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5.2: 5.2 Visualización del espacio de fase de modelos de tiempo discreto de estado continuo - Matemáticas


Una vez que encuentre dónde están los puntos de equilibrio del sistema, el siguiente paso natural del análisis sería dibujar la imagen completa de su espacio de fase (si el sistema es bidimensional o tridimensional).

Para sistemas de tiempo discreto con variables de estado continuo (es decir, variables de estado que toman valores reales), se puede dibujar un espacio de fase muy fácilmente usando simulaciones por computadora sencillas, tal como lo hicimos en la figura 4.4.2. Sin embargo, para revelar una estructura a gran escala del espacio de fase, probablemente necesitará dibujar muchos resultados de simulación a partir de diferentes estados iniciales. Esto se puede lograr modificando la función de inicialización para que pueda recibir valores iniciales específicos para las variables de estado, y luego puede poner el código de simulación en bucles for que barren los valores de los parámetros para un rango dado. Por ejemplo:


Las piezas revisadas del ejemplo anterior están marcadas con ###. Aquí elarangese utilizó la función para variar laXyyvalores superiores a ([- 2,2] ) en el intervalo 0.5. Para cada estado inicial, se realiza una simulación de 30 pasos, y luego el resultado se traza en azul (la opción 'b' degráfico). El resultado de este código es la Fig. 5.2.1, que muestra claramente que el espacio de fase de este sistema está formado por muchas trayectorias concéntricas alrededor del origen.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuje un espacio de fase del siguiente modelo de ecuación de diferencia bidimensional en Python:

[x_ {t} = x_ {t-1} +0.1 (x_ {t-1} -x_ {t-1} y_ {t-1}) etiqueta {(5.11)} ]

[y_ {t} = y_ {t-1} +0.1 (y_ {t-1} -x_ {t-1} y_ {t-1}) etiqueta {(5.12)} ]

[(x> 0, x> 0) etiqueta {(5.13)} ]

Los sistemas tridimensionales también se pueden visualizar de manera similar. Por ejemplo, intentemos visualizar el siguiente modelo de ecuación de diferencia tridimensional:

[x_ {t} = 0.5x + y label {(5.14)} ]

[y_ {t} = -0.5x + y label {(5.15)} ]

[z_ {t} = -x-y + z label {(5.16)} ]

Trazar en 3-D requiere un adicionalmatplotlibcomponente llamadoEjes3D. En el Código 5.2 se proporciona un código de muestra. Note el nuevoimportar Axes3Dlínea al principio, así como las dos líneas adicionales antes de los bucles for. Este código produce el resultado que se muestra en la Fig. 5.2.2.

Tenga en cuenta que generalmente no es una buena idea dibujar muchas trayectorias en un espacio de fase 3-D, porque la visualización se volvería muy saturada y difícil de ver. Dibujar un pequeño número de trayectorias características es más útil.

En general, debe tener en cuenta que la visualización del espacio de fase de los modelos de tiempo discreto no siempre puede dar imágenes que sean fácilmente visibles para el ojo humano. Esto se debe a que el estado de un sistema de tiempo discreto puede saltar en el espacio de fase y, por lo tanto, las trayectorias pueden cruzarse entre sí (esto no sucederá para los modelos de tiempo continuo). Aquí hay un ejemplo. Reemplace el contenido de la función de actualización en el Código 5.1 con lo siguiente:


Como resultado, obtiene la Fig. 5.2.3. Si bien esto puede ser estéticamente agradable, no ayuda mucho a nuestra comprensión del sistema porque hay demasiadas trayectorias superpuestas en el diagrama. En este sentido, la visualización sencilla del espacio de fase no siempre puede ser útil para analizar sistemas dinámicos de tiempo discreto. En las siguientes secciones, analizaremos algunas posibles soluciones para este problema.


Ver el vídeo: Discretización en espacio de estados (Septiembre 2021).