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9.4: Caos en el modelo de tiempo continuo - Matemáticas


Como revisamos anteriormente, el caos es realmente fácil de mostrar en modelos de tiempo discreto. Pero el descubrimiento del caos se hizo originalmente con sistemas dinámicos de tiempo continuo, es decir, ecuaciones diferenciales. Edward Lorenz, un matemático y meteorólogo estadounidense, y uno de los fundadores de la teoría del caos, encontró accidentalmente un comportamiento caótico en el siguiente modelo (llamado el Ecuaciones de Lorenz) que desarrolló para estudiar la dinámica de la convección atmosférica a principios de la década de 1960 [5]:

[ frac {d x} {d t} = s (y - x) label {9.9} ]

[ frac {d y} {d t} = r x - y - x z label {9.10} ]

[ frac {d z} {d t} = x y - b z label {9.11} ]

Aquí (s ), (r ) y (b ) son parámetros positivos. Se sabe que este modelo es uno de los primeros que puede mostrar caos en tiempo continuo. Simulemos este modelo con (s = 10 ), (r = 30 ) y (b = 3 ), por ejemplo:

Este código produce dos salidas: una es la gráfica de series de tiempo deX,y, yz(Fig. 9.4.1), y el otro es la trayectoria del estado del sistema en un espacio de fase 3-D (Fig. 9.4.2). Como puede ver en la figura 9.4.1, el comportamiento del sistema es altamente impredecible, pero definitivamente también tiene cierta regularidad.Xyytienden a permanecer en el lado positivo o negativo, mientras muestran algunas oscilaciones con amplitudes crecientes. Cuando la oscilación se vuelve demasiado grande, se arrojan al otro lado. Esto continúa indefinidamente, con cambios ocasionales de bando en momentos impredecibles. Mientras tanto,zpermanece positivo todo el tiempo, con patrones oscilatorios similares.

Graficar estas tres variables juntas en un espacio de fase 3-D revela lo que se llama la Atractor de Lorenz (Fig. Es probablemente el ejemplo más conocido de atractores extraños, es decir, atractores que aparecen en espacios de fase de sistemas caóticos.

Al igual que cualquier otro atractor, los atractores extraños son conjuntos de estados a los que se atraen trayectorias cercanas. Pero lo que los hace realmente "extraños" es que, incluso si parecen un objeto voluminoso, su "volumen”Es cero en relación con el del espacio de fase, y por lo tanto tienen un dimensión fractal, es decir, una dimensión de un objeto que no tiene valores enteros. Por ejemplo, se sabe que la dimensión fractal del atractor de Lorenz es de aproximadamente 2,06, es decir, está bastante cerca de un objeto 2-D, pero no del todo. De hecho, cualquier sistema caótico tiene un atractor extraño con dimensión fractal en su espacio de fase. Por ejemplo, si observa detenidamente los intrincados patrones del caótico régimen de Fig. 8.4.3, verá patrones fractales allí también.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuje trayectorias de los estados de las ecuaciones de Lorenz en un espacio de fase 3-D para varios valores diferentes de r mientras otros parámetros se mantienen constantes. Vea cómo cambia la dinámica de las ecuaciones de Lorenz a medida que varía (r ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Obtenga los puntos de equilibrio de las ecuaciones de Lorenz en función de (r ), manteniendo (s = 10 ) y (b = 3 ). Luego, realice un análisis de bifurcación en cada punto de equilibrio para encontrar los umbrales críticos de r en los que ocurre una bifurcación.

Compare su resultado con los resultados de la simulación numérica obtenidos en el ejercicio anterior.

Por cierto, dije antes que cualquier sistema caótico tiene dos procesos dinámicos: estiramiento y plegado. ¿Dónde ocurren estos procesos en el atractor de Lorenz? No es tan sencillo entender completamente su estructura, pero el estiramiento ocurre cuando la trayectoria gira en círculos dentro de una de las dos "alas" del atractor. Las espirales que se ven en esas alas son inestables que van hacia afuera, por lo que la distancia entre los estados inicialmente cercanos se expande a medida que giran alrededor del foco de la espiral. Mientras tanto, el plegado se produce en el centro del atractor, donde se encuentran dos "láminas" de trayectorias. Esas dos hojas en realidad nunca se cruzan, sino que se mantienen separadas entre sí, formando un "sándwich de oblea" hecho de dos capas delgadas, cuya mitad derecha continúa en círculo en el ala derecha mientras que la mitad izquierda pasa a la izquierda ala. De esta forma, la “masa” se divide en dos, cada uno de los cuales se estira, y luego las dos masas estiradas se apilan una encima de la otra para formar una nueva masa que se vuelve a hacer de dos capas. A medida que este proceso continúa, el resultado final, el atractor de Lorenz, adquiere un número infinito de capas formadas recursivamente en él, lo que le da el nombre de un atractor "extraño" con una dimensión fractal.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Grafique el atractor de Lorenz en varias perspectivas diferentes (la opción más fácil sería proyectarlo en los planos (x-y ), (y-z ) y (x-z )) y observar su estructura. Interprete su forma y los flujos de trayectorias desde un punto de vista de estiramiento y plegado.

Me gustaría mencionar un hecho matemático más importante antes de cerrar este capítulo:

Para que los sistemas dinámicos de tiempo continuo sean caóticos, las dimensiones del espacio de fase del sistema deben ser al menos 3-D. Por el contrario, los sistemas dinámicos de tiempo discreto pueden ser caóticos independientemente de sus dimensiones.

Las ecuaciones de Lorenz involucraron tres variables, por lo que fue un ejemplo de sistemas caóticos de tiempo continuo con dimensionalidad mínima.

Este hecho se deriva de la Teorema de Poincar´e-Bendixson en matemáticas, que establece que ningún atractor extraño puede surgir en el espacio de fase bidimensional continuo. Una explicación intuitiva de esto es que, en un espacio de fase 2-D, cada trayectoria existente funciona como un "muro" que no puede cruzar, lo que impone limitaciones sobre dónde puede ir en el futuro. En un entorno tan cada vez más restrictivo, no es posible mantener la dinámica de exploración continua durante un período de tiempo indefinidamente largo.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Reúna un bolígrafo y una hoja de papel en blanco. Empiece a dibujar una curva continua en el papel que represente la trayectoria de un sistema dinámico hipotético en un espacio de fase bidimensional. La forma de la curva que dibuja puede ser arbitraria, pero con las siguientes limitaciones:

• No puede dejar que el bolígrafo se salga del papel. La curva debe dibujarse con un trazo continuo.

• La curva no puede fusionarse ni cruzarse a sí misma.

• No puede dibujar curvas que fluyan en direcciones opuestas dentro de un área muy pequeña (esto viola el supuesto de continuidad del espacio de fase).

Siga dibujando la curva todo el tiempo que pueda y vea qué sucede. Analice las implicaciones del resultado para los sistemas dinámicos. Luego, considere lo que sucedería si dibujara la curva en un espacio tridimensional en lugar de en dos dimensiones.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Sea zi el valor del (i ) - ésimo pico de (z (t) ) producido por las ecuaciones de Lorenz. Obtenga datos de series de tiempo ({z_1, z_2, z_3, ...} ) a partir de los resultados de la simulación numérica. Trace (z_t ) contra (z_ {t − 1} ), como en una trama de telaraña, y vea qué tipo de estructura encuentra allí. Realice esta visualización para varios valores de r, mientras mantiene (s = 10 ) y (b = 3 ), y compare los resultados con los resultados del análisis de bifurcación obtenido en el ejercicio 9.4.1.

Como se revisó en este y en los capítulos anteriores, las bifurcaciones y el caos son las características más distintivas de los sistemas no lineales. Pueden producir comportamientos inesperados del sistema que a menudo son contrarios a nuestra comprensión cotidiana de la naturaleza. Pero una vez que se da cuenta de la posibilidad de tales comportamientos del sistema y sabe cómo y cuándo pueden ocurrir, su visión del mundo se vuelve más informada y enriquecida. Después de todo, las bifurcaciones y el caos juegan un papel importante en nuestros entornos físicos, biológicos, ecológicos y tecnológicos (así como en el interior de nuestros cuerpos y cerebros). Por tanto, deberían merecer nuestro reconocimiento.

Este capítulo concluye nuestro viaje a través de sistemas con una pequeña cantidad de variables. En el próximo capítulo cambiaremos de marcha y finalmente entraremos en el ámbito de los sistemas complejos que están formados por un gran número de variables.


Bifurcación, análisis del caos y control en un sistema depredador-presa en tiempo discreto

El comportamiento dinámico de un modelo depredador-presa en tiempo discreto con esquemas de tipo II modificados de Leslie-Gower y Holling se investiga sobre la base del método de la forma normal, así como la teoría de la bifurcación y el caos. Se discute la existencia y estabilidad de puntos fijos para el modelo. Se muestra que bajo ciertas condiciones, el sistema sufre una bifurcación de Neimark-Sacker cuando el parámetro de bifurcación pasa un valor crítico y una curva invariante cerrada surge de un punto fijo. El caos en el sentido de Marotto también se verifica mediante métodos analíticos y numéricos. Además, para retrasar o eliminar los fenómenos de bifurcación y caos que existen objetivamente en este sistema, se diseñan dos estrategias de control, respectivamente. Las simulaciones numéricas se presentan no solo para validar los resultados analíticos sino también para mostrar el complicado comportamiento dinámico.


Un tributo a J. C. Sprott

En honor a su 75 cumpleaños, revisamos los trabajos destacados del profesor Julien Clinton Sprott en caos y dinámica no lineal. Clasificamos sus obras en tres grupos importantes. El primer y más importante grupo es la identificación de nuevos sistemas dinámicos con propiedades especiales. Ha propuesto diferentes mapas caóticos, flujos, sistemas variables complejos, sistemas no autónomos, ecuaciones diferenciales parciales, sistemas de orden fraccionario, sistemas diferenciales de retardo, sistemas espacio-temporales, redes neuronales artificiales y circuitos eléctricos caóticos. También ha estudiado propiedades dinámicas de sistemas complejos como bifurcaciones y cuencas de atracción. Ha trabajado en la generación de arte fractal. Ha examinado modelos de sistemas del mundo real que exhiben caos. El segundo grupo de sus obras comprende el control y la sincronización del caos. Finalmente, el tercer grupo está extrayendo propiedades dinámicas de sistemas usando análisis de series de tiempo. Este documento destaca el impacto del trabajo de Sprott en la promoción de la dinámica no lineal.


Resumen

Se estudia un modelo Chua cuatridimensional de cuatro parámetros con no linealidad cúbica aplicando métodos de continuación numérica y soluciones numéricas. En cuanto a los métodos de solución numérica, su dinámica se caracteriza en diagramas de Lyapunov e isoperiódicos y en cuanto al método de continuación numérico, se obtienen las curvas de bifurcación. Combinando ambos métodos se obtuvieron las estructuras de bifurcación del modelo con la posibilidad de describir el camaróndominios con forma y sus endoesqueletos. Estudiamos el efecto de un parámetro que controla la dimensión del sistema que lleva al modelo a presentar un caos transitorio con su correspondiente cuenca de atracción plagada.


9.4: Caos en el modelo de tiempo continuo - Matemáticas

Matemáticas de Egwald: Dinámica no lineal:

Modelo de crecimiento de Trygve Haavelmo

Tiempo continuo versus tiempo discreto

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El modelo de crecimiento de Trygve Haavelmo

El modelo de crecimiento de Trygve Haavelmo en Un estudio en la teoría de la evolución económica. proporciona un ejemplo de los diferentes comportamientos dinámicos que surgen de modelos equivalentes expresados ​​como ecuaciones diferenciales o en diferencias. Mientras que las trayectorias de solución de la versión de tiempo continuo del modelo convergen a su punto fijo, las trayectorias de solución de la versión de tiempo discreto pueden exhibir un comportamiento caótico.

Como lo describe Hans-Walter Lorenz en Economía dinámica no lineal y movimiento caótico (141-143), el modelo unidimensional del ciclo de crecimiento de Haavelmo (28-29) describe la producción de producción de una economía en función del stock de capital (K) y el nivel de empleo (N).

Utilizando rendimientos constantes para escalar la versión de la función de producción Cobb-Douglas de este modelo:

la ecuación diferencial que rige el crecimiento del empleo es:

dN / dt = N * (& alpha - & beta * N / Y), N (0) = N0, & alpha, & beta> 0, (2)

cuyo la solución es una función N (t) = N (t, N0)) del tiempo, t, y la condición inicial, N (t = 0) = N0.

Por tanto, la tasa de crecimiento del empleo, dN / dt / N, es una función creciente de la renta per cápita (producción), S / N.

La combinación de las ecuaciones (1) y (2) produce:

dN / dt = f (N, & alpha) = & alpha * N - & beta / (c * K (1-a)) * N (2 - a), N (0) = N0. (3)

dónde & alpha es el parámetro de la ecuación diferencial (2) a analizar.

Para encontrar el punto fijo, establezca f (N, & alpha) = 0y resolver para N * :

f (N, & alpha) = & alpha * N - & beta / (c * K (1-a)) * N (2 - a) = 0, o

N * = (& alpha * c * K (1-a) / & beta) 1 / (1 - a). (4)

Análisis de estabilidad lineal

Al evaluar la derivada parcial de f con respecto a N en el punto fijo N * se obtiene:

Fnorte(N, & alpha) = & alpha - (2 - a) * (& beta / (c * K (1 - a) * N (1 - a), y

Diagramas de fase y trayectorias de solución

Particular el modelo de crecimiento continuo estableciendo:

con parámetro &alfa y condición inicial N (0) = N0.

Los siguientes diagramas muestran los diagramas de fase y las trayectorias de la solución, Nuevo Testamento), para diversas condiciones iniciales N (0)y dos valores del parámetro &alfa.

En la ecuación diferencial (3), reemplace el función de trayectoria N (t) por la órbita de trayectoria <>t>, y el operador diferencial dN / dt con la diferencia finita Nt + 1 - Nt para obtener la ecuación de diferencia:

Esta ecuación de diferencia se puede transformar mediante la transformación:

Las dinámicas de la ecuación (6) son cualitativamente equivalentes a las de la ecuación logística (establezca r = (1 + & alpha) y sea a & rarr 0). Además, f (0, & alpha) = f (1, & alpha) = 0, y f es una joroba y no invertible.

Puntos fijos de lo discreto F mapa satisfacer:

f (x, & alpha) = (1 + & alpha) * x * (1 - x (1 - a)) = x, (7)

Análisis de estabilidad lineal

La derivada parcial de f con respecto ax es:

Evaluar F en sus puntos fijos para obtener los multiplicadores:

Diagramas de fase y trayectorias de solución

Particularice el modelo de crecimiento discreto estableciendo:

con parámetro &alfa y condición inicial X0 = x0.

El punto fijo x2 de F es un atractor en el rango:

El mapa de segundo orden de f, denotado por f 2, es xt + 2 = f (xt + 1y alfa) = f (f (xt, & alpha), & alpha) = f 2 (xty alfa).

Los siguientes gráficos muestran los diagramas de fase de f en azul y f 2 en rojo . Los puntos fijos estables x3 y x4 de f 2 emerge cuando & alpha aumenta más allá de 2 / .7. En & alpha = 2 / .7 = 2.8571, f 2 tiene un punto fijo de multiplicidad tres (es decir, x2 = x3 = x4 = 2 / .7). Para & alpha> 2 / .7, x3 y x4 soporte x2y establecer el período-2 ciclo visto en el diagrama de trayectoria anterior para & alpha = 3.2. Eventualmente, estos puntos fijos del período 2 se vuelven inestables y experimentan bifurcaciones de volteo con respecto a f 4 , el mapa de duplicación del período de f 2 .

Bifurcación de giro de segundo orden (f 2)

Los siguientes diagramas muestran los diagramas de fase y las trayectorias de solución de x (t, x0) para el proceso dinámico no lineal de tiempo discreto. En & alpha = 3.48365646, f 2 sufre una bifurcación de duplicación (inversión) con x3 y x4 cambiar de atractores a repelentes. La trayectoria xt cambia entre los cuatro puntos fijos de atracción de f 4 , creando un establo cuatro ciclos.

& alpha = 3.4837, x1 = 0 repelente, x2 = 0,697 repelente
X3 = 0,4058 atractor, x4 = 0,8517 atractor f 2 bifurcación flip

El mapa de cuarto orden de f, denotado por f 4, es xt + 4 = f 2 (f 2 (xt, & alpha), & alpha) = f 4 (xty alfa).

El siguiente gráfico muestra los diagramas de fase de f en azul, f 2 en rojo , y f 4 en negro. Los puntos fijos x3 y x4 de f 2 cambiar de atractor a repelente a medida que & alpha aumenta más allá de 3.48365646. Para & alpha> 3.48365646, cuatro puntos fijos estables de f 4 emerge entre corchetes x3 y x4y establecer el período-4 ciclo. Eventualmente, estos puntos fijos del período 4 se vuelven inestables y experimentan bifurcaciones de volteo con respecto a f 8 , el mapa de duplicación del período de f 4 .

& alpha = 3.4837 bifurcación f 2 flip

Bifurcación de volteo de cuarto orden (f 4)

Los siguientes diagramas muestran los diagramas de fase y las trayectorias de solución de x (t, x0) para el proceso dinámico no lineal de tiempo discreto. En & alpha = 3.61271754, f 4 sufre una bifurcación de duplicación (inversión) con x5, X6, X7y x8 cambiar de atractores a repelentes. La trayectoria xt cambia entre los ocho puntos fijos de atracción de f 8 , creando un establo ocho ciclos.

& alpha = 3.6127, x1 = 0 repelente, x2 = 0,705 repelente
X3 = 0.38459 repelente, x4 = 0,86524 repelente
X5 = 0,32709, x6 = 0,49343, x7 = 0,8187, x8 = 0.88789 atractores f 4 bifurcación flip

El siguiente gráfico muestra los diagramas de fase de f en azul, f 4 en rojo , y f 8 en negro. Los puntos fijos x5, X6, X7y x8 de f 4 cambiar de atractor a repelente a medida que & alpha aumenta más allá de 3.61271754. Para & alpha> 3.61271754, ocho puntos fijos estables de f 8 emerge entre corchetes x5, X6, X7y x8y establecer el período-8 ciclo. Eventualmente, estos puntos fijos del período 8 se vuelven inestables y experimentan bifurcaciones de volteo con respecto a F 16 , el mapa de duplicación del período de f 8 .

& alpha = 3.6127 f 4 bifurcación invertida

A medida que aumenta y alfa, las duplicaciones del período se producen cuando f, f 2, f 4, f 8,. . . bifurcar en &alfa1 = 2 / .7 y alfa2 = 3.4837 y alfa3 = 3.6127 y alfa4 = . . ..

El surgimiento intermitente de orden y caos se revela en el diagrama de órbita a continuación, para & alpha (llamado r) en el intervalo [2.8, 4].

exhibiciones comportamiento aperiódico y mdash caótico y mdash, a medida que & alpha aumenta, con ventanas periódicas apareciendo. Estas dinámicas son cualitativamente similares a las observadas con el mapa logístico.

Dinámica de tiempo continua versus dinámica de tiempo discreta.

La siguiente tabla muestra cómo los niveles de empleo y producción de la economía aumentan de manera estable con & alpha en el modelo de tiempo continuo. Sin embargo, en el modelo de tiempo discreto, estos niveles de empleo y ciclo de producción exhiben una dinámica caótica a medida que aumenta & alfa.


Métodos

El algoritmo del árbol de decisión del caos

Para comprender la lógica del algoritmo 21 del árbol de decisión del caos, comenzamos con la prueba final en el árbol de decisión. El quid del algoritmo del árbol de decisión del caos es la prueba 0-1 para el caos.La prueba 0-1 para el caos fue desarrollada originalmente por Gottwald y Melbourne 37, quienes luego ofrecieron una versión ligeramente modificada de la prueba, que puede hacer frente a cantidades moderadas de ruido de medición 38. Varios años más tarde, Dawes y Freeland modificaron aún más la prueba, de modo que podría suprimir las correlaciones inducidas por dinámicas cuasi-periódicas y, por lo tanto, distinguir de manera más efectiva entre dinámicas caóticas y extrañas no caóticas, que son difíciles de distinguir dado solo una serie de tiempo. grabación 23. La prueba 0-1 modificada implica tomar una serie temporal unidimensional de interés (< mathbf < phi >> ) y usarla para impulsar el siguiente sistema bidimensional:

donde (c ) es un valor aleatorio acotado entre 0 y (2 pi ). Para una (c ) dada, la solución de la ecuación. (1) rinde:

Gottwald y Melbourne muestran que si la serie de tiempo ingresada (< mathbf < phi >> ) es regular, el movimiento de pag y q está acotado, mientras que pag y q mostrar movimiento browniano asintótico si (< mathbf < phi >> ) es caótico. El desplazamiento cuadrático medio promediado en el tiempo de pag y q, más el término de ruido propuesto por Dawes y Freeland 23, es

donde (< eta> _) es una variable aleatoria distribuida uniformemente entre ([- frac <1> <2>, frac <1> <2>] ) y ( sigma ) es el nivel de ruido. Finalmente, la estadística (K ) obtenida de la prueba 0-1 usa un coeficiente de correlación para medir la tasa de crecimiento del desplazamiento cuadrático medio del sistema bidimensional en la ecuación. (1):

(K ) se calcula para 100 valores diferentes de (c ), muestreados aleatoriamente entre 0 y (2 pi ), y el resultado final de la prueba es la mediana (K ) a través de diferentes valores de (C) . Para sistemas caóticos, este valor mediano de (K ) se acercará a 1, y para sistemas periódicos, (K ) se acercará a 0 23,37,38,39,40.

Hay dos parámetros en esta prueba 0-1 modificada: el parámetro ( sigma ) que controla el nivel de ruido agregado en la ecuación. (3), y el límite para qué valores estadísticos (K ) se clasifican como indicadores de caos o periodicidad en una serie de tiempo finita. Realizamos análisis de curvas ROC para diferentes valores de ( sigma ) y descubrimos que ( sigma = 0.5 ) maximizaba el rendimiento de clasificación en todos los sistemas y niveles de ruido (Fig.4 complementaria), por lo que nuestra canalización establece automáticamente ( sigma ) a 0.5 si el usuario no especifica ( sigma ). Tenga en cuenta que para valores distintos de cero de ( sigma ), (K ) se acerca a cero cuando la desviación estándar de una señal de prueba se acerca a cero (Fig.5 complementaria), por lo que el algoritmo del árbol de decisión del caos multiplica una señal de prueba por una constante para fijar su desviación estándar en 0.5 antes de aplicar la prueba 0-1. Un corte para K también se pueden ingresar a nuestro script Matlab, de modo que los datos que produzcan un K valor mayor que ese límite se clasifican como caóticos y los datos que arrojan un K los valores inferiores o iguales a ese límite se clasifican como periódicos. Si no se proporciona un límite, se elige un límite basado en un análisis de los límites óptimos en función de la duración de la serie de tiempo (Fig. 6 complementaria). Si el límite seleccionado automáticamente es mayor que 0,99, el límite se establece en (K = 0,99 ), ya que (K ) tiene el límite superior de 1. Hemos confirmado que esta selección de límite automática produce resultados muy precisos para sub -muestras de conjuntos de datos de prueba y retenidos (Tablas complementarias 16, 17).

La prueba 0-1 descrita anteriormente solo produce resultados precisos para datos deterministas 24,40,62,63. Un sistema se considera determinista si, dadas exactamente las mismas condiciones iniciales, siempre evoluciona con el tiempo de la misma manera, mientras que un sistema se considera estocástico si hay una aleatoriedad apreciable incorporada en su evolución en el tiempo (Glosario, Fig. 1 complementaria, 2). ). No solo todos los sistemas caóticos son (predominantemente) deterministas y, por lo tanto, la posibilidad de caos puede rechazarse automáticamente si se determina que un sistema es estocástico (aunque notamos que una definición matemáticamente rigurosa de caos se ha extendido recientemente al dominio de los sistemas estocásticos). , en el marco de la teoría supersimétrica de los estocásticos 47), pero también se sabe que la prueba 0-1 clasifica incorrectamente la dinámica estocástica como caótica 24,62,63. Por lo tanto, el algoritmo del árbol de decisión del caos primero descarta la posibilidad de que los datos sean predominantemente estocásticos antes de aplicar la prueba 0-1 modificada. Para hacerlo, utiliza un método robusto al ruido desarrollado recientemente por Zunino y Kulp 64, que prueba el determinismo usando estadística sustituta 33, con entropía de permutación 32 como estadística de prueba. El cálculo de la entropía de permutación se basa en dos parámetros: orden de permutación y retardo de tiempo. Seguimos la recomendación de Bandt y Pompe 32 y establecemos el lapso de tiempo en 1, y encontramos que un orden de permutación de 8 maximiza la precisión de detección de estocasticidad (Tablas complementarias 2, 3). Además, utilizamos una combinación de sustitutos 33 de la transformada de Fourier ajustada en amplitud y sustitutos de la permutación de fase cíclica 35, a diferencia de Zunino y Kulp, que utilizaron sustitutos de la transformada de Fourier 33 ajustada en amplitud iterativa, porque descubrimos que esta combinación conducía a una precisión de clasificación mucho mayor (Tablas complementarias 2, 3). El algoritmo del árbol de decisión del caos clasifica los datos como estocásticos (y, por lo tanto, no continúa con los pasos posteriores) si la entropía de permutación de los datos originales se encuentra dentro de una distribución sustituta. El algoritmo utiliza la implementación de Toolboxes for Complex Systems del algoritmo de entropía de permutación, escrito por Andreas Müller 65. Los sustitutos se generan utilizando la caja de herramientas de Matlab lanzada recientemente por Lancaster y sus colegas 34. Tenga en cuenta que debido a que los sustitutos basados ​​en Fourier son estrictamente estacionarios, las pruebas basadas en sustitutos que usan solo algoritmos basados ​​en Fourier solo son válidas si la serie de tiempo de la prueba también es estacionaria 34,57 dicho esto, encontramos que la no estacionariedad no afectó la precisión de una prueba de estocasticidad que utiliza una combinación de transformada de Fourier ajustada en amplitud y sustitutos de permutación de fase cíclica (Tablas complementarias 1–4). Tampoco encontramos que una transformación de normalidad de los datos mejorara el rendimiento de nuestra prueba de estocasticidad basada en sustitutos (Tabla complementaria 2), en contra de lo que se ha sugerido en otra parte 22.

Si los datos “pasan” la prueba de estocasticidad descrita anteriormente y se consideran operativamente deterministas, entonces el algoritmo del árbol de decisión del caos elimina automáticamente el ruido de la señal ingresada. Comparamos tres algoritmos de eliminación de ruido: un filtro de promedio móvil (que usa la función smooth.m de Matlab), la implementación de Matlab Chaotic Systems Toolbox 66 del algoritmo de reducción de ruido de Schreiber 36 (Glosario) y la eliminación de ruido de ondas utilizando un método bayesiano empírico con un previo de Cauchy (usando la función wdenoise.m de Matlab). Aunque su ejecución es considerablemente más lenta, la eliminación de ruido de Schreiber supera notablemente a los otros dos enfoques en la recuperación del componente determinista de las señales contaminadas por el ruido de medición (Tabla complementaria 5) y mejora notablemente el rendimiento de la prueba 0-1 modificada (Tabla complementaria 6, Fig.4 complementaria). Por lo tanto, el algoritmo del árbol de decisión del caos utiliza automáticamente la eliminación de ruido de Schreiber antes de probar el caos, a menos que el usuario especifique uno de los otros dos algoritmos de eliminación de ruido probados aquí para usarlo en su lugar.

El paso final del algoritmo del árbol de decisión del caos antes de aplicar la prueba 0-1 es verificar si los datos están sobremuestreados y reducirlos si lo están. Gottwald y Melbourne han demostrado 39 que la prueba 0-1 puede dar resultados inexactos para sistemas continuos (es decir, de tiempo no discreto) muestreados a una frecuencia muy alta, pero que puede diferenciar con precisión entre dinámica periódica y dinámica caótica en deterministas continuas. sistemas cuando los datos se reducen correctamente. A la luz de esto, el algoritmo del árbol de decisión del caos utiliza la prueba (cruda) de sobremuestreo utilizada por Matthews 67, calculando una medida ( eta ), que es la diferencia entre el máximo global y el mínimo global de los datos dividido por la diferencia absoluta media entre puntos de tiempo consecutivos en los datos. Si ( eta , & gt , 10 ), entonces se considera que los datos están sobremuestreados, y el algoritmo del árbol de decisión del caos reduce iterativamente los datos por un factor de 2 hasta ( eta le 10 ) o hasta quedan menos de 100 puntos de tiempo en la señal. Comparamos este enfoque tanto con la ausencia de muestreo como con un método alternativo, sugerido por Eyébé Fouda y colegas 68 para mejorar el rendimiento de la prueba 0-1, que reduce la resolución tomando sólo los mínimos y máximos locales de las señales sobremuestreadas. Descubrimos que la disminución del muestreo después de la eliminación de ruido produce resultados más precisos que cualquier enfoque alternativo cuando las señales sobremuestreadas están contaminadas por ruido de medición (Tabla complementaria 6). También observamos que es poco probable que los datos experimentales registrados estén sobremuestreados (Tabla complementaria 7), y que es más probable que este problema surja en sistemas continuos simulados. Si los datos no están sobremuestreados, o si se han reducido, el algoritmo del árbol de decisión del caos aplica la prueba 0-1 modificada a los datos, como se describe anteriormente.

Finalmente, el algoritmo usa la entropía de permutación de la señal ingresada como un proxy del grado de caos en el sistema. Aunque el algoritmo utiliza la entropía de permutación para establecer si una señal es predominantemente determinista o no (ver arriba), también se ha demostrado que la entropía de permutación rastrea con precisión el mayor exponente de Lyapunov (y por lo tanto el grado de caos) del mapa logístico 32, la tienda map 69, y el oscilador Duffing 43. En general, deberíamos esperar una estrecha correspondencia entre la entropía de permutación y los exponentes de Lyapunov, a la luz de la equivalencia en sistemas de tiempo discreto entre la entropía de permutación y la entropía de Kolmogorov-Sinai 44,70,71,72, que está limitada por la suma de los exponentes positivos de Lyapunov de un sistema, una relación conocida como la “identidad Pesin” 73. Al calcular la entropía de permutación para rastrear el grado de caos (en lugar de para las pruebas de determinismo como arriba), seguimos la recomendación 32 de Bandt y Pompe y simplemente establecemos el lapso de tiempo en 1 y el orden de permutación en 5, que mostramos rastrea el grado de caos en todos los sistemas probados (Tabla 5). Debido a que se sabe que esta equivalencia solo es válida para los sistemas de tiempo discreto 44, la entropía de permutación solo se calcula después de que la señal ingresada ha sido eliminada y, si se sobremuestrea, se reduce el muestreo, esto mejora considerablemente su capacidad para rastrear el grado de caos en sistemas continuos (Tabla 5, cuadro complementario 14).

El árbol de decisión completo de nuestro algoritmo se muestra gráficamente en la Fig.1.

Simulaciones biologicas

A continuación se describen las simulaciones de sistemas biológicos analizados en este trabajo. Solo seleccionamos simulaciones biológicas para las que se ha establecido la presencia o ausencia de caos en trabajos anteriores. Las condiciones iniciales se aleatorizaron en todas las simulaciones. También probamos el efecto del ruido de medición en la precisión del algoritmo del árbol de decisión del caos en la clasificación de sistemas, agregando ruido blanco a nuestros datos simulados, cuya amplitud era de hasta 40 (\% ) la desviación estándar del original. datos. Para cada sistema simulado y nivel de ruido de medición, creamos 100 conjuntos de datos con 10,000 puntos de tiempo.

Modelo cortical caótico de campo medio. Steyn-Ross, Steyn-Ross y Sleigh 20 describen un modelo de campo medio de la corteza basado en las ecuaciones introducidas por primera vez por Liley y sus colegas 74,75, que incluye sinapsis eléctricas de unión gap además de las sinapsis químicas estándar utilizadas en los modelos anteriores. El modelo contiene poblaciones neuronales tanto inhibidoras como excitadoras que se comunican localmente a través de uniones gap y sinapsis químicas y que se comunican en rangos largos a través de axones mielinizados. La dinámica de cada población neuronal en el modelo está determinada por dos ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y seis de segundo orden, lo que equivale a 14 ecuaciones diferenciales de primer orden. El resultado principal del modelo son las tasas medias de activación excitadora de 120 poblaciones neurales, que se aproxima a las señales corticales a gran escala que podrían medirse mediante electrocortigrafía, magnetoencefalografía o electroencefalografía. Steyn-Ross, Steyn-Ross y Sleigh 20 muestran que con solo variar el parámetro inhibitorio de la fuerza de acoplamiento difusivo de la unión gap en su modelo, pueden producir dinámicas que van desde la periodicidad hasta el caos fuerte. En su simulación de la dinámica cortical "despierta", las inestabilidades de Turing (espacial) y Hopf (temporal) interactúan para producir oscilaciones espacio-temporales caóticas de baja frecuencia. Para la dinámica caótica, simulamos 2.000.000 de puntos de tiempo de su simulación de "estela", con el parámetro inhibitorio de fuerza de acoplamiento difusivo de unión gap establecido en 0.4, y luego reducimos los datos a 10,000 puntos de tiempo. Solo aplicamos nuestro algoritmo a la tasa de activación excitadora media de una población neuronal, es decir, a solo una de las 14 variables que describen la dinámica de solo una de las 120 que interactúan con estos sistemas de 14 dimensiones (aunque la variable está bien definida biológicamente). El código de Matlab para las simulaciones está disponible en el Material complementario de Steyn-Ross, Steyn-Ross y Sleigh 20.

Modelo cortical de campo medio periódico. Steyn-Ross, Steyn-Ross y Sleigh muestran que su modelo de campo medio cortical entra en un estado periódico similar a una convulsión dominado por una inestabilidad de Hopf cuando el parámetro inhibitorio de fuerza de acoplamiento difuso de unión gap-junction se establece en 0,1. Al igual que en el caso caótico, simulamos 2,000,000 de puntos de tiempo y luego reducimos la muestra a 10,000 puntos de tiempo. Tenga en cuenta que Steyn-Ross, Steyn-Ross y Sleigh estiman que el mayor exponente de Lyapunov de su modelo es alrededor de cero cuando el parámetro inhibitorio de fuerza de acoplamiento difusivo de unión gap-junction es 0.1, mientras que nuestra propia estimación (usando una versión automatizada de su mismo método (ver más abajo) colocó el mayor exponente de Lyapunov con mayor claridad en el régimen periódico, en −2,1.

Neurona de picos caóticos. Izhikevich 49,76 describe un modelo de neurona simple que puede mostrar un comportamiento tanto de picos como de explosión. El modelo consta del potencial de membrana de una neurona (v ), una variable de recuperación de membrana (u ), una corriente de entrada (I ) y los parámetros (a ), (b ), (c ) y (d ):


9.4: Caos en el modelo de tiempo continuo - Matemáticas

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Cambiar los datos iniciales

  • (I) (N) que le solicita Nuevos datos iniciales y luego integra las ecuaciones
  • (I) (G) que utiliza las condiciones iniciales actuales para integrar
  • (I) (L) que utiliza los valores finales de la última integración como inicio de la nueva.

Finalmente, (C) continuará la integración durante un período de tiempo más largo. Colocar V (0) = 30 e integrar. Luego continúe la integración durante 20 milisegundos más (hasta 40). No olvide volver a marcar (X) (Enter) para que se muestre todo el eje de tiempo.

Una opción útil también es (I) (R) que le permite realizar múltiples integraciones a medida que varía un parámetro o condición inicial. Antes de hacer esto, puede apagar el BELL.

Establezca la I actual en cero. El estado de reposo es de -60 mV, así que integremos con los datos iniciales de -100 a 0 mV en 10 pasos de 10 mV cada uno. Primero use el comando de ventana para configurar el tamaño de la ventana para que vaya de -100 mV a 0 mV y de 0 a 20 ms. Escriba (W) (W) para abrir el menú de la ventana y escriba las nuevas dimensiones. Escriba (I) (R) para abrir el menú de rango de integración. Esto tiene varios elementos y debe completarse como se muestra:

El primer elemento le dice a XPP qué variable o parámetro va a variar. A continuación, diga cuántos pasos dará. Luego, se deben almacenar los primeros y últimos puntos. La entrada "Color del ciclo" le pregunta si desea que cada trayectoria sea de un color diferente. Restablecer el almacenamiento le dice a XPP que no guarde todas las trayectorias y "Usar viejos i.c." significa usar las mismas condiciones iniciales para cada integración. excepto por la variable que está cambiando. ( Nota: En las versiones más recientes de XPP, el último elemento pregunta si desea hacer una película. A lo largo del tutorial, debe elegir No para esto). Haga clic en (Aceptar) o escriba (TAB) para realizar la integración. Verás 11 curvas con la primera y la última roja. ( Nota. Si bien solo solicitó 10, XPP trata el bucle como si fuera de i = 0. i = 10. )

Debe quedar claro a partir de esta simulación que todos los caminos conducen a Roma. Es decir, cada condición inicial finalmente termina en reposo.


Complejidad en la dinámica de retardos electroópticos: modelado, diseño y aplicaciones

La dinámica de retardo no lineal ha encontrado durante los últimos 30 años un área de exploración particularmente prolífica en el campo de los sistemas fotónicos. Además de las populares configuraciones de diodos láser de cavidad externa, nos enfocamos en este artículo en otra realización experimental que involucra bucles de retroalimentación electroóptica (EO), con retraso. Este enfoque ha evolucionado fuertemente con el importante progreso tecnológico realizado en dispositivos fotónicos y optoelectrónicos de banda ancha dedicados a las telecomunicaciones ópticas de alta velocidad. Los complejos sistemas dinámicos realizados por arquitecturas de bucle de retroalimentación EO retardada no lineal se diseñaron y exploraron dentro de una amplia gama de parámetros operativos. Gracias a la disponibilidad de dispositivos fotónicos de alto rendimiento, estas dinámicas de retardo EO llevaron también a muchas aplicaciones exitosas, eficientes y diversas, más allá de las muchas preguntas fundamentales que surgen de la observación de comportamientos experimentales. Su movimiento caótico permitió un método de cifrado de capa física para proteger los datos ópticos, con una capacidad demostrada para operar a la velocidad típica de las telecomunicaciones ópticas modernas. Los ciclos de límite de microondas generados en osciladores de retardo EO similares mostraron una pureza espectral significativamente mejorada gracias al uso de una línea de retardo de fibra muy larga. Por último, pero no menos importante, un nuevo principio computacional inspirado en el cerebro se ha implementado recientemente físicamente en la fotónica por primera vez, nuevamente sobre la base de un sistema dinámico de retardo EO. En esta última aplicación emergente, el resultado calculado se obtiene mediante una "lectura" adecuada de los transitorios no lineales complejos que emergen de un punto fijo, siendo el transitorio emitido por la inyección de la señal de información a procesar.

1. Dinámica de retardo electroóptico temprano

El efecto mariposa de Lorenz (también conocido de manera más académica como "sensibilidad a las condiciones iniciales") se originó en una publicación de 1963 y contribuyó en gran medida al importante resurgimiento de la teoría de la dinámica no lineal. Esto ocurrió muchos años después del camino interrumpido trazado por Poincaré a finales del siglo XIX y principios del XX. El campo de la dinámica no lineal fue más tarde popularizado por Yorke en la década de 1970, al tiempo que renombró este campo como "teoría del caos". Luego se llevaron a cabo importantes esfuerzos en esta comunidad científica emergente para mostrar evidencia de movimiento caótico en el mundo real, ya sea en sistemas observables en la naturaleza o en sistemas artificiales diseñados por humanos. En el campo particular de la óptica, a fines de la década de 1970, un investigador japonés, Ikeda, propuso una idea fundamental para observar movimientos caóticos en la óptica, siendo la variable dinámica la intensidad de la luz a la salida de una cavidad anular que contiene un medio Kerr. (Figura 1a) [1].

Figura 1. Dinámica de Ikeda: del experimento 'Gedanken' a la implementación electroóptica (EO). (a) Los ingredientes de la cavidad del anillo Ikeda: se realiza una modulación no lineal de la intensidad a través de una condición de interferencia modulada por el cambio de fase Δφ que ocurre en un viaje de ida y vuelta antes en un medio de Kerr (longitud L, Coeficiente de Kerr norte2). El rayo láser de entrada tiene una intensidad constante I0 y un vector de onda k=2π/λ=2πν/C al vacío. La dinámica del cambio de fase está regida por el tiempo de respuesta de Kerr τ=γ −1. La dinámica se puede observar a través de las fluctuaciones de intensidad en cualquier salida de los dos espejos parcialmente reflectantes de la cavidad. (B) El oscilador de retardo no lineal EO de intensidad: un diodo láser de retroalimentación distribuida (DFB) está sembrando un modulador EO Mach-Zehnder (MZ) con un haz de luz de onda continua de potencia PAG0 la interferencia de salida MZ es (i) modulada dinámicamente por la entrada eléctrica Gx(t) y (ii) establecido estáticamente por la fase de compensación Φ0 (establecido por un voltaje constante en el electrodo de CC) la transformación no lineal resultante FNL(X) se retrasa en el tiempo por τD (tiempo de vuelo a través de una fibra) la intensidad óptica modulada y retardada es detectada por un fotodiodo (sensibilidad S) la señal eléctrica resultante se filtra en el dominio de Fourier de acuerdo con H(ω) y amplificado (ganancia GRAMO), que luego sirve como entrada de radiofrecuencia (RF) del MZ. (Versión online en color).

Una rápida mirada física a este experimento de "Gedanken" revela inmediatamente el papel central del retraso inducido por el tiempo de vuelo de la luz que se propaga dentro de la cavidad del anillo. Un simple modelado dinámico del sistema puede conducir a la reducción del número de variables dinámicas a una sola, la intensidad de salida del láser. En esta configuración, este nivel de intensidad de luz también es responsable de las variaciones de fase óptica inducidas por el efecto Kerr, a una tasa de cambio γ limitado sólo por este fenómeno ultrarrápido de interacción luz-materia. A continuación, se lleva a una ecuación diferencial lineal escalar de primer orden, impulsada por un término de retroalimentación no lineal retrasado en el tiempo. Si no hubo retraso, se sabe que siempre conduce a un punto fijo como la solución más compleja posible. Sin embargo, los puntos fijos biestables son posibles incluso sin demora, debido al término de retroalimentación no lineal que ocurre dentro de la cavidad en la entrada del medio Kerr. Esta transformación no lineal se realiza mediante un fenómeno de interferencia que se produce entre el rayo láser de onda continua de entrada y el rayo de retroalimentación de la cavidad. La presencia real del retardo cambia violentamente las perspectivas dinámicas de este sistema simple, aumentando su número de grados de libertad desde 1 (la intensidad en el origen del tiempo) hasta el infinito. Este número infinito de grados de libertad inducido por retardo se deriva del tamaño de las condiciones iniciales formadas, cuando hay retardo, por un funcional que describe las variaciones de intensidad reales en el tiempo, durante una duración correspondiente al tiempo de retardo. τD. Este intervalo de retraso puede verse como la "memoria" de la cavidad. Una vez más, un análisis físico rápido de las escalas de tiempo relativas convencería fácilmente a cualquiera de que este retraso potencialmente induce efectos de "memoria" lejos de ser insignificantes en la dinámica: la tasa de cambio γ para un efecto de Kerr es del orden de ps -1 o incluso (sub-ps) -1 escala de tiempo, mientras que el tiempo de vuelo de la luz en el vacío supera fácilmente los nanosegundos (¡tres órdenes de magnitud mayor!) incluso cuando solo unos pocos se refiere a la longitud de la cavidad en centímetros. Esto constituye una prueba contundente de la importancia de la situación de gran retraso en la que debe tenerse en cuenta la configuración.

En tal cavidad de anillo de Ikeda, los movimientos caóticos de alta complejidad se obtuvieron de hecho numéricamente. Esto también se confirmó experimentalmente, pero con una configuración modificada. Sin embargo, esta configuración alternativa seguía todavía los ingredientes típicos descritos anteriormente, un bucle de retroalimentación retardado con una condición de interferencia modulada. En el estudio de [2], se propuso un interferómetro birrefringente electroóptico (EO) a granel en lugar de la cavidad óptica, y el retardo se realizó mediante un búfer digital después de la conversión analógica a digital de la intensidad de interferencia fotodetectada. Después de ser transformada de nuevo a una señal de tiempo continua por un convertidor de digital a analógico y algo de amplificación, esta señal electrónica retardada se utilizó finalmente como el impulso del cambio de fase inducido electroópticamente en el interferómetro. En lugar de esta configuración masiva, se propuso una versión de óptica integrada inmediatamente después en [3]. Esta solución tecnológica es la que preocupa a la mayoría de los resultados reportados en este artículo. De hecho, es un enfoque experimental muy conveniente, tanto desde la perspectiva de la integración del sistema como desde la de la estabilidad y el rendimiento de la configuración. Como se mostrará en este artículo, las características extremadamente robustas y confiables de los dispositivos de telecomunicaciones ópticos disponibles transformaron la cavidad del anillo Ikeda original en una herramienta de laboratorio fotónica flexible para aprovechar la complejidad de la dinámica de retardo.

2. Modelado y diseño

El principio de dinámica de la cavidad del anillo de Ikeda, una vez traducido en un enfoque de procesamiento de señales, aparece como una cadena de bucle de retroalimentación obvia. Una de sus principales ventajas es permitir una clara separación entre las contribuciones lineales y no lineales en la dinámica. Estos temas se detallarán y analizarán en las siguientes subsecciones.

(a) Modelado: un enfoque de procesamiento de señales

La ecuación física simplificada, escrita en el cuadro medio de Kerr que se muestra en la figura 1a, se puede reescribir con una división de los términos lineales en el lado izquierdo y el término no lineal en el lado derecho. Luego, se puede analizar la dinámica de la siguiente manera: en el dominio del tiempo, consiste en un proceso diferencial lineal de primer orden impulsado por un término de retroalimentación retardada no lineal en el dominio de Fourier, el lado izquierdo juega el papel de un primer orden lineal filtro (en realidad, un filtro de paso bajo) impulsado en su entrada por una transformación no lineal retardada de su salida. Esto da como resultado una ecuación diferencial de retardo (DDE), obtenida de un cálculo sencillo como se describe en la ecuación (2.1), utilizando reglas de conversión entre el dominio de Fourier y el tiempo (de acuerdo con las transformaciones de Fourier (FT), y)

En situaciones prácticas en las que está involucrada una retroalimentación optoelectrónica retardada de banda ancha o de alta frecuencia, el filtrado de paso bajo normalmente tiene que ser reemplazado por un filtro de paso de banda para reflejar el filtrado real realizado por la rama electrónica del bucle. En tal situación, el modelo de filtro lineal más simple correspondiente a un filtrado de paso de banda es una función de transferencia de Fourier de dos polos (segundo orden) H(ω). Hablando más físicamente y en el 'dominio del tiempo', esta situación de filtrado es la que se obtiene en un oscilador amortiguado, con el conocido modelo diferencial de la siguiente forma:

Las características dinámicas reales, que se pueden alcanzar experimentalmente, dependen en gran medida de los dispositivos y la organización del sistema. Para aclarar esto desde el punto de vista práctico, abordaremos algunos detalles experimentales en la siguiente subsección, tratando de conectar las características técnicas de los dispositivos utilizados para construir el oscilador de retardo EO, junto con algunas características dinámicas esperadas.

(b) Características del dispositivo y propiedades del sistema de retardo

En esta sección, se darán muchos valores numéricos para el rango de parámetros alcanzable experimentalmente y se discutirán en el contexto de las propiedades dinámicas de la dinámica de retardo EO. Cada uno de los dispositivos representados en la configuración de la figura 1B Será direccionado.

(i) Parámetros de amplitud

Como se indica en la ecuación (2.3), se pueden definir esencialmente dos parámetros de amplitud independientes para la caracterización de la función no lineal: (i) β es un peso para FNL[X], actuando como un estiramiento vertical en el gráfico de FNL y (ii) Φ0 es una fase de compensación que define el punto de operación medio, que actúa como un desplazamiento horizontal en el gráfico de FNL (Figura 2).

Figura 2. Ruta al caos en la dinámica de retardos. (a) Gráfico del mapa de Ikeda, en el que el caso de la horquilla se representa a lo largo de la pendiente positiva del modelo del mapa, lo que lleva a una duplicación del período o una crisis y una duplicación del período (ver también la figura 3 para los diagramas de bifurcación). (B) Trazos de tiempo experimentales inusuales obtenidos con un integro-diferencial (ε≈0.015 y δ≈0,628) dinámica de retardo a lo largo de la pendiente positiva ((i) τD-ciclo límite periódico que conecta los dos puntos fijos estables del mapa de horquilla, con ciclo de trabajo asimétrico (ii) período duplicado del régimen anterior (iii) lento θ-ciclo límite periódico) estos regímenes se obtienen únicamente con el modelo integro-diferencial, siendo biestable el superior e inferior (el bucle de histéresis se obtiene con respecto a Φ0, por lo mismo β). (C) Regímenes comunes de la cascada de duplicación de períodos, a lo largo de la pendiente negativa (i) ciclo límite del período 4 (ii) caos del período 2 (iii) caos plenamente desarrollado). (Versión online en color).

El origen físico que define β=πSGP0/(2Vπrf) proviene de varios factores de amplificación y eficiencias de conversión de cada dispositivo en el circuito de retroalimentación. El dispositivo más importante es el modulador EO Mach-Zehnder (EO-MZ) que realiza la transformación no lineal en la dinámica, una transformación. Se obtiene prácticamente a partir de un interferómetro de dos ondas de óptica integrada sintonizable electro-ópticamente. La interferencia constructiva conduce al máximo de la función FNL (trazado en la figura 2a), y el destructivo corresponde al mínimo de la función. Con un dispositivo EO-MZ, la condición de interferencia se puede controlar dinámicamente en un ancho de banda grande, es decir, el que normalmente se encuentra involucrado en los sistemas de telecomunicaciones ópticas para los que se diseñan y utilizan comúnmente. La eficiencia EO se cuantifica técnicamente por el voltaje de media onda Vπrf. Corresponde a la amplitud de voltaje de entrada requerida para inducir un π- cambio de fase en la condición de interferencia, cambiando así, por ejemplo, una interferencia constructiva en una destructiva. La amplitud de voltaje ΔV aplicado a los electrodos MZ, cuando se cambia la escala con respecto a Vπrf, puede verse como una medida de la fuerza no lineal realmente involucrada en la dinámica. Hablando más matemáticamente, (1+ΔV/Vπrf) es una estimación del grado equivalente del polinomio que podría aproximarse al rango realmente utilizado de la función no lineal. Esto sería, por ejemplo, una parábola cuando ΔVVπrf, o un polinomio cúbico cuando ΔV ≃2Vπrf, etc. Los movimientos altamente no lineales están sujetos a la capacidad de proporcionar un voltaje lo suficientemente grande en comparación con Vπrf, en todo el ancho de banda de interés (más de 10 GHz para dispositivos de telecomunicaciones). Actualmente, las MZ de telecomunicaciones más eficientes tienen Vπrf de aproximadamente 3 V, pero los valores comunes suelen estar más cerca de 5 V. El desafío técnico se vuelve entonces obvio: para un movimiento cúbico, uno necesitaría conducir el MZ con California 15 V, que normalmente está ligeramente por encima de los límites de los controladores de telecomunicaciones MZ convencionales. Sin embargo, son posibles intervalos de voltaje más altos, pero generalmente a costa de un ancho de banda muy reducido.Por lo tanto, se requiere una amplificación de señal adecuada, que es el papel de la retroalimentación optoelectrónica. Está destinado a proporcionar suficiente amplificación y eficiencia de detección, hasta la amplitud de voltaje de excitación solicitada para ser aplicada al MZ. Cuando se desea un funcionamiento de banda ancha, esto implica una terminación de 50 Ω en los electrodos MZ, lo que impone una restricción técnica adicional en términos de capacidad de transmisión de potencia de RF (hasta unos pocos vatios eléctricos). Suponiendo que uno tiene una potencia óptica máxima estándar de 'telecomunicaciones' disponible en la entrada del fotodiodo (fluctuaciones de 0 a 10 mW), y teniendo en cuenta la eficiencia de detección típica de 0,9 AW −1 para fotodiodos de telecomunicaciones InGaAs cargados con un amplificador de transimpedancia de 50 Ω, el La ganancia electrónica requerida del fotodiodo al controlador aumenta a aproximadamente 30 dB cuando se espera una operación cuadrática no lineal. No obstante, los fotodiodos amplificados de banda ancha están disponibles comercialmente con una transimpedancia de hasta 2,4 kΩ en lugar de los 50 Ω mencionados anteriormente. Esto relaja la ganancia eléctrica restante a menos de 20 dB. Aunque esto ya consiste en una fuerte amplificación, especialmente para un ancho de banda superior a 10 GHz, es técnicamente factible. Cuando se experimenta la saturación del impulso del amplificador, se podría modificar el modelo de la ecuación (2.3) con una transformación no lineal adicional, a como argumento de la no linealidad principal en lugar de X [8,11]. El progreso en las nuevas tecnologías fotónicas (dispositivos de cristal plasmónico y / o fotónico) podría mejorar aún más el rango realmente alcanzable para el funcionamiento no lineal de los osciladores de retardo no lineales EO. Esto corresponde a la capacidad de diseño de dispositivos con voltaje de media onda más bajo. En la literatura se pueden encontrar configuraciones alternativas y soluciones físicas, sin embargo, generalmente a costa de un ancho de banda muy reducido. Este es, por ejemplo, el caso del generador de caos de longitud de onda informado en [14,15], donde se puede lograr un polinomio de hasta el decimocuarto grado debido al rango de sintonización grande, pero lento, de un láser semiconductor reflector Bragg distribuido sintonizable. La desviación de longitud de onda alcanzable puede conducir hasta varios rangos espectrales libres de un interferómetro birrefringente fuertemente desequilibrado.

El parámetro Φ0=πVparcialidad/(2Vπcorriente continua) suele ser sintonizable en un rango suficientemente amplio, teniendo en cuenta su π-periodicidad en el modelo. Como se indica en la figura 1B, este parámetro se ajusta simplemente mediante una tensión constante aplicada al electrodo de CC del MZ. Esto permite ajustar el punto de operación durante más de un período de la función de transferencia de modulación. Con un Vπcorriente continua de aproximadamente 4–7 V, con una impedancia de carga puramente capacitiva y solo requisitos de operación de muy baja frecuencia, el único aspecto práctico que se debe verificar es la posible desviación lenta y pequeña con los cambios ambientales externos. Pueden producirse fenómenos de relajación a escala de tiempo lenta, por ejemplo, una dinámica muy lenta inducida por una posible redistribución de la carga superficial dentro del cristal de EO, induciendo así una dependencia del tiempo lenta de la eficiencia de EO real.

(ii) Parámetros de tiempo

La condición clave que normalmente se requiere cuando se desea una dinámica de alta complejidad es la denominada configuración de gran retardo. En ese caso, el retraso τD es típicamente mucho mayor que el tiempo característico τ. La "memoria" lineal de la dinámica se escala así como la relación τD/τ. Esta relación puede verse simplemente como una representación del número de veces que el motivo temporal más rápido limitado por τ se puede acumular en un intervalo de tiempo correspondiente al retraso τD. La complejidad se puede incrementar aún más a través de efectos no lineales: se demostró en [16,17] que la dimensión atractora de la dinámica de Ikeda en regímenes caóticos aumenta a medida que βτD/τ.

Desde el punto de vista más práctico, la configuración de los parámetros de tiempo depende de los problemas específicos. Para las investigaciones fundamentales de las propiedades dinámicas de los sistemas de retardo, se puede adoptar cualquier ajuste, dependiendo de la configuración estudiada: los parámetros de tiempo variables y controlables con precisión generalmente implican tiempo discreto [14] o conversión de analógico a digital [15,18-20] . La función de retardo es emulada por las llamadas memorias primero en entrar, primero en salir (FIFO) en el procesamiento digital. El valor de retardo se fija luego por la profundidad de la memoria FIFO y el reloj digital define la velocidad a la que las muestras viajan a través del FIFO. El valor de retardo se puede ajustar fácilmente al sintonizar la frecuencia del reloj digital. Cuando el FIFO se implementa en dispositivos digitales programables (como arreglos de puertas programables en campo), incluso el filtro lineal se puede implementar digitalmente, proporcionando así también una gran flexibilidad, estabilidad y precisión en la definición de las propiedades del filtro. Sin embargo, hay que respetar las reglas básicas de la teoría de muestreo (teorema de muestreo de Shannon), que impone limitaciones en cuanto al ancho de banda analógico disponible en función de la frecuencia de muestreo máxima. También hay que tener en cuenta algunas limitaciones de la relación señal / ruido en función del nivel de cuantificación. El enfoque digital tiene muchas ventajas para una mayor flexibilidad y solidez de los fenómenos complejos explorados experimentalmente. Valores típicos de la relación τD/τ son del orden de unas pocas decenas, y la escala de tiempo de referencia τ es del orden de una o unas pocas decenas de microsegundos, lo que produce retrasos del orden de milisegundos.

Cuando se apunta a alta velocidad, la elección natural es realizar el retardo a través de la capacidad de banda ultra ancha (decenas de terahercios) de las fibras ópticas. Las fibras ópticas también tienen la propiedad atractiva de proporcionar una absorción ultrabaja (típicamente 0,2 dB km -1) del haz de luz en movimiento en la longitud de onda de las telecomunicaciones (1,5 μm). Sin embargo, esta solución conduce a retrasos fijos, cuyo valor está directamente determinado por la longitud de la fibra. Por ejemplo, un carrete de fibra monomodo estándar de grado de telecomunicaciones de 4 km proporciona California Retardo de 20 μs, con una atenuación de menos de 1 dB. Las otras escalas de tiempo que gobiernan la dinámica diferencial a través de la retroalimentación de filtrado electrónico se pueden configurar en dinámicas muy rápidas cuando se utilizan dispositivos de grado de telecomunicaciones. Los dispositivos optoelectrónicos, EO y electrónicos pueden proporcionar acceso al tiempo de respuesta característico tan rápido como 10 ps. Estos dispositivos suelen estar diseñados para un ancho de banda de comunicación superior a 10 GHz. La configuración de gran retardo se cumple fácilmente con una configuración como en la figura 1B, debido a que solo unos pocos metros de fibra generan un retardo de tiempo de 10 ns, realizando así una memoria lineal normalizada superior a 1000. Considerando los pigtails de fibra de los dispositivos comerciales, los retardos de decenas de nanosegundos se obtienen simplemente sin ningún carrete de fibra adicional. La memoria del retraso se puede aumentar en tres órdenes de magnitud adicionales ("memoria" lineal de 1 millón de tamaño) cuando se utilizan bobinas de fibra comerciales de varias decenas de kilómetros. Dentro de esta situación extrema, los fenómenos de dispersión sutil podrían tener que ser considerados más a fondo en la dinámica, ya que la dinámica ultrarrápida conduce a retardos de tiempo continuamente extendidos dependiendo de los componentes de frecuencia de Fourier, como se describe en [21].

(c) Diversidad dinámica y arquitectónica

(i) Algunos problemas de bifurcación

Una interpretación básica y común del modelo DDE (como en la ecuación (2.1)) se realiza generalmente como un primer enfoque para la comprensión de algunos de sus numerosos comportamientos. Normalmente se le llama aproximación adiabática, o mapa de límite singular, que consiste en tomar el límite. Bajo este supuesto, la dinámica se reduce a un mapa. Los puntos fijos XF(β,Φ0) se obtienen de la ecuación trascendental XF=FNL[XF], y son los mismos para el modelo DDE. Gráficamente, estos puntos fijos se encuentran como las intersecciones entre la gráfica de y=FNL[X], y la primera bisectriz y=X. Existe al menos una solución entre 0 y el peso normalizado β, debido al carácter limitado de la función de interferencia de intensidad de dos ondas. El número de intersecciones aumenta linealmente con β. La estabilidad de estos puntos fijos bajo la aproximación del mapa se puede derivar directamente. Se rige por el valor absoluto de la pendiente de la función no lineal, evaluada en el punto fijo,: es estable si el valor es menor que 1 e inestable en caso contrario (figura 2). Como consecuencia, generalmente siempre es posible encontrar un punto fijo estable en el (β,Φ0) plano, si se selecciona Φ0 tal que el punto fijo está lo suficientemente cerca de un extremo de FNL(X) (es decir, cerca de una interferencia constructiva o destructiva). Por el contrario, dado que este valor es proporcional al peso β, el punto fijo estable siempre se puede desestabilizar aumentando la ganancia de retroalimentación β, excepto por la condición exacta de interferencia constructiva o destructiva. Los valores prácticos de los parámetros accesibles experimentalmente cubren fácilmente la totalidad π-rango de periodicidad para Φ0. Sin embargo, para β, generalmente se limita a unas pocas unidades (típicamente ≃5) en el caso de una configuración EO como en la figura 1B.

Las bifurcaciones y la ruta hacia el caos se exploran normalmente a medida que se gana β está incrementado. Esto es conveniente experimentalmente porque β se puede ajustar directa y linealmente por el nivel de potencia óptica de entrada PAG0 como en la figura 1B. Según el modelo de mapa, esta ruta al caos se puede dividir aproximadamente en dos escenarios según el signo de la pendiente alrededor del punto fijo estable original. XF (Para pequeños β y dependiendo de Φ0).

Primero, si la pendiente es positiva, se produce una bifurcación en forma de horquilla, lo que lleva a la aparición de dos puntos fijos estables (con pendientes también positivas) separados por un punto fijo inestable (figura 2): la dinámica presenta biestabilidad, el punto fijo estable realmente observado depende de la condición inicial. El punto fijo superior es el más cercano a un máximo de FNL(X), es decir, a una interferencia constructiva. Como β aumenta, se desliza hacia arriba a lo largo FNL, pasando por el estado de interferencia constructiva y luego alcanzando la región de pendiente negativa. La bifurcación adicional de este punto fijo estable a lo largo de una región de pendiente negativa es cualitativamente igual que la experimentada por un punto fijo estable originalmente ubicado a lo largo de la pendiente negativa. Si el punto fijo inicial real es el más bajo, es el más cercano al mínimo de FNL(X), es decir, a la interferencia destructiva. En contraste con el punto fijo superior, experimenta una bifurcación tangente a través de una colisión con el punto fijo inestable cuando β está incrementado. Ambos puntos fijos desaparecen luego de la bifurcación, provocando una crisis de la dinámica, con un salto al punto fijo restante situado cerca del máximo de FNL(X). La dinámica observada es entonces la resultante de la secuencia de bifurcación experimentada por el mismo punto fijo desde su estado estacionario estable alrededor de un máximo de FNL(X). Si el parámetro β luego se disminuye, se puede visitar el ciclo de histéresis alrededor del punto de crisis, destacando la biestabilidad característica alrededor de este punto (figura 3).

Figura 3. Diagramas de bifurcación. (a) Para el mapa de Ikeda (numéricos). Se calculan muchos valores de las soluciones asintóticas para cada uno de los 800 β-valores a lo largo del eje horizontal. Los valores se utilizan para calcular una función de densidad de probabilidad (PDF) para cada β. El PDF está codificado por colores. (B) Para el modelo Ikeda de tiempo continuo (experimental, filtro de paso bajo como en la ecuación (2.1)). El parámetro de bifurcación β se escaneó lentamente con una señal triangular que controla la potencia óptica que siembra el MZ de la configuración que se muestra en la figura 1B . Esto permitió que uno aumentara y luego disminuyera β en el tiempo, muy lentamente (0,5 s) en comparación con las escalas de tiempo características de la dinámica. Se recopilan muchos puntos (10 7) a lo largo del escaneo, lo que permite calcular un PDF aproximado con 10 4 valores en cada una de las 1024 posiciones horizontales para β. El PDF está codificado en escala de grises. Φ0 se ajusta a un valor comparable con respecto al diagrama de bifurcación de la izquierda. Observe que las soluciones representadas en la figura 2B son típicos del modelo integro-diferencial de retardo no lineal y no se pueden observar con el mapa o el modelo diferencial de retardo de esta figura. Las soluciones de la figura 2C son comunes a cada uno de los modelos dinámicos. (Versión online en color).

En el caso de un modelo iDDE, surgen soluciones novedosas (figura 2antes de Cristo) con respecto a la situación del modelo de mapa descrita anteriormente (figura 2a). Como se ha observado y analizado recientemente, uno se refiere a un τD-movimiento periódico que conecta mesetas. Los valores de las mesetas no corresponden al ciclo límite común del mapa con un período del doble de retraso, pero corresponden a cada uno de los dos puntos fijos estables de la figura 2a. Si bien se demostró que una solución de este tipo era inestable o metaestable para DDE estándar con filtro de retroalimentación de paso bajo, recientemente se descubrió que la retroalimentación de paso de banda, que conduce a un modelo iDDE, conduce a una versión estable de este modelo en particular. τD-Solución periódica [22,23].

En segundo lugar, si la pendiente es negativa, el escenario de bifurcación es muy similar a la conocida ruta en cascada hacia el caos que duplica el período, popularizada en la literatura por el mapa logístico. La función no lineal alrededor de un máximo de interferencia es de hecho localmente una parábola cóncava, exactamente como para el mapa logístico. En el mundo real de los DDE, sin embargo, solo se observa el comienzo de la cascada de duplicación de períodos hasta el período 8 o 16, dependiendo del nivel de ruido en el experimento. La separación de amplitud en el ciclo límite es cada vez más pequeña a medida que aumenta la duplicación del período: cuando esta separación es menor que el experimento de ruido, no se pueden distinguir. Los ciclos límite del DDE toman la forma de mesetas alternas de duración correspondientes al retraso τD. Las amplitudes de las mesetas coinciden con las calculadas para el mapa. Sin embargo, las transiciones entre las mesetas sucesivas no son instantáneas como en el mapa, pero ocurren con ε-pequeñas capas de transición. Por lo tanto, estas capas se escalan en el tiempo con el tiempo de respuesta. τ, o de manera equivalente, se escalan con la inversa del ancho de banda que limita el filtrado de retroalimentación. Estos saltos también se caracterizan por sobreimpulsos cada vez más fuertes o oscilaciones débilmente amortiguadas, que subrayan el papel cada vez mayor de la dinámica de tiempo continuo en la solución global. Después de lo que se llama el punto de acumulación para el mapa (valor de β que conduce a un ciclo límite de período infinito en 2 norte as), se observa una cascada de duplicación del período inverso (norte ahora disminuyendo con el aumento β). El punto de acumulación en β se encuentra en la posición de la línea punteada vertical en la figura 3. Una dinámica característica en esta cascada inversa se caracteriza cualitativamente por 2 norte mesetas que consisten en pequeñas fluctuaciones caóticas con amplitudes β/2 norte y con ε-pequeñas escalas de tiempo, cada meseta está separada por 2 norte −1 banda prohibida de amplitud prohibida. Como β pasa el límite de caos completamente desarrollado encontrado para el mapa (para lo cual norte= 0, es decir, cuando el intervalo completo [0,β] está densamente visitada por la dinámica correspondiente), la dinámica realmente observada está fuertemente dominada por los numerosos modos de tiempo continuo de los DDE, que corresponden a los modos propios de gran amplitud y alta frecuencia de la ecuación característica DDE: 1+ελ=F ′ (XF) e -λ . Dentro de este rango β, se pueden utilizar muchas características cualitativas de la dinámica observada para ilustrar la influencia mucho más fuerte de la dinámica de tiempo continuo en comparación con la aproximación de mapa de tiempo discreto. Los regímenes de alta complejidad, por lo tanto, difieren fuertemente de la situación del mapa (comparar la figura 3a y figura 3B por alto β): (i) la distribución de densidad de probabilidad de amplitud se vuelve muy suave (mientras que es discontinua para el mapa) y (ii) en lugar de las ventanas de periodicidad del mapa, se puede observar la llamada sincronización armónica superior [24] que revela resonancias complejas con números racionales entre la escala de tiempo corto τ, y el gran retraso τD el atractor caótico, en lugar de estar incluido en un espacio de fase unidimensional, alcanza dimensiones del orden de βτD/τ. En experimentos reales, las caóticas dimensiones del atractor pueden alcanzar fácilmente más de varios cientos hasta varios miles.

(ii) Variaciones del diseño de la configuración: aún más complejidad de movimiento

Aunque el modelo DDE inicial de Ikeda ya presenta dinámicas ricas y altamente complejas, la investigación experimental de tales sistemas contribuyó en gran medida al surgimiento de dinámicas aún más ricas. Nuevos experimentos que realizan dinámicas de retardo EO en el marco de varias aplicaciones prácticas dieron lugar a varias modificaciones de modelado (ver las secciones a continuación). Esta es típicamente una de las razones históricas que motivan los estudios fundamentales sobre la dinámica de retardo no lineal integro-diferencial (modelo iDDE) descrita en las ecuaciones (2.3) o (2.4) en lugar de la DDE en la ecuación (2.1). La presencia del término integral se originó a partir del diseño de generadores de caos de banda ancha para comunicaciones de caos ópticas de alta velocidad. En el caso de un ancho de banda tan amplio que abarca más de seis órdenes de magnitud en el dominio de Fourier, desde unas pocas decenas de kilohercios hasta más de 10 GHz, es tecnológicamente demasiado difícil tener una retroalimentación que conserve CC. Los amplificadores electrónicos de RF de banda ancha en cuestión se comportan necesariamente como filtros de paso de banda. Tal situación requirió la introducción de una escala de tiempo lenta adicional θ unido a la frecuencia de corte baja de unas pocas decenas de kilohercios. Esto condujo a una "zoología" aún no exhaustiva de muchas dinámicas nuevas típicas de los modelos iDDE, como respiradores caóticos [25], ciclo límite lento, régimen pulsante [10], transición de crisis novedosa del punto fijo al caos [11], τD-ciclo límite periódico a lo largo de la pendiente positiva [22], bifurcación Neimark-Sacker (toro) del ciclo límite en muy débilmente amortiguado (metro≪1) osciladores de retardo de microondas [9], etc.

Entre otras modificaciones tecnológicas de la dinámica original de Ikeda, las arquitecturas EO novedosas también llevaron a un modelado sorprendente de esta dinámica en un mapa, sin embargo conservando la característica de alta dimensión de las soluciones [26]. Comparado con la configuración de la figura 1B, la modificación que conduce aquí a un modelo de mapa correcto está relacionada con el uso de una fuente de láser pulsado bloqueado en modo de alta tasa de repetición (mayor que gigahercios).La condición que conduce a un modelo de mapa está relacionada con los dispositivos optoelectrónicos rápidos capaces de resolver la retroalimentación no lineal de los pulsos en un tiempo más corto que el período de repetición del láser. La dimensionalidad de las soluciones se rige luego por el número de pulsos independientes almacenados en la línea de retardo de retroalimentación, y cada pulso se rige por el mapa no lineal.

Otras investigaciones experimentales dedicadas a la comunicación óptica del caos [21,27,28] propusieron la introducción de una arquitectura EO de retardo múltiple. El dispositivo específico que introdujo un retardo suplementario fue un demodulador de modulación por desplazamiento de fase de diferencia desequilibrada pasiva (DPSK). Esto llevó al diseño de una dinámica de retardo de cuatro escalas de tiempo, un retardo corto adicional δτD estar presente debido al interferómetro de desequilibrio. Se descubrieron nuevos fenómenos de bifurcación de la primera bifurcación de Hopf en tal sistema, revelando una condición de resonancia entre el pequeño retraso δτD y el gran retraso τD [13]. La bifurcación consiste en la desestabilización del ciclo límite de Hopf gobernado por el pequeño retardo, y la aparición de una modulación de amplitud estable del ciclo de Hopf, con un período de envolvente gobernado por el gran retardo.

Por último, pero no menos importante, en el marco de la investigación de un principio computacional novedoso conocido como 'computación de yacimientos' y basado en la potencia computacional proporcionada por el movimiento transitorio complejo de sistemas dinámicos de alta dimensión, muchos retroalimentación retardada retrasos distribuidos) se exploró la dinámica. La motivación estaba relacionada con la investigación de la mejora de la conectividad de la red virtual equivalente de nodos, debido a la arquitectura de retroalimentación retardada múltiple [15]. Las propiedades y características reales de este tipo novedoso de dinámica de retardo múltiple compleja aún están bajo investigación.

3. La dinámica de retardo cumple con las aplicaciones

En las secciones restantes, nos centraremos más en algunas aplicaciones prácticas que se exploraron en los últimos años, específicamente sobre la base de varias dinámicas de retardo no lineal de EO. Conectaremos las propiedades dinámicas específicas de los osciladores de retardo EO de interés con los requisitos físicos reales que se esperan para cada una de estas aplicaciones. La secuencia de las tres aplicaciones propuestas, además, escaneará un diagrama de bifurcación en la dirección inversa: primero, las comunicaciones ópticas del caos mostrarán cómo se pueden hacer uso de los regímenes caóticos de alta complejidad para realizar el cifrado de datos, segundo, el ciclo límite de una El oscilador de microondas optoelectrónico se beneficiará de una alta pureza espectral proporcionada por un retraso prolongado y, por último, incluso el punto fijo estable será útil como un punto de partida estable a partir del cual se genera un transitorio complejo. Esta dinámica transitoria no lineal es la respuesta compleja de la dinámica a una señal externa que codifica un problema a resolver. El transitorio no lineal es la base conceptual de un nuevo principio de computación universal que explota el espacio de fase de alta dimensión de la dinámica compleja.

(a) Comunicaciones seguras del caos

La idea de ocultar una señal de información dentro de una portadora caótica surge de la demostración de la capacidad de sincronización entre dos osciladores caóticos distantes, siempre que se pueda diseñar un acoplamiento adecuado entre el emisor y el receptor [29]. De hecho, cuando una forma de onda se puede sincronizar, esto generalmente significa que se puede utilizar como portadora de información. La portadora más común en los sistemas de comunicaciones clásicos es la forma de onda sinusoidal, para la cual un receptor normalmente realiza una sincronización de frecuencia para lograr la demodulación de la información transportada. Reemplazar la forma de onda sinusoidal por una forma de onda caótica similar al ruido de banda ancha no cambia el concepto de transmisión de información a través de una señal portadora, siempre que sea posible la sincronización de la portadora caótica. Originalmente se pensó que tal capacidad de sincronización para una señal caótica era imposible debido a la conocida sensibilidad a las condiciones iniciales de la dinámica caótica. La sincronización del caos es, por tanto, el resultado científico desencadenante del campo de las comunicaciones del caos. Se puede dar una explicación aproximada del requisito de sincronización en las comunicaciones del caos de la siguiente manera (remitimos al lector a la prolífica literatura sobre sincronización del caos para obtener más detalles, por ejemplo, [30]). La señal transmitida, que está disponible para cualquiera que escuche el canal de transmisión público, es el resultado de la señal de información clara superpuesta a la portadora caótica de gran amplitud. La recuperación de la información enmascarada en la portadora caótica se puede lograr si en el lado del decodificador se puede replicar la misma forma de onda de la portadora caótica (normalmente llamada sincronización idéntica). En un decodificador autorizado, la portadora caótica sincronizada localmente se resta de la señal recibida para dar como resultado la recuperación de la información original (ver figura 4).B: (i) señal enmascarada, caos más información y (ii) información desenmascarada). El caos, como señal de banda ancha mucho más compleja que una forma de onda sinusoidal, ofrece la posibilidad de proteger la información transmitida a través del enmascaramiento y la dificultad de lograr una sincronización exitosa. De hecho, la sincronización generalmente requiere el conocimiento de numerosos parámetros físicos definidos en el emisor para la generación de la portadora caótica. Estos parámetros físicos y su configuración precisa en el emisor generalmente forman la clave secreta requerida también en el receptor para una decodificación adecuada a través de la sincronización del caos. La dinámica de retardo EO ofreció en ese contexto varias ventajas atractivas: aumentaron drásticamente la dimensión del espacio de fase en comparación con la primera demostración experimental. De hecho, las primeras demostraciones estaban haciendo uso de circuitos electrónicos que generaban portadores caóticos en un espacio de fase tridimensional solamente [31], con espectros fácilmente reconocibles. Por el contrario, las soluciones caóticas de la dinámica de retardo altamente no lineal exhiben un espectro de Fourier de banda ancha casi plano y una función de densidad de probabilidad casi gaussiana. Por lo tanto, se asemejan a cualquier fuente de ruido blanco y dificultan mucho más la identificación de los parámetros de clave secreta. El uso de arquitecturas ópticas también proporcionó acceso al ancho de banda de telecomunicaciones ópticas estándar, debido al uso de dispositivos optoelectrónicos, electrónicos y EO de telecomunicaciones estándar diseñados para transmisiones de datos ópticos de más de 10 Gb s −1. El esquema de oscilación de bucle único también permitió implementar una configuración de sincronización de caos incondicionalmente estable. Recientemente, las investigaciones experimentales de las comunicaciones del caos lograron con éxito la demostración de experimentos de campo sobre una red de fibra óptica instalada, a más de 10 Gb s −1 de transmisión de datos. Una configuración EO diseñada específicamente fue capaz de generar una fase óptica caótica utilizada para transportar los datos digitales con una codificación DPSK [21]. La demostración se realizó por primera vez en la pequeña red de anillos de nuestra ciudad de Besançon, la llamada red de anillos de los hermanos Lumière (figura 4). Experimentos adicionales en redes más grandes demostraron que la configuración de emisor-receptor de nuestro laboratorio se puede conectar a una red instalada, funcionando en un enlace de transmisión de más de 100 km. Se encontró que la calidad del enlace de la transmisión encriptada era razonablemente buena, con una tasa neta de errores de bits de al menos 10 −7. Dicho rendimiento se puede mejorar fácilmente para una transmisión sin errores con codificación de corrección de errores digital estándar.

Figura 4. Comunicaciones de caos de fase EO: (a) esquema de la configuración del emisor y el receptor (B) Diagramas de ojo de 10 Gb s −1 para la señal encriptada del caos (i) y el flujo de bits recuperado (ii) (C) vista de satélite de la red de los "hermanos Lumière" en Besançon, donde se realizó el primer experimento de campo de 10 Gb s −1. Los hermanos Lumière son los inventores del cine que nacieron en la ciudad de Besançon. (Versión online en color).

(b) Osciladores optoelectrónicos de microondas

La solución de ciclo límite de la dinámica de retardo también puede ofrecer características de alto rendimiento muy atractivas para otras aplicaciones de ingeniería. Esto se refiere a la generación de oscilaciones de microondas a un nivel de pureza espectral ultra alto, p. Ej. para fuentes de radar. La frecuencia de microondas realmente oscilante F se determina aproximadamente como ω0/(2π), si adoptamos el modelo de la ecuación (2.3) para el cual el filtro de paso de banda es altamente selectivo, es decir, con metro≪1. La línea de retardo de fibra larga se usa aquí para proporcionar un elemento de almacenamiento de energía largo (en comparación con el período de oscilación), que normalmente se requiere cuando se espera una alta pureza espectral. En los osciladores habituales, esta función de almacenamiento de energía se realiza normalmente mediante resonadores con factores de calidad muy altos. Los resonadores de cuarzo son dispositivos muy maduros para lograr una estabilidad extrema a través de efectos piezoeléctricos que combinan vibraciones eléctricas y mecánicas. Sin embargo, su rango de frecuencia de Fourier, cuando se trata de una estabilidad muy alta, actualmente está limitado a 100 MHz. En la gama de microondas, los dispositivos de ondas acústicas de superficie están haciendo un progreso impresionante, pero las tecnologías fotónicas están ofreciendo por el momento las soluciones más eficientes, por ejemplo, a través de los denominados osciladores optoelectrónicos (OEO). Una característica básica pero muy atractiva es, además, que a diferencia de los osciladores basados ​​en resonadores electromecánicos, su factor de calidad aumenta con la frecuencia de funcionamiento. Esto se explica fácilmente debido al principio de almacenamiento de energía basado en el retardo de una señal de microondas transportada por un haz de luz óptica: a un coeficiente de pérdida lineal dado (muy bajo para las fibras, típicamente 0,2 dB km -1), el 1 /mi la atenuación corresponde a una longitud de fibra fija L o retrasar τD, independientemente de la modulación de microondas del portador de luz. El factor de calidad se puede definir como el número de períodos de oscilación de bucle abierto antes de que su amplitud decaiga en 1 /mi. En consecuencia, este factor de calidad se escala linealmente con la frecuencia de microondas. F, es decir. Q=(norte.L/C) F=τD F. Además, esta escala es válida en principio hasta frecuencias muy altas, debido al enorme ancho de banda de las fibras de sílice monomodo de 1,5 µm de calidad para telecomunicaciones. Las limitaciones prácticas no involucran la característica de pérdida ultrabaja, sino otros fenómenos físicos restrictivos en el origen de las fluctuaciones de retardo de tiempo. Esto comprende, por ejemplo, variación del índice de refracción debido a variaciones de temperatura o transferencia de ruido de fase láser al microondas debido a la dispersión de fibras. Estas limitaciones imponen actualmente en la práctica OEO un límite de longitud de fibra de unos pocos kilómetros (por lo tanto, unas pocas decenas de microsegundos), por lo tanto, más corto que el 1 /.mi límite de atenuación. La figura 5 representa un espectro de ruido de fase típico registrado desde un OEO con una frecuencia central. F= 10 GHz. Fue diseñado con una línea de retardo de fibra de 4 km térmicamente precisa y un filtro de retroalimentación electrónica "selectiva" de 50 MHz de ancho de banda. La inserción de zoom es una medida de alta resolución del ancho y alto del primer modo de retardo de ruido lateral. Este pico se produce a partir del modo de oscilación central. Se puede notar el ancho extremadamente delgado (California 40 mHz) y la altura extrema (110 dB, desde el nivel del piso en -140 hasta el nivel superior medido con precisión en el recuadro en -30), que son firmas típicas del carácter de gran retardo de tal OEO.

Figura 5. Microondas OEO. (a) Funciones de filtro relativas al modo de retardo en el dominio de Fourier. (B) Medición del espectro de ruido de fase alrededor de la frecuencia central en ω0/2π= Inserción de 10 GHz: características espectrales (extremadamente delgadas y fuertes) del primer modo de retardo de banda lateral ruidosa [32] (el pico a 50 Hz es sólo un pico parásito debido a la inevitable contaminación electromagnética de la línea de energía eléctrica). (Versión online en color).

Desde el punto de vista de la dinámica más teórica y no lineal, estas condiciones extremas de los parámetros también han traído investigaciones muy interesantes. De hecho, con respecto al modelo dado en las ecuaciones (2.2) y (2.3), se tiene una retroalimentación de filtrado resonante correspondiente a una amortiguación muy baja. metro≃10 −3 ≪1. Esto contrasta fuertemente con la muy alta amortiguación de la sección anterior, donde metro≃10 5 ≫1. Sin embargo, aunque el ancho de banda de retroalimentación se reduce considerablemente, la complejidad potencial o el número de grados de libertad no es necesariamente muy bajo, porque la disminución del ancho de banda se compensa aquí con el aumento del retardo de tiempo. El retardo relativamente corto en la sección anterior fue de aproximadamente decenas de nanosegundos; aquí se extiende a varias decenas de microsegundos. El modo de retardo fundamental de Fourier ahora corresponde a una frecuencia mucho más baja (típicamente 50 kHz frente a 10 MHz para comunicaciones de caos), y los modos de retardo se están volviendo mucho más densos en el espacio de Fourier. Aunque el filtro de retroalimentación de paso de banda estrecho está involucrado alrededor de 10 GHz, la densidad de los modos de retardo aún permite que muchas decenas a cientos de estos modos estén potencialmente involucrados en la dinámica. El ancho de filtro estrecho de unas pocas decenas de megahercios retroalimenta potencialmente muchos de los modos de retardo espaciados de 50 kHz. Se puede esperar una dinámica de retardo muy compleja y se encontró que conduce a otros escenarios de bifurcación cuando se incrementa la ganancia de retroalimentación: por ejemplo, se produce una bifurcación de Neimark-Sacker desde el ω0-Ciclo límite de hopf, que conduce a un toro caracterizado por un 2τD-modulación envolvente periódica del ω0 oscilación de microondas [9].

(c) Computación fotónica transitoria no lineal

El estado estacionario estable es una solución de a priori interés relativamente escaso. De hecho, si se considera un punto fijo, solo se obtiene un nivel de complejidad muy bajo. Sin embargo, el punto fijo estable no es una característica única del sistema dinámico a partir del cual se genera. Al menos se le podría asociar la correspondiente cuenca de atracción. Dependiendo de la estructura y dimensión de la dinámica, el punto fijo estable puede volverse mucho más atractivo en términos de complejidad relacionada. Entonces se podría analizar no solo la estructura local de un punto fijo, sino también toda su cuenca de atracción, tan pronto como se pueda diseñar una señal externa compleja para abordar, en principio, cualquier trayectoria posible que conduzca al punto fijo: esto es precisamente lo que se utiliza en una aplicación emergente, "computación de yacimientos", que hace uso de la complejidad transitoria no lineal para realizar cálculos. "Computación transitoria no lineal" también se sugirió en [33] y [15] como un nombre que podría referirse más al punto de vista de la física y la dinámica no lineal. Este novedoso principio computacional fue propuesto originalmente de forma independiente a principios de la década de 2000 por la comunidad informática / informática de redes neuronales [34] y la comunidad de investigación cognitiva del cerebro [35]. Inicialmente se denominó Echo State Network y Liquid State Machine, respectivamente. Más recientemente, se propuso el nombre unificado de "computación de yacimientos" [36]. El concepto está íntimamente inspirado y relacionado con la computación de redes neuronales estándar, como se representa en la figura 6. Una de las principales diferencias es asumir que la estructura interna de la red no necesita optimizarse durante la fase de aprendizaje. Esta estructura interna normalmente solo necesita definirse una vez al azar, a través de una matriz de conectividad. W I . Esto impone una dinámica fija, pero aún compleja, para la red neuronal global. La fase de aprendizaje solo tiene como objetivo encontrar una salida de lectura adecuada a través de una matriz de lectura W R. La lectura consiste simplemente en encontrar un hiperplano en el espacio de fase de la dinámica de la red, a partir del cual se puede deducir fácilmente la respuesta correcta. Esta salida de lectura consiste en una combinación lineal de algunos de los nodos de la red que están animados por el movimiento transitorio complejo, consecutivamente a la inyección en la red de la información a procesar. Se requiere un formato adecuado de la información de entrada, que está prácticamente definido por una conexión de capa de entrada a los nodos de la red. Esto introduce una matriz de conectividad de datos. W D, es decir, la forma en que se inyecta la información de entrada en el espacio de fase complejo. Una de las ventajas más importantes en comparación con la informática de redes neuronales clásica reside en el hecho de que el aprendizaje se simplifica considerablemente. Por lo general, se realiza con éxito a través de una solución siempre existente de una regresión de cresta simple. Esta regresión da como resultado el cálculo de W R. A pesar de su complejidad algorítmica mucho menor, que se reduce esencialmente al procedimiento de aprendizaje, este enfoque ya mostró muy buenos resultados en varias tareas complejas. Además, se han logrado rendimientos al nivel de los enfoques de redes neuronales clásicas más eficientes y, en ocasiones, incluso los superan [37]. Muy recientemente, en el marco del proyecto europeo PHOCUS, este novedoso enfoque computacional fue abordado desde el punto de vista experimental, con el uso de una dinámica de retardo en lugar de una red de nodos. Se probó un primer enfoque con una dinámica de retardo electrónica Mackey-Glass [38]. Esta primera demostración electrónica también se extendió a un diseño fotónico [15,39,40] inspirado directamente en la configuración de la figura 1. Estas implementaciones exitosas de la computación de yacimientos con dinámica de retardo se pueden explicar por una analogía conocida entre dimensiones infinitas dinámica de retardo y dinámica espacio-temporal [41] (figura 7). Las computadoras de red neuronal estándar generalmente se realizan como una red de nodos interconectados, como una red de neuronas, formando así una dinámica espacio-temporal compleja. Esta analogía dinámica entre dinámica espacio-temporal y dinámica de retardo permite a priori para el uso de una dinámica de retardo para la computación de yacimientos en lugar de las redes comunes extendidas espacialmente. Esta analogía consiste en una representación de una dinámica de retardo, como una dinámica virtual de espacio continuo y tiempo discreto. El movimiento de tiempo discreto corresponde a un viaje de ida y vuelta en el bucle de oscilación de retardo, indexado por un número entero k etiquetar el número de la corriente τD-intervalo. El espacio continuo virtual consiste en el fino movimiento temporal de la dinámica, del orden de τ, y ocurre dentro de un intervalo de retardo de tiempo "grueso". Los nodos de la red virtual se definen entonces como norte posiciones temporales dentro de un retardo de tiempo. Cada nodo Xnorte(k)|norte∈[1,norte] tiene un movimiento de tiempo discreto de un intervalo de retardo al siguiente, como k se incrementa a k+1. El patrón bidimensional X(norte,k) forma una representación del movimiento transitorio, sobre el que se debe aplicar la matriz de lectura W R para encontrar la respuesta esperada (figura 6). Los experimentos basados ​​en la dinámica de retardo no lineal utilizada como la red dinámica compleja virtual involucrada en una computadora transitoria no lineal se han realizado con éxito en pruebas de referencia, como el reconocimiento de dígitos hablados, la predicción de series de tiempo y la ecualización de canal no lineal.Además, los rendimientos logrados en estas configuraciones físicas del mundo real están muy cerca de los obtenidos a partir de simulaciones numéricas puras, lo que abre perspectivas muy interesantes sobre muchos problemas prácticos que no se pueden resolver fácilmente y / o lo suficientemente rápido con computadoras digitales estándar.

Figura 6. Computación fotónica transitoria no lineal, o computación de yacimientos, con dinámica de retardo EO. (a) Arquitectura general de la computación en redes neuronales. (B) Imagen de la configuración del EO y esquema de la configuración similar a la figura 1. (C) Resultado experimental con una matriz de lectura ya aprendida W R, multiplicado por el patrón bidimensional que representa la respuesta transitoria de la dinámica de retardo. El eje horizontal representa el índice de tiempo discreto k etiquetar el intervalo de retardo de tiempo sobre la duración del procesamiento. El eje vertical representa el índice del nodo norte (de 1 a 150), etiquetando las amplitudes muestreadas dentro de cada uno de los sucesivos intervalos de retardo de tiempo. El transitorio es generado por una señal externa correspondiente a la información de entrada, aquí una voz acústica (dígito hablado) a reconocer. El producto de la matriz proporciona una salida de lectura en la que el dígito 7 puede identificarse fácilmente como la salida más sensible entre los 10 dígitos posibles (0–9). (Versión online en color).

Figura 7. Interpretación gráfica de la analogía espacio-tiempo para un sistema dinámico de retardo utilizado como una computadora transitoria no lineal. (a) Los datos de entrada se multiplexan en el tiempo mediante el uso de una máscara. La multiplexación de tiempo juega el papel de direccionar los nodos espaciales virtuales con los datos de entrada, con diferentes pesos. Los nodos espaciales virtuales son posiciones temporales "finas" dentro de un retardo de tiempo de la dinámica de retroalimentación retardada no lineal. Están separados por la cantidad δτ. Los mismos nodos se utilizan para realizar la lectura, como una combinación lineal de estas amplitudes de nodo durante la respuesta transitoria de la dinámica de retardo. (B) La dinámica de retardo se interpreta en términos de interconexiones de nodos. La respuesta al impulso h(t) proporciona una conectividad a corto plazo o, de manera equivalente, una conectividad espacial a corta distancia entre los nodos. El término retardado no lineal aparece como una conectividad a largo plazo, o una actualización temporal de un retardo al siguiente, para cada nodo. (C) Gráfico espacio-temporal de un transitorio dinámico de retardo no lineal. La estructura temporal fina es la coordenada espacial virtual representada verticalmente. El paso de tiempo de un retraso de tiempo al siguiente representa la iteración de tiempo discreto. (Versión online en color).

4. Conclusiones y cuestiones futuras

Los sistemas dinámicos de retardo de EO han desencadenado durante los últimos 15 años una actividad científica importante, muy bien equilibrada y fertilizada de forma cruzada entre cuestiones fundamentales y aplicaciones novedosas. Se benefició de la complejidad intrínseca y la dimensionalidad de las numerosas y variadas dinámicas posibles. Las aplicaciones poderosas han estado en el origen de características dinámicas específicas debido a modificaciones de configuración guiadas por aplicaciones. Estas características dinámicas específicas se han explorado también desde el punto de vista teórico. Los ejemplos de esta revisión han cubierto aplicaciones relacionadas con tres soluciones de ecuaciones de retardo, desde el caos de alta dimensión hasta los transitorios complejos que conducen a un punto fijo estable, pasando por la extrema regularidad de una solución de ciclo límite. Una ilustración típica de la fertilización cruzada puede ser la siguiente: se utilizó el caos de banda ancha en el marco de la comunicación óptica segura, que solo se pudo diseñar con retroalimentación optoelectrónica de paso de banda, lo que resultó en un término integral en la ecuación de modelado. Luego se descubrió que este término estaba en el origen de si los nuevos regímenes periódicos o los estables que se sabía eran inestables o metaestables.

En este marco aún queda abierto un horizonte importante y quedan muchas cuestiones por abordar, de nuevo tanto desde el punto de vista de la aplicación como desde el teórico. Las interacciones no lineales entre las características del ciclo límite y el comportamiento del ruido de fase en los OEO de microondas requieren investigaciones fundamentales de ecuaciones de retardo ruidosas. La característica del espacio de fase alrededor del punto fijo estable que se utiliza para la computación transitoria no lineal debe entenderse más profundamente, especialmente desde el punto de vista de la teoría de la información, para optimizar la potencia de procesamiento de este novedoso principio computacional.

Por último, pero no menos importante, anticipamos que nuevas propiedades dinámicas fundamentales aparecerán nuevamente a través de enfoques de diseño novedosos para aplicaciones mejoradas que involucran sistemas dinámicos de retardo. Una evolución tecnológica probablemente importante en la dinámica de retardo, que ya ha comenzado en el caso de los láseres de cavidad externa [42], se refiere al uso de posibilidades de integración y micro y nanotecnologías para la realización de sistemas dinámicos de retardo. Esto también incluye resonadores de disco óptico que se investigan actualmente para la generación de peines de banda ancha y sistemas de tiempo-frecuencia de estabilidad extrema. Se ha identificado claramente que estas configuraciones implican tanto el retardo en el anillo como también interacciones luz-materia no lineales distribuidas entre los numerosos modos cavidad / retardo [43].


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