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5.3: 5.3 Gráficos de telaraña para mapas iterativos unidimensionales - Matemáticas


Una forma posible de resolver el espacio de fase superpoblado de un sistema de tiempo discreto es crear dos espacios de fase, uno para el tiempo (t − 1 ) y otro para (t ), y luego dibujar las trayectorias del estado del sistema en un espacio de meta-fase que se obtiene colocando esos dos espacios de fase ortogonalmente entre sí. De esta manera, potencialmente desenredaría las trayectorias enredadas para hacerlas visualmente comprensibles.

Sin embargo, esta idea aparentemente brillante tiene un problema fundamental. Sólo funciona para sistemas unidimensionales, porque los sistemas bidimensionales o superiores requieren cuatro o más dimensiones para visualizar el espacio de la metafase, que no se puede visualizar en el mundo físico tridimensional en el que estamos confinados.

Esta idea de espacio de metafase sigue siendo eficaz y poderosa para visualizar la dinámica de mapas iterativos unidimensionales. La visualización resultante se llama trama de telaraña, que juega un papel importante como herramienta analítica intuitiva para comprender la dinámica no lineal de los sistemas unidimensionales.

A continuación se explica cómo dibujar manualmente una trama de telaraña de un mapa iterativo unidimensional, (x_ {t} = f (x_ {t − 1}) ), con el rango de (x_ {t} ) siendo ([x_ {min}, x_ {max}] ). Consiga una hoja de papel y un bolígrafo y haga lo siguiente:

1. Dibuja un cuadrado en tu papel. Etiquete el borde inferior como el eje de (x_ {t − 1} ) y el borde izquierdo como el eje de (x_ {t} ). Rotule el rango de sus valores en los ejes (Fig. 5.3.1).

2. Dibuje una curva (x_ {t} = f (x_ {t − 1}) ) y una línea diagonal (x_ {t} = x_ {t − 1} ) dentro del cuadrado (Fig. 5.3. 2). Tenga en cuenta que los puntos de equilibrio del sistema aparecen en este gráfico como los puntos donde se cruzan la curva y la línea.

3. Dibuja una trayectoria desde (x_ {t − 1} ) a (x_ {t} ). Esto se puede hacer usando la curva (x_ {t} = f (x_ {t − 1)} ) (Fig. 5.3.3). Comience desde un valor de estado actual en el eje inferior (inicialmente, este es el valor inicial (x_ {0} ), como se muestra en la Fig. 5.3.3) y muévase verticalmente hasta llegar a la curva. Luego cambie la dirección del movimiento a horizontal y alcance el eje izquierdo. Termina en el siguiente valor del estado del sistema ( (x_ {1} ) en la Fig. Las dos flechas rojas que conectan los dos ejes representan la trayectoria entre los dos puntos de tiempo consecutivos.

4. Refleje el nuevo valor de estado de nuevo en el eje horizontal. Esto se puede hacer como un simple reflejo en un espejo usando la línea diagonal (Fig. 5.3.4). Esto completa un paso de la "simulación manual" en el diagrama de telaraña.

5. Repita los pasos anteriores para ver adónde va finalmente el sistema (Fig. 5.3.5).
6. Una vez que se acostumbre a este proceso, notará que realmente no tiene que tocar ninguno de los ejes. Todo lo que necesita hacer para dibujar un diagrama de telaraña es rebotar hacia adelante y hacia atrás entre la curva y la línea (Fig. 5.3.6)—Movirse verticalmente a la curva, horizontalmente a la línea y repita.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuja un diagrama de telaraña para cada uno de los siguientes modelos:

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dibuje una gráfica de telaraña del siguiente modelo de crecimiento logístico con (r = 1 ), (K = 1 ), (N_ {0} = 0.1 ):

[N_ {t} = N_ {t-1} + rN_ {t-1} (1- frac {N_ {t-1}} {K}) etiqueta {(5.17)} ]

Los gráficos de telarañas también se pueden dibujar usando Python. El código 5.4 es un ejemplo de cómo dibujar una trama de telaraña del modelo de crecimiento exponencial (código 4.9). Su salida se muestra en la figura 5.4.1.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Con Python, dibuje un diagrama de telaraña del modelo de crecimiento logístico con (r = 2.5 ), (K = 1 ), (N_ {0} = 0.1 ).


Ver el vídeo: MAPA TELARAÑA (Septiembre 2021).