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12.2: Visualización del espacio de fase - Matemáticas


Si el espacio de fase de un modelo CA no es demasiado grande, puede visualizarlo usando la técnica que discutimos en la Sección 5.4. Estas visualizaciones son útiles para comprender la dinámica general del sistema, especialmente al medir el número de cuencas de atracción separadas, sus tamaños y las propiedades de los atractores. Por ejemplo, si ve solo una gran cuenca de atracción, el sistema no depende de las condiciones iniciales y siempre caerá en el mismo atractor. O si ve múltiples cuencas de atracción de tamaño similar, el comportamiento del sistema es sensible a las condiciones iniciales. Los atractores pueden estar hechos de un solo estado o de múltiples estados que forman un ciclo, lo que determina si el sistema eventualmente se vuelve estático o permanece dinámico (cíclico) indefinidamente.

Trabajemos en un ejemplo. Considere un modelo CA binario unidimensional con radio de vecindad (r = 2 ). Suponemos que el espacio está formado por nueve celdas con condiciones de contorno periódicas (es decir, el espacio es un anillo formado por nueve celdas). En esta configuración, el tamaño de su espacio de fase es solo (2 ^ {9} = 512 ), por lo que aún es fácil de visualizar.

Para enumerar todas las configuraciones posibles, es conveniente de fi nir funciones que mapeen una configuración específica de la CA a un número de ID de configuración único, y viceversa. Aquí hay ejemplos de tales funciones:


AquíLyIson el tamaño del espacio y la posición espacial de una celda, respectivamente. Estas funciones usan una notación binaria típica de un número entero como una forma de crear un mapeo entre una configuración y su número de identificación único (de (0 ) a (2 ^ {L} −1 ); 511 en nuestro ejemplo), ordenar los bits en el orden de su significado de izquierda a derecha. Por ejemplo, la configuración [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1] se asigna a (2 ^ {7} + 2 ^ {5} + 2 ^ {4} + 2 ^ { 2} + 2 ^ {0} = 181 ). La funciónconfigrecibe un entero no negativo x y devuelve una lista formada por 0 y 1, es decir, una configuración de la CA que corresponde al número dado. Tenga en cuenta que "&" es un operador AND lógico, que se utiliza para comprobar si las xI-th bit es 1 o no. La funcióncf_numberrecibe una configuración de la CA,cf, y devuelve su número de identificación único (es decir,cf_numberes una función inversa deconfig).

A continuación, necesitamos definir una función de actualización para construir una trayectoria de un paso del modelo CA. Esto es similar a lo que solemos hacer en la implementación de modelos CA:

En este ejemplo, adoptamos la regla de la mayoría como la función de transición de estado de la CA, que está escrita en la penúltima línea. Específicamente, cada celda cambia a 1 si más de la mitad de sus vecinos locales (hay (2r + 1 ) tales vecinos incluyéndose a sí misma) tenían un estado 1, o de lo contrario cambia a 0. Puede revisar esa línea para implementar diferentes estados -reglas de transición también.

Ahora tenemos todas las piezas necesarias para la visualización del espacio de fase. Al conectar los códigos anteriores en el Código 5.5 y realizar algunas ediciones, obtenemos lo siguiente:

El resultado se muestra en la Fig. 12.2.1. De esta visualización, aprendemos que hay dos cuencas principales de atracción con otras 36 menores. El interior de esas dos principales cuencas de atracción está lleno y es bastante difícil de ver, pero si hace zoom en sus partes centrales utilizando la función de zoom interactivo de pylab (disponible desde el botón de lupa en la ventana de la trama), encontrará que su Los atractores son "0" (= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], todos cero) y "511" (= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1], todos uno). Esto significa que este sistema tiene una tendencia a converger a un estado de consenso, ya sea 0 o 1, dependiendo de la condición inicial. Además, puede ver que hay varios estados que no tienen predecesores. Los estados a los que no se puede llegar desde ningún otro estado se denominan "Jardín del Edén" estados en la terminología de CA.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Mida el número de estados en cada una de las cuencas de atracción que se muestran en la figura 12.2.1 y dibuje un gráfico circular para mostrar los tamaños relativos de esas cuencas. Busque las referencias en línea de matplotlib para descubrir cómo dibujar un gráfico circular. Luego discuta los hallazgos.

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Modifique el Código 12.3 para cambiar la función de transición de estado a la regla de "minoría", de modo que cada celda cambie su estado a un estado minoritario local. Visualice el espacio de fase de este modelo y discuta las diferencias entre este resultado y la figura 12.2.1.

La técnica que discutimos en esta sección todavía es ingenua y puede que no funcione para modelos de CA más complejos. Si desea realizar visualizaciones de espacio de fase más avanzadas de CA y otros sistemas dinámicos discretos, existe una herramienta de software gratuita llamada “Laboratorio de dinámica discreta” desarrollada por Andrew Wuensche [47], que está disponible en http: //www.ddlab. com /.


RF002 - Diplomado en Mediciones de RF y Microondas

¿Necesita ponerse al día rápidamente con las modernas mediciones de RF y microondas a frecuencias de hasta 40 GHz sin tener que buscar en un sinfín de contenido en línea, artículos de revistas y libros de texto académicos secos que, con demasiada frecuencia, oscurecen la esencia del tema con complejos ¿matemáticas?

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Creo que si miras esta animación y la piensas lo suficiente, lo entenderás:

  • Por qué los círculos y los triángulos y ángulos de ángulo recto están relacionados.
  • Por qué el seno es "opuesto a la hipotenusa" y así sucesivamente.
  • Por qué el coseno es simplemente seno pero compensado por $ frac < pi> <2> $ radianes.

Mi favorito: dile a alguien que $ sum_^ < infty> frac <1> <2 ^ n> = 1 $ y probablemente no te creerán. Sin embargo, enséñeles lo siguiente:

y de repente lo que había sido oscuro ahora es obvio.

Esta visualización de la Transformada de Fourier fue muy esclarecedora para mí:

El autor, LucasVB, tiene una galería completa de visualizaciones similares en su galería de Wikipedia y su blog de tumblr.

Aquí hay un clásico: la suma de los primeros $ n $ números impares positivos $ = n ^ 2 $.

También vemos que la suma de los primeros $ n $ números pares positivos $ = n (n + 1) $ (excluyendo $), agregando una columna a la izquierda.

La suma de los ángulos exteriores de alguna polígono convexo será siempre sume hasta $ 360 ^ circ $.

Esto se puede ver como un proceso de alejamiento, como lo ilustra la siguiente animación:

Un elemento visual bien conocido para explicar $ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 $:

Mientras asistía a un curso de álgebra abstracta, me asignaron la tarea de escribir la tabla de multiplicar módulo n. Olvidé hacer la tarea hasta poco antes de la clase, pero fue tan fácil escribir el programa que pude imprimir el resultado entre clases.

Los patrones circulares en las tablas me fascinaron y me obligaron a reemplazar los números con colores. El resultado es una hermosa ilustración que muestra la aparición de números primos y la simetría de la multiplicación.

Los colores se eligieron para comenzar en azul en 1 (frío) y desvanecerse a rojo en n (caliente). El blanco se usa para cero (congelado), porque comunica la mayor cantidad de información sobre la factorización prima.

Multiplicación de números enteros módulo 15:

Multiplicación de números enteros módulo 512:

Respuesta simple para "qué es un radianes":

Espiral y escala logarítmica:

Cuando entendí visualmente la serie de Fourier-

Aquí hay una demostración impermeable muy perspicaz del teorema de Pitágoras. También hay un video sobre esto.

Puede explicarse de la siguiente manera. Buscamos una definición de distancia desde cualquier punto en $ mathbb^ 2 $ a $ mathbb^ 2 $, una función de $ ( mathbb^ 2) ^ 2 $ a $ mathbb$ que satisfaga las siguientes propiedades.

  • Para cualquier punto $ (x, y) $ y $ (z, w) $, $ d ((x, y), (x + z, y + w)) = d ((0, 0), (z, w)) $
  • Para cualquier punto $ (x, y) $, $ d ((0, 0), (x, y)) $ no es negativo
  • Para cualquier número real no negativo $ x $, $ d ((0, 0), (x, 0)) = x $
  • Para cualquier punto $ (x, y) $, $ d ((0, 0), (x, -y)) = d ((0, 0), (x, y)) $
  • Para cualquier punto $ (x, y) $ y $ (z, w) $, $ d ((0, 0), (xz - yw, xw + yz)) = d ((0, 0), (x, y)) d ((0, 0), (z, w)) $

Suponga una función $ d $ de $ ( mathbb^ 2) ^ 2 $ a $ mathbb$ satisface esas condiciones, entonces para cualquier punto $ (x, y) $, $ d ((0, 0), (x, y)) ^ 2 = d ((0, 0), (x, y)) d ((0, 0), (x, y)) = d ((0, 0), (x, y)) d ((0, 0), (x, -y)) = d ((0, 0 ), (x ^ 2 + y ^ 2, 0)) = x ^ 2 + y ^ 2 $ entonces $ d ((0, 0), (x, y)) = sqrt$ entonces para cualquier punto $ (x, y) $ y $ (z, w) $, $ d ((x, y), (z, w)) = sqrt <(z - x) ^ 2 + (w - y) ^ 2> $ Ahora mostraré que $ d ((x, y), (z, w)) = sqrt <(z - x) ^ 2 + (w - y) ^ 2> $ realmente satisface esas propiedades. Es trivial demostrar que cumple las primeras 4 condiciones. También satisface la quinta condición porque para cualquier punto $ (x, y) $ y $ (z, w) $, $ d ((0, 0), (xz - yw, xw + yz)) = sqrt <( xz - yw) ^ 2 + (xw + yz) ^ 2> = sqrt = sqrt = sqrt <(x ^ 2 + y ^ 2) (z ^ 2 + w ^ 2)> = sqrt sqrt = d ((0, 0), (x, y)) d ((0, 0), (z, w)) $

Como resultado de esto, de ahora en adelante, definiré la distancia desde cualquier punto $ (x, y) $ a cualquier punto $ (z, w) $ como $ sqrt <(z - x) ^ 2 + (w - y) ^ 2> $ y denotarlo como $ d ((x, y), (z, w)) $. También usaré $ d (x, y) $ como abreviatura de $ d ((0, 0), (x, y)) $ Dado que la distancia satisface la condición 5, para cualquier triángulo en ángulo recto, no solo para aquellos cuyos catetos son paralelos a los ejes, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.

Esta imagen muestra que usando esa definición de distancia, para cualquier triángulo de ángulo recto cuyos catetos son paralelos a los ejes y tienen longitudes $ x in mathbb^ + $ y $ y en mathbb^ + $, el área de un cuadrado con la hipotenusa como uno de sus bordes es $ (x - y) ^ 2 + 2xy = x ^ 2 + y ^ 2 = (d (x, y)) ^ 2 $. Combinando ese resultado con el hecho de que la distancia satisface la condición 5, podemos demostrar que para cualquier triángulo rectángulo, incluso con catetos no paralelos a los ejes, el área de un cuadrado con su hipotenusa como borde tiene un área igual a la suma de los cuadrados de la longitud de sus patas.


Universiteit Hasselt - Conocimiento en acción

Prof. Dr. ir. Fred Vermolen

Universidad de Hasselt
Facultad de ciencias
Grupo de disciplina Matemáticas y estadística
Grupo de investigación Matemática computacional

Campus Diepenbeek
Agoralaan Gebouw D (Habitación nr .: D260)
BE 3590 Diepenbeek, Bélgica
Correo electrónico: [email protected]
Teléfono: + 32- (0) 11-268205

Tópicos de investigación

  • Modelado matemático del flujo de medios porosos
  • Biología matemática (lesiones por quemaduras, contracción de heridas, epitelización, formación de cicatrices)
  • Mecánica Computacional (mallas móviles, dominios móviles)
  • Procesos y modelos estocásticos
  • Análisis de sensibilidad de parámetros

Publicaciones (aceptadas / publicadas)

J. Chen, D. Weihs, F.J. Vermolen. Un modelo de autómatas celulares de viroterapia oncolítica en cáncer de páncreas. Boletín de Biología Matemática. 82 (8), 1-25 (2020)

M. Rahrah, F.J. Vermolen. Una estructura móvil de elementos finitos para una rápida infiltración en medios poroelásticos no lineales. Geociencias Computacionales. aceptado (2020), https://doi.org/10.1007/s10596-020-09959-0

M. Rahrah, L.A. Lopez-Peña, F.J. Vermolen, B.J. Meulenbroek. Relaciones de permeabilidad-porosidad inspiradas en redes versus Kozeny-Carman aplicadas al modelo de poroelasticidad de Biot. Revista de Matemáticas Industriales. 10, 19 (2020). https://doi.org/10.1186/s13362-020-00087-z

Q. Peng, F.J. Vermolen. Modelado basado en agentes y análisis de sensibilidad de parámetros con un método de elementos finitos para la contracción de la piel. Biomecánica y modelado en mecanobiología (2020), https://doi.org/10.1007/s10237-020-01354-z

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F.J. Vermolen, I. Pölönen. Cuantificación de la incertidumbre en un modelo de cadena de Markov para la progresión del cáncer de piel. Revista de Biología Matemática. 80 (3), 545--573 (2020)

J. Chen, D. Weihs, F.J. Vermolen. Modelado computacional de la terapia del cáncer de páncreas en sus primeras etapas. Biomecánica y Modelización en Mecanobiología. 19, 427--444 (2020)

F.J. Vermolen, P.P. van Zuijlen. ¿Pueden las matemáticas y el modelado computacional ayudar a tratar las lesiones de tejidos profundos? Avances en el cuidado de heridas. 8 (12), 703--714 (2019)

J. Hinz, J. van Zwieten, M. Möller, F.J. Vermolen. Análisis isogeométrico de las ecuaciones de reacción-difusión de Gray-Scott para la formación de patrones en superficies en evolución y aplicaciones a la giroficación humana. preimpresión arXiv. arXiv: 1910.12588 (2019)

L.A. López-Peña, B. Meulenbroek, F.J. Vermolen. Un modelo de red para el crecimiento de biopelículas en medios porosos y sus efectos sobre la permeabilidad y la porosidad. Computación y visualización en ciencia. 21 (1--6), 11--22 (2019)

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J. Chen, D. Weihs, F.J. Vermolen. Un modelo para la migración celular en redes de fibrina no isotrópicas con una aplicación a islotes de tumores pancreáticos. Biomecánica y Modelización en Mecanobiología. 17 (2), 367--386 (2018)

F.J. Vermolen, A. Segal. Sobre una regla de integración para productos de coordenadas baricéntricas sobre símplex en Rn. Revista de Matemática Computacional y Aplicada. 330, 289--294 (2018)

J. Chen, D. Weihs, F.J. Vermolen. Cuantificación de la incertidumbre de Monte Carlo en el modelado de la deformación celular durante la metástasis del cáncer. Actas de la conferencia CMMBE 2018 (2018)

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F.J. Vermolen, A. Gefen. Cicatrización de heridas: modelado multiescala. En: Modelado por computadora multiescala en biomecánica e ingeniería biomédica, Springer, Berlín, 321-345 (2013)

W.K. Van Wijngaarden, F.J. Vermolen, G.A.M. Van Meurs, C. Vuik. Varias ecuaciones de flujo para modelar el nuevo método de mejora del suelo Biogrout. En: Matemáticas numéricas y aplicaciones avanzadas 2011, 633--641 (2013)

F.J. Vermolen, C. Vuik, A. Segal. Deflación en métodos de gradiente conjugado preacondicionado para problemas de elementos finitos. En: Algoritmos de gradiente conjugado y métodos de elementos finitos, 103 (2013)

F.J. Vermolen, E. Javierre. Un modelo de elementos finitos para la curación de heridas cutáneas que combina contracción, angiogénesis y cierre. Revista de biología matemática 65 (5), 967--996 (2012)

E. Javierre, S.J. García, J.M.C. Mol, F.J. Vermolen, C. Vuik, S. van der Zwaag. Adaptación de la liberación de inhibidores de corrosión encapsulados de recubrimientos dañados: cinética de liberación controlada mediante frentes de difusión superpuestos. Progreso en Recubrimientos Orgánicos. 75 (1--2), 20--27 (2012)

PENSILVANIA. Prokharau, F.J. Vermolen, J.M. García-Aznar. Modelo para la aposición ósea directa sobre superficies preexistentes, durante la osteointegración periimplantaria. Revista de biología teórica. 304, 131-142 (2012)

W.K. van Wijngaarden, F.J. Vermolen, G.A.M. van Meurs, C. Vuik. Modelo matemático y solución analítica para la fijación de bacterias en biogrout. Transporte en medios porosos 92 (3), 847--866 (2012)

F.J. Vermolen, O. van Rijn. Un modelo matemático para la contracción de heridas y angiogénesis. En: Jamie Davis (ed) Regeneración de tejidos: de la biología básica a la aplicación clínica, InTech (2012)

F.J. Vermolen, A. Gefen, J.W.C. Dunlop. Cicatrización de “heridas” in vitro: Modelado fenomenológico de base experimental. Materiales de ingeniería avanzada 14 (3), B76-B88 (2012)

F.J. Vermolen, A. Gefen. Un formalismo semiestocástico basado en células para modelar la dinámica de la migración de células en colonias. Biomecánica y modelización en mecanobiología. 11 (1--2), 183--195 (2012)

F.J. Vermolen, A. Segal, A. Gefen. Estudio piloto de un modelo fenomenológico de adipogénesis en adipocitos maduros utilizando la teoría de Cahn-Hilliard. Ingeniería médica y biológica e informática 49 (12), 1447--1457 (2012)

S. Mazumder, F.J. Vermolen, J. Bruining. Análisis de un modelo para el comportamiento de difusión anómala del CO2 en la estructura de la red macromolecular del carbón. Revista SPE 16 (04), 856--863 (2011)

S.V. Zemskov, H.M. Jonkers, F.J. Vermolen. Dos modelos analíticos para las características de probabilidad de que una fisura golpee partículas encapsuladas: Aplicación a materiales autorreparables. Ciencia de los materiales computacionales. 50 (12), 3323--3333 (2011)

S.V. Zemskov, H.M. Jonkers, F.J. Vermolen. Modelos matemáticos para predecir las condiciones críticas para la autocuración bacteriana del hormigón. Conferencia Internacional sobre Modelado Matemático y Física Computacional, 108-121 (2011)

E. Javierre, S.J. García, J.M.C. Mol, F.J. Vermolen, C. Vuik, S. van der Zwaag. Ajuste basado en modelos de la liberación de agentes autocurativos a partir de recubrimientos orgánicos: de Fickian a la cinética de liberación controlada. ICSHM 2011: Actas de la 3a Conferencia Internacional sobre Materiales de Autocuración (2011)

D. den Ouden, F.J. Vermolen, L. Zhao, C. Vuik, J. Sietsma. Modelado de nucleación y crecimiento de partículas en aleaciones binarias bajo deformación elástica: una aplicación a una aleación de Cu – 0,95% en peso de Co. Ciencia de los materiales computacionales. 50 (8), 2397--2410 (2011)

W.K. van Wijngaarden, F.J. Vermolen, G.A.M. van Meurs, C. Vuik. Modelado de biogrout: un nuevo método de mejora del suelo basado en la precipitación de carbonatos inducida por microbios. Transporte en medios porosos 87 (2), 397--420 (2011)

P. Prokharau, F.J. Vermolen, J.M. García-Aznar. Enfoque de diferenciación celular evolutiva en un modelo de osteointegración periimplantaria. Actas de la II Conferencia Internacional sobre Ingeniería de Tejidos, 149-156 (2011)

D. Ouden, F.J. Vermolen, L. Zhao, C. Vuik, J. Sietsma. Modelado matemático de la nucleación y el crecimiento de partículas de NbC en un acero HSLA bajo deformación elástica. Fenómenos del estado sólido. 172, 893--898 (2011)

D.X. Du, P.L.J. Zitha, F.J. Vermolen. Análisis numérico del movimiento de la espuma en medios porosos utilizando un nuevo modelo estocástico de población de burbujas. Transporte en medios porosos 86 (2), 461--474 (2011)

S.V. Zemskov, H.M. Jonkers, F.J. Vermolen. Un modelo analítico para las características de probabilidad de una grieta que golpea un agente de autocuración encapsulado en el hormigón. Taller internacional sobre álgebra informática en la informática científica, 280-292 (2011)

D. Ibrahim, F.J. Vermolen, C. Vuik. Aplicación del método numérico de densidad-entalpía al flujo multifásico a través de un medio poroso. Procedia Computer Science 1 (1), 781--790 (2010)

F.J. Vermolen, E. Javierre. Simulaciones por computadora a partir de un modelo de elementos finitos para la contracción y el cierre de heridas. Revista de viabilidad del tejido 19 (2), 43--53 (2010)

S.V. Zemskov, F.J. Vermolen, E. Javierre, C. Vuik. Un método de elementos finitos de células cortadas para un modelo de interruptor discontinuo para el cierre de heridas. En: Matemáticas numéricas y aplicaciones avanzadas 2009, 929--936 (2010)

WK Van Wijngaarden, FJ Vermolen, GAM Van Meurs, C Vuik. Modelado del nuevo método de mejora del suelo Biogrout: extensión a 3D. Matemáticas numéricas y aplicaciones avanzadas 2009, 893--900 (2010)


12.2: Visualización del espacio de fase - Matemáticas

La especialidad en matemáticas

La especialización en matemáticas está dirigida tanto a estudiantes que planean carreras en matemáticas y campos relacionados, como a aquellos que simplemente encuentran las matemáticas interesantes y desean continuar su estudio. El contenido de la especialidad es bastante flexible y los cursos pueden seleccionarse en gran medida para reflejar los intereses de los estudiantes. Los estudiantes que se especializan en matemáticas tienen la oportunidad de participar en actividades que los ponen en contacto cercano con un miembro de la facultad, por ejemplo, a través de un pequeño seminario o mediante un proyecto de investigación independiente bajo la dirección de un miembro de la facultad. Además de las ofertas de cursos regulares, un estudiante con intereses especializados, que no se reflejan en nuestras ofertas de cursos actuales, a menudo organiza un curso de lectura independiente. Las propuestas de actividades independientes deben dirigirse al Asesor Departamental de Matemáticas.

En general, la especialización de matemáticas requiere que el estudiante apruebe ocho cursos de matemáticas o ciencias de la computación más allá de los requisitos previos. Al menos seis de los ocho cursos requeridos deben ser matemáticas, y al menos cuatro de estos cursos deben tomarse en Dartmouth. Además, un estudiante debe cumplir con el requisito de la Universidad para una experiencia culminante en la especialidad (ver más abajo). Los requisitos adicionales para los honores se describen a continuación en una sección separada.

Se anima a los estudiantes a tomar MATH 22 / MATH 24 tan pronto como sea posible, ya que no solo es un requisito previo explícito para muchos cursos de la división superior, sino que también se presumirá el nivel de sofisticación matemática desarrollado en MATH 22 / MATH 24 en muchos cursos superiores. -Cursos de división para los que MATH 22 / MATH 24 no es un requisito previo explícito.

La especialidad en ciencia de datos matemáticos

La estadística se ha convertido en una herramienta omnipresente no solo en las áreas tradicionales de las ciencias naturales y sociales, sino también en los campos interdisciplinarios emergentes de la ciencia de datos. La especialidad combina una base teórica sólida con la aplicación a uno o más campos de estudio.

Los estudiantes interesados ​​en esta especialización deben consultar el ORC para obtener detalles sobre los requisitos previos y los requisitos específicos para la especialidad.

Experiencia culminante: las especialidades en ciencia de datos matemáticos deben completar un proyecto de investigación intensivo en datos para satisfacer la experiencia culminante. Los estudiantes pueden completar esto escribiendo una tesis, completando un proyecto de investigación independiente o completando un curso con un proyecto estadístico significativo. La experiencia culminante debe ser aprobada previamente por el Asesor de Majors.

Más información para mayores

Hoja de ruta de matemáticas aplicadas & mdash Vea el panorama de los cursos aplicados en Dartmouth y sus interdependencias.

Dependencias del curso & mdash Gráfico de dependencia que combina cursos puros y aplicados.

¿Quién asesora a los mayores? & mdash Para mantener la coherencia, tenemos un miembro de la facultad que asesora a todas las especialidades.

¿Qué son los requerimientos? & mdash ¿Cuáles son mis opciones para convertirme en una especialidad? ¿Cuántas opciones de cursos puedo ejercitar? ¿Existen recomendaciones específicas para estudios de posgrado, matemáticas aplicadas, carreras docentes?

Oportunidades de investigación & mdash ¿Quiere trabajar con un profesor en un proyecto de investigación en curso? Mira las posibilidades.

Oferta de cursos anticipados, 21S - 22S

MATEMÁTICAS 1 - Introducción al cálculo

Instructor: El personal, el personal, el personal, el personal

Este curso es una introducción al cálculo de una sola variable para estudiantes que no han tomado cálculo antes. Los estudiantes que han visto algo de cálculo, pero no lo suficiente para sacar de MATH 3, deben tomar MATH 3. MATH 1 revisa técnicas relevantes de álgebra y precálculo, cubre la manipulación y análisis de funciones, incluyendo polinomios, trigonométricas, logarítmicas y funciones exponenciales, una introducción a la convergencia y los límites, continuidad, tasas de cambio y derivadas, reglas de diferenciación y aplicaciones a la aproximación. Los estudiantes que deseen continuar su estudio de cálculo después de MATH 1 toman MATH 3.

Ofrecido: 20F: 10, 11, 12, 2 21F: Organizar

MATEMÁTICAS 3 - Cálculo

Instructor: Ma, Ma, Lafreniere, Kulkarni, Lin (otoño), Lin, Kulkarni, The Staff, The Staff (invierno)

Este curso es una introducción al cálculo de una sola variable dirigida a los estudiantes que han visto algo de cálculo antes, ya sea antes de la matriculación o en MATH 1. MATH 3 comienza revisando los temas centrales en MATH 1 - convergencia, límites y derivadas - con mayor profundidad antes. pasando a aplicaciones de diferenciación como tasas relacionadas, búsqueda de valores extremos y optimización. Luego, el curso pasa a la teoría de la integración, presentando la integral a través de sumas de Riemann, el teorema fundamental del cálculo y las técnicas básicas de integración.

Ofrecido: 20F: 9L, 10, 11, 12, 2, 21W: 9L, 10, 11, 2, 21F, 21W: Organizar

MATEMÁTICAS 4 - Aplicaciones del cálculo a la medicina y la biología

Instructor: Wallace (primavera)

Este curso establecerá la relevancia del cálculo para la medicina. Desarrollará herramientas matemáticas ampliando las técnicas de introducción al cálculo, incluyendo algunas técnicas de álgebra matricial y de solución para ecuaciones diferenciales de primer orden. Estos métodos se utilizarán para construir modelos simples y elegantes de fenómenos como la mutación del VIH, la propagación de enfermedades infecciosas y la disposición biológica de fármacos y toxinas inorgánicas, la cinética de las enzimas y el crecimiento de la población.

Prerrequisito: MATH 3. Nota: Esta es una secuela de MATH 3, pero no cubre el mismo material que MATH 8, y no sirve como prerrequisito para MATH 13. Existe una versión de este curso adecuada para crédito mayor: ver MATEMÁTICAS 27.

Ofrecido: 21S: 10A, 22S: Organizar

MATH 5.01 - Análisis computacional de textos para las ciencias sociales

El lenguaje es el medio para la política y el conflicto político. Los candidatos debaten durante las elecciones. Los representantes redactan leyes. Las naciones negocian tratados de paz. Los clérigos emiten fatwas. Los ciudadanos expresan sus opiniones sobre política en los sitios de redes sociales. Estos ejemplos, y muchos otros, sugieren que para entender de qué se trata la política, necesitamos saber qué dicen y escriben los actores políticos. Este curso presenta técnicas para recopilar, analizar y utilizar grandes colecciones de texto para inferencias de ciencias sociales. Los estudiantes también tendrán la oportunidad de desarrollar sus habilidades de programación.

Exploraremos una variedad de conjuntos de datos desde el texto de The Federalist Papers hasta los millones de tweets enviados ay desde miembros del Congreso.

Requisito previo: GOVT / ECON / PSYC / SOCY / MATH 10 o QSS 15 o COSC 1

Listado cruzado como: GOVT 19.05 QSS 30.02

Ofrecido: No se ofrece en AY 2020-2021. Puede ofrecerse en AY 2021-2022.

MATH 5.04 - Matemáticas Aplicadas Fundamentales para las Ciencias

Instructor: McPeek, Rockmore

Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia. Sin embargo, la preparación en matemáticas para la mayoría de los estudiantes de ciencias generalmente implica solo el estudio del cálculo a nivel universitario. Si bien muchos problemas científicos involucran cálculo, otras dos áreas de las matemáticas son igualmente (si no más) importantes: el álgebra lineal y la probabilidad.Por ejemplo, el álgebra lineal es fundamental para la estequiometría y la conservación de la materia en química, la hidrología y la dinámica atmosférica en las ciencias de la tierra, y el crecimiento celular y la dinámica de poblaciones en biología. Además, la mayoría de las características del mundo natural son probabilísticas y, con frecuencia, se describen mejor mediante modelos de probabilidad, como la activación de neuronas en el cerebro o la sincronización de los terremotos. Ambos también son fundamentales para todos los problemas de las estadísticas. Este curso explorará la aplicación del álgebra lineal y la probabilidad a problemas en todas las ciencias. Cubriremos los conceptos básicos de la resolución de problemas de probabilidad y álgebra lineal, así como la formulación de modelos simples para describir y analizar fenómenos naturales de todas las ciencias.

Ofrecido: No se ofrece en AY 2020-2021. Puede ofrecerse en AY 2021-2022.

MATH 7 - Seminario de primer año de matemáticas

Ofrecido: Consultar listado especial

MATEMÁTICAS 8 - Cálculo de funciones de una y varias variables

Instructor: Petkova, Petkova, Petok (otoño), Lin, Wang, Petok (invierno), Allen, Allen (primavera)

Este curso es una secuela de MATH 3 y es apropiado para estudiantes que hayan completado con éxito un plan de estudios de cálculo AB (o su equivalente) en la escuela secundaria. Aproximadamente la mitad del curso está dedicada a temas de cálculo de una variable, seleccionados entre técnicas de integraciones, áreas, volúmenes, integración numérica, secuencias y series que incluyen series de Taylor, ecuaciones diferenciales ordinarias y técnicas de su solución. La segunda mitad del curso estudia funciones escalares valoradas de varias variables. Comienza con el estudio de la geometría vectorial, ecuaciones de líneas y planos y curvas espaciales (velocidad, aceleración, arco). El resto del curso está dedicado al estudio del cálculo diferencial de funciones de varias variables. Los temas incluyen límites y continuidad, derivadas parciales, planos tangentes y diferenciales, la regla de la cadena, derivadas direccionales y aplicaciones, y problemas de optimización, incluido el uso de multiplicadores de Lagrange.

Requisito previo: MATH 3 o equivalente.

Ofrecido: 20F: 10, 11, 2, 21W: 10, 11, 2 21S: 10, 11, 21F, 22W, 22S: Organizar

MATH 9 - Cálculo diferencial multivariable con álgebra lineal

Instructor: Schembri, Kaveh

Este curso incluye el material de cálculo multivariable presente en MATH 8 junto con una breve introducción a los conceptos del álgebra lineal, un tema omnipresente en las matemáticas y sus aplicaciones. La introducción al álgebra lineal permite una comprensión más profunda del cálculo multivariable. Los temas incluyen geometría vectorial, ecuaciones de líneas y planos, matrices y transformaciones lineales, curvas espaciales (velocidad, aceleración, longitud de arco), funciones de varias variables (límites y continuidad, derivadas parciales, la derivada como transformación lineal, planos tangentes y aproximación lineal. , la regla de la cadena, derivadas direccionales y aplicaciones, y problemas de optimización, incluido el uso de multiplicadores de Lagrange).

Los estudiantes de primer año que hayan completado con éxito un plan de estudios de cálculo BC en la escuela secundaria pueden completar cálculo multivariable ya sea tomando la secuencia de dos términos MATH 9, 13 o tomando el curso único de ritmo más rápido MATH 11, que cubre la segunda mitad de Matemáticas. 8 junto con el material de Matemáticas 13 en un solo trimestre.

Requisito previo: colocación avanzada en MATH 9 o MATH 11.

Ofrecido: 20F: 9L, 10 21F: Organizar

MATH 10 - Estadísticas introductorias

Instructor: Zhou, Kaveh, Wong

Introducción a los conceptos básicos de estadística. Los temas incluyen teoría de probabilidad elemental, estadística descriptiva, distribuciones binomiales y normales, intervalos de confianza, conceptos básicos de pruebas de hipótesis, pruebas de chi-cuadrado, pruebas no paramétricas, pruebas t de teoría normal, correlación y regresión simple. Se utilizarán programas estadísticos empaquetados. Debido a la gran superposición en el material cubierto, ningún estudiante puede recibir crédito por más de uno de los cursos ECON 10, ENVS 10, GOVT 10, MATH 10, PSYC 10, QSS 15 y SOCY 10, excepto por petición especial al Comité. en instrucción.

Ofrecido: 21S: 10, 11, 2, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 11 - Cálculo multivariable acelerado

Instructor: Auel, van Wyk, van Wyk, Wong

Este curso de ritmo rápido puede considerarse equivalente a MATH 13 en términos de requisitos previos, pero está diseñado especialmente para estudiantes de primer año que han completado con éxito un plan de estudios de cálculo BC en la escuela secundaria. En particular, como parte de su programa de estudios, incluye la mayor parte del material de cálculo multivariable presente en MATH 8 junto con el material de MATH 13. Los temas incluyen geometría vectorial, ecuaciones de líneas y planos y curvas espaciales (velocidad, aceleración, longitud de arco), límites y continuidad, derivadas parciales, planos tangentes y diferenciales, la regla de la cadena, derivadas direccionales y aplicaciones y problemas de optimización. Continúa con integración múltiple, campos vectoriales, integrales de línea y termina con un estudio del teorema de Green y Stokes.

Los estudiantes que hayan completado con éxito un plan de estudios de cálculo BC en la escuela secundaria pueden completar cálculo multivariable ya sea tomando la secuencia de dos términos MATH 9 y MATH 13 o completando el único y acelerado MATH 11.

Ofrecido: 20F: 10, 11, 12, 2, 21F: Organizar

MATH 13 - Cálculo de funciones con valores vectoriales

Instructor: The Staff (otoño), Lord, Lord, Wong, Wong (invierno), Webb, Tassy, ​​Tassy (primavera)

Este curso es una secuela de MATH 8 y proporciona una introducción al cálculo de funciones con valores vectoriales. Los temas incluyen diferenciación e integración de funciones definidas paramétricamente con interpretaciones de velocidad, aceleración, longitud de arco y curvatura. Otros temas incluyen integrales iteradas, dobles, triples y de superficie, incluido el cambio de coordenadas. El resto del curso está dedicado a campos vectoriales, integrales de línea, teorema de Green, curvatura y divergencia y teorema de Stokes.

Requisito previo: MATH 8 o Math 9 o equivalente. Nota: Los estudiantes de primer año que hayan recibido dos términos de crédito del examen AP-BC generalmente deben tomar MATH 11 en su lugar. Por otro lado, si el estudiante ha tenido una exposición sustancial a técnicas multivariables, se le anima a consultar con el Asesor de Matemáticas del primer año durante la semana de orientación para determinar si la colocación en MATH 13 es más apropiada.

Ofrecido: 20F: 11, 21W: 10, 11, 12, 2, 21S: 10, 11, 12, 21F, 22W, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 17 - Introducción a las matemáticas más allá del cálculo

Instructor: Assaf (invierno), Doyle (primavera)

Brinda a los futuros estudiantes de Matemáticas una oportunidad temprana de profundizar en temas fuera de la secuencia de cálculo estándar. Los temas específicos variarán de un período a otro, de acuerdo con los intereses y la experiencia del instructor. Diseñado para ser accesible a estudiantes brillantes y curiosos que hayan dominado el cálculo BC o su equivalente. Este curso cuenta para la especialización de Matemáticas y está abierto a todos los estudiantes, pero la inscripción puede ser limitada, con preferencia para los estudiantes de primer año.

Ofrecido: 21W: 2, 21S, 11, 22S: Organizar

MATH 19 - Introducción a la teoría de conjuntos

Este curso presenta los axiomas de la teoría de conjuntos, el universo de conjuntos y la teoría de conjuntos como base para las matemáticas. Toca aspectos históricos y filosóficos de la teoría de conjuntos. Los temas matemáticos cubiertos incluyen el álgebra de conjuntos, ordinales y cardinales, inducción y recursión transffinitas y el axioma de elección. Los estudiantes aprenderán el lenguaje y los conceptos utilizados en matemáticas y aprenderán a escribir pruebas matemáticas.

Ofrecido: 21S: 12, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 20 - Probabilidad

Instructor: Zhou, Tassy (otoño), The Staff (primavera)

Nuestra capacidad para comprender el mundo que nos rodea depende de nuestra capacidad para comprender cantidades que son intrínsecamente impredecibles. Por lo tanto, para obtener modelos matemáticos más precisos del mundo natural, debemos incorporar la probabilidad en la mezcla. Este curso servirá como una introducción a los fundamentos de la teoría de la probabilidad. Los temas cubiertos incluirán algunos de los siguientes: variable aleatoria (discreta y continua), vectores aleatorios, distribuciones multivariadas, independencia de expectativas, condicionamiento, distribuciones condicionales y expectativas, la ley fuerte de los grandes números y el teorema del límite central, caminatas aleatorias y cadenas de Markov. Hay una versión de honor de este curso: consulte MATH 60.

Ofrecido: 20F: 11, 10A, 21S: 11, 21X, 21F, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 22 - Álgebra lineal con aplicaciones

Instructor: Petok, Williams, Zhou (otoño), Orellana, Orellana, Petok, The Staff, Wang (primavera)

Este curso presenta los conceptos y aplicaciones fundamentales del álgebra lineal con énfasis en el espacio euclidiano. Los objetivos importantes del curso son que el estudiante desarrolle la capacidad de realizar cálculos significativos y escribir pruebas precisas. Los temas incluyen bases, subespacios, dimensión, determinantes, polinomios característicos, valores propios, vectores propios y, especialmente, representaciones matriciales de transformaciones lineales y cambio de base. Las aplicaciones pueden provenir de áreas como optimización, estadística, biología, física y procesamiento de señales. Se recomienda encarecidamente a los estudiantes que planean tomar MATH 63 o MATH 71 que tomen MATH 24.

Ofrecido: 20F: 10, 11, 2, 21S: 10, 11, 12, 12, 2, 21X, 21F, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 23 - Ecuaciones diferenciales

Instructor: Gelb, Glaubitz (otoño), Ma, The Staff, (invierno), Lin, Chernov (primavera)

Este curso es un repaso de tipos importantes de ecuaciones diferenciales, tanto lineales como no lineales. Los temas incluyen el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias usando autovectores y autovalores, soluciones numéricas de ecuaciones de primer y segundo orden y de sistemas, y la solución de ecuaciones diferenciales parciales elementales usando series de Fourier.

Ofrecido: 20F: 9L, 2, 21W: 11, 12, 21S: 11, 12, 21F, 22W, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 24 - Álgebra lineal

Instructor: Wang (invierno), Trout (primavera)

Este curso es una introducción a los conceptos fundamentales del álgebra lineal en espacios vectoriales abstractos. Los temas y objetivos de este curso son similares a los de MATH 22, pero con un énfasis adicional en la abstracción y la teoría matemáticas. (MATH 24 se puede sustituir por MATH 22 como requisito previo para cualquier curso o programa).

Ofrecido: 21W: 10, 21S: 2, 22W, 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 25 - Teoría de los números

El gran matemático C. F. Gauss escribió una vez: "Las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de números es la reina de las matemáticas". La teoría de números es la parte de las matemáticas que se ocupa de los números enteros y ciertas generalizaciones naturales. Los temas incluyen aritmética modular, factorización única en números primos, ecuaciones diofánticas lineales y el pequeño teorema de Fermat. Los temas discrecionales pueden incluir criptografía, pruebas de primalidad, funciones de partición, funciones multiplicativas, la ley de la reciprocidad cuadrática, problemas históricamente interesantes.

Ofrecido: 20F: 12, 21F: Organizar

MATH 26 - Métodos numéricos en computación (Idéntico y descrito en ENGS 91 también COSC 71)

Requisito previo: COSC 1 y COSC 10, o ENGS 20 ENGS 22 o MATH 23, o equivalente.

Listado cruzado como: ENGS 91, COSC 71

Ofrecido: 20F: 12, 21F: Organizar

MATEMÁTICAS 27 - Cálculo avanzado y dinámica en biología y medicina

Este curso preparará a los estudiantes para leer la literatura técnica en biología matemática, epidemiología, farmacocinética, modelado ecológico y áreas relacionadas. Los temas incluyen sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, equilibrios y soluciones de estado estacionario, retratos de fase, diagramas de bifurcación y algunos aspectos del análisis de estabilidad. Se pone énfasis en la capacidad del estudiante para analizar fenómenos y crear modelos matemáticos. Este curso interdisciplinario está abierto a los estudiantes de matemáticas, biología y estudiantes que se preparan para una carrera en medicina.

Requisito previo: MATH 22. Nota: Los estudiantes sin los prerrequisitos matemáticos pueden tomar este curso como MATH 4: ningún estudiante puede tomar MATH 4 y MATH 27 para obtener crédito, y solo MATH 27 es elegible para contar para la especialización en matemáticas.

Ofrecido: 21S: 10A, 22S: Organizar

MATH 28 - Introducción a la combinatoria

Comenzando con técnicas para contar (permutaciones y combinaciones, inclusión-exclusión, recursiones y generación de funciones), el curso luego toma gráficos y gráficos dirigidos y conjuntos ordenados, y concluye con algunos ejemplos de problemas de máximo-mínimo de conjuntos finitos. Los temas del curso tienen aplicación en las áreas de probabilidad, estadística e informática.

Ofrecido: 21W: 11, 22W: Organizar

MATH 29 - Introducción a la computabilidad

¿Qué significa que una función sea computable? Este curso examina varias formalizaciones matemáticas diferentes de la noción de computabilidad, inspiradas en puntos de vista muy variados, y establece el sorprendente resultado de que todas estas formalizaciones son equivalentes. Continúa demostrando la existencia de conjuntos y funciones no computables y haciendo conexiones con problemas indecidibles en otras áreas de las matemáticas. El curso concluye con una introducción a la computabilidad relativa. Este es un buen curso complementario de COSC 39, los dos comparten solo la introducción de las máquinas de Turing. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: Ninguno, pero el estudiante debe estar dispuesto a aprender a trabajar de manera abstracta y a leer y escribir pruebas.

MATH 30.04 - Teoría y aplicaciones de juegos evolutivos

Iniciada por John Maynard Smith y otros, la teoría de juegos evolutivos se ha convertido en un enfoque importante para estudiar una amplia gama de problemas biológicos y sociales, como las interacciones microbianas y el comportamiento animal. En la dinámica evolutiva del juego, la aptitud de los individuos depende de la abundancia relativa de todos los tipos de individuos en la población, y los tipos de individuos de mayor aptitud tienden a aumentar en abundancia. Este curso introduce conceptos básicos en la teoría de juegos evolutivos, incluidas estrategias evolutivamente estables, dinámicas de replicación, poblaciones finitas y juegos en redes, junto con aplicaciones a la evolución social, particularmente a la comprensión de la cooperación humana.

Requisito previo: Matemáticas 3 y Matemáticas 20

MATEMÁTICAS 31 - Temas de Álgebra

Este curso proporcionará una introducción a las estructuras algebraicas fundamentales y puede incluir aplicaciones importantes. La mayor parte del curso consistirá en una introducción a las estructuras algebraicas básicas de grupos y anillos. El trabajo adicional consistirá en el desarrollo de estructuras algebraicas adicionales o en aplicaciones de la teoría desarrollada previamente a áreas como la teoría de la codificación o la cristalografía. Como resultado del programa de estudios variable, este curso puede no servir como un prerrequisito adecuado para MATH 81. Los estudiantes que contemplen tomar MATH 81 deben considerar tomar MATH 71 en lugar de este curso.

MATEMÁTICAS 31.01 - Temas de Álgebra

Este curso proporcionará una introducción a las estructuras algebraicas fundamentales y puede incluir aplicaciones importantes. La mayor parte del curso consistirá en una introducción a las estructuras algebraicas básicas de grupos y anillos. El trabajo adicional consistirá en el desarrollo de estructuras algebraicas adicionales o en aplicaciones de la teoría desarrollada previamente a áreas como la teoría de la codificación o la cristalografía. Como resultado del programa de estudios variable, este curso puede no servir como un prerrequisito adecuado para MATH 81. Los estudiantes que contemplen tomar MATH 81 deben considerar tomar MATH 71 en lugar de este curso.

Ofrecido: 20F: 11, 21X, 21F: Organizar

MATH 32 - La forma del espacio

Temas en geometría intuitiva y topología, por ejemplo: cómo girar una esfera de adentro hacia afuera nudos, enlaces y sus invariantes poliedros En 2, 3 y 4 dimensiones la clasificación de la curvatura de superficies y el teorema de Gauss-Bonnet geometría esférica e hiperbólica Patrones de Escher y sus cocientes la forma del universo. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 22 o MATEMÁTICAS 24.

MATEMÁTICAS 35 - Análisis real

Este curso presenta los conceptos básicos de la teoría de variables reales. Los temas incluyen números reales y cardinalidad de conjuntos, secuencias y series de números reales, espacios métricos, funciones continuas, teoría de integración, secuencias y series de funciones y aproximación polinomial. Pueden presentarse algunas aplicaciones de la teoría. MATH 63 presenta material similar, pero desde un punto de vista más sofisticado. Es posible que este curso no sirva como un prerrequisito adecuado para MATH 73 u 83. Los estudiantes que contemplen tomar uno de estos dos cursos avanzados deben considerar tomar MATH 63 en lugar de este curso.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 13 y permiso del instructor, o MATEMÁTICAS 22.

Ofrecido: 21W: 11, 22W: Organizar

MATEMÁTICAS 36 - Modelos matemáticos en las ciencias sociales

Disciplinas como la antropología, la economía, la sociología, la psicología y la lingüística ahora hacen un uso extensivo de modelos matemáticos, utilizando las herramientas del cálculo, la probabilidad, la teoría de juegos, la teoría de redes, a menudo mezcladas con una buena dosis de computación. Este curso presenta a los estudiantes una variedad de técnicas utilizando ejemplos actuales y relevantes. Los estudiantes interesados ​​en estudiar más a fondo estos y otros temas relacionados se remiten a los cursos enumerados en el programa de Matemáticas y Ciencias Sociales.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 13, MATEMÁTICAS 20.

Ofrecido: 20F: 2A, 21F: Organizar

MATH 37 - Métodos computacionales en biología matemática

Introducción a los autómatas celulares y al modelado basado en agentes utilizando el lenguaje de programación Java. El enfoque de este curso será la simulación de eventos estocásticos, la parametrización y calibración del modelo, la validación del modelo, la simulación y la visualización de resultados. Este es un curso práctico con sesiones de laboratorio y ejercicios de capacitación en computadoras individuales.

Requisito previo: MATH 22 y MATH 24, MATH 23, uno de COSC 1, COSC 10, ENGS 20 o experiencia equivalente.

MATEMÁTICAS 38 - Teoría de grafos

La teoría de los gráficos tiene sus raíces en las matemáticas prácticas y recreativas. Hoy en día existen importantes aplicaciones de la teoría de grafos en la ciencia de la gestión (investigación de operaciones) y la informática. Este curso es un repaso de la teoría y las aplicaciones de los gráficos.Los temas se elegirán entre conectividad, árboles y caminos y ciclos hamiltonianos y eulerianos, isomorfismo y reconstruibilidad, planaridad, dualidad e independencia de género y problemas de coloración, incluidos gráficos de intervalos, ordenamientos de intervalos y gráficos perfectos, gráficos de color crítico y los cuatro colores. Flujos de red de emparejamientos de teoremas, incluidas las aplicaciones para emparejamientos, mayor conectividad y problemas de transporte y su relación con la optimización.

Requisito previo: MATH 22 (o COSC 55 y permiso del instructor).

Ofrecido: 21S: 12, 22S: Organizar

MATH 40 - Probabilidad e inferencia estadística

Introducción a la probabilidad continua y la inferencia estadística para el análisis de datos. Incluye la teoría de la estimación y la teoría de la prueba de hipótesis utilizando pruebas t de teoría normal y pruebas no paramétricas de medias y medianas, pruebas de varianzas, pruebas de chi-cuadrado y una introducción a la teoría del análisis de varianza y análisis de regresión. El análisis de conjuntos de datos explícitos y la computación son una parte importante de este curso práctico de estadística. * NOTA: Antes del otoño de 2014, Math 40 se numeraba como Math 50.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 13 y MATEMÁTICAS 20, o permiso del instructor.

Ofrecido: 21W: 12, 22W: Organizar

MATEMÁTICAS 42 - Geometría diferencial I

Este curso cubrirá curvas y superficies en el espacio euclidiano tridimensional. Los temas incluyen curvatura y torsión de curvas, ecuaciones de Frenet-Serret, curvatura media y gaussiana de superficies, geodésicas y transporte paralelo, isometrías y el teorema de Gauss Egregium, el tensor de curvatura de Riemann. Si el tiempo lo permite, se estudiarán uno o más de los siguientes temas: campos vectoriales, haces tangentes, hipersuperficies, conexiones y curvatura. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 22 o permiso del instructor y MATEMÁTICAS 23.

MATH 43 - Funciones de una variable compleja

Este curso cubre el cálculo diferencial e integral de variables complejas, incluidos temas como el teorema de Cauchy, la fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias, las singularidades, el teorema de Laurent y las funciones armónicas del cálculo de residuos y el mapeo conforme. Las aplicaciones incluirán teoría del potencial bidimensional, flujo de fluidos y aspectos del análisis de Fourier.

Ofrecido: 21S: 2, 22S: Organizar

MATH 46 - Introducción a las matemáticas aplicadas

Este curso presenta una amplia variedad de herramientas y métodos matemáticos utilizados para analizar fenómenos en las ciencias físicas, de la vida y sociales. Este es un curso introductorio y es accesible para estudiantes de pregrado y posgrado en matemáticas y otras disciplinas científicas que hayan completado los requisitos previos. Los temas incluyen análisis dimensional y escalado, análisis de perturbaciones, cálculo de variaciones, ecuaciones integrales y problemas de valores propios.

Requisito previo: MATH 22 y MATH 23, o permiso del instructor.

Ofrecido: 21S: 2A, 22S: Organizar

MATH 47 - Introducción a la oncología matemática

Introducción a la biología del cáncer y enfoques matemáticos básicos para simular la dinámica del cáncer a nivel subcelular, celular y tisular. Las técnicas para el modelado cuantitativo son abundantes y un número cada vez mayor de enfoques teóricos se aplican con éxito a la biología del cáncer. Los modelos de ecuaciones diferenciales y los modelos celulares basados ​​en individuos allanaron el camino hacia la biología cuantitativa del cáncer hace aproximadamente dos décadas. Aquí daremos una introducción sobre cómo se derivan dichos modelos y cómo se pueden utilizar para simular el crecimiento tumoral y la respuesta al tratamiento. Luego, discutiremos varios modelos diferentes y discutiremos su poder de confirmación y predicción para la biología del cáncer.

Requisito previo: MATH 22 y MATH 24, MATH 23, uno de COSC 1, COSC 10, ENGS 20 o experiencia equivalente.

MATH 50 - Introducción a los modelos lineales

Este curso proporciona una introducción al modelo más común utilizado en el análisis de datos estadísticos. Se tratan la regresión lineal simple, la regresión múltiple y el análisis de varianza, así como las estrategias de construcción de modelos estadísticos. Se enfatizan los diagnósticos de regresión, el análisis de conjuntos de datos complejos y las habilidades de redacción científica. Los métodos se ilustran con conjuntos de datos extraídos de las ciencias de la salud, biológicas y sociales. Los cálculos requieren el uso de un paquete de software estadístico como STATA. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATH 10, otro curso de estadística elemental o permiso del instructor.

MATH 53 - Ecuaciones diferenciales parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales juegan un papel fundamental en amplias áreas de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería. Este es un curso introductorio, accesible para estudiantes de pregrado y posgrado en matemáticas y otras disciplinas científicas que hayan completado los requisitos previos. Los ejemplos vendrán de ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales, incluida la ecuación de onda, la difusión, los problemas de valores en la frontera, las leyes de conservación y las ecuaciones de Monge-Ampere. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATH 22 y MATH 23, o permiso del instructor.

MATEMÁTICAS 54 - Topología I

Este curso comienza con las definiciones de espacio topológico, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, vecindarios, bases y sub-bases, operador de cierre, funciones continuas y homeomorfismos. El curso estudiará la construcción de espacios, incluidos subespacios, espacios de productos y espacios de cociente. Se cubrirán categorías especiales de espacios y sus interrelaciones, incluidas las categorías definidas por los diversos axiomas de separación, primer y segundo espacios contables, espacios compactos y espacios conectados. Los subespacios de los espacios métricos euclidianos y generales estarán entre los ejemplos estudiados con cierto detalle.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 13 y MATEMÁTICAS 22.

MATH 56 - Métodos computacionales

Este curso presenta algoritmos computacionales que resuelven problemas de una variedad de disciplinas científicas. Los modelos matemáticos que describen un fenómeno de interés suelen ser demasiado complejos para construir soluciones analíticas, lo que nos lleva a métodos numéricos. Motivados por modelos de física, biología y medicina, los estudiantes desarrollarán algoritmos numéricos y analizarán matemáticamente su precisión, eficiencia y propiedades de convergencia. El curso proporcionará recursos de codificación externos a medida que los estudiantes implementarán algoritmos en MATLAB. Los temas de muestra incluyen descomposiciones matriciales, problemas inversos, optimización, ajuste de datos y ecuaciones diferenciales.

Prerrequisito: MATH 22 o MATH 24, COSC 1 o ENGS 20, o permiso del instructor.

MATH 60 - Probabilidad (Sección de Honores de MATH 20)

Este curso es una introducción más teórica a la teoría de la probabilidad que MATH 20. Además del contenido básico de MATH 20, el curso incluirá otros temas como distribuciones de probabilidad continua y sus aplicaciones. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 13 o permiso del instructor.

MATEMÁTICAS 63 - Análisis real

Este curso presenta los conceptos básicos de la teoría de variables reales. Los temas incluyen números reales y cardinalidad de conjuntos, secuencias y series de números reales, espacios métricos, funciones continuas, teoría de integración, secuencias y series de funciones y aproximación polinomial. Los estudiantes no pueden tomar tanto MATH 35 como 63 para obtener crédito.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 22 o MATEMÁTICAS 24, o MATEMÁTICAS 13 y permiso del instructor.

Ofrecido: 21W: 11, 22W: Organizar

MATH 66 - Temas matemáticos en la física moderna

Este curso introductorio presenta temas matemáticos que son relevantes para los problemas de la física moderna. Está diseñado principalmente para dos audiencias: estudiantes de matemáticas a quienes les gustaría ver la física moderna y las motivaciones históricas de la teoría en sus cursos, y estudiantes de física que desean aprender matemáticas más allá del álgebra lineal y el cálculo. Los posibles temas incluyen (pero no se limitan a) introducción a la teoría espacial de Hilbert, lógica cuántica, computación cuántica, geometría simpléctica, teoría de la relatividad especial de Einstein, grupos de Lie en la teoría cuántica de campos, etc. No se asume ninguna formación en física. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: Matemáticas 23 y MATEMÁTICAS 24 (o MATEMÁTICAS 22 con permiso del instructor).

MATEMÁTICAS 68 - Combinatoria algebraica

Este curso cubre el uso de álgebra abstracta en el estudio de la existencia, construcción, enumeración y clasificación de estructuras combinatorias. La teoría de la enumeración, que incluye tanto la Teoría de Polya como el Álgebra de Incidencia, y que culmina con un estudio de álgebras de funciones generadoras, será un tema central en el curso. Otros temas que pueden incluirse si el tiempo lo permite son la construcción de diseños de bloques, códigos de corrección de errores, teoría de celosía, teoría combinatoria del grupo simétrico y matrices de incidencia de estructuras combinatorias. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATH 28 y MATH 31, o MATH 71, o permiso del instructor.

MATH 69 - Lógica (Sección de Honores de MATH 39)

Este curso comienza con un estudio de los sistemas relacionales que ocurren en matemáticas. Los lenguajes de primer orden adecuados para formalizar tales sistemas se tratan en detalle, y se estudian varios teoremas importantes sobre tales lenguajes, incluidos los teoremas de compacidad y de Lowenheim-Skolem. Se evalúan las implicaciones de estos teoremas para las teorías matemáticas que se están formulando. Se hace hincapié en los problemas relacionados con los lenguajes de primer orden que son de interés fundamental en la lógica. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: experiencia con estructuras matemáticas y pruebas, según lo ofrecido por cursos como MATH 71, MATH 54 o MATH 24 o permiso del instructor.

MATH 70 - Elementos de estadística multivariante y aprendizaje estadístico

Este curso se enfoca en métodos modernos de análisis estadístico que incluyen modelos no lineales, minería de datos y clasificación. Los estudiantes obtienen una base teórica para el análisis estadístico multivariado, la prueba de hipótesis estadísticas óptimas y la estimación de puntos e intervalos. El curso se basa en aplicaciones y los estudiantes obtendrán experiencia en la resolución de problemas en el análisis de datos. Los estudiantes deben utilizar el paquete estadístico R.

Ofrecido: 21S: 12 22S: Organizar

MATEMÁTICAS 71 - Álgebra

La secuencia MATH 71 y 81 está pensada como una introducción al álgebra abstracta. MATH 71 desarrolla teoremas básicos sobre grupos, anillos, campos y espacios vectoriales.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 22 o MATEMÁTICAS 24.

Ofrecido: 20F: 10, 21F: Organizar

MATH 72 - Temas de geometría

Instructor: Sutton (otoño) Webb (primavera)

Este curso desarrolla uno o más temas de geometría. Los posibles temas incluyen la geometría hiperbólica, la geometría de Riemann, la geometría de la relatividad especial y general, los grupos de Lie y las álgebras, la geometría algebraica, la geometría proyectiva. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATH 71, o permiso del instructor. Dependiendo de los temas específicos cubiertos, MATH 31 puede no ser un prerrequisito aceptable; sin embargo, en consulta con el instructor, MATH 31 junto con algunas lecturas externas deberían ser una preparación adecuada para el curso.

MATEMÁTICAS 73 - Teoría de la medida y análisis complejo

Este curso es una introducción al análisis de nivel de posgrado. Dividida aproximadamente por la mitad, la primera parte del curso cubre la teoría de medidas abstractas. La segunda mitad del curso cubre el análisis complejo.

Prerrequisito: MATH 43 y MATH 63 o un curso básico de análisis real y un curso de análisis complejo de grado inferior o permiso del instructor.

Ofrecido: 20F: 2 21F: Organizar

MATH 74 - Topología algebraica

Este curso proporciona una base en topología algebraica, que incluye tanto la teoría de la homotopía como la teoría de la homología. Los temas pueden incluir: el grupo fundamental, espacios de cobertura, cálculo del grupo fundamental, teoría de homología singular, axiomas de Eilenberg-Steenrod, secuencia de Mayer-Vietoris, cálculos, aplicaciones a puntos fijos y campos vectoriales.

Requisito previo: MATH 31 / MATH 71 y MATH 54 y permiso del instructor o MATH 54 y MATH 101.

Ofrecido: 21S: 11, 21S: Organizar

MATH 75 - Temas aplicados en teoría de números y álgebra

Proporciona algunas aplicaciones de la teoría de números y el álgebra. Los temas específicos variarán, dos posibilidades son la criptología y la teoría de la codificación. El primero permite una comunicación y autenticación seguras en Internet, mientras que el segundo permite una comunicación electrónica eficiente y sin errores a través de canales ruidosos. Los estudiantes pueden tomar Math 75 para obtener crédito más de una vez. Ofrecido en años alternos.

MATEMÁTICAS 75.01 - Temas aplicados en teoría de números y álgebra

Proporciona algunas aplicaciones de la teoría de números y el álgebra. Los temas específicos variarán, dos posibilidades son la criptología y la teoría de la codificación. El primero permite una comunicación y autenticación seguras en Internet, mientras que el segundo permite una comunicación electrónica eficiente y sin errores a través de canales ruidosos. Los estudiantes pueden tomar Math 75 para obtener crédito más de una vez. Ofrecido en años alternos.

Prerrequisito: MATH 25 o MATH 22 / MATH 24 o MATH 31 / MATH 71, o permiso del instructor.

MATH 76 - Temas de Matemática Aplicada

La naturaleza numérica de la sociedad del siglo XXI significa que las matemáticas aplicadas están en todas partes: estudios de animación, motores de búsqueda, fondos de cobertura y mercados de derivados, y diseño de fármacos. Los estudiantes obtendrán una introducción en profundidad a un tema avanzado en matemáticas aplicadas. Los posibles temas incluyen procesamiento de imágenes y señales digitales, caos cuántico, biología computacional, criptografía, teoría de codificación, ondas en la naturaleza, problemas inversos, teoría de la información, procesos estocásticos, aprendizaje automático y finanzas matemáticas.

MATEMÁTICAS 76.01 - Temas de Matemática Aplicada

La naturaleza numérica de la sociedad del siglo XXI significa que las matemáticas aplicadas están en todas partes: estudios de animación, motores de búsqueda, fondos de cobertura y mercados de derivados, y diseño de fármacos. Los estudiantes obtendrán una introducción en profundidad a un tema avanzado en matemáticas aplicadas. Los posibles temas incluyen procesamiento de imágenes y señales digitales, caos cuántico, biología computacional, criptografía, teoría de codificación, ondas en la naturaleza, problemas inversos, teoría de la información, procesos estocásticos, aprendizaje automático y finanzas matemáticas.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 22, MATEMÁTICAS 23 o permiso del instructor.

MATEMÁTICAS 81 - Álgebra abstracta

Este curso proporciona una base en áreas centrales en la teoría de anillos y campos. Específicamente, proporciona una introducción a la teoría de anillos conmutativos con un énfasis particular en los anillos polinomiales y sus aplicaciones a la factorización única y a las extensiones finitas y algebraicas de campos. El estudio de campos continúa con una introducción a la teoría de Galois, incluido el teorema fundamental de la teoría de Galois y numerosas aplicaciones.

Prerrequisito: MATH 71. En general, MATH 31 no es un prerrequisito aceptable, sin embargo, en consulta con el instructor, MATH 31 junto con algunas lecturas externas deberían ser una preparación adecuada para el curso.

Ofrecido: 21W: 10, 22W: Organizar

MATEMÁTICAS 86 - Finanzas Matemáticas I

Los derivados financieros se pueden considerar como un seguro contra eventos financieros futuros inciertos. Este curso adoptará un enfoque matemáticamente riguroso para comprender el modelo Black-Scholes-Merton y sus aplicaciones para fijar el precio de los derivados financieros y la gestión de riesgos. Los temas pueden incluir: fijación de precios sin arbitraje, modelos de árbol binomial, cálculo de Ito, análisis de Black-Scholes, simulación de Monte Carlo, fijación de precios de opciones sobre acciones y cobertura.

Prerrequisito: MATH 20 y MATH 40, o MATH 60 MATH 23 y COSC 1 o su equivalente.

Ofrecido: 21S: 11, W22: Organizar

MATH 87 - Curso de lectura

Los estudiantes universitarios avanzados ocasionalmente arreglan con un miembro de la facultad un curso de lectura en un tema que no se encuentra en el plan de estudios programado regularmente.

Ofrecido: Todos los términos: Organizar

MATH 89 - Seminario de Lógica

Un estudio de temas seleccionados en lógica, como teoría de modelos, teoría de conjuntos, teoría de funciones recursivas o indecidibilidad e incompletitud. Ofrecido en años alternos.

Requisito previo: MATH 39 o MATH 69.

MATH 97 - Investigación de pregrado

Abierto solo para estudiantes que están registrados oficialmente en el Programa de Honores. Se requiere permiso del asesor de carreras y asesor de tesis. Este curso no sirve para crédito mayor ni crédito distributivo, y se puede tomar como máximo dos veces.


Contenido

El PCA fue inventado en 1901 por Karl Pearson, [7] como análogo del teorema del eje principal en mecánica, más tarde fue desarrollado de forma independiente y nombrado por Harold Hotelling en la década de 1930. [8] Dependiendo del campo de aplicación, también se denomina transformada discreta de Karhunen-Loève (KLT) en el procesamiento de señales, transformada de Hotelling en el control de calidad multivariante, descomposición ortogonal adecuada (POD) en ingeniería mecánica, descomposición de valor singular (SVD ) de X (inventado en el último cuarto del siglo XIX [9]), la descomposición de valores propios (EVD) de X T X en álgebra lineal, análisis factorial (para una discusión de las diferencias entre PCA y análisis factorial, véase el Capítulo 7 de Jolliffe's Análisis de componentes principales), [10] Teorema de Eckart-Young (Harman, 1960), o funciones ortogonales empíricas (EOF) en la ciencia meteorológica, descomposición empírica de funciones propias (Sirovich, 1987), análisis de componentes empíricos (Lorenz, 1956), modos cuasiarmónicos (Brooks et al. ., 1988), descomposición espectral en ruido y vibración, y análisis modal empírico en dinámica estructural.

Se puede pensar que el PCA se adapta a un pag-elipsoide dimensional a los datos, donde cada eje del elipsoide representa un componente principal. Si algún eje del elipsoide es pequeño, entonces la varianza a lo largo de ese eje también es pequeña.

Para encontrar los ejes del elipsoide, primero debemos restar la media de cada variable del conjunto de datos para centrar los datos alrededor del origen. Luego, calculamos la matriz de covarianza de los datos y calculamos los valores propios y los vectores propios correspondientes de esta matriz de covarianza. Luego debemos normalizar cada uno de los autovectores ortogonales para convertirlos en vectores unitarios. Una vez hecho esto, cada uno de los vectores propios unitarios mutuamente ortogonales se puede interpretar como un eje del elipsoide ajustado a los datos. Esta elección de base transformará nuestra matriz de covarianza en una forma diagonalizada con los elementos diagonales que representan la varianza de cada eje. La proporción de la varianza que representa cada vector propio se puede calcular dividiendo el valor propio correspondiente a ese vector propio por la suma de todos los valores propios.

PCA se define como una transformación lineal ortogonal que transforma los datos en un nuevo sistema de coordenadas de modo que la mayor varianza por alguna proyección escalar de los datos llega a encontrarse en la primera coordenada (llamada el primer componente principal), la segunda mayor varianza en el segunda coordenada, y así sucesivamente. [10] [ página necesaria ]

Considere una matriz de datos n × p < displaystyle n times p>, X, con media empírica cero en columnas (la media muestral de cada columna se ha cambiado a cero), donde cada uno de los norte filas representa una repetición diferente del experimento, y cada uno de los pag columnas da un tipo particular de característica (digamos, los resultados de un sensor en particular).

Primer componente Editar

Para maximizar la varianza, el primer vector de peso w(1) por lo tanto tiene que satisfacer

De manera equivalente, escribir esto en forma de matriz da

Desde w(1) ha sido definido como un vector unitario, de manera equivalente también satisface

La cantidad a maximizar se puede reconocer como un cociente de Rayleigh. Un resultado estándar para una matriz semidefinida positiva como X T X es que el valor máximo posible del cociente es el valor propio más grande de la matriz, lo que ocurre cuando w es el vector propio correspondiente.

Con w(1) encontrado, el primer componente principal de un vector de datos X(I) luego se puede dar como una puntuación t1(I) = X(I)w(1) en las coordenadas transformadas, o como el vector correspondiente en las variables originales, <X(I)w(1)> w(1).

Otros componentes Editar

La k-th componente se puede encontrar restando el primero k - 1 componentes principales de X:

y luego encontrar el vector de peso que extrae la varianza máxima de esta nueva matriz de datos

Resulta que esto da los vectores propios restantes de X T X, con los valores máximos de la cantidad entre paréntesis dados por sus valores propios correspondientes. Por tanto, los vectores de peso son autovectores de X T X.

La k-th componente principal de un vector de datos X(I) por lo tanto, se puede dar como puntuación tk(I) = X(I)w(k) en las coordenadas transformadas, o como vector correspondiente en el espacio de las variables originales, <X(I)w(k)> w(k), dónde w(k) es el kel vector propio de X T X.

La descomposición completa de los componentes principales de X por lo tanto, se puede dar como

dónde W es un pag-por-pag matriz de pesos cuyas columnas son los autovectores de X T X. La transposición de W a veces se denomina transformación blanqueadora o esférica. Columnas de W multiplicado por la raíz cuadrada de los valores propios correspondientes, es decir, los vectores propios ampliados por las varianzas, se denominan cargas en PCA o en análisis factorial.

Covarianzas Editar

X T X en sí mismo puede reconocerse como proporcional a la matriz de covarianza muestral empírica del conjunto de datos X T . [10] : 30–31

La covarianza de la muestra Q entre dos de los diferentes componentes principales del conjunto de datos viene dado por:

donde la propiedad de valor propio de w(k) se ha utilizado para pasar de la línea 2 a la línea 3. Sin embargo, los vectores propios w(j) y w(k) correspondientes a los valores propios de una matriz simétrica son ortogonales (si los valores propios son diferentes), o pueden ser ortogonalizados (si los vectores comparten un valor repetido igual). Por lo tanto, el producto en la línea final es cero; no hay covarianza de muestra entre diferentes componentes principales en el conjunto de datos.

Otra forma de caracterizar la transformación de componentes principales es, por tanto, como la transformación a coordenadas que diagonalizan la matriz de covarianza muestral empírica.

En forma de matriz, la matriz de covarianza empírica para las variables originales se puede escribir

La matriz de covarianza empírica entre los componentes principales se convierte en

dónde Λ es la matriz diagonal de valores propios λ(k) de X T X. λ(k) es igual a la suma de los cuadrados sobre el conjunto de datos asociado con cada componente k, es decir, λ(k) = ∑I tk 2 (I) = ∑I (X(I)w(k)) 2 .

Reducción de dimensionalidad Editar

La transformación T = X W mapea un vector de datos X(I) de un espacio original de pag variables a un nuevo espacio de pag variables que no están correlacionadas con el conjunto de datos. Sin embargo, no es necesario conservar todos los componentes principales. Manteniendo solo el primero L componentes principales, producidos utilizando solo los primeros L vectores propios, da la transformación truncada

donde la matriz TL ahora tiene norte filas pero solo L columnas. En otras palabras, PCA aprende una transformación lineal t = W L T x, x ∈ R p, t ∈ R L, < displaystyle t = W_^ < mathsf > x, x en R ^

, t en R ^,> donde las columnas de pag × L matriz W L < Displaystyle W_> forman una base ortogonal para el L características (los componentes de la representación t) que están descorrelacionados. [11] Por construcción, de todas las matrices de datos transformadas con solo L columnas, esta matriz de puntuación maximiza la varianza en los datos originales que se han conservado, al tiempo que minimiza el error de reconstrucción al cuadrado total ‖ T W T - T L W L T ‖ 2 2 < displaystyle | mathbf mathbf ^- mathbf _ mathbf _^ | _ <2> ^ <2>> o ‖ X - X L ‖ 2 2 < displaystyle | mathbf - mathbf _|_<2>^<2>> .

Tal reducción de dimensionalidad puede ser un paso muy útil para visualizar y procesar conjuntos de datos de alta dimensión, al tiempo que conserva la mayor cantidad posible de la variación en el conjunto de datos. Por ejemplo, seleccionando L = 2 y manteniendo solo los dos primeros componentes principales, se encuentra el plano bidimensional a través del conjunto de datos de alta dimensión en el que los datos están más dispersos, por lo que si los datos contienen grupos, estos también pueden estar más dispersos y, por lo tanto, más visibles para representarse en un diagrama bidimensional, mientras que si se eligen al azar dos direcciones a través de los datos (o dos de las variables originales), los conglomerados pueden estar mucho menos separados entre sí y, de hecho, es mucho más probable que se se superponen sustancialmente entre sí, haciéndolos indistinguibles.

De manera similar, en el análisis de regresión, cuanto mayor sea el número de variables explicativas permitidas, mayor es la posibilidad de sobreajustar el modelo, produciendo conclusiones que no se generalizan a otros conjuntos de datos. Un enfoque, especialmente cuando hay fuertes correlaciones entre diferentes posibles variables explicativas, es reducirlas a unos pocos componentes principales y luego ejecutar la regresión contra ellos, un método llamado regresión de componentes principales.

La reducción de la dimensionalidad también puede ser apropiada cuando las variables de un conjunto de datos son ruidosas. Si cada columna del conjunto de datos contiene ruido gaussiano distribuido de forma idéntica, entonces las columnas de T También contendrá ruido gaussiano distribuido de manera similar de manera idéntica (tal distribución es invariante bajo los efectos de la matriz W, que se puede considerar como una rotación de alta dimensión de los ejes de coordenadas). Sin embargo, con una mayor parte de la varianza total concentrada en los primeros componentes principales en comparación con la misma varianza de ruido, el efecto proporcional del ruido es menor: los primeros componentes logran una relación señal / ruido más alta. Por tanto, el PCA puede tener el efecto de concentrar gran parte de la señal en los primeros componentes principales, que pueden capturarse de manera útil mediante la reducción de la dimensionalidad, mientras que los componentes principales posteriores pueden estar dominados por el ruido y eliminarse así sin grandes pérdidas. Si el conjunto de datos no es demasiado grande, la importancia de los componentes principales se puede probar utilizando bootstrap paramétrico, como ayuda para determinar cuántos componentes principales se deben retener. [12]

Descomposición de valores singulares Editar

La transformación de componentes principales también se puede asociar con otra factorización matricial, la descomposición de valor singular (SVD) de X,

Aquí Σ es un norte-por-pag matriz diagonal rectangular de números positivos σ(k), llamados los valores singulares de X U es un norte-por-norte matriz, cuyas columnas son vectores unitarios ortogonales de longitud norte llamados los vectores singulares izquierdos de X y W es un pag-por-pag cuyas columnas son vectores unitarios ortogonales de longitud pag y llamó a los vectores singulares correctos de X.

En términos de esta factorización, la matriz X T X puede ser escrito

Usando la descomposición de valor singular la matriz de puntuación T puede ser escrito

así que cada columna de T viene dado por uno de los vectores singulares de la izquierda de X multiplicado por el valor singular correspondiente. Esta forma es también la descomposición polar de T.

Existen algoritmos eficientes para calcular la SVD de X sin tener que formar la matriz X T X, por lo que calcular el SVD es ahora la forma estándar de calcular un análisis de componentes principales a partir de una matriz de datos [ cita necesaria ], a menos que solo se requieran unos pocos componentes.

Al igual que con la autodescomposición, un truncado norte × L matriz de puntuación TL se puede obtener considerando solo los primeros L valores singulares más grandes y sus vectores singulares:

El truncamiento de una matriz METRO o T el uso de una descomposición de valor singular truncado de esta manera produce una matriz truncada que es la matriz de rango más cercana posible L a la matriz original, en el sentido de que la diferencia entre las dos tiene la norma de Frobenius más pequeña posible, un resultado conocido como el teorema de Eckart-Young [1936].

Dado un conjunto de puntos en el espacio euclidiano, el primer componente principal corresponde a una línea que pasa por la media multidimensional y minimiza la suma de cuadrados de las distancias de los puntos a la línea. El segundo componente principal corresponde al mismo concepto después de que se haya restado de los puntos toda la correlación con el primer componente principal. Los valores singulares (en Σ) son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz X T X. Cada valor propio es proporcional a la parte de la "varianza" (más correctamente de la suma de las distancias al cuadrado de los puntos de su media multidimensional) que está asociada con cada vector propio. La suma de todos los valores propios es igual a la suma de las distancias al cuadrado de los puntos desde su media multidimensional. PCA esencialmente rota el conjunto de puntos alrededor de su media para alinearse con los componentes principales. Esto mueve tanta varianza como sea posible (usando una transformación ortogonal) a las primeras dimensiones. Los valores en las dimensiones restantes, por lo tanto, tienden a ser pequeños y pueden eliminarse con una pérdida mínima de información (ver más abajo). El PCA se usa a menudo de esta manera para la reducción de dimensionalidad. PCA tiene la distinción de ser la transformación ortogonal óptima para mantener el subespacio que tiene la mayor "varianza" (como se definió anteriormente). Esta ventaja, sin embargo, tiene el precio de mayores requisitos computacionales si se compara, por ejemplo, y cuando sea aplicable, con la transformada de coseno discreta, y en particular con la DCT-II que se conoce simplemente como "DCT". Las técnicas de reducción de dimensionalidad no lineal tienden a ser más exigentes computacionalmente que la PCA.

PCA es sensible al escalado de las variables. Si solo tenemos dos variables y tienen la misma varianza muestral y están correlacionadas positivamente, entonces el PCA implicará una rotación de 45 ° y los "pesos" (son los cosenos de rotación) para las dos variables con respecto al principal. el componente será igual. Pero si multiplicamos todos los valores de la primera variable por 100, entonces el primer componente principal será casi el mismo que esa variable, con una pequeña contribución de la otra variable, mientras que el segundo componente estará casi alineado con la segunda variable original. Esto significa que siempre que las diferentes variables tienen diferentes unidades (como temperatura y masa), el PCA es un método de análisis algo arbitrario. (Se obtendrían resultados diferentes si se usaran Fahrenheit en lugar de Celsius, por ejemplo.) El artículo original de Pearson se titulaba "Sobre líneas y planos de ajuste más cercano a sistemas de puntos en el espacio" - "en el espacio" implica espacio euclidiano físico donde tales preocupaciones se no surgir. Una forma de hacer que el PCA sea menos arbitrario es usar variables escaladas para tener varianza unitaria, estandarizando los datos y, por lo tanto, usar la matriz de autocorrelación en lugar de la matriz de autocovarianza como base para PCA. Sin embargo, esto comprime (o expande) las fluctuaciones en todas las dimensiones del espacio de la señal a la varianza unitaria.

La resta de la media (también conocida como "centrado de la media") es necesaria para realizar un PCA clásico para garantizar que el primer componente principal describe la dirección de la varianza máxima. Si no se realiza la resta de la media, el primer componente principal podría corresponder más o menos a la media de los datos. Se necesita una media de cero para encontrar una base que minimice el error cuadrático medio de la aproximación de los datos. [13]

El centrado medio es innecesario si se realiza un análisis de componentes principales en una matriz de correlación, ya que los datos ya están centrados después de calcular las correlaciones. Las correlaciones se derivan del producto cruzado de dos puntuaciones estándar (puntuaciones Z) o momentos estadísticos (de ahí el nombre: Correlación producto-momento de Pearson). Consulte también el artículo de Kromrey & amp Foster-Johnson (1998) sobre "Centrado en la media en regresión moderada: mucho ruido y pocas nueces".

PCA es una técnica primaria popular en el reconocimiento de patrones. Sin embargo, no está optimizado para la separabilidad de clases. [14] Sin embargo, se ha utilizado para cuantificar la distancia entre dos o más clases calculando el centro de masa para cada clase en el espacio del componente principal y reportando la distancia euclidiana entre el centro de masa de dos o más clases. [15] El análisis discriminante lineal es una alternativa optimizada para la separabilidad de clases.

Símbolo Significado Dimensiones Índices
X = < Displaystyle mathbf =<>>> matriz de datos, que consta del conjunto de todos los vectores de datos, un vector por fila n × p i = 1… n < Displaystyle i = 1 ldots n>
j = 1… p
norte el número de vectores de fila en el conjunto de datos 1 × 1 escalar
pag el número de elementos en cada vector de fila (dimensión) 1 × 1 escalar
L el número de dimensiones en el subespacio dimensionalmente reducido, 1 ≤ L ≤ p 1 × 1 escalar
u = < Displaystyle mathbf =<>>> vector de medias empíricas, una media para cada columna j de la matriz de datos p × 1 j = 1… p
s = < Displaystyle mathbf =<>>> vector de desviaciones estándar empíricas, una desviación estándar para cada columna j de la matriz de datos p × 1 j = 1… p
h = < Displaystyle mathbf =<>>> vector de todos los 1 1 × n i = 1… n
B = < Displaystyle mathbf =<>>> desviaciones de la media de cada columna j de la matriz de datos n × p i = 1… n < Displaystyle i = 1 ldots n>
j = 1… p
Z = < Displaystyle mathbf =<>>> puntuaciones z, calculadas utilizando la media y la desviación estándar de cada fila metro de la matriz de datos n × p i = 1… n < Displaystyle i = 1 ldots n>
j = 1… p
C = < Displaystyle mathbf =<>>> Matriz de covarianza p × p j = 1… p < displaystyle j = 1 ldots p>
j ′ = 1… p
R = < Displaystyle mathbf =<>>> matriz de correlación p × p j = 1… p < displaystyle j = 1 ldots p>
j ′ = 1… p
V = < Displaystyle mathbf =<>>> matriz que consta del conjunto de todos los vectores propios de C, un vector propio por columna p × p j = 1… p < displaystyle j = 1 ldots p>
j ′ = 1… p
D = < Displaystyle mathbf =<>>> matriz diagonal que consta del conjunto de todos los valores propios de C a lo largo de su diagonal principal, y 0 para todos los demás elementos p × p j = 1… p < displaystyle j = 1 ldots p>
j ′ = 1… p
W = < Displaystyle mathbf =<>>> matriz de vectores base, un vector por columna, donde cada vector base es uno de los vectores propios de C, y donde los vectores en W son un subconjunto de aquellos en V p × L j = 1… p < displaystyle j = 1 ldots p>
l = 1… L
T = < Displaystyle mathbf =<>>> matriz que consta de norte vectores de fila, donde cada vector es la proyección del vector de datos correspondiente de la matriz X sobre los vectores base contenidos en las columnas de la matriz W. n × L i = 1… n < Displaystyle i = 1 ldots n>
l = 1… L

Propiedades Editar

Algunas propiedades de PCA incluyen: [10] [ página necesaria ]

La implicación estadística de esta propiedad es que las últimas PC no son simplemente restos no estructurados después de eliminar las PC importantes. Debido a que estos últimos PC tienen variaciones lo más pequeñas posible, son útiles por derecho propio. Pueden ayudar a detectar relaciones lineales casi constantes insospechadas entre los elementos de x, y también pueden ser útiles en la regresión, en la selección de un subconjunto de variables de x y en la detección de valores atípicos.

Antes de ver su uso, primero miramos los elementos diagonales,

Limitaciones Editar

Como se señaló anteriormente, los resultados de PCA dependen de la escala de las variables. Esto se puede solucionar escalando cada característica por su desviación estándar, de modo que uno termine con características adimensionales con varianza unital. [dieciséis]

La aplicabilidad de la PCA como se describe anteriormente está limitada por ciertas suposiciones (tácitas) [17] hechas en su derivación. En particular, PCA puede capturar correlaciones lineales entre las características, pero falla cuando se viola esta suposición (consulte la Figura 6a en la referencia). En algunos casos, las transformaciones de coordenadas pueden restaurar el supuesto de linealidad y luego se puede aplicar PCA (ver kernel PCA).

Otra limitación es el proceso de eliminación de la media antes de construir la matriz de covarianza para PCA. En campos como la astronomía, todas las señales no son negativas, y el proceso de eliminación de la media forzará a que la media de algunas exposiciones astrofísicas sea cero, lo que en consecuencia crea flujos negativos no físicos, [18] y se debe realizar un modelado directo para recuperar la verdadera magnitud de las señales. [19] Como método alternativo, la factorización de matrices no negativas se centra solo en los elementos no negativos de las matrices, lo que es adecuado para observaciones astrofísicas. [20] [21] [22] Ver más en Relación entre PCA y factorización matricial no negativa.

El PCA es una desventaja si los datos no se han estandarizado antes de que se aplique el PCA. PCA transforma los datos originales en datos que son relevantes para los componentes principales de esos datos, lo que significa que las nuevas variables de datos no pueden interpretarse de la misma manera que los originales. Son interpretaciones lineales de las variables originales. Además, si la PCA no se realiza correctamente, existe una alta probabilidad de pérdida de información. [23]

PCA se basa en un modelo lineal. Si un conjunto de datos tiene un patrón oculto dentro de él que no es lineal, entonces PCA puede realmente dirigir el análisis en la dirección completamente opuesta del progreso. [24] [ página necesaria ] Los investigadores de la Universidad Estatal de Kansas descubrieron que el error de muestreo en sus experimentos afectó el sesgo de los resultados de la PCA. "Si el número de sujetos o bloques es menor que 30, y / o el investigador está interesado en PC más allá del primero, puede ser mejor corregir primero la correlación serial, antes de realizar el PCA". [25] Los investigadores de Kansas State también encontraron que PCA podría estar "seriamente sesgado si la estructura de autocorrelación de los datos no se maneja correctamente". [25]

PCA y teoría de la información Editar

La reducción de dimensionalidad pierde información, en general. La reducción de dimensionalidad basada en PCA tiende a minimizar esa pérdida de información, bajo ciertos modelos de señal y ruido.

Bajo el supuesto de que

Si el ruido sigue siendo gaussiano y tiene una matriz de covarianza proporcional a la matriz identidad (es decir, los componentes del vector n < displaystyle mathbf > son iid), pero la señal portadora de información s < displaystyle mathbf > no es gaussiano (que es un escenario común), PCA al menos minimiza un límite superior en el pérdida de información, que se define como [27] [28]

La optimalidad de PCA también se conserva si el ruido n < displaystyle mathbf > es iid y al menos más gaussiano (en términos de la divergencia Kullback-Leibler) que la señal portadora de información s < displaystyle mathbf >. [29] En general, incluso si el modelo de señal anterior se cumple, el PCA pierde su optimización de la teoría de la información tan pronto como el ruido n < displaystyle mathbf > se vuelve dependiente.

La siguiente es una descripción detallada de PCA usando el método de covarianza (ver también aquí) en oposición al método de correlación. [30]

El objetivo es transformar un conjunto de datos dado X de dimensión pag a un conjunto de datos alternativo Y de menor dimensión L. De manera equivalente, buscamos encontrar la matriz Y, dónde Y es la transformada de Karhunen-Loève (KLT) de la matriz X:

Organizar el conjunto de datos Editar

Suponer tiene datos que comprenden un conjunto de observaciones de pag variables, y desea reducir los datos para que cada observación se pueda describir con solo L variables, L & lt pag. Suponga además que los datos están organizados como un conjunto de norte vectores de datos x 1… x n < displaystyle mathbf _ <1> ldots mathbf _> con cada x yo < displaystyle mathbf _> que representa una sola observación agrupada de la pag variables.

Calcular la media empírica Editar

  • Encuentra la media empírica a lo largo de cada columna. j = 1, …, pag.
  • Coloque los valores medios calculados en un vector medio empírico tu de dimensiones pag × 1. u j = 1 norte ∑ yo = 1 norte X yo j < Displaystyle u_= < frac <1>> sum _^X_>

Calcular las desviaciones de la media Editar

La resta media es una parte integral de la solución para encontrar una base de componente principal que minimice el error cuadrático medio de aproximar los datos. [31] Por lo tanto, procedemos centrando los datos de la siguiente manera:

  • Resta el vector medio empírico u T < displaystyle mathbf ^> de cada fila de la matriz de datos X.
  • Almacene los datos restados de la media en el norte × pag matriz B. B = X - h u T < Displaystyle mathbf = mathbf - mathbf mathbf ^> donde h es un norte × 1 vector de columna de todos los 1: h i = 1 para i = 1,…, n < displaystyle h_= 1 , qquad qquad < text> i = 1, ldots, n>

En algunas aplicaciones, cada variable (columna de B) también se puede escalar para tener una varianza igual a 1 (consulte la puntuación Z). [32] Este paso afecta a los componentes principales calculados, pero los hace independientes de las unidades utilizadas para medir las diferentes variables.


Contenido

En MRI, el campo local δ B < displaystyle delta B> inducido por la susceptibilidad de biomaterial no ferromagnético a lo largo del campo principal de polarización B₀ es la convolución de la distribución de susceptibilidad de volumen χ < displaystyle chi> con el núcleo dipolar d < Displaystyle d>: δ B = re ⊗ χ < displaystyle delta B = d otimes chi>. Esta convolución espacial se puede expresar como una multiplicación puntual en el dominio de Fourier: [6] [7] Δ B = D ⋅ X < displaystyle Delta B = D cdot mathrm >. Esta expresión de Fourier proporciona una forma eficaz de predecir la perturbación del campo cuando se conoce la distribución de susceptibilidad. Sin embargo, el problema de la inversa del campo a la fuente implica la división por cero en un par de superficies cónicas en el ángulo mágico con respecto a B₀ en el dominio de Fourier. En consecuencia, la susceptibilidad está subdeterminada en las frecuencias espaciales en la superficie del cono, lo que a menudo conduce a graves artefactos de rayas en el QSM reconstruido.

Adquisición de datos Editar

En principio, cualquier secuencia de eco de gradiente 3D se puede utilizar para la adquisición de datos. En la práctica, se prefieren las imágenes de alta resolución con un tiempo de eco moderadamente largo para obtener suficientes efectos de susceptibilidad, aunque los parámetros óptimos de imágenes dependen de las aplicaciones específicas y la intensidad del campo. Una adquisición de eco múltiple es beneficiosa para una medición precisa del campo B₀ sin la contribución de B1 inhomogeneidad. La compensación de flujo puede mejorar aún más la precisión de la medición de la susceptibilidad en sangre venosa, pero existen ciertas dificultades técnicas para diseñar una secuencia de eco múltiple con compensación de flujo completo.

Eliminación del campo de fondo Editar

En el mapeo cuantitativo de susceptibilidad del cerebro humano, solo las fuentes de susceptibilidad local dentro del cerebro son de interés. Sin embargo, el campo magnético inducido por las fuentes locales está inevitablemente contaminado por el campo inducido por otras fuentes, como la falta de homogeneidad del campo principal (calce imperfecto) y la interfaz aire-tejido, cuya diferencia de susceptibilidad es órdenes de magnitudes mayores que la de las fuentes locales. . Por lo tanto, el campo de fondo no biológico debe eliminarse para una visualización clara en imágenes de fase y una cuantificación precisa en QSM.

Idealmente, el campo de fondo se puede medir directamente con un escaneo de referencia separado, donde la muestra de interés se reemplaza por un maniquí uniforme con la misma forma mientras que el escáner se calza idéntico. Sin embargo, para la aplicación clínica, tal enfoque es imposible y se prefieren los métodos basados ​​en el posprocesamiento. Los métodos heurísticos tradicionales, incluido el filtrado de paso alto, son útiles para eliminar el campo de fondo, aunque también alteran el campo local y degradan la precisión cuantitativa.

Los métodos de eliminación de campos de fondo más recientes aprovechan directa o indirectamente el hecho de que el campo de fondo es una función armónica. Dos métodos recientes que se basan en principios físicos, Proyección en campos dipolo (PDF) [8] y Reducción sofisticada de artefactos armónicos en datos de fase (SHARP), [9] demostraron un contraste mejorado y mayor precisión en el campo local estimado. Ambos métodos modelan el campo de fondo como un campo magnético generado por una distribución de susceptibilidad de fondo desconocida y lo diferencian del campo local utilizando la ortogonalidad aproximada o la propiedad armónica. El campo de fondo también se puede calcular directamente resolviendo la ecuación de Laplace con valores límite simplificados, como se demuestra en el método del valor límite Laplaciano (LBV). [10]

Inversión de campo a fuente Editar

El problema inverso de campo a fuente puede resolverse mediante varios métodos con varias ventajas y limitaciones asociadas.

Cálculo de susceptibilidad mediante muestreo de orientación múltiple (COSMOS) [11] [12] Editar

COSMOS resuelve el problema inverso mediante el sobremuestreo desde múltiples orientaciones. [11] COSMOS utiliza el hecho de que la superficie del cono cero en el dominio de Fourier está fijada en el ángulo mágico con respecto al campo B₀. Por lo tanto, si un objeto se gira con respecto al campo B₀, entonces, en el marco del objeto, se gira el campo B₀ y, por lo tanto, el cono. En consecuencia, los datos que no se pueden calcular debido al cono están disponibles en las nuevas orientaciones.

COSMOS asume una distribución de susceptibilidad sin modelo y mantiene una fidelidad total a los datos medidos. Este método ha sido validado ampliamente en in vitro, ex vivo y experimentos fantasmas. Mapas cuantitativos de susceptibilidad obtenidos de en vivo Las imágenes del cerebro humano también mostraron un alto grado de acuerdo con los conocimientos previos sobre la anatomía del cerebro. En general, se requieren tres orientaciones para COSMOS, lo que limita la practicidad para las aplicaciones clínicas. Sin embargo, puede servir como patrón de referencia cuando esté disponible para calibrar otras técnicas.

Inversión dipolo activada por morfología (MEDI) [13] Editar

Una ventaja única de la resonancia magnética es que proporciona no solo la imagen de fase, sino también la imagen de magnitud. En principio, el cambio de contraste, o equivalentemente el borde, en una imagen de magnitud surge del cambio subyacente del tipo de tejido, que es la misma causa del cambio de susceptibilidad. Esta observación se traduce a las matemáticas en MEDI, donde los bordes en un QSM que no existen en la imagen de magnitud correspondiente se dispersan al resolver un problema de minimización de normas ponderado l 1 < displaystyle l_ <1>>. [14]

MEDI también se ha validado extensamente en fantasma, in vitro y ex vivo experimentos. En en vivo cerebro humano, el QSM calculado por MEDI mostró resultados similares en comparación con COSMOS sin diferencias estadísticamente significativas. [15] MEDI solo requiere una adquisición de un solo ángulo, por lo que es una solución más práctica para QSM.

División de espacio K umbral (TKD) [12] [16] Editar

Los datos indeterminados en el dominio de Fourier están solo en la ubicación del cono y su vecindad inmediata. Para esta región en el espacio k, las frecuencias espaciales del núcleo del dipolo se establecen en un valor predeterminado distinto de cero para la división. La investigación de estrategias más avanzadas para recuperar datos en esta región del espacio k también es un tema de investigación en curso. [17]

La división de espacio k con umbral solo requiere una adquisición de un solo ángulo y se beneficia de la facilidad de implementación, así como de la rápida velocidad de cálculo. Sin embargo, los artefactos de rayas están presentes con frecuencia en el QSM y el valor de susceptibilidad se subestima en comparación con el QSM calculado por COSMOS.

Diferenciar la calcificación del hierro Editar

Ha sido confirmado en en vivo y experimentos fantasma de que los huesos corticales, cuya composición principal es la calcificación, son diamagnéticos en comparación con el agua. [11] [18] Por lo tanto, es posible utilizar este diamagnetismo para diferenciar las calcificaciones de los depósitos de hierro que suelen demostrar un fuerte paramagnetismo. [19] Esto puede permitir que QSM sirva como una herramienta de resolución de problemas para el diagnóstico de hallazgos hipointensos de confusión en imágenes ponderadas en T2 *.

Cuantificación del agente de contraste Editar

Para fuentes de susceptibilidad exógenas, el valor de susceptibilidad es teóricamente linealmente proporcional a la concentración del agente de contraste. Esto proporciona una nueva forma de en vivo cuantificación de concentraciones de gadolinio o SPIO. [20]


3 respuestas 3

Si intenta comprender cómo se distribuye el 120 / 240Vac 60Hz, necesitaría un adaptador en Y mucho más largo para combinar fases opuestas para obtener 240V. Cada fase etiquetada como Línea 1 y Línea 2 (Negra y Roja) en los estándares de América del Norte se distribuye alrededor de la casa para equilibrar la carga, y ambas están conectadas al horno y la secadora eléctrica. EN América del Norte, se usa un enchufe y una salida más grandes para 240Vca y NUNCA lo mismo que se usa para 120Vca. -> Pero ambos nunca están conectados a un tomacorriente dual de baja corriente. (10

El método habitual es un cable de 240 V directamente desde el panel de interruptores, ya que los tomacorrientes duales adyacentes siempre tienen la misma fase cableada. Los calentadores de agua clasificados para 240 no necesitan neutro, por lo que todo lo que se necesita es un cable + tierra, mientras que una estufa / horno requiere tanto L1, L2 y N para luces de 120 Vca, reloj y salidas de accesorios, por lo que un cable de alimentación de 3 hilos + tierra usó.

Normalmente, el cable doméstico es Negro (Línea = vivo) y BLANCO (neutro) y se puede usar Negro para la Línea 1 o la Línea 2.


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8 Respuestas 8

Un circuito derivado de varios cables (dos conexiones de diferentes fases que comparten 1 neutro) se encuentra a menudo en la cocina, donde alimenta un receptáculo que tiene el puente que conecta las salidas superior e inferior quitado. El resultado es que obtiene dos circuitos de 15 amperios en un receptáculo. En el panel, ambos disyuntores deben estar unidos entre sí para que no sea posible tener uno encendido y otro apagado.

El código varía según la región, pero no creo que normalmente esté permitido en ninguna otra configuración.

También existen restricciones para tener varios circuitos en una sola caja de conexiones. Tenga cuidado al trabajar en esto, incluso si el disyuntor está apagado, verifique el voltaje con un probador sin contacto para asegurarse de que no haya otros circuitos activos.

Solo si es un circuito dividido de 220 voltios, como señala Steven y deber estar en un disyuntor de dos polos. Esto asegura que el circuito tenga dos tramos diferentes y no solo uno, además todo el circuito se desactivará con un solo interruptor. Cada pierna caliente regresa en este neutral compartido. El razonamiento es que no pasará más de la corriente nominal (interruptor) a través del neutro en esta configuración. Las dos patas "calientes" tenderán a equilibrar la corriente de retorno. Ejemplo: si ambas piernas consumen 5A, entonces no pasa corriente de retorno a través del neutro. Si la pierna 1 dibuja 3A y la pierna 2 dibuja 10A, entonces la diferencia, 7A se devuelve a través del punto muerto.

Es NO permitido compartir un neutral en cualquier otra situación. Si compartiera un neutro con dos interruptores en la misma pata de un panel, ambos circuitos podrían dibujar el límite del interruptor (digamos 15 A), lo que hace que el neutro compartido tenga una corriente de retorno de hasta 30 A. Eso excederá el límite del tamaño del cable y podría provocar un incendio. Además, los disyuntores GFCI y AFCI no funcionarán en un circuito neutral compartido.


Ver el vídeo: Sistemas Dinámicos - Ecuaciones Diferenciales - Estabilidad y Diagrama de Fases - EJEMPLO 1 (Septiembre 2021).