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2.7: Multiplicar y dividir enteros (Parte 1) - Matemáticas


Habilidades para desarrollar

  • Multiplica números enteros
  • Dividir enteros
  • Simplifica expresiones con números enteros
  • Evaluar expresiones de variables con números enteros
  • Traducir frases de palabras a expresiones algebraicas

¡estar preparado!

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Traduce el cociente de (20 ) y (13 ) en una expresión algebraica. Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.5.12.
  2. Sumar: (- 5 + (−5) + (−5) ). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 3.2.8.
  3. Evalúa (n + 4 ) cuando (n = −7 ). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 3.2.10.

Multiplicar enteros

Dado que la multiplicación es una abreviatura matemática de la suma repetida, nuestro modelo de contador se puede aplicar fácilmente para mostrar la multiplicación de números enteros. Veamos este modelo concreto para ver qué patrones notamos. Usaremos los mismos ejemplos que usamos para la suma y la resta.

Recordamos que (a • b ) significa sumar (a ), (b ) veces. Aquí, estamos usando el modelo que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) solo para ayudarnos a descubrir el patrón.

Figura ( PageIndex {1} )

Ahora considere lo que significa multiplicar (5 ) por (- 3 ). Significa restar (5 ), (3 ) veces. Considerar la resta como quitar, significa quitar (5 ), (3 ) veces. Pero no hay nada que quitar, así que comenzamos agregando pares neutrales como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {2} )

En ambos casos, comenzamos con (15 ) pares neutrales. En el caso de la izquierda, quitamos (5 ), (3 ) veces y el resultado fue (- 15 ). Para multiplicar ((- 5) (- 3) ), quitamos (- 5 ), (3 ) veces y el resultado fue (15 ). Entonces encontramos que

5(3) = 15-5(3) = -15
5(-3) = -15(-5)(-3) = 15

Observe que para la multiplicación de dos números con signo, cuando los signos son iguales, el producto es positivo y cuando los signos son diferentes, el producto es negativo.

Definición: multiplicación de números con signo

El signo del producto de dos números depende de sus signos.

Mismos signosProducto
Dos positivosPositivo
Dos negativosPositivo
Diferentes signosProducto
Positivo negativoNegativo
Negativo positivoNegativo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): multiplicar

Multiplica cada uno de los siguientes:

  1. (−9 • 3)
  2. (−2(−5))
  3. (4(−8))
  4. (7 • 6)

Solución

    Multiplica, observando que los signos son diferentes y, por lo tanto, el producto es negativo.–9 • 3 = –27
      Multiplica, observando que los signos son los mismos y, por lo tanto, el producto es positivo.–2(–5) = 10
        Multiplica, observando que los signos son diferentes y, por lo tanto, el producto es negativo.4(–8) = –32
          Los signos son los mismos, por lo que el producto es positivo.7 • 6 = 42

          Ejercicio ( PageIndex {1} )

          Multiplicar:

          1. (−6 • 8)
          2. (−4(−7))
          3. (9(−7))
          4. (5 • 12)
          Responde una

          (-48)

          Respuesta b

          (28)

          Respuesta c

          (-63)

          Respuesta d

          (60)

          Ejercicio ( PageIndex {2} )

          Multiplicar:

          1. (−8 • 7)
          2. (−6(−9))
          3. (7(−4))
          4. (3 • 13)
          Responde una

          (-56)

          Respuesta b

          (54)

          Respuesta c

          (-28)

          Respuesta d

          (39)

          Cuando multiplicamos un número por (1 ), el resultado es el mismo número. ¿Qué sucede cuando multiplicamos un número por (- 1 )? Multipliquemos un número positivo y luego un número negativo por (- 1 ) para ver qué obtenemos.

          −1 • 4−1(−3)
          −43
          −4 es el opuesto de 43 es el opuesto de −3

          Cada vez que multiplicamos un número por (- 1 ), obtenemos su opuesto.

          Definición: Multiplicación por (- 1 )

          Multiplicar un número por (- 1 ) da su opuesto.

          [- 1 cdot a = -a ]

          Ejemplo ( PageIndex {2} ): multiplicar

          Multiplica cada uno de los siguientes:

          1. (−1 • 7)
          2. (−1(−11))

          Solución

            Los signos son diferentes, por lo que el producto será negativo.−1 • 7
            Observe que −7 es el opuesto de 7.−7
              Los signos son los mismos, por lo que el producto será positivo.−1(−11)
              Observe que 11 es el opuesto de −11.11

              Ejercicio ( PageIndex {3} )

              Multiplicar.

              1. (−1 • 9)
              2. (−1 • (−17))
              Responde una

              (-9)

              Respuesta b

              (17)

              Ejercicio ( PageIndex {4} )

              Multiplicar.

              1. (−1 • 8)
              2. (−1 • (−16))
              Responde una

              (-8)

              Respuesta b

              (16)

              Dividir enteros

              La división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, (15 ÷ 3 = 5 ) porque (5 • 3 = 15 ) En palabras, esta expresión dice que (15 ) se puede dividir en (3 ) grupos de (5 ) cada uno porque sumar cinco tres veces da (15 ). Si miramos algunos ejemplos de multiplicación de números enteros, podríamos descubrir las reglas para dividir números enteros.

              5 • 3 = 15 entonces 15 ÷ 3 = 5−5 (3) = −15 entonces −15 ÷ 3 = −5
              (−5) (- 3) = 15 entonces 15 ÷ (−3) = −55 (−3) = −15 entonces −15 ÷ −3 = 5

              La división de números con signo sigue las mismas reglas que la multiplicación. Cuando los signos son iguales, el cociente es positivo y cuando los signos son diferentes, el cociente es negativo.

              Definición: división de números con signo

              El signo del cociente de dos números depende de sus signos.

              Mismos signosCociente
              Dos positivosPositivo
              Dos negativosPositivo
              Diferentes signosCociente
              Positivo negativoNegativo
              Negativo positivoNegativo

              Recuerde, siempre puede verificar la respuesta a un problema de división multiplicando.

              Ejemplo ( PageIndex {3} ): dividir

              Divida cada uno de los siguientes:

              1. (−27 ÷ 3)
              2. (−100 ÷ (−4))

              Solución

                Divida, observando que los signos son diferentes y, por lo tanto, el cociente es negativo.–27 ÷ 3 = –9
                  Divida, teniendo en cuenta que los signos son los mismos y, por lo tanto, el cociente es positivo.–100 ÷ (–4) = 25

                  Ejercicio ( PageIndex {5} )

                  Dividir:

                  1. (−42 ÷ 6)
                  2. (−117 ÷ (−3))
                  Responde una

                  (-7)

                  Respuesta b

                  (39)

                  Ejercicio ( PageIndex {6} )

                  Dividir:

                  1. (−63 ÷ 7)
                  2. (−115 ÷ (−5))
                  Responde una

                  (-9)

                  Respuesta b

                  (23)

                  Tal como vimos con la multiplicación, cuando dividimos un número por (1 ), el resultado es el mismo número. ¿Qué sucede cuando dividimos un número por (- 1 )? Dividamos un número positivo y luego un número negativo por (- 1 ) para ver qué obtenemos.

                  8 ÷ (−1)−9 ÷ (−1)
                  −89
                  −8 es el opuesto de 89 es el opuesto de −9

                  Cuando dividimos un número entre (- 1 ) obtenemos su opuesto.

                  Definición: División por (- 1 )

                  Dividir un número por (- 1 ) da su opuesto.

                  [a div (-1) = -a ]

                  Ejemplo ( PageIndex {4} ): dividir

                  Divida cada uno de los siguientes:

                  1. (16 ÷ (−1))
                  2. (−20 ÷ (−1))

                  Solución

                    El dividendo, 16, se divide entre –1.16 ÷ (–1)
                    Dividir un número por –1 da su opuesto.–16

                    Note que los signos eran diferentes, por lo que el resultado fue negativo.

                      El dividendo, –20, se divide entre –1.–20 ÷ (–1)
                      Dividir un número por –1 da su opuesto.20

                      Observe que los signos eran los mismos, por lo que el cociente era positivo.

                      Ejercicio ( PageIndex {7} )

                      Dividir:

                      1. (6 ÷ (−1))
                      2. (−36 ÷ (−1))
                      Responde una

                      (-6)

                      Respuesta b

                      (36)

                      Ejercicio ( PageIndex {8} )

                      Dividir:

                      1. (28 ÷ (−1))
                      2. (−52 ÷ (−1))
                      Responde una

                      (-28)

                      Respuesta b

                      (52)

                      Simplifique expresiones con números enteros

                      Ahora simplificaremos expresiones que usan las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con números enteros. Recuerde seguir el orden de operaciones.

                      Ejemplo ( PageIndex {5} ): simplificar

                      Simplifica: (7 (−2) + 4 (−7) - 6 ).

                      Solución

                      Usamos el orden de operaciones. Multiplica primero y luego suma y resta de izquierda a derecha.

                      Multiplica primero.−14 + (−28)−6
                      Agregar.−42 − 6
                      Sustraer.−48

                      Ejercicio ( PageIndex {9} )

                      Simplificar: (8 (−3) + 5 (−7) −4 )

                      Respuesta

                      (-63)

                      Ejercicio ( PageIndex {10} )

                      Simplificar: (9 (−3) + 7 (−8) - 1 )

                      Respuesta

                      (-84)

                      Ejemplo ( PageIndex {6} ): simplificar

                      Simplificar:

                      1. ((−2)^4)
                      2. (−2^4)

                      Solución

                      El exponente dice cuántas veces hay que multiplicar la base.

                      1. El exponente es (4 ) y la base es (- 2 ). Elevamos (- 2 ) a la cuarta potencia.
                      Escribe en forma expandida.(−2)(−2)(−2)(−2)
                      Multiplicar.4(−2)(−2)
                      Multiplicar.−8(−2)
                      Multiplicar.16
                      1. El exponente es (4 ) y la base es (2 ). Elevamos (2 ) a la cuarta potencia y luego tomamos el opuesto.
                      Escribe en forma expandida.−(2 • 2 • 2 • 2)
                      Multiplicar.−(4 • 2 • 2)
                      Multiplicar.−(8 • 2)
                      Multiplicar.−16

                      Ejercicio ( PageIndex {11} )

                      Simplificar:

                      1. ((−3)^4)
                      2. (−3^4)
                      Responde una

                      (81)

                      Respuesta b

                      (-81)

                      Ejercicio ( PageIndex {12} )

                      Simplificar:

                      1. ((−7)^2)
                      2. (−7^2)
                      Responde una

                      (49)

                      Respuesta b

                      (-49)

                      Ejemplo ( PageIndex {7} ): simplificar

                      Simplifica: (12 - 3 (9 - 12) ).

                      Solución

                      Según el orden de las operaciones, primero simplificamos entre paréntesis. Luego multiplicaremos y finalmente restaremos.

                      Primero resta los paréntesis.12 − 3(−3)
                      Multiplicar.12 − (−9)
                      Sustraer.21

                      Ejercicio ( PageIndex {13} )

                      Simplificar: (17 - 4 (8 - 11) )

                      Respuesta

                      (29)

                      Ejercicio ( PageIndex {14} )

                      Simplificar: (16 - 6 (7 - 13) )

                      Respuesta

                      (52)

                      Ejemplo ( PageIndex {8} ): simplificar

                      Simplifica: (8 (−9) ÷ (−2) ^ 3 ).

                      Solución

                      Primero simplificamos el exponente, luego multiplicamos y dividimos.

                      Simplifica el exponente.8(−9) ÷ (−8)
                      Multiplicar.−72 ÷ (−8)
                      Dividir.9

                      Ejercicio ( PageIndex {15} )

                      Simplificar: (12 (−9) ÷ (−3) ^ 3 )

                      Respuesta

                      (4)

                      Ejercicio ( PageIndex {16} )

                      Simplificar: (18 (−4) ÷ (−2) ^ 3 )

                      Respuesta

                      (9)

                      Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

                      Simplifica: (- 30 ÷ 2 + (−3) (- 7) ).

                      Solución

                      Primero multiplicaremos y dividiremos de izquierda a derecha. Luego agregaremos.

                      Dividir.−15 + (−3)(−7)
                      Multiplicar.−15 + 21
                      Agregar.6

                      Ejercicio ( PageIndex {17} )

                      Simplificar: (- 27 ÷ 3 + (−5) (- 6) )

                      Respuesta

                      (21)

                      Ejercicio ( PageIndex {18} )

                      Simplificar: (- 32 ÷ 4 + (−2) (- 7) )

                      Respuesta

                      (6)


                      7.1 Multiplicar y dividir expresiones racionales

                      Anteriormente revisamos las propiedades de las fracciones y sus operaciones. Introdujimos números racionales, que son solo fracciones donde los numeradores y denominadores son números enteros. En este capítulo trabajaremos con fracciones cuyos numeradores y denominadores son polinomios. A este tipo de expresión la llamamos expresión racional.

                      Expresión racional

                      Una expresión racional es una expresión de la forma p q, p q, donde pag y q son polinomios y q ≠ 0. q ≠ 0.

                      A continuación, se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales:

                      Haremos las mismas operaciones con expresiones racionales que hicimos con fracciones. Los simplificaremos, sumaremos, restaremos, multiplicaremos, dividiremos y los usaremos en aplicaciones.

                      Determinar los valores para los que una expresión racional no está definida

                      Si el denominador es cero, la expresión racional no está definida. El numerador de una expresión racional puede ser 0, pero no el denominador.

                      Cuando trabajamos con una fracción numérica, es fácil evitar dividir por cero porque podemos ver el número en el denominador. Para evitar dividir por cero en una expresión racional, no debemos permitir valores de la variable que harán que el denominador sea cero.

                      Entonces, antes de comenzar cualquier operación con una expresión racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían que el denominador sea cero. De esa forma, cuando resolvemos una ecuación racional, por ejemplo, sabremos si las soluciones algebraicas que encontremos están permitidas o no.

                      Cómo

                      Determine los valores para los cuales una expresión racional no está definida.

                      Ejemplo 7.1

                      Determina el valor para el que no está definida cada expresión racional:

                      Solución

                      La expresión estará indefinida cuando el denominador sea cero.


                      8 a 2 b 3 c Iguala el denominador a cero y resuelve para la variable. 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c no está definido para c = 0. 8 a 2 b 3 c Iguala el denominador a cero y resuelve para la variable. 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c no está definido para c = 0.


                      4 b - 3 2 b + 5 Iguala el denominador a cero y resuelve para la variable. 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = - 5 2 4 b - 3 2 b + 5 no está definido para b = - 5 2. 4 b - 3 2 b + 5 Iguala el denominador a cero y resuelve para la variable. 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = - 5 2 4 b - 3 2 b + 5 no está definido para b = - 5 2.


                      x + 4 x 2 + 5 x + 6 Iguala el denominador a cero y resuelve para la variable. x 2 + 5 x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 o x + 3 = 0 x = −2 o x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6 no está definido para x = −2 o x = −3. x + 4 x 2 + 5 x + 6 Iguala el denominador a cero y resuelve para la variable. x 2 + 5 x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 o x + 3 = 0 x = −2 o x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6 no está definido para x = −2 o x = −3.

                      Determina el valor para el cual cada expresión racional no está definida.

                      Determina el valor para el cual cada expresión racional no está definida.

                      Simplifique las expresiones racionales

                      Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador. De manera similar, una expresión racional simplificada no tiene factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador.

                      Expresión racional simplificada

                      Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.

                      Usamos la propiedad de fracciones equivalentes para simplificar fracciones numéricas. Lo reafirmamos aquí ya que también lo usaremos para simplificar expresiones racionales.

                      Propiedad de fracciones equivalentes

                      Si a, B, y C son números donde b ≠ 0, c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0,

                      Observe que en la propiedad de fracciones equivalentes, los valores que harían que los denominadores sean cero están específicamente rechazados. Vemos b ≠ 0, c ≠ 0 b ≠ 0, c ≠ 0 claramente establecido.

                      Para simplificar expresiones racionales, primero escribimos el numerador y el denominador en forma factorizada. Luego, eliminamos los factores comunes usando la propiedad de fracciones equivalentes.

                      Tenga mucho cuidado al eliminar los factores comunes. Los factores se multiplican para hacer un producto. Puede eliminar un factor de un producto. No puede eliminar un término de una suma.

                      Ejemplo 7.2

                      Cómo simplificar una expresión racional

                      Simplifica: x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12.

                      Solución

                      Simplifica: x 2 - x - 2 x 2-3 x + 2. x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2.

                      Simplifica: x 2-3 x - 10 x 2 + x - 2. x 2-3 x - 10 x 2 + x - 2.

                      Ahora resumimos los pasos que debe seguir para simplificar expresiones racionales.

                      Cómo

                      Simplifica una expresión racional.

                      1. Paso 1. Factoriza el numerador y el denominador por completo.
                      2. Paso 2. Simplifique dividiendo factores comunes.

                      Por lo general, dejamos la expresión racional simplificada en forma factorizada. De esta forma, es fácil comprobar que hemos eliminado todas los factores comunes.

                      Usaremos los métodos que hemos aprendido para factorizar los polinomios en los numeradores y denominadores en los siguientes ejemplos.

                      Cada vez que escribimos una expresión racional, debemos hacer una declaración que rechace los valores que harían un denominador cero. Sin embargo, para centrarnos en el trabajo en cuestión, omitiremos escribirlo en los ejemplos.

                      Ejemplo 7.3

                      Simplifica: 3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2.

                      Solución

                      3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 Factoriza el numerador y el denominador, primero factorizando el MCD. 3 (a 2-4 ab + 4 b 2) 6 (a 2-4 b 2) 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 6 (a + 2 b) (a - 2 b) Elimina el común factores de a - 2 by 3. 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 3 · 2 (a + 2 b) (a - 2 b) a - 2 b 2 (a + 2 b) 3 a 2 - 12 ab + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 Factoriza el numerador y el denominador, primero factorizando el MCD. 3 (a 2-4 ab + 4 b 2) 6 (a 2-4 b 2) 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 6 (a + 2 b) (a - 2 b) Elimina el común factores de a - 2 by 3. 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 3 · 2 (a + 2 b) (a - 2 b) a - 2 b 2 (a + 2 b)

                      Simplifica: 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2.

                      Simplifica: 5 x 2-30 x y + 25 y 2 2 x 2-50 y 2 5 x 2-30 x y + 25 y 2 2 x 2-50 y 2.

                      Ahora veremos cómo simplificar una expresión racional cuyo numerador y denominador tienen factores opuestos. Anteriormente introdujimos la notación opuesta: lo opuesto a a es - a - ay - a = −1 · a. - a = −1 · a.

                      Opuestos en una expresión racional

                      Una expresión y su opuesto se dividen a -1. −1.

                      Usaremos esta propiedad para simplificar expresiones racionales que contienen opuestos en sus numeradores y denominadores. Tenga cuidado de no tratar a + b a + byb + a b + a como opuestos. Recuerde que además, el orden no importa, entonces a + b = b + a a + b = b + a. Entonces, si a ≠ - b a ≠ - b, entonces a + b b + a = 1. a + b b + a = 1.

                      Ejemplo 7.4

                      Simplifica: x 2-4 x - 32 64 - x 2. x 2 - 4 x - 32 64 - x 2.

                      Solución

                      Simplifica: x 2-4 x - 5 25 - x 2. x 2 - 4 x - 5 25 - x 2.

                      Simplifica: x 2 + x - 2 1 - x 2. x 2 + x - 2 1 - x 2.

                      Multiplica expresiones racionales

                      Para multiplicar expresiones racionales, hacemos exactamente lo que hicimos con las fracciones numéricas. Multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores. Luego, si hay factores comunes, los eliminamos para simplificar el resultado.

                      Multiplicación de expresiones racionales

                      Si pag, q, r, y s son polinomios donde q ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, s ≠ 0, entonces

                      Para multiplicar expresiones racionales, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.

                      Recuerde, a lo largo de este capítulo, asumiremos que se excluyen todos los valores numéricos que harían que el denominador sea cero. No escribiremos las restricciones para cada expresión racional, pero tenga en cuenta que el denominador nunca puede ser cero. Entonces, en el siguiente ejemplo, x ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 3 y x ≠ 4. x ≠ 4.

                      Ejemplo 7.5

                      Cómo multiplicar expresiones racionales

                      Simplifica: 2 x x 2-7 x + 12 · x 2-9 6 x 2. 2 x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2.

                      Solución

                      Simplifica: 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2-4 10 x. 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x.

                      Simplifica: 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2-36 3 x 2. 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2.

                      Cómo

                      Multiplica expresiones racionales.

                      1. Paso 1. Factoriza cada numerador y denominador por completo.
                      2. Paso 2. Multiplica los numeradores y denominadores.
                      3. Paso 3. Simplifique dividiendo factores comunes.

                      Ejemplo 7.6

                      Multiplica: 3 a 2-8 a - 3 a 2-25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2-14 a - 5. 3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5.

                      Solución

                      3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5 Factoriza los numeradores y denominadores y luego multiplica. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Simplifica dividiendo factores comunes. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Simplifica. (a - 3) (a + 5) (a - 5) (a - 5) Reescribe (a - 5) (a - 5) usando un exponente. (a - 3) (a + 5) (a - 5) 2 3 a 2-8 a - 3 a 2-25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2-14 a - 5 Factoriza los numeradores y denominadores y luego multiplica. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Simplifica dividiendo factores comunes. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Simplifica. (a - 3) (a + 5) (a - 5) (a - 5) Reescribe (a - 5) (a - 5) usando un exponente. (a - 3) (a + 5) (a - 5) 2

                      Simplifica: 2 x 2 + 5 x - 12 x 2-16 · x 2-8 x + 16 2 x 2-13 x + 15. 2 x 2 + 5 x - 12 x 2-16 · x 2-8 x + 16 2 x 2-13 x + 15.

                      Simplifica: 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4. 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4.

                      Dividir expresiones racionales

                      Al igual que hicimos con las fracciones numéricas, para dividir expresiones racionales, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda.

                      División de expresiones racionales

                      Si pag, q, r, y s son polinomios donde q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, entonces

                      Para dividir expresiones racionales, multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda.

                      Una vez que reescribimos la división como multiplicación de la primera expresión por el recíproco de la segunda, factorizamos todo y buscamos factores comunes.

                      Ejemplo 7.7

                      Cómo dividir expresiones racionales

                      Dividir: p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6. p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6.

                      Solución

                      Simplifica: x 3-8 3 x 2-6 x + 12 ÷ x 2-4 6. x 3-8 3 x 2-6 x + 12 ÷ x 2-4 6.

                      Simplifica: 2 z 2 z 2-1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1. 2 z 2 z 2-1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1.

                      Cómo

                      Divide expresiones racionales.

                      1. Paso 1. Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda.
                      2. Paso 2. Factoriza los numeradores y denominadores por completo.
                      3. Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores juntos.
                      4. Paso 4. Simplifique dividiendo factores comunes.

                      Recuerda de Use the Language of Algebra que una fracción compleja es una fracción que contiene una fracción en el numerador, el denominador o ambos. Además, recuerde que una barra de fracción significa división. Una fracción compleja es otra forma de escribir la división de dos fracciones.

                      Ejemplo 7.8

                      Dividir: 6 x 2-7 x + 2 4 x - 8 2 x 2-7 x + 3 x 2-5 x + 6. 6 x 2-7 x + 2 4 x - 8 2 x 2-7 x + 3 x 2-5 x + 6.

                      Solución

                      6 x 2-7 x + 2 4 x - 8 2 x 2-7 x + 3 x 2-5 x + 6 Reescribe con un signo de división. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 ÷ 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Reescribir como producto de los primeros por el recíproco del segundo. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 · x 2 - 5 x + 6 2 x 2 - 7 x + 3 Factoriza los numeradores y denominadores, y luego multiplica. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Simplifica dividiendo factores comunes. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Simplifica. 3 x - 2 4 6 x 2-7 x + 2 4 x - 8 2 x 2-7 x + 3 x 2-5 x + 6 Reescribe con un signo de división. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 ÷ 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Reescribir como producto de los primeros por el recíproco del segundo. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 · x 2 - 5 x + 6 2 x 2 - 7 x + 3 Factoriza los numeradores y denominadores, y luego multiplica. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Simplifica dividiendo factores comunes. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Simplifica. 3 x - 2 4

                      Simplifica: 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2-14 x - 5 x 2 + x - 30. 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2-14 x - 5 x 2 + x - 30.

                      Simplifica: y 2-36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2-2 y - 60 8 y - 4. y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4.

                      Si tenemos más de dos expresiones racionales con las que trabajar, seguimos siguiendo el mismo procedimiento. El primer paso será reescribir cualquier división como una multiplicación por el recíproco. Luego, factorizamos y multiplicamos.

                      Ejemplo 7.9

                      Realice las operaciones indicadas: 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2-3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16. 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2-3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16.

                      Solución

                      Reescribe la división como multiplicación.
                      por el recíproco.
                      Factoriza los numeradores y denominadores.
                      Multiplica las fracciones. Llevando las constantes a
                      el frente ayudará a eliminar factores comunes.
                      Simplifica dividiendo factores comunes.
                      Simplificar.

                      Realice las operaciones indicadas: 4 m + 4 3 m - 15 · m 2-3 m - 10 m 2-4 m - 32 ÷ 12 m - 36 6 m - 48. 4 m + 4 3 m - 15 · m 2-3 m - 10 m 2-4 m - 32 ÷ 12 m - 36 6 m - 48.

                      Realice las operaciones indicadas: 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n. 2 norte 2 + 10 norte norte - 1 ÷ norte 2 + 10 norte + 24 norte 2 + 8 norte - 9 · norte + 4 8 norte 2 + 12 norte.

                      Multiplicar y dividir funciones racionales

                      Función racional

                      Una función racional es una función de la forma

                      El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores que causarían una división por cero. Debemos eliminar cualquier valor que haga q (x) = 0. q (x) = 0.

                      Cómo

                      Determina el dominio de una función racional.

                      1. Paso 1. Iguala el denominador a cero.
                      2. Paso 2. Resuelve la ecuación.
                      3. Paso 3. El dominio son todos los números reales excluyendo los valores encontrados en el Paso 2.

                      Ejemplo 7.10

                      Encuentre el dominio de R (x) = 2 x 2-14 x 4 x 2-16 x - 48. R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48.

                      Solución

                      El dominio serán todos los números reales excepto aquellos valores que hacen que el denominador sea cero. Estableceremos el denominador igual a cero, resolveremos esa ecuación y luego excluiremos esos valores del dominio.

                      Establece el denominador en cero. 4 x 2-16 x - 48 = 0 Factoriza, primero factoriza el MCD. 4 (x 2 - 4 x - 12) = 0 4 (x - 6) (x + 2) = 0 Utilice la propiedad del producto cero. 4 ≠ 0 x - 6 = 0 x + 2 = 0 Resuelve. x = 6 x = −2 El dominio de R (x) son todos los números reales donde x ≠ 6 y x ≠ - 2. Establece el denominador en cero. 4 x 2-16 x - 48 = 0 Factoriza, primero factoriza el MCD. 4 (x 2 - 4 x - 12) = 0 4 (x - 6) (x + 2) = 0 Utilice la propiedad del producto cero. 4 ≠ 0 x - 6 = 0 x + 2 = 0 Resuelve. x = 6 x = −2 El dominio de R (x) son todos los números reales donde x ≠ 6 y x ≠ - 2.

                      Encuentre el dominio de R (x) = 2 x 2-10 x 4 x 2-16 x - 20. R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20.

                      Encuentre el dominio de R (x) = 4 x 2-16 x 8 x 2-16 x - 64. R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64.

                      Para multiplicar funciones racionales, multiplicamos las expresiones racionales resultantes en el lado derecho de la ecuación usando las mismas técnicas que usamos para multiplicar expresiones racionales.

                      Ejemplo 7.11

                      Solución

                      R (x) = f (x) · g (x) R (x) = 2 x - 6 x 2 - 8 x + 15 · x 2 - 25 2 x + 10 Factoriza cada numerador y denominador. R (x) = 2 (x - 3) (x - 3) (x - 5) · (x - 5) (x + 5) 2 (x + 5) Multiplica los numeradores y denominadores. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Quita factores comunes. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Simplifica. R (x) = 1 R (x) = f (x) · g (x) R (x) = 2 x - 6 x 2-8 x + 15 · x 2-25 2 x + 10 Factorizar cada numerador y denominador . R (x) = 2 (x - 3) (x - 3) (x - 5) · (x - 5) (x + 5) 2 (x + 5) Multiplica los numeradores y denominadores. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Quita factores comunes. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Simplifica. R (x) = 1

                      Para dividir funciones racionales, dividimos las expresiones racionales resultantes en el lado derecho de la ecuación usando las mismas técnicas que usamos para dividir expresiones racionales.

                      Ejemplo 7.12

                      Solución

                      R (x) = f (x) g (x) Sustituye en las funciones f (x), g (x). R (x) = 3 x 2 x 2-4 x 9 x 2-45 x x 2-7 x + 10 Vuelva a escribir la división como el producto de f (x) y el recíproco de g (x). R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x · x 2 - 7 x + 10 9 x 2 - 45 x Factoriza los numeradores y denominadores y luego multiplica. R (x) = 3 · x · x · (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x · (x - 5) Simplifica dividiendo factores comunes. R (x) = 3 · x · x (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x (x - 5) R (x) = x - 2 3 (x - 4 ) R (x) = f (x) g (x) Sustituye en las funciones f (x), g (x). R (x) = 3 x 2 x 2-4 x 9 x 2-45 x x 2-7 x + 10 Vuelva a escribir la división como el producto de f (x) y el recíproco de g (x). R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x · x 2 - 7 x + 10 9 x 2 - 45 x Factoriza los numeradores y denominadores y luego multiplica. R (x) = 3 · x · x · (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x · (x - 5) Simplifica dividiendo factores comunes. R (x) = 3 · x · x (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x (x - 5) R (x) = x - 2 3 (x - 4 )

                      Sección 7.1 Ejercicios

                      La práctica hace la perfección

                      Determinar los valores para los que una expresión racional no está definida

                      En los siguientes ejercicios, determine los valores para los cuales la expresión racional no está definida.

                      Simplifique las expresiones racionales

                      En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión racional.

                      p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6

                      x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

                      8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80 8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80

                      −5 c 2-10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2-10 c −10 c 2 + 30 c + 100

                      3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2-100 n 2 3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2-100 n 2

                      5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2-49 s 2 5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2-49 s 2

                      Multiplica expresiones racionales

                      En los siguientes ejercicios, multiplica las expresiones racionales.

                      5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2

                      12 a 3 segundo segundo 2 · 2 a segundo 2 9 segundo 3 12 a 3 segundo segundo 2 · 2 a segundo 2 9 segundo 3

                      5 p 2 p 2-5 p - 36 · p 2-16 10 p 5 p 2 p 2-5 p - 36 · p 2-16 10 p

                      3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q 3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q

                      2 y 2-10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y 2 y 2-10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y

                      z 2 + 3 z z 2-3 z - 4 · z - 4 z 2 z 2 + 3 z z 2-3 z - 4 · z - 4 z 2

                      28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49 28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49

                      72 m - 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2-36 72 m - 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2-36

                      c 2 - 10 c + 25 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5 c 2 - 10 c + 25 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5

                      2 d 2 + d - 3 d 2-16 · d 2-8 d + 16 2 d 2-9 d - 18 2 d 2 + d - 3 d 2-16 · d 2-8 d + 16 2 d 2 - 9 días - 18

                      2 m 2-3 m - 2 2 m 2 + 7 m + 3 · 3 m 2-14 m + 15 3 m 2 + 17 m - 20 2 m 2-3 m - 2 2 m 2 + 7 m + 3 · 3 m 2 - 14 m + 15 3 m 2 + 17 m - 20

                      2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21 2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21

                      Dividir expresiones racionales

                      En los siguientes ejercicios, divide las expresiones racionales.

                      v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11 v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11

                      10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w 10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w

                      3 s 2 s 2-16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3-64 3 s 2 s 2-16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3-64

                      r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45

                      p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12

                      v 3-8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2-4 w 2 4 v 3-8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2-4 w 2 4

                      x 2 + 3 x - 10 4 x ÷ (2 x 2 + 20 x + 50) x 2 + 3 x - 10 4 x ÷ (2 x 2 + 20 x + 50)

                      2 y 2-10 y z - 48 z 2 2 y - 1 ÷ (4 y 2-32 y z) 2 y 2-10 y z - 48 z 2 2 y - 1 ÷ (4 y 2-32 y z)

                      2 a 2 - a - 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16 2 a 2 - a - 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16

                      3 b 2 + 2 b - 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b - 8 2 b 2-7 b - 15 3 b 2 + 2 b - 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b - 8 2 b 2 - 7 b - 15

                      12 c 2 - 12 2 c 2 - 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 - 13 c + 5 12 c 2 - 12 2 c 2 - 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 - 13 c + 5

                      4 d 2 + 7 d - 2 35 d + 10 d 2-4 7 d 2-12 d - 4 4 d 2 + 7 d - 2 35 d + 10 d 2-4 7 d 2-12 d - 4

                      Para los siguientes ejercicios, realice las operaciones indicadas.

                      10 m 2 + 80 m 3 m - 9 · m 2 + 4 m - 21 m 2-9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m - 10 10 m 2 + 80 m 3 m - 9 · m 2 + 4 m - 21 m 2-9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m - 10

                      4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 - n - 2 n 2 + n - 30 ÷ 108 n 2 - 24 nn + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 - n - 2 n 2 + n - 30 ÷ 108 n 2 - 24 nn + 6

                      12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p - 63 p 2 - p - 12 · p - 7 9 p 3-9 p 2 12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p - 63 p 2 - p - 12 · p - 7 9 p 3 - 9 p 2

                      6 q + 3 9 q 2-9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q - 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2-9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q - 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6

                      Multiplicar y dividir funciones racionales

                      En los siguientes ejercicios, encuentre el dominio de cada función.

                      R (x) = x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 R (x) = x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

                      R (x) = x 3 + 3 x 2-4 x - 12 x 2-4 R (x) = x 3 + 3 x 2-4 x - 12 x 2-4

                      R (x) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36 R (x) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36

                      R (x) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80 R (x) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80

                      Para los siguientes ejercicios, encuentre R (x) = f (x) · g (x) R (x) = f (x) · g (x) donde f (x) f (x) y g (x) g ( x) se dan.

                      Para los siguientes ejercicios, encuentre R (x) = f (x) g (x) R (x) = f (x) g (x) donde f (x) f (x) y g (x) g (x) son dados.

                      Ejercicios de escritura

                      Explica cómo hallas los valores de X para lo cual la expresión racional x 2 - x - 20 x 2 - 4 x 2 - x - 20 x 2 - 4 no está definida.

                      Explica todos los pasos que das para simplificar la expresión racional p 2 + 4 p - 21 9 - p 2. p 2 + 4 p - 21 9 - p 2.

                      Autochequeo

                      Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

                      Ⓑ Si la mayoría de sus cheques fueran:

                      ... con confianza. ¡Felicidades! ¡Ha logrado sus objetivos en esta sección! Reflexione sobre las habilidades de estudio que utilizó para poder seguir utilizándolas. ¿Qué hizo para tener confianza en su capacidad para hacer estas cosas? ¡Se específico!

                      … Con algo de ayuda. Esto debe abordarse rápidamente, ya que los temas que no domina se convierten en baches en su camino hacia el éxito. Las matemáticas son secuenciales: cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase y el instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde haya tutores de matemáticas disponibles? ¿Se pueden mejorar sus habilidades de estudio?

                      ... no, ¡no lo entiendo! Esto es fundamental y no debe ignorarlo. Necesita obtener ayuda de inmediato o se sentirá abrumado rápidamente. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden elaborar un plan para brindarle la ayuda que necesita.

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                        • Autores: Lynn Marecek
                        • Editor / sitio web: OpenStax
                        • Título del libro: Álgebra intermedia
                        • Fecha de publicación: 14 de marzo de 2017
                        • Ubicación: Houston, Texas
                        • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/1-introduction
                        • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/7-1-multiply-and-divide-rational-expressions

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                        Tablero Maharashtra Clase 7 Soluciones matemáticas Capítulo 2 Multiplicación y división de enteros Conjunto de práctica 9

                        Pregunta 1.
                        Resolver
                        I. (-96) ÷ 16
                        ii. 98 ÷ (-28)
                        iii. (-51) ÷ 68
                        iv. 38 ÷ (-57)
                        v. (-85) ÷ 20
                        vi. (-150) ÷ (-25)
                        vii. 100 ÷ 60
                        viii. 9 ÷ (-54)
                        ix. 78 ÷ 65
                        X. (-5) ÷ (-315)
                        Solución:
                        I. (-96) ÷ 16

                        ii. 98 ÷ (-28)

                        iii. (-51) ÷ 68

                        iv. 38 ÷ (-57)

                        v. (-85) ÷ 20

                        vi. (-150) ÷ (-25)

                        vii. 100 ÷ 60

                        viii. 9 ÷ (-54)

                        ix. 78 ÷ 65

                        X. (-5) ÷ (-315)

                        Pregunta 2.
                        Escribe tres divisiones de números enteros de modo que la forma fraccionaria de cada uno sea ( frac <24> <5> ).
                        Solución:

                        Pregunta 3.
                        Escribe tres divisiones de números enteros de modo que la forma fraccionaria de cada uno sea ( frac <-5> <7> ).
                        Solución:

                        Pregunta 4.
                        Los peces del estanque de abajo llevan algunos números. (Elija 4 pares cualesquiera y realice cuatro multiplicaciones con esos números. Ahora, elija otros cuatro pares y realice divisiones con estos números.
                        Ejemplos:
                        I. (-13) × (-15) = 195
                        ii. (-24) ÷ 9 = ( frac <-24> <9> = frac <-8> <3> )

                        Solución:

                        1. (-13) × 9 = -117
                        2. 12 × 13 = 156
                        3. 9 × (-37) = -333
                        4. (-15) × (-8) = 120
                        5. ((- 28) div 12 = frac <-28> <12> = frac <(- 1) times (28)> <12> = frac <-7> <3> )
                        6. (12 div 9 = frac <12> <9> = frac <4> <3> )
                        7. (9 div (-24) = frac <9> <-24> = frac <9> <(- 1) times 24> = frac <-3> <8> )
                        8. ((- 18) div (-27) = frac <-18> <-27> = frac <(- 1) times 18> <(- 1) times 27> = frac <2> <3> )

                        Nota: Los problemas 2, 3 y 4 tienen muchas respuestas. Los estudiantes pueden escribir respuestas distintas a las dadas.


                        1.4 Multiplicar y dividir enteros

                        Puede encontrar una introducción más detallada a los temas cubiertos en esta sección en el Preálgebra capítulo, Enteros.

                        Multiplicar enteros

                        Dado que la multiplicación es una abreviatura matemática de la suma repetida, nuestro modelo se puede aplicar fácilmente para mostrar la multiplicación de números enteros. Veamos este modelo concreto para ver qué patrones notamos. Usaremos los mismos ejemplos que usamos para la suma y la resta. Aquí, usaremos el modelo solo para ayudarnos a descubrir el patrón.

                        Los siguientes dos ejemplos son más interesantes.

                        Observe que para la multiplicación de dos números con signo, cuando:

                        • los signos son los mismo, el producto es positivo.
                        • los signos son diferente, el producto es negativo.

                        Pondremos todo esto junto en el cuadro a continuación.

                        Multiplicación de números con signo

                        Para la multiplicación de dos números con signo:

                        Diferentes signos Producto Ejemplo
                        Positivo negativo
                        Negativo positivo
                        Negativo
                        Negativo
                        7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50 7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50

                        Ejemplo 1.46

                        Solución

                        Cuando multiplicamos un número por 1, el resultado es el mismo número. ¿Qué sucede cuando multiplicamos un número por −1? −1? Multipliquemos un número positivo y luego un número negativo por -1 -1 para ver qué obtenemos.

                        ¡Cada vez que multiplicamos un número por -1, -1, obtenemos su opuesto!

                        Multiplicación por -1 -1

                        Multiplicar un número por −1 −1 da su opuesto.

                        Ejemplo 1.47

                        Solución


                        Multiplique, observando que los signos son diferentes por lo que el producto es negativo.
                        −1 · 7 −7 −7 es el opuesto de 7. −1 · 7 −7 −7 es el opuesto de 7.

                        Multiplique, observando que los signos son los mismos para que el producto sea positivo.
                        −1 (−11) 11 11 es el opuesto de −11. −1 (−11) 11 11 es el opuesto de −11.

                        Dividir enteros

                        ¡La división sigue las mismas reglas que la multiplicación!

                        Para la división de dos números con signo, cuando:

                        • los signos son los mismo, el cociente es positivo.
                        • los signos son diferente, el cociente es negativo.

                        Y recuerde que siempre podemos verificar la respuesta de un problema de división multiplicando.

                        Multiplicación y división de números con signo

                        Para multiplicar y dividir dos números con signo:

                        • Si los signos son los mismos, el resultado es positivo.
                        • Si los signos son diferentes, el resultado es negativo.
                        Mismos signos Resultado
                        Dos positivos
                        Dos negativos
                        Positivo
                        Positivo
                        Si los signos son los mismos, el resultado es positivo.
                        Diferentes signos Resultado
                        Positivo y negativo
                        Negativo y positivo
                        Negativo
                        Negativo
                        Si los signos son diferentes, el resultado es negativo.

                        Ejemplo 1.48

                        Solución

                        Simplifique expresiones con números enteros

                        ¿Qué sucede cuando hay más de dos números en una expresión? El orden de las operaciones se sigue aplicando cuando se incluyen negativos. ¿Recuerdas a mi querida tía Sally?

                        Probemos algunos ejemplos. Simplificaremos expresiones que usan las cuatro operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división. Recuerde seguir el orden de operaciones.

                        Ejemplo 1.49

                        Solución

                        Ejemplo 1.50

                        Solución

                        Note la diferencia en las partes ⓐ y ⓑ. En la parte ⓐ, el exponente significa elevar lo que está entre paréntesis, el (−2) (−2) a la 4ª 4ª potencia. En la parte ⓑ, el exponente significa elevar solo el 2 a la 4ª 4ª potencia y luego tomar el opuesto.

                        El siguiente ejemplo nos recuerda que primero simplifiquemos entre paréntesis.

                        Ejemplo 1.51

                        Solución

                        Ejemplo 1.52

                        Solución

                        Ejemplo 1.53

                        Solución

                        Evaluar expresiones variables con números enteros

                        Recuerde que evaluar una expresión significa sustituir la variable por un número en la expresión. Ahora podemos usar tanto números negativos como positivos.

                        Ejemplo 1.54

                        Solución

                        Ejemplo 1.55

                        Solución

                        Ejemplo 1.56

                        Solución

                        Ejemplo 1.57

                        Solución

                        Traducir frases a expresiones con números enteros

                        Nuestro trabajo anterior de traducción del inglés al álgebra también se aplica a frases que incluyen números positivos y negativos.

                        Ejemplo 1.58

                        Traducir y simplificar: la suma de 8 y −12, −12, aumentada en 3.

                        Solución

                        Traduce y simplifica la suma de 9 y −16, −16, aumentada en 4.

                        Traduce y simplifica la suma de −8 −8 y −12, −12, aumentada en 7.

                        Cuando presentamos por primera vez los símbolos de operación, vimos que la expresión se puede leer de varias formas. Se enumeran en el cuadro a continuación.

                        Tenga cuidado de conseguir a y B ¡en el orden correcto!

                        Ejemplo 1.59

                        Traslada y luego simplifica ⓐ la diferencia de 13 y −21 −21 ⓑ reste 24 de −19. −19.

                        Solución

                        Traducir y simplificar ⓐ la diferencia de 14 y −23 −23 ⓑ restar 21 de −17. −17.

                        Traducir y simplificar ⓐ la diferencia de 11 y −19 −19 ⓑ restar 18 de −11. −11.

                        Una vez más, nuestro trabajo anterior de traducción del inglés al álgebra se transfiere a frases que incluyen tanto la multiplicación como la división de números enteros. Recuerde que la palabra clave para la multiplicación es "producto" y para la división es "cociente".

                        Ejemplo 1.60

                        Traduce a una expresión algebraica y simplifica si es posible: el producto de −2 −2 y 14.

                        Solución

                        Traduce a una expresión algebraica y simplifica si es posible: el producto de −5 −5 y 12.

                        Traduce a una expresión algebraica y simplifica si es posible: el producto de 8 por −13. −13.

                        Ejemplo 1.61

                        Traduce a una expresión algebraica y simplifica si es posible: el cociente de −56 −56 y −7. −7.

                        Solución

                        Traduce a una expresión algebraica y simplifica si es posible: el cociente de −63 −63 y −9. −9.

                        Traduce a una expresión algebraica y simplifica si es posible: el cociente de −72 −72 y −9. −9.

                        Usar números enteros en aplicaciones

                        Esbozaremos un plan para resolver aplicaciones. ¡Es difícil encontrar algo si no sabemos qué estamos buscando o cómo llamarlo! Entonces, cuando resolvemos una aplicación, primero debemos determinar qué nos pide el problema que encontremos. Luego escribiremos una frase que brinde la información para encontrarla. Traduciremos la frase en una expresión y luego simplificaremos la expresión para obtener la respuesta. Finalmente, resumimos la respuesta en una oración para asegurarnos de que tenga sentido.

                        Ejemplo 1.62

                        Cómo aplicar una estrategia para resolver aplicaciones con números enteros

                        Por la mañana, la temperatura en Urbana, Illinois era de 11 grados. A media tarde, la temperatura había bajado a -9-9 grados. ¿Cuál fue la diferencia entre las temperaturas de la mañana y de la tarde?

                        Solución

                        Por la mañana, la temperatura en Anchorage, Alaska era de 15 grados. A media tarde la temperatura había bajado a 30 grados bajo cero. ¿Cuál fue la diferencia entre las temperaturas de la mañana y de la tarde?

                        Cómo

                        Aplicar una estrategia para resolver aplicaciones con números enteros.

                        1. Paso 1. Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas
                        2. Paso 2. Identifique lo que se nos pide que busquemos.
                        3. Paso 3. Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
                        4. Paso 4. Traduce la frase a una expresión.
                        5. Paso 5. Simplifique la expresión.
                        6. Paso 6. Responda la pregunta con una oración completa.

                        Ejemplo 1.63

                        El equipo de fútbol americano Mustangs recibió tres penaltis en el tercer cuarto. Cada penalización les dio una pérdida de quince yardas. ¿Cuál es la cantidad de yardas perdidas?

                        Solución

                        Paso 1. Lee el problema. Asegúrese de que se comprendan todas las palabras e ideas.
                        Paso 2. Identifique lo que se nos pide que busquemos. la cantidad de yardas perdidas
                        Paso 3. Escribe una frase que dé la información para encontrarla. tres veces una penalización de 15 yardas
                        Paso 4. Traduce la frase a una expresión. 3 ( −15 ) 3 ( −15 )
                        Paso 5. Simplifica la expresión. −45 −45
                        Paso 6. Responde la pregunta con una oración completa. El equipo perdió 45 yardas.

                        Los Bears jugaron mal y tuvieron siete penales en el juego. Cada penalización resultó en una pérdida de 15 yardas. ¿Cuál es la cantidad de yardas perdidas por penalizaciones?

                        Bill usa el cajero automático en el campus porque es conveniente. Sin embargo, cada vez que lo usa, se le cobra una tarifa de $ 2. El mes pasado usó el cajero automático ocho veces. ¿Cuál fue su tarifa total por usar el cajero automático?

                        Sección 1.4 Ejercicios

                        La práctica hace la perfección

                        Multiplicar enteros

                        En los siguientes ejercicios, multiplica.

                        Dividir enteros

                        En los siguientes ejercicios, divida.

                        Simplifique expresiones con números enteros

                        En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión.

                        Evaluar expresiones variables con números enteros

                        En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión.

                        Traducir frases en inglés a expresiones algebraicas

                        En los siguientes ejercicios, traduzca a una expresión algebraica y simplifique si es posible.

                        la diferencia de 10 y −18 −18

                        Usar números enteros en aplicaciones

                        En los siguientes ejercicios, resuelve.

                        Fútbol En el primer intento, los Chargers tenían el balón en su yarda 25. Perdieron 6 yardas en la primera oportunidad, ganaron 10 yardas en la segunda oportunidad y perdieron 8 yardas en la tercera oportunidad. ¿Cuál fue la línea de la yarda al final de la tercera oportunidad?

                        Fútbol En primer intento, los Steelers tenían el balón en su yarda 30. Ganaron 9 yardas en la primera oportunidad, perdieron 14 yardas en la segunda oportunidad y perdieron 2 yardas en la tercera oportunidad. ¿Cuál fue la línea de la yarda al final de la tercera oportunidad?

                        Cuenta de cheques Mayra tiene $ 124 en su cuenta corriente. Ella escribe un cheque por $ 152. ¿Cuál es el nuevo saldo en su cuenta corriente?

                        Cuenta de cheques Selina tiene $ 165 en su cuenta corriente. Ella escribe un cheque por $ 207. ¿Cuál es el nuevo saldo en su cuenta corriente?

                        Matemáticas cotidianas

                        Bolsa de Valores Javier posee 300 acciones de una empresa. El martes, el precio de las acciones cayó 12 dólares por acción. ¿Cuál fue el efecto total en la cartera de Javier?

                        Pérdida de peso En la primera semana de un programa de dieta, ocho mujeres perdieron un promedio de 3 libras cada una. ¿Cuál fue el cambio de peso total para las ocho mujeres?

                        Ejercicios de escritura

                        En sus propias palabras, establezca las reglas para multiplicar números enteros.

                        En sus propias palabras, establezca las reglas para dividir números enteros.

                        Autochequeo

                        Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

                        Ⓑ En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo puedes mejorar esto?

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                        ¿Quiere citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution License 4.0 y debe atribuir OpenStax.

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                        • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
                          • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
                          • Editor / sitio web: OpenStax
                          • Título del libro: Álgebra elemental 2e
                          • Fecha de publicación: 22 de abril de 2020
                          • Ubicación: Houston, Texas
                          • URL del libro: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
                          • URL de la sección: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-4-multiply-and-divide-integers

                          © 22 de enero de 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Attribution License 4.0. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


                          Síntesis de la lección

                          Síntesis de la lección

                          El propósito de la discusión es verificar si los estudiantes entienden por qué (10 ​​^ n boldcdot 10 ^ m = 10 ^). Considere registrar las respuestas de los estudiantes y mostrarlas para que todos las vean.

                          Aquí hay algunas preguntas para debatir:

                          • "¿Cómo podrías escribir (10 ​​^ <15> boldcdot 10 ^ <5> ) usando un solo exponente sin expandir todos los factores?" (La primera parte son 15 factores que son 10 y la segunda son 5 factores que son 10.Esto hace un total de 20 factores que son 10.)
                          • "En general, ¿cuál es una regla para multiplicar dos potencias de 10 juntas en una sola potencia de 10?" (Los exponentes de las dos potencias de 10 se suman).

                          Definición de enteros

                          Enteros son los números naturales, los negativos de estos números o el cero. Un número entero es una entidad completa. Los enteros son los números que pueden ser positivos, negativos o cero, números sin parte fraccionaria (sin decimales).

                          Los ejemplos de números enteros son, 1, -2, 7, -8, 9, -12, etc.

                          La colección de todos los números enteros está representada por el símbolo & ldquoZ& rdquo.

                          Algunos ejemplos más:
                          Si alguien tiene sobrepeso de lo normal, se representará como positivo y si alguien tiene un peso inferior al normal, se representará como negativo.

                          Por ejemplo, (- 2 ) es un número entero.
                          (- 2 ) se lee como & lsquonegative dos & rsquo.
                          Esto también se puede escribir como (- 2 ) o ((-2) )
                          Es 2 menos que 0.
                          (0 – 2 = –2) .
                          Entonces números naturales (que se encuentran en el lado derecho del cero) son positivo, sus contrapartes (números naturales negativos) son negativo.

                          Podemos usar la recta numérica para comparar dos números enteros.

                          Decimos que & ndash3 es & lsquogreater que & rsquo & ndash6 porque & ndash3 se encuentra a la derecha de & ndash6 a lo largo de la línea.
                          De manera similar, & ndash5 & lsquois menor que & rsquo 2 porque & ndash5 se encuentra a la izquierda de 2.

                          Entonces llegamos a la conclusión de que si un número se encuentra en el lado izquierdo, será más pequeño que el número que se encuentra en el lado derecho.

                          Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes opciones no es verdadera con respecto a una recta numérica dada?

                          (a) B es mayor que & ndash10
                          (b) A es mayor que 0
                          (c) A es mayor que B
                          (d) B es mayor que 0

                          Respuesta: Las primeras tres opciones son correctas, pero B se encuentra en el lado izquierdo de 0, por lo que no es mayor que 0. Así que claramente la opción (D) no es verdadera.

                          Respuesta: En la recta numérica, vemos que cuanto mayor es el valor negativo, menor es el número. Usando esto, podemos decir que la opción (C) es correcta.

                          (C) & ndash79 & degC, & ndash70 & degC, & ndash58 & degC, & ndash53 & degC, & ndash52 & degC, & ndash40 & degC


                          Dividir números

                          Supongamos que desea averiguar cuántas horas persona le tomó terminar un proyecto (total de horas del proyecto ÷ total de personas en el proyecto) o la tasa real de millas por galón para su reciente viaje a campo traviesa (total de millas ÷ total de galones). Hay varias formas de dividir números.

                          Dividir números en una celda

                          Para realizar esta tarea, utilice el / (barra diagonal) operador aritmético.

                          Por ejemplo, si escribe =10/5 en una celda, la celda muestra 2.

                          Importante: Asegúrese de escribir un signo igual (=) en la celda antes de escribir los números y el / de lo contrario, Excel interpretará lo que escriba como una fecha. Por ejemplo, si escribe 7/30, Excel puede mostrar 30-jul en la celda. O, si escribe 12/36, Excel primero convertirá ese valor a 12/1/1936 y mostrará 1-Dec en la celda.

                          Nota: No hay DIVIDIR función en Excel.

                          Dividir números usando referencias de celda

                          En lugar de escribir números directamente en una fórmula, puede usar referencias de celda, como A2 y A3, para hacer referencia a los números por los que desea dividir y dividir.

                          El ejemplo puede ser más fácil de entender si lo copia en una hoja de trabajo en blanco.

                          Cómo copiar un ejemplo

                          Cree un libro de trabajo o una hoja de trabajo en blanco.

                          Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda.

                          Nota: No seleccione los encabezados de fila o columna.

                          Seleccionar un ejemplo de la Ayuda

                          En la hoja de trabajo, seleccione la celda A1 y presione CTRL + V.

                          Para cambiar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados, presione CTRL + `(acento grave), o en el Fórmulas pestaña, haga clic en el Mostrar fórmulas botón.


                          Soluciones NCERT para matemáticas de clase 7 Capítulo 1 - Enteros

                          La siguiente línea numérica muestra la temperatura en grados centígrados (& degC) en diferentes lugares en un día en particular.

                          (a) Observe esta recta numérica y escriba la temperatura de los lugares marcados en ella.

                          (b) ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre los lugares más calientes y más fríos entre los anteriores?

                          (c) ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre Lahulspiti y Srinagar?

                          (d) ¿Podemos decir que la temperatura de Srinagar y Shimla en conjunto es menor que la temperatura en Shimla? ¿También es menor que la temperatura en Srinagar?

                          Respuesta:

                          (a) Al observar los datos dados, las temperaturas de estas ciudades son las siguientes.

                          (b) Temperatura en el lugar más caluroso, es decir, Bangalore = 22 & degC

                          Temperatura en el lugar más frío, es decir, Lahulspiti = & minus8 & degC

                          Diferencia de temperatura = 22 y grados C y menos (y menos 8 grados C)

                          Por lo tanto, la diferencia de temperatura entre los lugares más calientes y los más fríos es de 30 & ordmC.

                          (c) Temperatura en Lahulspiti = & menos8 & degC

                          Temperatura en Srinagar = & menos2 & degC

                          Por lo tanto, la diferencia de temperatura entre Lahulspiti y Srinagar es de 6 ° C.

                          (d) Temperatura en Srinagar = & menos2 & degC

                          Temperatura en Shimla = 5 & degC

                          Temperatura de Srinagar y Shimla en conjunto = & minus2 & degC + 5 & degC

                          3 & degC & lt Temperatura de Shimla

                          Sí, la temperatura de Srinagar y Shimla en conjunto es menor que la temperatura de Shimla.

                          Por lo tanto, la temperatura de Srinagar y Shimla en conjunto no es menor que la temperatura de Srinagar.

                          Página No 4:

                          Pregunta 2:

                          En un cuestionario, se otorgan calificaciones positivas para las respuestas correctas y calificaciones negativas para las respuestas incorrectas. Si las puntuaciones de jack & rsquos en cinco rondas sucesivas fueron 25, & menos 5, & menos 10, 15 y 10, ¿cuál fue su total al final?

                          Respuesta:

                          Los puntajes de Jack & rsquos en cinco rondas sucesivas son 25, y menos5, y menos10, 15 y 10. El puntaje total de Jack al final será la suma de estos puntajes.

                          Por lo tanto, Jack & rsquos puntaje total al final = 25 y menos 5 y menos 10 + 15 + 10 = 35

                          Página No 4:

                          Pregunta 3:

                          En Srinagar, la temperatura era de menos 5 grados centígrados el lunes y luego bajó 2 grados centígrados el martes. ¿Cuál fue la temperatura de Srinagar el martes? El miércoles, subió 4 ° C. ¿Cuál fue la temperatura ese día?

                          Respuesta:

                          Temperatura el lunes = & menos5 & degC

                          Temperatura el martes = Temperatura el lunes y menos2 y grados C

                          Temperatura el miércoles = Temperatura el martes + 4 & degC

                          Por lo tanto, la temperatura el martes y miércoles fue & minus7 & ordmC y & minus3 & ordmC respectivamente.

                          Página No 4:

                          Pregunta 4:

                          Un avión vuela a una altura de 5000 m sobre el nivel del mar. En un punto particular, está exactamente por encima de un submarino que flota 1200 m por debajo del nivel del mar. ¿Cuál es la distancia vertical entre ellos?

                          Respuesta:

                          Profundidad del submarino = & menos 1200 m

                          Distancia entre el avión y el submarino = 5000 my menos (& menos 1200) m

                          Solución de video para números enteros (Página: 4, Q.No .: 4)

                          Solución NCERT para matemáticas de la clase 7: números enteros 4, pregunta 4

                          Página No 4:

                          Pregunta 5:

                          Mohan deposita 2.000 rupias en su cuenta bancaria y retira 1.642 rupias al día siguiente. Si el retiro del monto de la cuenta está representado por un número entero negativo, ¿cómo representará el monto depositado? Encuentre el saldo en la cuenta de Mohan & rsquos después del retiro.

                          Respuesta:

                          Dado que la cantidad retirada está representada por un número entero negativo, la cantidad depositada estará representada por un número entero positivo.

                          Cantidad depositada = Rs 2000

                          Monto retirado = & menos Rs 1642

                          Saldo en la cuenta de Mohan & rsquos = Dinero depositado + Dinero retirado

                          = 2000 + (y menos 1642) = 2000 y menos 1642 = 358

                          Por lo tanto, el saldo en la cuenta de Mohan & rsquos después del retiro es de 358 rupias.

                          Página No 4:

                          Pregunta 6:

                          Rita avanza 20 km hacia el este desde un punto A hasta el punto B. Desde B, avanza 30 km hacia el oeste por el mismo camino. Si la distancia hacia el este está representada por un número entero positivo, ¿cómo representará la distancia recorrida hacia el oeste? ¿Con qué número entero representará su posición final de A?

                          Respuesta:

                          Dado que la distancia hacia el este está representada por un número entero positivo, la distancia recorrida hacia el oeste estará representada por un número entero negativo.

                          Distancia recorrida en dirección este = 20 km

                          Distancia recorrida en dirección oeste = & menos 30 km

                          Distancia recorrida desde A = 20 + (& minus30) = & minus10 km

                          Por lo tanto, representaremos la distancia recorrida por Rita desde el punto A con un número entero negativo, es decir, & menos 10 km (es decir, Rita ahora está en dirección oeste).

                          Página No 5:

                          Pregunta 7:

                          En un cuadrado mágico, cada fila, columna y diagonal tienen la misma suma. Compruebe cuál de los siguientes es un cuadrado mágico.

                          Respuesta:

                          Se puede observar que en el cuadrado (i), cada fila y columna se suman para dar 0. Sin embargo, la suma de una de sus diagonales no es 0.

                          Por tanto, (i) no es un cuadrado mágico.

                          De manera similar, en el cuadrado (ii), cada fila, columna y diagonal se suman para dar & menos9. Por lo tanto, (ii) es un cuadrado mágico.

                          Página No 5:

                          Pregunta 8:

                          Verificar a & menos (& menosB) = a + B para los siguientes valores de a y B.

                          (I) a = 21, B = 18

                          (ii) a = 118, B = 125

                          (iii) a = 75, B = 84

                          (iv) a = 28, B = 11

                          Respuesta:

                          (I) a = 21, B = 18

                          a & menos (& menosB) = 21 y menos (y menos18) = 21 + 18 = 39

                          a + B = 21 + 18 = 39

                          & there4a & menos (& menosB) = a + B = 39

                          (ii) a = 118, B = 125

                          a & menos (& menosB) = 118 y menos (y menos125) = 118 + 125 = 243

                          a + B = 118 + 125 = 243

                          & there4a & menos (& menosB) = a + B = 243

                          (iii) a = 75, B = 84

                          a & menos (& menosB) = 75 y menos (y menos84) = 75 + 84 = 159

                          a + B = 75 + 84 = 159

                          & there4 a & menos (& menosB) = a + B = 159

                          (iv) a = 28, B = 11

                          a & menos (& menosB) = 28 y menos (y menos11) = 28 + 11 = 39

                          a + B = 28 + 11 = 39

                          & there4 a & menos (& menosB) = a + B = 39

                          Página No 5:

                          Pregunta 9:

                          Utilice el signo de & gt, & lt o = en el cuadro para que las afirmaciones sean verdaderas.

                          Respuesta:

                          Página No 5:

                          Pregunta 10:

                          Un tanque de agua tiene escalones en su interior. Un mono está sentado en el escalón más alto (es decir, el primer escalón). El nivel del agua está en el noveno escalón.

                          (i) Salta 3 pasos hacia abajo y luego retrocede 2 pasos hacia arriba. ¿En cuántos saltos alcanzará el nivel del agua?

                          (ii) Después de beber agua, quiere volver. Para ello, salta 4 pasos hacia arriba y luego retrocede 2 pasos hacia abajo en cada movimiento. ¿En cuántos saltos alcanzará el último escalón?

                          (iii) Si el número de pasos movidos hacia abajo está representado por números enteros negativos y el número de pasos movidos hacia arriba por números enteros positivos, represente sus movimientos en la parte (i) y (ii) completando lo siguiente (a) y menos 3 + 2 y menos & hellip = & minus 8 (b) 4 & minus 2 + & hellip = 8. En (a) la suma (& menos 8) representa un descenso de ocho pasos. Entonces, ¿qué representará la suma 8 en (b)?

                          Respuesta:

                          Deje que los pasos movidos hacia abajo estén representados por números enteros positivos y los pasos movidos hacia arriba estén representados por números enteros negativos.

                          (i) Inicialmente, el mono estaba en el paso = 1

                          Después del 1er salto, el mono estará en el paso = 1 + 3 = 4

                          Después del segundo salto, el mono estará en el paso = 4 + (& minus2) = 2

                          Después del tercer salto, el mono estará en el paso = 2 + 3 = 5

                          Después del cuarto salto, el mono estará en el paso = 5 + (& minus2) = 3

                          Después del quinto salto, el mono estará en el paso = 3 + 3 = 6

                          Después del sexto salto, el mono estará en el paso = 6 + (& minus2) = 4

                          Después del séptimo salto, el mono estará en el paso = 4 + 3 = 7

                          Después del octavo salto, el mono estará en el paso = 7 + (& minus2) = 5

                          Después del noveno salto, el mono estará en el paso = 5 + 3 = 8

                          Después del décimo salto, el mono estará en el paso = 8 + (& minus2) = 6

                          Después del undécimo salto, el mono estará en el paso = 6 + 3 = 9

                          Claramente, el mono estará al nivel del agua (es decir, el noveno paso) después de 11 saltos.

                          (ii) Inicialmente, el mono estaba en el paso = 9

                          Después del 1er salto, el mono estará en el paso = 9 + (& minus4) = 5

                          Después del segundo salto, el mono estará en el paso = 5 + 2 = 7

                          Después del tercer salto, el mono estará en el paso = 7 + (y menos 4) = 3

                          Después del cuarto salto, el mono estará en el paso = 3 + 2 = 5

                          Después del quinto salto, el mono estará en el paso = 5 + (y menos 4) = 1

                          Claramente, el mono volverá al escalón superior después de 5 saltos.

                          (iii) Si los pasos movidos hacia abajo están representados por números enteros negativos y los pasos movidos hacia arriba están representados por números enteros positivos, entonces sus movimientos serán los siguientes.


                          Representar y comparar números (N)

                          Parte A (lecciones 1 a 7)
                          Los temas incluyen representar y comparar números racionales positivos (números enteros, fracciones y decimales), encontrar múltiplos y factores de números enteros positivos y determinar el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo factor común (MCD) de un par de números enteros positivos.

                          Parte B (Lecciones 8-12)
                          Los temas incluyen la representación de fracciones negativas y decimales negativos, la comparación de los valores de dos números racionales cualesquiera, la notación exponencial y el uso de árboles de factores y factorizaciones primas para encontrar el MCM o el MCD de un par de números enteros positivos.

                          Esta lección examina tres sistemas numéricos diferentes: números enteros, enteros y números racionales. Las conexiones entre diferentes sistemas numéricos se destacan para sentar las bases para las comparaciones y operaciones.

                          Los matemáticos a menudo usan la recta numérica para resolver problemas. En esta lección, repasaremos la recta numérica, enfocándonos en graficar fracciones.

                          En matemáticas, los símbolos son importantes para la comunicación. En esta lección, revisamos los símbolos "mayor que" y "menor que". Además, presentamos dos técnicas utilizadas para comparar fracciones.

                          Los números racionales se pueden escribir como fracciones o decimales. En esta lección, discutimos las conexiones entre las representaciones fraccionarias y las representaciones decimales, específicamente, cuando se trata de graficar números en la recta numérica.

                          En esta lección, revisamos cómo generar una lista de múltiplos de un número entero. Usando nuestras listas, identificamos múltiplos comunes de dos números enteros, prestando especial atención al mínimo común múltiplo (MCM).

                          Los factores, como los múltiplos, tienen que ver con la multiplicación. En esta lección, resolvemos problemas identificando factores de números enteros positivos.

                          Ampliando la lección de factores, comparamos los factores de dos números enteros positivos para encontrar factores comunes específicamente, a menudo estamos interesados ​​en identificar el máximo factor común (MCD). Concluimos resolviendo problemas verbales que requieren que apliquemos factores a diferentes contextos.

                          Las cantidades fraccionarias pueden ser positivas o negativas. Al igual que los números enteros negativos, las fracciones negativas se encuentran a la izquierda del cero en la recta numérica. En esta lección, trazamos fracciones negativas en la recta numérica para ayudarnos a comprender y comparar los valores de estos números.

                          Los números racionales se pueden escribir como fracciones o decimales. En esta lección, comparamos números decimales negativos trazándolos en la recta numérica. Luego comparamos fracciones negativas con decimales negativos. Se determinan los equivalentes decimales de las fracciones comunes y se muestran las estrategias para convertir una fracción en decimal. Finalmente, aprendemos a comparar dos números racionales cualesquiera.

                          En esta lección, aprendemos a representar multiplicaciones repetidas usando notación exponencial. Luego, la notación exponencial se usa para representar números enteros en forma expandida usando potencias de diez. Se investigan los números cuadrados y los números cúbicos.

                          En esta lección, repasaremos los números primos y compuestos. Aprendemos cómo representar un número compuesto como un producto de sus factores primos usando un árbol de factores.

                          Las factorizaciones primas se pueden utilizar para determinar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de un par de números enteros positivos. Exploramos cómo se puede hacer esto y usamos estas estrategias para resolver problemas de palabras.

                          Operaciones (N)

                          Parte A (lecciones 1 a 11)
                          Los temas incluyen sumar y restar números racionales, multiplicar y dividir un número entero por un número racional positivo y evaluar expresiones usando el orden de operaciones.

                          Parte B (Lecciones 12-19)
                          Los temas incluyen multiplicar y dividir números enteros, fracciones y decimales, aproximar raíces cuadradas de números enteros positivos y evaluar expresiones que incluyen exponentes usando el orden de operaciones.

                          Comenzamos nuestra discusión sobre la suma estudiando cómo se pueden usar las rectas numéricas para mostrar la suma. En esta lección, nos enfocamos en la suma de números enteros, específicamente en cómo se pueden sumar números positivos y negativos usando una recta numérica.

                          Podemos sumar enteros sin usar una calculadora o una recta numérica. En esta lección, ampliamos nuestra discusión anterior sobre la suma de enteros y examinamos las estrategias para realizar la suma de enteros mentalmente.

                          Esta lección explora las fracciones equivalentes en preparación para cuando debamos sumar y restar fracciones. En el proceso de encontrar fracciones equivalentes, se le dará la oportunidad de practicar cómo encontrar múltiplos comunes, usar fracciones impropias y números mixtos, trazar en la recta numérica y comparar números racionales.

                          En esta lección, nos basamos en nuestra comprensión de la suma para incluir números racionales. Para hacer esto, revisamos la recta numérica e incorporamos nuestras estrategias para graficar números racionales para que podamos encontrar su suma.

                          Esta lección presenta estrategias para la suma de fracciones sin el uso de una recta numérica. Usamos líneas numéricas como motivación para encontrar un denominador común, luego pasamos a sumar fracciones sin el uso de ayudas visuales.

                          Comenzamos nuestra discusión sobre la resta centrándonos en los números enteros. En esta lección, repasamos la operación de resta, mostramos la resta en la recta numérica y aprendemos a restar números enteros con y sin recta numérica.

                          Continuando con nuestra discusión sobre la resta, en esta lección exploramos estrategias para restar fracciones. Nuestro objetivo es usar fracciones equivalentes para resolver problemas de resta sin el uso de una calculadora o la recta numérica.

                          Esta lección explora estrategias para multiplicar números enteros por fracciones y decimales. Resolvemos ejemplos y resaltamos reglas para realizar cálculos sin usar una calculadora.

                          La multiplicación es la operación que se utiliza para escalar o cambiar el tamaño de una cantidad. En esta lección, exploramos los factores de escala y discutimos por qué debemos comenzar a pensar en la multiplicación en términos de escala.

                          En esta lección, aprendemos a resolver cálculos que involucran la división de números enteros por fracciones y decimales. A través de ejemplos, destacamos las reglas para realizar estos cálculos sin una calculadora.

                          El orden de las operaciones se revisa y se utiliza para realizar cálculos con números enteros, fracciones y decimales. Además, exploramos la importancia de los corchetes cuando se necesitan y cuando se pueden quitar de una expresión. Concluimos usando la propiedad distributiva para simplificar los cálculos.

                          En esta lección, aprendemos a multiplicar números enteros mentalmente. Específicamente, observamos cómo el signo de cada número entero en un producto impacta el signo del producto.

                          La división es la operación opuesta a la multiplicación, por lo que las estrategias que aprendamos para dividir números enteros serán similares a las que usamos al multiplicar números enteros. En esta lección, examinamos cómo los signos del dividendo y el divisor impactan el signo del cociente.

                          Comenzamos esta lección repasando cómo multiplicar una fracción por un número entero. Luego ampliamos nuestra comprensión para incluir la multiplicación de dos fracciones cualesquiera. Además, se presta cierta atención a la estimación de los valores de los productos.

                          En esta lección, repasaremos cómo dividir un número entero por una fracción. Luego exploramos cómo adaptar esta estrategia para dividir una fracción por otra fracción, sin el uso de una calculadora.

                          Comenzamos esta lección examinando la multiplicación de números decimales por potencias de diez, incluida una discusión sobre la notación científica. Luego aprendemos a multiplicar dos números decimales, primero convirtiendo los números en fracciones y segundo, trabajando con los números decimales.

                          En esta lección, desarrollamos estrategias para evaluar expresiones de división que involucran números enteros y decimales. También ampliamos estas estrategias para analizar la división con dos números decimales.

                          Esta lección se enfoca en la relación entre elevar un número al cuadrado y sacar la raíz cuadrada de un número. Discutimos los cuadrados perfectos y examinamos cómo aproximar la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto.

                          En esta lección, revisaremos el orden de las operaciones aritméticas. Resolvemos problemas de números enteros, fracciones y decimales, prestando especial atención a los exponentes.

                          Razones, tasas y proporciones (N)

                          Parte A (lecciones 1 a 5)
                          Los temas incluyen escribir e interpretar razones, encontrar razones equivalentes, convertir fracciones, decimales y porcentajes, convertir entre unidades de medida y resolver problemas que involucran tasas unitarias.

                          Parte B (lecciones 6 a 10)
                          Los temas incluyen el reconocimiento de situaciones proporcionales en problemas verbales, tablas y gráficos que conectan unidades relacionadas con relaciones proporcionales y sus representaciones en tablas, gráficos y ecuaciones y porcentajes fraccionarios y porcentajes superiores al 100 por ciento.

                          Esta lección analiza el significado de una razón y explica cómo escribir e interpretar razones. Concluimos resolviendo problemas que requieren aplicar una razón a grandes cantidades.

                          Comenzamos nuestra discusión sobre razones equivalentes usando diagramas y explorando cómo dos razones pueden representar la misma relación entre dos cantidades. Luego, desarrollamos estrategias para encontrar proporciones equivalentes numéricamente. Esta lección concluye con la resolución de problemas de razón.

                          En esta lección, definimos un porcentaje y exploramos las relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Concluimos resolviendo algunos problemas de palabras que involucran porcentajes.

                          Esta lección explora estrategias para convertir entre diferentes unidades métricas de longitud, masa y capacidad. Luego aplicamos estas estrategias para convertir entre unidades de tiempo y unidades de área.

                          En esta lección, aprendemos sobre tasas que son comparaciones de dos medidas con diferentes unidades. Nos enfocamos en cómo escribir tasas unitarias y cómo se pueden usar las tasas unitarias para resolver problemas verbales. También se incluyen algunos ejemplos sobre cómo convertir una tasa en diferentes unidades.

                          En esta lección, exploramos la noción de proporcionalidad utilizando ejemplos como ampliación de imagen y mezcla de pintura. Exploramos las relaciones proporcionales entre dos cantidades y aprendemos a reconocer cuándo una situación es proporcional y cuándo no.

                          En esta lección, examinamos cómo reconocer una relación proporcional entre dos cantidades cuando los datos se muestran en una tabla o un gráfico.

                          La relación entre cantidades proporcionales a menudo se da en forma de tasa unitaria. En esta lección, exploramos cómo esta tasa unitaria se manifiesta en una ecuación, una tabla o un gráfico que representa la relación entre las dos cantidades.

                          En esta lección, analizamos los porcentajes fraccionarios y los porcentajes superiores al 100 por ciento. Se presta cierta atención a dónde aparecen los porcentajes en la vida cotidiana y cómo la estimación puede ser útil cuando se trabaja con porcentajes.

                          Las situaciones proporcionales se pueden presentar de muchas formas, entre las que se incluyen: tasas unitarias, tablas, gráficos o ecuaciones. En esta lección, practicamos la comparación de relaciones proporcionales que se presentan de diferentes maneras.

                          Bisectrices y propiedades de formas (G)

                          Parte A (lecciones 1 a 6)
                          Los temas incluyen construcciones de bisectrices de ángulos y bisectrices perpendiculares, y las diversas propiedades de triángulos, cuadriláteros y polígonos más generales. En particular, los diferentes polígonos se clasifican en función de las longitudes de sus lados y las medidas de los ángulos.

                          Parte B (Lecciones 7 a 10)
                          Los temas incluyen diagonales de cuadriláteros, terminología y construcción de círculos, y aplicaciones de círculos en el mundo real.

                          Esta lección presenta la terminología y la notación de objetos geométricos básicos, con un enfoque en la comunicación escrita y oral.

                          Revisamos cómo clasificar triángulos según la longitud de los lados y las medidas de los ángulos. Luego investigamos la relación entre ángulos y lados en triángulos. Esta lección concluye con una aplicación de las propiedades de los triángulos para construir un ángulo de 60 grados usando una brújula.

                          Se puede usar una brújula y una regla para dividir un ángulo por la mitad perfectamente sin tener que tomar una medida. En esta lección, discutimos las propiedades de las bisectrices de los ángulos y cómo usar estas propiedades para construir una bisectriz de un ángulo dado usando solo un compás y una regla. Extendemos nuestra discusión a los triángulos y exploramos la relación de las tres bisectrices de los ángulos en cualquier triángulo.

                          Continuando con nuestra discusión sobre construcciones, miramos las propiedades de las bisectrices perpendiculares y cómo usar estas propiedades para construir una bisectriz perpendicular de un segmento de línea dado usando solo un compás y una regla. Extendemos nuestra discusión a los triángulos y exploramos la relación de las tres bisectrices perpendiculares en cualquier triángulo.

                          En esta lección, miramos las propiedades de seis cuadriláteros especiales. Examinamos las similitudes y diferencias entre cada uno y usamos un diagrama para representar todas las relaciones que discutimos.

                          Ampliando cuadriláteros, en esta lección discutimos las propiedades de los polígonos generales. En particular, investigamos la suma de los ángulos interiores de un polígono y cómo los polígonos están conectados a los prismas. Esta lección concluye con una extensión que explora cómo se pueden cortar los prismas para producir varias caras poligonales.

                          En esta lección, investigamos varias propiedades de las diagonales en cuadriláteros. En particular, consideramos cuándo las diagonales se bisecan entre sí, son perpendiculares entre sí o tienen la misma longitud. Luego usamos estas propiedades para ayudarnos a clasificar cuadriláteros.

                          Esta lección comienza con una discusión sobre cómo describir un círculo. Dado que los círculos son muy diferentes de los polígonos, introducimos una nueva terminología para usar al estudiar círculos. En particular, definimos el centro, radio, diámetro y circunferencia de un círculo. También exploramos cómo usar polígonos para ayudarnos a estimar la circunferencia y el área encerrada por un círculo.

                          En esta lección, discutimos estrategias para dibujar círculos precisos. Específicamente, nos fijamos en dibujar círculos cuando se les da un centro y un radio, un centro y un punto que debe estar en el círculo, y también se dan dos o más puntos que deben estar todos en el círculo. Discutimos dónde aparecen los círculos más grandes en el mundo real y qué herramientas y estrategias se pueden usar para crearlos.

                          En esta lección, tomamos la aplicación de círculos más allá de la rueda y discutimos el papel de los círculos en el diseño de rotondas, el uso de círculos en el diseño de estructuras y cómo los círculos de diferentes diámetros interactúan en máquinas que usan engranajes.

                          Área, volumen y ángulos (G)

                          Parte A (lecciones 1 a 5)
                          Los temas incluyen el cálculo del área de paralelogramos, triángulos, trapezoides y formas compuestas, el cálculo del área de superficie, el volumen y la capacidad de los prismas y la representación de objetos 3D de diferentes maneras.

                          Parte B (lecciones 6 a 10)
                          Los temas incluyen el cálculo de la circunferencia y el área de los círculos, el cálculo del volumen y el área de la superficie de los cilindros y las propiedades de los ángulos formados por líneas que se cruzan, incluidas las líneas paralelas y transversales.

                          Esta lección repasa la definición de área y cómo calcular el área de un rectángulo. Luego desarrollamos y aplicamos las fórmulas para encontrar las áreas de paralelogramos, triángulos y trapezoides.

                          Continuando con nuestra discusión sobre el área, exploramos cómo descomponer y calcular el área de formas compuestas.

                          En esta lección, aprendemos a visualizar la superficie de un sólido 3D usando una red. Luego calculamos el área de la superficie de los prismas y resolvemos problemas verbales que involucran el área de la superficie.

                          En esta lección, desarrollamos y aplicamos la fórmula para encontrar el volumen de un prisma. Relacionamos volumen y capacidad y exploramos cómo convertir entre unidades de volumen.

                          Terminamos nuestra discusión sobre prismas y sólidos compuestos aprendiendo a dibujarlos en papel punteado triangular. También aprendemos a reconocer y dibujar diferentes vistas 2D de un objeto 3D.

                          En esta lección, revisamos la circunferencia y el área de los círculos. Luego desarrollamos y aplicamos las fórmulas para calcular la circunferencia y el área de un círculo dado el radio (o diámetro) del círculo.

                          Comenzamos nuestra discusión sobre cilindros comparando cilindros con prismas. Desarrollamos y aplicamos la fórmula para encontrar el volumen de un cilindro y resolvemos problemas verbales que involucran el volumen o la capacidad de un cilindro.

                          Continuando con nuestra discusión sobre cilindros, en esta lección exploramos la red de un cilindro y usamos la red para desarrollar una fórmula para el área de superficie de un cilindro. Luego calculamos el área de la superficie de los cilindros y resolvemos problemas verbales que involucran el área de la superficie.

                          En esta lección, comenzamos nuestra discusión sobre las líneas que se cruzan explorando las propiedades de los ángulos formados por dos líneas que se cruzan. Definimos ángulos suplementarios, complementarios y opuestos, y usamos relaciones de ángulos para encontrar ángulos desconocidos en un diagrama.

                          Continuando con nuestra discusión sobre líneas que se cruzan, en esta lección exploramos los ángulos formados por líneas paralelas y transversales. Definimos ángulos correspondientes, alternos y co-interiores, y usamos relaciones de ángulos para resolver ángulos desconocidos en un diagrama.

                          Transformaciones de formas (G)

                          Parte A (lecciones 1 a 7)
                          Los temas incluyen la congruencia de polígonos, reglas de congruencia de triángulos, trazar puntos en el plano cartesiano, la imagen de un polígono en el plano cartesiano bajo traslaciones, reflejos y / o rotaciones en el plano cartesiano y teselaciones.

                          Parte B (Lecciones 8-11)
                          Los temas incluyen similitud de polígonos, reglas de similitud de triángulos, dilataciones de polígonos y medidas indirectas.

                          En esta lección, revisamos la definición de congruencia y unimos los lados y ángulos de dos polígonos congruentes. También echamos un vistazo al perímetro y el área de polígonos congruentes.

                          Continuando con nuestra discusión sobre la congruencia, en esta lección exploramos las reglas de congruencia para triángulos. Nuestro objetivo es mostrar que dos triángulos son congruentes al unir solo tres partes correspondientes.

                          Esta lección presenta el plano cartesiano. Examinamos cómo construir el sistema de coordenadas cartesianas, cómo trazar puntos en el plano cartesiano, así como examinar las distancias verticales / horizontales entre dos puntos en el plano cartesiano.

                          En esta lección, comenzamos nuestra discusión sobre transformaciones explorando las traducciones de polígonos. Aprendemos a dibujar la imagen de un polígono bajo una traducción y relacionamos la definición de congruencia con las traducciones.

                          Continuando con nuestra discusión sobre las transformaciones, ahora exploramos los reflejos de los polígonos. En esta lección, aprendemos cómo graficar la imagen de un polígono bajo una reflexión en el plano cartesiano y explicamos cómo la imagen es congruente con el polígono original.

                          En esta lección, aprendemos cómo graficar la imagen de un polígono bajo una rotación. También combinamos las tres transformaciones y graficamos la imagen de un polígono bajo una traslación, reflexión y rotación en el plano cartesiano.

                          Esta lección explora el arte de los teselados. Definimos una teselación y exploramos qué polígonos pueden teselar el plano. Luego, usando polígonos que sabemos que forman el plano en teselas, exploramos cómo crear diseños interesantes que se teselan.

                          En geometría, la palabra "similar" se usa para indicar cuando dos objetos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. En esta lección, aprendemos la definición precisa de polígonos similares, exploramos el factor de escala entre dos polígonos similares y aprendemos a usar el factor de escala para resolver problemas.

                          Cada triángulo tiene tres ángulos y tres lados, pero resulta que no necesitamos saber las medidas de cada uno para determinar la forma del triángulo. En esta lección, exploramos las condiciones mínimas necesarias para verificar que dos triángulos son similares. Aprendemos las reglas de similitud ángulo-ángulo, lado-lado-lado y lado-ángulo-lado y practicamos la construcción de triángulos similares.

                          En esta lección, exploramos cómo dibujar polígonos similares sin medir ningún ángulo. Esto se puede hacer realizando un tipo particular de transformación: una dilatación.

                          Las mediciones indirectas nos permiten encontrar longitudes desconocidas sin medir segmentos de línea. En esta lección, exploramos cómo usar las reglas de similitud de triángulos para realizar mediciones indirectas en diferentes escenarios.

                          Representar patrones (A)

                          Parte A (lecciones 1 a 6)
                          Los temas incluyen representar secuencias usando tablas, términos generales y gráficos, describir patrones usando variables y expresiones, extender secuencias y resolver problemas que involucran cantidades desconocidas.

                          Parte B (Lecciones 7 a 11)
                          Los temas incluyen expresiones equivalentes para el término general de una secuencia, que describen relaciones y patrones usando ecuaciones y secuencias decrecientes y que ocurren naturalmente.

                          Comenzamos nuestra discusión sobre patrones examinando secuencias de imágenes y números. En esta lección, nos enfocamos en establecer la regla del patrón que describe cómo generar el siguiente término en una secuencia.

                          Esta lección explora la relación entre el término número y el término valor, es decir, la relación entre un término en una secuencia y su posición en esa secuencia. Luego usamos el término general para encontrar el valor de un término en una secuencia dado su número de término.

                          Continuamos encontrando el término general de sucesiones, con énfasis en cómo usar una variable para representar una cantidad desconocida. Esta lección concluye con una discusión sobre sustitución, donde evaluamos expresiones sustituyendo un número por una variable en el término general.

                          En esta lección, encontramos secuencias que tienen un tipo de relación diferente al que hemos visto anteriormente. Continuará practicando la búsqueda del término general de una secuencia y concluirá la lección con algunos problemas de aplicación.

                          En esta lección, exploramos cómo representar gráficamente una secuencia. Con una secuencia representada en un gráfico, luego usamos el gráfico para determinar el número de término que corresponde a un término dado en la secuencia. Finalmente, practicarás cómo encontrar el término general de una secuencia dada su gráfica.

                          En esta lección, conectamos las diferentes secuencias que hemos estudiado hasta ahora. Seguimos usando tablas, gráficos y términos generales para estudiar los patrones que representan las secuencias.

                          En esta lección, repasamos cómo representar una secuencia usando una tabla, un término general o un gráfico. Se hace hincapié en determinar cuál de estas tres representaciones es la más apropiada en una situación particular de resolución de problemas.

                          En esta lección, analizamos diferentes patrones que generan la misma secuencia de números. Generamos varias expresiones para representar las diferentes interpretaciones de un patrón y aprendemos a determinar si dos expresiones son equivalentes.

                          En esta lección, aprendemos la diferencia entre una expresión y una ecuación, y exploramos cómo se puede usar cada una al describir patrones. En particular, usamos expresiones para el término general de una secuencia para formar ecuaciones para representar relaciones en secuencias.

                          En esta lección, definimos y exploramos secuencias decrecientes. Tiene el desafío de considerar cómo se pueden usar las estrategias para encontrar los términos generales de secuencias crecientes para escribir una ecuación que represente una secuencia decreciente. También examinamos cómo algunas secuencias de números que surgen de situaciones físicas no pueden continuar para siempre debido a los límites del mundo real.

                          En esta lección, miramos más allá de las secuencias típicas discutidas en esta unidad y exploramos secuencias más naturales. Los ejemplos se centran en acertijos populares y escenarios de crecimiento y depreciación de la vida real. Concluimos discutiendo, a través de un ejemplo, cómo los patrones aparentes a veces pueden ser engañosos.

                          Ecuaciones y teorema de Pitágoras (A)

                          Parte A (lecciones 1 a 5)
                          Los temas incluyen el uso de variables en expresiones y ecuaciones, la identificación y exploración de relaciones lineales y la resolución de ecuaciones mediante inspección, ensayo y error y el uso de modelos visuales.

                          Parte B (lecciones 6 a 10)
                          Los temas incluyen resolver ecuaciones usando técnicas algebraicas, comparar las diferencias entre evaluar una expresión y resolver una ecuación, explorar ecuaciones con múltiples variables y el Teorema de Pitágoras.

                          En esta lección, revisamos variables y expresiones. Discutimos la notación común para operaciones en álgebra y practicamos la traducción de frases en inglés a expresiones matemáticas.

                          En esta lección, exploramos las relaciones lineales entre dos cantidades. Aprendemos a identificar una relación lineal representada en un gráfico, en una tabla de valores o en una ecuación.

                          En esta lección, usamos expresiones y ecuaciones para modelar y resolver problemas del mundo real.

                          En esta lección, usamos gráficos y un modelo visual de pesos en una escala para ayudar a resolver ecuaciones. También practicamos la resolución de ecuaciones simples mediante inspección.

                          En esta lección, practicamos la resolución de ecuaciones por ensayo y error. Estos métodos se aplican para resolver problemas verbales y para resolver ecuaciones que tienen soluciones fraccionarias.

                          En esta lección, visualizamos ecuaciones usando pesos y una balanza balanceada. Resolvemos ecuaciones con una operación usando técnicas algebraicas y aprendemos a verificar la solución de una ecuación.

                          Continuamos resolviendo ecuaciones usando álgebra ampliando nuestras estrategias para resolver ecuaciones con más de una operación.

                          Esta lección explora el movimiento hacia adelante y hacia atrás a través de una máquina matemática y establece conexiones con las diferencias entre evaluar una expresión y resolver una ecuación.

                          En esta lección, encontramos soluciones a ecuaciones con dos o más cantidades desconocidas usando ensayo y error y álgebra.

                          En esta lección, investigamos la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Desarrollaremos el Teorema de Pitágoras y lo usaremos para resolver la longitud del lado faltante de un triángulo rectángulo.

                          Recopilación de datos y gráficos (D)

                          Parte A (lecciones 1 a 5)
                          Los temas incluyen diferentes tipos de población de datos, sesgo de muestreo y censo en la recopilación de datos que surgen de la redacción de las preguntas, respuestas aceptadas y elección de la frecuencia del grupo de muestra y tablas y gráficos de frecuencia relativa lectura y creación de gráficos circulares elegir un tipo de gráfico apropiado para un sesgo de conjunto de datos en Representación de datos que surgen del tipo de gráfico elegido, la estructura y forma del gráfico y las etiquetas y escalas de los ejes

                          Parte B (lecciones 6 a 9)
                          Los temas incluyen la organización de datos continuos en diagramas de tallo y hojas y tablas de frecuencia con intervalos, así como la creación y lectura de histogramas y diagramas de dispersión.

                          En esta lección, discutimos diferentes tipos de datos, incluidos datos primarios, secundarios, categóricos y numéricos.Analizamos los términos población, muestra y censo y aprendemos la diferencia entre datos numéricos discretos y continuos.

                          En esta lección, exploramos cómo los datos pueden verse influenciados por la redacción de las preguntas de la encuesta, los tipos de respuestas aceptadas en una encuesta y el grupo de muestra que se utiliza en la encuesta para representar a la población.

                          En esta lección, aprendemos cómo organizar datos en tablas de frecuencia, calcular frecuencias relativas y crear y comparar gráficos de frecuencia y frecuencia relativa.

                          En esta lección, nos enfocamos en leer y crear gráficos circulares (o gráficos circulares). También discutimos los tipos de gráficos apropiados (círculo, barra o línea) que se pueden usar para mostrar varios conjuntos de datos.

                          En esta lección, exploramos cómo las decisiones tomadas al crear un gráfico pueden llevar a una tergiversación de los datos subyacentes. En particular, discutimos cómo el tipo de gráfico, la estructura y la forma del gráfico, o las etiquetas de los ejes y las escalas del gráfico pueden potencialmente engañar al espectador.

                          En esta lección, nos enfocamos en trabajar con conjuntos de datos continuos. Exploramos diferentes formas en las que los datos continuos pueden organizarse y representarse gráficamente, y también discutimos cómo mostrar conjuntos de datos emparejados.

                          En esta lección, estudiamos diferentes formas de organizar conjuntos de datos numéricos en intervalos. Comenzamos organizando los datos usando diagramas de tallo y hojas y luego exploramos cómo se pueden usar las tablas de frecuencia si dividimos los datos en intervalos. Discutimos las ventajas y desventajas de estas herramientas de organización y practicamos la elección de intervalos apropiados para conjuntos de datos dados.

                          Los gráficos de barras estándar no siempre son una forma adecuada de mostrar un conjunto de datos numéricos dado. Un histograma es un tipo similar de gráfico en el que los datos numéricos se agrupan primero en rangos y luego la frecuencia de cada rango se traza usando una barra. En esta lección, discutimos las características de un histograma y practicamos la creación de histogramas a partir de conjuntos de datos numéricos. Discutimos qué información se puede ganar o perder al presentar datos en un histograma y exploramos los efectos de la elección del intervalo en la forma del gráfico.

                          Un diagrama de dispersión es un gráfico que consta de puntos que se forman utilizando los valores de dos cantidades variables. Los gráficos de dispersión se utilizan para mostrar una relación entre las dos variables en cuestión. En esta lección, discutimos las características de un diagrama de dispersión y practicamos la creación de diagramas de dispersión a partir de conjuntos de datos emparejados. Discutimos los roles que juegan las dos variables en un diagrama de dispersión y exploramos qué información podría revelarse cuando consideramos la forma formada por los puntos de datos como un todo.

                          Análisis de datos (D)

                          Parte A (lecciones 1 a 4)
                          Los temas incluyen determinar la media, mediana y moda de conjuntos de datos, estudiar los efectos de agregar datos a un conjunto de datos o eliminar datos de un conjunto de datos, explorar el efecto de valores atípicos en la media, mediana y moda y practicar la extracción de conclusiones y la realización de predicciones. a partir de datos en gráficos.

                          Parte B (lecciones 5 a 8)
                          Los temas incluyen la interpretación de datos, histogramas y diagramas de dispersión y sacar conclusiones de estos gráficos que describen las relaciones entre las dos variables en un diagrama de dispersión estimar las tasas de cambio asociadas con los diagramas de dispersión hacer predicciones respaldadas por los datos en histogramas y diagramas de dispersión y usar medidas apropiadas de tendencia central a comparar dos conjuntos de datos.

                          Puede resultar útil utilizar un solo valor para resumir la información en un gran conjunto de datos. Las medidas de tendencia central, como la media, la mediana y la moda, intentan resumir los datos midiendo el medio (o centro) de un conjunto de datos. En esta lección, aprenderemos cómo determinar la media, la mediana y la moda de diferentes conjuntos de datos y discutiremos cómo se pueden usar para analizar datos.

                          En esta lección, analizamos los efectos de agregar datos a (o eliminar datos de) un conjunto de datos. Nos enfocamos en cómo esto podría afectar la media, la mediana y la moda de diferentes maneras.

                          Algunos conjuntos de datos contienen valores atípicos, que son datos que están separados del resto de los valores del conjunto de datos. En esta lección, discutimos el efecto de los valores atípicos sobre la media, la mediana y la moda de los conjuntos de datos, y exploramos diferentes contextos en los que una medida en particular podría ser la más apropiada para resumir los datos dados.

                          En esta lección, practicamos la interpretación de los datos subyacentes que se muestran en diferentes gráficos. Analizamos la diferencia entre los enunciados que pueden verificarse usando la información en un gráfico y las predicciones que están respaldadas por las tendencias en el gráfico pero que no pueden verificarse usando solo el gráfico.

                          En esta lección, practicamos la identificación e interpretación de la información proporcionada en un histograma y la extracción de conclusiones respaldadas por el histograma. También exploramos cómo el tamaño del intervalo de un histograma puede afectar las conclusiones extraídas por alguien que está analizando los datos en un histograma.

                          En esta lección, practicamos la identificación e interpretación de la información proporcionada en un diagrama de dispersión y la extracción de conclusiones respaldadas por el diagrama de dispersión. Exploramos cómo identificar y describir una relación general que podría existir entre las dos variables en un diagrama de dispersión.

                          Los gráficos de dispersión se utilizan a menudo para identificar y estudiar una relación entre dos variables. Cuando los puntos de datos en un diagrama de dispersión parecen seguir aproximadamente el camino de una línea, podemos usar nuestro conocimiento de patrones lineales para estudiar los datos y hacer predicciones. En esta lección, exploramos el dibujo de líneas que se aproximan a la tendencia observada en un diagrama de dispersión y la estimación de las tasas de cambio asociadas a los diagramas de dispersión. Comparamos las tasas de cambio de diferentes diagramas de dispersión y las usamos para hacer predicciones.

                          En esta lección, practicamos el uso de medidas de tendencia central para comparar dos conjuntos de datos, sacar conclusiones y discutir los factores que pueden influir en qué medida de tendencia central es la más apropiada para una comparación en particular. También exploramos cómo comparar los datos presentados en histogramas.

                          Probabilidad (D)

                          Parte A (lecciones 1 a 4)
                          Los temas incluyen experimentos aleatorios, resultados y eventos que calculan probabilidades teóricas de eventos individuales que comparan probabilidades de diferentes eventos, eventos independientes, probabilidad experimental y uso de probabilidades para hacer predicciones.

                          Parte B (Lecciones 5 y ndash8)
                          Los temas incluyen comparar probabilidades teóricas y probabilidades experimentales, explorar cómo el número de ensayos impacta las estimaciones de probabilidad de eventos complementarios, configurar y ejecutar simulaciones usando modelos de probabilidad y revisar eventos independientes.

                          Un experimento aleatorio es un experimento en el que se conoce el conjunto de posibles resultados, pero el resultado real no se puede predecir con certeza. La teoría de la probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios que incluyen diferentes formas de medir la probabilidad de que ocurra un resultado o evento en particular. En esta lección, revisamos la noción de probabilidad y practicamos el cálculo de probabilidades teóricas de diferentes eventos en varios experimentos.

                          A menudo, los experimentos aleatorios incluyen más de un objeto, por ejemplo, un experimento puede incluir lanzar una moneda y lanzar un dado estándar. En esta lección, exploramos cómo calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes, por ejemplo, la probabilidad de que se lance una cara y se lance un número par. Definimos e identificamos eventos independientes y usamos tablas y diagramas de árbol para enumerar sistemáticamente todos los resultados de un experimento con el fin de calcular las probabilidades de varios eventos.

                          La probabilidad teórica es una razón que describe lo que esperamos que suceda en un experimento y la probabilidad experimental es una razón que describe lo que realmente sucedió durante las pruebas de un experimento. En esta lección, calculamos las probabilidades experimentales de diferentes eventos y exploramos cómo se comparan con las probabilidades teóricas conocidas. También exploramos situaciones en las que la experimentación es nuestra única opción para estudiar probabilidades.

                          Si puede determinar las posibilidades de que ocurra un evento en particular en un experimento, entonces puede usar esta información para hacer predicciones relacionadas con este experimento. En esta lección, usamos probabilidades teóricas y experimentales para hacer predicciones. Discutimos cuán confiables o poco confiables podrían ser nuestras predicciones y exploramos cómo podríamos diseñar experimentos de una manera que haga que nuestras predicciones sean lo más confiables posible.

                          En esta lección, comparamos las probabilidades teóricas con las estimaciones de probabilidad encontradas mediante la experimentación y exploramos cómo el número de ensayos realizados en un experimento podría afectar las estimaciones de probabilidad.

                          En esta lección, definimos y exploramos la noción de eventos complementarios. Aprendemos cómo identificar eventos complementarios puede ser útil al calcular probabilidades.

                          Para muchas situaciones del mundo real que involucran probabilidades, puede ser difícil recopilar datos directamente mediante la ejecución de experimentos reales. En estas situaciones, los matemáticos suelen ejecutar simulaciones que se asemejan a la situación real en términos de probabilidades. En esta lección, aprenderemos cómo elegir modelos apropiados para simulaciones y practicaremos la ejecución de simulaciones para obtener estimaciones de probabilidad.

                          En esta lección, revisamos cómo determinar las probabilidades de eventos independientes usando listas, tablas y diagramas de árbol para mostrar todos los resultados posibles. También exploramos cómo contar el número de resultados posibles y resultados favorables sin escribirlos explícitamente. Estas habilidades pueden ser útiles para experimentos con demasiados resultados para enumerarlos de manera eficiente.


                          Prueba de práctica de matemáticas

                          Utilice la prueba preliminar de 15 ítems para evaluar sus conocimientos en matemáticas. Registre la puntuación de la prueba preliminar y luego estudie los tutoriales que se proporcionan en este sitio. Cuando sienta que está listo para tomar su Evaluación TSI, debe programar su examen en el Centro de Pruebas.

                          Los resultados de esta prueba preliminar pueden darle una idea general de los resultados reales de su ubicación. Esta prueba es solo para práctica y los resultados no se utilizan para la ubicación real.

                          Seleccione una respuesta para cada elemento. Si no sabe la respuesta, debe hacer una suposición fundamentada. Al final de la prueba, se le darán sus resultados.

                          Pregunta 1

                          El perímetro de un cuadrado es de 20 pies. Si aumenta la longitud del cuadrado en 2 pies y reduce el ancho en 1 pie, ¿cuál es el área, en pies cuadrados, de la nueva figura?

                          Pregunta 2

                          Pregunta 3

                          Pregunta 4

                          ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene 2 y -4 como soluciones?

                          Pregunta 5

                          Pregunta 6

                          En el plano xy, ¿cuál es la intersección con el eje y de la gráfica de la ecuación?

                          Pregunta 7

                          Las variables X y y son inversamente proporcionales, y y = 2 cuando X = 3. ¿Cuál es el valor de y Cuándo X = 9?

                          Pregunta 8

                          Un agricultor tiene 1235 árboles para plantar en una parcela de tierra rectangular. Si hay 24 árboles plantados en cada fila y cada fila debe estar completa antes de plantarla, ¿cuántos árboles quedarán después de plantar?

                          Pregunta 9

                          Un grupo de 100 personas, algunos estudiantes y algunos profesores, asistieron a la inauguración de un museo. Cada estudiante pagó $ 10 por persona por la entrada al museo y cada uno de los profesores pagó $ 25 por persona por la entrada. Si el total pagado, para las 100 personas, fue de $ 1300, ¿cuántos estudiantes asistieron a la inauguración del museo?

                          Pregunta 10

                          La razón entre la edad de Sam y la edad de Hank es de 5 a 3. Si la suma de sus edades es 24, ¿cuántos años tiene Hank?

                          Pregunta 11

                          Factoriza el polinomio. Busque factores de 36 que sumen -13.

                          Los factores de 36 que se suman a -13 son -4 y -9.

                          x 4 - 13x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Ambos factores son diferencias de cuadrados y pueden factorizarse adicionalmente.

                          x 4 - 13x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Pregunta 12

                          Se lanza un dado de seis lados, con los lados numerados 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un número menor que tres?

                          Pregunta 13

                          Una pelota de béisbol se lanza al aire desde un balcón del primer piso. La distancia de la pelota sobre el suelo en cualquier momento viene dada por la función,, donde h ( t ) es la altura de la pelota de béisbol sobre el suelo (en pies) y t es el tiempo (en segundos). ¿Cuál fue la altura máxima, en pies, de la pelota de béisbol sobre el suelo después de que fue lanzada?

                          Pregunta 14

                          La siguiente tabla muestra el costo de comprar una grapadora estándar en cinco tiendas de suministros de oficina, de la A a la E. Si el costo medio de comprar una grapadora estándar para estas tiendas fue de $ 17,99, ¿cuál de los siguientes NO podría haber sido el costo de la grapadora para Tienda A?

                          Pregunta 15

                          En el plano de coordenadas xy que se muestra a continuación, apunte PAG tiene coordenadas (8, -6). ¿Cuál de las siguientes es una ecuación de la línea que contiene puntos? O y PAG ?

                          IMPORTANTE:

                          Después de verificar sus respuestas, use la escala a continuación para ver dónde podría ubicarse cuando tome la Evaluación TSI para Matemáticas. Esta no es su puntuación real de colocación en la evaluación TSI. Para obtenerlo, debe completar la Evaluación TSI en su centro de pruebas ACC más cercano.

                          Si respondió correctamente la siguiente cantidad de preguntas, su nivel de ubicación puede ser:

                          • 0-4: Cursos de educación básica para adultos
                          • 5-12: Cursos de desarrollo
                          • 13-15: Nivel universitario

                          Si cree que necesita más preparación antes de tomar la Evaluación TSI real, debe ir a la sección Revisión de matemáticas del sitio web para obtener más información y práctica.

                          Si no es así, regrese a la sección Pruebas de práctica de TSI para completar sus otras pruebas de práctica requeridas (si es necesario) y complete su Formulario de verificación de actividad de preevaluación de TSI (PAA). Necesitará este formulario completo o la confirmación por correo electrónico para inscribirse en la Evaluación TSI.