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9.1: Simplificar expresiones racionales


9.1: Simplificar expresiones racionales

9.1: Simplificar expresiones racionales

Un número racional, o fracción a b, es un número real definido como un cociente de dos enteros a y B, donde b ≠ 0. De manera similar, definimos una expresión racional El cociente P Q de dos polinomios PAG y Q, dónde Q ≠ 0., o fracción algebraica Término utilizado cuando se hace referencia a una expresión racional. P Q, como el cociente de dos polinomios PAG y Q, donde Q ≠ 0. A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales:

El ejemplo x + 3 x - 5 consta de expresiones lineales tanto en el numerador como en el denominador. Debido a que el denominador contiene una variable, esta expresión no está definida para todos los valores de X.

Ejemplo 1: Evalúe x + 3 x - 5 para el conjunto de X-valores <−3, 4, 5>.

Solución: Sustituye los valores por X.

Respuesta: Cuando x = - 3, el valor de la expresión racional es 0 cuando x = 4, el valor de la expresión racional es −7 y cuando x = 5, el valor de la expresión racional no está definido.

Este ejemplo ilustra que las variables están restringidas a valores que no hacen que el denominador sea igual a 0. El dominio de una expresión racional El conjunto de números reales para los que se define la expresión racional. es el conjunto de números reales para el que se define y restricciones El conjunto de números reales para el que no se define una expresión racional. son los números reales para los que la expresión no está definida. A menudo expresamos el dominio de una expresión racional en términos de sus restricciones.

Ejemplo 2: Encuentre el dominio de lo siguiente: x + 7 2 x 2 + x - 6.

Solución: En este ejemplo, el numerador x + 7 es una expresión lineal y el denominador 2 x 2 + x - 6 es una expresión cuadrática. Si factorizamos el denominador, obtendremos una expresión equivalente.

Debido a que las expresiones racionales no están definidas cuando el denominador es 0, deseamos encontrar los valores de X que lo hacen 0. Para hacer esto, aplique la propiedad de producto cero. Iguala cada factor del denominador a 0 y resuelve.

Concluimos que la expresión original está definida para cualquier número real excepto 3/2 y −2. Estos dos valores son las restricciones al dominio.

Es importante notar que −7 es no una restricción al dominio porque la expresión se define como 0 cuando el numerador es 0.

Respuesta: El dominio consta de cualquier número real. X, donde x ≠ 3 2 y x ≠ - 2.

Podemos expresar el dominio del ejemplo anterior usando la notación de la siguiente manera:

Las restricciones al dominio de una expresión racional están determinadas por el denominador. Ignore el numerador cuando encuentre esas restricciones.

Ejemplo 3: Determine el dominio: x 4 + x 3 - 2 x 2 - x x 2 - 1.

Solución: Para encontrar las restricciones al dominio, iguale el denominador a 0 y resuelva:

Estos dos valores hacen que el denominador sea 0. Por lo tanto, están restringidos del dominio.

Respuesta: El dominio consta de cualquier número real. X, donde x ≠ ± 1.

Ejemplo 4: Determine el dominio: x 2 - 25 4.

Solución: No hay variable en el denominador y, por lo tanto, no hay restricción al dominio.

Respuesta: El dominio consta de todos los números reales, R.


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Universidad Estatal de Kansas

Este video cubre:
* ¿Qué es una expresión racional y cómo el prefijo 'Relación' ayuda a identificarlas?
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* Cómo cambiar cosas del formato de suma / resta al formato de multiplicación para que pueda cancelar
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2: Multiplicar expresiones racionales

Este video cubre:
* Los tres pasos de multiplicar expresiones racionales y cómo se basan en la simplificación de expresiones racionales.
* Cómo su mejor amigo, R.6 Factoring, pone un gran énfasis en todos los métodos de expresión racional

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3: División de expresiones racionales

Este video cubre:
* Los cuatro pasos para dividir expresiones racionales y cómo se basan en la simplificación y la multiplicación de expresiones racionales.
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* Repaso de la palabra de vocabulario: Recíproco
* Cómo se pueden escribir fracciones negativas
* Repaso de todos los pasos para simplificar, multiplicar y dividir expresiones racionales

Ejemplos:

4: Sumar y restar expresiones racionales (Parte 1)

Este video cubre:
* Los pasos para sumar y restar fracciones, que son los mismos que en el Video # 2 de Fracciones R.1, ¡encuentra el MCD, Denominador Mínimo Común!
* Revisión de "Niños en la tienda de golosinas" para ayudar a encontrar el denominador común mínimo de LCD
* Repase cómo no se pueden simplificar expresiones racionales cancelando términos cuando se suman o restan.

Ejemplos:

5: Sumar y restar expresiones racionales (Parte 2)

Este video cubre:
* Una extensión del video de la Parte 1, trabajando a través de todos los pasos para simplificar el siguiente ejemplo.
* Cómo distribuir el negativo para restar Expresiones racionales polinomiales

Ejemplos:

6: Expresiones racionales complejas

Este video cubre:
* Repaso de los dos métodos para simplificar fracciones complejas introducidos en R.1 Fracciones Video # 3
* Revisión del método 1, donde el objetivo es 1 fracción dividida por 1 fracción
* Revisión del método 2, el método del truco de magia

Ejemplos:


Juego de filas: simplifica expresiones racionales

Aquí & # 8217s una contribución a Kate Nowak & # 8217s colección de juegos de fila. Jugué con el diseño de la página para que un par de estudiantes pudieran colaborar en una sola hoja de papel. Para los no iniciados, dos estudiantes juegan un juego de filas. Resuelven problemas separados que tienen la misma respuesta. Es un evento colaborativo porque cuando sus respuestas no coinciden, los niños tienen que trabajar juntos para encontrar el error en el trabajo del otro. (Después de un vistazo rápido del punto de vista del jugador B & # 8217, me doy cuenta de que las preguntas están numeradas de derecha a izquierda. ¿Me pregunto cuántos niños se molestarán con eso?)

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9.1: Simplificar expresiones racionales

Parte del contenido de esta guía se inspiró en una guía creada originalmente por Openstax y ha sido adaptado para GPRC Learning Commons en septiembre de 2020. Este trabajo tiene una licencia internacional Creative Commons BY 4.0.

Expresiones racionales y valores no permitidos:

A expresión racional es la razón de dos polinomios:

Valores no permitidos:

Valores no permitidos son valores de la (s) variable (s) que hacen que el denominador de una expresión racional sea igual a cero. Para encontrar los valores no permitidos de una expresión racional, uno tiene que igualar el denominador a cero y resolverlo para la variable. A continuación, analizamos algunos ejemplos sobre cómo encontrar valores no permitidos.
Ejemplo: Encuentre valores no permitidos de .
Igualamos el denominador a cero:

.


El primer paso para simplificar una expresión racional es determinar el dominio El conjunto de todas las entradas posibles de una función que permiten que la función funcione. , el conjunto de todos los valores posibles de las variables. El denominador de una fracción no puede ser cero porque la división por cero no está definida. Entonces, necesitamos averiguar qué valores de la (s) variable (s) en la expresión harían que el denominador sea igual a cero. Estos valores no se pueden incluir en el dominio, por lo que se denominan valores excluidos Un valor para una variable que no está permitido en una expresión, como una variable en una expresión racional que haría que el denominador sea igual a cero. . Los descartamos desde el principio, antes de continuar.

Para las expresiones racionales, el dominio excluirá los valores para los cuales el valor del denominador es "0". A continuación, se muestran dos ejemplos para ilustrar la búsqueda del dominio de una expresión.

Identifica el dominio de la expresión `(3x + 2) / (x-4)`.

Encuentra los valores de `x` que harían el denominador` = 0`.

Cuando `x = 4`, el denominador es igual a` 0`.

El dominio es todo "x" distinto de "4".

Eso no fue difícil. Probemos uno que sea un poco más desafiante:

Identifica el dominio de la expresión `(x + 7) / (x ^ 2 + 8x-9)`.

Encuentra cualquier valor para `x` que haría el denominador` = 0` estableciendo el denominador `= 0` y resolviendo la ecuación.

Resuelve la ecuación factorizando. Las soluciones son los valores que se excluyen del dominio.

El dominio es todo `x` no igual a` -9` o `1`.

Encuentra el dominio de la expresión racional `(5x) / (2x ^ 2 + 8)`.

B) todas las "x" no son iguales a "2" ni a "8"

A. Correcto. No hay valores de "x" para los que el denominador sea igual a "0". Por tanto, no hay valores que se excluyan del dominio.

B. Incorrecto. `2` y` 8` no hacen el denominador `0`, por lo tanto, no son valores excluidos. Iguala el denominador a "0" y resuelve para "x". Esto produce los valores excluidos, pero en este caso, no hay ninguno. La respuesta correcta es todo "x".

C. Incorrecto. Si sustituye `0` por` x` en la expresión, el denominador es igual a `8`. Solo se excluyen los valores que dan como resultado un denominador de "0". Los valores que dan como resultado un numerador de "0" no se excluyen. La respuesta correcta es todo "x".

D. Incorrecto. Cuando el denominador se evalúa para "x = -2" y "x = 2", el denominador no es igual a "0". Entonces, estos valores no están excluidos. La respuesta correcta es todo "x".


Argumentos de entrada

Expr & # 8212 Entrada numero | vector | matriz | matriz | número simbólico | variable simbólica | matriz simbólica | función simbólica | expresión simbólica

Entrada, especificada como un número, vector, matriz o matriz, o un número simbólico, variable, matriz, función o expresión.

expr puede contener subexpresiones irracionales, como sin (x) y x ^ (- 1/3). simplifyFraction simplifica tales expresiones como si fueran variables.

simplifyFraction no aplica identidades algebraicas.


Simplificando expresiones racionales

Una "expresión racional" se define como una fracción que tiene términos en su numerador y denominador. Al igual que al simplificar fracciones, debes dividir cualquier número posible si es compartido por el numerador y el denominador.

Por ejemplo: 10/6 se puede simplificar dividiendo la parte superior e inferior por 2, lo que equivale a 10 ÷ 2/6 ÷ 2 = 5/3.

Cuando las fracciones se pueden simplificar, debe simplificarlas. La misma regla es válida independientemente de las expresiones en el numerador o denominador.

Por ejemplo: Simplifique 25x 3 / 5x = (25 ÷ 5) (x 3 ÷ x) = 5x 2

Esta unidad se enfoca en simplificar expresiones racionales con expresiones cuadráticas en el numerador y denominador.
Por ejemplo:
(x 2 + 3x + 2) ÷ (x 2 + 8x + 12)

Debido a que las expresiones cuadráticas ocurren como un todo, no se permite simplificarlas como en el ejemplo anterior. Su única opción es factorizar cada expresión y buscar binomios comunes en la parte superior e inferior. Entonces puedes cancelarlos. Por ejemplo, NO es correcto decir que la respuesta es (x 2 ÷ x 2) (3x ÷ 8x) (2 ÷ 12). Ésta no es la forma de obtener la respuesta. Sería como decir (4 + 6 + 5) ÷ (2 + 3 + 5) sería igual a (4 ÷ 2) + (6 ÷ 3) + (5 ÷ 5), que no lo es.

¿Por qué? Bueno, usando PEMDAS simplificaríamos primero los paréntesis antes de dividir.
Entonces (4 + 6 + 5) ÷ (2 + 3 + 5) = 15 ÷ 10 = 3/2.

(4 ÷ 2) + (6 ÷3) + (5 ÷ 5) = (2) + (2) + (1) = 5.
3/2 o 1,5 no es igual a 5. Por tanto, este método nunca es válido. Si los términos son parte de un "grupo", debe factorizarlos como un grupo.

Entonces, ¿exactamente cómo simplificamos las expresiones racionales?
La respuesta es factorizar cada expresión y luego cancelar los factores comunes.

Ejemplo 1: Simplificar:
Paso 1: factoriza cada expresión
Paso 2: cancela los factores comunes
Paso 3: simplifica

Ejemplo 2: Simplificar:
Paso 1: factoriza cada expresión
Paso 2: cancela los factores comunes
Paso 3: simplifica

Ejemplo 3: Simplificar:
Paso 1: factoriza cada expresión
Paso 2: cancela los factores comunes
Paso 3: simplifica

Ejemplo 4: Simplificar:
Paso 1: factoriza cada expresión
Paso 2: cancela los factores comunes
Paso 3: simplifica

Factorizar trinomios es una habilidad importante, ya que cada problema requiere que lo factorices. Revise las técnicas de factorización si este paso le resulta difícil: Factorizar x 2 + bx + c

Ejemplo 5: Simplificar:
Paso 1: factoriza cada expresión
Paso 2: cancela los factores comunes
Paso 3: simplifica

Ahora tu intenta:
Simplificar:
Enviar

Ahora tu intenta:
Simplificar:
Enviar

Ejemplo 6:
Simplificar:
Si una expresión racional no comparte ningún factor común, entonces ya está en forma simplificada porque no se puede cancelar ningún factor. El problema original se convierte en la respuesta final.

Ejemplo 7:
Simplificar:
Si una expresión racional no comparte ningún factor común, entonces ya está en forma simplificada porque no se puede cancelar ningún factor. El problema original se convierte en la respuesta final.


Simplificando expresiones racionales

Simplificando expresiones racionales significa lo mismo que simplificar la fracción. Esto significa que nos concentraremos en los mismos términos en el denominador y el numerador y trataremos de ajustar la expresión completa, utilizando el conocimiento de factorización que tenemos, para simplificar una expresión racional dada.

Todas estas tareas se pueden resolver paso a paso, o puedes detenerte, mirar la tarea y pensar en ella, lo que puede acortar el tiempo de resolución y hacerla más interesante. En la siguiente tarea mostraremos ambas formas.

Lo primero que notamos aquí es que solo tenemos dos términos, lo cual es genial, porque no tenemos que preocuparnos si podemos acortar algo o no, todo está ligado a la multiplicación. Si miramos, podemos ver que tenemos dos números reales que son divisibles. Entonces podemos acortar esos primero.

Ahora podemos notar que tenemos un cuadrado $ a ^ 2 = a * a $. También tenemos & # 8220a & # 8221 en denominador para que podamos acortarlos también. Básicamente, estás buscando qué tienen en común denominador y numerador.

Aquí llegamos a un final porque no sabemos qué son ayb.

La segunda forma en que podríamos resolver esto es mirar esta expresión. Primero extrae todos los factores comunes que tienen el numerador y el denominador y luego simplemente táchalos.

El factor común de estos dos términos es $ 3 cdot a $.

En la mayoría de las tareas no obtendrá expresiones factorizadas de inmediato, será su trabajo factorizarlas. Para ello, puede utilizar todos los trucos que aprendió, incluida la factorización habitual, la diferencia de cuadrado, el cuadrado de binomio, el cubo de binomio, etc.

Si le resulta difícil ver cuál es el término común de denominador y numerador, primero puede factorizarlos por separado y ver si surge algo.

Podemos ver que del numerador podemos extraer 3 y del denominador 2. Obtenemos el mismo término entre paréntesis que es igual a 1.

Esta tarea es un poco complicada, por lo que debe tomarse su tiempo y resolverla paso a paso, comenzando por extraer los términos comunes del numerador y denominador.

Ahora, a primera vista, no hay mucho que hacer aquí, solo podemos simplificar & # 82202x & # 8221. Pero si miras de cerca, estos dos corchetes son iguales solo que con un signo diferente. Si restamos -1 a uno de ellos, podemos igualarlos.

Dado que podemos usar la propiedad conmutativa de la resta y la suma, podemos hacer lo siguiente:

No se apresure a expandir estos binomios, eche un vistazo a lo que tiene. Tenemos diferencia de cuadrados que podemos factorizar fácilmente.


Ver el vídeo: Simplify Rational Expressions (Septiembre 2021).