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12.10: Introducción a la factorización de polinomios


Habilidades para desarrollar

  • Encuentra el máximo factor común de dos o más expresiones
  • Factorizar el máximo común denominador de un polinomio

¡estar preparado!

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Factoriza 56 en números primos. Si no detectó este problema, revise el Ejemplo 2.9.1.
  2. Multiplicar: −3 (6a + 11). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 7.4.9.
  3. Multiplicar: 4x2(X2 + 3x - 1). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 10.4.5.

Hallar el máximo factor común de dos o más expresiones

Anteriormente, multiplicamos los factores para obtener un producto. Dividir un producto en factores se llama factorización.

En El lenguaje del álgebra factorizamos números para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números. Ahora factorizaremos expresiones y encontraremos el máximo común divisor de dos o más expresiones. El método que usamos es similar al que usamos para encontrar el LCM.

Definición: Máximo Común Factor

El máximo factor común (MCD) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

Primero encontraremos el máximo común divisor de dos números.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Encuentra el máximo común divisor de 24 y 36.

Solución

Paso 1: Factoriza cada coeficiente en números primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.Factoriza 24 y 36.
Paso 2: Enumere todos los factores, haciendo coincidir los factores comunes en una columna.
En cada columna, encierre en un círculo los factores comunes.Encierra en un círculo el 2, 2 y 3 que comparten ambos números.
Paso 3: Elimina los factores comunes que comparten todas las expresiones.Baje el 2, 2, 3 y luego multiplique.
Paso 4: Multiplica los factores.El MCD de 24 y 36 es 12.

Tenga en cuenta que, dado que el MCD es un factor de ambos números, 24 y 36 se pueden escribir como múltiplos de 12.

[ begin {split} 24 & = 12 cdot 2 36 & = 12 cdot 3 end {split} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Encuentra el máximo común divisor: 54, 36.

Respuesta

18

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Encuentra el máximo común divisor: 48, 80.

Respuesta

16

En el ejemplo anterior, encontramos el mayor factor común de constantes. El máximo factor común de una expresión algebraica puede contener variables elevadas a potencias junto con coeficientes. Resumimos los pasos que usamos para encontrar el máximo factor común.

CÓMO: ENCONTRAR EL MAYOR FACTOR COMÚN

Paso 1. Factoriza cada coeficiente en números primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.

Paso 2. Enumere todos los factores, haciendo coincidir los factores comunes en una columna. En cada columna, encierre en un círculo los factores comunes.

Paso 3. Reduzca los factores comunes que comparten todas las expresiones.

Paso 4. Multiplica los factores.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Encuentra el máximo común divisor de 5x y 15.

Solución

Factoriza cada número en números primos.

Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna.

Elimina los factores comunes.

El MCD de 5x y 15 es 5.

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Encuentra el máximo común divisor: 7y, 14.

Respuesta

7

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

Encuentra el máximo común divisor: 22, 11 m.

Respuesta

11

En los ejemplos hasta ahora, el mayor factor común fue una constante. En los siguientes dos ejemplos obtendremos variables en el máximo factor común.

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Hallar el máximo común divisor de 12x2 y 18x3.

Solución

Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe las variables con exponentes en forma expandida.

Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna.

Elimina los factores comunes.

Multiplica los factores.

El MCD de 12x2 y 18x3 es 6x2.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Hallar el máximo factor común: 16x2, 24x3.

Respuesta

(8x ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

Hallar el máximo común divisor: 27 años3, 18 años4.

Respuesta

(9y ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Hallar el máximo común divisor de 14x3, 8x2, 10x.

Solución

Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe las variables con exponentes en forma expandida.

Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna.

Elimina los factores comunes.

Multiplica los factores.

El MCD de 14x3 y 8x2y 10x es 2x.

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

Hallar el máximo común divisor: 21x3, 9x2, 15x.

Respuesta

3 veces

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Hallar el máximo común divisor: 25 m4, 35m3, 20m2.

Respuesta

(5m ^ 2 )

Factorizar el máximo común denominador a partir de un polinomio

Al igual que en aritmética, donde a veces es útil representar un número en forma factorizada (por ejemplo, 12 como 2 • 6 o 3 • 4), en álgebra puede ser útil representar un polinomio en forma factorizada. Una forma de hacerlo es encontrar el máximo factor común de todos los términos. Recuerda que puedes multiplicar un polinomio por un monomio de la siguiente manera:

[ begin {split} 2 (x & + 7) quad factor 2 cdot x & + 2 cdot 7 2x & + 14 quad product end {split} ]

Aquí, comenzaremos con un producto, como 2x + 14, y terminaremos con sus factores, 2 (x + 7). Para hacer esto aplicamos la Propiedad Distributiva “al revés”.

Definición: propiedad distributiva

Si a, b, c son números reales, entonces a (b + c) = ab + ac y ab + ac = a (b + c).

La forma de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.

Entonces, ¿cómo usamos la propiedad distributiva para factorizar un polinomio? ¡Encontramos el MCD de todos los términos y escribimos el polinomio como un producto!

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Factoriza: 2x + 14.

Solución

Paso 1: Encuentra el MCD de todos los términos del polinomio.Encuentra el MCD de 2x y 14.
Paso 2: Reescribe cada término como un producto usando el MCD.Reescribe 2x y 14 como productos de su MCD, 2. $$ begin {split} 2x & = 2 cdot x 14 & = 2 cdot 7 end {split} $$$$ begin {split} 2x & + 14 textcolor {red} {2} cdot x & + textcolor {red} {2} cdot 7 end {split} $$
Paso 3: Utilice la propiedad distributiva 'a la inversa' para factorizar la expresión.2 (x + 7)
Paso 4: Compruebe multiplicando los factores.Cheque.$$ begin {split} 2 (x & + 7) 2 cdot x & + 2 cdot 7 2x & + 14 ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

Factor: 4x + 12.

Respuesta

4 (x + 3)

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

Factor: 6a + 24.

Respuesta

6 (a + 4)

Observe que en el ejemplo 10.84 usamos la palabra factor como sustantivo y verbo:

Sustantivo7 es un factor de 14
VerboFactorizar 2 a partir de 2x + 14

CÓMO: FACTORAR EL MAYOR FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO

Paso 1. Encuentra el MCD de todos los términos del polinomio.

Paso 2. Reescribe cada término como un producto usando el MCD.

Paso 3. Utilice la propiedad distributiva "a la inversa" para factorizar la expresión.

Paso 4. Verifique multiplicando los factores.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Factor: 3a + 3.

Solución

Reescribe cada término como un producto usando el MCD.$$ textcolor {rojo} {3} cdot a + textcolor {rojo} {3} cdot 1 $$
Utilice la propiedad distributiva 'a la inversa' para factorizar el MCD.$$ 3 (a + 1) $$
Verifique multiplicando los factores para obtener el polinomio original.$$ begin {split} 3 (a & + 1) 3 cdot a & = 3 cdot 1 3a & + 3 ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

Factor: 9a + 9.

Respuesta

9 (a + 1)

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

Factor: 11x + 11.

Respuesta

11 (x + 1)

Las expresiones del siguiente ejemplo tienen varios factores en común. Recuerde escribir el MCD como el producto de todos los factores comunes.

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Factor: 12x - 60.

Reescribe cada término como un producto usando el MCD.$$ textcolor {rojo} {12} cdot x - textcolor {rojo} {12} cdot 5 $$
Factoriza el MCD.$$ 12 (x-5) $$
Verifique multiplicando los factores.$$ begin {split} 12 (x & - 5) 12 cdot x & - 12 cdot 5 12x & - 60 ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

Factor: 11x - 44.

Respuesta

11 (x - 4)

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

Factor: 13 años - 52.

Respuesta

13 (años - 4)

Ahora factorizaremos el máximo común divisor de un trinomio. Comenzamos por encontrar el MCD de los tres términos.

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

Factor: 3 años2 + 6 años + 9.

Solución

Reescribe cada término como un producto usando el MCD.$$ textcolor {rojo} {3} cdot y ^ {2} + textcolor {rojo} {3} cdot 2y + textcolor {rojo} {3} cdot 3 $$
Factoriza el MCD.$$ 3 (y ^ {2} + 2y + 3) $$
Compruébelo multiplicando.$$ begin {split} 3 (y ^ {2} & + 2y + 3) 3 cdot y ^ {2} & + 3 cdot 2y + 3 cdot 3 3y ^ {2} & + 6y + 9 ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

Factor: 4 años2 + 8 años + 12.

Respuesta

(4 left (y ^ {2} +2 y + 3 right) )

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

Factor: 6x2 + 42x - 12.

Respuesta

(6 left (x ^ {2} +7 x-2 right) )

En el siguiente ejemplo, factorizamos una variable de un binomio.

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Factor: 6x2 + 5x.

Solución

Hallar el MCD de 6x2 y 5x y las matemáticas que lo acompañan.
Reescribe cada término como un producto.$$ textcolor {rojo} {x} cdot 6x + textcolor {rojo} {x} cdot 5 $$
Factoriza el MCD.$$ x (6x + 5) $$
Compruébelo multiplicando.$$ begin {split} x (6x & + 5) x cdot 6x & + x cdot 5 6x ^ {2} & + 5x ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

Factor: 9x2 + 7x.

Respuesta

(x (9x + 7) )

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

Factor: 5a2 - 12a.

Respuesta

a (5a - 12)

Cuando hay varios factores comunes, como veremos en los dos ejemplos siguientes, ¡una buena organización y un trabajo ordenado ayudan!

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

Factor: 4x3 - 20x2.

Solución

Reescribe cada término.$$ textcolor {rojo} {4x ^ {2}} cdot x - textcolor {rojo} {4x ^ {2}} cdot 5 $$
Factoriza el MCD.$$ 4x ^ {2} (x-5) $$
Cheque.$$ begin {split} 4x ^ {2} (x & - 5) 4x ^ {2} cdot x & - 4x ^ {2} cdot 5 4x ^ {3} & - 20x ^ { 2} ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

Factor: 2x3 + 12x2.

Respuesta

(2 x ^ {2} (x + 6) )

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

Factor: 6 años3 - 15 años2.

Respuesta

(3 y ^ {2} (2 y-5) )

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

Factor: 21 años2 + 35 años.

Solución

Hallar el MCD de 21 años2 y 35 años.
Reescribe cada término.$$ textcolor {rojo} {7y} cdot 3y + textcolor {rojo} {7y} cdot 5 $$
Factoriza el MCD.$$ 7 años (3 años + 5) $$

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

Factor: 18 años2 + 63 años.

Respuesta

9 años (2 años + 7)

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

Factor: 32k2 + 56k.

Respuesta

8.000 (4k + 7)

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

Factor: 14x3 + 8x2 - 10x.

Solución

Anteriormente, encontramos el MCD de 14x3, 8x2y 10x para ser 2x.

Reescribe cada término usando el MCD, 2x.$$ textcolor {rojo} {2x} cdot 7x ^ {2} + textcolor {rojo} {2x} cdot 4x - textcolor {rojo} {2x} cdot 5 $$
Factoriza el MCD.$$ 2x (7x ^ {2} + 4x - 5) $$
Cheque.$$ begin {split} 2x (7x ^ {2} & + 4x - 5) 2x cdot 7x ^ {2} & + 2x cdot 4x - 2x cdot 5 14x ^ {3} & + 8x ^ {2} - 10x ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

Factor: 18 años3 - 6 años2 - 24 años.

Respuesta

(6 y left (3 y ^ {2} -y-4 right) )

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

Factor: 16x3 + 8x2 - 12x.

Respuesta

(4 x left (4 x ^ {2} +2 x-3 right) )

Cuando el coeficiente principal, el coeficiente del primer término, es negativo, factorizamos el factor negativo como parte del MCD.

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

Factoriza: −9y - 27.

Solución

Cuando el coeficiente principal es negativo, el MCD será negativo. Ignorando los signos de los términos, primero encontramos el MCD de 9y y 27 es 9.
Dado que la expresión −9y - 27 tiene un coeficiente principal negativo, usamos −9 como el MCD.
Reescribe cada término usando el MCD.$$ textcolor {rojo} {- 9} cdot y + ( textcolor {rojo} {- 9}) cdot 3 $$
Factoriza el MCD.$$ - 9 (y + 3) $$
Cheque.$$ begin {split} -9 (y & + 3) -9 cdot y & + (-9) cdot 3 -9y & - 27 ; checkmark end {split} $$

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

Factoriza: −5y - 35.

Respuesta

-5 (años + 7)

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

Factoriza: −16z - 56.

Respuesta

-8 (2z + 7)

Preste mucha atención a los signos de los términos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

Factor: −4a2 + 16a.

Solución

El coeficiente principal es negativo, por lo que el MCD será negativo.
Dado que el coeficiente principal es negativo, el MCD es negativo, −4a.
Reescribe cada término.$$ textcolor {rojo} {- 4a} cdot a - ( textcolor {rojo} {- 4a}) cdot 4 $$
Factoriza el MCD.$$ - 4a (a-4) $$
Compruébelo usted mismo multiplicando.

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

Factor: −7a2 + 21a.

Respuesta

-7a (a - 3)

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

Factor: −6x2 + x.

Respuesta

-x (6x - 1)

La práctica hace la perfección

Hallar el máximo factor común de dos o más expresiones

En los siguientes ejercicios, encuentre el máximo factor común.

  1. 40, 56
  2. 45, 75
  3. 72, 162
  4. 150, 275
  5. 3x, 12
  6. 4 años, 28
  7. 10a, 50
  8. 5b, 30
  9. 16 años, 24 años2
  10. 9x, 15x2
  11. 18m3, 36m2
  12. 12p4, 48p3
  13. 10 veces, 25 veces2, 15 veces3
  14. 18a, 6a2, 22a3
  15. 24u, 6u2, 30u3
  16. 40 años, 10 años2, 90 años3
  17. 15a4, 9a5, 21a6
  18. 35x3, 10 veces4, 5 veces5
  19. 27 años2, 45 años3, 9 años4
  20. 14b2, 35b3, 63b4

Factorizar el máximo común denominador a partir de un polinomio

En los siguientes ejercicios, factoriza el máximo factor común de cada polinomio.

  1. 2x + 8
  2. 5 años + 15
  3. 3a - 24
  4. 4b - 20
  5. 9 años - 9
  6. 7x - 7
  7. 5m2 + 20m + 35
  8. 3n2 + 21n + 12
  9. 8p2 + 32p + 48
  10. 6q2 + 30q + 42
  11. 8q2 + 15q
  12. 9c2 + 22c
  13. 13k2 + 5k
  14. 17 veces2 + 7x
  15. 5c2 + 9c
  16. 4q2 + 7q
  17. 5p2 + 25p
  18. 3r2 + 27r
  19. 24q2 - 12q
  20. 30u2 - 10u
  21. yz + 4z
  22. ab + 8b
  23. 60x - 6x3
  24. 55 años - 11 años4
  25. 48r4 - 12r3
  26. 45c3 - 15c2
  27. 4a3 - 4ab2
  28. 6c3 - 6 cd2
  29. 30u3 + 80u2
  30. 48 veces3 + 72x2
  31. 120 años6 + 48 años4
  32. 144a6 + 90a3
  33. 4q2 + 24q + 28
  34. 10 años2 + 50 años + 40
  35. 15z2 - 30z - 90
  36. 12u2 - 36u - 108
  37. 3a4 - 24a3 + 18a2
  38. 5p4 - 20p3 - 15p2
  39. 11 veces6 + 44x5 - 121x4
  40. 8c5 + 40c4 - 56c3
  41. −3n - 24
  42. −7p - 84
  43. −15a2 - 40a
  44. −18b2 - 66b
  45. −10 años3 + 60 años2
  46. −8a3 + 32a2
  47. −4u5 + 56u3
  48. −9b5 + 63b3

Matemáticas cotidianas

  1. Ingresos Un fabricante de hornos microondas ha descubierto que los ingresos obtenidos por la venta de microondas a un costo de p dólares cada uno viene dado por el polinomio −5p2 + 150p. Factoriza el máximo factor común de este polinomio.
  2. Altura de una pelota de béisbol La altura de un golpe de béisbol con una velocidad de 80 pies / segundo a 4 pies sobre el nivel del suelo es -16t2 + 80t + 4, con t = el número de segundos desde que fue impactado. Factoriza el máximo factor común de este polinomio.

Ejercicios de escritura

  1. El máximo común divisor de 36 y 60 es 12. Explica lo que esto significa.
  2. ¿Cuál es el MCD de y4, y5y y10? Escribe una regla general que diga cómo encontrar el MCD de ya, yBy yC.

Autochequeo

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo capítulo? ¿Por qué o por qué no?


12.10: Introducción a la factorización de polinomios

Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más cantidades, cada una de estas cantidades se denomina factor de la expresión y la determinación de estos factores se denomina factor de expresión. factorización de la expresión.

Factores monomiales comunes

Ya hemos aprendido que para multiplicar un multinomio por un monomio aplicamos la Ley Distributiva para la Multiplicación. Algebraicamente, esta regla se puede expresar de la siguiente manera:

Por el contrario, si tenemos una expresión como ax-ay + az, se puede escribir en la forma factorizada a (x-y + z).

& emsp En general, si cada término de una expresión algebraica contiene un factor común, la expresión puede representarse como el producto de ese factor común y el cociente obtenido al dividir la expresión original por el factor común.

Ejemplo 1 Factorizar la expresión 4x-6

Solución: Cada uno de los dos términos contiene el factor común 2, por lo tanto,

Ejemplo 2 Factoriza la expresión x ^ 3 -2x ^ 2 + 5x.

Solución: cada uno de los tres términos contiene el factor común x, por lo tanto,

Nota. Al factorizar los ejercicios, el estudiante siempre debe verificar sus resultados, mediante mentalmente formando el producto de los factores que ha elegido.

Ejemplo 3 Factoriza la expresión 3a ^ 4b-3a ^ 3b ^ 2 + 6a ^ 2b ^ 2.

Solución: Cada uno de los tres términos contiene el factor común 3a ^ 2b, por lo tanto,

Nota. Al buscar el factor que es común a todos los términos, uno debe recordar que está buscando el mayor factor que es común a todos los términos. En otras palabras, cuando la expresión original se divide por el factor común, los términos del cociente obtenido deben no contener cualquier otro factor común.

Ejemplo 4 Factoriza la expresión a (x + y) + b (x + y).

Solución: Pensando en (x + y) como una sola cantidad, digamos p, podemos factorizar de la siguiente manera:

Nota. La sustitución anterior se hizo solo para indicar que la expresión (x + y) se considera como una sola cantidad. Cuando uno puede factorizar sin hacer tal sustitución, hágalo, ya que ahorra tiempo.

Factores binomiales comunes

Aunque es posible que todos los términos de una expresión no contengan un factor común, a veces es posible agrupar los términos para que cada grupo tenga un factor común.

Ejemplo 1 Factoriza ac + bc + ad + bd.

Solución: Agrupando los dos primeros términos y los dos últimos términos, tenemos

Factorizando las expresiones dentro de cada paréntesis, tenemos

Vemos aquí que la cantidad (a + b) es común a ambos términos, por lo que tenemos

Ejemplo 2 Factoriza x ^ 2- ax + bx- ab.

Solución: Siguiendo el procedimiento descrito en el Ejemplo 1,

Ejemplo 3 Factoriza 12a ^ 2-4ab-3 ac + bc.

Nota. En la primera línea de trabajo suele ser suficiente ver que cada par contiene algún factor común. Así, en el Ejemplo 3, por una agrupación diferente,

Este es el mismo resultado que antes, ya que el orden de los factores es irrelevante.

Factorización de trinomios simples

Antes de considerar la factorización de trinomios, recordemos la forma en que el producto de dos binomios da lugar a un trinomio. Por lo tanto, según la lección anterior, tenemos:

En cada uno de los productos anteriores:

1. El primer término del trinomio es el producto de los primeros términos de los binomios.

2. El segundo término del trinomio se obtiene hallando la suma algebraica del producto de los dos términos externos y los dos términos internos.

3. El tercer término del trinomio es el producto de los segundos términos de los binomios.

& emsp Proponemos ahora considerar el problema inverso. Es decir, para resolver expresiones trinomiales, como x ^ 2 + 2x-15, en sus factores binomiales componentes. De los resultados anteriores observamos que los factores binomiales deben satisfacer los tres requisitos:

1. Los primeros términos deben ser factores de x ^ 2.

2. Los segundos términos deben ser factores de -15.

3. Estos factores deben elegirse de tal manera que cuando el producto de los términos externos de los binomios se combine con el producto de los términos internos, el resultado sea + 2x.

La totalidad de factores binomiales que satisfacen las dos primeras condiciones son:

(x + 15) (x-1), (x-15) (x + 1), (x-5) (x + 3), (x +5) (x-3).

Sin embargo, solo en el último de estos factores de prueba obtenemos + 2x, el término medio requerido. Por eso,

Ejemplo 1 Factoriza a ^ 2 + 7a + 12.

Solución: Los segundos términos de los factores deben ser tales que su producto sea +12 y su suma sea +7. Está claro que deben ser +3 y +4 por lo tanto

Ejemplo 2 Factoriza x ^ 2-x- 6.

Solución: Los segundos términos de los factores deben ser tales que su producto sea -6 y su suma algebraica sea -1. Por tanto, deben tener signos opuestos, y el mayor de ellos debe ser negativo para dar su signo a su suma. Por tanto, los factores requeridos son -3 y +2.

Cuando el tercer término del trinomio es negativo, si se prefiere, se puede adoptar el siguiente método.

Ejemplo 3 Factoriza x ^ 4 + 5x ^ 2-104.

Solución: Encuentre dos números cuyo producto sea 104 y cuyo diferencia es 5. Son 13 y 8 por tanto, insertando signos para que predomine lo positivo:

Nota. Verifique siempre los resultados formando el producto mentalmente.

Factorización de trinomios generales

Cuando el coeficiente del término del trinomio que tiene la potencia más alta no es la unidad, el número de posibles factores de prueba es considerablemente mayor.

En particular, será útil tener en cuenta que

1. Si el tercer término del trinomio es positivo, entonces el segundo término de sus factores tienen el mismo signo, y este signo es el mismo que el del término medio del trinomio.

2. Si el tercer término del trinomio es negativo, entonces los segundos términos de sus factores tienen signos opuestos.

Ejemplo 1 Factoriza 5x ^ 2 + 7x-6.

Solución: Escriba (5x 2) (x 3) para una primera prueba. Dado que 2 y 3 deben tener signos opuestos, el diferencia entre los productos internos y externos debe ser 7x. Sin embargo, dado que (5 & times 3) & minus (2 & times 1) = 13 esta combinación no da el coeficiente correcto del término medio.

A continuación, intente (5x 3) (x 2). Dado que (5 & times 2) & minus (3 & times 1) = 7, estos factores serán correctos si insertamos signos de modo que el positivo predominará.

Ejemplo 2 Factoriza 7x ^ 2-19x + 10.

Solución: Observamos que los factores que dan 10 son ambos negativos, por lo que podemos escribir (7x y menos) (x y menos). Ahora debemos colocar factores de 10 entre paréntesis, de modo que la suma de los productos internos y externos dé 19. Los posibles factores de 10 son 10 y 1, o 5 y 2 y dado que (7 & times 2) + (5 & times 1) = 19:

Ejemplo 3 Factoriza 4x ^ 2-12xy + 9y ^ 2.

Ejemplo 4 Factoriza 8 + 6x-5x ^ 2.

Diferencia de dos cuadrados

Multiplicando (a + b) por (a-b), obtenemos la identidad:

un resultado que puede expresarse de la siguiente manera:

El producto de la suma y la diferencia de dos cantidades cualesquiera es igual a la diferencia de sus cuadrados.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades cualesquiera es igual al producto de su suma y su diferencia.

Ejemplo 1 Factoriza 9x ^ 2-16y ^ 2.

Solución: 9x ^ 2-16y ^ 2 = (3x) ^ 2- (4y) ^ 2.

Por lo tanto, el primer factor es la suma de 3x y 4y, y el segundo factor es la diferencia de 3x y 4y, por lo tanto,

Ejemplo 2 Factoriza 1-36m ^ 6.

Nota. El paso intermedio puede omitirse cuando se comprende el principio.

Diferencia de dos cuadrados cuando uno o ambos son binomios

Cuando uno o ambos cuadrados es un binomio (o, de hecho, cualquier expresión múltiple), empleamos el mismo método que se describe en el artículo anterior.

Ejemplo 1 Factorizar (a + 2b) ^ 2-9x ^ 2

Solución: La suma de a + 2b y 3x es a + 2b + 3x, y su diferencia es a + 2b-3x por lo tanto:

Ejemplo 2 Factoriza m ^ 2 - (2a-3b) ^ 2.

Solución: La suma de my 2a-3b es m + 2a-3b, y su diferencia es m- (2a-3b) = m-2a + 3b. Por eso:

Si los factores contienen términos similares, deben recopilarse para dar el resultado en su forma más simple.

Ejemplo 3 Factorizar (3x + 5y) ^ 2- (2x-y) ^ 2

Resumen de factorización

En muchos problemas de factorización es posible resolver la expresión dada en más de dos factores. Por lo tanto, para factorizar 2a ^ 2-2b ^ 2, primero eliminamos el común
factor 2, y luego factorizar el resto ya que es la diferencia de dos cuadrados.

En general, para factorizar expresiones más complejas procedemos de la siguiente manera:

1 en todas problemas de factorización, elimine los factores monomiales antes de intentar cualquier otro método de factorización.

2. Dependiendo de la cantidad de términos que quedan en el multinomio, intente factorizar de la siguiente manera:

& emsp & emsp (a) Si tiene dos términos, intente factorizar como la diferencia de dos cuadrados.

& emsp & emsp (b) Si tiene tres términos, intente factorizar como un trinomio.

& emsp & emsp (c) Si tiene cuatro o más términos, intente factorizar por agrupación.

Este proceso se aplicará a cualquier factor nuevo que se obtenga hasta que no se pueda volver a factorizar cada factor restante.

Solución: esta expresión contiene el factor común x, por lo tanto:

Como quedan tres términos en el segundo factor, intentamos factorizar como un trinomio y dado que

Ejemplo 2 Factoriza a ^ 4-x ^ 4.

Solución: & emsp & emsp & emsp a ^ 4-x ^ 4 = (a ^ 2 + x ^ 2) (a ^ 2-x ^ 2)

Ejemplo 3 Factoriza x ^ 4-7x ^ 2y ^ 2 + 12y ^ 4.

Ejemplo 4 Factorizar a ^ 2x ^ 2-a ^ 2y ^ 2-b ^ x ^ 2 + b ^ 2y ^ 2

Ejemplo 5 Factoriza a ^ 2-b ^ 2 + a + b.

La suma y la diferencia de dos cubos

Mediante la multiplicación directa se puede mostrar fácilmente:

& emsp & emsp Usando estas dos relaciones como fórmulas, podemos factorizar cualquier binomio que pueda escribirse como la suma o la diferencia de dos cubos.

Ejemplo 1 Factoriza 8x ^ 3 + 27y ^ 3.

Solución: La expresión dada se puede representar como la suma de dos cubos de la siguiente manera:

Comparando la nueva expresión con la primera fórmula dada arriba, vemos que A = 2x y B = 3y. Por lo tanto, sustituyendo estos valores en la fórmula:

Ejemplo 2 Factoriza (2a-1) ^ 3- a ^ 3.

Solución: Comparando la expresión dada con la segunda fórmula dada arriba, vemos que A = 2a- 1 y B = a. Por lo tanto, sustituyendo estos valores en la fórmula:

El teorema del factor

Uno de los métodos más útiles de factorización depende del siguiente teorema.

El teorema del factor
Si cualquier polinomio en x se vuelve igual a 0 cuando se escribe a

para x, entonces el polinomio es exactamente divisible por x & mdash a.

Nota. A polinomio en x es una expresión de la forma ax ^ n + bx ^ (n-1) +. px + q, en el que los coeficientes son constantes yn es un número entero positivo.

Prueba: Sea P el polinomio. Divida P por x- a hasta que el resto ya no contenga x. Sea R este resto y Q el cociente obtenido. Luego

Dado que esta ecuación es cierta para todos los valores de z, asumiremos que x es igual a a. Por hipótesis, la sustitución de x por a hace que P sea igual a 0: así

Dado que el resto es cero, el polinomio dado es exactamente divisible por x-a.

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de este teorema.

Ejemplo 1 Factoriza x ^ 3-x-6.

Solución: Por ensayo, encontramos que esta expresión se reduce a 0 cuando 2 se sustituye por x. Por tanto, según el teorema del factor, x-2 es un factor. Dividiendo la expresión dada por x-2, obtenemos el cociente x ^ 2 + 2x + 3. Por lo tanto, en forma factorizada tenemos

Nota. Al buscar valores que hagan que el polinomio dado sea igual a cero, observe que solo probamos aquellos valores numéricos que se dividen uniformemente en el término constante del polinomio. Esto es cierto solo si la potencia más alta de x en el polinomio tiene un coeficiente igual a + -1 y los otros coeficientes son números enteros. Nos limitaremos a tales polinomios. Por lo tanto, en el Ejemplo 1, habríamos probado los valores + -1, + -2, + -3 y + -6. Si ninguno de estos hace que el polinomio sea igual a cero, entonces podemos concluir que el polinomio no se puede factorizar mediante el teorema del factor,

Ejemplo 2 Factoriza x ^ 4 + 5x- 6.

Solución: Los únicos números que se dividen uniformemente en el término constante son + -1, + -2, + -3, + -6, y dado que (+1) ^ 4 + 5 (+1) -6 es igual a cero, sabemos que x- 1 es un factor. Por lo tanto, dividiendo x ^ 4 + 5x- 6 por x-1,

Para el nuevo factor, x ^ 3 + x ^ 2 + x + 6, nuevamente buscamos un cero y encontramos que x = -2 hace que la expresión sea cero. Por lo tanto, x - (-2) ox + 2 es un factor, y nuevamente, por división, encontramos que el otro factor es x ^ 2-x + 3. Hasta ahora entonces,

Habiendo reducido el factor restante a un trinomio, intentamos factorizarlo como un trinomio, y dado que no se puede factorizar, concluimos que la expresión original no se puede factorizar más.


Conceptos básicos de factorización

Cuando estudiamos fracciones, aprendimos que el máximo común divisor (MCD) de dos números es el número más grande que se divide uniformemente en ambos números. Por ejemplo, [látex] 4 [/ látex] es el MCD de [látex] 16 [/ látex] y [látex] 20 [/ látex] porque es el número más grande que se divide uniformemente en ambos [látex] 16 [/ látex ] y [látex] 20 [/ látex]. El MCD de polinomios funciona de la misma manera: [látex] 4x [/ látex] es el MCD de [látex] 16x [/ látex] y [látex] 20^ <2> [/ latex] porque es el polinomio más grande que se divide uniformemente en [latex] 16x [/ latex] y [latex] 20^ <2> [/ látex].

Al factorizar una expresión polinomial, nuestro primer paso es verificar si hay un MCD. Busque el MCD de los coeficientes y luego busque el MCD de las variables.

Una nota general: Máximo factor común

La máximo común divisor (GCF) de polinomios es el polinomio más grande que se divide uniformemente en los polinomios.

Cómo: Dada una expresión polinomial, factorizar el máximo común denominador

  1. Identifica el MCD de los coeficientes.
  2. Identifica el MCD de las variables.
  3. Combine para encontrar el MCD de la expresión.
  4. Determina por qué se debe multiplicar el MCD para obtener cada término de la expresión.
  5. Escribe la expresión factorizada como el producto del MCD y la suma de los términos por los que necesitamos multiplicar.

Ejemplo: Factorizar el máximo común divisor

Primero encuentra el MCD de la expresión. El MCD de [látex] 6,45 [/ látex] y [látex] 21 [/ látex] es [látex] 3 [/ látex]. El MCD de [látex]^<3>,^ <2> [/ latex], y [latex] x [/ latex] es [latex] x [/ latex]. (Tenga en cuenta que el MCD de un conjunto de expresiones de la forma [látex]^[/ latex] siempre será el exponente más bajo). El MCD de [latex]^<3>,^ <2> [/ latex], y [latex] y [/ latex] es [latex] y [/ latex]. Combine estos para encontrar el MCD del polinomio, [látex] 3xy [/ látex].

A continuación, determine por qué se debe multiplicar el MCD para obtener cada término del polinomio. Encontramos que [látex] 3xy left (2^<2>^ <2> right) = 6^<3>^ <3>, 3xy left (15xy right) = 45^<2>^ <2> [/ latex] y [latex] 3xy left (7 right) = 21xy [/ latex].

Finalmente, escribe la expresión factorizada como el producto del MCD y la suma de los términos por los que necesitamos multiplicar.

Análisis de la solución

Después de factorizar, podemos verificar nuestro trabajo multiplicando. Utilice la propiedad distributiva para confirmar que [látex] left (3xy right) left (2^<2>^ <2> + 15xy + 7 right) = 6^<3>^<3>+45^<2>^ <2> + 21xy [/ látex].

Intentalo

Factoriza [látex] x left (^ <2> -a right) +6 left (^ <2> -a right) [/ latex] sacando el MCD.


Tiene la forma tal como donde los coeficientes a, B, y C, son números reales. Como sabemos que el mayor exponente en un polinomio cuadrático será un 2 y usando la fórmula cuadrática adecuada podemos resolver esas ecuaciones.

Solución: Este polinomio en particular es factorizable. Primero, a c = −15 y los factores de -15 son-1 son -3 y 5. Entonces, al expandir el término medio y luego agrupar los factores.

Solución: Este polinomio en particular es factorizable. Primero, a c = 9 y los factores de 9 son 1 son 3 y 9. Entonces, al expandir el término medio y luego agrupar los factores.


Factorizar polinomios por agrupación



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Factorizar polinomios - Agrupación (Parte 1)
Factorización de polinomios: una introducción a la factorización por agrupación.

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12.10: Introducción a la factorización de polinomios

· Factorizar trinomios con un coeficiente principal de 1.

· Factorizar trinomios con un factor común.

· Factorizar trinomios con un coeficiente principal distinto de 1.

A polinomio con tres términos se llama trinomio. Los trinomios a menudo (¡pero no siempre!) Tienen la forma X 2 + bx + C. A primera vista, puede parecer difícil factorizar trinomios, pero puede aprovechar algunos patrones matemáticos interesantes para factorizar incluso los trinomios más difíciles.

Entonces, ¿cómo se obtiene de 6X 2 + 2X - 20 a (2X + 4)(3X −5)? Vamos a ver.

Factorizar trinomios: X 2 + bx + C

Trinomios en la forma X 2 + bx + C a menudo se puede factorizar como el producto de dos binomios. Recuerda que un binomio es simplemente un polinomio de dos términos. Comencemos revisando lo que sucede cuando dos binomios, como (X + 2) y (X + 5), se multiplican.

Multiplicar (X + 2)(X + 5).

Usa el método FOIL para multiplicar binomios.

X 2 + 5X + 2X +10

Luego combina los términos semejantes 2X y 5X.

Factorizar es lo contrario de multiplicar. Así que vayamos al revés y factoricemos el trinomio X 2 + 7X + 10. Los términos individuales X 2 , 7X, y 10 no comparten factores comunes. Así que mira reescribir X 2 + 7X + 10 como X 2 + 5X + 2X + 10.

Y puede agrupar pares de factores: (X 2 + 5X) + (2X + 10)

Factoriza cada par: X(X + 5) + 2(X + 5)

Luego factoriza el factor común X + 5: (X + 5)(X + 2)

Aquí está el mismo problema hecho en forma de ejemplo:

Factor X 2 + 7X +10.

X 2 + 5X + 2X +10

Reescribe el término medio 7X como 5X + 2X.

X ( X + 5) + 2( X + 5 )

Agrupa los pares y factoriza el factor común X del primer par y 2 del segundo par.

Factoriza el factor común

¿Cómo sabes cómo reescribir el término medio? Desafortunadamente, no puedes reescribirlo de cualquier manera. Si reescribe 7X como 6X + X, este método no funcionará. Afortunadamente, existe una regla para eso.

Factorizar trinomios en la forma X 2 + bx + C

Factorizar un trinomio en la forma X 2 + bx + C, encuentra dos enteros, r y s, cuyo producto es C y cuya suma es B.

Reescribe el trinomio como X 2 + rx + sx + C y luego use la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio. Los factores resultantes serán (X + r) y (X + s).

Por ejemplo, factorizar X 2 + 7X +10, busca dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término medio) y cuyo producto sea 10 (el último término).

Observa los pares de factores de 10: 1 y 10, 2 y 5. ¿Alguno de estos pares tiene una suma de 7? Sí, 2 y 5. Así que puedes reescribir 7X como 2X + 5Xy continúe factorizando como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que también puede reescribir 7X como 5X + 2X. Ambos funcionarán.

Factoricemos el trinomio X 2 + 5X + 6. En este polinomio, el B parte del término medio es 5 y el C el término es 6. Un cuadro nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enumere todos los factores posibles del C término, 6 a la derecha encontrará las sumas.

Factores cuyo producto es 6

Suma de los factores

Solo hay dos combinaciones de factores posibles, 1 y 6, y 2 y 3. Puedes ver que 2 + 3 = 5. Entonces 2X + 3X = 5X, dándonos el término medio correcto.

Factor X 2 + 5X + 6.

X 2 + 2X + 3X + 6

Utilice los valores del cuadro anterior. Reemplazar 5X con 2X + 3X.

(X 2 + 2X) + (3X + 6)

X (X + 2) + (3X + 6)

Factor X del primer par de términos.

X (X + 2) + 3(X + 2)

Factoriza 3 del segundo par de términos.

Tenga en cuenta que si escribió X 2 + 5X + 6 como X 2 + 3X + 2X + 6 y agrupó los pares como (X 2 + 3X) + (2X + 6) luego factorizado, X(X + 3) + 2(X + 3) y factorizado X + 3, la respuesta sería (X + 3)(X + 2). Dado que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa. Entonces, esta respuesta es correcta y son respuestas equivalentes.

Finalmente, echemos un vistazo al trinomio X 2 + X - 12. En este trinomio, el C el término es −12. Por tanto, observe todas las combinaciones de factores cuyo producto es −12. Luego vea cuál de estas combinaciones le dará el término medio correcto, donde B es 1.

Factores cuyo producto es 12

Suma de los factores

4 3 = 12

Solo hay una combinación donde el producto es −12 y la suma es 1, y es entonces cuando r = 4, y s = −3. Usemos estos para factorizar nuestro trinomio original.

Factor X 2 + X – 12

X 2 + 4X + − 3X – 12

Vuelva a escribir el trinomio usando los valores de la tabla de arriba. Usar valores r = 4 y s = − 3.

(X 2 + 4X) + ( − 3X – 12)

X (X + 4) + ( − 3X – 12)

Factoriza x del primer grupo.

X (X + 4) – 3(X + 4)

Factoriza - 3 del segundo grupo.

En el ejemplo anterior, también podría reescribir X 2 + X - 12 como X 2 – 3X + 4X - 12 primero. Entonces factoriza X(X – 3) + 4(X - 3) y factorizar (X - 3) conseguir (X – 3 )(X + 4). Dado que la multiplicación es conmutativa, esta es la misma respuesta.

Factorizar trinomios es cuestión de práctica y paciencia. ¡A veces, las combinaciones de números apropiadas simplemente aparecerán y parecerán tan obvias! Otras veces, a pesar de probar muchas posibilidades, las combinaciones correctas son difíciles de encontrar. Y hay ocasiones en las que el trinomio no se puede factorizar.

Si bien no existe una manera infalible de encontrar la combinación correcta en la primera aproximación, existen algunos consejos que pueden facilitar el camino.

Consejos para encontrar valores que funcionen

Al factorizar un trinomio en la forma X 2 + bx + C, tenga en cuenta los siguientes consejos.

Mira el C término primero.

o Si el C término es un número positivo, entonces los factores de C ambos serán positivos o ambos negativos. En otras palabras, r y s tendrá el mismo signo.

o Si el C término es un número negativo, entonces un factor de C será positivo, y un factor de C será negativo. Ya sea r o s será negativo, pero no ambos.

Mira el B segundo término.

o Si el C término es positivo y el B el término es positivo, entonces ambos r y s son positivas.

o Si el C término es positivo y el B término es negativo, entonces ambos r y s son negativos.

o Si el C término es negativo y el B término es positivo, entonces el factor que es positivo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si | r | & gt | s |, luego r es positivo y s es negativo.

o Si el C término es negativo y el B término es negativo, entonces el factor que es negativo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si |r| > |s|, luego r is negative and s is positive.

After you have factored a number of trinomials in the form X 2 + bx + C, you may notice that the numbers you identify for r y s end up being included in the factored form of the trinomial. Have a look at the following chart, which reviews the three problems you have seen so far.

X 2 + 7X + 10

X 2 + 5X + 6

X 2 + X - 12

r y s values

Notice that in each of these examples, the r y s values are repeated in the factored form of the trinomial.

So what does this mean? It means that in trinomials of the form X 2 + bx + C (where the coefficient in front of X 2 is 1), if you can identify the correct r y s values, you can effectively skip the grouping steps and go right to the factored form. You may want to stick with the grouping method until you are comfortable factoring, but this is a neat shortcut to know about!

Jess is trying to use the grouping method to factor the trinomial v 2 – 10v + 21. How should she rewrite the central B term, − 10v?

Incorrecto. Because the C term is positive and the B term is negative, both terms should be negative. (Notice that using the integers 7 and 3, 7 + 3 = +10, so this would provide the term 10v instead of − 10v.) The correct answer is − 7v – 3v.

Correcto. Because the C term is positive and the B term is negative, both terms should be negative. Check: using the integers − 7 and − 3, − 7 + − 3 = − 10 and − 7 • − 3 = 21, so this provides both terms − 10v and 21 correctly.

Incorrecto. Because the C term is positive and the B term is negative, both terms should be negative. (Notice that using the integers − 7 and 3, − 7 + 3 = − 4 and − 7 • 3 = − 21, so this would provide − 4v instead of − 10v and − 21 instead of 21.) The correct answer is

Incorrecto. Because the C term is positive and the B term is negative, both terms should be negative. (Notice that using the integers 7 and − 3, 7 + − 3 = 4 and 7 • − 3 = − 21, so this would provide 4v instead of − 10v and − 21 instead of 21.) The correct answer is

Identifying Common Factors

Not all trinomials look like X 2 + 5X + 6, where the coefficient in front of the X 2 term is 1. In these cases, your first step should be to look for common factors for the three terms.

Factor out Common Factor

2X 2 + 10X + 12

− 5a 2 − 15a − 10

C 3 – 8C 2 + 15c

C (C 2 – 8C + 15)

C (C – 5)(C – 3)

y 4 – 9y 3 – 10y 2

y 2 (y – 10)(y + 1)

Notice that once you have identified and pulled out the common factor, you can factor the remaining trinomial as usual. This process is shown below.

Factor 3X 3 – 3X 2 – 90X.

3(X 3 – X 2 – 30X)

Since 3 is a common factor for the three terms, factor out the 3.

3X(X 2 – X – 30)

X is also a common factor, so factor out X.

3X(X 2 – 6X + 5X – 30)

Now you can factor the trinomial

X 2 – X – 30. To find r y s, identify two numbers whose product is − 30 and whose sum is − 1.

The pair of factors is − 6 and 5. So replace – X with − 6X + 5X.

3X[(X 2 – 6X) + (5x – 30)]

Use grouping to consider the terms in pairs.

3X[(X(X – 6) + 5(X – 6)]

Factor X out of the first group and factor 5 out of the second group.

3X(X – 6)(X + 5)

Then factor out X – 6.

3X(X – 6)(X + 5)

Factoring Trinomials: hacha 2 + bx + C

The general form of trinomials with a leading coefficient of a es hacha 2 + bx + C. Sometimes the factor of a can be factored as you saw above this happens when a can be factored out of all three terms. The remaining trinomial that still needs factoring will then be simpler, with the leading term only being an X 2 term, instead of an hacha 2 term.

However, if the coefficients of all three terms of a trinomial don’t have a common factor, then you will need to factor the trinomial with a coefficient of something other than 1.

Factoring Trinomials in the form hacha 2 + bx + C

To factor a trinomial in the form hacha 2 + bx + C, find two integers, r y s, whose sum is B and whose product is ac. Rewrite the trinomial as hacha 2 + rx + sx + C and then use grouping and the distributive property to factor the polynomial.

This is almost the same as factoring trinomials in the form X 2 + bx + C, as in this form a = 1. Now you are looking for two factors whose product is aC, and whose sum is B.

Let’s see how this strategy works by factoring 6z 2 + 11z + 4.

In this trinomial, a = 6, B = 11, and C = 4. According to the strategy, you need to find two factors, r y s, whose sum is B (11) and whose product is ac (or 6 • 4 = 24). You can make a chart to organize the possible factor combinations. (Notice that this chart only has positive numbers. Since ac is positive and B is positive, you can be certain that the two factors you're looking for are also positive numbers.)


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INTRODUCTION TO FACTORING POLYNOMIALS - PowerPoint PPT Presentation

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Factor each polynomial completely.

The GCF is 1 and there is no pattern.

a = 2 and c = 4  Outer + Inner = 5. 

2x 2  + 5x + 4 is  unfactorable.

b = -5 and c = 4 look for factors of 4 whose sum is -5.

The factors needed are -1 and -4.

a = 2 and c = 10 Outer + Inner = 9

n 4 - 1 is a difference of two squares.

n 2  - 1 is a difference of two squares.

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3. Factoring

To factorize an expression containing two or more terms it is necessary to look for factors which are common to the different terms. Once found, these common factors are written outside a bracketed term. It is ALWAYS possible to check your answers when you factorize by simply removing the brackets again, so you shouldn't get them wrong.

First we look for any factors which are common to both 15x and 10. The common factor here is 5. So the original expression can be written

which shows clearly the common factor. This common factor is written outside a bracketed term, the remaining quantities being placed inside the bracket:

and the expression has been factorized. We say that the factors of 15 x + 10 are 5 and 3 x + 2. Your answer can be checked by showing 5(3 x + 2) = 5(3 x ) + 5(2) = 15 x + 10