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6.2: Resolución de ecuaciones de valor absoluto.


6.2: Resolución de ecuaciones de valor absoluto.

Las soluciones de la ecuación $ | x | = 5 $ son $ x = 5 $ y $ x = -5 $, porque tanto $ 5 $ como $ -5 $ tienen una distancia de 5 unidades desde 0 en la recta numérica. Por tanto, $ | 5 | = 5 $ y $ | -5 | = 5 $.

Computacionalmente, el valor absoluto "hace que los números negativos sean positivos", aunque debemos ser un poco cautelosos con esta descripción. Mientras que $ | -7 | = 7 $, $ | 5-7 | neq 5 + 7 $. El valor absoluto actúa como un símbolo de agrupación, por lo que $ | 5-7 | = | -2 | = 2 $, lo cual tiene sentido ya que $ 5 $ y $ 7 $ están a dos unidades de distancia en la recta numérica:



Enumeramos algunas de las propiedades operativas de valor absoluto a continuación.

Propiedades del valor absoluto:

  • Regla del producto: $ | ab | = | a || b | $
  • Regla de poder: $ left | un ^ right | = | a | ^$ siempre que $ a ^$ está definido
  • Regla del cociente: $ left | dfrac right | = dfrac <| a |> <| b |> $, siempre que $ b neq 0 $

La demostración del teorema de estas propiedades es difícil, pero no imposible, utilizando la definición de distancia del valor absoluto o incluso la noción de "hace que los negativos sean positivos". Sin embargo, es mucho más fácil si se usa la definición `` precisa '' que se da más adelante en este texto, por lo que revisaremos la prueba en ese momento. Por ahora, centrémonos en cómo resolver ecuaciones y desigualdades básicas que involucran el valor absoluto.


RESOLVER ECUACIONES CON VALORES ABSOLUTOS EN AMBOS LADOS

Ambas respuestas x = -5/2 y x = 1/4 son correctas y aceptables.

Basado en la idea dada arriba, tenemos

Justificación y evaluación: & # xa0

Reemplaza x = -5 y x = 3 en la ecuación de valor absoluto dada. & # Xa0

Sustituir x = -5 y x = 3 en la ecuación original da como resultado declaraciones & # xa0 verdaderas. & # Xa0

Tanto las respuestas x = -5 como x = 3 son correctas y aceptables.

Basado en la idea dada arriba, tenemos

La declaración anterior es falsa. & # Xa0

Justificación y evaluación: & # xa0

Reemplaza z = -1 en la ecuación de valor absoluto dada.

Sustituir z = -1 en la ecuación original da como resultado una declaración & # xa0 verdadera. & # Xa0

Entonces, la respuesta z & # xa0 = -1 es correcta y aceptable.

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    • Revisión de conceptos algebraicos como exponentes, radicales, polinomios, factorización y números complejos.
    • Ecuaciones y desigualdades lineales y cuadráticas
    • Expresiones racionales y radicales
    • Valor absoluto
    • Graficar funciones lineales y cuadráticas
    • Cambios, estiramientos, simetría y reflejos
    • División sintética y división larga
    • Funciones exponenciales y logarítmicas
    • Graficar funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante
    • Funciones trigonométricas inversas
    • Identidades trigonométricas
    • Aplicaciones de la trigonometría: la ley de los senos, la ley de los cosenos, vectores y coordenadas polares.
    • Sistemas de ecuaciones y matrices
    • Secciones cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas
    • Combinaciones y probabilidad

    Tabla de contenido

    1. Repaso de álgebra básica

    • 1.1 Introducción
      • 1.1.1 La lista de los diez errores principales
      • 1.2 Desigualdades
        • 1.2.1 Conceptos de desigualdad
        • 1.2.2 Desigualdades y notación de intervalo
        • 1.3 Valor absoluto
          • 1.3.1 Propiedades del valor absoluto
          • 1.3.2 Evaluación de expresiones de valor absoluto
          • 1.4 Exponentes
            • 1.4.1 Introducción a los exponentes
            • 1.4.2 Evaluación de expresiones exponenciales
            • 1.4.3 Aplicación de las reglas de los exponentes
            • 1.4.4 Evaluar expresiones con exponentes negativos
            • 1.5 Conversión entre notaciones
              • 1.5.1 Conversión entre notación decimal y científica
              • 1.5.2 Conversión de exponentes racionales y radicales
              • 1.6 Expresiones radicales
                • 1.6.1 Simplificar expresiones radicales
                • 1.6.2 Simplificar expresiones radicales con variables
                • 1.6.3 Racionalización de denominadores
                • 1.7 Expresiones polinomiales
                  • 1.7.1 Determinación de componentes y grado
                  • 1.7.2 Sumar, restar y multiplicar polinomios
                  • 1.7.3 Multiplicar grandes productos
                  • 1.7.4 Uso de productos especiales
                  • 1.8 Factorización
                    • 1.8.1 Factorizar usando el máximo común denominador
                    • 1.8.2 Factorizar por agrupación
                    • 1.8.3 Factorización completa de trinomios
                    • 1.8.4 Factorizar trinomios: el método de agrupamiento
                    • 1.9 Patrones de factorización
                      • 1.9.1 Factorizar trinomios cuadrados perfectos
                      • 1.9.2 Factorizar la diferencia de dos cuadrados
                      • 1.9.3 Factorizar las sumas y diferencias de cubos
                      • 1.9.4 Factorizar por cualquier método
                      • 1.10 Expresiones racionales
                        • 1.10.1 Dominio y expresiones racionales
                        • 1.10.2 Trabajar con fracciones
                        • 1.10.3 Escribir expresiones racionales en términos mínimos
                        • 1.11 Trabajando con Racionales
                          • 1.11.1 Multiplicar y dividir expresiones racionales
                          • 1.11.2 Sumar y restar expresiones racionales
                          • 1.11.3 Reescritura de fracciones complejas
                          • 1.12 Números complejos
                            • 1.12.1 Introducción y escritura de números complejos
                            • 1.12.2 Reescritura de los poderes de i
                            • 1.12.3 Sumar y restar números complejos
                            • 1.12.4 Multiplicar números complejos
                            • 1.12.5 División de números complejos

                            2. Ecuaciones y desigualdades

                            • 2.1 Ecuaciones lineales
                              • 2.1.1 Introducción a la resolución de ecuaciones
                              • 2.1.2 Resolver una ecuación lineal
                              • 2.1.3 Resolver una ecuación lineal con racionales
                              • 2.1.4 Resolver una ecuación lineal que tiene restricciones
                              • 2.2 Problemas verbales con ecuaciones lineales: temas de matemáticas
                                • 2.2.1 Introducción a la resolución de problemas de palabras
                                • 2.2.2 Resolviendo el perímetro
                                • 2.2.3 Resolver un problema de geometría lineal
                                • 2.2.4 Resolver números consecutivos
                                • 2.2.5 Resolver para encontrar el promedio
                                • 2.3 Problemas verbales con ecuaciones lineales: aplicaciones
                                  • 2.3.1 Resolver para velocidad constante
                                  • 2.3.2 Resolver un problema sobre el trabajo
                                  • 2.3.3 Resolver un problema de mezcla
                                  • 2.3.4 Resolver un problema de inversión
                                  • 2.3.5 Resolución de problemas comerciales
                                  • 2.4 Ecuaciones cuadráticas: algunas técnicas de solución
                                    • 2.4.1 Resolver cuadráticas mediante factorización
                                    • 2.4.2 Resolver cuadráticas completando el cuadrado
                                    • 2.4.3 Completar el cuadrado: otro ejemplo
                                    • 2.5 Ecuaciones cuadráticas y fórmula cuadrática
                                      • 2.5.1 Demostrar la fórmula cuadrática
                                      • 2.5.2 Usando la fórmula cuadrática
                                      • 2.5.3 Predecir el tipo de soluciones utilizando el discriminante
                                      • 2.6 Ecuaciones cuadráticas: temas especiales
                                        • 2.6.1 Resolver para una variable al cuadrado
                                        • 2.6.2 Encontrar restricciones de números reales
                                        • 2.6.3 Resolver cuadráticas elegantes
                                        • 2.7 Problemas verbales con cuadráticas: temas de matemáticas
                                          • 2.7.1 Introducción a los problemas verbales con cuadráticas
                                          • 2.7.2 Resolución de un problema de geometría cuadrática
                                          • 2.7.3 Resolver con el teorema de Pitágoras
                                          • 2.7.4 El teorema de Pitágoras: otro ejemplo
                                          • 2.8 Problemas verbales con cuadráticas: aplicaciones
                                            • 2.8.1 Resolución de un problema de movimiento
                                            • 2.8.2 Resolver un problema de proyectil
                                            • 2.8.3 Resolución de otros problemas
                                            • 2.9 Ecuaciones radicales
                                              • 2.9.1 Determinación de raíces extrañas
                                              • 2.9.2 Resolver una ecuación que contiene un radical
                                              • 2.9.3 Resolver una ecuación con dos radicales
                                              • 2.9.4 Resolver una ecuación con exponentes racionales
                                              • 2.10 Variación
                                                • 2.10.1 Introducción a la variación
                                                • 2.10.2 Proporción directa
                                                • 2.10.3 Proporción inversa
                                                • 2.11 Resolver desigualdades
                                                  • 2.11.1 Introducción a la resolución de desigualdades
                                                  • 2.11.2 Resolución de desigualdades compuestas
                                                  • 2.11.3 Más sobre desigualdades compuestas
                                                  • 2.11.4 Resolución de problemas verbales que involucran desigualdades
                                                  • 2.12 Desigualdades: Cuadráticas
                                                    • 2.12.1 Resolver desigualdades cuadráticas
                                                    • 2.12.2 Resolver desigualdades cuadráticas: otro ejemplo
                                                    • 2.13 Desigualdades: racionales y radicales
                                                      • 2.13.1 Resolución de desigualdades racionales
                                                      • 2.13.2 Resolver desigualdades racionales: otro ejemplo
                                                      • 2.13.3 Determinación de los dominios de expresiones con radicales
                                                      • 2.14 Valor absoluto
                                                        • 2.14.1 Coincidencia de rectas numéricas con valores absolutos
                                                        • 2.14.2 Resolución de ecuaciones de valor absoluto
                                                        • 2.14.3 Resolver ecuaciones con dos expresiones de valor absoluto
                                                        • 2.14.4 Resolución de desigualdades de valor absoluto
                                                        • 2.14.5 Resolución de desigualdades de valor absoluto: más ejemplos

                                                        3. Relaciones y funciones

                                                        • 3.1 Conceptos básicos de gráficos
                                                          • 3.1.1 Uso del sistema cartesiano
                                                          • 3.1.2 Pensar visualmente
                                                          • 3.2 Relaciones entre dos puntos
                                                            • 3.2.1 Encontrar la distancia entre dos puntos
                                                            • 3.2.2 Encontrar el segundo punto final de un segmento
                                                            • 3.3 Relaciones entre tres puntos
                                                              • 3.3.1 Colinealidad y distancia
                                                              • 3.3.2 Triángulos
                                                              • 3.4 Círculos
                                                                • 3.4.1 Hallar la forma centro-radio de la ecuación de un círculo
                                                                • 3.4.2 Decodificación de la fórmula del círculo
                                                                • 3.4.3 Encontrar el centro y el radio de un círculo
                                                                • 3.4.4 Resolución de problemas verbales que involucran círculos
                                                                • 3.5 Graficar ecuaciones
                                                                  • 3.5.1 Graficar ecuaciones mediante la ubicación de puntos
                                                                  • 3.5.2 Hallar las intersecciones en x y en y de una ecuación
                                                                  • 3.6 Funciones básicas
                                                                    • 3.6.1 Funciones y prueba de línea vertical
                                                                    • 3.6.2 Identificación de funciones
                                                                    • 3.6.3 Notación de funciones y búsqueda de valores de funciones
                                                                    • 3.7 Trabajar con funciones
                                                                      • 3.7.1 Determinación de intervalos durante los cuales una función aumenta
                                                                      • 3.7.2 Evaluación de funciones definidas por partes para valores dados
                                                                      • 3.7.3 Resolución de problemas verbales que involucran funciones
                                                                      • 3.8 Dominio y rango de funciones
                                                                        • 3.8.1 Encontrar el dominio y rango de una función
                                                                        • 3.8.2 Dominio y rango: un ejemplo explícito
                                                                        • 3.8.3 Satisfacción del dominio de una función
                                                                        • 3.9 Funciones lineales: Pendiente
                                                                          • 3.9.1 Introducción a la pendiente
                                                                          • 3.9.2 Hallar la pendiente de una recta dados dos puntos
                                                                          • 3.9.3 Interpretación de la pendiente a partir de un gráfico
                                                                          • 3.9.4 Graficar una línea usando un punto y una pendiente
                                                                          • 3.10 Ecuaciones de una recta
                                                                            • 3.10.1 Escribir una ecuación en forma pendiente-intersección
                                                                            • 3.10.2 Escribir una ecuación dados dos puntos
                                                                            • 3.10.3 Escribir una ecuación en forma de punto-pendiente
                                                                            • 3.10.4 Emparejar una ecuación pendiente-intersección con su gráfica
                                                                            • 3.10.5 Pendiente para líneas paralelas y perpendiculares
                                                                            • 3.11 Funciones lineales: aplicaciones
                                                                              • 3.11.1 Construcción de modelos de datos de función lineal
                                                                              • 3.11.2 Funciones lineales de costos e ingresos
                                                                              • 3.12 Funciones gráficas
                                                                                • 3.12.1 Graficar algunas funciones importantes
                                                                                • 3.12.2 Graficar funciones definidas por partes
                                                                                • 3.12.3 Emparejar ecuaciones con sus gráficas
                                                                                • 3.13 La función de número entero más grande
                                                                                  • 3.13.1 La función de número entero más grande
                                                                                  • 3.13.2 Graficar la función de número entero más grande
                                                                                  • 3.14 Funciones cuadráticas: conceptos básicos
                                                                                    • 3.14.1 Deconstruir la gráfica de una función cuadrática
                                                                                    • 3.14.2 Parábolas bonitas
                                                                                    • 3.14.3 Uso de discriminantes para graficar parábolas
                                                                                    • 3.14.4 Altura máxima en el mundo real
                                                                                    • 3.15 Funciones cuadráticas: el vértice
                                                                                      • 3.15.1 Encontrar el vértice completando el cuadrado
                                                                                      • 3.15.2 Usar el vértice para escribir la ecuación cuadrática
                                                                                      • 3.15.3 Hallar el máximo o mínimo de una cuadrática
                                                                                      • 3.15.4 Representación gráfica de parábolas
                                                                                      • 3.16 Manipulación de gráficos: cambios y estiramientos
                                                                                        • 3.16.1 Desplazamiento de curvas a lo largo de ejes
                                                                                        • 3.16.2 Desplazamiento o traslación de curvas a lo largo de ejes
                                                                                        • 3.16.3 Estirar un gráfico
                                                                                        • 3.16.4 Graficar cuadráticas usando patrones
                                                                                        • 3.17 Manipulación de gráficos: simetría y reflejos
                                                                                          • 3.17.1 Determinación de la simetría
                                                                                          • 3.17.2 Reflexiones
                                                                                          • 3.17.3 Reflejo de funciones específicas
                                                                                          • 3.18 Funciones compuestas
                                                                                            • 3.18.1 Uso de operaciones en funciones
                                                                                            • 3.18.2 Funciones compuestas
                                                                                            • 3.18.3 Componentes de funciones compuestas
                                                                                            • 3.18.4 Encontrar funciones que forman un compuesto dado
                                                                                            • 3.18.5 Hallar el cociente diferencial de una función
                                                                                            • 3.18.6 Cálculo de la tasa de cambio promedio

                                                                                            4. Funciones polinomiales y racionales

                                                                                            • 4.1 Polinomios: división larga
                                                                                              • 4.1.1 Usar división larga con polinomios
                                                                                              • 4.1.2 División larga: otro ejemplo
                                                                                              • 4.2 Polinomios: división sintética
                                                                                                • 4.2.1 Uso de división sintética con polinomios
                                                                                                • 4.2.2 División más sintética
                                                                                                • 4.3 El teorema del resto
                                                                                                  • 4.3.1 El teorema del resto
                                                                                                  • 4.3.2 Más sobre el teorema del resto
                                                                                                  • 4.4 El teorema del factor
                                                                                                    • 4.4.1 El teorema del factor y sus usos
                                                                                                    • 4.4.2 Factorizar un polinomio dado un cero
                                                                                                    • 4.5 El teorema del cero racional
                                                                                                      • 4.5.1 Presentación del teorema del cero racional
                                                                                                      • 4.5.2 Consideración de posibles soluciones
                                                                                                      • 4.6 Ceros de polinomios
                                                                                                        • 4.6.1 Encontrar polinomios dados ceros, grados y un punto
                                                                                                        • 4.6.2 Encontrar todos los ceros y multiplicidades de un polinomio
                                                                                                        • 4.6.3 Encontrar los ceros reales de un polinomio
                                                                                                        • 4.6.4 Uso de la regla de los signos de Descartes
                                                                                                        • 4.6.5 Encontrar los ceros de un polinomio de principio a fin
                                                                                                        • 4.6.6 El teorema fundamental del álgebra
                                                                                                        • 4.6.7 El teorema del par conjugado
                                                                                                        • 4.7 Graficar funciones polinomiales simples
                                                                                                          • 4.7.1 Emparejar gráficas con funciones polinomiales
                                                                                                          • 4.7.2 Dibujar las gráficas de funciones polinomiales básicas
                                                                                                          • 4.7.3 Graficar funciones polinomiales: otro ejemplo
                                                                                                          • 4.8 Funciones racionales
                                                                                                            • 4.8.1 Comprensión de las funciones racionales
                                                                                                            • 4.8.2 Funciones racionales básicas
                                                                                                            • 4.9 Graficar funciones racionales
                                                                                                              • 4.9.1 Asíntotas verticales
                                                                                                              • 4.9.2 Asíntotas horizontales
                                                                                                              • 4.9.3 Graficar funciones racionales
                                                                                                              • 4.9.4 Graficar funciones racionales: más ejemplos
                                                                                                              • 4.9.5 Asíntotas oblicuas
                                                                                                              • 4.9.6 Asíntotas oblicuas: otro ejemplo

                                                                                                              5. Funciones exponenciales y logarítmicas

                                                                                                              • 5.1 Función invertida
                                                                                                                • 5.1.1 Comprensión de las funciones inversas
                                                                                                                • 5.1.2 La prueba de la línea horizontal
                                                                                                                • 5.1.3 ¿Son dos funciones inversas entre sí?
                                                                                                                • 5.1.4 Graficar el inverso
                                                                                                                • 5.2 Encontrar inversas de funciones
                                                                                                                  • 5.2.1 Encontrar la inversa de una función
                                                                                                                  • 5.2.2 Hallar la inversa de una función con potencias superiores
                                                                                                                  • 5.3 Funciones exponenciales
                                                                                                                    • 5.3.1 Introducción a las funciones exponenciales
                                                                                                                    • 5.3.2 Graficar funciones exponenciales: patrones útiles
                                                                                                                    • 5.3.3 Graficar funciones exponenciales: más ejemplos
                                                                                                                    • 5.4 Aplicación de funciones exponenciales
                                                                                                                      • 5.4.1 Usar propiedades de exponentes para resolver ecuaciones exponenciales
                                                                                                                      • 5.4.2 Encontrar valor presente y valor futuro
                                                                                                                      • 5.4.3 Encontrar una tasa de interés que coincida con los objetivos dados
                                                                                                                      • 5.5 El número e
                                                                                                                        • 5.5.1 e
                                                                                                                        • 5.5.2 Aplicación de funciones exponenciales
                                                                                                                        • 5.6 Funciones logarítmicas
                                                                                                                          • 5.6.1 Introducción a las funciones logarítmicas
                                                                                                                          • 5.6.2 Conversión entre funciones exponenciales y logarítmicas
                                                                                                                          • 5.7 Resolver funciones logarítmicas
                                                                                                                            • 5.7.1 Hallar el valor de una función logarítmica
                                                                                                                            • 5.7.2 Resolver para x en ecuaciones logarítmicas
                                                                                                                            • 5.7.3 Graficar funciones logarítmicas
                                                                                                                            • 5.7.4 Emparejar funciones logarítmicas con sus gráficos
                                                                                                                            • 5.8 Propiedades de los logaritmos
                                                                                                                              • 5.8.1 Propiedades de los logaritmos
                                                                                                                              • 5.8.2 Expandir una expresión logarítmica usando propiedades
                                                                                                                              • 5.8.3 Combinar expresiones logarítmicas
                                                                                                                              • 5.9 Evaluación de logaritmos
                                                                                                                                • 5.9.1 Evaluación de funciones logarítmicas con una calculadora
                                                                                                                                • 5.9.2 Uso de la fórmula de cambio de base
                                                                                                                                • 5.10 Aplicación de funciones logarítmicas
                                                                                                                                  • 5.10.1 La escala de Richter
                                                                                                                                  • 5.10.2 La fórmula del módulo de distancia
                                                                                                                                  • 5.11 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas
                                                                                                                                    • 5.11.1 Resolución de ecuaciones exponenciales
                                                                                                                                    • 5.11.2 Resolución de ecuaciones logarítmicas
                                                                                                                                    • 5.11.3 Resolución de ecuaciones con exponentes logarítmicos
                                                                                                                                    • 5.12 Aplicación de exponentes y logaritmos
                                                                                                                                      • 5.12.1 Interés compuesto
                                                                                                                                      • 5.12.2 Predecir el cambio
                                                                                                                                      • 5.13 Problemas verbales que involucran crecimiento exponencial y decadencia
                                                                                                                                        • 5.13.1 Introducción al crecimiento exponencial y la decadencia
                                                                                                                                        • 5.13.2 Vida media
                                                                                                                                        • 5.13.3 Ley de enfriamiento de Newton
                                                                                                                                        • 5.13.4 Interés continuamente compuesto

                                                                                                                                        6. Las funciones trigonométricas

                                                                                                                                        • 6.1 Ángulos y medida en radianes
                                                                                                                                          • 6.1.1 Encontrar el cuadrante en el que se encuentra un ángulo
                                                                                                                                          • 6.1.2 Encontrar ángulos coterminales
                                                                                                                                          • 6.1.3 Hallar el complemento y el suplemento de un ángulo
                                                                                                                                          • 6.1.4 Conversión entre grados y radianes
                                                                                                                                          • 6.1.5 Uso de la fórmula de longitud de arco
                                                                                                                                          • 6.2 Trigonometría de ángulo recto
                                                                                                                                            • 6.2.1 Introducción a las funciones trigonométricas
                                                                                                                                            • 6.2.2 Evaluación de funciones trigonométricas para un ángulo en un triángulo rectángulo
                                                                                                                                            • 6.2.3 Encontrar un ángulo dado el valor de una función trigonométrica
                                                                                                                                            • 6.2.4 Uso de funciones trigonométricas para encontrar lados desconocidos de triángulos rectángulos
                                                                                                                                            • 6.2.5 Hallar la altura de un edificio
                                                                                                                                            • 6.3 Las funciones trigonométricas
                                                                                                                                              • 6.3.1 Evaluación de funciones trigonométricas para un ángulo en el plano de coordenadas
                                                                                                                                              • 6.3.2 Evaluación de funciones trigonométricas usando el ángulo de referencia
                                                                                                                                              • 6.3.3 Hallar el valor de funciones trigonométricas dada la información sobre los valores de otras funciones trigonométricas
                                                                                                                                              • 6.3.4 Funciones trigonométricas de ángulos importantes
                                                                                                                                              • 6.4 Graficar funciones de seno y coseno
                                                                                                                                                • 6.4.1 Introducción a las gráficas de funciones seno y coseno
                                                                                                                                                • 6.4.2 Graficar funciones seno o coseno con diferentes coeficientes
                                                                                                                                                • 6.4.3 Encontrar valores máximos y mínimos y ceros de seno y coseno
                                                                                                                                                • 6.4.4 Resolución de problemas verbales que involucran funciones seno o coseno
                                                                                                                                                • 6.5 Representar gráficamente funciones de seno y coseno con desplazamientos verticales y horizontales
                                                                                                                                                  • 6.5.1 Graficar funciones de seno y coseno con cambios de fase
                                                                                                                                                  • 6.5.2 Gráficos de fantasía: cambios en el período, la amplitud, el desplazamiento vertical y el desplazamiento de fase
                                                                                                                                                  • 6.6 Graficar otras funciones trigonométricas
                                                                                                                                                    • 6.6.1 Graficar las funciones tangente, secante, cosecante y cotangente
                                                                                                                                                    • 6.6.2 Gráficos de fantasía: tangente, secante, cosecante y cotangente
                                                                                                                                                    • 6.6.3 Identificar una función trigonométrica a partir de su gráfico
                                                                                                                                                    • 6.7 Funciones trigonométricas inversas
                                                                                                                                                      • 6.7.1 Introducción a las funciones trigonométricas inversas
                                                                                                                                                      • 6.7.2 Evaluación de funciones trigonométricas inversas
                                                                                                                                                      • 6.7.3 Resolver una ecuación que involucra una función trigonométrica inversa
                                                                                                                                                      • 6.7.4 Evaluación de la composición de una función trigonométrica y su inversa
                                                                                                                                                      • 6.7.5 Aplicación de funciones trigonométricas: ¿está acelerando?

                                                                                                                                                      7. Identidades trigonométricas

                                                                                                                                                      • 7.1 Identidades trigonométricas básicas
                                                                                                                                                        • 7.1.1 Identidades trigonométricas fundamentales
                                                                                                                                                        • 7.1.2 Encontrar todos los valores de función
                                                                                                                                                        • 7.2 Simplificación de expresiones trigonométricas
                                                                                                                                                          • 7.2.1 Simplificar una expresión trigonométrica usando identidades trigonométricas
                                                                                                                                                          • 7.2.2 Simplificación de expresiones trigonométricas que involucran fracciones
                                                                                                                                                          • 7.2.3 Simplificación de productos de binomios que involucran funciones trigonométricas
                                                                                                                                                          • 7.2.4 Factorizar expresiones trigonométricas
                                                                                                                                                          • 7.2.5 Determinar si una función trigonométrica es impar, par o ninguna
                                                                                                                                                          • 7.3 Demostración de identidades trigonométricas
                                                                                                                                                            • 7.3.1 Prueba de identidad
                                                                                                                                                            • 7.3.2 Demostrar una identidad: otros ejemplos
                                                                                                                                                            • 7.4 Resolución de ecuaciones trigonométricas
                                                                                                                                                              • 7.4.1 Resolución de ecuaciones trigonométricas
                                                                                                                                                              • 7.4.2 Resolver ecuaciones trigonométricas mediante factorización
                                                                                                                                                              • 7.4.3 Resolución de ecuaciones trigonométricas con coeficientes en el argumento
                                                                                                                                                              • 7.4.4 Resolver ecuaciones trigonométricas usando la fórmula cuadrática
                                                                                                                                                              • 7.4.5 Resolución de problemas verbales que involucran ecuaciones trigonométricas
                                                                                                                                                              • 7.5 Las identidades de suma y diferencia
                                                                                                                                                                • 7.5.1 Identidades para sumas y diferencias de ángulos
                                                                                                                                                                • 7.5.2 Uso de identidades de suma y diferencia
                                                                                                                                                                • 7.5.3 Uso de identidades de suma y diferencia para simplificar una expresión
                                                                                                                                                                • 7.6 Identidades de doble ángulo
                                                                                                                                                                  • 7.6.1 Confirmación de una identidad de ángulo doble
                                                                                                                                                                  • 7.6.2 Uso de identidades de ángulo doble
                                                                                                                                                                  • 7.6.3 Resolución de problemas verbales que involucran identidades de múltiples ángulos
                                                                                                                                                                  • 7.7 Otras identidades avanzadas
                                                                                                                                                                    • 7.7.1 Uso de una identidad cofuncional
                                                                                                                                                                    • 7.7.2 Uso de una identidad de reducción de energía
                                                                                                                                                                    • 7.7.3 Usar identidades de medio ángulo para resolver una ecuación trigonométrica

                                                                                                                                                                    8. Aplicaciones de la trigonometría

                                                                                                                                                                    • 8.1 La ley de los senos
                                                                                                                                                                      • 8.1.1 La ley de los senos
                                                                                                                                                                      • 8.1.2 Resolver un triángulo dados dos lados y un ángulo
                                                                                                                                                                      • 8.1.3 Resolver un triángulo (SAS): otro ejemplo
                                                                                                                                                                      • 8.1.4 La ley de los senos: una aplicación
                                                                                                                                                                      • 8.2 La ley de los cosenos
                                                                                                                                                                        • 8.2.1 La ley de los cosenos
                                                                                                                                                                        • 8.2.2 La ley de los cosenos (SSS)
                                                                                                                                                                        • 8.2.3 La ley de los cosenos (SAS): una aplicación
                                                                                                                                                                        • 8.2.4 Fórmula de Garza
                                                                                                                                                                        • 8.3 Conceptos básicos de los vectores
                                                                                                                                                                          • 8.3.1 Introducción a los vectores
                                                                                                                                                                          • 8.3.2 Encontrar la magnitud y la dirección de un vector
                                                                                                                                                                          • 8.3.3 Suma de vectores y multiplicación escalar
                                                                                                                                                                          • 8.4 Componentes de vectores y vectores unitarios
                                                                                                                                                                            • 8.4.1 Encontrar los componentes de un vector
                                                                                                                                                                            • 8.4.2 Encontrar un vector unitario
                                                                                                                                                                            • 8.4.3 Resolución de problemas verbales que involucran velocidad o fuerzas
                                                                                                                                                                            • 8.5 Números complejos en forma trigonométrica
                                                                                                                                                                              • 8.5.1 Graficar un número complejo y encontrar su valor absoluto
                                                                                                                                                                              • 8.5.2 Expresar un número complejo en forma trigonométrica o polar
                                                                                                                                                                              • 8.5.3 Multiplicar y dividir números complejos en forma trigonométrica o polar
                                                                                                                                                                              • 8.6 Potencias y raíces de números complejos
                                                                                                                                                                                • 8.6.1 Uso del teorema de DeMoivre para elevar un número complejo a una potencia
                                                                                                                                                                                • 8.6.2 Raíces de números complejos
                                                                                                                                                                                • 8.6.3 Más raíces de números complejos
                                                                                                                                                                                • 8.6.4 Raíces de unidad
                                                                                                                                                                                • 8.7 Coordenadas polares
                                                                                                                                                                                  • 8.7.1 Introducción a las coordenadas polares
                                                                                                                                                                                  • 8.7.2 Conversión entre coordenadas polares y rectangulares
                                                                                                                                                                                  • 8.7.3 Conversión entre ecuaciones polares y rectangulares
                                                                                                                                                                                  • 8.7.4 Graficar ecuaciones polares simples
                                                                                                                                                                                  • 8.7.5 Graficar ecuaciones polares especiales

                                                                                                                                                                                  9. Sistemas de ecuaciones y matrices

                                                                                                                                                                                  • 9.1 Sistemas lineales de ecuaciones
                                                                                                                                                                                    • 9.1.1 Introducción a los sistemas lineales
                                                                                                                                                                                    • 9.1.2 Resolver un sistema por sustitución
                                                                                                                                                                                    • 9.1.3 Resolución de un sistema por eliminación
                                                                                                                                                                                    • 9.2 Sistemas lineales de ecuaciones en tres variables
                                                                                                                                                                                      • 9.2.1 Introducción a los sistemas lineales en tres variables
                                                                                                                                                                                      • 9.2.2 Resolución de sistemas lineales en tres variables
                                                                                                                                                                                      • 9.2.3 Resolución de sistemas inconsistentes
                                                                                                                                                                                      • 9.2.4 Resolución de sistemas dependientes
                                                                                                                                                                                      • 9.2.5 Resolución de sistemas con dos ecuaciones
                                                                                                                                                                                      • 9.3 Aplicación de sistemas lineales
                                                                                                                                                                                        • 9.3.1 Inversiones
                                                                                                                                                                                        • 9.3.2 Resolver con fracciones parciales
                                                                                                                                                                                        • 9.3.3 Fracciones parciales: otro ejemplo
                                                                                                                                                                                        • 9.4 Sistemas no lineales
                                                                                                                                                                                          • 9.4.1 Resolución de sistemas no lineales mediante eliminación
                                                                                                                                                                                          • 9.4.2 Resolución de sistemas no lineales por sustitución
                                                                                                                                                                                          • 9.5 Matrices
                                                                                                                                                                                            • 9.5.1 Introducción a las matrices
                                                                                                                                                                                            • 9.5.2 La aritmética de matrices
                                                                                                                                                                                            • 9.5.3 Multiplicar matrices por un escalar
                                                                                                                                                                                            • 9.5.4 Multiplicar matrices
                                                                                                                                                                                            • 9.6 Resolución de sistemas mediante el método de Gauss-Jordan
                                                                                                                                                                                              • 9.6.1 Uso del método Gauss-Jordan
                                                                                                                                                                                              • 9.6.2 Uso de Gauss-Jordan: otro ejemplo
                                                                                                                                                                                              • 9.6.3 Uso del método de Gauss-Jordan con tres ecuaciones
                                                                                                                                                                                              • 9.6.4 Eliminación gaussiana con tres ecuaciones
                                                                                                                                                                                              • 9.7 Evaluación de determinantes
                                                                                                                                                                                                • 9.7.1 Evaluación de determinantes 2x2
                                                                                                                                                                                                • 9.7.2 Evaluación norteXnorte Determinantes
                                                                                                                                                                                                • 9.7.3 Evaluación de un determinante mediante operaciones de fila elementales
                                                                                                                                                                                                • 9.7.4 Encontrar un determinante mediante la expansión por cofactores
                                                                                                                                                                                                • 9.7.5 Aplicación de determinantes
                                                                                                                                                                                                • 9.8 Regla de Cramer
                                                                                                                                                                                                  • 9.8.1 Uso de la regla de Cramer
                                                                                                                                                                                                  • 9.8.2 Uso de la regla de Cramer en una matriz de 3x3
                                                                                                                                                                                                  • 9.9 inversas y matrices
                                                                                                                                                                                                    • 9.9.1 Introducción a las inversas
                                                                                                                                                                                                    • 9.9.2 Inversiones: Matrices 2x2
                                                                                                                                                                                                    • 9.9.3 Otra mirada a los inversos 2x2
                                                                                                                                                                                                    • 9.9.4 Inversiones: Matrices 3x3
                                                                                                                                                                                                    • 9.9.5 Resolver un sistema de ecuaciones con inversas
                                                                                                                                                                                                    • 9.10 Trabajar con desigualdades
                                                                                                                                                                                                      • 9.10.1 Introducción a la representación gráfica de desigualdades lineales
                                                                                                                                                                                                      • 9.10.2 Graficar desigualdades lineales y no lineales
                                                                                                                                                                                                      • 9.10.3 Graficar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades
                                                                                                                                                                                                      • 9.11 Programación lineal
                                                                                                                                                                                                        • 9.11.1 Resolver para máximos y mínimos
                                                                                                                                                                                                        • 9.11.2 Aplicación de programación lineal

                                                                                                                                                                                                        10. Temas especiales

                                                                                                                                                                                                        • 10.1 Secciones cónicas: parábolas
                                                                                                                                                                                                          • 10.1.1 Introducción a las secciones cónicas
                                                                                                                                                                                                          • 10.1.2 Introducción a las parábolas
                                                                                                                                                                                                          • 10.1.3 Determinación de información sobre una parábola a partir de su ecuación
                                                                                                                                                                                                          • 10.1.4 Escribir una ecuación para una parábola
                                                                                                                                                                                                          • 10.2 Secciones cónicas: elipses
                                                                                                                                                                                                            • 10.2.1 Introducción a las elipses
                                                                                                                                                                                                            • 10.2.2 Encontrar la ecuación para una elipse
                                                                                                                                                                                                            • 10.2.3 Aplicación de elipses: satélites
                                                                                                                                                                                                            • 10.2.4 La excentricidad de una elipse
                                                                                                                                                                                                            • 10.3 Secciones cónicas: Hipérbolas
                                                                                                                                                                                                              • 10.3.1 Introducción a las hipérbolas
                                                                                                                                                                                                              • 10.3.2 Encontrar la ecuación de una hipérbola
                                                                                                                                                                                                              • 10.3.3 Aplicación de hipérbolas: navegación
                                                                                                                                                                                                              • 10.4 Secciones cónicas
                                                                                                                                                                                                                • 10.4.1 Identificación de una cónica
                                                                                                                                                                                                                • 10.4.2 Nombra esa cónica
                                                                                                                                                                                                                • 10.4.3 Rotación de ejes
                                                                                                                                                                                                                • 10.4.4 Cónicas giratorias
                                                                                                                                                                                                                • 10.5 El teorema del binomio
                                                                                                                                                                                                                  • 10.5.1 Usando el teorema del binomio
                                                                                                                                                                                                                  • 10.5.2 Coeficientes binomiales
                                                                                                                                                                                                                  • 10.5.3 Encontrar un término de una expansión binomial
                                                                                                                                                                                                                  • 10.6 Secuencias
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.1 Términos generales y específicos
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.2 Comprender los problemas de secuencia
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.3 Notación de series, definiciones y evaluación
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.4 Resolución de problemas que involucran secuencias aritméticas
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.5 Hallar la suma de una secuencia aritmética
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.6 Resolución de problemas que involucran secuencias geométricas
                                                                                                                                                                                                                    • 10.6.7 Hallar la suma de una secuencia geométrica
                                                                                                                                                                                                                    • 10.7 Inducción
                                                                                                                                                                                                                      • 10.7.1 Demostración de fórmulas mediante inducción matemática
                                                                                                                                                                                                                      • 10.7.2 Ejemplos de inducción
                                                                                                                                                                                                                      • 10.8 Combinaciones y probabilidad
                                                                                                                                                                                                                        • 10.8.1 Resolución de problemas que involucran permutaciones
                                                                                                                                                                                                                        • 10.8.2 Resolución de problemas que involucran combinaciones
                                                                                                                                                                                                                        • 10.8.3 Eventos independientes
                                                                                                                                                                                                                        • 10.8.4 Eventos inclusivos y exclusivos

                                                                                                                                                                                                                        Sobre el Autor

                                                                                                                                                                                                                        Edward Burger es un profesor galardonado con una pasión por la enseñanza de las matemáticas.

                                                                                                                                                                                                                        Desde 2013, Edward Burger ha sido presidente de Southwestern University, una de las mejores universidades de artes liberales en Georgetown, Texas. Anteriormente, fue profesor de matemáticas en Williams College. Dr. Burger obtuvo su Ph.D. en la Universidad de Texas en Austin, y se graduó summa cum laude con distinción en matemáticas de Connecticut College.

                                                                                                                                                                                                                        El sentido del humor único del profesor Burger y su experiencia en la enseñanza se combinan para convertirlo en el presentador ideal de las entretenidas e informativas videoconferencias de Thinkwell.


                                                                                                                                                                                                                        Precálculo de Thinkwell con el profesor Edward Burger

                                                                                                                                                                                                                        Un valor de 2 por 1: el curso en línea Precálculo de Thinkwell combina conceptos de Álgebra universitaria con Trigonometría para una experiencia completa de las matemáticas de precálculo. Nuestro precálculo tiene cientos de tutoriales en video y miles de ejercicios calificados automáticamente con retroalimentación paso a paso, que cubren todo en los libros de texto más populares, para que tenga toda la ayuda matemática previa al cálculo que necesita para prepararse para el cálculo.

                                                                                                                                                                                                                        Los videos tutoriales de Precálculo de Thinkwell cuentan con el galardonado maestro Edward Burger, quien tiene una capacidad única para desglosar conceptos y explicar ejemplos de manera que se adhiera a los estudiantes.

                                                                                                                                                                                                                        El Cuaderno de trabajo de precálculo (opcional) viene con apuntes de clase, problemas de muestra y ejercicios para que pueda estudiar incluso cuando esté lejos de la computadora. Puede leer reseñas de nuestros cursos de matemáticas aquí.

                                                                                                                                                                                                                        14 días sin riesgo

                                                                                                                                                                                                                        Garantía de devolución del dinero

                                                                                                                                                                                                                        ¿Tiene un código de suscripción al curso?
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                                                                                                                                                                                                                        Ejemplos resueltos: ecuaciones de valor absoluto

                                                                                                                                                                                                                        Para estudiantes de ACT
                                                                                                                                                                                                                        El ACT es un examen cronometrado. $ 60 $ preguntas por $ 60 $ minutos
                                                                                                                                                                                                                        Esto implica que debes resolver cada pregunta en un minuto.
                                                                                                                                                                                                                        Algunas preguntas suelen tardar menos de un minuto en resolverse.
                                                                                                                                                                                                                        Algunas preguntas suelen tardar más de un minuto en resolverse.
                                                                                                                                                                                                                        El objetivo es maximizar su tiempo. Usas el tiempo ahorrado en esas preguntas que resolviste en menos de un minuto, para resolver las preguntas que te llevarán más de un minuto.
                                                                                                                                                                                                                        Entonces, deberías intentar resolver cada pregunta. correctamente y oportuno.
                                                                                                                                                                                                                        Entonces, no se trata solo de resolver una pregunta correctamente, sino de resolverla correctamente a tiempo.
                                                                                                                                                                                                                        Asegúrate de intentar todas las preguntas de ACT.
                                                                                                                                                                                                                        No hay penalización "negativa" por cualquier respuesta incorrecta.

                                                                                                                                                                                                                        Para estudiantes de JAMB, CMAT y NZQA
                                                                                                                                                                                                                        No se permiten calculadoras. Entonces, las preguntas se resuelven de una manera que no requiere una calculadora.

                                                                                                                                                                                                                        Para estudiantes de NSC
                                                                                                                                                                                                                        Para las preguntas:
                                                                                                                                                                                                                        Cualquier espacio incluido en un número indica una coma utilizada para separar dígitos. separando múltiplos de tres dígitos desde atrás.
                                                                                                                                                                                                                        Cualquier coma incluida en un número indica un punto decimal.
                                                                                                                                                                                                                        Para las Soluciones:
                                                                                                                                                                                                                        Los decimales se utilizan de forma apropiada en lugar de las comas.
                                                                                                                                                                                                                        Las comas se utilizan para separar los dígitos de forma adecuada.

                                                                                                                                                                                                                        Resuelva las ecuaciones de valor absoluto según corresponda.
                                                                                                                                                                                                                        Muestra todo el trabajo.
                                                                                                                                                                                                                        Verifique todas las soluciones.

                                                                                                                                                                                                                        (1.) ACTUAR La ecuación $ | 2x - 8 | + 3 = 5 $ tiene soluciones de $ 2 $.
                                                                                                                                                                                                                        ¿Esas soluciones son iguales a las soluciones de cuál de los siguientes pares de ecuaciones?

                                                                                                                                                                                                                        $ F. : : 2x - 5 = 5 [3ex] -2x - 5 = -5 [5ex] G. : : 2x - 8 = 2 [3ex] -2x - 8 = 2 [5ex] H. : : 2x - 8 = 8 [3ex] - (2x - 8) = 8 [5ex] J. : : 2x - 8 = 2 [3ex ] - (2x - 8) = 8 [5ex] K. : : 2x - 8 = 2 [3ex] - (2x - 8) = 2 $

                                                                                                                                                                                                                        $ | 2x - 8 | = 5 - 3 [3ex] | 2x - 8 | = 2 [3ex] Entonces, : : [3ex] 2x - 8 = 2 [3ex] O [3ex] - (2x - 8) = 2 $


                                                                                                                                                                                                                        Corrección óptima de las ecuaciones de valor absoluto

                                                                                                                                                                                                                        En este artículo, estudiamos la corrección óptima de las ecuaciones de valor absoluto mediante la realización de cambios mínimos en la matriz de coeficientes y el vector del lado derecho y utilizando la norma espectral. Este problema se puede formular como un problema de programación cuadrática fraccionaria no diferenciable, no convexa y sin restricciones. Los mínimos cuadrados regularizados se aplican para estabilizar la solución del problema fraccional. El problema regularizado se reduce a un problema de minimización de una sola variable unimodal y para resolverlo se propone un algoritmo de bisección. La principal dificultad del algoritmo es un complicado problema de optimización de restricciones, para el que se sugieren dos métodos novedosos. También presentamos condiciones de optimalidad y límites para la norma de las soluciones óptimas. Se proporcionan experimentos numéricos para demostrar la eficacia de los métodos sugeridos.

                                                                                                                                                                                                                        Esta es una vista previa del contenido de la suscripción, acceda a través de su institución.


                                                                                                                                                                                                                        Respuestas de la hoja de trabajo para resolver ecuaciones de valor absoluto

                                                                                                                                                                                                                        Hojas de trabajo de ecuaciones de valor absoluto. Resolver ecuaciones de valor absoluto resuelve cada ecuación.

                                                                                                                                                                                                                        Valor absoluto Solucionador de desigualdades Resolución matemática Valor absoluto

                                                                                                                                                                                                                        Sea x alguna variable o expresión algebraica.

                                                                                                                                                                                                                        Respuestas de la hoja de trabajo para resolver ecuaciones de valor absoluto. Hojas de trabajo de ecuaciones de valor absoluto. Hoja 1 hoja 2 agárralos todos. 1 6 m 42 2 6x 30 3 k 10 3 4 x 7 3 5 7 p 7 6 3p 15 7 7 n 56 8 m 5 3 9 3 p 12 10 m 2 11 11 n 1 2 12 x 7 5 13 a 5 8 .

                                                                                                                                                                                                                        Q hoja de trabajo de kuta software llc kuta software álgebra infinita 1 nombre ecuaciones de valor absoluto fecha período resuelve cada ecuación. Hojas de trabajo de ecuaciones de valor absoluto. X a.

                                                                                                                                                                                                                        Existencia de la solución. Dividirá cada ecuación de valor absoluto en dos ecuaciones separadas y luego las resolverá para encontrar sus dos soluciones. Elija la opción correcta.

                                                                                                                                                                                                                        Hoja 1 hoja 2 agárralos todos. Aislar el valor absoluto. 1 v 6 2 v 3 3 n 9 4 p 5 5 4x 24 6 n 2 3 7 r 6 3 8 4 k 10 9 6r 9 27 10 4n 5 19 11 5b 3 33 12 9a 7 70 13 5 n 4 14 b 6 16 15 a 9 2 16 r 2 3.

                                                                                                                                                                                                                        Resolver ecuación de valor absoluto. Cuando nos enfrentamos a una ecuación de valor absoluto, necesitamos utilizar correctamente la definición de definición de valor absoluto. Esta hoja de trabajo incluye principalmente ecuaciones de dos pasos como 2x 5.

                                                                                                                                                                                                                        Hoja 1 hoja 2 agárralos todos. Hoja de trabajo pdf y clave de respuestas gratuitas sobre la resolución de ecuaciones de valor absoluto. Si el valor absoluto se establece igual a cero, elimine los símbolos de valor absoluto y resuelva la ecuación para obtener una solución.

                                                                                                                                                                                                                        Dividirá cada ecuación de valor absoluto en dos ecuaciones separadas y luego las resolverá para encontrar sus dos soluciones. Imprimir hojas de trabajo de ecuaciones de valor absoluto, haga clic en los botones para imprimir cada hoja de trabajo y la clave de respuestas asociada. Hoja de trabajo de ecuaciones de valor absoluto 4 aquí hay una hoja de trabajo de 9 problemas donde resolverá algunas ecuaciones de valor absoluto.

                                                                                                                                                                                                                        Más problemas del modelo explicados paso a paso. Identifique a qué se iguala el valor absoluto aislado a. Hoja de trabajo de ecuaciones de valor absoluto 4 aquí hay una hoja de trabajo de 9 problemas donde resolverá algunas ecuaciones de valor absoluto.

                                                                                                                                                                                                                        Entonces xx si x 0. 1 3 x 9 2 3r 9 3 b 5 1 4 6m 30 5 n 3 2 6 4 5x 16 7 2r 1 11 8 1 5a 29 9 2n 6 6 10 v 8 5 2 1. Si el absoluto El valor se establece igual a un número negativo, no hay solución.

                                                                                                                                                                                                                        Resolver ecuaciones de valor absoluto fecha período resuelve cada ecuación. Esta hoja de trabajo incluye principalmente ecuaciones de dos pasos como 2x 5. Resuelve la ecuación de valor absoluto y encuentra las soluciones.

                                                                                                                                                                                                                        33 preguntas escalonadas que comienzan relativamente fáciles y terminan con algunos desafíos reales. Pasos para resolver ecuaciones lineales de valor absoluto. Las preguntas pueden tener solución o no tener solución.

                                                                                                                                                                                                                        Hojas de trabajo de desigualdades de valor absoluto

                                                                                                                                                                                                                        Cómo resolver una ecuación de valor absoluto

                                                                                                                                                                                                                        Hoja de trabajo de color para resolver ecuaciones de valor absoluto por Aric Thomas Tpt

                                                                                                                                                                                                                        Practique la resolución de ecuaciones de varios pasos Respuestas Tessshebaylo

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                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.2 . A Solution.

                                                                                                                                                                                                                        Start with the equation (4x + 16= -4.)

                                                                                                                                                                                                                        Since we get a true statement (-4=-4 ext<,>) (x=-5) IS a solution of the equation (4x + 16= -4.)(checkmark)

                                                                                                                                                                                                                        Now the equation is a true statement! Notice also that if another number, for example, (3 ext<,>) were plugged in for (x ext<,>) we would not get a true statement as seen in Example 2.A.3.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.3 . NOT a Solution.

                                                                                                                                                                                                                        Start with the equation (4x + 16= -4.)

                                                                                                                                                                                                                        Since (28 eq -4 ext<,>) (x=3) is NOT a solution of the equation (4x + 16= -4.)(checkmark)

                                                                                                                                                                                                                        Due to the fact that (LHS eq RHS ext<,>) this demonstrates that (3) is not the solution. However, depending on the complexity of the problem, this "guess and check" method is not very efficient. Thus, we take a more algebraic approach to solving equations. First we will focus on what are called "one-step equations" or equations that only require one step to solve. While these equations often seem very fundamental, it is important to master the pattern for solving these problems so we can solve more complex problems.

                                                                                                                                                                                                                        Subsection 2.A.2 Linear Equations - One-Step Equations

                                                                                                                                                                                                                        To solve equations, we perform mathematical operations to both sides of the equation to isolate the variable. For example, consider the following:

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.4 . Solve an Equation Involving Addition.
                                                                                                                                                                                                                        WeBWorK: Entering Solutions to Equations.

                                                                                                                                                                                                                        Enter the entire expression x = -12 , NOT just the value -12 .

                                                                                                                                                                                                                        When you are solving an equation on paper, your final answer may be in the form (3=t ext<.>) In WeBWorK, you must enter your answer with the variable on the left side of the equal sign: t = 3

                                                                                                                                                                                                                        The terms in an equation may be in any order and the variable may be a letter other than (x.) The key is to focus on using operations that get the variable by itself on one side of the equals sign.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.5 . Another Example With Addition.

                                                                                                                                                                                                                        In this example, (5) must be subtracted from both sides to solve for (t.)

                                                                                                                                                                                                                        Then we get our solution, (t = 3.checkmark)

                                                                                                                                                                                                                        In a subtraction problem, we "counteract" negative numbers by adding them to both sides of the equation. For example, consider the following:

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.6 . Solve an Equation Involving Subtraction.

                                                                                                                                                                                                                        With a multiplication problem, we "eliminate" a constant multiple by multiplying by the reciprocal (or dividing) on both sides. For example consider the following:

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.7 . Positive Constant Multiple.

                                                                                                                                                                                                                        With multiplication problems it is very important that care is taken with signs. If the variable is multiplied by a negative number we multiply by its negative reciprocal (or divide by a negative.)

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.8 . Negative Constant Multiple.

                                                                                                                                                                                                                        The same process is used in each of the following examples. Notice how negative and positive numbers are handled as each problem is solved.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.9 . Multiply by Reciprocals.
                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.10 . Solve One-Step Equation.

                                                                                                                                                                                                                        In division problems, "eliminate the denominator" by multiplying on both sides. For example consider:

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.11 . Eliminate Denominator.

                                                                                                                                                                                                                        The same process is used in each of the following examples.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.12 . Eliminate Denominators.
                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.13 . Solve One-Step Equation.

                                                                                                                                                                                                                        The process described above is fundamental to solving equations. Soon, the problems we see will have several more steps. These problems may seem more complex, but the process and patterns used will remain the same.

                                                                                                                                                                                                                        Subsection 2.A.3 Linear Equations - Two-Step Equations

                                                                                                                                                                                                                        After mastering the technique for solving equations that are one-step equations, we are ready to consider two-step equations. As we solve two-step equations, the important thing to remember is that everything works backwards! When working with one-step equations, we learned that in order to clear a "plus five" in the equation, we would subtract five from both sides. We learned that to clear "divided by seven" we multiply by seven on both sides. The same pattern applies to the order of operations. When solving for our variable, we use order of operations backwards as well. This means we will add or subtract first, then multiply or divide second (then exponents, and finally any parentheses or grouping symbols, but that's another lesson).

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.14 . Addition then Division.

                                                                                                                                                                                                                        We have two numbers on the same side as the variable (x.) We need to handle the (4) and the (-20.) We know to "eliminate" the four we need to divide, and to "eliminate" the subtracted twenty we will add twenty to both sides. If order of operations is done backwards, we add or subtract first. Therefore we will add (20) to both sides first. Once we are done with that, we will divide both sides by (4.) The steps are shown below.

                                                                                                                                                                                                                        To check the correctness of Our Solution we substitute (x=3) back in to the original equation:

                                                                                                                                                                                                                        Since we get a true statement (-8=-8 ext<,>) Our Solution (x=3) is correct.(checkmark)

                                                                                                                                                                                                                        The same process is used to solve any two-step equations. Add or subtract first, then multiply or divide. Consider our next example and notice how the same process is applied.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.15 . Subtraction then Division.

                                                                                                                                                                                                                        Notice the seven subtracted out completely! Many students get stuck on this point, do not forget that we have a number for "nothing left" and that number is zero.

                                                                                                                                                                                                                        When solving two-step equations, remember the sign always stays with the number. Consider the following example.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.16 . Negative Coefficient.

                                                                                                                                                                                                                        The same is true even if the coefficient in front of the variable is a negative ​(1). Consider the next example.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.17 . Negative Coefficient.

                                                                                                                                                                                                                        The first step is to add or subtract, the second is to multiply or divide. This pattern is seen in each of the following three examples.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.18 . More Two-Step Examples.
                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.19 . Solve Two-Step Equation.

                                                                                                                                                                                                                        Subsection 2.A.4 Solving Linear Equations-General Equations

                                                                                                                                                                                                                        Often as we are solving linear equations we will need to do some work to set them up into a form we are familiar with solving. This section will focus on manipulating an equation so that we can use our pattern for solving two-step equations.

                                                                                                                                                                                                                        To handle the parentheses we use the distributive property. This is shown in the following example.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.20 . Distribute First.

                                                                                                                                                                                                                        Often after we distribute there will be some like terms on one side of the equation. Example 2.A.21 shows distributing to "clear" the parentheses followed by combining like terms. Notice we only combine like terms on the same side of the equation. Once we have done this, our next example solves just like any other two-step equation.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.21 . Distribute First.

                                                                                                                                                                                                                        We may see the variable on both sides of an equation.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.22 . Collect Like Terms First.

                                                                                                                                                                                                                        Notice here the (x) is on both the left and right sides of the equation. This can make it difficult to decide which side to work with. We fix this by adding or subtracting one of the terms with (x) to the other side, much like we do with a constant term. It doesn't matter which term gets added or subtracted, (4x) or (2x ext<,>) however, it would be our suggestion to subtract the smaller term in this case (to avoid negative coefficients). For this reason we begin this problem by subtracting (2x) from both sides.

                                                                                                                                                                                                                        The next example shows the check on the solution in Example 2.A.22 . Here Our Solution (x=8) is substituted for the (x) on both the and before simplifying.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.23 . Check Our Solution (x=8).

                                                                                                                                                                                                                        Check that (x=8) is a solution of the equation (4x-6=2x+10.)

                                                                                                                                                                                                                        Since (26=26) we have which means Our Solution (x=8) is correct!(checkmark)

                                                                                                                                                                                                                        The next example illustrates the same process with negative coefficients. Notice first the negative term with the variable is added to both sides.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.24 . Collect Like Terms.

                                                                                                                                                                                                                        In the following problems we have parentheses and the variable on both sides. Notice in each of the following examples we distribute, then combine like terms, then move the variable to one side of the equation.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.25 . Distribute and Collect.
                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.26 . Solve Equation.

                                                                                                                                                                                                                        Equations with fractions are often easier to solve if we eliminate the denominators first.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.27 . Equation with Fractions.
                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.28 . Solve Equation with Fractions.
                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.29 . Equation with Fractions.

                                                                                                                                                                                                                        Sometimes we may have to distribute more than once to clear several parentheses. Remember to combine like terms after you distribute!

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.30 . Distribute and Collect.

                                                                                                                                                                                                                        This leads to a to solve any linear equation. While all five steps aren't always needed, this can serve as a guide to solving equations.

                                                                                                                                                                                                                        1. Distribute through any parentheses.
                                                                                                                                                                                                                        2. Combine like terms on each side of the equation.
                                                                                                                                                                                                                        3. Get the variable on one side by adding or subtracting.
                                                                                                                                                                                                                        4. Solve the remaining 2-step equation (add or subtract then multiply or divide).
                                                                                                                                                                                                                        5. Check your answer by plugging it back in for (x) to find a true statement.

                                                                                                                                                                                                                        We can see each of the above five steps worked through our next example.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.31 . Demonstrate Five-Step Solution.

                                                                                                                                                                                                                        We leave for you: check that (x=2) IS a solution by plugging this value back in to the original equation.

                                                                                                                                                                                                                        Let's try one involving scientific notation. The fundamental ideas of solving an equation still apply.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.32 . Solve an Equation Involving Scientific Notation.
                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.33 . Solve Equation with Scientific Notation.

                                                                                                                                                                                                                        Subsection 2.A.5 Absolute Value Equations

                                                                                                                                                                                                                        is defined as distance from zero. Consider both integers (5) and (-5.) Since both positive and negative (5) have a distance of (5) units from (0) on the number line, both have an absolute value of (5.)

                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.34 . Determine the Absolute Value.

                                                                                                                                                                                                                        Thus when solving equations with absolute value we can end up with more than one possible answer. This is because the expression inside the absolute value can be either positive or negative and we must account for both possibilities when solving equations. This is illustrated in the following example.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.35 . Absolute Value Equation: Two Solutions.

                                                                                                                                                                                                                        Notice that we have determined two possibilities, both the positive and negative. Either way, the absolute value of our number will be positive (5.)

                                                                                                                                                                                                                        WeBWorK: Entering Two Solutions.

                                                                                                                                                                                                                        Be sure to include the word "or" between the solutions: x = 5 or x = -5 .

                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.36 . Solve the Absolute Value Equation.

                                                                                                                                                                                                                        Absolute value may also be used to define the distance from a point other than zero. Note that the "distance" between two numbers is the between the numbers—the absolute value.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.37 . Distance Equation.

                                                                                                                                                                                                                        Suppose the distance between (x) and (2) is exactly (3.) Determine (x) and write an absolute value equation that describes this situation.

                                                                                                                                                                                                                        The difference between (x) and (2) is (x-2) and the difference between the numbers could be to the left ((-3)) or to the right ((+3)) of (2 ext<.>)

                                                                                                                                                                                                                        To denote "the distance between the number (x) and (2) is (3)", we write the difference in absolute value.

                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.38 . Absolute Value Equations.

                                                                                                                                                                                                                        The next few examples demonstrate the steps to solve a general absolute value equation. Remember that the expression the absolute value symbols may be positive or negative—the absolute value will make the value non-negative in the end—so, both possibilities must be solved for to determine all solutions to an absolute value equation.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.39 . Absolute Value of an Expression.

                                                                                                                                                                                                                        Now notice we have two equations to solve, each equation will give us a different solution. Both equations solve (separately) like any other two-step equation.

                                                                                                                                                                                                                        Checkpoint 2.A.40 . Solve Absolute Value Equation.

                                                                                                                                                                                                                        Remember the result of an absolute value must always be nonnegative. Notice what happens in the next example.

                                                                                                                                                                                                                        Example 2.A.41 . Absolute Values Can't Be Negative.

                                                                                                                                                                                                                        Notice in the above example, the absolute value expression equals a negative number! This is impossible with absolute value. When this occurs we STOP and conclude there is no solution.


                                                                                                                                                                                                                        John Squires has been teaching math for more than 20 years. He was the architect of the nationally acclaimed “Do the Math” program at Cleveland State Community College and is now head of the math department at Chattanooga State Community College, where he is implementing course redesign throughout the department. John is the 2010 Cross Scholar for the League for Innovation and the author of the 13th Cross Paper which focuses on course redesign. As a redesign scholar for The National Center for Academic Transformation (NCAT), John speaks frequently on course redesign and has worked with both colleges and high schools on using technology to improve student learning.

                                                                                                                                                                                                                        Karen Wyrick is the current chair of the math department at Cleveland State Community College and has been teaching math there for more than 18 years. She is an outstanding instructor, as students have selected her as the college’s best instructor more than once, and she was recently awarded a 2011 AMATYC Teaching Excellence Award. Karen played an integral role in Cleveland State’s Bellwether Award-winning “Do the Math” redesign project, and she speaks frequently on course redesign at colleges throughout the nation and also serves as a redesign scholar for The National Center for Academic Transformation (NCAT).

                                                                                                                                                                                                                        In 2014, the Do the Math project at Cleveland State was awarded the first-ever Bellwether Legacy Award, which considers finalist programs with 5 or more years of proven results.