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5.1: Encontrar puntos de equilibrio - Matemáticas


Cuando analiza un sistema dinámico autónomo de tiempo discreto de primer orden (también conocido como mapa iterativo)

[x_ {t} = F (x_ {t-1}). label {(5.1)} ]

Una de las primeras cosas que debe hacer es encontrar su puntos de equilibrio (también llamados puntos fijos o estados estables), es decir, estados en los que el sistema puede permanecer sin cambios con el tiempo. Los puntos de equilibrio son importantes tanto por razones teóricas como prácticas. Teóricamente, son puntos clave en el espacio de fase del sistema, que sirven como referencias significativas cuando entendemos la estructura del espacio de fase. Y prácticamente, hay muchas situaciones en las que queremos mantener el sistema en un cierto estado que es deseable para nosotros. En tales casos, es muy importante saber si el estado deseado es un punto de equilibrio y, si lo es, si es estable o inestable. Para encontrar los puntos de equilibrio de un sistema, puede sustituir todas las (x ) en la ecuación con una constante (x_ {eq} ) (ya sea escalar o vectorial) para obtener

[x_ {eq} = F (x_ {eq}). label {(5.2)} ]

y luego resuelva esta ecuación con respecto a (x_ {eq} ). Si tiene más de una variable de estado, debe hacer lo mismo para todas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Por ejemplo, así es como puede encontrar los puntos de equilibrio del modelo de crecimiento logístico:

[x_ {t} = x_ {t-1} + rx_ {t-1} left (1- frac {x_ {t-1}} {K} right) label {(5.3)} ]

Solución

Reemplazando todas las (x ) por (x_ {eq} ) en la Ecuación ref {(5.3)}, obtenemos lo siguiente:

[x_ {eq} & = x_ {eq} + rx_ {eq} (1- frac {x_ {eq}} {K}) label {(5.4)} ]

[0 & = rx_ {eq} (1- frac {x_ {eq}} {K} label {(5.5)} ]

[x_ {eq} & = 0, qquad {K} label {(5.6)} ]

El resultado muestra que la población no cambiará si no hay organismos ((x_ {eq} = 0) ) o si el tamaño de la población alcanza el capacidad de carga del medio ambiente ((x_ {eq} = K) ). Ambos tienen perfecto sentido.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Obtenga el (los) punto (s) de equilibrio de la siguiente ecuación en diferencias:

[x_ {t} = 2x_ {t-1} -x ^ {2} _ {t-1} label {(5.7)} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Obtenga el (los) punto (s) de equilibrio del siguiente modelo de ecuación en diferencia bidimensional:

[x_ {t} = x_ {t-1} y_ {t-1} label {(5.8)} nonumber ]

[y_ {t} = y_ {t-1} (x_ {t-1} -1) etiqueta {(5.9)} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Obtenga el (los) punto (s) de equilibrio de la siguiente ecuación en diferencias:

[x_ {t} = x_ {t-1} -x ^ {2} _ {t-2} +1 label {(5.10)} nonumber ]

Tenga en cuenta que esta es una ecuación en diferencias de segundo orden, por lo que primero deberá convertirla en una forma de primer orden y luego encontrar los puntos de equilibrio.


Puntos de equilibrio de sistemas autónomos lineales

Sea un sistema lineal homogéneo de segundo orden con coeficientes constantes:

Este sistema de ecuaciones es autónomo ya que los lados derechos de las ecuaciones no contienen explícitamente la variable independiente (t. )

En forma de matriz, el sistema de ecuaciones se puede escribir como

Las posiciones de equilibrio se pueden encontrar resolviendo la ecuación estacionaria

Esta ecuación tiene la única solución ( mathbf = mathbf <0> ) si la matriz (A ) no es singular, es decir, siempre que ( det A ne 0. ) En el caso de una matriz singular, el sistema tiene un número infinito de puntos de equilibrio .

La clasificación de los puntos de equilibrio está determinada por los valores propios (< lambda _1>, < lambda _2> ) de la matriz (A. ) Los números (< lambda _1>, < lambda _2> ) se puede encontrar resolviendo la ecuación auxiliar

En general, cuando la matriz (A ) no es singular, hay (4 ) diferentes tipos de puntos de equilibrio:

La estabilidad de los puntos de equilibrio está determinada por los teoremas generales de estabilidad. Entonces, si los autovalores reales (o partes reales de autovalores complejos) son negativos, entonces el punto de equilibrio es asintóticamente estable. Ejemplos de tales posiciones de equilibrio son nodo estable y foco estable.

Si la parte real de al menos un valor propio es positiva, el punto de equilibrio correspondiente es inestable. Por ejemplo, puede ser una silla de montar.

Finalmente, en el caso de raíces puramente imaginarias (cuando el punto de equilibrio es un centro), se trata de la estabilidad clásica en el sentido de Lyapunov.

Nuestro próximo objetivo es estudiar el comportamiento de soluciones cercanas a las posiciones de equilibrio. Para sistemas de segundo orden, es conveniente hacer esto gráficamente usando el retrato de fase, que es un conjunto de trayectorias de fase en el plano de coordenadas. Las flechas en las trayectorias de fase muestran la dirección del movimiento del punto (es decir, un estado particular del sistema) a lo largo del tiempo.

Analicemos & # 8217s cada tipo de punto de equilibrio y los correspondientes retratos de fase.

Nodo estable e inestable

Los valores propios (<< lambda _1>, < lambda _2 >> ) de los puntos de tipo & # 8220node & # 8221 satisfacen las condiciones:

Aquí pueden surgir los siguientes casos particulares.

Las raíces (, > ) son distintas ( left ( ne > right) ) y negativas ( izquierda ( lt 0, > lt 0 right). )

Dibuja un retrato de fase esquemático para este sistema. Supongamos que ( left | << lambda _1 >> right | lt left | << lambda _2 >> right |. ) La solución general tiene la forma

Dado que ambos valores propios son negativos, entonces la solución ( mathbf = mathbf <0> ) es asintóticamente estable. Este punto de equilibrio se llama nodo estable. Como (t a infty, ) las curvas de fase tienden al origen ( mathbf = mathbf <0>. )

Especifique la dirección de las trayectorias de fase. Desde

la derivada ( large frac <><> tamaño normal ) es

Divida el numerador y el denominador por (<t >>>: )

En este caso, (< lambda _2> & # 8211 < lambda _1> lt 0. ) Por lo tanto, los términos con la función exponencial tienden a cero como (t to infty. ) Como resultado , a ( ne 0, ) obtenemos:

es decir, las trayectorias de fase se vuelven paralelas al vector propio (< mathbf_1> ) como (t a infty. )

Si ( = 0, ) la derivada en cualquier (t ) es igual a

es decir, la trayectoria de la fase se encuentra en una línea dirigida a lo largo del vector propio (< mathbf_2>.)

Ahora consideramos el comportamiento de las trayectorias de fase como (t to - infty. ) Obviamente, las coordenadas (x left (t right), y left (t right) ) tienden al infinito, y la derivada ( large frac <><> tamaño normal ) en ( ne 0 ) toma la siguiente forma:

es decir, las curvas de fase en los puntos en el infinito se vuelven paralelas al vector (< mathbf_2>.)

En consecuencia, cuando ( = 0, ) la derivada es

En este caso, la trayectoria de la fase está determinada por la dirección del vector propio (< mathbf_1>.)

Dadas las propiedades anteriores de las trayectorias de fase, el retrato de fase de un nodo estable se muestra esquemáticamente en la Figura (2. )

Del mismo modo, podemos estudiar el comportamiento de las trayectorias de fase para otros tipos de puntos de equilibrio. Además, omitiendo el análisis detallado, consideramos características cualitativas básicas de los otros puntos de equilibrio.

Las raíces (, > ) son distintas ( left ( ne > right) ) y positivas ( izquierda ( gt 0, > gt 0 right). )

En este caso, el punto ( mathbf = mathbf <0> ) es un nodo inestable. Su retrato de fase se muestra en la Figura (3. )

Tenga en cuenta que en el caso del nodo estable e inestable, las trayectorias de fase tocan la línea, que se dirige a lo largo del vector propio correspondiente al valor propio más pequeño (en valor absoluto) ( lambda. )

Nodo dicrítico

Deje que la ecuación auxiliar tenga una raíz cero de multiplicidad (2, ) es decir, considere el caso (< lambda _1> = < lambda _2> = < lambda> ne 0. ) El sistema tiene una base de dos vectores propios, es decir, la multiplicidad geométrica del valor propio ( lambda ) es (2. ) En términos del álgebra lineal, esto significa que la dimensión del espacio propio de (A ) es igual a (2 : ) ( dim ker A = 2. ) Esta situación ocurre en sistemas de la forma

La dirección de las trayectorias de fase depende del signo de ( lambda. ) Aquí pueden surgir los siguientes dos casos:

Caso ( = = lt 0. )

Esta posición de equilibrio se denomina nodo dicrítico estable (Figura (4 )).

Caso ( = = gt 0. )

Esta combinación de valores propios corresponde a un nodo dicrítico inestable (Figura (5 )).

Nodo singular

Dejemos que los valores propios de (A ) sean nuevamente coincidentes: (< lambda _1> = < lambda _2> = < lambda> ne 0. ) A diferencia del caso anterior, asumimos que la multiplicidad geométrica del valor propio (o en otras palabras, la dimensión del espacio propio) es ahora (1. ) Esto significa que la matriz (A ) tiene solo un vector propio (< mathbf_1>. ) El segundo vector linealmente independiente requerido para la base se define como un vector propio generalizado (< mathbf_1> ) conectado a (< mathbf_1>.)

Caso ( = = lt 0 ).

El punto de equilibrio se llama nodo singular estable (Figura (6 )).

Caso ( = = gt 0 ).

La posición de equilibrio se llama nodo singular inestable (Figura (7 )).

Sillín

El punto de equilibrio es una silla bajo la siguiente condición:

Dado que uno de los valores propios es positivo, la silla es un punto de equilibrio inestable. Supongamos, por ejemplo, (< lambda _1> lt 0, < lambda _2> gt 0. ) Los valores propios (< lambda _1> ) y (< lambda _2> ) están asociados con los vectores propios correspondientes (< mathbf_1> ) y (< mathbf_2>. ) Las líneas rectas dirigidas a lo largo de los vectores propios (< mathbf_1>, ) (< mathbf_2>, ) se llaman separatrices. Estas son las asíntotas de otras trayectorias de fase que tienen forma de hipérbola. Cada una de las separatrices puede asociarse con una determinada dirección de movimiento.

Si la separatriz está asociada con un valor propio negativo (< lambda _1> lt 0, ) es decir, en nuestro caso se dirige a lo largo del vector (< mathbf_1>, ) el movimiento a lo largo de él ocurre hacia el punto de equilibrio ( mathbf = mathbf <0>. ) Y viceversa, en (< lambda _2> gt 0, ) es decir, para la separatriz asociada con el vector (< mathbf_2>, ) el movimiento se dirige desde el origen. El retrato de fase del sillín se muestra esquemáticamente en la Figura (8. )

Enfoque estable e inestable

Ahora suponga que los valores propios (< lambda _1>, < lambda _2> ) son números complejos cuyas partes reales no son cero. Si la matriz (A ) está compuesta de números reales, las raíces complejas se presentarán en forma de números complejos conjugados:

Descubra qué tipo de trayectorias de fase se encuentran en la vecindad del origen. Construye una solución compleja (< mathbf_1> left (t right) ) correspondiente al valor propio (< lambda _1> = alpha + i beta: )

donde (< mathbf_1> = mathbf + i mathbf) es el vector propio de valor complejo asociado con el valor propio (< lambda _1>, ) ( mathbf) y ( mathbf) son funciones vectoriales reales. Como resultado, obtenemos:

Las partes real e imaginaria de la última expresión forman la solución general del tipo

[< mathbf left (t right) = exto left [<< mathbf_1> left (t right)> right] + exto left [<< mathbf_1> left (t right)> right]> = <> izquierda [< izquierda (< mathbf cos beta t & # 8211 mathbf sin beta t> right)> right. > + < izquierda. < izquierda (< mathbf sin beta t + mathbf cos beta t> right)> right]> = <> left [< mathbf left (< cos beta t + sin beta t> right)> right. > + < izquierda. < mathbf left (< cos beta t & # 8211 sin beta t> right)> right].> ]

Representamos la constante (,) como

donde ( delta ) es un ángulo auxiliar. Entonces la solución se escribe como

Por lo tanto, la solución ( mathbf left (t right) ) se puede expandir sobre la base de los vectores ( mathbf) y ( mathbf:)

[ mathbf left (t right) = mu left (t right) mathbf + eta left (t right) mathbf,]

donde los coeficientes ( mu left (t right), ) ( eta left (t right) ) están dados por

Esto muestra que las trayectorias de fase son espirales. Cuando ( alpha lt 0, ) las espirales giran acercándose al origen. Esta posición de equilibrio se llama foco estable. En consecuencia, cuando ( alpha gt 0, ) tenemos un foco inestable.

La dirección de giro se puede identificar por el signo del coeficiente (> ) en la matriz original (A. ) De hecho, considere la derivada (< large frac <><

> tamaño normal>, ) por ejemplo, en el punto ( left (<1,0> right): )

El coeficiente positivo (> gt 0 ) corresponde al giro en sentido antihorario como se muestra en la Figura (9. ) Cuando (> lt 0, ) las espirales girarán en el sentido de las agujas del reloj (Figura (10 ​​)).

Por lo tanto, teniendo en cuenta la dirección de giro, solo hay (4 ) diferentes tipos de enfoque. Esquemáticamente, se muestran en las Figuras (9-12. )


Respuestas y respuestas

Recientemente me encontré con un problema en el que obtener conceptualmente, pero no se puede aplicar matemáticamente si eso tiene sentido.

Entiendo que la posición de la tercera masa debe estar en el punto de equilibrio de ## m_1 ## (## 9.0 × 10 ^ <24> kg ##), entonces ## Sigma F = 0 ## ¿verdad? Y ni siquiera necesariamente cero, algo debe ser igual a cero para que la masa esté en el punto neutro o en el punto de Lagrange.

Lo más lejos que he llegado es tener algo como ## frac <9> = frac <5> <(1.6 × 10 ^ 11-x) ^ 2> ## e incluso entonces no tengo idea de cómo llegué a eso.

¿Alguien puede darme algún consejo? No necesariamente quiero respuestas, solo pistas o pistas.


El dilema del prisionero y el apostal es uno de los ejemplos más conocidos de teoría de juegos no cooperativa. Dos amigos son arrestados por cometer un delito. La policía les pregunta de forma independiente si lo han hecho o no. Si ambos mienten y dicen que no lo hicieron, y ambos serán condenados a tres años de prisión porque la policía tiene pocas pruebas en su contra.

Si ambos dicen la verdad de que son culpables, recibirán siete años cada uno. Si uno dice la verdad y el otro miente, el que dice la verdad recibe un año de prisión y el otro diez. Este juego se muestra en la matriz a continuación. En la matriz, las estrategias del jugador A se muestran verticalmente y las estrategias del jugador B horizontalmente. La recompensa x, y significa que el jugador A obtiene x y el jugador B obtiene y.


Por qué es interesante

El teorema del punto fijo de Brouwer ha suscitado discusiones desde que se probó por primera vez y todavía se puede ver en temas que van desde los mapas hasta la economía.

Conflicto con el intuicionismo

Las primeras pruebas del teorema de Brouwer se encontraron con recepciones mixtas de la comunidad matemática. Las primeras pruebas presentadas por Bohl, Brouwer y Hadamard fueron todas no constructivas, lo que significa que prueban la existencia de puntos fijos, pero no proporcionan un medio para construir un ejemplo.

Como resultado, estas pruebas (incluida la propia de Brouwer) eran contrarias a los ideales intuicionistas de Brouwer. La premisa del intuicionismo es que la verdad de un enunciado se considera equivalente a que una persona pueda intuir el enunciado. En el momento de su muerte, Brouwer creía que existían puntos fijos, pero no creía haber probado suficientemente este hecho porque no podía proporcionar una prueba intuitiva.

Aunque un número muy pequeño de matemáticos todavía puede debatir sobre el teorema del punto fijo de Brouwer, el debate sobre la prueba de la existencia de puntos fijos es ahora fundamentalmente filosófico. El teorema de Brouwer se acepta ampliamente en matemáticas y es la base de varios otros teoremas.

El teorema del punto fijo de Brouwer se manifiesta de formas que pueden parecer totalmente ajenas a las matemáticas, como la existencia de un Estás aquí marcador en mapas informativos (que a menudo se encuentran en centros comerciales). Estos mapas son familiares en la vida cotidiana, pero pocas personas los asocian con el teorema de Brouwer. En efecto, la función que toma lugar en el centro comercial como entrada y devuelve su imagen en el mapa como salida es continua y por lo tanto debe tener un punto fijo. Este punto suele estar indicado por un marcador que contiene el texto Estás aquí.

Si consideramos la existencia de una pantalla similar fuera del centro comercial, sabemos que no habría ningún marcador porque nuestra ubicación no se puede representar con precisión en el mapa. Esto tiene sentido porque un mapa fuera del centro comercial violaría la condición de Brouwer de que la función se asigna "a sí misma", por lo que un mapa fuera del centro comercial no tendría un punto fijo (o un Estás aquí marcador).

Economía y teoría de juegos

La teoría y la economía clásicas de juegos se basan en gran medida en los teoremas del punto fijo.

El célebre resultado de John Nash al demostrar la existencia de equilibrio en los juegos multijugador es un ejemplo clásico en el que las únicas pruebas conocidas dependen de teoremas de punto fijo. Imagina un juego en el que cada jugador intenta mejorar sus resultados basándose en las acciones actuales de sus oponentes. Entonces, el teorema de Nash establece que existe una combinación de estrategias para que cada jugador no pueda mejorar su resultado unilateralmente. Por lo tanto, los jugadores han alcanzado un conjunto de estrategias, o perfiles de estrategia, que se “fijan” en el proceso de optimización.

Por ejemplo, en el juego de piedra, papel y tijera, el equilibrio de Nash implica que los jugadores eligen aleatoriamente cada opción 1/3 de las veces. Si un jugador trataba de mejorar su estrategia favoreciendo el rock más de un tercio de las veces, entonces su oponente podría vencerlo la mayoría de las veces contraatacando con papel.

En los juegos, el set, W, donde se aplica esta función no es una cadena, disco o taza de café. En cambio, un punto en W es una combinación de estrategias, una empleada por cada jugador, que los jugadores podrían estar usando. Por ejemplo, un punto en W podría ser que un jugador juegue piedra la mitad del tiempo y papel la mitad del tiempo, mientras que otro jugador juega piedra 1/3 del tiempo, papel 1/3 del tiempo y tijeras 1/3 del tiempo.

Si X es un punto en W, que representa una combinación de estrategias, la f (x) es el conjunto de estrategias que los jugadores forman en respuesta a X. El equilibrio de Nash del juego es un conjunto de estrategias donde la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta a sus oponentes. El teorema del punto fijo garantiza que siempre habrá un equilibrio de Nash. Es decir, habrá un conjunto de estrategias que serán ideales para ambos jugadores, por lo que aplicando F no cambia este punto en W. Este conjunto de estrategias es un punto fijo.

El teorema de Brouwer también se utiliza para demostrar que existe una intersección entre las curvas de oferta y demanda. La idea de que los mercados generalmente se reajustarán hasta un punto de equilibrio es un supuesto fundamental en economía. Los modelos que sirven como base para esta creencia se basan en un modelo de un producto. Entonces, cuando la economía tiene múltiples productos, debe preguntarse bajo qué circunstancias es posible ese equilibrio. Las herramientas matemáticas esenciales que se utilizan para abordar esta cuestión son los teoremas de punto fijo, incluido el de Brouwer.

En el caso de que haya varios productos, W es el conjunto de combinaciones de precios de los productos básicos. La función, F, se elige para que F(X) solo es igual ax cuando la oferta es realmente igual a la demanda. El desafío aquí es construir F de modo que tiene esta propiedad y al mismo tiempo satisface las condiciones del teorema del punto fijo de Kakutani (que es un resultado del teorema más general de Brouwer). Si esto se puede hacer, entonces la función F debe tener un punto fijo de acuerdo con el teorema, y ​​este punto iguala la oferta con la demanda.


Análisis de punto de equilibrio: técnica de linealización

Recuerde que solo las soluciones de sistemas lineales pueden encontrarse explícitamente. El problema es que, en general, los problemas de la vida real solo pueden modelarse mediante sistemas no lineales. En este caso, solo sabemos cómo describir las soluciones globalmente (a través de líneas nulas). Lo que sucede alrededor de un punto de equilibrio sigue siendo un misterio hasta ahora. Aquí te proponemos discutir este problema. La idea principal es aproximar un sistema no lineal por uno lineal (alrededor del punto de equilibrio). Por supuesto, esperamos que el comportamiento de las soluciones del sistema lineal sea el mismo que el del no lineal. Este es el caso la mayor parte del tiempo (¡no todo el tiempo!).

Ejemplo. Considere la ecuación de Van der Pol

Esta es una ecuación no lineal. Traduzcamos esta ecuación a un sistema. Colocar . Entonces nosotros tenemos

Los puntos de equilibrio se reducen al único punto (0,0). Encontremos las nulas y la dirección de los vectores de velocidad a lo largo de ellas. La x-nullclina está dada por

Por tanto, la línea nula x es el eje x. La y-nullclina está dada por

Por tanto, la línea nula y es la curva.

En la siguiente imagen, dibujamos las líneas nulas y la dirección de los vectores de velocidad a lo largo de ellas.

Tenga en cuenta que la disposición de estas curvas nos dice que las soluciones `` circulan '' alrededor del origen. Pero no está claro si las soluciones circulan y tiñen en el origen, circulan lejos del origen o siguen circulando periódicamente. Un enfoque muy aproximado de este problema sugiere que si reescribimos el término como, entonces cuando (x, y) está cerca de (0,0), el término es muy pequeño en comparación con - x + y. Por tanto, un sistema cercano al sistema no lineal original es

que resulta ser un sistema lineal. Los valores propios de este sistema son. Por lo tanto, las soluciones del sistema lineal se alejan en espiral del origen (ya que la parte real es positiva). Por lo tanto, sugerimos que las soluciones del sistema no lineal se alejen en espiral del origen (mire la imagen a continuación)

La solución comenzó cerca del punto de equilibrio, luego se alejó. Observe que en este caso, la trayectoria se acerca a lo que parece un ciclo. Para ver mejor esto, consideremos las gráficas de la función x (t) e y (t):

Entonces, ¿qué pasa si queremos generalizar esto a diferentes sistemas? ¿Existe alguna técnica que imite lo que hicimos? La respuesta es sí. Se llama linealización.

Considere el sistema autónomo

Y suponga que es un punto de equilibrio. Entonces nos gustaría encontrar el sistema lineal más cercano cuando (x, y) está cerca de. Para hacer eso, necesitamos aproximar las funciones f (x, y) y g (x, y) cuando (x, y) está cerca de. Este es un problema similar al de aproximar una función valorada real por su tangente (alrededor de un punto, por supuesto). Del cálculo multivariable, obtenemos

cuando (x, y) está cerca de. Entonces el sistema no lineal puede ser aproximado por el sistema

Pero dado que es un punto de equilibrio, entonces tenemos. Por lo tanto tenemos

Este es un sistema lineal. Su matriz de coeficientes es

Esta matriz se denomina matriz jacobiana del sistema en el punto.

Resumen de la técnica de linealización.
Considere el sistema autónomo

y un punto de equilibrio.
Encuentra las derivadas parciales

Escribe la matriz jacobiana

Encuentre los valores propios de la matriz jacobiana. Deduzca el destino de las soluciones alrededor del punto de equilibrio a partir de los valores propios. Por ejemplo, si los valores propios son negativos o complejos con una parte real negativa, entonces el punto de equilibrio es un sumidero (es decir, todas las soluciones se tiñerán en el punto de equilibrio). Tenga en cuenta que si los valores propios son complejos, las soluciones girarán en espiral alrededor del punto de equilibrio. Si los valores propios son positivos o complejos con una parte real positiva, entonces el punto de equilibrio es una fuente (es decir, todas las soluciones se alejarán del punto de equilibrio). Tenga en cuenta que si los valores propios son complejos, las soluciones se alejarán en espiral del punto de equilibrio. Si los valores propios son números reales con signo diferente (uno positivo y otro negativo), entonces el punto de equilibrio es una silla. De hecho, habrá dos soluciones que se acerquen al punto de equilibrio como, y dos soluciones más que se acerquen al punto de equilibrio como. Para el sistema lineal, estas soluciones son líneas, pero para el sistema no lineal no lo son en general. Estas cuatro soluciones se denominan separatriz.

Observación. Cuando se trata de un sistema autónomo sin conocimiento previo del punto de equilibrio, entonces recomendamos encontrar primero la matriz jacobiana y reemplazar los valores para cada punto de equilibrio. De esta forma no repites los cálculos una y otra vez.

Ejemplo. Considere la ecuación del péndulo

donde es el coeficiente de amortiguamiento. Vea la imagen a continuación.

Los puntos de equilibrio son, donde. Los ángulos, para, corresponden al péndulo en su posición más baja, mientras que, para, corresponden al péndulo en su posición más alta. La matriz jacobiana del sistema

Concentrémonos en las posiciones de equilibrio (0,0) y. Para (0,0), la matriz jacobiana es

En aras de la ilustración, fijemos los parámetros. Por ejemplo, si tomamos (péndulo no amortiguado), entonces los valores propios son, lo que implica que la masa oscilará alrededor de la posición más baja de forma periódica. Si (péndulo descargado), m = 1 y l = 1. Entonces los valores propios son

Dado que la parte real es negativa, las soluciones se hundirán (teñirán) mientras oscilan alrededor del punto de equilibrio. Aquí tenemos el mismo comportamiento para el sistema lineal y no lineal.

Porque, la matriz jacobiana es

Claramente tenemos dos valores propios reales con uno positivo y otro negativo. Entonces, las soluciones siempre se alejarán de la posición de equilibrio, excepto a lo largo de una curva (la separatriz). Puede encontrar más información sobre el péndulo haciendo clic aquí.


Perspectiva matemática

Un equilibrio es la solución más simple posible a un sistema dinámico. Es una solución donde la variable de estado es una constante, la variable no cambia en absoluto con el tiempo. Por ejemplo, si una población de alces se mantuviera estable en 3240 alces, el tamaño de población constante de 3240 alces sería un equilibrio. Aunque un equilibrio es tan simple, es un concepto fundamental en los sistemas dinámicos y formará una base para analizar comportamientos más complicados.

En los sistemas dinámicos discretos, existe una forma sencilla de encontrar equilibrios. Simplemente conecte una solución que no dependa del tiempo en la regla de evolución. El resultado es una ecuación algebraica que puede resolver para determinar cuáles son las soluciones de equilibrio.

Ejemplos iniciales

Este primer ejemplo tuvo un solo equilibrio. También es posible que un sistema dinámico tenga equilibrios cero o equilibrios múltiples. Probemos con otro ejemplo. empezar q_-q_n & = q_n ^ 2-q_n q_0 & = q_0. final En este caso, el sistema dinámico se escribe en forma de diferencias, pero encontramos los equilibrios de la misma manera. Establecemos todos los valores de la variable de estado en el mismo número. Establecemos $ q_n = E $ y $ q_= E $. Sustituyendo estos valores en la regla de evolución, calculamos begin E - E & = E ^ 2-E 0 & = E ^ 2 -E. final Como siempre ocurre con la forma de diferencia, el lado izquierdo es cero. Para resolver = E ^ 2-E $, factorizamos, obteniendo $ 0 = E (E-1), $ entonces las soluciones son $ E = 0 $ y $ E-1 = 0 $. En otras palabras, los equilibrios son $ E = 0 $ y $ E = 1 $. Puede comprobar que si comenzó con las condiciones iniciales $ q_0 = 0 $ o las condiciones iniciales $ q_0 = 1 $, el valor de la variable de estado no cambiaría. Las soluciones son equilibrios.

Equilibrios con parámetros

Encontrar equilibrios cuando el sistema dinámico tiene parámetros no especificados puede conducir a nuevas sutilezas. Como se muestra en este video, el número de equilibrios podría depender del valor de los parámetros.


Equilibrios y línea de fase

La resolución de una ecuación diferencial se puede realizar de tres formas principales: analítica, cualitativa y numérica. Hemos visto algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales resueltas mediante técnicas analíticas (por ejemplo: ecuaciones lineales, separables y de Bernoulli). El método de Euler (aunque muy primitivo) ilustra el uso de técnicas numéricas para resolver ecuaciones diferenciales. Para el enfoque cualitativo, definimos el campo de pendiente de una ecuación diferencial y mostramos cómo esto puede ser útil cuando fallan otras técnicas.

Cuando la ecuación diferencial es autónoma, se puede decir más sobre las soluciones utilizando técnicas cualitativas.

Considere la ecuación diferencial autónoma

donde f (y) es una función. Claramente reconocemos una ecuación separable. Entonces sabemos cómo resolverlo mediante la técnica analítica. Primero buscamos las soluciones constantes como las raíces de la ecuación

Luego, para encontrar las soluciones no constantes, separamos la variable

Tenga en cuenta que la integración puede ser difícil, si no imposible, de realizar. Por tanto, puede que no sea posible utilizar la técnica analítica.

En este caso, se pueden probar técnicas numéricas. Desafortunadamente, las técnicas numéricas fallan si f (y) contiene un parámetro y necesitamos sacar conclusiones relativas a este parámetro. Por ejemplo, recuerde la ecuación logística con la cosecha (con una tasa constante H)

donde y (t) es la población de la especie dada en el tiempo t. Para encontrar la tasa óptima H (que hace felices a los cazadores y a los ecologistas preocupados por preservar la especie), es posible que las técnicas numéricas no sean la mejor herramienta a utilizar. Aquí veremos cómo nuevas ideas basadas en un enfoque gráfico nos ayudarán a decir algo sobre las soluciones. Tenga en cuenta que estas ideas solo son válidas para autónomo ecuaciones.

Equilibrios de ecuaciones autónomas

Considere la ecuación autónoma

Los equilibrios o soluciones constantes de esta ecuación diferencial son las raíces de la ecuación

Usando el teorema de existencia y unicidad, estas soluciones constantes cortarán todo el plano (donde viven las soluciones) en regiones independientes. Esto significa que, si una condición inicial pertenece a una de las regiones, entonces la solución que satisface la condición inicial permanecerá en esa región todo el tiempo.

Ejemplo. Considere la ecuación logística

Sus equilibrios son y = 0 e y = 1. Considere la solución y (t) al PVI

Dado que 0 & lt y (0) & lt 1, entonces debemos tener

En la siguiente imagen, dibujamos algunas soluciones asociadas a las condiciones iniciales en las diferentes regiones (0 & lt y & lt 1, y & lt 0, y 1 & lt y)

Tenga en cuenta que en este ejemplo, cualquier solución y (t) aumenta si se satisface 0 & lt y (0) & lt 1. Por tanto, cabe preguntarse si una conclusión similar es cierta en general. Considere nuevamente la ecuación autónoma

Suponga que y () son equilibrios (es decir, y). Suponga además que f (y) tiene un signo constante en el intervalo. Suponga que f (y) es positivo y considere la solución al PVI

dónde . Sabemos que tendremos para cada t. Desde

debemos tener para todo t. Esto implica claramente que y (t) siempre está aumentando. Entonces, el signo de f (y) nos ayuda a determinar el comportamiento de las soluciones (si son crecientes o decrecientes).

Ejemplo. Considere la ecuación autónoma

donde la gráfica de f (y) se da a continuación

A partir del gráfico, podemos determinar los equilibrios. Son y = 0, y = 1 e y = 2. Usando la discusión anterior, obtenemos la siguiente información: si y (t) es una solución que satisface y (0) & lt 0, entonces y (t) siempre aumenta si y (t) es una solución que satisface 0 & lt y (0) & lt 1, entonces y (t) siempre es decreciente si y (t) es una solución que satisface 1 & lt y (0) & lt 2, entonces y (t) siempre es creciente si y (t) es una solución que satisface 2 & lt y (0 ), entonces y (t) siempre es decreciente.

En la imagen de abajo, dibujamos algunas soluciones.

Observación. Recuerde que si la función h (t) es creciente o decreciente, entonces se cumple lo siguiente: el límite de h (t) cuando existe (o es un número) si y solo si la función está acotada por encima de lo contrario, tenemos

el límite de h (t) cuando existe (o es un número) si y solo si la función está acotada por debajo de lo contrario tenemos

Tenga en cuenta que en este caso, si h (t) tiene un límite (como un número) cuando, y h (t) es una & quot función agradable & quot, entonces debemos tener

La siguiente imagen ilustra esta conclusión mejor que las palabras.

Ejemplo. Considere la solución al problema del valor inicial

donde la gráfica de f (y) se da a continuación

Analice el límite de y (t) cuando.

Respuesta. Usando los resultados anteriores, sabemos que para la condición inicial dada, y (t) es decreciente y para cada t tenemos

La observación anterior implica que existen y tenemos

Dado que y (t) no es una solución constante (porque y (0) = 0.5), entonces tenemos

and y is solution to the autonomous equation y '= f ( y ), then the only possibilities for both limits are the equilibria 0,1, and 2. Clearly if we put everything together, we conclude that

Summary. Let us write down some general steps to follow when dealing with the autonomous equation

Step 1. Find the constant solutions or equilibria through the algebraic equation

Draw the constant solutions. Note that here we are drawing y versus t . Step 2. Find the sign of the function f ( y ) through its graph (versus y ). Step 3. In the region between any two equilibria, the solutions will be all increasing (if f ( y ) is positive) or decreasing (if f ( y ) is negative). Step 4. If a solution is increasing and bounded above by a constant solution y = L , then the limit of the solution when is the number L . Otherwise the limit is .
If this solution is bounded below by a constant solution y = l , then the limit of the solution when is the number l . Otherwise the limit is .
Step 5. If a solution is decreasing and bounded below by a constant solution y = L , then the limit of the solution when is the number L . Otherwise the limit is .
If this solution is bounded above by a constant solution y = l , then the limit of the solution when is the number l . Otherwise the limit is .
Step 6. Draw some solutions.

Observación. You must be very careful here, since two graphs will be drawn: one for the function f ( y ) (versus y ) and another one for the solutions, where this time y is on the vertical axis while t is on the horizontal axis. Keep in mind that the second graph is the most important one, since it deals with what we are looking for: the solutions of the differential equation.

Example. Draw some solutions for the equation

Answer. Note that this equation models the logistic growth with threshold. The equilibria or constant solutions are given by

or y =0, y =2, and y =5. The graph of the function f ( y ) = .2 y (5- y )( y -2) is given in the next picture

So we have: the solution which satisfies the initial condition , with , is increasing. Moreover we have

the solution which satisfies the initial condition , with , is decreasing. Moreover we have

the solution which satisfies the initial condition , with , is increasing. Moreover we have

the solution which satisfies the initial condition , with , is decreasing. Moreover we have

In the picture below we draw some solutions

Let us reconsider the above example. Let us focus our attention on the solutions which satisfy the initial condition and . We already know that

It is somehow amazing that this conclusion is valid regardless whether is close to 5 or close to 2. In this case we say that the equilibrium point 5 is attractive from below. In fact, in this example, this equilibrium point is attractive from below and above. On the other hand, the solutions get away from the equilibrium point 2 from below and above. We will say that the equilibrium point 2 is repelling. Note that there is no general agreement on the words used to describe these phenomena.

Definition. Classification of Equilibrium Points.
Consider the autonomous equation

Assume that is an equilibrium point (that is ). The equilibrium point is called a sink if and only if any solution y ( t ) to the autonomous equation such that y (0) is close to , then we have

The equilibrium point is called a source if and only if any solution y ( t ) to the autonomous equation such that y (0) is (or not) close to , then y ( t ) will move away from when . The equilibrium point is called a node if and only if it is neither a source nor a sink.

Example. Classify the equilibrium points of the equation

as source, sink, or node.
Answer. The equilibrium points are 0, 2, and 5. Using the above results, we see that 0 and 5 are sinks while 2 is a source.

Example. Find and classify the equilibrium points of the equation

as source, sink, or node.
Answer. It is easy to see that the only equilibrium point is 0. Since is always positive, then the solutions will always be increasing. Using previous results, we conclude: if y ( t ) is a solution satisfying y (0) < 0, then we have

if y ( t ) is a solution satisfying y (0) > 0, then we have

Hence, the equilibrium point 0 is a node. In the picture below we draw some solutions.

There is a very nice way to put all this information together. Indeed, draw a vertical line (where the variable describing it is y ) and start by marking the equilibrium points of the equation

Then using the sign of f ( y ), we draw arrows pointing upward in a region where f ( y ) is positive, and downward in a region where f ( y ) is negative. This vertical line is called the phase line of the equation.

An equilibrium point is a sink, if the arrows on both sides point towards the equilibrium point, and it is a source, if both arrows point away from it.

Example. Draw the phase line of the equations

Answer. We will use our previous knowledge to get the two phase lines

You can readily see, that an equilibrium point is a sink, if the arrows on both sides point towards the equilibrium point, and that it is a source, if both arrows point away from it.


Use the information above to find the supply and demand equations.

How to find the demand equation

Usually, the demand equation is modeled with an inverse variation.

Pick (9, 400) to find k although you can pick something else such as (1, 3600)

In terms of demand (d) and price (p), we get:

How to find the supply equation

Usually, the supply equation is modeled with a linear equation.

The linear equation is y = mx + b

Use (4, 4200) and (9, 10200) to find m

In terms of p and supply ( s ), we get

How to find the equilibrium point

The equilibrium point is the price at which the supply is equal to the demand


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