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3.1: ¿Qué son los sistemas dinámicos? - Matemáticas


La teoría de sistemas dinámicos es la base misma de casi cualquier tipo de modelo basado en reglas de sistemas complejos. Considera que los sistemas de espectáculos cambian con el tiempo, no solo las propiedades estáticas de las observaciones. Un sistema dinámico se puede definir informalmente de la siguiente manera1:

Definición: sistema dinámico

A sistema dinámico es un sistema cuyo estado se especifica unívocamente mediante un conjunto de variables y cuyo comportamiento se describe mediante reglas predefinidas.

Los ejemplos de sistemas dinámicos incluyen el crecimiento de la población, un péndulo oscilante, los movimientos de los cuerpos celestes y el comportamiento de individuos "racionales" que juegan un juego de negociación, por nombrar algunos. Los primeros tres ejemplos suenan legítimos, ya que son sistemas que suelen aparecer en los libros de texto de física. Pero, ¿qué pasa con el último ejemplo? ¿Podría modelarse el comportamiento humano como un sistema dinámico determinista? La respuesta depende de cómo formule el modelo utilizando supuestos relevantes. Si asume que los individuos toman decisiones siempre de manera perfectamente racional, entonces el proceso de toma de decisiones se vuelve determinista y, por lo tanto, las interacciones entre ellos pueden modelarse como un sistema dinámico determinista. Por supuesto, esto no garantiza si es un buen modelo o no; el supuesto tiene que ser evaluado críticamente con base en los criterios discutidos en el capítulo anterior.

De todos modos, los sistemas dinámicos se pueden describir en pasos de tiempo discretos o en una línea de tiempo continua. Sus formulaciones matemáticas generales son las siguientes:

Definición: sistema dinámico de tiempo discreto

[x_t = F (x_ {t − 1}, t) label {3.1} ]

Este tipo de modelo se llama ecuación en diferencias, una ecuación de recurrencia, o un mapa iterativo (si no hay (t ) en el lado derecho).

Definición: sistema dinámico de tiempo continuo

[ dfrac {dx} {dt} = F (x, t) label {3.2} ]

Este tipo de modelo se llama ecuación diferencial.

En cualquier caso, (x_t ) o (x ) es la variable de estado del sistema en el tiempo (t ), que puede tomar un valor escalar o vectorial. (F ) es una función que determina las reglas por las cuales el sistema cambia su estado a lo largo del tiempo. Las fórmulas dadas arriba son versiones de primer orden de sistemas dinámicos (es decir, las ecuaciones no involucran (x_ {t − 2} ), (x_ {t − 3} ), ..., o ( d ^ 2x / dt ^ 2 ), (d ^ 3x / dt ^ 3 ), ...). Pero estas formas de primer orden son lo suficientemente generales como para cubrir todo tipo de dinámicas que son posibles en sistemas dinámicos, como veremos más adelante.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Ha aprendido de algún modelo en las ciencias naturales o sociales que se formulen como sistemas dinámicos de tiempo discreto o de tiempo continuo como se muestra arriba? Si es así, ¿Que son? ¿Cuáles son las suposiciones detrás de esos modelos?

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Cuáles son algunas opciones apropiadas para las variables de estado en los siguientes sistemas?

  • crecimiento de la población
  • péndulo oscilante
  • movimientos de cuerpos celestes
  • comportamiento de individuos "racionales" que juegan un juego de negociación

1Una definición tradicional de sistemas dinámicos considera únicamente los sistemas deterministas, pero los comportamientos estocásticos (es decir, probabilísticos) también se pueden modelar en un sistema dinámico, por ejemplo, representando la distribución de probabilidad de los estados del sistema como un estado de meta-nivel.


Teoría de sistemas dinámicos

Teoría de sistemas dinámicos es un área de las matemáticas que se utiliza para describir el comportamiento de sistemas dinámicos complejos, generalmente mediante el empleo de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias. Cuando se emplean ecuaciones diferenciales, la teoría se llama sistemas dinámicos continuos. Cuando se emplean ecuaciones en diferencias, la teoría se llama sistemas dinámicos discretos. Cuando la variable de tiempo corre sobre un conjunto que es discreto en algunos intervalos y continuo en otros intervalos o es cualquier conjunto de tiempo arbitrario, como un conjunto de cantor, se obtienen ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Algunas situaciones también pueden ser modeladas por operadores mixtos, como ecuaciones en diferencias diferenciales.

Esta teoría se ocupa del comportamiento cualitativo a largo plazo de sistemas dinámicos y estudia las soluciones de las ecuaciones de movimiento de sistemas que son principalmente de naturaleza mecánica, aunque esto incluye tanto las órbitas planetarias como el comportamiento de los circuitos electrónicos y las soluciones a los parciales. ecuaciones diferenciales que surgen en biología. Gran parte de la investigación moderna se centra en el estudio de sistemas caóticos.

Este campo de estudio también se llama simplemente Sistemas dinámicos, Teoría de sistemas dinámicos matemáticos y Teoría matemática de sistemas dinámicos.


Contenido

La teoría de los sistemas dinámicos y la teoría del caos se ocupan del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos. Aquí, el enfoque no está en encontrar soluciones precisas a las ecuaciones que definen el sistema dinámico (que a menudo no tiene remedio), sino en responder preguntas como "¿Se establecerá el sistema en un estado estable a largo plazo y, de ser así, qué Cuáles son los posibles estados estacionarios? ", o" ¿Depende el comportamiento a largo plazo del sistema de su condición inicial? "

Un objetivo importante es describir los puntos fijos o estados estables de un sistema dinámico dado, estos son valores de la variable que no cambiarán con el tiempo. Algunos de estos puntos fijos son atractivo, lo que significa que si el sistema comienza en un estado cercano, convergerá hacia el punto fijo.

Del mismo modo, uno está interesado en puntos periódicos, estados del sistema que se repiten después de varios pasos de tiempo. Los puntos periódicos también pueden resultar atractivos. El teorema de Sarkovskii es una afirmación interesante sobre el número de puntos periódicos de un sistema dinámico discreto unidimensional.

Incluso los sistemas dinámicos no lineales simples a menudo exhiben un comportamiento casi aleatorio y completamente impredecible que se ha llamado caos. La rama de los sistemas dinámicos que se ocupa de la definición e investigación limpias del caos se llama teoría del caos.


Matemáticas Math21b Primavera de 2001

Este curso se imparte íntegramente en secciones (impartido por becarios docentes [TF]), con una sesión adicional semanal de problemas (dirigida por un asistente de curso [CA]). El seccionamiento debe realizarse por computadora antes del mediodía del jueves 1 de febrero. Se le notificará de su sección asignada el viernes 2 de febrero. Las clases comenzarán el lunes 5 de febrero.

Jefe del curso:

Richard Taylor, Oficina: SC 539, Tel: 495-5487, correo electrónico: [email protected]
Sitio web del curso: http://www.courses.harvard.edu/

math21b
Aquí encontrará soluciones para las tareas, problemas y soluciones de revisión de exámenes y suplementos del curso.

Exámenes: Habrá dos exámenes parciales y un examen final.

Cualquier cambio en las siguientes fechas de exámenes se anunciará aquí y en clase.

Los grados: Los grados: La calificación general de su curso se determinará de acuerdo con las siguientes ponderaciones:

Los problemas de tarea son una parte integral de este curso. Es imposible entender el material y tener un buen desempeño en los exámenes sin resolver los problemas de la tarea de manera reflexiva. Las matemáticas no son un deporte para espectadores. No se limite a analizar los cálculos y anotar las respuestas: piense en los problemas planteados, su estrategia, el significado de los cálculos que realiza y las respuestas que obtiene. Nada le impide intentar algunos problemas más en una sección determinada si cree que puede serle útil.

Le animamos a que forme grupos de estudio con otros estudiantes de la clase para que puedan discutir el trabajo entre ellos. Su asistente de curso distribuirá, previa solicitud, una lista de nombres y números de teléfono de los asistentes a la clase para facilitar esto. Aunque le recomendamos que hable con sus compañeros de clase, el trabajo debe redactarse de forma independiente.

Muchos de los problemas para la tarea serán diferentes a los problemas que discutiste en clase y en el texto. Esto no es un accidente. Queremos que lo hagas pensar sobre el material y aprender a aplicarlo en entornos desconocidos e interpretarlo de diferentes maneras. Solo si comprende el material (en lugar de simplemente saberlo) podrá ir más allá de la información que se le proporciona.

Muchos estudiantes de matemáticas parecen suscribirse a la & quot; Regla de los diez minutos & quot: si no puede resolverla en diez minutos, no podrá resolverla en absoluto. Nada más lejos de la verdad, por supuesto. Probablemente aprenderá más de aquellos problemas que lo mantienen ocupado más de diez minutos, ya sea que finalmente pueda resolverlos o no.

Centro de preguntas de matemáticas: Además de las clases, las sesiones de problemas y el horario de oficina, el Departamento de Matemáticas opera un Centro de Preguntas en Loker los domingos, lunes, martes, miércoles y jueves por la noche de 8 p.m. a 10 p.m. El Centro de Preguntas estará integrado por Asistentes de Curso de Matemáticas 1a, 1b, 21a y 21b y por estudiantes graduados y otros. Se le anima a utilizar este recurso cuando haga su tarea y cuando surjan preguntas. Su objetivo es complementar las horas de oficina de su líder de sección.

Uso de tecnología: En algunos de los problemas de tareas, se le pedirá que no utilice ninguna tecnología (calculadoras o paquetes de software). Si no se establece ninguna restricción, puede utilizar la forma de tecnología que elija, p. Ej. Calculadora TI-85, Matlab, Maple, Mathematica. Es posible que desee organizar el acceso a algún tipo de tecnología. No se permitirán calculadoras en los exámenes..

Defensor del Pueblo: Si surge algo maravilloso o preocupante en relación con la clase, avísele a su TF. También puedes contactar con el director del curso. Además, hay un defensor del pueblo al que puede comunicarse por correo electrónico. Los mensajes que se envíen allí serán leídos por un miembro del Departamento de Matemáticas que no esté enseñando cálculo este semestre y que pueda, cuando sea apropiado, reenviar o actuar sobre la información sin revelar su fuente.

Programa de estudios: Cubriremos aproximadamente una sección del texto por clase (horario MWF). Su líder de sección destacará los conceptos clave introducidos en cada sección, pero es posible que no haya tiempo suficiente para cubrir todos los temas. Deberá estudiar el texto para completar los detalles. Leer el texto es una parte integral del curso.. En los exámenes, serás responsable de todo el material discutido en el texto y en clase. A continuación se muestra el plan de estudios aproximado día a día para las secciones MWF del curso. Algunos temas pueden omitirse si el tiempo es limitado.

1: Sistemas de ecuaciones lineales
1.1: Introducción a los sistemas lineales
1.2: Matrices y eliminación de Gauss-Jordan
1.3: Sobre las soluciones de sistemas lineales

2: Transformaciones lineales
2.1: Introducción a las transformaciones lineales y sus inversas
2.2: Transformaciones lineales en geometría
2.3: La inversa de una transformación lineal
2.4: Composiciones de productos matriciales de transformaciones lineales

3: Subespacios de R n y su dimensión
3.1: Imagen y núcleo de una transformación lineal
3.2: Subespacios de bases R n e independencia lineal
3.3: La dimensión de un subespacio de R n

4: Ortogonalidad y mínimos cuadrados
4.1: Bases ortonormales y proyecciones ortogonales
4.2: Proceso de Gram-Schmidt y factorización QR
4.3: Transformaciones ortogonales y matrices ortogonales
4.4: Mínimos cuadrados y ajuste de datos

5: Determinantes
5.1: Introducción a los determinantes
5.2: Propiedades del determinante
5.3: Interpretaciones geométricas del determinante, regla de Cramer

6: Autovalores y autovectores
6.1: Sistemas dinámicos y vectores propios: un ejemplo introductorio
6.2: Encontrar los valores propios de una matriz
6.3: Encontrar los vectores propios de una matriz
6.4: Autovalores complejos y rotaciones
6.5: Estabilidad

Revisión y segunda mitad de período.

7: sistemas de coordenadas
7.1: Sistemas de coordenadas en R n
7.3: Matrices simétricas

8: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
8.1: Introducción a los sistemas dinámicos continuos
8.2: El caso complejo: fórmula de Euler
'8.3': Sistemas no lineales (se proporcionarán notas complementarias)

9: espacios lineales
9.1: Introducción a los espacios lineales

Temas adicionales sobre ecuaciones diferenciales (se proporcionarán notas complementarias)
10.1: Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
10.2: Serie de Fourier
10.3: Ecuaciones diferenciales parciales I - La ecuación del calor
10.4: Ecuaciones diferenciales parciales II - Ecuación de Laplace, la ecuación de onda


Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos e introducción al caos

Los profesores han utilizado las clásicas ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y una introducción al caos de Hirsch, Devaney y Smale como texto principal para cursos de pregrado y posgrado que cubren ecuaciones diferenciales. Proporciona un enfoque teórico de los sistemas dinámicos y el caos escrito para una población estudiantil diversa en los campos de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería. Expertos destacados proporcionan todo lo que los estudiantes necesitan saber sobre sistemas dinámicos a medida que los estudiantes buscan desarrollar suficientes habilidades matemáticas para analizar los tipos de ecuaciones diferenciales que surgen en su área de estudio. Los autores proporcionan ejercicios y ejemplos rigurosos de forma clara y sencilla introduciendo lentamente sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Se requiere cálculo, ya que se incluyen temas avanzados especializados que no se encuentran generalmente en los cursos de ecuaciones diferenciales elementales, como la exploración del mundo de los sistemas dinámicos discretos y la descripción de sistemas caóticos.


Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Canterbury, Christchurch, Nueva Zelanda

Recibió Diciembre de 2003 Revisado Noviembre de 2004 Publicado Marzo de 2005

Lianfa He, Hongwen Zheng, Yujun Zhu. Sombreado en sistemas dinámicos aleatorios. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2005, 12 (2): 355-362. doi: 10.3934 / dcds.2005.12.355

Hiroshi Matano, Ken-Ichi Nakamura. El atractor global de ecuaciones parabólicas semilineales en $ S ^ 1 $. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 1997, 3 (1): 1-24. doi: 10.3934 / dcds.1997.3.1

Noriaki Kawaguchi. Estabilidad topológica y sombreado de sistemas dinámicos de dimensión cero. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2019, 39 (5): 2743-2761. doi: 10.3934 / dcds.2019115

EDUCACIÓN FÍSICA. Kloeden, Desheng Li, Chengkui Zhong. Atractores uniformes de sistemas dinámicos periódicos y asintóticamente periódicos. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2005, 12 (2): 213-232. doi: 10.3934 / dcds.2005.12.213

Tohru Nakamura, Shuichi Kawashima. Perfil de choque viscoso y límite singular para sistemas hiperbólicos con ley de Cattaneo. Modelos cinéticos y relacionados, 2018, 11 (4): 795-819. doi: 10.3934 / krm.2018032

Pedro Roberto de Lima, Hugo D. Fernández Sare. Condición general para la estabilidad exponencial de los sistemas termoelásticos de Bresse con la ley de Cattaneo. Comunicaciones sobre análisis puro y aplicado, 2020, 19 (7): 3575-3596. doi: 10.3934 / cpaa.2020156

Nicolai Haydn, Sandro Vaienti. La distribución límite y los términos de error para los tiempos de retorno de los sistemas dinámicos. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2004, 10 (3): 589-616. doi: 10.3934 / dcds.2004.10.589

Paul L. Salceanu. Persistencia uniforme robusta en sistemas dinámicos discretos y continuos utilizando exponentes de Lyapunov. Biociencias e ingeniería matemática, 2011, 8 (3): 807-825. doi: 10.3934 / mbe.2011.8.807

Xinyuan Liao, Caidi Zhao, Shengfan Zhou. Atractores uniformes compactos para sistemas dinámicos de celosía no autónomos disipativos. Comunicaciones sobre análisis puro y aplicado, 2007, 6 (4): 1087-1111. doi: 10.3934 / cpaa.2007.6.1087

Caidi Zhao, Shengfan Zhou. Atractores uniformes compactos para sistemas dinámicos de celosía disipativa con retardos. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2008, 21 (2): 643-663. doi: 10.3934 / dcds.2008.21.643

Michael Zgurovsky, Mark Gluzman, Nataliia Gorban, Pavlo Kasyanov, Liliia Paliichuk, Olha Khomenko. Atractores globales uniformes para sistemas dinámicos disipativos no autónomos. Sistemas dinámicos discretos y continuos - B, 2017, 22 (5): 2053-2065. doi: 10.3934 / dcdsb.2017120

Tomás Caraballo, David Cheban. Sobre la estructura del atractor global para sistemas dinámicos no autónomos con convergencia débil. Comunicaciones sobre análisis puro y aplicado, 2012, 11 (2): 809-828. doi: 10.3934 / cpaa.2012.11.809

Giovanni Forni, Howard Masur, John Smillie. Contribuciones de Bill Veech a los sistemas dinámicos. Revista de dinámica moderna, 2019, 14: v-xxv. doi: 10.3934 / jmd.2019v

Keonhee Lee, Kazumine Moriyasu, Kazuhiro Sakai. $ C ^ 1 $ -difeomorfismos de sombreado estable. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2008, 22 (3): 683-697. doi: 10.3934 / dcds.2008.22.683

Alicia Cordero, José Martínez Alfaro, Pura Vindel. Bott sistemas hamiltonianos integrables en $ S ^ <2> times S ^ <1> $. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2008, 22 (3): 587-604. doi: 10.3934 / dcds.2008.22.587

Nicolai T. A. Haydn, Kasia Wasilewska. Limitar la distribución y los términos de error para el número de visitas a los balones en sistemas dinámicos no uniformemente hiperbólicos. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2016, 36 (5): 2585-2611. doi: 10.3934 / dcds.2016.36.2585

Flavio Abdenur, Lorenzo J. Díaz. Sombreado de pseudo-órbita en la topología $ C ^ 1 $. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2007, 17 (2): 223-245. doi: 10.3934 / dcds.2007.17.223

H. M. Hastings, S. Silberger, M. T. Weiss, Y. Wu. Un producto tensorial retorcido sobre sistemas dinámicos simbólicos y el problema de Ashley. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2003, 9 (3): 549-558. doi: 10.3934 / dcds.2003.9.549

Sonja Hohloch, Silvia Sabatini, Daniele Sepe. Desde sistemas compactos semi-tóricos hasta espacios $ S ^ 1 $ hamiltonianos. Sistemas dinámicos discretos y continuos, 2015, 35 (1): 247-281. doi: 10.3934 / dcds.2015.35.247

Alexandre N. Carvalho, José A. Langa, James C. Robinson. Dinámica hacia adelante de sistemas dinámicos no autónomos: conducción de semigrupos sin unicidad hacia atrás y estructura del atractor. Comunicaciones sobre análisis puro y aplicado, 2020, 19 (4): 1997-2013. doi: 10.3934 / cpaa.2020088


Teoría KAM parametrizada

La teoría de KAM se refiere a la ocurrencia típica de toros cuasi-periódicos en sistemas dinámicos, es decir, persistentes bajo perturbaciones suficientemente pequeñas. En todos los casos, en el producto del espacio de fases y el espacio de parámetros, los toros cuasiperiódicos se parametrizan suavemente según Whitney sobre un conjunto de medidas positivas que no son densas en ninguna parte (que implican un conjunto de Cantor), (Broer y Han & # 223mann 2008), (Broer et al. & # 1601996), (Broer et al. & # 1601990), (Broer y Sevryuk 2008), (Chierchia 2008), (Hasselblatt y Katok 2006), (P & # 246schel1982) y (Zehnder 1975, 1976).

La teoría de KAM comenzó con tori lagrangianos en sistemas hamiltonianos casi integrables, pero la teoría permite un enfoque de álgebra de Lie, que se generaliza a sistemas equivariantes o reversibles. Esto también es válido para la clase de sistemas suaves generales, denominados "disipativos". Resulta que en muchos casos se necesitan parámetros para la persistencia del tori.

Familias de atractores cuasiperiódicos

En el entorno disipativo, considere sistemas parametrizados con invariante (n ) - tori normalmente hiperbólico. Siguiendo (Hirsch et al. & # 1601977) este sistema puede restringirse al toro invariante, es decir, al (n ) - toro (< mathbb T> ^ n = 2 pi < mathbb Z> ^ n) >, ) que entonces es el espacio de fase. Aquí considere [ tag <4> dot = omega ( mu) + varepsilon f (x, mu, varepsilon) dot < mu> = 0, ]

donde ( mu in < mathbb R> ^ n ) es un multiparámetro. Los resultados del teorema clásico de KAM (P & # 246schel 1982) se trasladan en gran medida a (4).

Para ( varepsilon = 0 ) (4) es `integrable '(Broer et al. & # 1601990) y un subconjunto abierto de (< mathbb T> ^ n times < mathbb R> ^ n ) es foliado por invariante (n ) - tori. La pregunta es en qué medida la dinámica de los tori invariantes resultantes es cuasi-periódica. La respuesta es análoga al caso hamiltoniano. En lugar de la condición de no degeneración de Kolmogorov, el mapa de frecuencias ( mu mapsto omega ( mu) ) debe ser un difeomorfismo (local). Como consecuencia (4) (_ < mu, varepsilon> ) se conjuga suavemente Whitney a (4) (_ < mu, 0>, ) siempre que el mapa ( omega ) sea co-restringido al conjunto diofántico (< mathbb R> ^ n _ < tau, gamma>, ) definido por [ tag <5> < mathbb R> ^ n_ < tau, gamma> = < omega in < mathbb R> ^ n mid | langle k, omega rangle | ge gamma | k | ^ <-1> mbox k in < mathbb Z> setminus <0 > >. ]

Aquí ( langle k, omega rangle ) es el producto interno estándar y (| k | = sum_j | k_j |. ) Para una prueba, consulte (Broer et al. & # 1601996).

  • Este resultado es válido para sistemas (C ^ infty ) -, pero también en (C ^ ell ) con ( ell ) suficientemente grande, ver las referencias anteriores. La formulación está en términos de estabilidad (estructural) restringida a una unión adecuada de toros cuasiperiódicos diofánticos, para la ocasión bautizados como estabilidad cuasiperiódica.
  • La teoría disipativa de KAM da lugar a familias de atractores cuasiperiódicos que ocurren típicamente. Esto es de importancia en reducciones de múltiples centrales de dinámica dimensional infinita como, por ejemplo, en mecánica de fluidos (Broer y Han & # 223mann 2008) y referencias.
  • En los casos en los que el sistema está degenerado, por ejemplo porque hay "falta de parámetros", se puede invocar un formalismo de ruta, donde se requiere que el parámetro "ruta" sea una subfamilia genérica del conjunto diofántico (< mathbb R> ^ n _ < tau, gamma>. ) Esto equivale a la no degeneración de R & # 252ssmann, que todavía da una medida positiva de cuasi-periodicidad en el espacio de parámetros, comparar con (Broer et al. & # 1601996 2007) y referencias.

Toros de dimensiones inferiores

El enfoque anterior se extiende a los casos en los que se tiene en cuenta la dinámica transversal al tori. Para la historia (que comienza con Moser en la década de 1960) y para obtener más detalles, consulte (Broer et al. & # 1601996, 2008), así como (Broer y Han & # 223mann 2008), incluidas todas las referencias.

Considere el espacio de fase (< mathbb T> ^ n times < mathbb R> ^ m = 2 pi < mathbb Z> ^ n), y > ) y un espacio de parámetros ( < mu > = P subset mathbb^ s. ) Para ( mu = 0 in P ) el campo vectorial suave `integrable ' (X = X (x, y, mu) ) [ tag <6> dot = omega ( mu) + f (y, mu), dot = Omega ( mu) , y + g (y, mu), dot < mu> = 0, ]

tiene (< mathbb T> ^ n times <0 > subset < mathbb T> ^ n times < mathbb R> ^ m ) como invariante (n ) - toro, con (f (y, 0) = O (| y |) ) y (g (y, 0) = O (| y | ^ 2), ) por lo que se supone que el toro invariante se reduce a la forma Floquet. Nuevamente, la pregunta es hasta qué punto este toro y su dinámica es persistente bajo una pequeña perturbación "casi integrable" en un sistema ( tilde = tilde(x, y, mu) . )

  • La no degeneración de Broer-Huitema-Takens (BHT) (el análogo actual de la no degeneración de Kolmogorov) requiere que el mapa del producto ( omega times Omega: P rightarrow < mathbb R> ^ n times < rm gl> (m, < mathbb R>) ) es un despliegue versal de (( omega (0), Omega (0)) ) (Arnold 1983), (Broer et al. & # 1601990), (Broer y Sevryuk 2008) y referencias. En el caso de valores propios simples, existen desarrollos de formas normales donde los valores propios de ( Omega ( mu) ) toman el papel de parámetros.
  • Las presentes condiciones diofánticas generalizan (5), incluyendo también las frecuencias normales de ( Omega ( mu), ) es decir, las partes imaginarias ( beta_1, ldots, beta_N ) de sus valores propios no reales como siguiente: Dado ( tau & gt n-1 ) y ( gamma & gt 0, ) para todos (k in < mathbb Z> ^ n setminus <0 > ) y todos ( ell en < mathbb Z> ^) con (| ell | le 2 ) que

[ etiqueta <7> | langle k, omega rangle + langle ell, beta rangle | ge gamma | k | ^ <- tau>. ]

Como un subconjunto de (P , ), esto define nuevamente un conjunto de medidas positivas denso en ninguna parte.

La teoría de KAM parametrizada resultante establece la estabilidad cuasi-periódica del (n ) - tori bajo consideración, dando así ejemplos típicos donde la cuasi-periodicidad tiene una medida positiva en el espacio de parámetros. Además, el comportamiento lineal normal del (n ) - tori se conserva mediante conjugaciones suaves de Whitney. Esto es de importancia para las bifurcaciones cuasi-periódicas.

  • La configuración anterior permite una formulación de preservación de la estructura como se mencionó anteriormente, por lo que incluye el caso hamiltoniano y de preservación de volumen, así como los casos equivariantes y reversibles. Compare con la discusión en la Sección 2.2.
  • Teoría KAM parametrizada a priori necesita muchos parámetros. A menudo, los parámetros se "distinguen" en el sentido de que están dados por variables de acción, etc. Esto es válido, por ejemplo, para toros isotrópicos en sistemas hamiltonianos casi integrables. Compare también con la discusión sobre la no degeneración de R & # 252ssmann al final de la Sección 3.1.
  • La teoría KAM parametrizada conduce a versiones cuasi-periódicas de la teoría de la bifurcación para equilibrios y soluciones periódicas. En el entorno disipativo, esto incluye bifurcaciones de duplicación de período y nodo silla cuasi-periódicas, así como la bifurcación de Hopf cuasi-periódica. En el caso cuasiperiódico de Hopf invariante ((n + 1) ) - tori se ramifica de invariante (n ) - tori cuando este último pierde la hiperbolicidad normal. La bifurcación es incluso más complicada que la bifurcación de Hopf-Neimark-Sacker donde un 2-toro invariante se bifurca a partir de una solución periódica (Broer et al. & # 1601990, 1996). Existen escenarios de bifurcación cuasi-periódica similares en el caso hamiltoniano y reversible, donde, por ejemplo, existen versiones cuasi-periódicas de la bifurcación de Hopf, ver (Broer y Han & # 223mann 2008), (Broer et al. & # 1601990), (Broer y Sevryuk 2008), (Han & # 223mann 2007) y referencias.
  • La teoría de la bifurcación cuasi periódica se refiere a las bifurcaciones en toros invariantes en sistemas casi integrables, por ejemplo, cuando los toros pierden su hiperbolicidad normal o cuando ocurren ciertas resonancias (fuertes). En ese caso, el denso conjunto de resonancias, responsable de los pequeños divisores, conduce a una `` Cantorización '' de las geometrías de bifurcación clásicas obtenidas de la Teoría de la Singularidad (Broer y Han & # 223mann 2008), (Broer et al. y Sevryuk 2008), (Han & # 223mann 2007). Compare con la figura anterior & # 160 Figura 2.

Contenido

La comprensión de que dos sistemas exhiben la misma dinámica puede ser una poderosa herramienta de análisis cuando se conocen resultados que garantizan que uno de los sistemas tiene propiedades dinámicas conocidas (por ejemplo, dinámica localmente estable, multiestacionariedad, persistencia, etc.). Por lo tanto, estas herramientas pueden usarse para expandir el alcance de la teoría existente a sistemas para los cuales la red subyacente no garantizaría tal comportamiento de otra manera.

Equivalencia dinámica

Por ejemplo, considere la red de cuatro complejos considerada por Fritz Horn y Roy Jackson & # 912 & # 93:

La red es débilmente reversible pero tiene una deficiencia de dos, por lo que el sistema de acción masiva no cae dentro del alcance del Teorema de Deficiencia Cero. Las condiciones del Teorema de deficiencia general garantizan que el sistema de acción de masas es equilibrado complejo si y solo si & # x03F5 = 1 < displaystyle epsilon = 1>. Fuera de este valor, la teoría de la deficiencia guarda silencio.

Sin embargo, considere el vector de reacción asociado con la reacción del complejo 2 A 1 + A 2 < displaystyle 2 < mathcal> _ <1> + < mathcal> _ <2>>. Para & # x03F5 & gt 1 < displaystyle epsilon & gt1>, podemos cambiar la escala y dividir el término de acción de masas correspondiente a esta reacción de acuerdo con


¿En que estas trabajando?

Este hilo recurrente será para una discusión general sobre cualquier tema relacionado con las matemáticas en el que haya estado o esté trabajando durante la semana / fin de semana. Esto puede ser cualquier cosa, desde artes y manualidades relacionadas con las matemáticas, lo que ha estado aprendiendo en clase, libros / trabajos que está leyendo, hasta prepararse para una conferencia. ¡Todos los tipos y niveles de matemáticas son bienvenidos!

Acabo de terminar todo al final del semestre. Estoy escribiendo las últimas cinco semanas de notas de topología, llevando mi investigación a una posición en la que pueda alejarme de ella durante las vacaciones y preparándome para los exámenes finales de grado 120 a finales de esta semana.

Solo 60 tareas / exámenes para calificar aquí, pero son todas las pruebas. y yo soy el culpable de eso.

Actualmente leyendo el Teorema de Abel en Problemas y Soluciones. Intentaré terminarlo antes de que comience el próximo semestre

Supervisando un examen de tres horas por tercera vez desde el viernes. Sácame de mi miseria, por favor.

He estado tratando de hacerme una "mamá es tan gorda". & quot bromeo usando matemáticas, pero los que se me ocurrieron no estaban & # x27t realmente picando la picazón. Hoy hice uno que me gusta (note aquí que la función indicadora se usa en el sentido analítico convexo): Yo mama es tan gorda que la función indicadora para su cuerpo es idénticamente 0.

yo mama tan gorda, ningún axioma cardinal grande conocido puede modelarla

yo mamá tan gorda, necesitas convertirla en gavillas flácidas para incluso medirla

yo mama tan gorda, puedes & # x27t incluso envolver la [línea larga] (https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_ (topología)) alrededor de ella

Esto es estupido pero me rei

Comencé a estudiar ciencias de la computación en economía este octubre, ¡pero ya me enamoré de las matemáticas! Haciendo análisis I (cálculo en inglés o?) Y álgebra lineal I atm y me fascina. Me daré un semestre más en ciencias de la computación, pero si mi opinión no cambia, ¡me cambiaré a estudiar matemáticas!

Terminé la final la semana pasada, así que ahora estoy en las vacaciones de invierno. Planeo leer las partes del libro de análisis funcional que no cubrimos y debería estudiar para el GRE, ya que soy un estudiante de tercer año y me gustaría tomarlo el próximo semestre y no preocuparme por el último año.

Algo que será más divertido es que estaré trabajando en una aplicación para iOS que involucre GAN. El objetivo será poder convertir imágenes de personas y rostros # x27s en un avatar / ícono de anime. Ya hice parte del trabajo durante un hackathon, pero mi equipo no terminó en ese entonces. Por último, podría estudiar el aprendizaje por refuerzo, pero eso es un tal vez fuerte y tiene la menor prioridad de lo que he mencionado hasta ahora.


Tabla de contenido

Este es un libro de texto introductorio sobre la dinámica no lineal de las PDE, con un enfoque en problemas sobre dominios ilimitados y ecuaciones de modulación. La presentación está orientada a ejemplos y se desarrollan nuevas herramientas matemáticas paso a paso, lo que permite comprender algunas clases importantes de PDE no lineales y fenómenos de dinámica no lineal que pueden ocurrir en PDE.

El libro consta de cuatro partes. Las partes I y II son introducciones a las dinámicas de dimensión finita e infinita definidas por EDO y por PDE sobre dominios delimitados, respectivamente, incluidos los conceptos básicos de la bifurcación y la teoría del atractor. La Parte III presenta las PDE en la línea real, incluida la ecuación de Korteweg-de Vries, la ecuación no lineal de Schr & oumldinger y la ecuación de Ginzburg-Landau. Estos ejemplos a menudo ocurren como modelos más simples posibles, es decir, como ecuaciones de amplitud o modulación, para algunos fenómenos del mundo real, como ondas no lineales y formación de patrones. La Parte IV explora con más detalle las conexiones entre estos complicados sistemas físicos y los modelos reducidos. Para muchos modelos, se da una justificación matemáticamente rigurosa mediante la aproximación de resultados.

Las partes del libro se mantienen lo más independientes posible. El libro es adecuado para el autoaprendizaje y existen varias posibilidades para crear cursos de uno o dos semestres a partir del libro.


Ver el vídeo: Dynamical Systems Introduction (Septiembre 2021).