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8.2: Usar el sistema de coordenadas rectangulares (Parte 1)


Habilidades para desarrollar

  • Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular
  • Identificar puntos en una gráfica
  • Verificar soluciones a una ecuación en dos variables
  • Completar una tabla de soluciones de una ecuación lineal.
  • Encuentra soluciones a ecuaciones lineales en dos variables.

¡estar preparado!

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Evalúe: x + 3 cuando x = −1. Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 3.4.10.
  2. Evalúe: 2x - 5y cuando x = 3, y = −2. Si no detectó este problema, revise el Ejemplo 3.8.106.
  3. Resuelva para y: 40 - 4y = 20. Si omitió este problema, revise el Ejemplo 8.4.1.

Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular

Muchos mapas, como el Mapa del campus que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), utilizan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones. ¿Ves los números 1, 2, 3 y 4 en la parte superior e inferior del mapa y las letras A, B, C y D en los lados? Cada ubicación en el mapa se puede identificar con un número y una letra.

Por ejemplo, el Centro de Estudiantes está en la sección 2B. Se encuentra en la sección de la cuadrícula encima del número 2 y al lado de la letra B. ¿En qué sección de la cuadrícula se encuentra el estadio? El estadio está en la sección 4D.

Figura ( PageIndex {1} )

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Utilice el mapa de la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de la cuadrícula de las Residencias. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 4C de la cuadrícula?

Solución

(a) Lea el número debajo de las Residencias, 4, y la letra al lado, A. Entonces, las Residencias están en la sección 4A de la cuadrícula.

(b) Encuentre 4 en la parte inferior del mapa y C a lo largo del costado. Mire debajo del 4 y al lado del C. Tiger Field está en la sección 4C de la cuadrícula.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Utilice el mapa de la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de la cuadrícula de Taylor Hall. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 3B?

Responde una

1C

Respuesta b

Edificio de Ingeniería

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Utilice el mapa de la Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encuentre la sección de la cuadrícula del estacionamiento. (b) ¿Qué se encuentra en la sección 2C?

Responde una

1A

Respuesta b

Biblioteca

Así como los mapas usan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, un sistema de cuadrícula se usa en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. Para crear un sistema de coordenadas rectangular, comience con una recta numérica horizontal. Muestre números positivos y negativos como lo hizo antes, usando una unidad de escala conveniente. Esta recta numérica horizontal se llama eje x.

Ahora, haga una recta numérica vertical que pase por el eje x en 0. Coloque los números positivos arriba de 0 y los números negativos debajo de 0. Vea la Figura ( PageIndex {2} ). Esta línea vertical se llama eje y.

Las líneas de cuadrícula verticales pasan a través de los números enteros marcados en el eje x. Las líneas de cuadrícula horizontales pasan a través de los números enteros marcados en el eje y. La cuadrícula resultante es el sistema de coordenadas rectangular.

El sistema de coordenadas rectangular también se llama plano x-y, plano de coordenadas o sistema de coordenadas cartesiano (ya que fue desarrollado por un matemático llamado René Descartes).

Figura ( PageIndex {2} ): el sistema de coordenadas rectangular.

El eje xy el eje y forman el sistema de coordenadas rectangular. Estos ejes dividen un plano en cuatro áreas, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se identifican con números romanos, comenzando en la esquina superior derecha y avanzando en sentido antihorario. Vea la Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ): los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas rectangular.

En el sistema de coordenadas rectangulares, cada punto está representado por un par ordenado. El primer número del par ordenado es la coordenada x del punto y el segundo número es la coordenada y del punto.

Definición: par ordenado

Un par ordenado, (x, y) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es la coordenada x. El segundo número es la coordenada y.

Entonces, ¿cómo te ayudan las coordenadas de un punto a ubicar un punto en el plano x-y?

Intentemos localizar el punto (2, 5). En este par ordenado, la coordenada x es 2 y la coordenada y es 5.

Comenzamos ubicando el valor x, 2, en el eje x. Luego dibujamos ligeramente una línea vertical a través de x = 2, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} )

Figura ( PageIndex {4} )

Ahora ubicamos el valor de y, 5, en el eje y y dibujamos una línea horizontal a través de y = 5. El punto donde estas dos líneas se encuentran es el punto con coordenadas (2, 5). Trazamos el punto allí, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {5} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Grafique (1, 3) y (3, 1) en el mismo sistema de coordenadas rectangular.

Solución

Los valores de las coordenadas son los mismos para ambos puntos, pero los valores xey están invertidos. Comencemos con el punto (1, 3). La coordenada x es 1, así que encuentra 1 en el eje x y dibuja una línea vertical a través de x = 1. La coordenada y es 3, por lo que encontramos 3 en el eje y y dibujamos una línea horizontal a través de y = 3. Donde las dos líneas se encuentran, trazamos el punto (1, 3).

Para trazar el punto (3, 1), comenzamos ubicando 3 en el eje x y trazamos una línea vertical a través de x = 3. Luego encontramos 1 en el eje y y trazamos una línea horizontal a través de y = 1. Donde las dos líneas se encuentran, trazamos el punto (3, 1).

Observe que el orden de las coordenadas es importante, por lo que (1, 3) no es el mismo punto que (3, 1).

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Trace cada punto en el mismo sistema de coordenadas rectangular: (2, 5), (5, 2).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

Trace cada punto en el mismo sistema de coordenadas rectangular: (4, 2), (2, 4).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−1, 3) (b) (−3, −4) (c) (2, −3) (d) ( left (3, dfrac {5} {2} right) )

Solución

El primer número del par de coordenadas es la coordenada x y el segundo número es la coordenada y.

  1. Dado que x = −1, y = 3, el punto (−1, 3) está en el cuadrante II.
  2. Dado que x = −3, y = −4, el punto (−3, −4) está en el cuadrante III.
  3. Como x = 2, y = −1, el punto (2, −1) está en el cuadrante lV.
  4. Dado que x = 3, y = ( dfrac {5} {2} ), el punto ( left (3, dfrac {5} {2} right) ) está en el cuadrante I. Puede ser Es útil escribir ( dfrac {5} {2} ) como el número mixto, (2 dfrac {1} {2} ), o decimal, 2.5. Entonces sabemos que el punto está a medio camino entre 2 y 3 en el eje y.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−2, 1) (b) (−3, −1) (c) (4, −4) (d) ( left (-4, dfrac {3} {2} right) )

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto: (a) (−4, 1) (b) (−2, 3) (c) (2, −5) (d) ( izquierda (-3, dfrac {5} {2} derecha) )

Respuesta

¿Cómo afectan las señales a la ubicación de los puntos?

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Grafique cada punto: (a) (−5, 2) (b) (−5, −2) (c) (5, 2) (d) (5, −2)

Solución

Al ubicar la coordenada xy la coordenada y, debemos tener cuidado con los signos.

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

Grafique cada punto: (a) (4, −3) (b) (4, 3) (c) (−4, −3) (d) (−4, 3)

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Grafique cada punto: (a) (−1, 4) (b) (1, 4) (c) (1, −4) (d) (−1, −4)

Respuesta

Es posible que haya notado algunos patrones al graficar los puntos en los dos ejemplos anteriores.

Para cada punto del cuadrante IV, ¿qué notas sobre los signos de las coordenadas?

¿Qué pasa con los signos de las coordenadas de los puntos en el tercer cuadrante? ¿El segundo cuadrante? ¿El primer cuadrante?

¿Puedes decir con solo mirar las coordenadas en qué cuadrante está ubicado el punto (-2, 5)? ¿En qué cuadrante se encuentra (2, −5)?

Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de la siguiente manera. También vea la Figura ( PageIndex {6} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
Cuadrante ICuadrante IICuadrante IIICuadrante IV
(x, y)(x, y)(x, y)(x, y)
(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)

Figura ( PageIndex {6} )

¿Qué pasa si una coordenada es cero? ¿Dónde está ubicado el punto (0, 4)? ¿Dónde está ubicado el punto (−2, 0)? El punto (0, 4) está en el eje y y el punto (-2, 0) está en el eje x.

Definición: puntos en los ejes

Los puntos con una coordenada y igual a 0 están en el eje x y tienen coordenadas (a, 0).

Los puntos con una coordenada x igual a 0 están en el eje y y tienen coordenadas (0, b).

¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es (0, 0). El punto tiene un nombre especial. Se llama el origen.

Definición: el origen

El punto (0, 0) se llama origen. Es el punto donde el eje xy el eje y se cruzan.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Trace cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (0, 5) (b) (4, 0) (c) (−3, 0) (d) (0, 0) (e) (0, −1)

Solución

  1. Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, 5) está en el eje y.
  2. Como y = 0, el punto cuyas coordenadas son (4, 0) está en el eje x.
  3. Dado que y = 0, el punto cuyas coordenadas son (−3, 0) está en el eje x.
  4. Dado que x = 0 e y = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, 0) es el origen.
  5. Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, −1) está en el eje y.

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

Grafique cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (4, 0) (b) (−2, 0) (c) (0, 0) (d) (0, 2) (e) (0, −3)

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

Trace cada punto en una cuadrícula de coordenadas: (a) (−5, 0) (b) (3, 0) (c) (0, 0) (d) (0, −1) (e) (0, 4)

Respuesta

Identificar puntos en un gráfico

En álgebra, ser capaz de identificar las coordenadas de un punto que se muestra en una gráfica es tan importante como poder trazar puntos. Para identificar la coordenada x de un punto en un gráfico, lea el número en el eje x directamente encima o debajo del punto. Para identificar la coordenada y de un punto, lea el número en el eje y directamente a la izquierda o derecha del punto. Recuerda escribir el par ordenado usando el orden correcto (x, y).

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Solución

El punto A está por encima de −3 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es −3. El punto está a la izquierda de 3 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es 3. Las coordenadas del punto son (−3, 3).

El punto B está por debajo de -1 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es -1. El punto está a la izquierda de −3 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es −3. Las coordenadas del punto son (−1, −3).

El punto C está por encima de 2 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es 2. El punto está a la derecha de 4 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es 4. Las coordenadas de el punto son (2, 4).

El punto D está por debajo de 4 en el eje x, por lo que la coordenada x del punto es 4. El punto está a la derecha de −4 en el eje y, por lo que la coordenada y del punto es −4. Las coordenadas del punto son (4, −4)

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (5,1), B: (−2,4), C: (−5, −1), D: (3, −2)

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (4,2), B: (−2,3), C: (−4, −4), D: (3, −5)

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Solución

El punto A está en el eje x en x = - 4.Las coordenadas del punto A son (- 4, 0).
El punto B está en el eje y en y = - 2.Las coordenadas del punto B son (0, - 2).
El punto C está en el eje x en x = 3.Las coordenadas del punto C son (3, 0).
El punto D está en el eje y en y = 1.Las coordenadas del punto D son (0, 1).

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (4,0), B: (0,3), C: (−3,0), D: (0, −5)

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra:

Respuesta
A: (−3,0), B: (0, −3), C: (5,0), D: (0,2)

Teoría del campo de ligando es una de las teorías más útiles para dar cuenta de la estructura electrónica de los complejos. Se originó en la aplicación de la teoría del campo cristalino de cristales iónicos a sistemas de complejos metálicos.

Seis complejos octaédricos coordinados

Los cinco orbitales d de los cationes de metales de transición están degenerados y tienen la misma energía.

Figura ( PageIndex <4> ): Cambio de energía electrónica tras la formación del complejo.

El campo eléctrico negativo esférico alrededor de un catión metálico hace que el nivel de energía total sea más bajo que el de un catión libre debido a las interacciones electrostáticas. La interacción repulsiva entre los electrones en los orbitales metálicos y el campo eléctrico negativo desestabiliza el sistema y compensa la estabilización hasta cierto punto (Figura ( PageIndex <4> )).

Figura ( PageIndex <5> ): posiciones del ligando en la coordenada cartesiana con un ion metálico en el origen.

Supongamos que en lugar de un campo negativo esférico uniforme, el campo es generado por seis ligandos que se coordinan octaédricamente con un metal central. El campo negativo de los ligandos se llama campo de ligando. La carga negativa, en el caso de los ligandos aniónicos, o un extremo negativo (par solitario), en el caso de los ligandos neutros, ejerce una fuerza repulsiva sobre los orbitales d del metal que es anisotrópica según la dirección de los orbitales. La posición del catión metálico se toma como origen y se construyen las coordenadas cartesianas (Figura ( PageIndex <5> )). Entonces, dx 2 -y 2 ydz 2 Los orbitales están alineados a lo largo de las direcciones de los ejes y el dxy, Dyzydxz los orbitales se dirigen entre los ejes. Si se colocan ligandos en los ejes, la interacción repulsiva es mayor para los orbitales, por ejemplo (dx 2 -y 2 , Dz 2 ) que para la t2g orbitales (dxy, Dyz, Dxz), y la egramo los orbitales se desestabilizan y el t2g los orbitales se estabilizan en igual medida. En la siguiente discusión, solo la diferencia de energía entre el t2g yegramo orbitales es esencial y la energía promedio de estos orbitales se toma como el cero de energía. Si la diferencia de energía entre los dos egramo y tres t2g orbitales se establece en ( Delta_), el nivel de energía de los orbitales p. ej. es +3/5 ( Delta_) y la de la t2g orbitales es -2/5 ( Delta_) (Figura ( PageIndex <6> )). ((Delta_) también se puede expresar como 10 Dq. En este caso, el nivel de energía de los orbitales eg es +6 Dq y el de t2g orbitales -4 Dq.)

Figura ( PageIndex <6> ): División del campo de ligando en complejos tetraédricos y octaédricos.

Los iones de metales de transición tienen electrones de 0 a 10 d y cuando los orbitales d divididos se llenan desde un nivel de energía más bajo, la configuración electrónica t2g x egramo Se obtiene y correspondiente a cada ion. Con el nivel de energía cero elegido como el nivel de energía promedio, la energía de la configuración electrónica relativa a la energía cero se convierte en

Este valor se llama energía de estabilización del campo de ligando. La configuración electrónica con un valor menor (teniendo en cuenta el signo menos) es más estable. LFSE es un parámetro importante para explicar algunas propiedades de los complejos de metales de transición del bloque d.

Se requiere una condición diferente al nivel de energía orbital para explicar el llenado de electrones que se pueblan en la división t2g yegramo orbitales ,. Dos electrones pueden ocupar un orbital con espines antiparalelos, pero se produce una fuerte repulsión electrostática entre dos electrones en el mismo orbital. Esta interacción repulsiva se llama emparejamiento de energía, PAG.

Cuando el número de electrones d es menor que tres, la energía de emparejamiento se minimiza cargando los electrones en el t2g orbital con giros paralelos. Es decir, las configuraciones electrónicas que surgen son t2g 1, t2g 2, ot2g 3 .

Surgen dos posibilidades cuando el cuarto electrón ocupa cualquiera de los t2g mineralgramo orbitales. El orbital de menor energía t2g es favorable, pero la ocupación del mismo orbital da lugar a la energía de apareamiento, P. La energía total se convierte en

[- 0,4 Delta_ times 4 + P = - 1.6 Delta_ + P ]

Si el cuarto electrón ocupa la e energéticamente desfavorablegramo orbital, la energía total se convierte en

[- 0,4 Delta_ times 3 + 0.6 Delta- = - 0,6 Delta_]

La elección de la configuración electrónica depende de cuál de los valores anteriores sea mayor. Por lo tanto, si ( Delta_) & gt P, t2g 4 se favorece y esto se llama el caso de campo fuerte o el configuración de electrones de bajo espín. Si ( Delta_) & lt P, t2g 3 egramo 1 es favorecido y esto se llama el caso de campo débil o el configuración de electrones de alto espín. Se requiere una elección similar para d 5, d 6 y d 7 complejos octaédricos, y en el caso de campo fuerte, t2g 5, t2g 6, ot2g 6 egramo 1 se favorecen las configuraciones, mientras que en el caso de campo débil, t2g 3 egramo 2, t2g 4 egramo 2, ot2gmigramo Se prefieren 2 configuraciones. El parámetro de división del campo de ligando ( Delta_) se decide por la naturaleza de los ligandos y el metal, mientras que la energía de emparejamiento, P, es casi constante y muestra solo una ligera dependencia de la identidad del metal.

Complejos planos cuadrados

Los complejos con cuatro ligandos en un plano que contiene el metal central se denominan complejos planos cuadrados. Es más fácil comprender los niveles de energía electrónica de los orbitales d en complejos planos cuadrados partiendo de los de los complejos octaédricos hexacoordinados. Colocando los seis ligandos a lo largo de los ejes cartesianos, los dos ligandos en el eje z se eliminan gradualmente del metal central y finalmente solo quedan cuatro ligandos en el plano x, y. La interacción de los dos ligandos de la coordenada z con el dz 2 , Dxzydyz los orbitales se vuelven más pequeños y los niveles de energía de estos ligandos disminuyen. Por otro lado, los cuatro ligandos restantes se acercan al metal y el dx 2 -y 2 ydxy los niveles de energía aumentan como resultado de la eliminación de los dos ligandos. Esto da como resultado que el orden de los niveles de energía de cinco orbitales d sea dxz, Dyz & lt dz 2 & lt dxy & lt & lt dx 2 -y 2 (Figura ( PageIndex <7> )). Los complejos Rh +, Ir +, Pd 2+, Pt 2 + y Au 3+ con una configuración d 8 tienden a formar estructuras planas cuadradas porque ocho electrones ocupan los orbitales inferiores dejando el d superior.x 2 -y 2 orbital vacío.

Figura ( PageIndex <7> ): Cambio de la energía orbital de complejos octaédricos a cuadrados planos.

Complejos tetraédricos

Los complejos tetraédricos tienen cuatro ligandos en los vértices de un tetraedro alrededor del metal central. [Timonel4] 2- (X = Cl, Br, I), Ni (CO)4, etc. son todos ejemplos de complejos de 4 coordinaciones (Figura ( PageIndex <5> )). Cuando un metal se coloca en el origen de los ejes cartesianos, como en los complejos octaédricos, orbitales e (dx 2 -y 2 , Dz 2 ) están distantes de los ligandos yt2 orbitales (dxy, Dyz, Dxz) son ligandos más cercanos. En consecuencia, la repulsión electrónica es mayor para la t2 orbitales, que están desestabilizados en relación con los orbitales e. El campo de ligando ejercido por cuatro ligandos divide los cinco orbitales degenerados del metal central en dos degenerados e y tres degenerados t2 conjuntos (Figura ( PageIndex <6> )). La t2 el conjunto tiene una energía de +2/5 ( Delta_) y el conjunto e -3/5 ( Delta_) con una división del campo de ligando de ( Delta_). Como el número de ligandos es 4/6 = 2/3 del de los complejos octaédricos hexacoordinados, y la superposición de los ligandos con los orbitales es menor y el ligando se divide ( Delta_) es aproximadamente la mitad de ( Delta_). En consecuencia, solo se conocen configuraciones de electrones de alto espín en los complejos tetraédricos. Las energías de división del campo de ligando calculadas por el método anterior se muestran en la Tabla ( PageIndex <2> ).

Tabla ( PageIndex <2> ) Energía de estabilización del campo de ligando (LFSE)
Octaédrico Tetraédrico
Campo fuerte (LS) Campo débil (HS)
d n Ejemplo norte (Delta_) norte (Delta_) norte (Delta_)
d 1 Ti 3 + 1 0.4 1 0.4 1 0.6
d 2 V 3+ 2 0.8 2 0.8 2 1.2
d 3 Cr 3 +, V 2+ 3 1.2 3 1.2 3 0.8
d 4 Cr 2+, Mn 3 + 2 1.6 4 0.6 4 0.4
d 5 Mn 2 +, Fe 3+ 1 2.0 5 0 5 0
d 6 Fe 2 +, Co 3+ 0 2.4 4 0.4 4 0.6
d 7 Co 2 + 1 1.8 3 0.8 3 1.2
d 8 Ni 2 + 2 1.2 2 1.2 2 0.8
d 9 Cu 2 + 1 0.6 1 0.6 1 0.4
d 10 Cu 1+ 0 0 0 0 0 0


Contenido

Se pueden medir muchas propiedades en la superficie de la Tierra independientemente de su geografía:

Se pueden construir proyecciones cartográficas para preservar algunas de estas propiedades a expensas de otras. Debido a que la superficie curva de la Tierra no es isométrica a un plano, la preservación de las formas conduce inevitablemente a una escala variable y, en consecuencia, a una presentación no proporcional de áreas. Viceversa, una proyección que preserva el área no puede ser conforme, lo que da como resultado formas y rumbos distorsionados en la mayoría de los lugares del mapa. Cada proyección conserva, compromete o aproxima las propiedades métricas básicas de diferentes formas. El propósito del mapa determina qué proyección debe formar la base del mapa. Debido a que existen muchos propósitos para los mapas, se ha creado una diversidad de proyecciones para satisfacer esos propósitos.

Otra consideración en la configuración de una proyección es su compatibilidad con los conjuntos de datos que se utilizarán en el mapa. Los conjuntos de datos son información geográfica cuya recopilación depende del datum elegido (modelo) de la Tierra. Diferentes datums asignan coordenadas ligeramente diferentes a la misma ubicación, por lo que en mapas a gran escala, como los de los sistemas cartográficos nacionales, es importante hacer coincidir el datum con la proyección. Las ligeras diferencias en la asignación de coordenadas entre diferentes datums no son una preocupación para los mapas del mundo u otros territorios vastos, donde tales diferencias se reducen a la imperceptibilidad.

Distorsión Editar

El Theorema Egregium de Carl Friedrich Gauss demostró que la superficie de una esfera no se puede representar en un plano sin distorsión. Lo mismo se aplica a otras superficies de referencia utilizadas como modelos para la Tierra, como esferoides achatados, elipsoides y geoides. Dado que cualquier proyección de mapa es una representación de una de esas superficies en un plano, todas las proyecciones de mapa se distorsionan.

La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot. Para un punto dado, usando el factor de escala h a lo largo del meridiano, el factor de escala k a lo largo del paralelo, y el ángulo θ ′ entre ellos, Nicolas Tissot describió cómo construir una elipse que caracterice la cantidad y orientación de los componentes de distorsión. [2]: 147-149 [5] Al espaciar las elipses regularmente a lo largo de los meridianos y paralelos, la red de indicatrices muestra cómo varía la distorsión a lo largo del mapa.

Otras métricas de distorsión Editar

Se han descrito muchas otras formas de caracterizar la distorsión en las proyecciones. [6] [7] Al igual que la indicatriz de Tissot, la Indicatriz de Goldberg-Gott se basa en infinitesimales y representa flexión y oblicuidad (flexión y desviación) distorsiones. [8]

En lugar del círculo infinitesimal original (ampliado) como en la indicatriz de Tissot, algunos métodos visuales proyectan formas finitas que abarcan una parte del mapa. Por ejemplo, un pequeño círculo de radio fijo (por ejemplo, radio angular de 15 grados). [9] A veces se utilizan triángulos esféricos. [ cita necesaria ] En la primera mitad del siglo XX, proyectar una cabeza humana en diferentes proyecciones era común para mostrar cómo varía la distorsión en una proyección en comparación con otra. [10] En medios dinámicos, las formas de las costas y los límites familiares se pueden arrastrar a través de un mapa interactivo para mostrar cómo la proyección distorsiona los tamaños y las formas según la posición en el mapa. [11]

Otra forma de visualizar la distorsión local es a través de la escala de grises o gradaciones de color cuyo tono representa la magnitud de la deformación angular o inflación del área. A veces, ambos se muestran simultáneamente al combinar dos colores para crear un mapa bivariado. [12]

El problema de caracterizar la distorsión globalmente a través de áreas en lugar de en un solo punto es que necesariamente implica elegir prioridades para llegar a un compromiso. Algunos esquemas usan la distorsión de la distancia como un sustituto de la combinación de deformación angular e inflación de área, tales métodos eligen arbitrariamente qué caminos medir y cómo ponderarlos para obtener un resultado único. Se han descrito muchos. [8] [13] [14] [15] [16]

La creación de una proyección cartográfica consta de dos pasos:

  1. Selección de un modelo para la forma de la Tierra o cuerpo planetario (generalmente eligiendo entre una esfera o elipsoide). Debido a que la forma real de la Tierra es irregular, la información se pierde en este paso.
  2. Transformación de coordenadas geográficas (longitud y latitud) a cartesianas (X,y) o coordenadas del plano polar. En mapas a gran escala, las coordenadas cartesianas normalmente tienen una relación simple con los este y norte definidos como una cuadrícula superpuesta en la proyección. En los mapas de pequeña escala, los este y el norte no son significativos y las cuadrículas no se superponen.

Algunas de las proyecciones de mapas más simples son proyecciones literales, obtenidas colocando una fuente de luz en algún punto definido en relación con el globo y proyectando sus características sobre una superficie específica. Aunque la mayoría de las proyecciones no se definen de esta manera, la representación del modelo de fuente de luz y globo puede ser útil para comprender el concepto básico de una proyección cartográfica.

Elegir una superficie de proyección Editar

Una superficie que se puede desplegar o desenrollar en un plano o una hoja sin estirar, rasgar o encoger se llama superficie desarrollable. El cilindro, el cono y el plano son superficies desarrollables. La esfera y el elipsoide no tienen superficies desarrollables, por lo que cualquier proyección de los mismos sobre un plano tendrá que distorsionar la imagen. (Para comparar, no se puede aplanar una cáscara de naranja sin rasgarla y deformarla).

Una forma de describir una proyección es primero proyectar desde la superficie de la Tierra a una superficie desarrollable como un cilindro o cono, y luego desenrollar la superficie en un plano. Si bien el primer paso distorsiona inevitablemente algunas propiedades del globo, la superficie desarrollable se puede desplegar sin más distorsión.

Aspecto de la proyección Editar

Una vez que se elige entre proyectar sobre un cilindro, cono o plano, el aspecto de la forma debe especificarse. El aspecto describe cómo se coloca la superficie desarrollable en relación con el globo: puede ser normal (de manera que el eje de simetría de la superficie coincida con el eje de la Tierra), transverso (en ángulo recto con el eje de la Tierra) o oblicuo (cualquier ángulo intermedio).

Líneas notables Editar

La superficie desarrollable también puede ser tangente o secante a la esfera o elipsoide. Tangente significa que la superficie toca pero no corta el globo. Secante significa que la superficie atraviesa el globo. Mover la superficie desarrollable lejos del contacto con el globo nunca preserva u optimiza las propiedades métricas, por lo que esa posibilidad no se analiza más aquí.

Líneas tangentes y secantes (lineas estandar) se representan sin distorsiones. Si estas líneas son un paralelo de latitud, como en las proyecciones cónicas, se llama paralelo estándar. La meridiano central es el meridiano al que se gira el globo antes de proyectarse. El meridiano central (generalmente escrito λ0) y un paralelo de origen (generalmente escrito φ0) se utilizan a menudo para definir el origen de la proyección del mapa. [17] [18]

Escala de edición

Un globo es la única forma de representar la Tierra con una escala constante en todo el mapa en todas las direcciones. Un mapa no puede lograr esa propiedad en ningún área, por pequeña que sea. Sin embargo, puede lograr una escala constante a lo largo de líneas específicas.

Algunas propiedades posibles son:

  • La escala depende de la ubicación, pero no de la dirección. Esto es equivalente a la preservación de ángulos, la característica definitoria de un mapa conforme.
  • La escala es constante a lo largo de cualquier paralelo en la dirección del paralelo. Esto se aplica a cualquier proyección cilíndrica o pseudocilíndrica en aspecto normal.
  • Combinación de lo anterior: la escala depende únicamente de la latitud, no de la longitud o la dirección. Esto se aplica a la proyección de Mercator en aspecto normal.
  • La escala es constante a lo largo de todas las líneas rectas que irradian desde una ubicación geográfica particular. Ésta es la característica definitoria de una proyección equidistante como la proyección equidistante azimutal. También hay proyecciones (Proyección equidistante de dos puntos de Maurer, Cerca) donde las distancias reales desde dos los puntos se conservan. [2]: 234

Elegir un modelo para la forma del cuerpo Editar

La construcción de la proyección también se ve afectada por cómo se aproxima la forma de la Tierra o del cuerpo planetario. En la siguiente sección sobre categorías de proyección, la tierra se toma como una esfera para simplificar la discusión. Sin embargo, la forma real de la Tierra está más cerca de un elipsoide achatado. Ya sean esféricos o elipsoidales, los principios discutidos se mantienen sin pérdida de generalidad.

Seleccionar un modelo para una forma de la Tierra implica elegir entre las ventajas y desventajas de una esfera frente a un elipsoide. Los modelos esféricos son útiles para mapas a pequeña escala, como atlas mundiales y globos terráqueos, ya que el error a esa escala no suele ser lo suficientemente perceptible o importante para justificar el uso del elipsoide más complicado. El modelo elipsoidal se usa comúnmente para construir mapas topográficos y para otros mapas de gran y mediana escala que necesitan representar con precisión la superficie terrestre. A menudo se emplean latitudes auxiliares para proyectar el elipsoide.

Un tercer modelo es el geoide, una representación más compleja y precisa de la forma de la Tierra que coincide con el nivel medio del mar si no hubiera vientos, mareas o tierra. Comparado con el elipsoide de mejor ajuste, un modelo geoidal cambiaría la caracterización de propiedades importantes como la distancia, la conformidad y la equivalencia. Por lo tanto, en las proyecciones geoidales que conservan tales propiedades, la retícula mapeada se desviaría de la retícula de un elipsoide mapeado. Sin embargo, normalmente el geoide no se utiliza como modelo de la Tierra para las proyecciones, porque la forma de la Tierra es muy regular, con la ondulación del geoide que asciende a menos de 100 m desde el modelo elipsoidal fuera del radio de la Tierra de 6,3 millones de m. Sin embargo, para cuerpos planetarios irregulares como los asteroides, a veces se utilizan modelos análogos al geoide para proyectar mapas. [19] [20] [21] [22] [23]

A veces se utilizan otros sólidos regulares como generalizaciones para el equivalente geoidal de cuerpos más pequeños. Por ejemplo, Io se modela mejor mediante elipsoide triaxial o esferoide alargado con pequeñas excentricidades. La forma de Haumea es un elipsoide de Jacobi, con su eje mayor dos veces más largo que su menor y con su eje medio una vez y media más largo que su menor. Consulte la proyección cartográfica del elipsoide triaxial para obtener más información.

Una clasificación de proyección fundamental se basa en el tipo de superficie de proyección sobre la que se proyecta conceptualmente el globo. Las proyecciones se describen en términos de poner una superficie gigantesca en contacto con la Tierra, seguida de una operación de escala implícita. Estas superficies son cilíndricas (por ejemplo, Mercator), cónicas (por ejemplo, Albers) y planas (por ejemplo, estereográficas). Sin embargo, muchas proyecciones matemáticas no encajan perfectamente en ninguno de estos tres métodos de proyección conceptual. Por tanto, en la literatura se han descrito otras categorías de pares, como pseudocónico, pseudocilíndrico, pseudoazimutal, retroazimutal y policónico.

Otra forma de clasificar las proyecciones es según las propiedades del modelo que conservan. Algunas de las categorías más comunes son:

  • Preservando la dirección (azimutal o cenital), un rasgo posible solo desde uno o dos puntos hasta cualquier otro punto [24]
  • Preservando la forma localmente (conforme o ortomórfico)
  • Área de conservación (área igual o equiareal o equivalente o autálico)
  • Preservando la distancia (equidistante), un rasgo posible solo entre uno o dos puntos y todos los demás puntos
  • Preservando la ruta más corta, un rasgo preservado solo por la proyección gnomónica

Debido a que la esfera no es una superficie desarrollable, es imposible construir una proyección de mapa que sea tanto de áreas iguales como conforme.

Las tres superficies desarrollables (plano, cilindro, cono) proporcionan modelos útiles para comprender, describir y desarrollar proyecciones de mapas. Sin embargo, estos modelos están limitados de dos formas fundamentales. Por un lado, la mayoría de las proyecciones mundiales en uso no entran en ninguna de esas categorías. Por otro lado, incluso la mayoría de las proyecciones que entran en esas categorías no se pueden obtener de forma natural a través de la proyección física. Como señala L.P. Lee,

En las definiciones anteriores no se ha hecho referencia a cilindros, conos o planos. Las proyecciones se denominan cilíndricas o cónicas porque pueden considerarse desarrolladas sobre un cilindro o un cono, según sea el caso, pero conviene prescindir de la representación de cilindros y conos, ya que han dado lugar a muchos malentendidos. Particularly is this so with regard to the conic projections with two standard parallels: they may be regarded as developed on cones, but they are cones which bear no simple relationship to the sphere. In reality, cylinders and cones provide us with convenient descriptive terms, but little else. [25]

Lee's objection refers to the way the terms cylindrical, conic, y planar (azimuthal) have been abstracted in the field of map projections. If maps were projected as in light shining through a globe onto a developable surface, then the spacing of parallels would follow a very limited set of possibilities. Such a cylindrical projection (for example) is one which:

  1. Is rectangular
  2. Has straight vertical meridians, spaced evenly
  3. Has straight parallels symmetrically placed about the equator
  4. Has parallels constrained to where they fall when light shines through the globe onto the cylinder, with the light source someplace along the line formed by the intersection of the prime meridian with the equator, and the center of the sphere.

(If you rotate the globe before projecting then the parallels and meridians will not necessarily still be straight lines. Rotations are normally ignored for the purpose of classification.)

Where the light source emanates along the line described in this last constraint is what yields the differences between the various "natural" cylindrical projections. But the term cylindrical as used in the field of map projections relaxes the last constraint entirely. Instead the parallels can be placed according to any algorithm the designer has decided suits the needs of the map. The famous Mercator projection is one in which the placement of parallels does not arise by projection instead parallels are placed how they need to be in order to satisfy the property that a course of constant bearing is always plotted as a straight line.

Cylindrical Edit

A normal cylindrical projection is any projection in which meridians are mapped to equally spaced vertical lines and circles of latitude (parallels) are mapped to horizontal lines.

The mapping of meridians to vertical lines can be visualized by imagining a cylinder whose axis coincides with the Earth's axis of rotation. This cylinder is wrapped around the Earth, projected onto, and then unrolled.

By the geometry of their construction, cylindrical projections stretch distances east-west. The amount of stretch is the same at any chosen latitude on all cylindrical projections, and is given by the secant of the latitude as a multiple of the equator's scale. The various cylindrical projections are distinguished from each other solely by their north-south stretching (where latitude is given by φ):

  • North-south stretching equals east-west stretching (secφ): The east-west scale matches the north-south scale: conformal cylindrical or Mercator this distorts areas excessively in high latitudes (see also transverse Mercator).
  • North-south stretching grows with latitude faster than east-west stretching (sec 2 φ): The cylindric perspective (or central cylindrical) projection unsuitable because distortion is even worse than in the Mercator projection.
  • North-south stretching grows with latitude, but less quickly than the east-west stretching: such as the Miller cylindrical projection (sec 4 / 5 φ).
  • North-south distances neither stretched nor compressed (1): equirectangular projection or "plate carrée".
  • North-south compression equals the cosine of the latitude (the reciprocal of east-west stretching): equal-area cylindrical. This projection has many named specializations differing only in the scaling constant, such as the Gall–Peters or Gall orthographic (undistorted at the 45° parallels), Behrmann (undistorted at the 30° parallels), and Lambert cylindrical equal-area (undistorted at the equator). Since this projection scales north-south distances by the reciprocal of east-west stretching, it preserves area at the expense of shapes.

In the first case (Mercator), the east-west scale always equals the north-south scale. In the second case (central cylindrical), the north-south scale exceeds the east-west scale everywhere away from the equator. Each remaining case has a pair of secant lines—a pair of identical latitudes of opposite sign (or else the equator) at which the east-west scale matches the north-south-scale.

Normal cylindrical projections map the whole Earth as a finite rectangle, except in the first two cases, where the rectangle stretches infinitely tall while retaining constant width.

Pseudocylindrical Edit

Pseudocylindrical projections represent the central meridian as a straight line segment. Other meridians are longer than the central meridian and bow outward, away from the central meridian. Pseudocylindrical projections map parallels as straight lines. Along parallels, each point from the surface is mapped at a distance from the central meridian that is proportional to its difference in longitude from the central meridian. Therefore, meridians are equally spaced along a given parallel. On a pseudocylindrical map, any point further from the equator than some other point has a higher latitude than the other point, preserving north-south relationships. This trait is useful when illustrating phenomena that depend on latitude, such as climate. Examples of pseudocylindrical projections include:

    , which was the first pseudocylindrical projection developed. On the map, as in reality, the length of each parallel is proportional to the cosine of the latitude. [26] The area of any region is true. , which in its most common forms represents each meridian as two straight line segments, one from each pole to the equator.

Hybrid Edit

The HEALPix projection combines an equal-area cylindrical projection in equatorial regions with the Collignon projection in polar areas.

Conic Edit

The term "conic projection" is used to refer to any projection in which meridians are mapped to equally spaced lines radiating out from the apex and circles of latitude (parallels) are mapped to circular arcs centered on the apex. [27]

When making a conic map, the map maker arbitrarily picks two standard parallels. Those standard parallels may be visualized as secant lines where the cone intersects the globe—or, if the map maker chooses the same parallel twice, as the tangent line where the cone is tangent to the globe. The resulting conic map has low distortion in scale, shape, and area near those standard parallels. Distances along the parallels to the north of both standard parallels or to the south of both standard parallels are stretched distances along parallels between the standard parallels are compressed. When a single standard parallel is used, distances along all other parallels are stretched.

Conic projections that are commonly used are:

    , which keeps parallels evenly spaced along the meridians to preserve a constant distance scale along each meridian, typically the same or similar scale as along the standard parallels. , which adjusts the north-south distance between non-standard parallels to compensate for the east-west stretching or compression, giving an equal-area map. , which adjusts the north-south distance between non-standard parallels to equal the east-west stretching, giving a conformal map.

Pseudoconic Edit

    , an equal-area projection on which most meridians and parallels appear as curved lines. It has a configurable standard parallel along which there is no distortion. , upon which distances are correct from one pole, as well as along all parallels. and other projections in the polyconic projection class.

Azimuthal (projections onto a plane) Edit

Azimuthal projections have the property that directions from a central point are preserved and therefore great circles through the central point are represented by straight lines on the map. These projections also have radial symmetry in the scales and hence in the distortions: map distances from the central point are computed by a function r(D) of the true distance D, independent of the angle correspondingly, circles with the central point as center are mapped into circles which have as center the central point on the map.

The mapping of radial lines can be visualized by imagining a plane tangent to the Earth, with the central point as tangent point.

Some azimuthal projections are true perspective projections that is, they can be constructed mechanically, projecting the surface of the Earth by extending lines from a point of perspective (along an infinite line through the tangent point and the tangent point's antipode) onto the plane:


8.2: Use the Rectangular Coordinate System (Part 1)

Ch 3 2, 20, 37, 44, 50, 51, 57, 61

Questions 3, 5, 6, 7, 8

Additional problems from Serway's fourth edition

(4 ed) 3.1 A point is located in a polar coordinate system by the coordinates r = 2.50 m and = 35.0 o .

Find the cartesian coordinates of this point, assuming the two coordinate systems have the same origin.

Q3.3 The magnitudes of two vectors A and B are A = 5 units and B = 2 units. Find the largest and smallest values possible for the resultant vector R = A + B.

If vectors A and B point in the same direction, the magnitude of R is 7 units.

If vectors A and B point in the opposite direction, the magnitude of R is 3 units.

Q3.5 If the component of vector A along the direction of vector B is zero, what can you conclude about these two vectors.

The two vectors are perpendicular (it can also be said they are orthogonal ).

Q3.6 Can the magnitude of a vector have a negative value?

No, a magnitude is always positive or zero.

Q3.7 Which of the following are vectors and which are not:

rating of a television show --> scalar

height --> vector (a well would have a negative height)

Q3.8 Under what circumstances would a nonzero vector lying in the xy plane ever have components that are equal in magnitude?

If the vector lies along the 45 o line in the first or third quadrants the two components will be exactly equal. If the vector lies along the 45 o line in the second or fourth quadrants the two components will be equal in magnitude.

Problems from the current (5th) edition of Serway and Beichner.

3.2 Two points in the xy plane have cartesian coordinates (2.00, - 4.00) m and ( - 3.00, 3.00) m.

(a) the distance between these points and

We can find the distance between the two points from the Pythagorean Theorem, distance = d = SQRT [ ( x) 2 + ( y) 2 ]

d = SQRT [ ( - 3.00 - 2.00 ) 2 + ( 3.00 - ( - 4.00) ) 2 ] m

d = SQRT [ ( - 5 ) 2 + ( 7.00) 2 ] m

d = SQRT [ 25.00 + 49.00 ] m

d = SQRT [ 74.00 ] m

d = 8.60 m

(b) their polar coordinates

P 1 's distance from the origin, or its radius r 1 , is

r 1 = SQRT [ (2.00) 2 + ( - 4.00 ) 2 ] m = SQRT [ 4 + 16 ] m = SQRT [ 20 ] m

r 1 = 4.47 m

tan [ 1 ] = opp / adj = y 1 / x 1 = ( - 4) / 2 = - 2

1 = - 63.4 o

The cartesian coordinates (r, ) for point P 1 , are

Now, the same thing for point P 2 ,

P 2 's distance from the origin, or its radius r 2 , is

r 2 = SQRT [ ( - 3.00) 2 + ( 3.00 ) 2 ] m = SQRT [ 9 + 9 ] m = SQRT [ 18 ] m

r 2 = 4.24 m

tan [ 2 ] = opp / adj = y 2 / x 2 = 3 / ( - 3) = - 1

2 = 135 o

The cartesian coordinates (r, ) for point P 2 , are

NOTE! Always use caution with the inverse tangent function (and all other inverse trig functions). When you tell your calculator that you want the inverse tangent of ( - 1) it will probably tell you the angle is - 45 o . An angle of - 45 o does, indeed, have a tangent of - 1. A point located at ( + 3, - 3) is located at an angle of - 45 o (measured from the + x-axis). But our point, P 2 , is located at ( - 3, + 3). So, from a diagram, we conclude that it is located at an angle of 135 o .

3.20 Find the horizontal and vertical components of the 100-m displacement of a superhero who flies from the top of a tall building following the path shown in Figure P3.19 .

x = r cos = (100 m) cos 30 o = (100 m) ( 0.866)

x = 86.6 m

y = r sin = - (100 m) sin 30 o = - (100 m) (0.500)

y = - 50.0 m

( x, y ) = (86.6 m, - 50.0 m)

3.37 The helicopter view in Figure P3.37 shows two people pulling on a stubborn mule.

(a) the single force that is equivalent to the two forces shown, and

(b) the force that a third person would have to exert on the mule to make the resultant force equal to zero.

We want the resultant R, R = F 1 + F 2

After a good diagram most vector addition problems begin with finding the components of the vectors.

F 1x = F 1 cos 60 o = (120 N) ( 0.50) = 60 N

F 1y = F 1 sin 60 o = (120 N) ( 0.866) = 104 N

F 1 = 60 N i + 104 N j

F 2x = - F 2 cos 75 o = - (80 N) ( 0.260) = - 20.8 N

F 2y = F 2 sin 75 o = (80 N) ( 0.966) = 77.3 N

F 2 = - 20.8 N i + 77.3 N j

R = F 1 + F 2

R = ( 60 N i + 104 N j) + ( 20.8 N i + 77.3 N j)

R = ( 60 - 20.8 ) N i + ( 104 + 77.3 ) N j

R = 39.2 N i + 181.3 N j

As before, we now need to find the magnitude of the resultant and its direction,

R = SQRT [ R x 2 + R y 2 ]

Notice from the diagram that we are now measuring the angle from the positive x-axis therefore,

3.44 Instructions for finding a buried treasure including the following:

turn to 135 o and walk 125 paces,

then travel 100 paces at 160 o .

Determine the resultant displacement from the starting point.

Each piece of these directions is a displacement vector A: Go 75 paces at 240 o A x = A cos = (75 paces) cos 240 o = (75 paces) ( - 0.5) = - 37.5 paces

A y = A sin = (75 paces) sin 240 o = (75 paces) ( - 0.866) = - 64.95 paces

B: turn to 135 o and walk 125 paces

B x = B cos = (125 paces) cos 135 o = (125 paces) ( - 0.707) = - 88.39 paces

B y = B sin = (125 paces) sin 135 o = (125 paces) (0.707) = 88.39 paces

C: travel 100 paces at 160 o

C x = C cos = (100 paces) cos 160 o = (100 paces) ( - 0.940) = - 93.97 paces

C y = C sin = (100 paces) sin 160 o = (100 paces) (0.342) = 34.20 paces

Now we add these displacement vectors to find the resultant, R

Remember, tho', that vector notation or vector addition is really elegant shorthand for the two scalar equations

Using numerical values for these, we have

R x = A x + B x + C x

R x = ( - 37.50 - 88.39 - 93.97 ) paces

R x = - 219.86 paces

R y = A y + B y + C y

R y = ( - 64.95 + 88.39 + 34.20 ) paces

R y = 57.64 paces

So we expect the buried treasure to be located at

Or, we can find this displacement in polar coordinates,

R = SQRT [ X 2 + Y 2 ] = SQRT [ ( - 219.86 ) 2 + (57.64) 2 ] paces

R = 227.29 paces

tan = opp / adj = Y / X = 57 / ( - 220) = - 0.26

= 165.5 o

So we can state this resultant as

3.50 An airplane starting from airport A flies 300 km east, then 350 km 30.0 o west of north, and then 150 km north to arrive at airport B. There is no wind on this day.

(a) The next day, another plane flies directly from A to B in a straight line. In what direction should the pilot travel in this direct flight?

(b) How far will the pilot travel in this direct flight?

We can describe each leg of this airplane's path as a vector: The airplane flies 300 km east

then 350 km 30.0 o west of north

and then 150 km north

Now we can add those vectors to find the resultant R,

To carry out this vector addition, we can write vectors A, B, and C in component form. Remember, this time we are given, and will find, angles measured from North (or y). Be careful as you use the trig functions.

A = 300 km i + 0 j

B = - (350 km) sin 30 o i + (350 km) cos 30 o j

B = - (350 km) (0.500) i + (350 km) (0.866) j

B = - 175 km i + 303 km j

C = 0 i + 150 km j

R = A + B + C

R = ( 300 km i + 0 j) + ( - 175 km i + 303 km j) + ( 0 i + 150 km j)

R = ( 300 - 175 + 0 ) km i + ( 0 + 303 + 150 ) km j

R = 125 km i + 453 km j

Now we want to write this resultant in polar coordinates, finding its length and its direction.

R = SQRT [ R x 2 + R y 2 ]

R = SQRT [ 125 2 + 453 2 ] km

R = 470 km

tan = opp / adj = R x / R y = 125 / 453 = 0.276

= 15 o

R = ( 470 km, 15 o )

3.51 Three vectors are oriented as shown in Figure P3.51, where | A | = A = 20.0 units, | B | = B = 40.0 units, and | C | = c = 30.0 units.

Find (a) the x and y components of the resultant vector (expressed in unit-vector notation) and (b) the magnitude and direction of the resultant vector (ie, in polar coordinates)


5.1. PostGIS Geometry/Geography/Box Data Types

This section lists the custom PostgreSQL data types installed by PostGIS to represent spatial data.

Each data type describes its type casting behaviour. A type cast converts values of one data type into another type. PostgreSQL allows defining casting behavior for custom types, along with the functions used to convert type values. Casts can have automatic behaviour, which allows automatic conversion of a function argument to a type supported by the function.

Some casts have explicit behaviour, which means the cast must be specified using the syntax CAST(myval As sometype) or myval::sometype . Explicit casting avoids the issue of ambiguous casts, which can occur when using an overloaded function which does not support a given type. For example, a function may accept a box2d or a box3d, but not a geometry. Since geometry has an automatic cast to both box types, this produces an "ambiguous function" error. To prevent the error use an explicit cast to the desired box type.

All data types can be cast to text , so this does not need to be specified explicitly.


8.2: The Wavefunctions

  • Contributed by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski
  • Quantum States of Atoms and Molecules at Chemical Education Digital Library (ChemEd DL)

The solutions to the hydrogen atom Schrödinger equation are functions that are products of a spherical harmonic function and a radial function.

[ psi _ (r, heta , varphi) = R_ (r) Y^_l ( heta , varphi) label <8-20>]

The wavefunctions for the hydrogen atom depend upon the three variables r, ( heta), and (varphi ) and the three quantum numbers n, (l), and (m_l). The variables give the position of the electron relative to the proton in spherical coordinates. The absolute square of the wavefunction, (| psi (r, heta , varphi )|^2), evaluated at (r), ( heta ), and (varphi) gives the probability density of finding the electron inside a differential volume (d au), centered at the position specified by r, ( heta ), and (varphi).

What is the value of the integral

[ int limits _< ext> | psi (r, heta , varphi )|^2 d au , ? sin número]

The quantum numbers have names: (n) is called the principal quantum number, (l) is called the angular momentum quantum number, and (m_l) is called the magnetic quantum number because (as we will see in Section 8.4) the energy in a magnetic field depends upon (m_l). Often (l) is called the azimuthal quantum number because it is a consequence of the ( heta)-equation, which involves the azimuthal angle (Theta ), referring to the angle to the zenith.

These quantum numbers have specific values that are dictated by the physical constraints or boundary conditions imposed upon the Schrödinger equation: (n) must be an integer greater than 0, (l) can have the values 0 to n𔂫, and (m_l) can have (2l + 1) values ranging from (-l) ‑ to (+l) in unit or integer steps. The values of the quantum number (l) usually are coded by a letter: s means 0, p means 1, d means 2, f means 3 the next codes continue alphabetically (e.g., g means (l = 4)). The quantum numbers specify the quantization of physical quantities. The discrete energies of different states of the hydrogen atom are given by (n), the magnitude of the angular momentum is given by (l), and one component of the angular momentum (usually chosen by chemists to be the z‑component) is given by (m_l). The total number of orbitals with a particular value of (n) is (n^2).

Consider several values for n, and show that the number of orbitals for each n is (n^2).

Construct a table summarizing the allowed values for the quantum numbers n, (l) , and (m_l). for energy levels 1 through 7 of hydrogen.

The notation 3d specifies the quantum numbers for an electron in the hydrogen atom. What are the values for n and (l) ? What are the values for the energy and angular momentum? What are the possible values for the magnetic quantum number? What are the possible orientations for the angular momentum vector?

The hydrogen atom wavefunctions, (psi (r, heta , varphi )), are called atomic orbitals. An atomic orbital is a function that describes one electron in an atom. The wavefunction with n = 1, (l=1), and (m_l) = 0 is called the 1s orbital, and an electron that is described by this function is said to be &ldquoin&rdquo the ls orbital, i.e. have a 1s orbital state. The constraints on (n), (l)), and (m_l) that are imposed during the solution of the hydrogen atom Schrödinger equation explain why there is a single 1s orbital, why there are three 2p orbitals, five 3d orbitals, etc. We will see when we consider multi-electron atoms in Chapter 9 that these constraints explain the features of the Periodic Table. In other words, the Periodic Table is a manifestation of the Schrödinger model and the physical constraints imposed to obtain the solutions to the Schrödinger equation for the hydrogen atom.

Visualizing the variation of an electronic wavefunction with (r), ( heta), and (varphi) is important because the absolute square of the wavefunction depicts the charge distribution (electron probability density) in an atom or molecule. The charge distribution is central to chemistry because it is related to chemical reactivity. For example, an electron deficient part of one molecule is attracted to an electron rich region of another molecule, and such interactions play a major role in chemical interactions ranging from substitution and addition reactions to protein folding and the interaction of substrates with enzymes.

Visualizing wavefunctions and charge distributions is challenging because it requires examining the behavior of a function of three variables in three-dimensional space. This visualization is made easier by considering the radial and angular parts separately, but plotting the radial and angular parts separately does not reveal the shape of an orbital very well. The shape can be revealed better in a probability density plot. To make such a three-dimensional plot, divide space up into small volume elements, calculate (psi^* psi ) at the center of each volume element, and then shade, stipple or color that volume element in proportion to the magnitude of (psi^* psi ). Do not confuse such plots with polar plots, which look similar.

Probability densities also can be represented by contour maps, as shown in Figure (PageIndex<1>).

Figure (PageIndex<1>): Contour plots in the x-y plane for the (2p_x) and (3p_x) orbitals of the hydrogen atom. The plots map lines of constant values of (R(r)^2) red lines follow paths of high (R(r)^2), blue for low (R(r)^ 2) . The angular function used to create the figure was a linear combination of two Spherical Harmonic functions (see Problem 10 at the end of this chapter.)

Another representational technique, virtual reality modeling, holds a great deal of promise for representation of electron densities. Imagine, for instance, being able to experience electron density as a force or resistance on a wand that you move through three-dimensional space. Devices such as these, called haptic devices, already exist and are being used to represent scientific information. Similarly, wouldn&rsquot it be interesting to &ldquofly&rdquo through an atomic orbital and experience changes in electron density as color changes or cloudiness changes? Specially designed rooms with 3D screens and &ldquosmart&rdquo glasses that provide feedback about the direction of the viewer&rsquos gaze are currently being developed to allow us to experience such sensations.

Methods for separately examining the radial portions of atomic orbitals provide useful information about the distribution of charge density within the orbitals. Graphs of the radial functions, (R(r)), for the 1s, 2s, and 2p orbitals plotted in Figure (PageIndex<2>).

Figure (PageIndex<2>): Radial function, R(r), for the 1s, 2s, and 2p orbitals.

The 1s function in Figure (PageIndex<2>) starts with a high positive value at the nucleus and exponentially decays to essentially zero after 5 Bohr radii. The high value at the nucleus may be surprising, but as we shall see later, the probability of finding an electron at the nucleus is vanishingly small.

Next notice how the radial function for the 2s orbital, Figure (PageIndex<2>), goes to zero and becomes negative. This behavior reveals the presence of a radial node in the function. A radial node occurs when the radial function equals zero other than at (r = 0) or (r = &infin). Nodes and limiting behaviors of atomic orbital functions are both useful in identifying which orbital is being described by which wavefunction. For example, all of the s functions have non-zero wavefunction values at (r = 0), but p, d, f and all other functions go to zero at the origin. It is useful to remember that there are (n-1-l) radial nodes in a wavefunction, which means that a 1s orbital has no radial nodes, a 2s has one radial node, and so on.

Examine the mathematical forms of the radial wavefunctions. What feature in the functions causes some of them to go to zero at the origin while the s functions do not go to zero at the origin?

What mathematical feature of each of the radial functions controls the number of radial nodes?


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8.2: Use the Rectangular Coordinate System (Part 1)

The idea of graphing with coordinate axes dates all the way back to Apollonius in the second century B.C. Rene Descartes, who lived in the 1600s, gets the credit for coming up with the two-axis system we use today. The story goes that he lay in bed and watched flies crawling over tiles on the ceiling. He realized that he could describe a fly's position using the intersecting lines of the tiles. The system is often called the "Cartesian coordinate system" in his honor.

When working with equations that have two variables, the coordinate plane is an important tool. It's a way to draw pictures of equations that makes them easier to understand.

To create a coordinate plane, start with a sheet of graph or grid paper. Next, draw a horizontal line. This line is called the x-axis and is used to locate values of x. To show that the axis actually goes on forever in both directions, use small arrowheads at each end of the line. Mark off a number line with zero in the center, positive numbers to the right, and negative numbers to the left.

Next draw a vertical line that intersects the x axis at zero. This line is called the y-axis and is used to locate the values of y. Mark off a number line with zero in the center, positive numbers going upwards, and negative numbers going downwards. The point where the x and y axes intersect is called the origin. The origin is located at zero on the x axis and zero on the y axis.

Locating Points Using Ordered Pairs
We can locate any point on the coordinate plane using an ordered pair of numbers like the example shown here, the ordered pair 4 and 2 (point P). We call the ordered pair the coordinates of the point. The coordinates of a point are called an ordered pair because the order of the two numbers is important.

The first number in the ordered pair is the x coordinate. It describes the number of units to the left or right of the origin. The second number in the ordered pair is the y coordinate. It describes the number of units above or below the origin. To plot a point, start at the origin and count along the x axis until you reach the x coordinate, count right for positive numbers, left for negative. Then count up or down the number of the y coordinate (up for positive, down for negative.)

For example, to graph the point P above, with the ordered pair (4, 2) we count right along the x axis 4 units, and then count up 2 units. Be careful to always start with the x axis, the point (4,2) is very different than the point (2,4)!

Quadrants
To make it easy to talk about where on the coordinate plane a point is, we divide the coordinate plane into four sections called quadrants.

Points in Quadrant 1 have positive x and positive y coordinates.
Points in Quadrant 2 have negative x but positive y coordinates.
Points in Quadrant 3 have negative x and negative y coordinates.
Points in Quadrant 4 have positive x but negative y coordinates.


Quadrants Coordinate Calculator

Online quadrants coordinate calculator to calculate on which place quadrant falls on the graph. In geometry graphing is done using two coordinate axes namely the x-axis and y-axis to identify the location of any point. The intersection of these 2 axes divides the plane into 4 quadrants namely first, second, third and fourth. These are denoted by Roman numerals: I (+,+), II (−,+), III (−,−), and IV (+,−). Enter X and Y value in this identify quadrants calculator to find the result.

For example, The coordinates are represented as (1,2) respectively. Here the first number 1 is the point on the x-axis and number 2 is the point on y-axis. This identify the second quadrant.

The basic geometry rule for finding the quadrant of the coordinate points are:

1) If both coordinates are positive, then the point lies in first quadrant.
2) If x is negative and y is positive, then the point lies in second quadrant.
3) If both coordinates are negative, then the point lies in third quadrant.
4) If is x is positive and y is negative, then the point lies in fourth quadrant.


There are many unique proofs (more than 350) of the Pythagorean theorem, both algebraic and geometric. The proof presented below is helpful for its clarity and is known as a proof by rearrangement.

In a right triangle, the sum of the squares of the legs is equal to the square of the hypotenuse.

Given any right triangle with legs a a a and b b b and hypotenuse c , c, c , make a square with sides a + b a+b a + b and inscribe four copies of the given triangle as shown below:

This forms a square in the center with side length c c c and thus an area of c 2 . c^2. c 2 .

However, if we rearrange the four triangles as follows, we can see two squares inside the larger square, one that is a 2 a^2 a 2 in area and one that is b 2 b^2 b 2 in area:

Since the larger square is the same in both cases, i.e. ( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 , and since the four triangles are the same in both cases, we must conclude that the two squares a 2 a^2 a 2 and b 2 b^2 b 2 are in fact equal in area to the square c 2 c^2 c 2 .

Thus, a 2 + b 2 = c 2 . a^2 + b^2 = c^2 . a 2 + b 2 = c 2 . □ _square □ ​

The converse of the Pythagorean theorem is a special case of the cosine rule:


Ver el vídeo: Triple Integrals in Rectangular Coordinates (Septiembre 2021).