73 988. . 3

    6.3 Gráficos de control para y sx 255 74.015 UCL = 74.014 0.03 74.010 xs 74.005 0.02 UCL = 0.0196 74.000 73.995 0.01 73.990 LCL = 73.988 73.985 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Número de muestra Número de muestra (a) (b) ■ FIGURA 6.17 Las gráficas de control ys del ejemplo 6.3. (a) El gráfico con límites de control basados ​​en. (b) La gráfica de control de sxx. Estimación de s. Podemos estimar la desviación estándar del proceso usando el hecho de que s / c 4 es una estimación insesgada de s. Por lo tanto, dado que c 4 = 0.9400 para muestras de tamaño 5, nuestra estimación de la desviación estándar del proceso es s. 00094 ˆ σ = = =. 001 c. 0 9400 4 6.3.2 Gráficos de control ys con tamaño de muestra variablex Los gráficos de control ys son relativamente fáciles de aplicar en los casos en que los tamaños de muestra son variables. En este caso, deberíamos utilizar un método de promedio ponderado para calcular y. Si ni esx el número de observaciones en la i-ésima muestra, entonces use m ∑ nx ii x = i = 1 m (6.30) ∑ nii = 1 y ⎡ m 2 ⎤ 12 i (⎢ ∑ n -) 1 si ⎥ s = ⎢ i = 1 ⎥ (6.31) m ⎢ ∑ n - ⎥ ⎢ ⎣ i = 1 im ⎥ ⎦ como las líneas centrales en los gráficos de control y s, respectivamente. Los límites de control se calcularían a partir de las ecuaciones (6.27) y (6.28), respectivamente, pero las constantes A 3, B 3 y B 4 dependerán del tamaño de muestra utilizado en cada subgrupo individual.

    256 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables E XEMPLO 6.4 Gráfica xys para los anillos de pistón, tamaño de muestra variable _ Considere los datos de la tabla 6.4, que es una modificación de los tamaños que varían de n = 3 an = 5. Utilice el procedimiento descrito en los datos de los aros de pistón utilizados en el ejemplo 6.3. Tenga en cuenta que la página de muestra 255 para configurar las gráficas de control ys.x S OLUCIÓN La gran media ponderada y la desviación estándar promedio ponderada se calculan a partir de las ecuaciones (6.30) y (6.31) de la siguiente manera: 25 ∑ nx ii. . . x = yo = 1 25 = (5 74010) + (3 73 996) + L + (5 73 998) ++ L ∑ norte yo 53 + 5 yo = 1. = 8362 075 = 74 001. 113 ■ TA B L E 6. 4 Medidas de diámetro interior (mm) en anillos de pistón de motor de automóvil Número de muestra Observaciones ¯ xisi 1 74.030 74.002 74.019 73.992 74.008 74.010 0.0148 2 73.995 73.992 74.001 73.996 0.0046 3 73.988 74.024 74.021 74.005 74.002 74.008 0.0147 4 74.002 73.996 73.993 74.003 0.0015 74.015 73.989 74.014 74.003 0.0122 6 74.009 73.994 73.997 73.985 73.996 0.0099 7 73.995 74.006 73.994 74.000 73.999 0.0055 8 73.985 74.003 73.993 74.015 73.988 73.997 0.0123 9 74.008 73.995 74.009 74.005 74.004 73.99 73.973.994.00 74.007 74.005 74.004 73.99 73.973.994.00 74.000 12 74.004 74.000 74.007 74.000 73.996 74.001 0.0042 13 73.983 74.002 73.998 73.994 0.0100 14 74.006 73.967 73.994 74.000 73.984 73.990 0.0153 15 74.012 74.014 73.998 74.008 0.0087 16 74.000 73.984 74.005 73.998 73.996 73.997 0.00 73.994 0.07 74.05 74.07 74.07 74.07 73.994 0.05 0,0070 19 73,984 74,002 74,003 74,005 73,99 7 73.998 0.0085 20 74.000 74.010 74.013 74.008 0.0068 21 73.982 74.001 74.015 74.005 73.996 74.000 0.0122 22 74.004 73.999 73.990 74.006 74.009 74.002 0.0074 23 74.010 73.989 73.990 74.009 74.014 74.002 0.0119 24 74.015 74.009 74.014 74.002 0.0119 24 74.015 73.008 73.993.00 74.000

    6.3 Gráficos de control para y sx 257 y ⎡ 25 2 ⎤ 12 i (⎢ ∑ n -) 1 s i ⎥ ⎡ 2 2) ⎤ 12 2. . . s = ⎢ yo = 1 ⎥ = ⎢ (4 0 0148) + (2 0 0046) + L + (4 0 0162 ⎥ ++ L ⎢ 25 ⎥ ⎣ 53 + - 25 ⎦ 5 ∑ ⎢ ⎣ yo = 1 norte - 25 ⎥ ⎦ i. = ⎡ 0 009324 ⎤ ⎥ ⎦ 12 = 0 0103. ⎢ ⎣ 88 x Por lo tanto, la línea central del gráfico es = 74.001, y tenga en cuenta que hemos utilizado los valores de A 3, B 3 y B 4 para n 1 = 5. x la línea central del gráfico s es s = 0.0103. Los límites de control Los límites para la segunda muestra usarían los valores de estos ahora se pueden calcular fácilmente. Para ilustrar, considere las primeras constantes para n 2 = 3. Los cálculos del límite de control para las 25 muestras. Los límites para el gráfico son muestras se resumen en la Tabla 6.5. Los gráficos de control son x representados en la Fig. 6.18..... UCL = 74 001 1427 0 0103 = 74 016. CL = 74001 LCL = 74001 - 1427 0 0103 = 73986 ... Los límites de control para el gráfico s son. UCL = 2089 0 0103 = 0 022. 0 CL = .0103 LCL = 0 0 0103. = 0 74.020 x 74.010 0.03 s 74.000 0.02 73.990 0.01 73.980 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Muestra número Número de muestra (a) (b) ■ F I G U R E 6. 1 8 Los gráficos de control (a) y (b) s para datos de anillos de pistón con tamaño de muestra variable, Ejemplo 6.4.x (continuación)

    258 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6. 5 - Cálculo de los límites de control para gráficos xys con tamaño de muestra variable ¯ Gráfico s Muestra de gráfico n ¯ xs A 3 LCL UCL B 3 B 4 LCL UCL 1 5 74,010 0,0148 1,427 73,986 74,016 0 2,089 0 0,022 2 3 73,996 0,0046 1,954 73.981 74.021 0 2.568 0 0.026 3 5 74.008 0.0147 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 4 5 74.003 0.0091 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 5 5 74.003 0.0122 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 6 4 73.996 0.0099 1.628 73.984 74.018 0 2.266 0 2.266 0 0.022 7 4 73.999 0.0055 1.628 73.984 74.018 0 2.266 0 0.023 8 5 73.997 0.0123 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 9 4 74.004 0.0064 1.628 73.984 74.018 0 2.266 0 0.023 10 5 73.998 0.0063 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 11 5 73.994 0.0029 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 12 5 74.001 0.0042 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 13 3 73.994 0.0100 1.954 73.981 74.021 0 2.568 0 0.026 14 5 73.990 0.0153 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 15 3 74.008 0.0087 1.954 73.981 74.021 0 2.568 0 0.026 16 5 73,997 0,0078 1,427 73,986 74,016 0 2,0 89 0 0.022 17 4 73.999 0.0115 1.628 73.984 74.018 0 2.226 0 0.023 18 5 74.007 0.0070 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 19 5 73.998 0.0085 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 20 3 74.008 0.0068 1.954 73.981 74.021 0 2.568 0 0.026 21 5 74.000 0.0122 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 22 5 74.002 0.0074 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 23 5 74.002 0.0119 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 24 5 74.005 0.0087 1.427 73.986 74.016 0 2.089 0 0.022 25 5 73.998 0.0162 1.427 2.073.986 74.0 0 0.022 Una alternativa al uso de límites de control de ancho variable en los gráficos de control ys es basar los cálculos del límite de control en un tamaño de muestra promedio. Si los n i no son muy diferentes, este enfoque puede ser satisfactorio en algunas situaciones; es particularmente útil si los gráficos se van a utilizar en una presentación a la gerencia. Dado que el tamaño de muestra promedio n i puede no ser un número entero, una alternativa útil es basar estos límites de control aproximados en un tamaño de muestra modal (más común). Estimación de s. Podemos estimar la desviación estándar del proceso, s, a partir de los valores muestrales individuales s i. Primero, promedie todos los valores de s i para los cuales n i = 5 (el valor que ocurre con más frecuencia de n i). Esto da . s = 0 1715 = 0 0101. 17

    6.4 La gráfica de control de Shewhart para mediciones individuales 259 La estimación del proceso s es entonces ˆ σ = s =. 0 0101 =. 001 c. 09400 4 donde el valor de c 4 usado es para muestras de tamaño n = 5. 2 6.3.3 El gráfico de control s La mayoría de los ingenieros de calidad usan el gráfico R o el gráfico s para monitorear la variabilidad del proceso, siendo preferible s a R para a grandes tamaños de muestra. Algunos profesionales recomiendan un gráfico de control 2 2 basado directamente en la varianza de la muestra, el gráfico de control. Los parámetros para el gráfico de control de 2 s son 2 UCL = s χ α 2, n −1 2 n −1 Línea central = s 2 (6.32) 2 LCL = s χ 2 - (α n, n −1 1 2) - 1 2 2 donde ca / ​​2 yc (a / 2), n − 1 denotan los puntos porcentuales superior e inferior a / 2 de la distribución de chi-cuadrado con n - 1 grados de libertad, y s 2 es una muestra promedio varianza obtenida 2 del análisis de datos preliminares. Se podría usar un valor estándar s en la ecuación (6.32) en lugar de s 2 si hubiera uno disponible. Tenga en cuenta que este gráfico de control se define con límites de probabilidad. 6.4 La tabla de control de Shewhart para mediciones individuales Hay muchas situaciones en las que el tamaño de muestra utilizado para el monitoreo del proceso es n = 1, es decir, la muestra consta de una unidad individual. Algunos ejemplos de estas situaciones son los siguientes: 1. Se utiliza tecnología automatizada de inspección y medición, y cada unidad fabricada se analiza para que no haya una base para un subgrupo racional. 2. Los datos están disponibles con relativa lentitud y es inconveniente permitir que se acumulen tamaños de muestra de n & gt 1 antes del análisis. El largo intervalo entre observaciones causará problemas con los subgrupos racionales. Esto ocurre con frecuencia tanto en situaciones de fabricación como en situaciones no relacionadas con la fabricación. 3. Las mediciones repetidas en el proceso difieren solo debido a errores de laboratorio o de análisis, como en muchos procesos químicos. 4. Se toman múltiples medidas en la misma unidad de producto, como medir el espesor del óxido en varias ubicaciones diferentes en una oblea en la fabricación de semiconductores. 5. En plantas de proceso, como la fabricación de papel, las mediciones de algún parámetro como el espesor del recubrimiento a lo largo del rollo diferirán muy poco y producirán una desviación estándar demasiado pequeña si el objetivo es controlar el espesor del recubrimiento a lo largo del rollo.

    260 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables En tales situaciones, el gráfico de control para unidades individuales es útil. (La suma acumulada y las gráficas de control de promedio móvil ponderado exponencialmente que se discutieron en el Capítulo 9 serán una mejor alternativa en la fase II o cuando la magnitud del cambio en el proceso significa que es de interés es pequeña). En muchas aplicaciones de la gráfica de control de individuos , utilizamos el rango móvil de dos observaciones sucesivas como base para estimar la variabilidad del proceso. El rango de movimiento se define como MR = x - x i i i − 1 También es posible establecer un gráfico de control de rango de movimiento. El procedimiento se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 6.5 Costos de procesamiento de préstamos La unidad de procesamiento de préstamos hipotecarios de un banco monitorea la semana. Los costos de procesamiento de las 20 semanas más recientes Los costos de procesamiento de solicitudes de préstamo. La cantidad rastreada se muestra en la Tabla 6.6. Configure el rango individual y móvil de los costos de procesamiento semanales promedio, obtenidos al dividir los gráficos de control para estos datos. costos semanales totales por el número de préstamos procesados ​​durante ■ TA B L E 6. 6 SOLUCIÓN Costos de procesamiento de solicitudes de préstamos hipotecarios Semanas Costo x Rango móvil MR Para configurar el gráfico de control para observaciones individuales, observe que el costo promedio muestral de las 20 observaciones es 1310 x = 300.5 y que el promedio de los rangos móviles de dos 2288 22 observaciones es MR = 7.79. Para configurar el gráfico de rango móvil, 3297 9 usamos D 3 = 0 y D 4 = 3,267 para n = 2. Por lo tanto, el gráfico de rango móvil 4298 1 tiene una línea central MR = 7,79, LCL = 0 y 5 307 9 CLU = D 4 MR = (3,267) 7,79 = 25,45. La gráfica de control 6 303 4 (de Minitab) se muestra en la figura 6.19b. Observe que ningún punto 7 294 9 está fuera de control. 8297 3 Para el gráfico de control para mediciones individuales, los 9308 11 parámetros son 10306 2 MR 11294 12 UCL = x + 3 12299 5 d 2 13297 2 Línea central = x (6.33) 14299 2 MR LCL = x - 3 15314 15 d 2 16295 19 17293 2 18306 13 19301 5 20304 3 - ¯ x = 300,5 MR = 7,79

    6.4 La gráfica de control de Shewhart para mediciones individuales 261 Si se usa un rango móvil de n = 2 observaciones, entonces d 2 = La interpretación de la gráfica de control de individuos es muy 1.128. Para los datos de la Tabla 6.6, tenemos una interpretación similar a la del gráfico de control ordinario. Un cambio x en la media del proceso dará como resultado un solo punto o una serie MR 7.79 + UCL = x + 3 = 300.5 3 = 321.22 de puntos que se trazan fuera de los límites de control en el control d 1 128. 2 cuadro para particulares. A veces, un punto se trazará fuera de la línea central = x = 3 4.088 límites de control tanto en la gráfica de individuos como en la gráfica de rango MR 7.79 móvil. Esto ocurrirá a menudo porque un valor grande de x - LCL = x - 3 = 300.5 3 = 279.78 también conducirá a un valor grande del rango móvil para esa muestra d 1 128.2. Este es un comportamiento muy típico de los individuos y el gráfico de control para los valores de costos individuales se muestra en la Fig. Gráficos de control de rango móvil. Lo más probable es que sea una indicación 6.19a. No hay observaciones fuera de control en el indicador de que la media está fuera de control y no es una indicación de que ambos individuos controlan la gráfica. la media y la varianza del proceso están fuera de control. 320 UCL = 321.22 Valor individual 310 X = 300.5 300290280 LCL = 279.78 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Observación (a) UCL = 25.45 24 Rango de movimiento 18 MR = 7.79 12 0 6 LCL = 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Observación (b) ■ FIGURA 6. 1 9 Gráficos de control para (a) observaciones individuales sobre el costo y para (b) el rango móvil. Fase II Operación e Interpretación de las Cartas.La Tabla 6.7 contiene datos sobre los costos de procesamiento de solicitudes de hipotecas para las semanas 21–40. Estos datos se representan en la figura 6.20 en la continuación del gráfico de control para individuos y el gráfico de control de rango móvil desarrollado en el ejemplo 6.5. Como esta figura deja en claro, se ha producido un cambio ascendente en el costo alrededor de la semana 39, ya que hay un patrón obvio de “cambio en el nivel del proceso” en el gráfico para los individuos seguido de otra señal fuera de control en la semana 40. Nota que el gráfico de rango móvil también reacciona a este cambio de nivel con un solo gran pico en la semana 39. Este pico en el gráfico de rango móvil a veces es útil para identificar exactamente dónde ha ocurrido un cambio de proceso en la media. Claramente, se deben buscar posibles causas asignables alrededor de la semana 39. Las posibles causas podrían incluir un número inusual de solicitudes que requieran trabajo adicional de suscripción manual, o posiblemente nuevos suscriptores trabajando en el proceso, o posiblemente suscriptores temporales que reemplacen a los empleados regulares que toman vacaciones. Se debe tener cuidado al interpretar patrones en el gráfico de rango móvil. Los rangos móviles están correlacionados y esta correlación a menudo puede inducir un patrón de corridas o ciclos.

    262 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables individuales y gráficos de rango móvil de costo 340 1 1 UCL = 321.22 Valor individual 300 X = 300.5 320280 LCL = 279.78 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Observación 30 1 UCL = 25.45 Rango móvil 10 MR = 7.79 20 0 LCL = 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Observación ■ FIGURA 6. 2 0 Continuación de la gráfica de control para individuos y rango de movimiento usando los datos adicionales en la Tabla 6.7. ■ TA B L E 6. 7 Costos de procesamiento de solicitudes de préstamos hipotecarios, semanas 21 a 40 Costos semanales x costo semanal x 21305 31310 22282 32292 23305 33305 24296 34299 25314 35304 26295 36310 27287 37304 28301 38305 29 298 39 333 30 311 40 328 en el gráfico. Este patrón es evidente en el gráfico de rango móvil de la figura 6.21. Sin embargo, se supone que las medidas individuales en el gráfico x no están correlacionadas, y cualquier patrón aparente en este gráfico debe investigarse cuidadosamente. Algunas autoridades han recomendado no construir ni trazar el gráfico de rango móvil. Señalan (correctamente, agregamos) que el gráfico de rango móvil no puede realmente proporcionar información útil sobre un cambio en la variabilidad del proceso. Por ejemplo, consulte Rigdon, Cruthis y Champ (1994). En efecto, los cambios en la media del proceso también se muestran en el gráfico de rango móvil. Nuestra sensación es que mientras el analista sea cuidadoso en la interpretación y se base principalmente en el gráfico de los individuos, no se producirán problemas al trazar ambos gráficos. Longitudes promedio de ejecución. Crowder (1987b) ha estudiado la duración media de la ejecución del gráfico de control combinado para individuos y el gráfico de rango móvil. Produce ARL para varios ajustes de los límites de control y cambios en la desviación estándar y media del proceso. En general, su trabajo muestra que el ARL 0 del procedimiento combinado será generalmente mucho menor que el ARL 0 de una gráfica de control Shewhart estándar cuando el proceso está bajo control (recuerde que ARL 0 para un

    6.4 Cuadro de control de Shewhart para mediciones individuales 263 99 95 90 80 70 Por ciento 60 50 40 30 20 10 5 ■ F I G U R E 6. 2 1 Gráfica de probabilidad normal del procesamiento de 1 solicitud de hipoteca 285290295300305310315320 datos de costos de la Tabla 6.6, Ejemplo de costos 6.5 El gráfico de Shewhart tiene 370 muestras), si usamos los límites convencionales de tres sigma en los gráficos. En general, se obtienen resultados más cercanos al ARL de control de Shewhart si usamos límites de tres sigma en el gráfico para individuos y calculamos el límite de control superior en el gráfico de rango móvil de UCL = D MR donde la constante D debe elegirse tal que 4 ≤ D ≤ 5. Uno puede tener una muy buena idea acerca de la capacidad de la gráfica de control de los individuos para detectar cambios de proceso observando las curvas OC en la figura 6.13 o las curvas ARL en la figura 6.15. Para una gráfica de control de individuos con límites de tres sigma, podemos calcular lo siguiente: Tamaño del cambio b ARL 1 1s 0.9772 43.96 2s 0.8413 6.30 3s 0.5000 2.00 Note que la capacidad de la gráfica de control de individuos para detectar pequeños cambios es muy pobre. Por ejemplo, considere un proceso químico continuo en el que se toman muestras cada hora. Si se produce un cambio en la media del proceso de aproximadamente una desviación estándar, la información anterior nos dice que se necesitarán unas 44 muestras, en promedio, para detectar el cambio. Se trata de casi dos días completos de producción continua en un estado fuera de control, una situación que tiene consecuencias económicas potencialmente devastadoras. Esto limita la utilidad de la gráfica de control de individuos en el monitoreo del proceso de fase II. Algunas personas han sugerido que se utilicen límites de control más estrechos que tres sigma en el gráfico para que las personas mejoren su capacidad para detectar pequeños cambios en el proceso. Esta es una sugerencia peligrosa, ya que los límites más estrechos reducirán drásticamente el valor de ARL 0 y aumentarán la ocurrencia de falsas alarmas hasta el punto en que los gráficos se ignoran y, por lo tanto, se vuelven inútiles. Si estamos interesados ​​en detectar pequeños cambios en la fase II, entonces el enfoque correcto es usar el gráfico de control de suma acumulada o el gráfico de control de promedio móvil ponderado exponencialmente (ver Capítulo 9). Normalidad. Nuestro análisis en esta sección ha supuesto que las observaciones siguen una distribución normal. Borror, Montgomery y Runger (1999) han estudiado el desempeño de la fase II de la gráfica de control de Shewhart para individuos cuando los datos del proceso no son normales. Investigaron varias distribuciones gamma para representar datos de proceso sesgados y distribuciones t para representar datos simétricos de tipo normal. Descubrieron que el ARL bajo control es dramáticamente

    264 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables afectadas por datos anormales. Por ejemplo, si el gráfico de individuos tiene límites de tres sigma de modo que para datos normales ARL 0 = 370, el ARL 0 real para datos distribuidos por gamma está entre 45 y 97, dependiendo de la forma de la distribución gamma (distribuciones más sesgadas producen un peor rendimiento). Para la distribución t, los valores ARL 0 oscilan entre 76 y 283 a medida que los grados de libertad aumentan de 4 a 50 (es decir, a medida que la t se vuelve más parecida a la distribución normal). A la vista de estos resultados, concluimos que si el proceso muestra evidencia de una desviación incluso moderada de la normalidad, los límites de control dados aquí pueden ser totalmente inapropiados para el monitoreo del proceso de fase II. Un enfoque para abordar el problema de la no normalidad sería determinar los límites de control para la gráfica de control de los individuos en función de los percentiles de la distribución subyacente correcta. Estos percentiles podrían obtenerse de un histograma si estuviera disponible una muestra grande (al menos 100 pero preferiblemente 200 observaciones), o de una distribución de probabilidad ajustada a los datos. Consulte Willemain y Runger (1996) para obtener detalles sobre el diseño de gráficos de control a partir de distribuciones de referencia empíricas. Otro enfoque sería transformar la variable original en una nueva variable que tenga una distribución aproximadamente normal y luego aplicar gráficos de control a la nueva variable. Borror, Montgomery y Runger (1999) muestran cómo un gráfico de control EWMA diseñado correctamente es muy insensible al supuesto de normalidad. Este enfoque se discutirá en el Capítulo 9. Es importante verificar el supuesto de normalidad cuando se usa la gráfica de control para individuos. Una forma sencilla de hacer esto es con la gráfica de probabilidad normal. La Figura 6.21 es la gráfica de probabilidad normal para los datos de costos de procesamiento de la solicitud de hipoteca en la Tabla 6.6. No hay ningún problema obvio con el supuesto de normalidad en estos datos. Sin embargo, recuerde que la gráfica de probabilidad normal no es más que una verificación burda del supuesto de normalidad y que la gráfica de control de los individuos es muy sensible a la no normalidad. Además, los cambios medios podrían aparecer como un problema de normalidad en la gráfica de probabilidad normal. La estabilidad del proceso es necesaria para interpretar correctamente el gráfico. Sugerimos que la tabla de individuos de Shewhart se use con extrema precaución, particularmente en el monitoreo del proceso de fase II. EJEMPLO 6.6 El uso de transformaciones La tabla 6.8 presenta mediciones consecutivas en el proceso de deposición resistiva de una sola oblea. Construya una individualidad de 25 obleas de silicio después de depositar una capa epitaxial en la tabla de control para este proceso. TA B L E 6. 8 Datos de resistividad para el ejemplo 6.6 Muestra, i Resistividad (xi) ln (xi) MR Muestra, i Resistividad (xi) ln (xi) MR 1216 5.37528 14242 5.48894 0.23791 2290 5.66988 0.29460 15168 5.12396 0.36498 3236 5.46383 0.20605 16 360 5.88610 0.76214 4228 5.42935 0.03448 17226 5.42053 0.46557 5244 5.49717 0.06782 18253 5.53339 0.11286 6210 5.34711 0.15006 19380 5.94017 0.40678 7139 4.93447 0.41264 20131 4.87520 1.06497 8310 5.73657 0.80210 21 17380 5.19329 0.272280 0.25836 10211 5.35186 0.12878 23 195 5.27300 0.13865 11175 5.16479 0.18707 24199 5.29330 0.02030 12447 6.10256 0.93777 25226 5.42053 0.12723 13307 5.72685 0.37571 —— - ln (xi) = 5.44402 MR = 0.33712

    6.4 Cuadro de control de Shewhart para mediciones individuales 265 S OLUCIÓN Una gráfica de probabilidad normal de las mediciones de resistividad es el log ural de resistividad que se muestra en la columna tres de la tabla 6.8, que se muestra en la figura 6.22. Esta gráfica fue construida por Minitab, y la gráfica de probabilidad normal del logaritmo natural de resistiva, que ajusta la línea a los puntos por mínimos cuadrados (no se muestra la mejor calidad en la figura 6.23. Claramente, la transformación logarítmica tiene el método). Se desprende claramente de la inspección de la probabilidad normal que resultó en una nueva variable que se aproxima más a la gráfica de que el supuesto de normalidad para la resistividad es, en el mejor de los casos, por una distribución normal que si la resistividad original fuera cuestionable, por lo que sería peligroso aplicar medidas individuales . gráfico de control a los datos del proceso original. La última columna de la tabla 6.8 muestra los rangos móviles de la figura 6.22 indica que la distribución de resistividad es el logaritmo natural de resistividad. La figura 6.24 presenta que el individuo tiene una cola larga a la derecha y, en consecuencia, obtendríamos gráficos de control de rangos móviles y valores para el logaritmo natural de la resistividad de la transformación logarítmica (o una transformación similar). Tenga en cuenta que no hay indicios de que esté fuera de control para producir una distribución más cercana a la normal. El proceso nat. 99,9 99,9 99 99 Porcentaje acumulado 80 Porcentaje acumulado 80 95 95 50 50 20 20 5 1 5 1 0,1 0,1 130230330430530 4,8 5,1 5,4 5,7 6 6,3 Resistividad ln (resistividad) ■ F I G U R E 6. 2 2 Gráfica de probabilidad normal de ■ F I G U R E 6. 2 3 Gráfica de probabilidad normal de resistividad. ln (resistividad). 6.5 6.34061 6.1 In (x i) 5.7 5.44402 5.3 4.9 4.54743 4.5 0 5 10 15 20 25 1.2 1.10137 1 0.8 MR i 0.6 0.4 0.33712 0.2 0 0 0 5 10 15 20 25 ■ F I G U R E 6. 2 4 Individuos y gráficos de control de rango móvil en ln (resistividad), ejemplo 6.6

    266 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables Más sobre la estimación de s. Muy a menudo, en la práctica, utilizamos rangos móviles para estimar s para el gráfico de control de individuos. Recuerde que los rangos móviles se definen como MR i = (x i - x i − 1), i = 2, 3. . . , m. Más correctamente, esta estadística debería denominarse rango móvil de intervalo dos, ya que podría aumentarse el número de observaciones utilizadas para calcular el rango en la ventana móvil. El estimador más común es el que usamos en el ejemplo 6.5, basado en el rango móvil promedio MR = m MR i / (m - 1) y puede ser a i = 2 escrito como ˆ σ = 1. 0 8865MR donde la constante 0.8865 es el recíproco de d 2 para muestras de tamaño 2. Para procesos en control, Cryer y Ryan (1990), entre otros, han señalado que un estimador más eficiente es uno basado en la muestra desviación estándar ˆ σ = s 2 c 4 Ambos estimadores son insesgados, asumiendo que no hay causas asignables presentes en la secuencia de m observaciones individuales. Si existen causas asignables, entonces tanto s ˆ 1 como s ˆ 2 dan como resultado estimaciones sesgadas de la desviación estándar del proceso. Para ilustrar, suponga que en la secuencia de observaciones individuales x x, 2,. . . , x x, t 1+,. . . x, mt 1 el proceso está bajo control con media m 0 y desviación estándar s para las primeras t observaciones, pero entre xt y xt +1 ocurre una causa asignable que resulta en un cambio sostenido en la media del proceso a un nuevo nivel m = m 0 + ds y la media permanece en este nuevo nivel para las restantes observaciones de la muestra xt + 1,. . . , x m. En estas condiciones, Woodall y Montgomery (2000–01) muestran que (tm 1) - Es () = σ 2 + () 2 δσ 2 (mm 1) - De hecho, este resultado es válido para cualquier caso en el que la media de t de las observaciones es m 0 y la media de las observaciones restantes es m 0 + ds, ya que el orden de las observaciones no es relevante en el cálculo de s. Por lo tanto, s está sesgado hacia arriba y, en consecuencia, s ˆ = S / c 4 tenderá 2 a sobreestimar s. Tenga en cuenta que la extensión del sesgo en s ˆ 2 depende de la magnitud del cambio en la media (ds), el período de tiempo después del cual ocurre el cambio (t) y el número de observaciones disponibles (m). Ahora, el rango de movimiento solo se ve afectado por el cambio en la media durante un período (t + 1), por lo que el sesgo en s ˆ 1 depende solo de la magnitud del cambio y m. Si 1 & lt t & lt m - 1, el sesgo en s ˆ 1 siempre será menor que el sesgo en s ˆ 2. Cruthis y Rigdon (1992–93) muestran cómo la razón ˆ ⎞ ⎛ σ 2 F = ⎜ 1 ⎟ * ⎝ σ 2 ˆ ⎠ puede usarse para determinar si el proceso estaba bajo control cuando se calcularon ambas estimaciones. Utilizan la simulación para obtener los percentiles 90, 95, 99 y 99,9 aproximados de la distribución de F * para tamaños de muestra m = 10 (5) 100, asumiendo que el proceso está bajo control. Dado que se trata de una distribución de referencia empírica, los valores observados de F * que superan uno de estos percentiles son una indicación de que el proceso no tuvo control durante el período de tiempo durante el cual se recopilaron las m observaciones.

    6.4 El gráfico de control de Shewhart para mediciones individuales 267 Una forma de reducir o posiblemente eliminar el sesgo en la estimación de s cuando hay un cambio sostenido en la media es basar el estimador en la mediana de los rangos móviles del tramo dos, como sugiere Clifford (1959) y Bryce, Gaudard y Joiner (1997-1998). Este estimador es ˆ σ = 3 1.047MR - donde MR es la mediana de los rangos móviles del tramo-dos, y 1.047 es el recíproco del

    constante de la gráfica de control d 4 para subgrupos de tamaño dos definidos de manera que E (R) = d 4 sy es el rango mediano de R. Una tabla de valores de d 4 se encuentra en Wadsworth, Stephens y Godfrey (2002). Esencialmente, solo uno de los rangos de movimiento de tramo dos debería verse afectado por el cambio sostenido, y este rango de movimiento grande único tendrá poco impacto en el valor del rango de movimiento mediano, ciertamente mucho menos impacto que el que tendrá en el rango de movimiento promedio distancia. La construcción de una gráfica de control de individuos usando el rango de movimiento mediano para estimar s es una opción en Minitab. Ahora suponga que la causa asignable afecta a una sola observación en lugar de causar un cambio sostenido en la media. Si hay una sola observación que tiene una media m 0 + ds, entonces 1 δσ Es () = σ 2 + () 2 2 my esta observación afectará dos de los rangos móviles de tramo-dos. Si hay dos observaciones adyacentes de este tipo, entonces 2 (m 2) - δσ Es () = σ 2 + () 2 2 (mm 1) - y dos de los rangos móviles de tramo-dos se verán afectados por el fuera de- observaciones de control. Por lo tanto, cuando la causa asignable afecta a una o solo unas pocas observaciones adyacentes, esperamos 2 que el sesgo en s sea menor que cuando ocurre un cambio sostenido. Sin embargo, si una causa asignable que produce un cambio sostenido en la media ocurre muy temprano en la secuencia de observaciones o muy tarde, producirá el mismo efecto que una causa asignable que afecte sólo a uno o unos pocos puntos adyacentes. Algunos autores han sugerido basar la estimación de s en rangos móviles de intervalo superior a dos, y algunos programas de computadora para gráficos de control ofrecen esto como una opción. Es fácil demostrar que esto siempre conducirá a un sesgo potencialmente mayor en la estimación de s cuando existen causas asignables. Tenga en cuenta que si se utiliza un rango móvil de tramo tres y hay una sola observación cuya media se ve afectada por la causa asignable, esta observación única afectará hasta tres de los rangos móviles. Por lo tanto, un rango de movimiento de tramo tres resultará en más sesgo en la estimación de s que el rango de movimiento de tramo dos. Además, dos rangos móviles de tramo tres se verán afectados por un cambio sostenido. En general, si se usa un rango de movimiento span-w y hay una sola observación cuya media se ve afectada por la causa asignable, hasta w de estos rangos de movimiento se verán afectados por esta observación. Además, si hay un cambio sostenido en la media, hasta w - 1 de los rangos móviles se verán afectados por el cambio en la media. En consecuencia, aumentar el intervalo de un promedio móvil más allá de dos resulta en un aumento del sesgo en la estimación de s si las causas asignables que producen cambios sostenidos en la media del proceso o que afectan la media de una sola observación (o unas pocas adyacentes) son regalo. De hecho, Wetherill y Brown (1991) aconsejan graficar la estimación de s frente al intervalo de la media móvil utilizada para obtener la estimación. Una curva muy ascendente indica la presencia de causas asignables. Para obtener más información sobre el uso de rangos para estimar la variabilidad del proceso, consulte Woodall y Montgomery (2000–01).

    268 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6. 9 Fórmulas para gráficos de control, estándares dados Límites de control de la línea central del gráfico x (m y s dados) mm ± Como R (s dados) d 2 s UCL = D 2 s, LCL = D 1 ss (s dados) c 4 s UCL = B 6 s, LCL = B 5 s ■ TABLA 6. 1 0 Fórmulas para gráficos de control, límites de control basados ​​en datos anteriores (sin estándares dados) Límites de control de la línea central del gráfico = = - x (usando R) xx ± A 2 R = = x (usando s) xx ± A 3 S - - RR UCL = D 4 R, LCL = D 3 R - s ¯ s UCL = B 4 ¯s, LCL = B 3 ¯s - 6.5 Resumen de procedimientos para gráficos x, R y s Es conveniente resumir en un solo lugar las diversas fórmulas computacionales para los principales tipos de gráficos de control de variables discutidos en este capítulo. La tabla 6.9 resume las fórmulas para los gráficos, R, xys cuando se dan los valores estándar para my s. La Tabla 6.10 proporciona el resumen correspondiente cuando no se dan valores estándar y los límites de control de prueba deben establecerse a partir del análisis de datos anteriores. Las constantes dadas para la gráfica s suponen que n - 1 se usa en el denominador de s. Todas las constantes están tabuladas para varios tamaños de muestra en el Cuadro VI del Apéndice. 6.6 Aplicaciones de los gráficos de control de variables Hay muchas aplicaciones interesantes de los gráficos de control de variables. En esta sección, se describirán algunos de ellos para brindar información adicional sobre cómo funciona el gráfico de control, así como ideas para otras aplicaciones.EJEMPLO 6.7 Utilización de gráficos de control para mejorar los procesos de los proveedores Un gran fabricante aeroespacial compró un componente de aeronave y, en general, produjo una pieza que exhibía una cantidad considerable de dos proveedores. Estos componentes frecuentemente exhiben menos variabilidad que las partes del proveedor A, pero su proceso tenía una variabilidad excesiva en una dimensión clave que lo hacía centrado tan lejos de la dimensión nominal requerida que muchos imposibles de ensamblar en el producto final. Estos problemas estaban fuera de especificación. Lem siempre resultó en costosos trabajos de reelaboración y ocasiones. Esta situación convenció a la organización de adquisiciones de aliarse causando demoras en la terminación del ensamblaje de un avión. trabajar con ambos proveedores, persuadiendo al proveedor A para que imple- El grupo receptor de materiales realizó una inspección al 100% del SPC y para comenzar a trabajar en la mejora continua de estas partes en un esfuerzo por mejorar la situación. Ellos mantienen y ayudan al proveedor B a averiguar por qué su proceso fue x tarado y los gráficos R en la dimensión de interés para ambos suplidores centrados consistentemente de manera incorrecta. El problema del proveedor B eran los alicates. Descubrieron que la fracción de unidades no conformes finalmente rastreadas a algún código incorrecto en una máquina NC (numérica) era aproximadamente la misma para ambos proveedores, pero para un control muy diferente, y el uso de SPC en el proveedor A resultó en razones. El proveedor A podía producir piezas con una dimensión media en una reducción considerable de la variabilidad durante un período de seis meses igual al valor requerido, pero el proceso estaba fuera del período estadístico. Como resultado de estas acciones, el problema con estos cal control. El proveedor B pudo mantener un buen control estadístico de las partes esencialmente se eliminó.

    6.6 Aplicaciones de las tablas de control de variables 269 E XEMPLO 6.8 Uso de SPC para comprar una máquina herramienta Un artículo en Manufacturing Engineering ("Elegir un proveedor de sierras Marvel cortó 45 piezas que se analizaron usando y R x en Deere", enero de 1989, págs. 74– 77) describe cómo las tablas de John para demostrar el control estadístico y para proporcionar a Deere Company utiliza métodos de SPC para ayudar a elegir la base de producción para el análisis de la capacidad del proceso. La sierra demostró ser capaz, equipo. Cuando se compra una máquina herramienta, debe irse y el proveedor aprendió muchas cosas útiles sobre el desempeño a través de la demostración de capacidad de la empresa antes del envío de su equipo. Las pruebas de control y capacidad, como las pruebas para demostrar que la herramienta tiene la capacidad de cumplir o ésta, son parte básica de la selección del equipo y superan los criterios de desempeño establecidos. El proceso de tramitación en muchas empresas. se aplicó a una sierra de cinta controlada programable. E XEMPLO 6.9 Implementación de SPC en un taller de trabajo de corta duración Uno de los aspectos más interesantes del SPC es el éxito imposible de construir un gráfico xy R sobre el diámetro del orificio, la implementación de gráficos de control en un taller de fabricación desde cada parte es potencialmente diferente. El enfoque correcto es el medio ambiente. La mayoría de los talleres se caracterizan por un enfoque breve en la característica de interés en el proceso. En estos tramos de conducción, y muchos de estos talleres producen piezas en producción, el fabricante está interesado en perforar orificios que tengan tramos de conducción de menos de 50 unidades. Esta situación puede generar el diámetro correcto y, por lo tanto, quiere reducir la variación. El uso rutinario de las tablas de control parece ser una habilidad en el diámetro del agujero tanto como sea posible. Esto puede ser un desafío, ya que no se producen suficientes unidades en un solo lote logrado mediante un gráfico de control de la desviación del real para establecer los límites de control. diámetro del agujero del diámetro nominal. Dependiendo del Este problema generalmente se puede resolver fácilmente. Dado que la tasa de producción del proceso estadístico y la combinación de piezas producidas, cualquiera de los métodos de control del proceso se aplica con mayor frecuencia a un gráfico de control de caracteres para individuos con un control de rango móvil x una característica de un producto, podemos extender el SPC al taller de trabajo Se puede utilizar un gráfico o un gráfico convencional y R. En estos entornos, al centrarse en las características del proceso en cada aplicación, suele ser importante marcar el inicio de cada unidad de producto. Para ilustrar, considere una operación de perforación en un lote o por lotes cuidadosamente en la tabla de control, de modo que si se cambia el trabajo-taller. El operador perfora agujeros de varios tamaños en cada parte del tamaño, posición o número de agujeros perforados en cada parte que pasa por el centro de la máquina. Algunas partes requieren que uno afecte el proceso, el patrón resultante en el orificio de las tablas de control, y otras, varios orificios de diferentes tamaños. Casi será fácil de interpretar. EJEMPLO 6.10 Uso de gráficos xy R en negocios transaccionales y de servicios: los gráficos de control de variables han encontrado una aplicación frecuente en los que recientemente experimentaron un aumento considerable en el volumen comercial, tanto en entornos de fabricación como de no fabricación. En bastante tiempo, y junto con esta expansión, se produjo un alargamiento gradual: la noción generalizada pero errónea acerca de estos gráficos es que el tiempo que el departamento de finanzas necesitaba para procesar la verificación no se aplica al entorno no manufacturero debido a las solicitudes. Como resultado, a muchos proveedores se les pagaba más allá del "producto es diferente". En realidad, si podemos medir el período normal de 30 días, y la empresa no logró cap- mentos del producto que reflejen la calidad, la función o ture los descuentos disponibles de sus proveedores para el pago rápido, entonces la naturaleza del producto no influye. El equipo de mejora de la calidad asignó a este proyecto la aplicabilidad general de los gráficos de control. Sin embargo, se utiliza el tiempo de flujo a través del departamento de finanzas como las dos diferencias que se encuentran comúnmente entre los fabricantes para el análisis de gráficos de control. Cinco solicitudes de cheques completadas y situaciones comerciales transaccionales / de servicios: (1) En el se seleccionaron cada día, y el promedio y rango de tiempo de flujo del entorno no manufacturero, los límites de especificación rara vez se trazaron en gráficos xy R. Aunque la gestión y se aplican al producto, por lo que la noción de capacidad de proceso es que el personal operativo había abordado este problema antes, el uso a menudo no está definido y (2) se puede requerir más imaginación para los gráficos xy R fue responsable de una mejora sustancial: seleccione el variable o variables adecuadas para la medición. mentos. En nueve meses, el departamento de finanzas tuvo x Una aplicación de gráficos de control de R en una transacción que redujo el porcentaje de facturas pagadas con retraso de más del 90% al entorno comercial involucrado con los esfuerzos de un grupo financiero a menos del 3%, lo que resultó en un ahorro anual de varios cientos reducen el tiempo necesario para procesar sus cuentas por pagar. Los mil dólares en descuentos realizados a la empresa. división de la empresa en la que se produjo el problema había

    270 Capítulo 6 ■ Cuadros de control para variables EJEMPLO 6.11 La necesidad de cuidado al seleccionar subgrupos racionales La figura 6.25a muestra una pieza de fundición utilizada en un avión a reacción con turbina de gas que reveló que el problema principal era el uso del motor de cinco mea- nismos. Esta pieza es típica de las producidas por ambos aseguramientos de fundición en una sola pieza como un subgrupo racional, y que los procesos xy de mecanizado para uso en motores de turbina de gas y condiciones fuera de control en la tabla no proporcionaron una potencia auxiliar válida. Unidades en la industria aeroespacial: base cilíndrica para acciones correctivas. x partes creadas al girar la sección transversal alrededor de un eje central. Recuerde que el gráfico de control para se ocupa del eje de problemas. La altura de la paleta en esta parte es una característica de calidad crítica de si la variabilidad entre muestras es consistente o no. con la variabilidad dentro de la muestra. En este caso no es así: Los datos sobre las alturas de las paletas se recopilan seleccionando aleatoriamente las paletas en una sola pieza fundida que se forman juntas en cinco paletas comunes en cada pieza fundida producida. Inicialmente, la empresa de ensamblaje de moldes de cera. Es probable que las alturas de los álabes en las tablas de control construidas específicamente con estos datos para controlar y la fundición específica sean muy similares, y es razonable creer que se mejorará el proceso. Esto generalmente produjo muchos puntos fuera de control de que habrá más variación en la altura promedio de la paleta x puntos en la tabla, con un punto ocasional fuera de control entre las fundiciones. el gráfico s. La figura 6.26 muestra los gráficos s típicos para 20 cast-x. Esta situación se manejó utilizando el gráfico s en las órdenes. Un análisis más cuidadoso del procedimiento de gráficos de control no es una forma de medir la variación en la altura de la paleta. Sin embargo, como esta Abertura de la paleta Altura de la paleta (a) (b) ■ F I G U R E 6. 2 5 Un casting aeroespacial. 1 5.80 1 1 1 1 Media muestral UCL = 5.775 x 5.75 Media = 5.757 1 1 1 LCL = 5.738 5.70 1 1 Subgrupo 0 10 20 0.03 UCL = 0.02752 s Sample StDev 0.02 S = 0.01317 0.01 0.00 LCL = 0 ■ F I G U R E 6. 2 6 Gráficos de control s típicos (de Minitab) para las alturas de las paletas de las piezas fundidas x en la figura 6.26.

    Términos y conceptos importantes 271 La desviación estándar es claramente demasiado pequeña para proporcionar una base válida automáticamente, refiriéndose a ellos como control "entre / dentro" x para el control de, el ingeniero de calidad de la empresa decidió gráficos. Tenga en cuenta que el gráfico de individuos muestra control, mientras que x trata la altura promedio de la paleta en cada pieza de fundición como un individuo, el gráfico de la figura 6.26 no lo hizo. Esencialmente, la medición del rango de movimiento y el control de la altura promedio de las paletas mediante el uso de una de las alturas promedio de las paletas proporcionan un gráfico de control mucho más razonable para las personas con un gráfico de rango de movimiento. Esta estimación de la variabilidad en altura entre partes. La solución de gráfico s funcionó muy bien en la práctica, y el grupo de puede considerarse como una medida de la variabilidad en la altura de la paleta. Tres gráficos de control proporcionaron una base excelente para el proceso en una sola pieza. Queremos que esta variabilidad sea tan pequeña como una mejora. posible, de modo que todas las paletas en la misma parte serán casi idénticas. La Figura 6.27 muestra este conjunto de tres gráficos de control como genéricos. El artículo de Woodall y Thomas (1995) es un buen refinado de Minitab. El paquete de Minitab genera estos gráficos de referencia sobre este tema general. Individuos Tabla de medias de subgrupo UCL = 5.857 Valor individual 5.75 Media = 5.757 5.85 5.65 Tabla de rango móvil de medias de subgrupo LCL = 5.656 UCL = 0.1233 Rango móvil 0.10 R = 0.03773 0.05 0.00 s Tabla de todos los datos LCL = 0 0.03 UCL = 0.02752 Muestra StDev 0.02 S = 0.01317 0.01 0.00 Subgrupo 0 10 20 LCL = 0 ■ FIGURA 6. 2 7 Gráficos de control de individuos, rango móvil ys para las alturas de las paletas de las piezas fundidas en la figura 6.25. Situaciones como la descrita en el ejemplo 6.11 ocurren con frecuencia en la aplicación de gráficos de control. Por ejemplo, existen muchos problemas similares en la industria de los semiconductores. En tales casos, es importante estudiar cuidadosamente el comportamiento de las variables que se están midiendo y tener una comprensión clara del propósito de los gráficos de control. Por ejemplo, si la variación en la altura de la paleta en un molde específico no tuviera ninguna relación, usar la altura promedio como medida individual podría ser muy inapropiado. Sería necesario (1) utilizar un gráfico de control en cada paleta individual incluida en la muestra, (2) investigar el uso de una técnica de gráfico de control para procesos multisecuencia, o (3) utilizar alguna técnica de gráfico de control multivariante. Algunas de estas posibilidades se analizan en los capítulos de la Parte IV del texto. Términos y conceptos importantes Longitud de ejecución promedio Límites de tolerancia natural de un proceso Gráfico de control para unidades individuales Gráficos de normalidad y control x Límites de control Curva característica de operación (OC) para el gráfico de control Interpretación de gráficos de control Patrones en gráficos de control Gráfico de control de rango móvil Fase Yo controlo el uso de gráficos

    272 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables Uso de gráficos de control de fase II Gráficos de control de Shewhart Límites de probabilidad para gráficos de control Límites de especificación Capacidad de proceso Límites de control de tres sigma Gráfico de niveles o diagrama de tolerancia Relación de capacidad de proceso (PCR) Gráfico de control C p R Límites de control de prueba Racional subgrupos Tamaño de muestra variable en gráficos de control Gráfico de control Gráfico de control de variables Gráfico de control 2 x Gráfico de control Ejercicios 6.1. Los datos que se muestran en la Tabla 6E.1 son una diferencia entre la lectura observada en cada unidad y los valores de R para 24 muestras de tamaño el voltaje nominal multiplicado por diez, es decir, el Manual de recursos para el estudiante n = 5 tomado de un producto de proceso xi = (voltaje observado en la unidad i - 350) 10 presenta cojinetes comprensivos. Las medidas son (a) Configurar gráficos xy R en este proceso. ¿Se hace el gran anotado en el diámetro interior del proceso en el control estadístico? (b) Si las especificaciones son de 350 V ± 5 V, ¿qué se pueden registrar los números impares (es decir, 34,5 debería decirse sobre la capacidad del proceso? Los ejercicios incluyeron 0,50345). (c) ¿Existe evidencia que respalde la afirmación de que el volumen de las Respuestas a los ejercicios seleccionados (a) La configuración de gráficos xy R en esta edad se distribuye normalmente? sección en el proceso. ¿Parece el proceso 6.3. Los datos que se muestran en la Tabla 6E.3 son las desviaciones de la contraportada de este libro. estar en control estadístico? Si es necesario el diámetro nominal de los orificios perforados en fibra de carbono, revise el material compuesto de prueba utilizado en la fabricación aeroespacial. límites de control. (b) Si las especificaciones sobre este diámetro son 0.5030 ± 0.0010, calcule el porcentaje de ■ TA B L E 6 E no conformes. 2 rodamientos producidos por este proceso. Suponga que los datos de voltaje para el ejercicio 6.2. el diámetro se distribuye normalmente. Muestra 6.2. Una fuente de alimentación de alto voltaje debe tener un voltaje de salida nominal de 350 V. Se selecciona una muestra de cuatro unidades cada día y se prueba para el propósito de control de proceso 1 6 9 10 15 poses. Los datos que se muestran en la Tabla 6E.2 dan la diferencia 2 10 4 6 11 3 7 8 10 5 ■ TA B L E 6 E. 1 4 8 9 6 13 Datos del diámetro del rodamiento 5 9 10 7 13 6 12 11 10 10 Muestra Número de muestra x Número R x R 7 16 10 8 9 8 7 5 10 4 1 34,5 3 13 35,4 8 9 9 7 8 12 2 34,2 4 14 34,0 6 10 15 16 10 13 3 31,6 4 15 37,1 5 11 8 12 14 16 4 31,5 4 16 34,9 7 12 6 13 9 11 5 35,0 5 17 33,5 4 13 16 9 13 15 6 34,1 6 18 31,7 3 14 7 13 10 12 7 32,6 4 19 34,0 8 15 11 7 10 16 8 33,8 3 20 35,1 4 16 15 10 11 14 9 34,8 7 21 33,7 2 17 9 8 12 10 10 33,6 8 22 32,8 1 18 15 7 10 11 11 31,9 3 23 33,5 3 19 8 6 9 12 12 38,6 9 24 34,2 2 20 13 14 11 15

    Ejercicios 273 ■ TA B L E 6 E. 3 ■ TA B L E 6 E. Datos del diámetro de 4 orificios para el ejercicio 6.3 Espesor de la placa de circuito impreso para el ejercicio 6.4 Número de muestra x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Número de muestra x 1 x 2 x 3 1 −30 +50 −20 +10 +30 2 0 +50 - 60 −20 +30 1 0.0629 0.0636 0.0640 3 −50 +10 +20 +30 +20 2 0.0630 0.0631 0.0622 4 −10 −10 +30 −20 +50 3 0.0628 0.0631 0.0633 5 +20 −40 +50 +20 +10 4 0.0634 0.0630 0.0631 6 0 0 +40 −40 +20 5 0.0619 0.0628 0.0630 7 0 0 +20 −20 −10 6 0.0613 0.0629 0.0634 8 +70 −30 +30 −10 0 7 0.0630 0.0639 0.0625 9 0 0 +20 - 20 +10 8 0.0628 0.0627 0.0622 10 +10 +20 +30 +10 +50 9 0.0623 0.0626 0.0633 11 +40 0 +20 0 +20 10 0.0631 0.0631 0.0633 12 +30 +20 +30 +10 +40 11 0.0635 0.0630 0.0638 13 +30 −30 0 +10 +10 12 0.0623 0.0630 0.0630 14 +30 −10 +50 −10 −30 13 0.0635 0.0631 0.0630 15 +10 −10 +50 +40 0 14 0.0645 0.0640 0.0631 16 0 0 +30 −10 0 15 0.0619 0.0644 0.0632 17 +20 +20 +30 +30 −20 16 0.0631 0.0627 0.0630 18 +10 −20 +50 +30 +10 17 0.0616 0.0623 0.0631 19 +50 −10 +40 +20 0 18 0.0630 0.0630 0.0626 20 +50 0 0 +30 +10 19 0,0636 0,063 1 0.0629 20 0.0640 0.0635 0.0629 21 0.0628 0.0625 0.0616 Los valores reportados son desviaciones del nominal en 22 0.0615 0.0625 0.0619 diezmilésimas de pulgada. 23 0.0630 0.0632 0.0630 (a) Configure gráficos x y R en el proceso. ¿Está el proceso 24 0.0635 0.0629 0.0635 en control estadístico? 25 0.0623 0.0629 0.0630 (b) Estime la desviación estándar del proceso usando el método de rango. (c) Si las especificaciones están en ± 100 nominales, ¿qué puede escalar, una lectura de cero corresponde al llenado correcto que dice sobre la capacidad de este proceso? altura. Se han analizado quince muestras de tamaño n = 10. Calcule la PCR C p. lizado, y las alturas de llenado se muestran en la Tabla 6E.5. 6.4. El grosor de una placa de circuito impreso es importante: (a) Configure gráficos de control xys en este proceso. parámetro de calidad importante. Los datos sobre el espesor del tablero (en ¿El proceso exhibe control estadístico? Si en pulgadas) se dan en la Tabla 6E.4 para 25 muestras de los límites de control necesarios, construya revisados. tres tablas cada una. (b) Configure una gráfica R y compárela con la gráfica s x (a) Gráficas de configuración y control R. Es el proceso del inciso a). 2 control estadístico? (c) Prepare una gráfica s y compárela con la gráfica s en (b) Estime la desviación estándar del proceso. parte (a). (c) ¿Cuáles son los límites que esperaría alcanzar 6.6. ¿El peso neto (en oz) de un producto blanqueador seco es para x tarar casi todas las medidas del proceso? (d) Si las especificaciones están en 0.0630 pulg. ± 0.0015 pulg., tamaño de ple de n = 5. Los datos de 20 muestras preliminares son ¿cuál es el valor de PCR C p? se muestra en la Tabla 6E.6. x 6,5. El volumen de llenado de las botellas de bebidas gaseosas es un (a) Gráficos de control de configuración y R que utilizan estos datos. característica de calidad importante. El volumen es medio. ¿El proceso exhibe control estadístico? (b) Estime la media del proceso y la desviación estándar. corona y comparando la altura del líquido en la (c) ¿Parece que el peso de llenado sigue una distribución normal de la botella contra una escala codificada? ¿En esta ution?

    274 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6 E. 5 (d) Si las especificaciones están en 16.2 ± 0.5, ¿qué conclusión sacaría sobre la capacidad del proceso? (e) ¿Qué fracción de envases producidos por este proceso de muestra es probable que esté por debajo de la especificación inferior? Número x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 límite de conversión de 15,7 oz? 1 2,5 0,5 2,0 −1,0 1,0 −1,0 0,5 1,5 0,5 −1,5 6,7. Vuelva a realizar el ejercicio 6.2 utilizando el gráfico s. 2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 1.0 −1.0 1.0 1.5 −1.0 6.8. Vuelva a realizar el ejercicio 6.3 utilizando la gráfica s. 3 1.5 1.0 1.0 −1.0 0.0 −1.5 −1.0 −1.0 1.0 −1.0 6.9. Considere los datos de los anillos de pistón que se muestran en la tabla 6.3. 4 0.0 0.5 −2.0 0.0 −1.0 1.5 −1.5 0.0 −2.0 −1.5 Suponga que las especificaciones de este componente son 5 0.0 0.0 0.0 −0.5 0.5 1.0 −0.5 −0.5 0.0 0.0 74.000 + 0.05 mm. x (a) Establecer y controlar gráficos de este proceso. ¿Es 6 1.0 −0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 −1.0 1.0 −2.0 1.0 el proceso en control estadístico? 7 1.0 −1.0 −1.0 −1.0 0.0 1.5 0.0 1.0 0.0 0.0 (b) Note que los límites de control en el gráfico en la parte x 8 0.0 −1.5 −0.5 1.5 0.0 0.0 0.0 −1.0 0.5 −0.5 (a) son idénticos a los límites de control en el gráfico x 9 −2.0 −1.5 1.5 1.5 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 1.0 en el ejemplo 6.3, donde los límites eran 10 −0.5 3.5 0.0 −1.0 −1.5 −1.5 −1.0 −1.0 1.0 0.5 basado en s. ¿Sucederá esto siempre? 11 0.0 1.5 0.0 0.0 2.0 −1.5 0.5 −0.5 2.0 −1.0 (c) Estime la capacidad del proceso para el proceso del anillo del pistón 12 0.0 −2.0 −0.5 0.0 −0.5 2.0 1.5 0.0 0.5 −1.0.Estime el porcentaje de anillos de pistón 13 −1.0 −0.5 −0.5 −1.0 0.0 0.5 0.5 −1.5 −1.0 −1.0 producidos que estarán fuera de la especificación. 14 0.5 1.0 −1.0 −0.5 −2.0 −1.0 −1.5 0.0 1.5 1.5 6.10. La Tabla 6E.7 muestra 15 muestras adicionales para el proceso de anillo pis- 15 1.0 0.0 1.5 1.5 1.0 −1.0 0.0 1.0 −2.0 −1.5 ton (Tabla 6.3), tomadas después de que se establecieron las tablas de control iniciales. Grafique estos datos en la gráfica xy R desarrollada en el ejercicio 6.9. ¿Está el proceso bajo control? 6.11. Los gráficos de control en ys deben mantenerse en las lecturas de par x de un rodamiento usado en un actuador de aleta. ■ TA B L E 6 E. 6 ator montaje. Se utilizarán muestras de tamaño n = 10, datos del ejercicio 6.6. y sabemos por experiencia pasada que cuando el proceso de muestra está bajo control, el par de torsión del rodamiento tiene un Número normal x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 15.8 16.3 16.2 16.1 16.6 ■ TA B L E 6 E. 7 2 16.3 15.9 15.9 16.2 16.4 Datos del diámetro del anillo del pistón para el ejercicio 6.10 3 16.1 16.2 16.5 16.4 16.3 4 16.3 16.2 15.9 16.4 16.2 Número de muestra, i Observaciones ¯ xi R i 5 16.1 16.1 16.4 16.5 16.0 6 16.1 15.8 16.7 16.6 16.4 26 74.012 74.015 74.030 73.986 74.000 74.009 0.044 7 16.1 16.3 16.5 16.1 16.5 27 73.995 74.010 73.990 74.015 74.001 74.002 0.025 8 16.2 16.1 16.2 16.1 16.3 28 73.987 73.999 73.985 74.000 73.990 73.992 0.015 9 16.3 16.2 16.4 16.3 16.5 29 74.008 73.94.3 74.0019 74.006 16.5 29 74.008 74.0410 0.019 74.006 16.4 16.1 16.5 30 74.003 74.000 74.001 73.986 73.997 73.997 0.017 11 16.2 16.4 15.9 16.3 16.4 31 73.994 74.003 74.015 74.020 74.004 74.007 0.026 12 15.9 16.6 16.7 16.2 16.5 32 74.008 74.002 74.018 73.995 74.005 74.006 0.023 13 16.4 74 16.1 33 74.005 74.006 0.023 13 16.4 74.00 16.1 33 74.005 74.006 0.023 13 16.4 74.00 16.1 33 73,998 73,998 0,014 14 16,5 16,3 16,2 16,3 16,4 34 74,015 74,000 74,016 74,025 74,000 74,011 0,025 15 16,4 16,1 16,3 16,2 16,2 35 74,030 74,005 74,000 74,016 74,012 74,013 0,030 16 16,0 16,2 16,3 16 .3 16.2 36 74.001 73.990 73.995 74.010 74.024 74.004 0.034 17 16.4 16.2 16.4 16.3 16.2 37 74.015 74.020 74.024 74.005 74.019 74.017 0.019 18 16.0 16.2 16.4 16.5 16.1 38 74.035 74.010 74.012 74.015 74.017 74.020 0.025 19 16.4 16.0 16.0 16.3 74.017 74.020 0.025 19 16.4 16.0 16.0 16.3 74.026 74.023 0.023 20 16.4 16.4 16.5 16.0 15.8 40 74.010 74.005 74.029 74.000 74.020 74.013 0.029

    Ejercicios de distribución 275 con media m = 80 pulgadas-libras y estándar ■ TA B L E 6 E. 8 desviación dard s = 10 pulgadas-libras. Encuentre los datos centrales para la línea del ejercicio 6.14 y los límites de control para estos gráficos de control. Muestra 6.12. Se toman muestras de n = 6 elementos cada una de un número de proceso x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ¯ x R a intervalos regulares. Se mide una característica de calidad y se calculan los valores xy R para cada muestra 1 138,1 110,8 138,7 137,4 125,4 130,1 27,9. Después de 50 muestras, tenemos 2149,3 142,1 105,0 134,0 92,3 124,5 57,0 50 50 3115,9 135,6 124,2 155,0 117,4 129,6 39,1 ∑ x = 2000 y ∑ R = 200 iii = 1 i 1 = 4118,5 116,5 130,2 122,6 100,2 117,6 30,0 5108,2 123,8 117,1 142,4 150,9 128,5 42,7 Suponga que la característica de calidad es normalmente 6 102,8 112,0 135,0 135,0 145,8 126,1 43,0 distribuida. 7120,4 84,3 112,8 118,5 119,3 111,0 36,1 x (a) Calcule los límites de control para los gráficos y el control R 8132,7 151,1 124,0 123,9 105,1 127,4 46,0. 9136,4 126,2 154,7 127,1 173,2 143,5 46,9 (b) Todos los puntos en ambas gráficas de control se encuentran entre los límites de control de 10135,0 115,4 149,1 138,3 130,4 133,6 33,7 calculados en la parte (a). ¿Cuáles son los 11 139,6 127,9 151,1 143,7 110,5 134,6 40,6 límites de tolerancia natural del proceso? 12125,3 160,2 130,4 152,4 165,1 146,7 39,8 (c) Si los límites de especificación son 41 ± 5,0, ¿cuáles son sus conclusiones con respecto a la capacidad del proceso 13145,7 101,8 149,5 113,3 151,8 132,4 50,0 para producir artículos dentro de estas especificaciones 14 138,6 139,0 131,9 140,2 141,1 138,1 9,2 ciones? 15110,1 114,6 165,1 113,8 139,6 128,7 54,8 (d) Suponiendo que si un artículo excede la especificación superior 16 145,2 101,0 154,6 120,2 117,3 127,6 53,3 límite de ificación, se puede volver a trabajar, y si está 17125,9 135,3 121,5 147,9 105,0 127,1 42,9 por debajo del límite de especificación inferior debe ser 18 129,7 97,3 130,5 109,0 150,5 123,4 53,2 desguazado, ¿qué porcentaje de desperdicio y retrabajo produce el proceso 19 123,4 150,0 161,6 148,4 154,2 147,5 38,3? 20 144,8 138,3 119,6 151,8 142,7 139,4 32,2 (e) Haga sugerencias sobre cómo se podría mejorar el desempeño del proceso. 6.13. Se toman muestras de n = 4 elementos de un proceso en 6.14. La tabla 6E.8 presenta 20 subgrupos de cinco intervalos regulares de medida. Se miden los caracteres de calidad normalmente distribuidos en la dimensión crítica de una pieza producida por x acteristic y los valores de s se calculan en un proceso de mecanizado. lated para cada muestra. Después de que se hayan realizado 50 subgrupos (a) Establezca gráficos de control x y R en este proceso. analizado, tenemos Verificar que el proceso está en control estadístico. (b) Después del establecimiento de gráficos de control en 50 50 ∑ x = 1000 y ∑ s = 72 parte (a) anterior, 10 nuevas muestras en la Tabla 6E.9 iii = 1 i 1 = (a) Calcule el límite de control para el y control de s ■ TABLA 6 E. 9 x gráficos. Datos adicionales para el ejercicio 6.14, parte (b) (b) Suponga que todos los puntos en ambas gráficas se grafican dentro de los límites de control. ¿Cuáles son los límites de tolerancia natural Número x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ¯ x R del proceso? (c) Si los límites de especificación son 19 ± 4.0, ¿cuáles son 1 131.0 184.8 182.2 143.3 212.8 170.8 81.8 sus conclusiones con respecto a la capacidad del proceso 2 181.3 193.2 180.7 169.1 174.3 179.7 24.0 para producir artículos que cumplan con las especificaciones 3 154.8 170.2 168.4 202.7? 174,4 174,1 48,0 cationes? 4157,5 154,2 169,1 142,2 161,9 157,0 26,9 (d) Suponiendo que si un artículo excede la especificación superior 5 216,3 174,3 166,2 155,5 184,3 179,3 60,8 límite de ificación, se puede volver a trabajar, y si está 6186,9 180,2 149,2 175,2 185,0 175,3 37,8 por debajo del límite de especificación inferior debe ser 7 167,8 143,9 157,5 171,8 194,9 167,2 51,0 desguazado, ¿qué porcentaje de desperdicio y reprocesado está produciendo el proceso 8 178,2 186,7 142,4 159,4 167,6 166,9 44,2? 9162.6 143.6 132.8 168.9 177.2 157.0 44.5 (e) Si el proceso estuviera centrado en m = 19.0, ¿cuál sería el efecto sobre el porcentaje de desperdicio y reprocesado 10 172.1 191.7 203.4 150.4 196.3 182.8 53.0?

    276 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6 E. 1 0 ■ TA B L E 6 E. 1 1 Datos nuevos para el ejercicio 6.14, parte (c) Datos de resistencia para el ejercicio 6.15 Muestra Número de muestra x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ¯ x Número R x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ¯ x R 1131,5 143,1 118,5 103,2 121,6 123,6 39,8 1 83,0 81,2 78,7 75,7 77,0 79,1 7,3 2111,0 127,3 110,4 91,0 143,9 116,7 52,8 2 88,6 78,3 78,8 71,0 84,2 80,2 17,6 3 129,8 98,3 134,0 105,1 133,1 120,1 35,7 3 85,7 75,8 84,3 75,2 81,0 80,4 10,4 4145,2 132,8 106,1 131,0 99,2 122,8 46,0 4 80,8 74,4 82,5 74,1 75,7 77,5 8,4 5 114,6 111,0 108,8 177,5 121,6 126,7 68,7 5 83,4 78,4 82,6 78,2 78,9 80,3 5,2 6125,2 86,4 64,4 137,1 117,5 106,1 72,6 6 75,3 79,9 87,3 89,7 81,8 82,8 14,5 7145,9 109,5 84,9 129,8 110,6 116,1 61,0 7 74,5 78,0 80,8 73,4 79,7 77,3 7,4 8 123,6 114,0 135,4 83,2 107,6 112,8 52,2 8 79,2 84,4 81,5 86,0 74,5 81,1 11,4 9 85,8 156,3 119,7 96,2 153,0 122,2 70,6 9 80,5 86,2 76,2 64,1 80,2 81,4 9,9 10 107,4 148,7 127,4 125,0 127,5 127,2 41,3 10 75,7 75,2 71,1 82,1 74,3 75,7 10,9 11 80,0 81,5 78,4 73,8 78,1 78,4 7,7 12 80,6 81,8 79,3 73,8 Se recogieron 81,7 79,4 8,0. Grafique los valores y R en el gráfico de control x 13 82,7 81,3 79,1 82,0 79,5 80,9 3,6 que estableció en el inciso a) y extraiga 14 79,2 74,9 78,6 77,7 75,3 77,1 4,3 conclusiones. 15 85.5 82.1 82.8 73.4 71.7 79.1 13.8 (c) Suponga que la causa asignable responsable de las señales de acción generadas en el inciso (b) ha sido identificada y se han realizado ajustes al 17 82.1 78.2 75.5 78.2 82.1 79.2 6.6 x proceso para corregir su desempeño. Grafique los valores de R y 18 84,5 76,9 83,5 81,2 79,2 81,1 7,6 de los nuevos subgrupos que se muestran en la Tabla 19 79,0 77,8 81,2 84,4 81,6 80,8 6,6 6E.10 que se tomaron después del ajuste 20 84,5 73,1 78,6 78,7 80,6 79,1 11,4 límites del gráfico de control establecidos en la parte (a). Cuales son tus conclusiones? ■ TA B L E 6 E. 1 2 6.15. Las piezas fabricadas mediante un proceso de moldeo por inyección Los datos nuevos para el ejercicio 6.15, parte (b) se someten a una prueba de resistencia a la compresión. Se recogen veinte muestras de cinco partes cada una, y las resistencias a la compresión de la muestra (en psi) se muestran en la tabla Número x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ¯ x R 6E.11. (a) Establezca y controle gráficos para compresión 1 68,9 81,5 78,2 80,8 81,5 78,2 12,6 x resistencia utilizando estos datos. ¿Está el proceso en control estadístico 2 69,8 68,6 80,4 84,3 83,9 77,4 15,7? 3 78.5 85.2 78.4 80.3 81.7 80.8 6.8 (b) Después de establecer las gráficas de control en el inciso (a), 4 76.9 86.1 86.9 94.4 83.9 85.6 17.5 Se recolectaron 15 nuevos subgrupos y los compuestos 5 93.6 81.6 87.8 79.6 71.0 82.7 22.5 son se muestra en la Tabla 6E.12. Trace 6 65,5 86,8 72,4 82,6 71,4 75,9 21,3 x los valores de y R contra las unidades de control de 7 78,1 65,7 83,7 93,7 93,4 82,9 27,9 parte (a) y saque conclusiones. 8 74,9 72,6 81,6 87,2 72,7 77,8 14,6 6,16. Reconsidere los datos presentados en el ejercicio 6.15. 9 78.1 77.1 67.0 75.7 76.8 74.9 11.0 (a) Vuelva a trabajar ambas partes (a) y (b) del ejercicio 6.15 10 78.7 85.4 77.7 90.7 76.7 81.9 14.0 x usando los gráficos ys. 11 85.0 60.2 68.5 71.1 82.4 73.4 24.9 (b) ¿Detecta la gráfica s el cambio en la variabilidad del proceso 12 86.4 79.2 79.8 86.0 75.4 81.3 10.9 más rápidamente que la gráfica R originalmente 13 78.5 99.0 78.3 71.4 81.8 81.7 27.6 finalmente en parte (b) del ejercicio 6.15? 14 68,8 62,0 82,0 77,5 76,1 73,3 19,9 6,17. Considere las gráficas xy R que estableció en 15 83.0 83.7 73.1 82.2 95.3 83.5 22.2 Ejercicio 6.1 usando n = 5. (a) Suponga que desea continuar trazando esta característica de calidad usando gráficas x y R (b) ¿Cuál sería el impacto de la decisión se basó en un tamaño de muestra de n = 3. ¿Qué límites establecidos en el inciso a) sobre la capacidad de la gráfica tox se usarían en las gráficas y R? x detectar un cambio de 2 en la media?

    Ejercicios 277 (c) Suponga que desea seguir graficando esto (c) Si la media del proceso se desplaza a 22, ¿cuál es la característica de calidad del problema utilizando gráficos R y la capacidad de concluir que el proceso todavía está en x en un tamaño de muestra de n = 8. ¿Qué límites se controlarían? utilizado en los gráficos y R? 6.22. Se utiliza un gráfico para controlar la media de un valor normalmente x x (d) ¿Cuál es el impacto de utilizar n = 8 en la característica de calidad distribuida por capacidad? ¿Se sabe que x del gráfico para detectar un desplazamiento de 2 en la media? s = 6.0 yn = 4. La línea central = 200, UCL = 209, 6.18. Considere la gráfica y R que estableció en y LCL = 191. Si la media del proceso se desplaza a 188, x Ejercicio 6.9 para el proceso del segmento del pistón. Suponga que calcule la probabilidad de que se detecte este cambio en la primera muestra subsiguiente del anillo del pistón que desea continuar con el control. diámetro usando n = 3. ¿Qué límites se usarían en 6.23. ¿Una dimensión crítica de una pieza mecanizada tiene un gráfico específico y R? cationes 100 ± 10. El análisis del gráfico de control indica 6.19. Los gráficos de control para x y R se mantienen para que el proceso esté bajo control con x = 104 y una característica de calidad importante. El tamaño de la muestra es R = 9,30. Los gráficos de control utilizan muestras de tamaño x n = 7 y R se calcula para cada muestra. Después de n = 5. Si asumimos que la característica es nor- 35 muestras, hemos encontrado que mal distribuida, ¿se puede ubicar la media (ajustando la posición de la herramienta) de modo que toda la salida cumpla con 35 35 ∑ x = 7805 y ∑ R = 1200 especificaciones? ¿Cuál es la capacidad actual del proceso i i i = 1 i 1 =? 6.24. Un proceso debe ser monitoreado con valores estándar x (a) Configuración y gráficos R usando estos datos. m = 10 ys = 2,5. El tamaño de la muestra es n = 2. (b) Suponiendo que ambos gráficos exhiben control, esti- (a) Encuentre la línea central y los límites de control para la relación x, la media del proceso y la desviación estándar. gráfico. (c) Si la característica de calidad es normalmente distribu- (b) Encuentre la línea central y los límites de control para el R utado y si las especificaciones son 220 ± 35, puede graficar. el proceso cumple con las especificaciones? Estime la (c) Encuentre la línea central y los límites de control para la fracción s no conforme. gráfico. (d) Suponiendo que la varianza permanece constante, enuncie 6.25. Se toman muestras de n = 5 unidades de un proceso cada vez que la media del proceso debe ubicarse en una hora. Los valores y R para una característica de calidad particular minimizan la fracción no conforme. Qué acterísticos están determinados. Después de que se hayan recolectado 25 muestras - sería el valor de la fracción no conforme- recolectadas, calculamos = 20 y R = 4.56. xing bajo estas condiciones? (a) ¿Cuáles son los límites de control de tres sigma para x 6.20? Las muestras de tamaño n = 5 se toman de un fabricante y R? proceso de ing cada hora. Una característica de calidad es (b) Ambos gráficos exhiben control. Estime el proceso medido y R se calculan para cada desviación estándar de m. x ple. Después de analizar 25 muestras, tenemos (c) Suponga que la salida del proceso se distribuye normalmente. Si las especificaciones son 19 ± 5, ¿qué 25 25 ∑ x = 662 50. y ∑ R = 9 00. son sus conclusiones con respecto al proceso i i i = 1 i 1 = capacidad? (d) Si la media del proceso cambia a 24, ¿cuál es el problema? La característica de calidad se distribuye normalmente. capacidad de no detectar este cambio en el primer sub-x (a) Encuentre los límites de control para los gráficos y R. muestra secuencial? (b) Suponga que ambos gráficos exhiben control. Si el 6.26. Se deposita una capa de TiW sobre un sustrato utilizando un sput- las especificaciones son 26,40 ± 0,50, estima la herramienta de fraccionamiento. La Tabla 6E.13 contiene el espesor de capa no conforme. mediciones (en Angstroms) en 20 subgrupos de (c) Si la media del proceso fuera 26,40, ¿qué fracción de sustratos? daría como resultado una no conformidad? (a) Establezca y controle gráficos de este proceso. Es x 6.21. ¿Se recogen muestras de tamaño n = 5 de un proceso que el proceso está bajo control? Revise los límites de control cada media hora. Después de que se hayan coloreado 50 muestras según sea necesario. s x lecto, calculamos = 20.0 y = 1.5. Suponga que (b) Estime la media y la desviación estándar de ambos gráficos exhiben control y que el proceso de calidad. acteristic se distribuye normalmente. (c) ¿Se distribuye normalmente el espesor de la capa? (a) Estime la desviación estándar del proceso. (d) Si las especificaciones están en 450 ± 30, estime la capacidad del proceso (b) Encuentre los límites de control en los gráficos ys.

    278 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables ■ TA B L E 6 E. 1 3 ■ TA B L E 6 E. 1 Datos de espesor de 5 capas para el ejercicio 6.26 Datos de espesor adicionales para el ejercicio 6.28. Subgrupo x 1 x 2 x 3 x 4 Subgrupo x 1 x 2 1459449435450 24443440442442 21454449 3457444449444 22449441 4469463453438 23442442 5443457445454 24443 452 6444456 456 457 25 446 459 7 445 449 450 445 26 454 448 8446 455 449 452 27 458 449 9 444 452 457 440 28450 449 10432463 463 443 29 443440 11445452453438 30457450 12 456 457 436 457 13 459 445 441 447 14 441 465 438 450 datos en las gráficas de control del ejercicio 6.26 (a) 15 460 453 457 438 basados ​​en el nuevo tamaño del subgrupo. ¿Está el proceso en 16 453 444 451 435 control estadístico? x 17 451 460 450 457 6.29. Vuelva a trabajar los ejercicios 6.26 y 6.27 utilizando y 18 422 431 437 429 gráficos de control. x 6,30. Los gráficos de control para y R deben establecerse para controlar la resistencia a la tracción de una pieza de metal 19 444 446 448 467. Suponga 20 450 450 454 454 que la resistencia a la tracción se distribuye normalmente. Se recogen treinta muestras de tamaño n = 6 partes durante un período 6.27. Continuación del ejercicio 6.26. La Tabla 6E.14 contratiempo con los siguientes resultados: contiene 10 nuevos subgrupos de datos de espesor. Grafique estos 30 30 datos en las gráficas de control construidas en el ejercicio ∑ x = 6000 y ∑ R = 150 i i 6.26 (a). ¿Está el proceso en control estadístico? yo = 1 yo 1 = 6,28. Continuación del ejercicio 6.26. Suponga que sigue: (a) Calcule los límites de control para y R. x x reduciendo la construcción de las gráficas de control y R (b) Ambas gráficas exhiben control. Las especificaciones en el Ejercicio 6.26, los ingenieros de proceso decidieron que la resistencia a la tracción son 200 ± 5. ¿Cuál es su conversión del tamaño del subgrupo an = 2. Tabla 6E.15 conclusiones con respecto a la capacidad del proceso? contiene 10 nuevos subgrupos de datos de espesor. Grafique esto (c) Para el gráfico anterior, encuentre el riesgo b cuando la media verdadera del proceso x es 199. x ■ TA B L E 6 E. 1 4 6.31. Un gráfico tiene una línea central de 100, utiliza datos de espesor adicional de tres sigma para los límites de control y se basa en un tamaño de muestra de cuatro. Ejercicio 6.27. Se sabe que la desviación estándar del proceso es seis. Si la media del proceso cambia de 100 a 92, ¿cuál es la probabilidad del subgrupo x 1 x 2 x 3 x 4 de detectar este cambio en la primera muestra después del cambio? 21 454 449 443 461 6,32. Los datos de la tabla 6E.16 se recopilaron de 22 449 441 444 455 fuentes de alimentación de fabricación de proceso. La variable de interés 23 442 442 442 450 es el voltaje de salida y n = 5. 24 443 452 438 430 (a) Calcule las líneas centrales y los límites de control adecuados para controlar la producción futura. 26 454 448 445 462 (b) Suponga que la característica de calidad está distribuida normalmente 27 458 449 453 438. Estime la desviación estándar del proceso 28 450 449 445 451. 29 443 440 443 451 (c) ¿Cuáles son los límites aparentes de tolerancia natural de tres sigma 30 457 450 452 437 del proceso?

    Ejercicios 279 ■ TA B L E 6 E. 1 6 ■ TA B L E 6 E. 1 7 Datos de voltaje para el ejercicio 6.32. Datos para el ejercicio 6.34. Muestra Muestra Número de muestra ¯ x Número R ¯ x Número R x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1103 4 11105 4 1 1 9 6 9 6 2102 5 12103 2 2 9 4 3 0 3 3104 2 13 102 3 3 0 9 0 3 2 4105 11 14105 4 4 1 1 0 2 1 5104 4 15104 5 5 −3 0 −1 0 −4 6106 3 16105 3 6 −7 2 0 0 2 7102 7 17106 5 7 −3 −1 −1 0 −2 8105 2 18102 2 8 0 −2 −3 −3 −2 9106 4 19105 4 9 2 0 −1 −3 −1 10104 3 20103 2 10 0 2 −1 −1 2 11 −3 −2 −1 −1 2 12 −16 2 0 −4 −1 (d) ¿Cuál sería su estimación del proceso frac- 13 −6 −3 0 0 −8 ción no conforme si las especificaciones de la característica 14 −3 −5 5 0 5 eran 103 ± 4? 15 −1 −1 −1 −2 −1 (e) ¿Qué enfoques para reducir la fracción no conforme puede sugerir? 6.33. Gráficos de control en y R para muestras de tamaño n = 5 x ■ TA B L E 6 E. 1 8 deben mantenerse en la resistencia a la tracción en libras. Nuevos datos para el ejercicio 6.35 de un hilo. Para iniciar los gráficos, se seleccionaron 30 muestras y se calculó la media y el rango de cada una. Muestra Esto produce Número x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 30 30 ∑ x = 607 8. y ∑ R = 144 16 2 10 9 6 5 iii = 1 i 1 = 17 1 9 5 9 4 18 0 9 8 2 5 (a) Calcule la línea central y los límites de control para las gráficas de control xy R. 19 −3 0 5 1 4 (b) Suponga que ambos gráficos exhiben control. Hay un 20 2 10 9 3 1 gle límite de especificación inferior de 16 lb. Si la resistencia es 21 −5 4 0 6 −1 normalmente distribuida, ¿qué fracción de hilo 22 0 2 −5 4 6 no cumpliría con las especificaciones? 23 10 0 3 1 5 6.34. Las especificaciones para el retén del encendedor de cigarros son 0.3220 24 −1 2 5 6 −3 y 0.3200 pulg. Se toman muestras de tamaño 5 cada 45 25 0 −1 2 5 −2 min con los resultados que se muestran en la Tabla 6E.17 (medidos como desviaciones desde 0,3210 en 0,0001 pulg.).(a) Prepare una gráfica R y examine el proceso para (a) Grafique estas nuevas observaciones en la gráfica de control. control estadístico. ¿Qué conclusiones puede sacar sobre el proceso (b) ¿Qué parámetros recomendaría para una estabilidad? ¿Gráfico R para control en línea? (b) Utilice las 25 observaciones para revisar el límite de control. (c) Estime la desviación estándar del proceso. es para los gráficos y R. ¿Qué conclusiones puede x (d) ¿Cuál es la capacidad del proceso? dibujas ahora sobre el proceso? 6.35. Continuación del ejercicio 6.34. Reconsidere los datos 6.36. Se ensamblan dos partes como se muestra en la Figura 6.28. x del Ejercicio 6.34 y establezca gráficos R con Suponga que las dimensiones xey son normalmente límites de control de prueba no apropiados. Revise estos ensayos limitados con medias m x y my y desviaciones estándar según sea necesario para producir un conjunto de gráficos de control para tions s x y s y, respectivamente. Las piezas se producen supervisando la producción futura. Supongamos que los nuevos en diferentes máquinas y se ensamblan al azar. Se observan los datos de la Tabla 6E.18. Los gráficos de control se mantienen en cada dimensión para

    280 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables 6.40. Un gráfico con límites de tres sigma tiene los siguientes parámetros x x y: UCL = 104 ■ F I G U R E 6. 2 8 Partes para la línea del centro de ejercicio = 100 6.36. LCL = 96 n = 5 el rango de cada muestra (n = 5). Ambos gráficos de rango Suponga que la característica de calidad del proceso está bajo control. controlado se distribuye normalmente con una media verdadera de 98 (a) Dado que para 20 muestras en el gráfico de rango, controle y una desviación estándar de 8. ¿Cuál es la probabilidad de trollear x y 10 muestras en el gráfico de rango? exhibiría falta de control al trolear y, tenemos al menos el tercer punto trazado? 6.41. Considere la gráfica definida en el ejercicio 6.40. Encuentre x 20 10 ∑ R = 18 608. y ∑ R = 6 978. el ARL 1 para la gráfica. x yo y yo x yo = 1 yo 1 = 6,42. Los gráficos de control para ys con n = 4 se mantienen en una característica de calidad. Los parámetros de estos estimados s x y s y. Los gráficos son los siguientes: (b) Si se desea que la probabilidad de una holgura menor (es decir, x - y) que 0.09 sea de 0.006, ¿qué distancia entre las dimensiones promedio x Gráfica s Gráfica (es decir, mx - my) ¿se especifico? x 6,37. Los gráficos de control para y R se mantienen en el diez-UCL = 201.88 UCL = 2.266 silencia de un sujetador metálico. Después de analizar 30 muestras de Línea central = 200.00 Línea central = 1.000 tamaño n = 6, encontramos que LCL = 198.12 LCL = 0 30 30 ∑ x = 12 870, y ∑ R = 1350 Ambos gráficos exhiben control. Las especificaciones sobre la característica de calidad i i i = 1 i 1 = son 197,50 y 202,50. Qué se puede decir sobre la capacidad del proceso para producir (a) Calcule los límites de control en la gráfica R. producto que cumple con las especificaciones? (b) Suponiendo que la gráfica R muestra control, esti- 6.43. El seguimiento estadístico de una característica de calidad coincide con los parámetros my s. utiliza gráficos an y s. Los gráficos deben ser x (c) Si la salida del proceso está distribuida normalmente, y en base a los valores estándar m = 200 ys = 10, si las especificaciones son 440 ± 40, ¿el proceso con n = 4 puede cumplir con las especificaciones? ? Estime la fracción (a) Encuentre los límites de control de tres sigma para la gráfica s. no conforme. (b) Encuentre una línea central y límites de control para la x (d) Si la varianza permanece constante, ¿dónde debe trazarse una gráfica tal que la probabilidad de un error de tipo I sea la media para minimizar la fracción 0.05? no conforme? 6.44. Especificaciones sobre una dimensión normalmente distribuida 6.38. Los gráficos de control para ys se mantienen en una calidad de 600 ± 20. y los gráficos R se mantienen en esta característica de xidad. El tamaño de la muestra es n = 4. Después de 30 dimensiones y hemos tenido el control sobre muestras largas, obtenemos un período de tiempo. Los parámetros de estos gráficos de control son los siguientes (n = 9). 30 30 ∑ x = 12 870, y ∑ s = 410 i i i = 1 i 1 = x Gráfica s Gráfica (a) Encuentre los límites de tres sigma para la gráfica s. UCL = 616 UCL = 32.36 (b) Suponiendo que ambas gráficas exhiben control, esti- Línea central = 610 Línea central = 17.82 emparejar los parámetros my s. LCL = 604 LCL = 3,28 x 6,39. Se debe establecer un gráfico sobre una característica de calidad normalmente distribuida con los valores estándar m = 100, s = 8 yn = 4. Encuentre lo siguiente: (a) ¿Cuáles son sus conclusiones con respecto a la capacidad? (A) La límites de control de dos sigma. bilidad del proceso para producir artículos dentro de (b) Los límites de probabilidad de 0,005. ¿especificaciones?

    Ejercicios 281 (b) Construya una curva OC para la gráfica suponiendo que x (d) ¿Cuáles serían los límites de control apropiados para x que s es constante? el gráfico si la probabilidad de error de tipo I fuera de 6,45. Se han recolectado treinta muestras cada una de tamaño 7 para tener un tamaño de 0.01? establecer el control sobre un proceso. Los siguientes datos 6.50. Se recopila una característica de calidad normalmente distribuida: se mide mediante el uso de una xy una gráfica R. Estos gráficos tienen los siguientes parámetros (n = 4): 30 30 ∑ x = 2700 y ∑ R = 120 i i i = 1 i 1 = x Gráfico R Gráfico (a) Calcule los límites de control de prueba para los dos gráficos. UCL = 626.0 UCL = 18.795 (b) Suponiendo que la gráfica R está bajo control, Línea central = 620.0 Línea central = 8.236 estime la desviación estándar del proceso. LCL = 614.0 LCL = 0 (c) Suponga que se desea una gráfica s. ¿Cuáles serían los límites de control y la línea central apropiados? x 6,46. Se establecerá un gráfico basado en el estándar Ambos gráficos exhiben control. valores m = 600 ys = 12, con n = 9. El control (a) ¿Cuál es la desviación estándar estimada de los límites se basará en un riesgo a de 0,01? ¿Qué son los procesos? los límites de control apropiados? (b) Suponga que un gráfico s se sustituye por el 6.47. Los gráficos xy R con n = 4 se utilizan para monitorear un gráfico nor-R. ¿Cuál sería la característica de calidad apropiada distribuida parametricamente? ¿Los controles del gráfico s? Los parámetros del gráfico son (c) Si las especificaciones del producto fueran 610 ± 15, ¿cuál sería su estimación de la fracción del proceso no conforme? x Gráfico R Gráfico (d) ¿Qué se podría hacer para reducir esta fracción no conforme a UCL = 815 UCL = 46,98? Línea central = 800 Línea central = 20.59 (e) ¿Cuál es la probabilidad de detectar un cambio en la media del proceso LCL = 785 LCL = 0 a 610 en la primera muestra que sigue al cambio (s permanece constante)? (f) ¿Cuál es la probabilidad de detectar el cambio en el control de ambos gráficos exhibidos? ¿Cuál es la probabilidad de la parte (e) por al menos la tercera muestra después del cambio de que ocurra un cambio en la media del proceso a 790? detectado en la primera muestra después del turno? 6.51. Los gráficos de control para ys se han mantenido en una x x 6,48. Considere la tabla del ejercicio 6.47. Encuentre el proceso promedio y haya exhibido control estadístico. La longitud de la carrera de edad para el gráfico. el tamaño de la muestra es n = 6. Los parámetros del gráfico de control son x 6,49. Las gráficas de control para y R se utilizan con los siguientes parámetros: x Gráfica s Gráfica x Gráfica R Gráfica UCL = 708.20 UCL = 3.420 UCL = 363.0 UCL = 16.18 Línea central = 706.00 Línea central = 1.738 Línea central = 360.0 Línea central = 8.91 LCL = 703.80 LCL = 0.052 LCL = 357.0 LCL = 1.64 (a) Estime la media y la desviación estándar del El tamaño de la muestra es n = 9. Ambos gráficos exhiben control. proceso. La característica de calidad se distribuye normalmente. (b) Estime los límites de tolerancia natural para x (a) ¿Cuál es el riesgo a asociado con la gráfica? proceso. (b) Las especificaciones sobre esta característica de calidad son (c) Suponga que la salida del proceso está bien modelada 358 ± 6. ¿Cuáles son sus conclusiones con respecto a la distribución normal? Si las especificaciones son 703 capacidad del proceso para producir artículos dentro y 709, estime la fracción no conforme. ¿especificaciones? (d) Suponga que la media del proceso se desplaza a 702,00 mientras que (c) Suponga que la media se desplaza a 357. ¿Cuál es la desviación estándar que permanece constante? ¿Cuál es la probabilidad de que el cambio no se detecte en la probabilidad de que ocurra una señal fuera de control, la primera muestra después del cambio? suena en la primera muestra después del turno?

    282 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables (e) Para el desplazamiento del inciso d), ¿cuál es la probabilidad de ■ TA B L E 6 E? 2 0 detecta el desplazamiento por al menos la tercera muestra subsiguiente de datos de dureza para el ejercicio 6.54? x 6,52. Los siguientes gráficos ys basados ​​en n = 4 tienen Dureza Dureza mostrada como control estadístico: Calor (codificado) Calor (codificado) 1 52 9 58 x Gráficos Gráfico 2 51 10 51 3 54 11 54 UCL = 710 UCL = 18.08 4 55 12 59 Línea central = 700 Línea central = 7,979 5 50 13 53 LCL = 690 LCL = 0 6 52 14 54 7 50 15 55 (a) Estime los parámetros del proceso my s. 8 51 (b) Si las especificaciones están en 705 ± 15, y la salida del proceso está distribuida normalmente, estime cada lata. ¿Es razonable suponer que se puede ponderar la fracción no conforme. se distribuye normalmente? Si el proceso permanece en (c) Para el gráfico, calcule la probabilidad de un control de tipo I x en este nivel, qué porcentaje de latas será error, suponiendo que s es constante. insuficientemente llenado? (d) Suponga que la media del proceso cambia a 693 y 6.54. Se prueban quince calores sucesivos de una aleación de acero para determinar si la desviación estándar cambia simultáneamente a 12. dureza. Los datos resultantes se muestran en la Tabla Encuentre la probabilidad de detectar este cambio en el 6E.20. Configure un gráfico de control para el gráfico de rango móvil x en la primera muestra posterior. y una gráfica de control para la medida de dureza individual- (e) Para el desplazamiento de la parte (d), encuentre los corrimientos promedio. ¿Es razonable suponer que la dureza es la longitud? ¿Normalmente distribuido? 6.53. Las latas de café de una libra se llenan con una máquina, 6.55. La viscosidad de un polímero se mide cada hora. sellado y luego pesado automáticamente. Después del ajuste- Las medidas de las últimas veinte horas se muestran en ing para el peso de la lata, cualquier paquete que la Tabla 6E.21. pesa menos de 16 oz se corta del transportador. El (a) ¿Sigue la viscosidad una distribución normal? Los pesos de 25 latas sucesivas se muestran en la Tabla (b). Configure una tabla de control de viscosidad y un 6E.19 en movimiento. Configure un gráfico de control de rango móvil y un gráfico de rango. ¿El proceso presenta un gráfico de control estadístico para los individuos? Estimar la media y controlar? desviación estándar de la cantidad de café envasado en (c) Estime la media del proceso y la desviación estándar. 6.56. Continuación del ejercicio 6.55. Los siguientes cinco miden ■ TA B L E 6 E. 19 garantías de viscosidad son 3163, 3199, 3054, 3147, ¿Pueden los datos de peso para los ejercicios 6.53 y 3156? ¿Indican estas mediciones que el proceso está en control estadístico? Lata Número de lata Peso Número Peso ■ TA B L E 6 E. 2 1 1 16.11 14 16.12 Datos de viscosidad para el ejercicio 6.55 2 16.08 15 16.10 Prueba de viscosidad Prueba de viscosidad 3 16.12 16 16.08 4 16.10 17 16.13 1 2838 11 3174 5 16.10 18 16.15 2 2785 12 3102 6 16.11 19 16.12 3 3058 13 2762 7 16.12 20 16.10 4 3064 14 2975 8 16.09 21 16.08 5 2996 15 2719 9 16.12 22 16.07 6 2882 16 2861 10 16.10 23 16.11 7 2878 17 2797 11 16.09 24 16.13 8 2920 18 3078 12 16.07 25 16.10 9 3050 19 2964 13 16.13 10 2870 20 2805

    Ejercicios 283 ■ TA B L E 6 E. 2 2 ■ TA B L E 6 E. 2 3 Datos para el ejercicio 6.57 Datos adicionales para el ejercicio 6.57, parte (c) Espesor de oblea de óxido de óxido Espesor de oblea Espesor de oblea de óxido de óxido Espesor de oblea 1 45.4 16 58.4 2 48.6 17 51.0 1 43.4 11 50.0 3 49.5 18 41.2 2 46.7 12 61.2 4 44.0 19 47.1 3 44.8 13 46.9 5 50.9 20 45.7 4 51.3 14 44.9 6 55.2 21 60.6 5 49.2 15 46.2 7 45.5 22 51.0 6 46.5 16 53.3 8 52.8 23 53.0 7 48.4 17 44.1 9 45.3 24 56.0 8 50.1 18 47.4 10 46.3 25 47.2 9 53,7 19 51,3 11 53,9 26 48,0 10 45,6 20 42,5 12 49,8 27 55,9 13 46,9 28 50,0 El proceso químico continuo se muestra en la Tabla 14 49,8 29 47,9 6E.24. 15 45,1 30 53,4 (a) En la figura 6.29 se muestra una gráfica de probabilidad normal de los datos de concentración. La línea recta 6.57. (a) Treinta observaciones sobre el espesor del óxido de se ajusta a ojo para pasar aproximadamente a través de las obleas de silicio individuales se muestran en la Tabla vigésimo y ochenta percentiles. ¿El nor- 6E.22. ¿Utilizar estos datos para establecer un gráfico de control sobre la suposición de maldad que parece razonable aquí? espesor de óxido y un gráfico de rango móvil. ¿(B) Establece un control de individuos y rango de movimiento el proceso exhibe control estadístico? Tiene un gráfico de óxido para los datos de concentración. ¿Interpreta que el espesor sigue una distribución normal? gráficos. (b) Después del establecimiento de las gráficas de control (c) Construya una gráfica de probabilidad normal para el natural en el inciso (a), se observaron diez nuevas obleas. El registro ural de concentración. ¿Las medidas de espesor de varioxidos transformados son las siguientes: se pueden distribuir normalmente? ■ TA B L E 6 E. 2 4 Óxido de óxido Espesor de la oblea Espesor de la oblea Datos para el ejercicio 6E.58 1 54.3 6 51.5 Concentración de observación Concentración de observación 2 57.5 7 58.4 1 60.4 16 99.9 3 64.8 8 67.5 2 69.5 17 59.3 4 62.1 9 61.1 3 78.4 18 60.0 5 59.6 10 63.3 4 72,8 19 74,7 5 78,2 20 75,8 Grafique estas observaciones contra los límites de control 6 78,7 21 76,6 determinados en el inciso a). ¿Está el proceso bajo control? 7 56,9 22 68,4 (c) Suponga que la causa asignable responsable de la señal 8 78,4 23 83,1 fuera de control en el inciso b) se descubre y 9 79,6 24 61,1 se elimina del proceso. Posteriormente se muestrean veinte 10 100,8 25 54,9 obleas adicionales. Grafique el espesor de óxido 11 99.6 26 69.1 contra los límites de control de la parte (a). ¿Qué 12 64,9 27 67,5 conclusiones puedes sacar? Los nuevos datos son 13 75,5 28 69,2 que se muestran en la Tabla 6E.23. 14 70,4 29 87,2 6,58. Treinta observaciones sobre la concentración (en g / l) del ingrediente activo 15 68.1 30 73.0 en un limpiador líquido producido en un

    284 Capítulo 6 ■ Gráficos de control para variables 99.9 ■ TA B L E 6 E. 2 6 Datos adicionales de velocidad de la luz para 99 Ejercicio 6.60. Porcentaje acumulativo 80 Velocidad de medición Velocidad de medición 95 50 20 5 22 830 32 830 1 21 960 31 800 0,1 23 940 33 850 54 64 74 84 94 104 24 790 34 800 Concentración 25 960 35 880 ■ F I G U R E 6. 2 9 Gráfica de probabilidad normal de los datos de concentración para el ejercicio 6.58 26 810 36 790 27 940 37 900 28 880 38 760 (d) Repita el inciso b), usando el logaritmo natural de la concentración 29 880 39 840 como la variable graficada. Comente sobre las 30 880 40 800 diferencias en las tablas que observe en comparación con las construidas en la parte (b). 6.59. En 1879, A. A. Michelson midió la velocidad de (b) ¿Existe evidencia de que la variabilidad en la medida en el aire usando una modificación de un método de garantías ha disminuido entre la prueba 1 y la planteada por el físico francés Foucauld? ¿Veinte de la prueba 2? estas mediciones se encuentran en la Tabla 6E.25 (el valor 6.61. La uniformidad de una oblea de silicio después de un grabado se informa en kilómetros por segundo y tiene un proceso de 299,000 ing se determina midiendo la capa sustraída de ella). Utilice estos datos para configurar un grosor individual en varias ubicaciones y uniformados de expresión y un gráfico de control de rango móvil. ¿Hay midad como la gama de espesores? La tabla 6E.27 presenta alguna evidencia de que las mediciones de las determinaciones de uniformidad de los envíos de velocidad durante 30 consecutivos de luz están distribuidas normalmente. Haga las obleas de medida procesadas a través de la herramienta de grabado. exhiben control estadístico? Revisar el control (a) ¿Existe evidencia de que la uniformidad normalmente está prohibida si es necesario? tributo? Si no es así, busque una transformación adecuada para 6.60. Continuación del ejercicio 6.59. Michelson en realidad los datos. hizo 100 mediciones de la velocidad de la luz en (b) Construya una gráfica de control para individuos y cinco ensayos de 20 observaciones cada uno. El segundo conjunto de gráficos de control de rango móvil para la uniformidad de las 20 mediciones se muestra en la Tabla 6E.26. proceso de grabado. ¿Está el proceso en control estadístico? (a) Grafique estas nuevas mediciones en los gráficos de control construidos en el ejercicio 6.59. ¿Son estos ■ TA B L E 6 E. 2 7 nuevas medidas en control estadístico? Proporcione una interpretación práctica de los datos de uniformidad para el ejercicio 6.61 de las gráficas de control. Uniformidad de la oblea Uniformidad de la oblea 1 11 16 15 ■ TA B L E 6 E. 2 5 2 16 17 16 Datos de velocidad de la luz para el ejercicio 6E.59 3 22 18 12 4 14 19 11 Velocidad de medición Velocidad de medición 5 34 20 18 1850 11850 6 22 21 14 2 1000 12810 7 13 22 13 3740 13 950 8 11 23 18 4980 14 1000 9 6 24 12 5900 15980 10 11 25 13 6930 16 1000 11 11 26 12 7 1070 17 980 12 23 27 15 8650 18960 13 14 28 21 9930 19880 14 12 29 21 10760 20 960 15 7 30 14


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    Se requiere que cada automóvil muestre su número en cada puerta del automóvil y en su techo. La parte delantera del automóvil y la parte inferior del parachoques trasero deben coincidir con las especificaciones de la calcomanía del fabricante del automóvil. Se requiere que cada automóvil muestre una serie de alrededor de 30 calcomanías de patrocinadores de NASCAR justo a la izquierda de cada puerta y en los guardabarros delanteros. Estas calcomanías de contingencia representan a los patrocinadores de la serie y los equipos de dinero de bonificación son elegibles para ganar durante la carrera, pero pueden omitirse en caso de que entren en conflicto con los patrocinadores o creencias morales del equipo. [2] [3] El logotipo del patrocinador de la serie se muestra en la parte superior del parabrisas, llamado encabezado del parabrisas o banner del parabrisas. [4] [3]

    A partir de 2013, se modificó el diseño de los colores de la NASCAR Cup Series, coincidiendo con el cambio al modelo de automóvil de la Generación 6. En lugar del patrocinador de la serie, como en las series inferiores, el parabrisas presenta de manera prominente el apellido del conductor (así como el nombre o la primera inicial en el caso de hermanos y miembros de la familia, como es el caso de ambos hermanos Busch, o sufijos para pilotos como Dale Earnhardt, Jr. y Martin Truex, Jr.) colocado en el centro del cabezal del parabrisas. Los logotipos del fabricante se colocan en cada esquina del parabrisas superior.Se prohibió colocar los logotipos de los números y de los patrocinadores en los faros y las luces traseras, para no obstruir las características únicas de cada modelo de automóvil. Sin embargo, se agregó una nueva ubicación para el logotipo de un solo patrocinador en la parte trasera del techo junto al número. [5] En 2014, se creó un nuevo diseño para los participantes en la NASCAR Chase for the Championship, que requería que los autos presentaran números de techo amarillos, divisores delanteros y fascias delanteras. El fondo del encabezado del parabrisas también sería de color amarillo, con el nombre del conductor mostrado en letras negras. Un nuevo logo de Chase for the Championship reemplazaría el logo normal de la NASCAR Cup Series en el grupo de contingencia. También se colocaría una calcomanía junto al nombre del conductor sobre la puerta para indicar cada victoria que un conductor obtuvo esa temporada. [6] Para 2015, los colores de las Xfinity y Camping World Truck Series incluirían el apellido del conductor en la ventana trasera superior. [7] Durante la era de la Monster Energy Cup Series de 2017 a 2019, el logotipo de Monster Energy estaba en el parabrisas delantero con el nombre del conductor moviéndose hacia el parabrisas trasero.

    Fuera de estos requisitos, los equipos pueden diseñar el automóvil y colocar los logotipos de los patrocinadores en ubicaciones aprobadas por NASCAR, y deben enviar todos los esquemas de pintura y gráficos y toda la identidad del patrocinador a NASCAR con anticipación para su aprobación. [8] Un requisito del esquema de pintura, por ejemplo, es que tanto el lado del conductor como el del pasajero del automóvil deben compartir el mismo patrón de color, aunque la parte delantera y trasera pueden ser de colores diferentes. Esta regla de seguridad, para evitar confusiones para los observadores, los oficiales de NASCAR y otros conductores, salió a la luz en octubre de 2014 en Talladega, cuando el equipo Go FAS Racing de Terry Labonte pintó su auto No. 32 en dos esquemas de colores diferentes como tributo a la dos veces campeón, pero antes de la aprobación de NASCAR. NASCAR permitió que el equipo mantuviera el esquema de clasificación eliminatoria, pero los obligó a igualar a los dos lados para la carrera. [9] Sin embargo, para 2016, parece que NASCAR eliminó esta regla silenciosamente o permitió a los equipos correr con un esquema de lado dividido siempre que tuvieran el permiso para hacerlo, como se vio con el camión No. 8 de John Hunter Nemechek. en el 2016 American Ethanol E15 225 y los autos No. 3 y No. 31 de RDV Compétition durante la NASCAR Whelen Euro Series 2016.

    Los equipos solicitan a NASCAR el uso de un número de automóvil y pagan por los derechos sobre la imagen del número. NASCAR posee y controla legalmente todos los derechos sobre los números de automóvil. [10] [8] Cuando los pilotos cambian de equipo, el dueño del equipo generalmente conserva el número. A diferencia de otras series, como la anterior Serie IROC, no existe ninguna disposición para que el campeón defensor de la serie o el líder en puntos adopten el coche número 1; está disponible para cualquier equipo. Solo un número, el No. 61, en el Whelen Modified Tour, ha sido retirado, en memoria del nueve veces campeón de la serie Richie Evans, quien murió en Martinsville Speedway practicando para la última carrera de la temporada de 1985. [11] Otras cifras históricamente significativas se han retirado ceremoniosamente, excepto con el permiso del piloto o el propietario del equipo. El número 3, por ejemplo, utilizado por Dale Earnhardt y el propietario de su automóvil Richard Childress, ha sido retirado extraoficialmente para todos los equipos y conductores, excepto para un miembro de la familia Earnhardt o Childress, y Childress paga una tarifa de licencia mientras el número estaba fuera de circulación desde 2001. hasta 2013. [10] [12] En otros casos, se ha renunciado a un número debido a que un patrocinador deja un equipo. Después de la temporada 2002, Robert Yates Racing cambió de su antiguo número 28 al 38 después de que el patrocinador Texaco-Havoline cesara su patrocinio. [13] [14]

    Los equipos pueden ejecutar números del 0 al 99 (así como del 00 al 09), pero no hay dos autos que muestren el mismo número durante una carrera. [8] Las computadoras de puntuación permitirán 00 a 09, pero los equipos con tales números se enumeran como 100 a 109 para fines de puntuación (para garantizar que "107" no sea lo mismo que "7", por ejemplo). Excepto por esos números (que se han utilizado para equipos de tiempo completo), a los equipos de tiempo parcial se les puede asignar un número de tres dígitos solo para propósitos de puntos de propietario de campeonato (como los números 141 y 241). Si dos de estos equipos llegan con el mismo número de dos dígitos, prevalecerá el equipo con más puntos de campeonato y el otro equipo se verá obligado a cambiar su número para la carrera. La regla es diferente en carreras combinadas cuando dos series compiten en el mismo evento, donde en esa situación la clasificación determina qué equipo mantiene su número.

    Tabaco Editar

    Aunque NASCAR tiene una larga historia de patrocinio del tabaco, después de la temporada 2003, R. J. Reynolds, socio de NASCAR desde hace mucho tiempo, se negó a renovar su patrocinio de Winston de la Cup Series, reemplazado por Nextel Communications. [15] En junio de 2010, la Administración de Drogas y Alimentos aprobó nuevas regulaciones que impiden el patrocinio de cigarrillos o productos de tabaco sin humo en cualquier evento deportivo, incluidos los eventos de carreras de autos. El anuncio afectó a dos equipos: la Camioneta No. 33 de Ron Hornaday Jr. y Kevin Harvick Incorporated perdió su patrocinio de Longhorn Moist Snuff, mientras que el auto No. 27 de la Serie Nationwide de Baker Curb Racing perdió su patrocinio de Red Man. [16] Baker Curb cerraría sus puertas el próximo año debido a la falta de patrocinio.

    A pesar de la legislación, el patrocinio del tabaco continúa en los deportes a través de los cigarrillos electrónicos, con empresas como Green Smoke, blu (propiedad de R. J. Reynolds) y Arrowhead patrocinando equipos de NASCAR. Una marca de tabaco sin humo a base de hierbas, Smokey Mountain, también ha patrocinado a conductores como Hornaday, Johnny Sauter, Brian Scott y Daniel Hemric. Y más recientemente, Whitetail sin humo, un masticable sin nicotina, ha patrocinado a conductores como Jermy Clements y Josh Bilicki.

    Regla del virrey Editar

    Aunque NASCAR generalmente promueve la competencia entre múltiples marcas, incluidas las que patrocinan el deporte y las carreras individuales, el organismo sancionador brinda protección exclusiva a los patrocinadores del título de su serie, como Monster Energy en la Cup Series, así como al actual proveedor de combustible Sunoco. [17] Esta política, conocida como Regla de virrey, evita el patrocinio de competidores directos dentro de una serie determinada, aunque no impide que una empresa se traslade a una serie diferente dentro del deporte, o que publicite un producto que no entre directamente en conflicto con el patrocinador principal. Por ejemplo, a Royal Dutch Shell, Texaco y otras compañías petroleras se les ha permitido promocionar sus marcas de aceite de motor (Pennzoil y Havoline respectivamente) pero no sus productos de gasolina. [17] Cuando un nuevo patrocinador principal crea conflictos con los patrocinadores del equipo existente, NASCAR normalmente permite que los patrocinadores del equipo permanezcan bajo una cláusula anterior. [18] La regla lleva el nombre de la marca de cigarrillos británica Viceroy, y se refiere a la temporada de 1972 USAC Championship Car durante la cual el patrocinador principal Marlboro renunció a su marca cuando Viceroy ingresó al deporte para patrocinar entradas. [19] [20]

    La regla ha entrado en vigor en varias ocasiones, sobre todo cuando Nextel firmó un contrato de $ 700 millones por diez años para reemplazar a Winston como patrocinador de la Copa. [21] Los patrocinadores activos Cingular Wireless (que patrocina al equipo No. 31 de Richard Childress Racing) y Alltel (que patrocina el auto No. 12 del equipo Penske de Ryan Newman) pudieron continuar con sus acuerdos, [20] [22] pero ambos acuerdos de patrocinio se pusieron en cuestión cuando las empresas fueron compradas y buscaron un cambio de marca. [17] En 2004, se requirió que Robby Gordon usara un parche Nextel a todo color en su traje de conducir. Llevaba un parche Nextel de color gris oscuro sobre negro cuando fue patrocinado por Cingular cuando competía para RCR. Entre 2007 y 2008, NASCAR y AT & ampT Mobility (el sucesor de Cingular) entablaron demandas entre sí, y NASCAR buscó expulsar a todas las empresas de telecomunicaciones de la categoría superior. [22] A AT & ampT se le permitió permanecer en el deporte hasta 2008. [18] Mientras tanto, Verizon, después de comprar Alltel en 2008, trasladó su patrocinio a las entradas de Penske en la Serie Xfinity y más tarde en la Serie IndyCar, mientras que el equipo ejecutó una similar. en la Serie de la Copa sin la marca Verizon hasta 2010. [20] En un incidente separado de 2007, a Robby Gordon se le permitió retener su patrocinio del fabricante de teléfonos móviles Motorola (aunque Nextel tenía productos de Motorola, NASCAR bloqueó el patrocinio de Gordon cuando se cerró su contrato de patrocinador a través de Verizon) [23] después de agregar logotipos que se refieran a los "reproductores de audio digital" de la compañía. [24]

    Durante la era de Monster Energy, Hendrick Motorsports, patrocinado por PepsiCo en ese momento, exhibió sus autos sin el logotipo del patrocinador principal. Rick Hendrick declaró que sus equipos mostrarían el logotipo de Monster Energy en sus autos y uniformes cuando fuera necesario. [25] El equipo aprovechó una laguna en el libro de reglas de NASCAR cuando Chase Elliott llevó su Mountain Dew No. 9 al carril de la victoria en Kansas en 2018. Su automóvil tenía el logotipo de Monster Energy en el lado izquierdo, ya que el libro de reglas no lo decía claramente. indique si debe estar en el lado izquierdo o en ambos lados. [26]

    Cuando NASCAR cambió el patrocinio de la Cup Series en 2020 a un nuevo paquete que incluye Busch, Coca-Cola, GEICO y Xfinity, se levantó la regla Viceroy para permitir que las marcas competidoras patrocinaran autos de la Copa. [27] La ​​regla todavía está vigente en series inferiores con Xfinity y Camping World Holdings.

    Una carrera combinada es una carrera entre varias series que operan bajo paquetes de reglas compatibles. Durante las carreras combinadas de NASCAR (actualmente ARCA Menards Series East y West, y anteriormente Winston Cup Series / Winston West Series y Busch Series / Busch North Series), hay una carrera, pero se anotan puntos para ambas series. En años anteriores, los pilotos recibieron puntos en función de cómo terminaron entre competidores de la misma serie. Para 2017, los pilotos recibirán puntos en su serie en función de su final real en la carrera entre todos los competidores. Sin embargo, los conductores que declaren que se postulan para un campeonato en ambas series (Este y Oeste) recibirán puntos en ambas series, siempre que tengan la licencia correspondiente para ambas.

    Se aplican reglas especiales ya que dos equipos tendrán el mismo número. El tiempo de vuelta más rápido en la calificación determina qué equipo tendrá el número para la carrera y qué equipo debe cambiar temporalmente el número para la carrera. Por ejemplo, durante la temporada de 1991 de la Busch Series, hubo carreras seleccionadas en el noreste (Loudon, Nazareth, Dover, Oxford) donde tanto la Busch Grand National como la Busch Grand National North Series corrieron en carreras combinadas. El equipo norte Ricky Craven (también condujo su auto) y el equipo Grand National Don Beverly Racing (Jimmy Hensley conduciendo) usaron el No. 25. Quien haya tenido el tiempo de calificación más rápido en cada carrera usó el No. 25. Craven usó el No. 28 en Oxford cuando Hensley tuvo el tiempo más rápido, mientras que Hensley usó el No. 5 cuando Craven tuvo el tiempo más rápido en Loudon. Ambos equipos, sin embargo, anotaron puntos de propietario respectivos para el No. 25 en sus respectivas series.

    Los equipos deben utilizar un solo coche desde el inicio de la primera sesión de práctica hasta el final de la carrera. Los equipos que chocan un auto en la práctica o en la calificación pueden ir a un auto de respaldo, pero correr con un auto diferente al que pasa la inspección inicial da como resultado que ese auto tenga que comenzar en la parte trasera del campo.

    Los cambios de motor y transmisión están prohibidos durante un fin de semana de carrera, excepto en circuitos de carretera y Pocono Raceway, donde se puede cambiar una transmisión entre la calificación y la carrera por seguridad porque son partes sobrecargadas por numerosos cambios de marcha (seis en Pocono y considerablemente más en la carretera). cursos). Los motores de las series Xfinity y Truck deben durar dos fines de semana de carreras, aunque los motores se reservarán para su uso cuando los motores para pistas intermedias se utilicen solo en pistas intermedias, etc., y no se aplica ninguna restricción para las carreras ovaladas de Daytona o Talladega. Los equipos de la Cup Series están restringidos en la cantidad de motores que pueden usar en una temporada (16 motores como mínimo deben durar al menos dos fines de semana de carreras), efectivamente un límite de 20 motores durante la temporada. Cambiar cualquiera resultará en comenzar en la parte trasera del campo.

    Se permiten cambios de piloto, sin embargo, comenzar la carrera con un piloto diferente al que calificó el auto resultará en que el auto comience en la parte trasera del campo. Los cambios de pilotos durante la carrera también están permitidos, realizados durante las paradas en boxes, pero un equipo debe incurrir en cualquier pérdida de posición debido al tiempo dedicado al cambio de pilotos. El piloto que comienza la carrera gana todos los puntos, estadísticas y dinero de la bolsa. [28]

    Cuando se muestra la bandera amarilla y se encienden las luces amarillas de precaución alrededor de la pista, el campo se congela inmediatamente en el momento de la advertencia. Todos los puntajes terminan inmediatamente y los autos deben reducir la velocidad al ritmo del vehículo. Los autos se alinearán detrás del vehículo de control en el orden en que pasaron el último bucle de puntuación en la pista (hay hasta 18 bucles alrededor de la pista, aunque el de la línea de salida / llegada es el único que cuenta como oficial. estadísticas de carrera). La excepción a esta regla es si la bandera amarilla ondea después de que se lanza la bandera blanca o si la carrera no se reiniciará (generalmente por lluvia pero a veces por oscuridad si una pista no tiene luces nocturnas), en cuyo caso NASCAR usará video evidencia para determinar el orden de acabado.

    Cuando sale la bandera amarilla, el carril de pits se cierra inmediatamente, una regla que se implementó por primera vez después de las 500 de Atlanta de 1989. Esto se muestra con una luz roja intermitente en la entrada de la calle de pits. Entrar en la calle de boxes cuando está cerrada (con ciertas excepciones) es una penalización por reiniciar en la parte trasera del campo. Cuando la calle de boxes esté abierta, aparecerá una luz verde fija en la entrada de la calle de boxes y se encenderá una luz verde en la ventana trasera del vehículo de paso.

    Durante un "amarillo rápido", todos los coches pueden entrar en la calle de boxes por primera vez cuando se abre. Después de las paradas en boxes, el primer auto que está una vuelta hacia abajo en el momento de la bandera amarilla (conocido como auto de pase libre) puede dar la vuelta al auto de seguridad y comenzar la carrera en la parte trasera del campo, pero de regreso en la vuelta líder.

    Durante un amarillo lleno, solo los autos de la vuelta líder pueden entrar en boxes la primera vez en la calle de boxes. Una vez que los autos de vuelta líderes que han decidido entrar en boxes hayan entrado en la calle de boxes, el auto de pase libre se enviará alrededor del auto de seguridad para recuperar su vuelta. La próxima vez, todos los coches (incluido el de pase gratuito) pueden entrar en boxes.

    Los autos pueden entrar en boxes con la frecuencia que deseen a expensas de la posición en la pista, pero el auto de pase libre se limita a tomar combustible solo en la primera oportunidad de parada en boxes. Si se considera que el coche de pase libre ha causado la advertencia (intencionalmente o no), no habrá coche de pase libre.

    A la señal de "uno para ir", el auto de seguridad apagará las luces. En este punto, cualquier automóvil que esté por delante del líder de la carrera será dirigido hacia la parte trasera del campo. Estos coches no pueden entrar en boxes hasta que vuelva a salir la bandera verde y se reanude la carrera. El campo luego alineará el archivo doble para el reinicio. El líder de la carrera puede elegir el carril, pero el automóvil del tercer lugar (y las posiciones impares en la parte trasera) siempre comenzará en la línea interior, mientras que el automóvil del cuarto lugar (y las posiciones pares en la parte posterior) siempre comenzará en el carril exterior. El orden de reinicio es siempre el siguiente: coches de vuelta de plomo y coches de gt con una o más vueltas hacia abajo y coches de gt con pase gratuito y Wave Arounds de gt y coches de gt que han recibido una penalización.

    Una vez que el coche de seguridad ha entrado en boxes, hay una "zona" de reinicio que consta de líneas pintadas en la pared exterior de la pista. El líder de la carrera debe comenzar a acelerar dentro de esta zona para reanudar la carrera. Si no lo hacen, el abanderado controla el reinicio. El auto del segundo lugar puede no estar por delante del líder en el momento de la bandera verde, sin embargo, cualquiera de los autos en la primera fila puede cruzar primero la línea de salida / llegada. [29] No se permite adelantar hasta que el líder de la carrera cruce la línea de salida y llegada. Los cambios de carril tampoco están permitidos hasta que un automóvil pase la línea de meta.

    Según el libro de reglas de NASCAR, un reinicio es oficial una vez que el auto líder legal cruza la línea de salida / llegada. Si se ondea la bandera verde, pero NASCAR cancela el reinicio debido a un incidente antes de que el líder cruce la línea de salida / llegada, el reinicio se considera abortado.

    En 2020, durante la All-Star Race, se probó el procedimiento de "cono elegido", que se utiliza a menudo en las carreras de pista corta locales. En lugar de que solo se le dé la opción de carril al líder, todos los conductores pueden elegir en qué carril eligen comenzar. Los conductores pueden comenzar en el carril preferido y mantener su posición actual en la pista o arriesgarse tomando el reinicio con una mejor pista. posición a expensas de comenzar en el peor carril. La regla fue popular entre los conductores y los fanáticos y se implementó oficialmente después de la doble cartelera de Michigan.


    Respuesta al problema 9.1E

    La ecuación de disociación para la especie dada, HClO 2, enfatizando su comportamiento como ácido de Arrhenius se da a continuación como,

    HClO 2 (ac) y # x2192 H + (ac) + ClO 2 y # x2212 (ac).

    Explicación de la solución

    La especie dada es HClO 2. Al disolver el HClO 2 en agua, se disocia en sus iones. La ecuación para su disociación en la solución se da como sigue.

    HClO 2 (aq) y # x2192 H + (aq) + ClO 2 y # x2212 (aq)

    En la reacción anterior, el HClO 2 se disocia para dar iones de hidrógeno (H +) en la solución. Por tanto, según la teoría de Arrhenius, es un ácido.

    La ecuación de disociación para la especie dada, HClO 2, enfatizando su comportamiento como ácido de Arrhenius se da a continuación como,

    HClO 2 (ac) y # x2192 H + (ac) + ClO 2 y # x2212 (ac).

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    COMUNIDAD QUÍMICA

    Es difícil dar un número definitivo para esta aproximación. Usa la regla del 5% comenzando con la aproximación y calculando x. Luego, decida si la aproximación es válida. Si es menor que 5%, entonces la aproximación es válida. De lo contrario, deberá resolver la ecuación utilizando la fórmula cuadrática.

    Re: ¿Cuándo es x insignificante?

    Post por Chem_Mod & raquo Vie 19 de abril de 2013 10:24 am

    Re: ¿Cuándo es x insignificante?

    Post por Chem_Mod & raquo Vie 19 de abril de 2013 10:25 am

    Re: ¿Cuándo es x insignificante?

    Post por Chem_Mod & raquo Vie 19 de abril de 2013 10:27 am

    Pregunta: En la práctica final del lector del curso, para los problemas que usan K en ecuaciones de equilibrio (método de caja ICE), muestra que podemos eliminar / aproximar x cuando K es menor o igual a un número de veces /> ¿esto siempre es cierto o ¿solo nos aproximamos cuando K es menor que />?

    Re: ¿Cuándo es x insignificante?

    Post por Chem_Mod & raquo Vie 19 de abril de 2013 10:29 am

    Respuesta: No es estrictamente cierto que pueda hacer esa suposición para cuando K es menor que />. Debe observar la diferencia entre las concentraciones que usa y el valor de K. Si sus concentraciones también están en el orden de />, entonces la suposición no será cierta.

    Re: ¿Cuándo es x insignificante?

    Post por Chem_Mod & raquo Jueves 23 de mayo de 2013 11:50 a. m.

    Pregunta: (Página 143 del lector del curso) Cálculo del pH de una solución salina. Después de un par de cálculos, terminamos con
    y debemos resolver para x.Las notas dicen que si x es menos del 5 por ciento de .15, entonces es válido aproximar su valor poniéndolo en 0 en el denominador. Luego resolvemos la ecuación: y terminar con . Mi pregunta es ¿por qué es matemáticamente válido suponer que x = 0 en una parte del cálculo y luego obtener un valor de x final distinto de 0? ¿Cómo podría la respuesta final de basarse en el supuesto previo de que x = 0?

    ADJUNTO J: Modificaciones a instalaciones modificadas

    Tenga en cuenta: El párrafo 90 del Acuerdo de conciliación requiere que dentro de los tres meses posteriores a la fecha de vigencia de este Acuerdo, el Condado proporcione la señalización necesaria para cumplir con 28 C.F.R. & sec. 35.163 (b), después de haber inspeccionado todas las instalaciones que son objeto de este Acuerdo con el fin de identificar aquellas que tienen múltiples entradas y no todas son accesibles.

    El cuadro a continuación enumera las instalaciones encuestadas por el Departamento, los problemas de acceso identificados durante la encuesta y las acciones necesarias para corregir los problemas de acceso. Las acciones necesarias se enumeran mediante un código alfanumérico. La clave de los códigos alfanuméricos se proporciona en el Adjunto M de este Acuerdo.

    Con el fin de garantizar que los siguientes espacios y elementos en las instalaciones del Condado, en los que las alteraciones ocurrieron después del 26 de enero de 1992, sean fácilmente accesibles y utilizables por personas con discapacidades, el Condado tomará las acciones a las que se hace referencia en el código alfanumérico y que se describen en detalle en el Adjunto M de este Acuerdo de conciliación dentro del período de tiempo especificado a continuación, período de tiempo que comenzará a correr en la fecha de vigencia de este Acuerdo.

    1. Refugio para víctimas de violencia doméstica (no se revelará la ubicación)

    1.1a La señalización que designa el estacionamiento como reservado para personas con discapacidad es inaccesible porque es demasiado baja y carece de la señalización adecuada.

    1.1b El estacionamiento reservado para personas con discapacidad es inaccesible porque el pasillo de acceso tiene una pendiente del 4% y el espacio para el vehículo tiene una pendiente transversal del 8,9%.

    1.2a La rampa es inaccesible porque el tramo inferior tiene una pendiente de hasta 8.8%, el tramo superior tiene una pendiente de hasta 10.4%, no hay extensiones de pasamanos, no hay protección de borde en la parte superior del tramo de la rampa y no rellano a nivel en la entrada del edificio.

    1.3a La entrada en la parte superior de la rampa es inaccesible porque hay un cambio de nivel de 2 pulgadas en el umbral de la puerta.

    1.4a Las encimeras son inaccesibles porque están a 36 pulgadas sobre el piso terminado.

    1.4b El teléfono en la cocina es inaccesible porque está montado a 61 pulgadas sobre el piso terminado sobre una obstrucción.

    1.4c El microondas en la cocina es inaccesible porque su mecanismo de operación está montado a 60 pulgadas sobre el piso terminado.

    1.4d El fregadero es inaccesible porque el espacio libre del piso para el fregadero no está centrado.

    1.4e La entrada entre la cocina y el pasillo es inaccesible porque tiene un ancho de apertura de solo 31.5 pulgadas.

    1.5a La puerta del baño es inaccesible porque se utilizan perillas.

    1.5b (1) La barra de apoyo trasera del inodoro es inaccesible porque tiene 24 pulgadas de largo.

    2.1a El estacionamiento accesible para camionetas reservado para personas con discapacidades en el estacionamiento delantero carece de la señalización adecuada.

    2.1b La ruta desde el espacio de estacionamiento accesible designado en el lote delantero hasta la entrada trasera es inaccesible porque la pendiente de la rampa de acera en la acera es 13.2% y la pendiente del lado ensanchado es 23.4%.

    2.1c La ruta desde el estacionamiento delantero hasta la entrada trasera es inaccesible porque la ruta accesible está estrecha por automóviles que sobresalen de la acera y otros objetos móviles.

    2.2a El edificio no tiene señalización direccional accesible colocada en entradas inaccesibles con caracteres proporcionales a la distancia de lectura.

    2.3a El estacionamiento reservado para personas con discapacidad carece de señalización adecuada.

    2.3b El estacionamiento reservado para personas con discapacidades es inaccesible porque el pasillo de acceso tiene 46 pulgadas de ancho.

    2.3c La ruta desde el espacio de estacionamiento accesible designado en el estacionamiento trasero hasta la entrada trasera es inaccesible porque la pendiente de la rampa de la acera en la acera es 13.2% y la pendiente del lado derecho abocinado es 22.4%.

    2.4a La entrada trasera está cerrada después de las 7 p.m.

    2.4b La entrada trasera es inaccesible porque tiene perillas en el lado de tiro.

    2.5a Las puertas de toda la instalación son inaccesibles porque se utilizan perillas.

    2.5b La señalización en toda la instalación es inaccesible.

    2.6a La fuente para beber en el pasillo tiene un pico que está aproximadamente a 40 pulgadas por encima del piso terminado.

    2.6b Aunque se proporciona una fuente para beber, no hay una fuente para beber para las personas que tienen dificultades para agacharse o agacharse.

    2.7a El teléfono público en el nicho del pasillo es inaccesible porque la parte operable más alta está a 57 pulgadas sobre el piso terminado.

    2.8a La puerta del pasillo trasero es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    2.9a La pasarela es inaccesible porque el mostrador del área de recepción sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    2.10 Dormitorio designado accesible para personas con discapacidades (n. ° 10)

    2.10a La puerta del dormitorio es inaccesible porque se utilizan perillas.

    2.10b La señalización proporcionada es inaccesible porque no tiene el símbolo internacional de accesibilidad, no tiene caracteres en braille o en relieve, y la señal está en la puerta.

    2.11a El letrero del baño se encuentra en la puerta, no tiene el símbolo internacional de accesibilidad y no tiene caracteres en relieve ni en Braille.

    2.11b La puerta del baño de un solo usuario es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 6 libras.

    2.11c El lado de empuje de la puerta del baño de un solo usuario, al que se accede a través de un acceso frontal, es inaccesible porque solo tiene 3.5 pulgadas de espacio libre para maniobrar en el lado del pestillo de la puerta.

    2.11d Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, no hay un aparato de alarma visual en el baño.

    2.11e El lavabo es inaccesible porque la altura del borde es de 36 pulgadas sobre el piso terminado, las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto y las barras de soporte están montadas con menos de 30 pulgadas entre ellas.

    2.11f Las barras de agarre en el inodoro son inaccesibles porque la barra de agarre lateral no mide 42 pulgadas de largo y no hay barra de agarre trasera.

    2.11g El inodoro es inaccesible porque el control de descarga está en el lado cerrado y falta la parte superior del asiento.

    (a) La ducha con acceso para silla de ruedas es inaccesible porque el control de la ducha requiere girar la muñeca y está montado a 22 pulgadas sobre el piso, no se proporciona una unidad de rociador de ducha, el cabezal de la ducha está a más de 48 pulgadas sobre el piso terminado, y la barra de apoyo no es continua.

    3. Mount Vernon Governmental Center

    3.1a Aunque el estacionamiento tiene un total de 138 espacios de estacionamiento, un número inadecuado está designado como reservado para personas con discapacidades.

    3.2a Rampa de acera que da servicio al espacio de estacionamiento accesible para camionetas designado

    3.2a (1) La ruta desde el espacio designado accesible para camionetas hasta la entrada es inaccesible porque la pendiente principal de la rampa de la acera es 8.8% y la pendiente del lado derecho ensanchado es 11%.

    3.2b Rampa de acera que da servicio al espacio de estacionamiento accesible estándar

    3.2b (1) La ruta desde el espacio de estacionamiento accesible estándar hasta la entrada es inaccesible porque la pendiente principal de la rampa de la acera es 11.5%, la pendiente transversal es 2.7%, la pendiente del lado derecho abocinado es 10.2% y el la pendiente del lado izquierdo ensanchado es del 10,6%.

    3.3a ​​El mostrador de la policía es inaccesible porque la altura es de 51,5 pulgadas.

    3.4a La puerta del salón 169 es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    3.4b El mostrador inferior de la oficina del magistrado es inaccesible porque tiene 32,5 pulgadas de ancho.

    3.4c El teléfono ubicado cerca del mostrador es inaccesible porque está montado con sus controles ubicados a 49 pulgadas sobre el piso terminado y su uso requiere un acercamiento frontal.

    3.4d La pasarela es inaccesible porque el teléfono sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    3.5a La puerta de cada una de las tres salas comunitarias es inaccesible porque la presión requerida para abrir cada puerta es de siete libras.

    3.5b La pasarela es inaccesible porque la altura de la parte inferior del monitor de TV suspendido es de 71 pulgadas desde el piso terminado, sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega usando un bastón.

    3.6 Fuente de agua potable cerca de las salas comunitarias

    3.6a La fuente para beber de la unidad inferior montada en la pared es inaccesible porque la altura libre para las rodillas es de 26 pulgadas por encima del piso terminado.

    3.7 Cuarto de baño para mujeres con puestos cerca de las salas comunitarias

    3.7a El dispensador de toallas de papel es inaccesible porque los controles están montados a 51.25 pulgadas sobre el piso terminado y están obstruidos por un recipiente de basura.

    3.8 Cuarto de baño para hombres con puestos cerca de las salas comunitarias

    3.8a La puerta del baño es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    3.8b El dispensador de toallas de papel es inaccesible porque los controles están montados a 52.5 pulgadas sobre el piso terminado y están obstruidos por el lavabo.

    3.8c El inodoro es inaccesible porque su línea central mide 19 pulgadas desde la pared lateral.

    3.8d La pasarela es inaccesible porque el secador de aire sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    3.9a La puerta del salón 173 es inaccesible porque tiene un ancho de apertura de solo 27,5 pulgadas.

    3.10a El letrero del baño no tiene el símbolo internacional de accesibilidad.

    3.10b No se proporciona un retrete accesible.

    3.10c No se proporciona ningún casillero accesible.

    3.10d Los bancos en el vestuario de mujeres no son accesibles debido a la profundidad inadecuada.

    3.10e La ducha en el vestuario de mujeres es inaccesible.

    3.11a El letrero del baño junto a la puerta de entrada no tiene el símbolo internacional de accesibilidad.

    3.11b No se proporciona un retrete accesible.

    3.11c El urinario es inaccesible porque la altura del borde es superior a las 17 pulgadas.

    3.11d No se proporciona ningún casillero accesible.

    3.11e Los bancos en el vestuario de hombres no son accesibles debido a la profundidad inadecuada.

    3.11f La ducha en el vestuario de hombres es inaccesible.

    3.11g No se ha proporcionado ningún gancho para ropa accesible.

    3.12 Fuente para beber ubicada cerca de la sala de ejercicios y la sala de almuerzo

    3.12a La fuente para beber tiene un pico que está a 41 pulgadas sobre el piso terminado.

    3.12b La pasarela es inaccesible porque el bebedero sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    3.13a El mostrador de servicio en el Salón 196 es inaccesible porque está a más de 36 pulgadas sobre el piso terminado.

    3.14 Oficina del supervisor de distrito

    3.14a El mostrador de servicio en la oficina del supervisor es inaccesible porque está a 43,75 pulgadas sobre el piso terminado.

    3.14b La ruta cerca del monitor de televisión y el panel de control en la sala de conferencias es inaccesible porque solo hay 70 pulgadas de espacio para la cabeza.

    3.14c El televisor en la sala de conferencias tiene controles que son inaccesibles porque los controles están montados a 65.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    3.15 Estación de llamadas de emergencia ubicada en el estacionamiento

    3.15a La ruta desde el estacionamiento lateral hasta la estación de llamada es inaccesible porque no hay una rampa en la acera que conduzca a ella.

    4. Centro Comunitario de Gum Springs

    4.1a Uno de los letreros en el lado derecho del edificio que designa el estacionamiento como reservado para personas con discapacidades es demasiado bajo.

    4.2a La pasarela es inaccesible porque el desfibrilador sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    4.3a La señalización proporcionada es inaccesible porque la línea central está a una altura de 62.25 pulgadas sobre el piso terminado y no hay caracteres en relieve ni Braille.

    4.3b Cuarto de baño para mujeres de un solo usuario

    4.3b (1) El letrero del cuarto de baño tiene una línea central de 63.5 pulgadas sobre el piso terminado y no está montado en el lado del pestillo de la puerta.

    4.3b (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    4.3b (3) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    4.3b (4) El inodoro es inaccesible porque la parte superior del asiento está a 20 pulgadas por encima del piso terminado.

    4.3c Baño de un solo usuario para hombres

    4.3c (1) El letrero del cuarto de baño tiene una línea central de 63.5 pulgadas por encima del piso terminado y no está montado en el lado del pestillo de la puerta.

    4.3c (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    4.3c (3) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    4.3c (4) El inodoro es inaccesible porque la parte superior del asiento está a 19.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.3c (5) El inodoro es inaccesible porque su línea central mide 19.25 pulgadas desde la pared lateral.

    4.3d (1) El bebedero tiene un pico que está a 41 pulgadas por encima del piso terminado.

    4.4 Teléfono cerca de la sala de venta

    4.4a La pasarela es inaccesible porque el teléfono sobresale en la pasarela y no sería accesible para personas ciegas que usen un bastón.

    4.5a La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 6 libras.

    4.6 Fuente de agua potable cerca de la sala de fitness (Sala 124)

    4.6a La fuente para beber tiene un pico que está a 42 pulgadas por encima del piso terminado.

    4.6b La pasarela es inaccesible porque el bebedero sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    4.7 Cuarto de baño para hombres con puestos cerca de la sala de fitness

    4.7a El letrero del baño está montado en la puerta.

    4.7b El interruptor de luz es inaccesible porque los controles están montados a 58 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.7c El lavabo es inaccesible porque la encimera está a 34,75 pulgadas sobre el piso terminado y la base de la plataforma está a 28 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.7d El urinario es inaccesible porque el control de descarga está a 45.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.7e El inodoro es inaccesible porque su línea central mide 16.5 pulgadas desde la pared lateral.

    4.8 Cuarto de baño para mujeres con puestos cerca del gimnasio

    4.8a El letrero del baño está montado en la puerta.

    4.8b El interruptor de luz es inaccesible porque los controles están montados a 58 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.8c El lavabo es inaccesible porque la encimera está a 34,75 pulgadas sobre el piso terminado y la base de la plataforma está a 28 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.9a La señalización proporcionada es inaccesible porque no tiene caracteres en relieve ni Braille.

    4.10a El baño de un solo usuario contiene una serie de elementos inaccesibles y no es accesible para personas con discapacidad.

    4.11 Bebedero cerca del Aula A

    4.11a Aunque se proporciona una fuente para beber accesible, no hay una fuente para beber para las personas que tienen dificultades para agacharse o agacharse.

    4.12a La señalización proporcionada es inaccesible porque no tiene caracteres en relieve ni Braille.

    4.13 Ruta exterior trasera accesible a los campos de juego

    4.13a La rampa es inaccesible porque la pendiente transversal es 3.4% en el segmento superior, 4.3% en el segmento medio y 3.3% en el segmento inferior, y la rampa no tiene pasamanos ni protección de borde.

    4.13b La ruta desde las puertas traseras del edificio hasta el campo de béisbol es inaccesible porque la ruta no es estable, firme y antideslizante cerca del campo de béisbol.

    4.14 Programa Head Start de Gum Springs

    4.14a El intercomunicador es inaccesible porque la parte operable más alta (el botón) está a 56,75 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.15 Oficina administrativa East-Room 101

    4.15a El mostrador de servicio es inaccesible porque está a 42.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.16a La señalización proporcionada es inaccesible porque no está montada en el lado del pestillo de la puerta.

    4.17 Cuarto de baño para un solo usuario cerca de las oficinas administrativas

    4.17a El letrero del baño tiene una línea central de 62 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.17b El dispensador de fundas para asientos es inaccesible porque los controles están montados a 60 pulgadas sobre el piso terminado.

    4.17c El lavabo es inaccesible porque el borde inferior del delantal del lavabo está a 27.5 pulgadas por encima del piso terminado y las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    4.17d El inodoro es inaccesible porque no hay suficiente espacio libre en el piso.

    4.17e El dispensador de compresas higiénicas es inaccesible porque el mecanismo de operación requiere un agarre fuerte y un giro de la muñeca.

    5. Biblioteca Regional George Mason

    7001 Little River Turnpike

    5.1a Aunque el estacionamiento tiene un total de 170 espacios de estacionamiento, las marcas del pavimento no son claras, los cuatro espacios accesibles designados y los pasillos de acceso en el frente del edificio tienen pendientes que varían de 3.0% a 4.7% y las pendientes transversales varían de 2.4% al 6.2%, y los cuatro espacios designados en el costado del edificio no están en la ruta más corta a la entrada accesible.

    5.2a La ruta desde el costado del edificio gira en ángulo recto ya que conduce a la entrada principal y es inaccesible porque en ese punto, una rampa de acera se entromete con una pendiente transversal de 4.7%.

    5.3a La puerta del área silenciosa es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 19 libras.

    5.4 Cuarto de baño para mujeres con cubículos

    5.4a El letrero del baño no tiene el símbolo internacional de accesibilidad, no está montado en el lado del pestillo de la puerta a 60 pulgadas del piso terminado y no tiene caracteres en relieve ni Braille.

    5.4b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 15 libras.

    5.4c Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, es posible que no haya un aparato de alarma visual en el baño.

    5.4d El dispensador de fundas para asientos es inaccesible porque los controles están montados a 70 pulgadas sobre el piso terminado.

    5.4e El inodoro es inaccesible porque su línea central mide 20 pulgadas desde la pared lateral.

    5.4f El inodoro es inaccesible porque el control de descarga está en el lado cerrado.

    5.4g No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    5.4h El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado sobre la barra de agarre e interfiere con su uso, y la distancia del dispensador de papel higiénico a la pared trasera es de 37 pulgadas.

    5.5 Cuarto de baño para hombres con cubículos

    5.5a El letrero del baño no tiene el símbolo internacional de accesibilidad, no está montado en el lado del pestillo de la puerta a 60 pulgadas del piso terminado y no tiene caracteres en relieve ni Braille.

    5.5b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 11 libras.

    5.5c Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, es posible que no haya un aparato de alarma visual en el baño.

    5.5d El dispensador de fundas de asiento es inaccesible porque los controles están montados a 51 pulgadas sobre el piso terminado y la puerta del baño se abre hacia el espacio libre requerido del dispensador.

    5.5e El urinario es inaccesible porque el control de descarga está a 45 pulgadas sobre el piso terminado.

    5.5f El inodoro es inaccesible porque su línea central mide 19 pulgadas desde la pared lateral.

    5,5 g No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    5.5h El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado sobre la barra de agarre e interfiere con su uso.

    5.6 Fuente de agua potable en el vestíbulo

    5.6a La pasarela es inaccesible porque la unidad del bebedero alto sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    5.6b El bebedero inferior tiene un pico que está a 37 pulgadas sobre el piso terminado.

    6. Mason Governmental Center

    6.1a El estacionamiento reservado para personas con discapacidad es inaccesible debido a que las pendientes y pendientes transversales de los espacios designados y pasillos de acceso oscilan entre el 3,6% y el 5,5%.

    6.1b La rampa de la acera es inaccesible porque los autos estacionados pueden obstruirla.

    6.2a La ruta desde el estacionamiento hasta la entrada es inaccesible porque la pendiente principal de la rampa de la acera es de 9,6%, un lado ensanchado tiene una pendiente de 23,3% y el otro lado ensanchado tiene una pendiente de 11,5%.

    6.3a Aunque se proporciona un teléfono público para comunicarse con el mostrador de la policía, no hay disposiciones para los clientes sordos (no se proporciona un TTY).

    6.4a La puerta de la oficina del supervisor es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    6.5 Teléfono frente a los baños

    6.5a El teléfono es inaccesible porque el espacio para las rodillas está bloqueado por un objeto.

    6.6 Cuarto de baño para hombres con cubículos

    6.6a El letrero del baño está montado a 58 pulgadas sobre el piso terminado.

    6.6b La puerta del baño es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 11 libras.

    6.6c No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    6.6d El dispensador de toallas de papel está montado sobre una obstrucción.

    6.6e El lavabo es inaccesible porque las tuberías no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    6.6f El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 38 pulgadas de la pared trasera.

    6.6g La barra de agarre lateral es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a 13 pulgadas de la pared trasera.

    6.6h La barra de apoyo trasera es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a 13 pulgadas de la pared trasera.

    6.7 Cuarto de baño para mujeres con cubículos

    6.7a La puerta del baño es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 14 libras.

    6.7b No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    6.7c El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 19 pulgadas de la pared lateral.

    6.7d No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    6.7e El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 37,5 pulgadas de la pared trasera.

    6.7f La barra de apoyo trasera es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a 13 pulgadas de la pared lateral.

    6.8a (1) La señalización proporcionada es inaccesible porque está montada a 66 pulgadas por encima del piso terminado hasta la línea central.

    6.8b (1) El mostrador fuera de las salas de entrevistas es inaccesible porque está a 42 pulgadas sobre el piso terminado.

    6.8c (1) El inodoro es inaccesible porque no se proporcionan barras de apoyo.

    6.8c (2) El inodoro es inaccesible porque no hay suficiente espacio libre en el piso y su línea central está a 19 pulgadas de la pared lateral.

    6.8c (3) El baño es inaccesible porque el borde inferior del delantal está a 27.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    6.8d Vestuarios para hombres y mujeres

    6.8d (1) La señalización proporcionada para cada vestuario es inaccesible.

    6.8d (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    6.8d (3) El dispensador de jabón en cada vestuario es inaccesible porque está montado a 43 pulgadas sobre el piso terminado sobre una obstrucción.

    6.8d (4) El baño es inaccesible en cada vestuario porque las tuberías no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto, y el hardware del grifo requiere girar la muñeca para funcionar.

    6.8d (5) No hay un puesto accesible en cada vestuario.

    6.8d (6) La ducha de transferencia en cada vestuario es inaccesible porque el asiento no está montado en la pared opuesta a los controles, los controles no están dentro de las 18 pulgadas de la línea central en el lado abierto, las barras de agarre están montadas a 32 pulgadas por encima del piso terminado, y la distancia entre las barras de apoyo y la pared es de 3 pulgadas.

    6.8d (7) No hay casilleros accesibles en ninguno de los vestuarios.

    6.8d (8) Los bancos en cada vestuario no son accesibles porque tienen menos de 24 pulgadas de ancho.

    6.8d (9) El bebedero dentro de cada vestuario tiene un pico que está a 47.25 pulgadas sobre el piso terminado.

    6.8d (10) En el vestuario de hombres, el urinario es inaccesible porque el borde del urinario está a 20.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    6.9a La puerta del salón 121 es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 15 libras.

    6.10a La puerta del salón 123 es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 14 libras.

    6.11 Bebedero en Alcove

    6.11a El bebedero es inaccesible porque el espacio libre del piso es de 28 pulgadas de ancho, el espacio libre para las rodillas es de 20 pulgadas de alto y el pico está a más de 36 pulgadas sobre el piso terminado.

    6.12 Rampa a la recepción del área de policía

    6.12a La rampa es inaccesible porque los pasamanos tienen 32 pulgadas de ancho y el espacio libre del piso en la parte superior de la rampa está bloqueado por objetos.

    7. Biblioteca Regional de Kings Park

    7.1a La caída del libro es inaccesible porque la parte operable más alta está a 56.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    7.2a Las mesas de la biblioteca son inaccesibles porque proporcionan 26 pulgadas de altura para las rodillas.

    7.3a La puerta es accesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 7 libras.

    7.4a La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    7.4b El lado de tiro de la puerta, al que se accede a través de un acceso frontal, es inaccesible porque tiene menos de 18 pulgadas de espacio libre en el lado del pestillo de la puerta.

    7.5 Fuente de agua potable cerca de los baños

    7.5a La pasarela es inaccesible porque el bebedero más alto sobresale hacia la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    7.6 Baños para hombres y mujeres

    7.6a La puerta de cada cuarto de baño es inaccesible porque la presión requerida para abrir las puertas es de 10 libras.

    7.6b El baño en el baño de mujeres es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    8.1 Aparcamiento y ruta accesible

    8.1a Esta área estaba en construcción durante el tiempo de la visita al sitio del Departamento.

    8.2a (1) Aunque se proporciona una fuente para beber más baja, no hay una fuente para beber para las personas que tienen dificultades para agacharse o agacharse.

    8.2a (2) El bebedero sobresale en el pasillo y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    8.3a El ascensor es inaccesible porque, aunque se proporcionan comunicaciones de emergencia, no funciona sin comunicación por voz.

    8.4 Áreas protegidas del edificio oeste (construcción nueva)

    8.4a Habitación diurna Habitaciones con baño de usuario individual

    8.4a (1) Los baños son inaccesibles porque tienen perillas.

    8.4a (2) No se han proporcionado espejos accesibles.

    8.4a (3) Los baños son inaccesibles porque el borde inferior de los delantales de los lavabos está a 27.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    8.4a (4) Las barras de apoyo traseras son inaccesibles porque tienen 32 pulgadas de largo.

    8.4b (1) Se puede acceder a un número inadecuado de unidades de vivienda (celdas).

    8.4b (2) Células accesibles designadas

    (a) No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    (b) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    (c) La barra de agarre trasera es inaccesible porque tiene menos de 36 pulgadas de largo, el espacio entre la barra de agarre y la pared es de más de 1.5 pulgadas y no está configurada para cumplir con los Estándares.

    (d) La barra de agarre lateral es inaccesible porque está a más de 1.5 pulgadas de la pared lateral, el área de uso efectivo es de aproximadamente 32 pulgadas de largo y no está configurada para cumplir con los Estándares.

    (e) El baño es inaccesible porque la sección vertical de la barra de apoyo trasera choca contra el espacio libre del piso.

    8.5a El área de visitas sin contacto contiene una serie de elementos inaccesibles y no es accesible para personas con discapacidades.

    8.6 Entrada exterior en Judicial Drive (marcado Sheriff) (existente)

    8.6a La segunda puerta de una serie es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de más de 5 libras.

    8.7 Vestíbulo en la entrada de Judicial Drive

    8.7a (1) El bebedero es inaccesible porque requiere más de 5 libras de fuerza para funcionar y su pico está a 40 pulgadas sobre el piso terminado.

    8.7a (2) El bebedero sobresale en el pasillo y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    8.7a (3) Aunque se proporciona una fuente inferior, no hay una fuente para beber para las personas que tienen dificultades para agacharse o agacharse.

    8.7b Cuarto de baño para mujeres con cubículos

    8.7b (1) La señalización del baño es inaccesible porque está montada en la puerta.

    8.7b (2) La puerta es inaccesible porque tiene perillas.

    8.7b (3) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    8.7b (4) El inodoro es inaccesible porque el espacio libre del piso mide 53 pulgadas de ancho y 59 pulgadas de profundidad.

    8.7b (5) El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 20.5 pulgadas de la pared lateral.

    8.7b (6) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 38.5 pulgadas de la pared trasera y por encima de la barra de agarre.

    8.7b (7) La barra de sujeción lateral es inaccesible porque está montada con el extremo más alejado a 46,5 pulgadas de la pared trasera.

    8.7b (8) No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    8.7b (9) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    8.7b (10) La pasarela es inaccesible porque el dispensador de toallas de papel sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    8.7c Cuarto de baño de hombres con cubículos

    8.7c (1) La señalización del baño es inaccesible porque está montada en la puerta.

    8.7c (2) La puerta es inaccesible porque tiene perillas.

    8.7c (3) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    8.7c (4) El urinario es inaccesible porque el borde está a 25 pulgadas sobre el piso terminado, el espacio libre del piso tiene 29 pulgadas de ancho y el control de descarga está a 53.5 pulgadas sobre el piso terminado.

    8.7c (5) El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 15 pulgadas de la pared lateral.

    8.7c (6) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 41 pulgadas de la pared trasera y por encima de la barra de agarre.

    8.7c (7) La barra de sujeción lateral es inaccesible porque está montada con el extremo más alejado a 47,5 pulgadas de la pared trasera.

    8.7c (8) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    8.8 Cabildeo de la rama de encarcelamiento alternativo

    8.8a Cuarto de baño de mujeres para un solo usuario

    8.8a (1) La señalización del baño es inaccesible porque no hay un símbolo internacional de accesibilidad y está montada en la puerta sin Braille ni caracteres en relieve.

    8.8a (2) La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de más de 5 libras.

    8.8a (3) Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, no hay un aparato de alarma visual en el baño.

    8.8a (4) El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 23 pulgadas de la pared lateral.

    8.8a (5) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado sobre la barra de agarre.

    8.8b Baño para hombres de un solo usuario

    8.8b (1) La señalización del baño es inaccesible porque no hay un símbolo internacional de accesibilidad y está montada en la puerta sin Braille ni caracteres en relieve.

    8.8b (2) La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de más de 5 libras.

    8.8b (3) Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, no hay un aparato de alarma visual en el baño.

    8.8b (4) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado sobre la barra de agarre.

    8.9a Cuarto de baño para hombres de un solo usuario

    8.9a (1) La señalización del baño es inaccesible porque carece del Símbolo internacional de accesibilidad.

    8.9a (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    8.9a (3) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto, el borde inferior del delantal está a 26 pulgadas por encima del piso terminado y los espacios libres para las rodillas y los pies no cumplen con la Figura 31 de las Normas.

    8.9a (4) La barra de apoyo trasera es inaccesible porque tiene 30 pulgadas de largo.

    8.9a (5) El control de descarga del inodoro es inaccesible porque está montado en el lado cerrado.

    8.9b Baño de mujeres para un solo usuario

    8.9b (1) La señalización del baño es inaccesible porque carece del Símbolo internacional de accesibilidad.

    8.9b (2) La puerta del baño es inaccesible porque el espacio de acceso frontal en el lado de tiro incluye escaleras.

    8.9b (3) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    8.9b (4) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto, el borde inferior del delantal está a 26 pulgadas por encima del piso terminado y los espacios para las rodillas y los pies no cumplen con la Figura 31 de las Normas.

    8.9b (5) La barra de apoyo trasera es inaccesible porque tiene 30 pulgadas de largo.

    8.10a (1) La ducha es inaccesible porque no tiene un espacio de piso despejado de 48 pulgadas de largo y 36 pulgadas de ancho junto a la abertura de la ducha y no tiene un asiento que se extienda a lo largo de la cabina, una unidad de rociador de ducha no es provisto y el cabezal de la ducha está a más de 48 pulgadas sobre el piso terminado, y los controles de la ducha están a más de 48 pulgadas sobre el piso terminado.

    8.11 Área de espera para diagnóstico y tratamiento (existente)

    8.11a El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente y desagüe no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    8.11b El baño es inaccesible porque no tiene espacios libres para las rodillas y los pies que cumplan con la Figura 31.

    8.11c No se puede acceder al inodoro porque la línea central no está a 18 pulgadas de la pared lateral.

    8.11d La barra de apoyo lateral es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a más de 12 pulgadas de la pared trasera.

    8.11e No se proporciona una barra de apoyo trasera.

    8.11f El inodoro es inaccesible porque el colchón bloquea el espacio libre en el piso del inodoro.

    8.12 Área de mujeres - Área de visitas y espera (existente)

    8.12a (1) La señalización del baño es inaccesible porque carece del Símbolo internacional de accesibilidad.

    8.12a (2) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente y desagüe no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    8.12a (3) El baño es inaccesible porque el espacio libre para las rodillas y los pies no cumple con la Figura 31.

    8.12a (4) El inodoro es inaccesible porque la parte superior del asiento del inodoro está a 16 pulgadas sobre el piso terminado.

    8.12b (1) La puerta es inaccesible porque tiene un ancho de abertura libre de 29 pulgadas.

    8.12b (2) La puerta es inaccesible porque tiene perillas.

    8.12c Área de visita sin contacto

    8.12c (1) El área de visitas contiene una serie de elementos inaccesibles y no es accesible para personas con discapacidades.

    8.12d (1) La ducha es inaccesible porque no se proporciona una unidad de rociador de ducha y el cabezal de la ducha está a más de 48 pulgadas del piso terminado.

    8.12d (2) La ducha es inaccesible porque hay un bordillo en la entrada de la ducha que mide más de 0.5 pulgadas.

    8.12e (1) La puerta es inaccesible porque tiene un ancho de apertura libre de solo 27.5 pulgadas.

    8.12e (2) El área de vivienda contiene una serie de elementos inaccesibles y no es accesible para personas con discapacidades.

    9. Centro de detención de menores

    9.1a La ruta desde el estacionamiento hasta la entrada de la instalación tiene una pendiente superior al 5%, pero no ha sido construida como rampa.

    9.2a El teléfono público de pago es inaccesible porque una silla obstruye el espacio libre del piso.

    9.2b La pantalla de la revista es inaccesible porque está bloqueada por el sofá y fuera del alcance de una persona en silla de ruedas.

    9.2c Cuarto de baño de un solo usuario para hombres

    9.2c (1) La señalización del baño es inaccesible porque carece de caracteres en relieve y Braille.

    9.2c (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    9.2c (3) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    9.2c (4) El dispensador de fundas de asiento es inaccesible porque los controles están montados a 55 pulgadas sobre el piso terminado sobre el inodoro.

    9.2c (5) La barra de apoyo trasera es inaccesible porque el tubo ascendente de la válvula de descarga interfiere con su uso.

    Habitación 9.2d con baño para un solo usuario para mujeres

    9.2d (1) La señalización del baño es inaccesible porque carece de caracteres en relieve y Braille.

    9.2d (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    9.2d (3) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    9.2d (4) El dispensador de fundas de asiento es inaccesible porque los controles están montados a 55 pulgadas sobre el piso terminado sobre el inodoro.

    9.2d (5) La barra de apoyo trasera es inaccesible porque el tubo ascendente de la válvula de descarga interfiere con su uso.

    9.2d (6) El dispensador de toallas de papel es inaccesible porque los controles están montados sobre el inodoro.

    9.2d (7) El secador de aire es inaccesible porque los controles están montados a 52 pulgadas sobre el piso terminado sobre una obstrucción.

    9.2e (1) La pasarela es inaccesible porque el bebedero más alto sobresale hacia la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    9.3 Ruta accesible que conecta el lado este y oeste del edificio (existente)

    9.3a La rampa en la ruta es inaccesible porque los pasamanos están montados a 33 pulgadas por encima de la superficie de la rampa y no hay extensiones de pasamanos.

    9.4a (1) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    9.4a (2) El baño es inaccesible porque el borde inferior del delantal está a 27 pulgadas sobre el piso terminado y no cumple con la Figura 31.

    9.4a (3) El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 20 pulgadas de la pared lateral.

    9.4a (4) La barra de apoyo trasera es inaccesible porque tiene 24.5 pulgadas de largo.

    9.4b (1) No se proporciona una celda accesible.

    9.4c Recepción / Retención de la cabina de ducha de un solo usuario

    9.4c (1) La ducha con acceso para silla de ruedas es inaccesible porque mide 34 pulgadas por 63 pulgadas.

    9.4d (1) La puerta es inaccesible porque tiene perillas.

    9.4e (1) La puerta es inaccesible porque tiene perillas.

    9.4f (1) La puerta es inaccesible porque tiene perillas.

    9.5a Sala de baño para usuarios individuales del área de la primera escuela

    9.5a (1) La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de más de 5 libras.

    9.5a (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    9.5a (3) El baño es inaccesible porque el borde inferior del delantal está a 28.5 pulgadas por encima del piso terminado.

    Cuarto de baño de usuario individual del área de la segunda escuela 9.5b

    9.5b (1) La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de más de 5 libras.

    9.5b (2) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    9.5b (3) El baño es inaccesible porque el borde inferior del delantal está a 28.5 pulgadas por encima del piso terminado.

    9.6a Los espejos en toda la instalación son inaccesibles porque el borde de la superficie reflectante está a más de 40 pulgadas del piso terminado.

    9.6b (1) La pasarela es inaccesible porque la fuente para beber sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    9.6c Ruta accesible al baño de un solo usuario

    9.6c (1) El estante de acero inoxidable fuera del baño de un solo usuario sobresale en el pasillo y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    9.6c (2) El estante de acero inoxidable fuera del baño de un solo usuario hace que la señalización proporcionada sea inaccesible porque una persona no puede acercarse a menos de 3 pulgadas del letrero sin encontrar un objeto que sobresalga.

    9.6d (1) No se ha proporcionado ningún espejo accesible.

    9.6d (2) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    9.6e Cuartos de ducha con cabinas de ducha de transferencia en toda la instalación

    9.6e (1) El baño es inaccesible porque las tuberías de agua caliente no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    9.6e (2) La cabina de ducha es inaccesible porque tiene 38 pulgadas de ancho por 37 pulgadas de profundidad, el asiento no se extiende a toda la profundidad de la cabina y las secciones cortas y largas de la barra de agarre están invertidas.

    9.6f Células accesibles designadas en toda la instalación

    9.6f (1) Las celdas accesibles designadas no son accesibles porque no se ha proporcionado un espejo accesible, la parte superior del asiento del inodoro no está entre 17 y 19 pulgadas por encima del piso terminado, no se proporcionan barras de apoyo y el escritorio / mesa está no accesible para personas que utilizan sillas de ruedas.

    10. Centro Comunitario James Lee

    10.1a (1) La ruta desde el segundo y tercer espacios de estacionamiento designados junto al edificio hasta la entrada principal es inaccesible porque el frente de los vehículos estacionados en el segundo espacio invadirá el ancho de la ruta accesible.

    10.1b Estacionamiento junto al área de juegos

    10.1b (1) El estacionamiento accesible para camionetas reservado para personas con discapacidades carece de la señalización adecuada.

    10.2a El edificio no tiene señalización direccional en las entradas inaccesibles y no tiene el Símbolo internacional de accesibilidad en las entradas accesibles.

    10.3a Bebedero entre baños para hombres y mujeres

    10.3a (1) La pasarela es inaccesible porque la fuente para beber más alta en el corredor principal sobresale hacia la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    10.3b Cuarto de baño para hombres con puestos cerca del vestíbulo

    10.3b (1) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 42 pulgadas de la pared trasera.

    10.3b (2) El lado de empuje de la puerta del baño, al que se accede desde el lado de las bisagras de la puerta, es inaccesible porque no tiene suficiente espacio para maniobrar debido a la ubicación de los bebederos.

    10.3c Cuarto de baño para mujeres con puestos cerca del vestíbulo

    10.3c (1) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 38,5 pulgadas de la pared trasera.

    10.3c (2) El lado de empuje de la puerta del baño, al que se accede desde el lado de las bisagras de la puerta, es inaccesible porque no tiene suficiente espacio para maniobrar debido a la ubicación de los bebederos.

    10.3d (1) La señalización es inaccesible porque carece del Símbolo Internacional de Accesibilidad.

    10.3d (2) El inodoro es inaccesible porque el control de descarga está en el lado cerrado.

    10.3d (3) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 39 pulgadas de la pared trasera.

    10.3d (4) El banco es inaccesible porque es demasiado estrecho y es independiente.

    10.3d (5) No se proporciona ningún casillero accesible.

    10.3d (6) La ducha es inaccesible porque no se proporciona una unidad de rociador de ducha.

    10.3e (1) La señalización es inaccesible porque carece del Símbolo Internacional de Accesibilidad.

    10.3e (2) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 44 pulgadas de la pared trasera.

    10.3e (3) El banco es inaccesible porque es demasiado estrecho y es independiente.

    10.3e (4) No se proporciona ningún casillero accesible.

    10.3e (5) La ducha es inaccesible porque no se proporciona una unidad de rociador de ducha.

    10.3f Gimnasio / Salón de usos múltiples - Salón 155

    (a) El bebedero es inaccesible porque la altura del agua es menor de 4 pulgadas, los controles no se pueden operar sin girar la muñeca y requiere más de 5 lbf para funcionar.

    Fuente para beber de acero inoxidable 10.3f (2)

    (a) La pasarela es inaccesible porque la fuente para beber sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    (b) El bebedero es inaccesible porque los controles requieren 8 lbf para funcionar.

    Fuente de agua potable de 10,3 g (1) cerca de la habitación 141

    (a) La pasarela es inaccesible porque la fuente para beber sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    10,3 g (2) Cuarto de baño para hombres cerca de las aulas de guardería

    (a) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 43 pulgadas de la pared trasera.

    (b) El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 19.5 pulgadas de la pared lateral.

    (c) No se ha proporcionado un perchero accesible para la ducha / vestidor.

    (d) La ducha es inaccesible porque no se proporciona una unidad de rociador de ducha.

    10,3 g (3) Cuarto de baño para mujeres cerca de las salas de clases de guardería

    (a) El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 45,5 pulgadas de la pared trasera.

    (b) La ducha es inaccesible porque no se proporciona una unidad de rociador de ducha.

    Fuente de agua potable de 10.3h cerca de la casa club de computadoras (sala 150)

    10.3h (1) La pasarela es inaccesible porque el bebedero sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega usando un bastón.

    Plataforma elevadora 10.3i al segundo piso

    10.3i (1) El elevador entre el primer y segundo piso es inaccesible porque la puerta del área se mantiene cerrada, el área cercana a la puerta se usa para almacenamiento y se requiere la misma llave que se usa para abrir la puerta para operar el elevador. .

    10.4a (1) El teatro que contiene 224 asientos es inaccesible porque no se proporcionan asientos accesibles para sillas de ruedas o asientos para acompañantes.

    10.4a (2) El teatro carece de asientos de pasillo fijo sin apoyabrazos.

    10.4a (3) El teatro es inaccesible para las personas con discapacidad auditiva porque, aunque hay 224 asientos fijos, solo hay 3 dispositivos de ayuda auditiva.

    10.4a (4) La ruta de viaje entre la primera fila de asientos y el escenario es inaccesible porque se estrecha a 16 pulgadas de ancho cerca de las escaleras del escenario.

    10.4a (5) No hay una ruta accesible a lo largo de los pasillos laterales al escenario porque la pendiente de la ruta es mayor de 1:12.

    10.4a (6) El ascensor en el escenario es inaccesible porque está obstruido por objetos cerca de su entrada.

    10.5a (1) Las mesas de picnic son inaccesibles porque ninguna proporciona el espacio requerido para las rodillas.

    10.5b Baños al aire libre para hombres y mujeres con cubículos

    10.5b (1) Los baños de hombres y mujeres son inaccesibles porque una parrilla obstruye la entrada a ambos baños.

    10.5b (2) La señalización del baño de cada baño es inaccesible porque carece del Símbolo internacional de accesibilidad.

    10.5b (3) El dispensador de papel higiénico en cada cuarto de baño es inaccesible porque está montado a 42 pulgadas de la pared trasera.

    10.5b (4) El pasillo es inaccesible porque el secador de aire en cada cuarto de baño sobresale en el pasillo y no sería detectable por una persona ciega usando un bastón.

    10.5c Ruta accesible a los campos de béisbol

    10.5c (1) No se proporciona ninguna ruta accesible a los campos de béisbol y gradas.

    11. Centro para personas mayores de Pimmit Hills

    11.1a El estacionamiento reservado para personas con discapacidades es inaccesible porque no está ubicado en la ruta accesible más corta a la entrada de la instalación, los espacios de estacionamiento y el pasillo de acceso no están nivelados, no hay un espacio designado accesible para camionetas y la señalización es demasiado baja. .

    11.2a El estacionamiento es inaccesible porque uno de los espacios de estacionamiento accesibles designados carece de un pasillo de acceso, y el estacionamiento accesible para camionetas reservado para personas con discapacidades carece de la señalización adecuada.

    11.3a La puerta es inaccesible porque se usa un pestillo con pestillo.

    11.4 Habitación pequeña cerca de la habitación 185

    11.4a El dispensador de toallas de papel es inaccesible porque está obstruido por la mesa.

    11.4b El bebedero no es accesible porque no hay un bebedero bajo.

    11.4c El fregadero del área de la cocina es inaccesible porque carece de espacio suficiente para las rodillas.

    11.5 Cuarto de baño para hombres con cubículos frente al centro para personas mayores, sala 185

    11.5a La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 13 libras.

    11.5b El baño es inaccesible porque la altura hasta el borde inferior del delantal es de 28 pulgadas y las tuberías no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    11.5c El dispensador de papel higiénico en el puesto accesible designado es inaccesible porque está montado a 42 pulgadas de la pared trasera.

    11.6 Cuarto de baño para mujeres con cubículos frente al centro para personas mayores, salón 185

    11.6a La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 9 libras.

    11.6b El lado de tiro de la puerta, al que se accede a través de un acceso frontal, es inaccesible porque tiene solo 7 pulgadas de espacio para maniobrar en el lado del pestillo de la puerta.

    11.6c La pasarela es inaccesible porque el dispensador de toallas de papel sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    11.6d El baño es inaccesible porque la altura hasta el borde inferior del delantal es de 28 pulgadas y las tuberías no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    11.6e El dispensador de papel higiénico en el puesto accesible designado es inaccesible porque está montado a 45 pulgadas de la pared trasera.

    12. Centro Comunitario de Bailey's

    12.1a La ruta desde el estacionamiento hasta la entrada de la instalación es inaccesible porque la rampa de la acera junto al espacio de estacionamiento estándar accesible designado tiene una pendiente del 10.1% y la rampa de la acera junto al espacio accesible para camionetas designado tiene una pendiente de 11.9%. y lados ensanchados con una pendiente del 16,7%.

    12.2 Teléfono público de pago en el vestíbulo

    12.2a La pasarela es inaccesible porque el teléfono público de pago sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    12.3a La señalización es inaccesible porque el Símbolo Internacional de Accesibilidad está montado en la puerta.

    12.3b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 13 libras.

    12.3c El lado de tiro de la puerta, al que se accede desde el lado de las bisagras de la puerta, es inaccesible porque tiene solo 2 pulgadas de espacio para maniobrar en el lado del pestillo de la puerta.

    12.3d El urinario es inaccesible porque el control de descarga está a 47 pulgadas sobre el piso terminado.

    12.3e No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    12.3f El dispensador de papel higiénico en el puesto accesible designado es inaccesible porque está montado a 42 pulgadas de la pared trasera.

    12.3g La ducha de transferencia es inaccesible porque el asiento no se extiende por toda la profundidad de la cabina.

    12.3h El banco no es accesible porque no es lo suficientemente ancho.

    12.4a La señalización es inaccesible porque el Símbolo Internacional de Accesibilidad está montado en la puerta.

    12.4b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 13 libras.

    12.4c El dispensador de compresas higiénicas es inaccesible porque requiere un agarre fuerte y un giro de la muñeca para funcionar.

    12.4d No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    12.4e El control de descarga es inaccesible porque está montado en el lado cerrado.

    12.4f La ducha de transferencia es inaccesible porque el asiento no se extiende por toda la profundidad de la cabina.

    12,4g El banco es inaccesible porque no es lo suficientemente ancho y no tiene suficiente espacio libre en el piso para facilitar una transferencia paralela.

    12.5a La pasarela es inaccesible porque la manivela del aro de baloncesto ubicada en la pared sobresale hacia la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    12.6 Fuente para beber afuera del gimnasio por máquinas expendedoras

    12.6a La fuente para beber es inaccesible porque el flujo de agua está a 4.5 pulgadas del frente de la fuente.

    12.6b La pasarela es inaccesible porque el bebedero alto sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    12.7a Las mesas de la computadora son inaccesibles porque el espacio para las rodillas entre las patas de la mesa es de 22.5 pulgadas de ancho.

    12.8 Baño de uso individual para hombres cerca de la sala de computadoras

    12.8a La señalización es inaccesible porque la señal está montada en la puerta.

    12.8b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 15 libras.

    12.8c El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 20 pulgadas de la pared lateral.

    12.8d El dispensador de papel higiénico es inaccesible porque está montado a 42 pulgadas de la pared trasera.

    12.9 Cuarto de baño para mujeres individuales cerca de la sala de ordenadores

    12.9a La señalización es inaccesible porque está montada en la puerta.

    12.9b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 17 libras.

    12.10a El auditorio es inaccesible para personas con discapacidades auditivas porque no tiene un sistema de ayuda auditiva.

    12.10b La salida del auditorio es inaccesible porque está bloqueada por muebles.

    12.11 Ruta accesible a la cancha de baloncesto al aire libre

    12.11a La ruta desde el área de estacionamiento adyacente al edificio Head Start hasta la cancha de básquetbol es inaccesible porque las rampas de acera tienen pendientes de 10.3% y 11%.

    12.12 Ruta accesible a las canchas de tenis

    12.12a La ruta a las canchas de tenis es inaccesible porque la superficie no es estable, firme y antideslizante.

    12.13 Ruta accesible al campo de béisbol

    12.13a La ruta al campo de béisbol es inaccesible porque no hay rampa en la acera.

    13. Centro Comunitario de Reston - Lake Anne

    13.1a La ruta a la entrada es inaccesible porque hay un cambio vertical de 1 pulgada entre el estacionamiento y la acera.

    13.2 Teléfono público de pago dentro de la entrada

    13.2a El teléfono es inaccesible porque el espacio libre del piso está bloqueado por el recipiente de basura.

    13.3 Bebedero entre el mostrador y los baños

    13.3a La pasarela es inaccesible porque el bebedero sobresale en la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    13.4a El espacio libre en el piso ubicado en la cocina en el baño está bloqueado por los receptáculos de basura.

    13.4b El baño es inaccesible porque tiene tuberías de agua caliente y desagüe que no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    13.5 Ruta interna a través del edificio

    13.5a Algunos de los letreros provistos en todo el edificio son inaccesibles porque están montados en el lado de las bisagras de la puerta.

    13.6a El botiquín de primeros auxilios ubicado al lado del dispensador de toallas de papel es inaccesible porque está montado demasiado alto sobre el piso terminado.

    13.6b El lavabo del estudio es inaccesible porque carece de espacio suficiente para las rodillas.

    13.7 Cuarto de baño para mujeres con cubículos en la parte trasera de la instalación en el nivel principal

    13.7a La señalización es inaccesible porque está montada en la puerta con la línea central a 57 pulgadas sobre el piso terminado.

    13.7b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    13.7c El lavabo es inaccesible porque las tuberías no están aisladas o configuradas de otra manera para proteger contra el contacto.

    13.7d Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, no hay un aparato de alarma visual en el baño.

    13.7e El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 18.5 pulgadas de la pared lateral.

    13.8 Cuarto de baño de hombres con cubículos en la parte trasera de la instalación en el nivel principal

    13.8a La señalización es inaccesible porque está montada en la puerta y la línea central no está a 60 pulgadas por encima del piso terminado.

    13.8b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de más de 5 libras.

    13.8c Aunque se proporciona una alarma audible en esta instalación, no hay un aparato de alarma visual en el baño.

    13.8d El inodoro es inaccesible porque la línea central está a 18.5 pulgadas de la pared lateral.

    14.1a El estacionamiento reservado para personas con discapacidad es inaccesible porque los espacios y pasillos de acceso tienen pendientes y pendientes transversales superiores al 2%.

    14.2 Ruta accesible desde el estacionamiento hasta la entrada

    14.2a La rampa de la acera al lado del edificio cerca de la entrada principal es inaccesible porque tiene una pendiente del 11,8% y una pendiente transversal del 3,7%, uno de sus lados ensanchados tiene una pendiente superior al 10%, y hay un hueco y un borde. en la parte inferior de la rampa de la acera que mide 0,75 pulgadas de alto.

    14.3 Rampa de entrada a la sala de reuniones

    14.3a La rampa es inaccesible porque el descansillo en la parte inferior no está nivelado (la pendiente es del 4,9% y la pendiente transversal es del 6,9%) y no hay una protección de borde adecuada.

    14.4 Teléfono público de pago cerca de la entrada principal

    14.4a El teléfono es inaccesible porque su espacio libre en el piso tiene una pendiente del 9.3%, la parte operable más alta está a 63.25 pulgadas sobre el piso terminado y el teléfono no tiene control de volumen.

    14.5 Depósito de libros en la entrada principal

    14.5a El depósito de libros es inaccesible porque el espacio libre del piso no está nivelado.

    14.6 Vestíbulo de entrada frontal exterior

    14.6a La pasarela es inaccesible porque el extintor de incendios en el vestíbulo delantero sobresale hacia la pasarela y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.

    14.7a El revistero es inaccesible porque su estante superior está a 62 pulgadas sobre el piso terminado.

    14.8 Cuarto de baño para mujeres con puestos en el vestíbulo delantero

    14.8a No se puede acceder a la señalización porque la señalización está montada en la puerta y su línea central está a 48 pulgadas sobre el piso terminado.

    14.8b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 10 libras.

    14.8c El dispensador de compresas higiénicas es inaccesible porque requiere un agarre fuerte y un giro de la muñeca para funcionar.

    14.8d El inodoro es inaccesible porque la puerta se abre hacia el espacio libre requerido en el piso.

    14.8e No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    14.8f La barra de agarre trasera es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a 12.5 pulgadas de la pared lateral.

    14.9 Cuarto de baño para hombres con puestos en el vestíbulo delantero

    14.9a La señalización es inaccesible porque la señalización está montada en la puerta y su línea central está a 48 pulgadas sobre el piso terminado.

    14.9b La puerta es inaccesible porque la presión requerida para abrir la puerta es de 8 libras.

    14.9c El inodoro es inaccesible porque la puerta se abre hacia el espacio libre requerido en el piso.

    14.9d No se ha proporcionado ningún perchero accesible.

    14.9e La barra de apoyo lateral es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a 13 pulgadas de la pared trasera.

    14.9f La barra de apoyo trasera es inaccesible porque está montada con el extremo más cercano a 12.5 pulgadas de la pared lateral.

    14.10 Fuente de agua potable cerca de los baños

    14.10a El pasillo es inaccesible porque el bebedero del lado derecho del baño de hombres sobresale en el pasillo y no sería detectable por una persona ciega que usa un bastón.


    SSL abierto

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    Usar la optimización de topología

    En este tutorial, creará un soporte utilizando la optimización de topología. El software minimiza el cumplimiento del soporte mientras usa solo un 10-30% del peso original y limita la frecuencia del modo 7 a un tercio de su valor original.

    En su escritorio o en la unidad de red apropiada, cree una carpeta llamada topología_optimización.

    Los archivos de pieza requieren aproximadamente 1,4 GB de espacio libre en el disco y pueden tardar algún tiempo en descargarse.

    Extraiga los archivos a su topología_optimización carpeta.

    Abierto Soporte 02_sim1.sim.

    Este modelo representa un soporte que se fijará a dos superficies con cuatro tornillos. Dado que el soporte está diseñado para ser simétrico, optimizará solo la mitad del modelo para reducir el tiempo de procesamiento.

    Las opciones que seleccione en los cuadros de diálogo se conservan para la próxima vez que abra el mismo cuadro de diálogo dentro de una sesión determinada. Restaure la configuración predeterminada para asegurarse de que los cuadros de diálogo estén en el estado inicial esperado para cada paso de la actividad.

    PreferenciasInterfaz de usuario

    Restablecer memoria de diálogo

    Desea que el soporte sea lo más rígido posible mientras reduce su peso y restringe uno de sus modos para que no vaya por debajo de una frecuencia especificada. Para determinar las restricciones a imponer, debe examinar el peso existente del modelo y la frecuencia de sus modos. Se proporciona una solución de valores propios reales Simcenter Nastran SOL 103 resuelta para permitirle ver las frecuencias.

    Comprobación de propiedades sólidas (Casa pestaña →Comprobaciones e información grupo →Más lista)

    Arrastre un cuadro de selección alrededor de todo el modelo.

    La Información La ventana indica que la masa total es de aproximadamente 9,6E-03 lbf-s 2 / pulg.

    la Información ventana

    Prueba de modos normalesResultados

    Navegador de posprocesamiento

    Prueba de modos normalesEstructural

    Observe las frecuencias de cada modo. El modo 7 tiene una frecuencia de aproximadamente 24228 Hz.

    Para esta solución, especificará 35 ciclos de diseño e indicará que existe una relación lineal entre la densidad del material y el módulo de Young.

    Optimización de topología SOL 200

    Número máximo de ciclos de diseño (DESMAX)

    Crear objeto de modelado (Parámetros)

    La restricción de diseño de frecuencia debe aplicarse a un subcase de modos normales.

    TO Estática y modosNastopt - Estática1Restricciones

    Repita este procedimiento para agregar las restricciones a la Nastopt - Modos normales 1 subcase también.

    TO Estática y modosNastopt - Estática1Cargas

    El objetivo del diseño es minimizar el cumplimiento en la estructura (es decir, maximizar la rigidez). Este procedimiento crea un objeto de modelado de objetivo de diseño y un objeto de modelado de cantidades de respuesta de diseño simultáneamente, y agrega el objetivo de diseño al subcasete estático. Los objetivos que son específicos de un sub caso deben aparecer en el nivel del sub caso.


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