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11.5.4: Resolución de ecuaciones lineales en una variable: matemáticas


Los resultados del aprendizaje

  • Resuelve ecuaciones lineales para la variable.

Es una tarea común en álgebra resolver una ecuación para una variable. El objetivo será obtener la variable en un lado de la ecuación por sí sola y que el otro lado de la ecuación sea solo un número. El proceso implicará identificar las operaciones que se realizan en la variable y aplicar la operación inversa a ambos lados de la ecuación. Esto se gestionará en orden inverso al de las operaciones.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Resuelve la siguiente ecuación para (x ).

[3x + 4 = 11 etiqueta {EQ1.1} ]

Solución

Comenzamos observando las operaciones que se realizan en (x ), haciendo un seguimiento del orden. La primera operación es "multiplicar por 3" y la segunda es "sumar 4". Ahora hacemos todo al revés. Dado que la última operación es "sumar 4", nuestro primer paso es restar 4 de ambos lados de la Ecuación ref {EQ1.1}.

[3x cancel {+ 4} color {Cerulean} { cancel {-4}} color {black} = 11 color {Cerulean} {-4} nonumber ]

que simplifica la ecuación

[3x = 7 nonumber ]

A continuación, la forma de deshacer "multiplicar por 3" es dividir ambos lados por 3. Obtenemos

[ dfrac { cancel {3} x} { color {Cerulean} { cancel {3}}} color {black} = dfrac {7} { color {Cerulean} {3}} nonumber ]

o

[x = dfrac {7} {3} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

El rectángulo de arriba es un diagrama para una distribución uniforme de 2 a 9 que pide el primer cuartil. El área del rectángulo rojo más pequeño que tiene una base de 2 a Q1 y una altura de 1/7 es 1/4. Encuentre Q1.

Solución

Comenzamos usando la fórmula del área para un rectángulo:

[ text {Área} = text {Base} times text {Altura} etiqueta {EQ1} ]

Tenemos:

  • Área = ( frac {1} {4} )
  • Base = (Q1-2 )
  • Altura = ( frac {1} {7} )

Conecte esto a la Ecuación ref {EQ1} para obtener:

[ frac {1} {4} = left (Q1-2 right) left ( frac {1} {7} right) label {EQ2} ]

Necesitamos resolver (Q1 ). Primero, multiplique ambos lados de la Ecuación ref {EQ2} por 7 para obtener:

[ begin {align} color {Cerulean} {7} color {black} left ( dfrac {1} {4} right) & = color {Cerulean} { cancel {7}} color {negro} left (Q1-2 right) cancel { left ( frac {1} {7} right)} nonumber [5pt] dfrac {7} {4} & = Q1-2 label {EQ4} end {align} ]

Ahora agregue 2 a ambos lados de la Ecuación ref {EQ4} para obtener:

[ begin {align *} dfrac {7} {4} color {Cerulean} +2 color {black} & = Q1 cancel {-2} color {Cerulean} { cancel {+2}} [5pt] dfrac {7} {4} + 2 & = Q1 end {align *} ]

o

[Q1 = frac {7} {4} +2 nonumber ]

Poner esto en una calculadora da:

[Q1 = 3.75 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): puntuación z

La puntuación z para un valor dado (x ) para una distribución con media poblacional ( mu ) y desviación estándar poblacional ( sigma ) viene dada por:

[z = frac {x- mu} { sigma} nonumber ]

Un minorista en línea descubrió que la población media de ventas por día es de $ 2,841 y la desviación estándar de la población es de $ 895. Un valor de (x ) se considera un valor atípico si la puntuación z es menor que -2 o mayor que 2. ¿Cuántas ventas se deben realizar para tener una puntuación z de 2?

Solución

Primero identificamos cada una de las variables dadas. Dado que la media de la población es 2.841, tenemos:

[ mu = 2841 nonumber ]

Se nos dice que la desviación estándar de la población es de 895 metros, entonces:

[ sigma = 895 nonumber ]

También se nos da que la puntuación z es 2, por lo tanto:

[z = 2 nonumber ]

Ahora ponemos los números en la fórmula para que el puntaje z obtenga:

[2 = frac {x-2841} {895} nonumber ]

A continuación, podemos cambiar el orden de la ecuación para que (x ) esté en el lado izquierdo de la ecuación:

[ frac {x-2841} {895} = 2 nonumber ]

A continuación, resolvemos (x ). Primero multiplica ambos lados de la ecuación por 895 para obtener

[x-2841 = 2 left (895 right) = 1790 nonumber ]

Finalmente, podemos sumar 2841 a ambos lados de la ecuación para obtener (x ) por sí mismo:

[x = 1790 + 2841 = 4631 nonumber ]

Podemos concluir que si las ventas del día son de $ 4631, el puntaje z es 2.

Ejercicio

El rectángulo de abajo es un diagrama para una distribución uniforme de 5 a 11 que pide el 72Dakota del Norte percentil. El área del rectángulo rojo más pequeño que tiene una base de 5 a 72Dakota del Norte percentil, (x ), y la altura 1/6 es 0,72. Encuentra (x ).

  • Resolver ecuaciones de dos pasos: conceptos básicos
  • Resolver ecuaciones lineales

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11.5.4: Resolución de ecuaciones lineales en una variable: matemáticas

En esta sección vamos a echar un vistazo a un tema que a menudo no recibe la cobertura que merece en una clase de Álgebra. Probablemente esto se deba a que no se usa en más de un par de secciones en una clase de Álgebra. Sin embargo, este es un tema que puede, y a menudo se usa, ampliamente en otras clases.

Lo que haremos aquí es resolver ecuaciones que tienen más de una variable. El proceso por el que pasaremos aquí es muy similar a la resolución de ecuaciones lineales, que es una de las razones por las que se está introduciendo en este momento. Sin embargo, hay una excepción a eso. A veces, como veremos, el orden del proceso será diferente para algunos problemas. Aquí está el proceso en el orden estándar.

  1. Multiplica ambos lados por la pantalla LCD para borrar las fracciones.
  2. Simplifique ambos lados tanto como sea posible. Esto a menudo significará borrar los paréntesis y cosas por el estilo.
  3. Mueva todos los términos que contienen la variable que estamos resolviendo a un lado y todos los términos que no contienen la variable al lado opuesto.
  4. Obtenga una sola instancia de la variable que estamos resolviendo en la ecuación. Para los tipos de problemas que veremos aquí, esto casi siempre se logrará simplemente factorizando la variable de cada uno de los términos.
  5. Dividir por el coeficiente de la variable. Este paso tendrá sentido a medida que solucionemos los problemas. Tenga en cuenta también que en estos problemas el "coeficiente" probablemente contendrá otras cosas además de números.

Por lo general, es más fácil ver con qué vamos a trabajar y cómo funcionan con un ejemplo. También daremos el proceso básico para resolverlos dentro del primer ejemplo.

Lo que buscamos aquí es una expresión en la forma,

En otras palabras, el único lugar donde queremos ver una (r ) es en el lado izquierdo del signo igual por sí solo. No debe haber otras (r ) en ninguna parte de la ecuación. El proceso dado anteriormente debería hacer eso por nosotros.

Bien, hagamos este problema. No tenemos fracciones, por lo que no tenemos que preocuparnos por eso. Para simplificar, multiplicaremos (P ) por el paréntesis. Hacer esto da,

Ahora, necesitamos obtener todos los términos con una (r ) en un lado. Esta ecuación ya tiene eso configurado para nosotros, lo cual es bueno. A continuación, necesitamos obtener todos los términos que no tengan una (r ) en el otro lado. Esto significa restar a (P ) de ambos lados.

Como paso final, dividiremos ambos lados por el coeficiente de (r ). Además, como se señaló en el proceso enumerado anteriormente, el "coeficiente" no es un número. En este caso lo es Pt. En esta etapa, el coeficiente de una variable es simplemente todo lo que multiplica la variable.

Para obtener una respuesta final, seguimos adelante y cambiamos el orden para obtener la respuesta en una forma más "estándar".

Trabajaremos más ejemplos en un momento. Sin embargo, observemos un par de cosas primero. Estos problemas tienden a parecer bastante difíciles al principio, pero si lo piensas, lo único que hicimos fue usar exactamente el mismo proceso que usamos para resolver ecuaciones lineales. La principal diferencia, por supuesto, es que hay más "desorden" en este proceso. Eso nos lleva al segundo punto. No se entusiasme con el lío de estos problemas. Los problemas, en ocasiones, serán un poco complicados, ¡pero los pasos involucrados son pasos que puede seguir! Finalmente, la respuesta no será un número simple, pero nuevamente será un poco desordenado, a menudo más desordenado que la ecuación original. Eso está bien y es de esperar.

Trabajemos con algunos ejemplos más.

Éste es bastante similar al primer ejemplo. Sin embargo, funciona de manera un poco diferente. ¿Recuerda el primer ejemplo que hicimos el comentario de que a veces es necesario cambiar el orden de los pasos en el proceso? Bueno, eso es lo que vamos a hacer aquí.

El primer paso del proceso nos dice que eliminemos las fracciones. Sin embargo, dado que la fracción está dentro de un paréntesis, primero multipliquemos (m ) por el paréntesis. Observe también que si multiplicamos (m ) hasta primero, de hecho eliminaremos una de las fracciones automáticamente. Esto facilitará un poco nuestro trabajo cuando eliminemos las fracciones.

Ahora, elimina las fracciones multiplicando ambos lados por (b ). También avanzaremos, trasladaremos todos los términos que no tengan una (R ) al otro lado.

[empezarVb & = m - 5abR Vb - m & = - 5abR end]

¡Tenga cuidado de no perder el signo menos delante del 5! Es muy fácil perder de vista eso. El paso final es luego dividir ambos lados por el coeficiente de (R ), en este caso -5ab.

Observe también que hicimos alguna manipulación del signo menos que estaba en el denominador para poder simplificar un poco la respuesta.

En el ejemplo anterior, resolvimos (R ), pero no hay razón para no resolver una de las otras variables en los problemas. Por ejemplo, considere el siguiente ejemplo.

Los primeros pasos son idénticos al ejemplo anterior. Primero, multiplicaremos (m ) a través del paréntesis y luego multiplicaremos ambos lados por (b ) para despejar las fracciones. Ya hicimos este trabajo, así que del ejemplo anterior tenemos,

En este caso, tenemos (b ) a ambos lados del signo igual y necesitamos todos los términos con (b ) en un lado de la ecuación y todos los demás términos en el otro lado de la ecuación. En este caso, podemos eliminar los signos menos si recopilamos las (b ) en el lado izquierdo y los otros términos en el lado derecho. Hacer esto da,

Ahora, ambos términos en el lado derecho tienen un (b ) en ellos, así que si factorizamos eso de ambos términos llegamos a,

Finalmente, divida por el coeficiente de (b ). Recuerde también que el "coeficiente" es todo lo que multiplica (b ). Hacer esto da,

Primero, multiplique por el LCD, que es (abc ) para este problema.

A continuación, reúna todas las (c ) de un lado (la izquierda probablemente sea más fácil aquí), factorice a (c ) de los términos y divida por el coeficiente.

Primero, necesitaremos borrar el denominador. Para hacer esto, multiplicaremos ambos lados por (5x - 9 ). También borraremos cualquier paréntesis en el problema después de hacer la multiplicación.

Ahora, queremos resolver para (x ) de modo que eso significa que necesitamos obtener todos los términos sin (y ) en ellos al otro lado. Entonces, suma 9 (y ) a ambos lados y divide por el coeficiente de (x ).

Este es muy similar al ejemplo anterior. Aquí está el trabajo para este problema.

[empezary left (<1 + 8x> right) & = 4 - 3x y + 8xy & = 4 - 3x 8xy + 3x & = 4 - y x left (<8y + 3> right ) & = 4 - y x & = frac << 4 - y >> << 8y + 3 >> end]

Como se mencionó al comienzo de esta sección, no veremos este tipo de problema con tanta frecuencia en esta clase. Sin embargo, fuera de esta clase (una clase de Cálculo, por ejemplo), este tipo de problema aparece con una regularidad sorprendente.


11.5.4: Resolver ecuaciones lineales en una variable - Matemáticas

Resuelve 12.5 + X = -7.5.

Como se suma 12,5 a la variable, reste 12,5 para aislar la variable.

Para mantener la ecuación balanceada, reste 12.5 a ambos lados de la ecuación.

Los ejemplos anteriores a veces se denominan ecuaciones de un paso porque solo requieren un paso para resolver. En estos ejemplos, sumaste o restaste un constante de ambos lados de la ecuación para aislar la variable y resolver la ecuación.

¿Qué harías para aislar la variable en la siguiente ecuación, usando solo un paso?

A) Suma 10 a ambos lados de la ecuación.

B) Reste 10 del lado izquierdo de la ecuación solamente.

C) Suma 65 a ambos lados de la ecuación.

D) Restar 10 a ambos lados de la ecuación.

A) Suma 10 a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Sumar 10 a ambos lados de la ecuación da una ecuación equivalente, X + 20 = 65 + 10, pero este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Reste 10 de ambos lados de la ecuación.

B) Reste 10 del lado izquierdo de la ecuación solamente.

Incorrecto. Restar 10 del lado izquierdo aislará la variable, pero restar 10 de un solo lado de la ecuación no mantiene la ecuación balanceada. De acuerdo con las propiedades de la igualdad, debes realizar la misma operación exacta a cada lado de la ecuación, por lo que también debes restar 10 de 65 para mantener la ecuación balanceada. La respuesta correcta es: Reste 10 de ambos lados de la ecuación.

C) Suma 65 a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Este paso no aislará la variable. Solo dará una ecuación equivalente. X + 10 + 65 = 65 + 65. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.

D) Restar 10 a ambos lados de la ecuación.

Correcto. Restar 10 de cada lado de la ecuación produce una ecuación equivalente con la variable aislada para dar la solución: X + 10 - 10 = 65 - 10, entonces X = 55.

¿Qué harías para aislar la variable en la siguiente ecuación, usando solo un paso?

A) Resta de ambos lados de la ecuación.

B) Suma a ambos lados de la ecuación.

C) Resta de ambos lados de la ecuación.

D) Suma a ambos lados de la ecuación.

A) Resta de ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Restar de ambos lados de la ecuación da la ecuación, que es lo mismo que. Sin embargo, este paso no hace que la variable esté sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Sume ambos lados de la ecuación.

B) Suma a ambos lados de la ecuación.

Correcto. Sumar a cada lado de la ecuación produce una ecuación equivalente y aísla la variable:, entonces.

C) Resta de ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Restar de ambos lados dará como resultado la expresión equivalente, que se puede reescribir, pero este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Sume ambos lados de la ecuación.

D) Suma a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Sumar a ambos lados dará como resultado la expresión equivalente, que se puede reescribir, o pero este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Sume ambos lados de la ecuación.

Con cualquier ecuación, puede verificar su solución sustituyendo el valor de la variable en la ecuación original. En otras palabras, evalúas la ecuación original usando tu solución. Si obtiene una afirmación verdadera, entonces su solución es correcta.

Resolver X + 10 =65. Comprueba tu solución.

Como se suma 10 a la variable, reste 10 de ambos lados. Tenga en cuenta que restar 10 es lo mismo que sumar - 10.

Para comprobarlo, sustituya la solución, - 75 por X en la ecuación original.

Simplificar. Esta ecuación es verdadera, entonces la solución es correcta.

X = - 75 es la solución a la ecuación X + 10 = – 65.

Siempre es una buena idea comprobar su respuesta tanto si se solicita como si no.

Usar la propiedad multiplicativa de la igualdad

Así como puede sumar o restar la misma cantidad exacta en ambos lados de una ecuación, también puede multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad para escribir una ecuación equivalente. Veamos una ecuación numérica, 5 • 3 = 15, para empezar. Si multiplica ambos lados de esta ecuación por 2, aún tendrá una ecuación verdadera.

Esta característica de las ecuaciones se generaliza en la propiedad de multiplicación de la igualdad.

Propiedad multiplicativa de la igualdad

Para todos los números reales a , B , y C : Si a = B , luego aC = BC (o ab = C.A ).

Si dos expresiones son iguales entre sí y multiplica ambos lados por el mismo número, las expresiones resultantes también serán equivalentes.

Cuando la ecuación implica multiplicación o división, puede "deshacer" estas operaciones utilizando la operación inversa para aislar la variable. Cuando la operación es multiplicación o división, su objetivo es cambiar el coeficiente a 1, la identidad multiplicativa.

Resolver 3X = 24. Compruebe su solución.

Divida ambos lados de la ecuación por 3 para aislar la variable (tenga un coeficiente de 1).

Dividir por 3 es lo mismo que multiplicar por.

Verifique sustituyendo su solución, 8, por la variable en la ecuación original.

También puede multiplicar el coeficiente por el inverso multiplicativo (recíproco) para cambiar el coeficiente a 1.

Sol ve . Comprueba tu solución.

El coeficiente de es. Dado que el inverso multiplicativo de es 2, puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para obtener un coeficiente de 1 para la variable.


Ecuaciones lineales simultáneas

Las ecuaciones simultáneas son un conjunto de dos o más ecuaciones, cada una de las cuales contiene dos o más variables cuyos valores pueden satisfacer simultáneamente ambas o todas las ecuaciones del conjunto, siendo el número de variables igual o menor que el número de ecuaciones del conjunto.

Ecuaciones lineales simultáneas
Las ecuaciones lineales simultáneas son un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con 2 o más variables. La solución del sistema de ecuaciones lineales simultáneas es el par ordenado (x, y) si el conjunto tiene dos ecuaciones lineales y (x, y, z….) Si tiene más ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales simultáneas con 2 variables

Ejemplo 1: $ Displaystyle left < begin3x-y = 1 x + y = 3 end right. $

Métodos para resolver ecuaciones lineales simultáneas.

Método gráfico
Simultáneo significa al mismo tiempo que con ecuaciones lineales simultáneas que está tratando de encontrar el punto donde se cruzan dos líneas, donde el valor de xey es el mismo para ambas ecuaciones. Solo hay un punto donde el valor de xey son iguales para ambas ecuaciones, aquí es donde las líneas se cruzan (la intersección). Esta es la solución gráfica simultánea.

Ejemplo 2: Resuelve $ displaystyle left < begin3x-y = 1 x + y = 3 end right. $ gráficamente.

Solución: Dibuja cada una de las líneas rectas en el plano coordinativo.

En primer lugar, encuentre algunos puntos de ayuda (x, y) de nuestra primera ecuación 3x-y = 1.
Dibujarlos en el plano coordinativo y unirlos con una línea recta d 1.

En segundo lugar, encuentre algunos puntos de ayuda (x, y) de nuestra segunda ecuación x + y = 3.
Dibuja cada uno de ellos por separado en el plano coordinativo y únelos con una línea recta d 2.

El punto (1,2) donde esas dos líneas rectas se cruzan es la solución gráfica de nuestra ecuación lineal simultánea con dos variables.

Método de sustitución
El método de sustitución consiste en usar una de las ecuaciones para obtener una expresión de la forma & # 8220y = & # 8221 o & # 8220x = & # 8221 y luego sustituirla en la otra ecuación, lo que da como resultado una ecuación con solo una incógnita. Después de resolver esta ecuación, el valor que encontramos lo sustituimos en una de las ecuaciones de nuestro sistema inicial. Así es como encontramos nuestro par (x, y) que es la solución.

Ejemplo 3: Resuelve $ displaystyle left < begin3x-y = 1 x + y = 3 end right. $ utilizando el método de sustitución.

primeramente manipulamos las ecuaciones de manera que una variable se defina en términos de la otra. Puede elegir la ecuación o variable que desee, pero para simplificarlo, debe elegir la que parezca más fácil de reorganizar. En nuestro caso elegimos la ecuación x + y = 3 y definimos y ya que en nuestra primera ecuación y es una variable simple con el coeficiente 1.
x + y = 3
y = 3 & # 8211 x

en segundo lugar sustituimos la variable y que definimos en nuestra otra ecuación, en nuestro caso en la primera ecuación.

3x & # 8211 (3-x) = 1
3x & # 8211 3 + x = 1
4x & # 8211 3 = 1
4x = 1 + 3 = 4
X = 1

En tercer lugar el valor x que encontramos lo sustituimos por la otra ecuación para encontrar y. Así es como encontramos nuestro par (x, y) que es la solución del sistema.

y = 3 & # 8211 x
x = 1
y = 3 & # 8211 1
y = 2

La solución es el par (1, 2)

Al final, probamos la solución que encontramos en la otra ecuación para demostrar que es la correcta.
(x, y) = (1, 2)
3x & # 8211 y = 1
(3 × 1) – 2 = 1
3 – 2 = 1

Método de eliminación
El método de eliminación también se denomina método de adición. Consiste en sumar o restar las ecuaciones para obtener una ecuación en una variable. Si los coeficientes de una variable son opuestos, entonces sumamos las ecuaciones y si los coeficientes son iguales, resta las ecuaciones para eliminar las variables.

Sugerencia: "Asegúrese de que todos los términos semejantes y los signos iguales estén en las mismas columnas"

Si no tiene ecuaciones en las que pueda eliminar una variable sumando o restando, entonces debe multiplicar una o ambas ecuaciones para fijar los coeficientes de manera adecuada para obtener un sistema equivalente para eliminar una variable sumando o restando las ecuaciones. .

Ejemplo 4: Resuelve $ displaystyle left < begin3x-y = 1 x + y = 3 end right. $ utilizando el método de eliminación.

Solución: $ displaystyle left < begin3x-y = 1 x + y = 3 end right. $

primeramente dado que los coeficientes de la variable y son opuestos, sumamos las ecuaciones para obtener una ecuación con una variable.

en segundo lugar el valor de x se puede sustituir en una de las ecuaciones de nuestro sistema.

x = 1
x + y = 3
1 + y = 3
y = 3 & # 8211 1
y = 2

La solución es el par (1,2)

Ejemplo 5: Resuelve $ displaystyle left < beginx + 2y = 2 3x + y = 1 end right. $ utilizando el método de eliminación.

Solución: En este caso, no podemos eliminar una variable usando la suma o la resta para obtener una ecuación con una variable. Lo que tenemos que hacer es multiplicar una o ambas ecuaciones de nuestro sistema para fijar los coeficientes y eliminar una variable. Tenemos que ver qué variable es más fácil de eliminar. En nuestro sistema, ambas variables pueden eliminarse fijando los coeficientes. Podemos eliminar la variable x multiplicando la primera ecuación por -3 o podemos eliminar la variable y multiplicando la segunda ecuación por -2.

Eliminando la variable x multiplicando la primera ecuación por -3.
$ Displaystyle x + 2y = 2 Leftrightarrow -3x-6y = -6 $


Ecuaciones lineales de octavo grado en hojas de trabajo de una variable

1. La solución de 2x & # 8211 3 = 7 es:
(a) 2
(b) -2
(c) 5
(d) -5

2. ¿Cuál de las siguientes no es una ecuación lineal?
(a) 2x + 5 = 1
(b) x & # 8211 1 = 0
(c) y + 1 = 0
(d) 5x + 3

3. La edad actual de la madre de Sahil es tres veces la edad actual de Sahil. Después de 5 años, sus edades se sumarán a 66 años. Encuentra la edad actual de Sahil.
(a) 12
(b) 14
(c) 16
(d) 20

4. Encuentre la solución de 2x + 3 = 7
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Ninguno de estos

5. Resolver: 8x = 20 + 3x
(a) 4
(b) -4
(c) 2
(d) Ninguno de estos

6. Resolver:
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Ninguno de estos

7. Resolver:
(a) 12
(b) -12
(c) 3
(d) Ninguno de estos

8. Encuentra la solución de
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Ninguno de estos

9. Encuentra la solución de
(a) 8
(b) -8
(c) 4
(d) Ninguno de estos

10. Resolver: 8x + 3 = 27
(a) 3
(b) -3
(c) 2
(d) Ninguno de estos

11. Resolver: 5x & # 8211 7 = 2x + 8
(a) 5
(b) -9
(c) 5
(d) 9

12. El perímetro de un rectángulo es de 13 cm y su ancho es de 2 cm. Encuentra su longitud en cm
(a) 3
(b) -3
(c) 2
(d) Ninguno de estos

13. Dos números tienen una proporción de 5: 3. Si difieren en 18, ¿cuáles son los números?
(a) 45, 27
(b) 50, 32
(c) 40, 22
(d) Ninguno de estos

14. Resolver: 2x -3 = x + 2
(a) 5
(b) -9
(c) 5
(d) 9

15. Resolver: 3x = 2x + 18
(a) 18
(b) -18
(c) 14
(d) Ninguno de estos

16. Resolver: 5t & # 8211 3 = 3t & # 8211 5
(a) 1
(b) -1
(c) 2
(d) Ninguno de estos

17. Resolver: 5x + 9 = 5 + 3x
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Ninguno de estos

18. Resolver: 4z + 3 = 6 + 2z
(a)
(b) & # 8211
(c) 2
(d) Ninguno de estos

19. Resolver: 2x & # 8211 1 = 14 & # 8211 x
(a) 5
(b) -9
(c) 5
(d) 9

20. Resolver: 8x + 4 = 3 (x & # 8211 1) + 7
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) Ninguno de estos

Ecuación lineal de matemáticas de clase 8 en una solución variable

1. Resuelve: 2y + 9 = 4
2. Resuelve:
3. Resuelve: & # 8211 7x = 9
4. Resuelve: x & # 8211 2 = 7
5. Resuelve: y + 3 = 10
6. Resuelve: 6 = z + 2
7. Resuelve: 6x = 12
8. Resuelve: = 10
9. Resuelve: = 18
10. Resolver: 7x & # 8211 9 = 12

Ecuación lineal de matemáticas de clase 8 en una variable Preguntas de tipo de respuesta corta

1. Los ángulos interiores de un triángulo están en la proporción 2: 3: 4. Halla los ángulos del triángulo.
2. Si el padre tiene el doble de edad que su hijo y también 32 años más que su hijo. ¿Cual es la edad del padre?
Resolver para: 8x + 25 = 4x +105
4. Los lados del rectángulo tienen una proporción de 15: 4. Si el perímetro del rectángulo es de 38 cm, entonces encuentra los lados del rectángulo.
5. Forme una ecuación de “7 sumado a tres veces un número es 118” y también encuentre el número.
6. Si la suma de dos números es 29 y uno de ellos es 18. Forme la ecuación para encontrar el otro número.

Ecuación lineal de matemáticas de clase 8 en una variable Preguntas de tipo de respuesta larga

1. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 9. Si se agrega 9 al número, sus dígitos se intercambian. Encuentra el número.
2. La suma de los dos números es 5 y la diferencia de sus cuadrados es 5. ¿Halla la diferencia de los números?
3. La suma de cuatro números naturales consecutivos es 166. ¿Cuáles son los números?
4. Un hombre ₹ x. Le dio la mitad a su esposa, a su hijo y $ 1200 de su hija. Forme una ecuación y también encuentre x.
5. ¿Para qué valor de y es el perímetro de la forma 220 cm?


Preguntas del ejercicio 2.2

P1) Si restas frac <1> <2> de un número y multiplicas el resultado por frac <1> <2>, obtienes frac <1> <8>. ¿Cual es el número?

Q2) El perímetro de una piscina rectangular es de 154 m. Su longitud es de 2 m más que el doble de su anchura. ¿Cuáles son el largo y el ancho?

Q3) La base de un triángulo isósceles es frac <4> <3> cm. El perímetro del triángulo es 4 frac <2> <15> cm. ¿Cuál es la longitud de cualquiera de los lados iguales restantes?

P4) La suma de dos números es 95. Si uno excede al otro por 15, encuentre los números.

P5) Dos números tienen una proporción de 5: 3. Si difieren en 18, ¿cuáles son los números?

P6) Tres números enteros consecutivos suman 51. ¿Cuáles son estos números enteros?

Q7) La suma de tres múltiplos consecutivos de 8 es 888. Halla múltiplos.

Q8) Tres números enteros consecutivos son tales que cuando se toman en orden creciente y se multiplican por 2, 3 y 4 respectivamente, suman 74. Calcula estos números.

P9) Las edades de Rahul y Haroon están en una proporción de 5: 7. Cuatro años después, la suma de sus edades será de 56 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

P10) El número de niños y niñas en una clase está en la proporción 7: 5. El número de niños es 8 más que el número de niñas. ¿Cuál es la fuerza total de la clase?

P11) El padre de Baichung es 26 años menor que el abuelo de Baichung y 29 años mayor que Baichung. La suma de las edades de los tres es 135 años. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

P12) Dentro de quince años, la edad de Ravi será cuatro veces mayor que la actual. ¿Cuál es la edad actual de Ravi?

P13) Un número racional es tal que cuando lo multiplica por frac <5> <2> y agrega frac <2> <3> al producto, obtiene - frac <7> <12>. ¿Cual es el número?

Q14) Lakshmi es cajera en un banco. Tiene billetes de las denominaciones 100, 50 y 10 respectivamente. La proporción del número de estas notas es 2: 3: 5. El efectivo total con Lakshmi es 4,00,000. ¿Cuántos billetes de cada denominación tiene?

P15) Tengo un total de 300 en monedas de denominación 1, 2 y 5. El número de 2 monedas es 3 veces el número de 5 monedas. El número total de monedas es 160. ¿Cuántas monedas de cada denominación tengo conmigo?

P16) Los organizadores de un concurso de ensayos deciden que un ganador del concurso recibe un premio de 100 y un participante que no gana, recibe un premio de 25. El premio total en metálico distribuido es de 3.000. Calcule que el número de participantes es 63.

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P1) Si restas frac <1> <2> de un número y multiplicas el resultado por frac <1> <2>, obtienes frac <1> <8>. ¿Cual es el número?

Q2) El perímetro de una piscina rectangular es de 154 m. Su longitud es de 2 m más que el doble de su anchura. ¿Cuáles son el largo y el ancho?

Q3) La base de un triángulo isósceles es frac <4> <3> cm. El perímetro del triángulo es 4 frac <2> <15> cm. ¿Cuál es la longitud de cualquiera de los lados iguales restantes?

P4) La suma de dos números es 95. Si uno excede al otro por 15, encuentre los números.

P5) Dos números tienen una proporción de 5: 3. Si difieren en 18, ¿cuáles son los números?

P6) Tres números enteros consecutivos suman 51. ¿Cuáles son estos números enteros?

Q7) La suma de tres múltiplos consecutivos de 8 es 888. Halla múltiplos.

Q8) Tres números enteros consecutivos son tales que cuando se toman en orden creciente y se multiplican por 2, 3 y 4 respectivamente, suman 74. Calcula estos números.

P9) Las edades de Rahul y Haroon están en una proporción de 5: 7. Cuatro años después, la suma de sus edades será de 56 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

P10) El número de niños y niñas en una clase está en la proporción 7: 5. El número de niños es 8 más que el número de niñas. ¿Cuál es la fuerza total de la clase?

P11) El padre de Baichung es 26 años menor que el abuelo de Baichung y 29 años mayor que Baichung. La suma de las edades de los tres es 135 años. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

P12) Dentro de quince años, la edad de Ravi será cuatro veces mayor que la actual. ¿Cuál es la edad actual de Ravi?

P13) Un número racional es tal que cuando lo multiplica por frac <5> <2> y agrega frac <2> <3> al producto, obtiene - frac <7> <12>. ¿Cual es el número?

Q14) Lakshmi es cajera en un banco. Tiene billetes de las denominaciones 100, 50 y 10 respectivamente. La proporción del número de estas notas es 2: 3: 5. El efectivo total con Lakshmi es 4,00,000. ¿Cuántos billetes de cada denominación tiene?

P15) Tengo un total de 300 en monedas de denominación 1, 2 y 5. El número de 2 monedas es 3 veces el número de 5 monedas. El número total de monedas es 160. ¿Cuántas monedas de cada denominación tengo conmigo?

P16) Los organizadores de un concurso de ensayos deciden que un ganador del concurso recibe un premio de 100 y un participante que no gana, recibe un premio de 25. El premio total en metálico distribuido es de 3.000. Calcule que el número de participantes es 63.


11.5.4: Resolver ecuaciones lineales en una variable - Matemáticas

¿Puede tener la respuesta: + -3

0 = -0,92A + 0,632B + 0,264C + 0,08D
0 = 0.184A -0.632B + 0.368C + 0.184D
0 = 0.368A + 0B -0.632C + 0.368D
0 = 0.368A + 0B + 0C -0.632D

La respuesta correcta es:
A: 0.285654
B: 0,284835
C: 0,263181
D: 0,16633

Dado que sus ejemplos sugieren números de punto flotante de tipo literal de código fuente, sugeriría agregar el análisis de InvariantCulture a la siguiente línea

No sé si existía esa biblioteca cuando escribí esto. Tampoco estoy seguro de si existía cuando publiqué esto.

¿Esa biblioteca tiene matrices dispersas?

¿Eso resuelve sistemas de ecuaciones mal condicionados?

¿Esa biblioteca identifica cuándo las ecuaciones están demasiado mal acondicionadas para resolverlas con la precisión de punto flotante actual?

Esas son preguntas importantes.

Si todas las respuestas a esas preguntas son "sí", entonces usar la biblioteca Math.net es una opción viable para reemplazar el código de resolución de ecuaciones en este artículo.

Además, originalmente escribí esto en C y C ++, porque quiero portabilidad, que es solo un concepto teórico con .NET. Este artículo es el puerto del código C ++ a C #. También publiqué el código C ++ para resolver ecuaciones lineales aquí en el proyecto de código. La mayor parte del código que escribo está en C y C ++.

There are faster algorithms, although these usually will not provide a good solution if the equations are ill-conditioned. If your equations are not ill-conditioned, those might perform a bit better, however, it will probably still seem slow.

5000 equations results in a 5000 X 5000 matrix, and although the matrix is stored in sparse form, the values at all indices are used in the calculations. So, there are 25,000,000 values.

The number of operations is approximately proportional to the cube of the matrix size. For sufficiently large matrices, the solver will be slow.

Update: I thought I was writing about the C++ solver I wrote. There is an equation solver article I wrote with C++ code. That will run somewhat faster. However, that does not have a GUI, it's merely the algorithm and a simple parser.

The purpose of a Sparse Matrix it to save space, not to avoid calculations.

Perhaps there is some way to take advantage of the sparseness of the matrix in the algorithm, but this would be very complicated and it's not immediately clear to me how to code this. While a sparse container is slower than a two-dimensional array because the fixed look-up-time is longer, I suspect the effect of some hypothetical algorithm that took advantage of sparseness would add so much overhead that the algorithm would run extremely slowly if the matrix was not sparsely populated with non-zero values.

Also, the primary advantage of the mathematical algorithm used is that it can solve ill-conditioned systems of equations. The algorithm is independent of the container used to store the matrix. If you can defined a maximum limit on the size of the matrix (or equivalently, a maximum limit on the number of equations), you could recode this to use a two dimensional array for the matrix and a one-dimensional array for the vectors, and the code would run faster.

I am not aware of other solutions to solve ill-conditioned systems of equations. They probably exist.

If your systems are not ill-conditioned, although it is often difficult to know that up-front, then you could use regular Gaussian Elimination without all the extra calculations in this algorithm, or you could use number of other simpler algorithms. These simpler algorithms typically invert the matrix and multiple the matrix times the b vector.

There are commercial libraries that solve systems of equations too. I don't want to post the name of any specific commercial solution because I am not up-to-date on which are the best for this particular application.

If you want to know the solution is correct, use the C++ code I posted here, which is the same algorithm as used here. That will run considerably faster than this C# code, but it uses exactly the same algorithm.

The vast majority of the solutions at the Wiki page you cited are optimized for speed, not for solving ill-conditioned equations. Most of them don't even solve equations, they provide basic matrix operations, adding, multiplying, etc.. From looking at the papers and the limited documentation I found, I cannot tell if any of them will handle the problems this algorithm will handle.

In the early 1980s, (1981, I think), when I first wrote this code in C, which I later ported to C++ with sparse arrays, there were no good linear equation solvers available for free. Most solvers on that Wiki page are much newer than the code I wrote. If you count the first C variant of this code, which lead to this code, the C++ code has been tested on and off for over 3 decades!

The C# code is a recent port of the C++ code, so I could have introduced bugs, although I have done extensive testing and I have found none so far. The algorithm for that code has not changed in 30 years. If I introduced any bugs, it would be in the sparse array code. The other linear equation solver code is almost identical to the original C code.

Check out the reference I cited. Then check out the papers used for those solvers cited on the Wiki page, and check out the documentation for those solvers, particularly the return values for error cases. I think you will find that illuminating.

The code I wrote is slower than some of those, but for a circuit analysis program, getting the right answer is more important than speed, and the circuit equations can become very ill-conditioned, particularly near resonances. Most ordinary solutions, even some that cost money, don't solve such problems.

And, some of those solutions use much more memory for large systems of sparse equations, and many equation sets that occur in electronics and physics are sparse.

Finally, I don't want to use non-portable packages, which eliminates even more of those. If not for that, I might use one of those to do matrix multiplication, which is used in the algorithm. As written, the code can easily be moved between languages and platforms.

I have a long experience in parser generators and I have developed a simple grammar, resulting in a (C#) parser that can read your set of equations, and has some extra features (definition of constants, built-in functions, expressions instead of single numbers as coefficients, indexed variables). I think it can quite easily be incorporated in your program.

If you want, I can send you a sample screenshot to start with.

Thank you for your offer. A better parser would be great!

I know something about generating expression parsers, but I have not taken the time to implement one. I am sure you would create something better than I would, and in less time than it would take me.


11.5.4: Solving Linear Equations in One Variable - Mathematics

Here's how you go about it :

Delete the line with graphics.h and remove the line clrscr()

Cubic equations DO have a closed form solution - a google (or wikipedia) search will lead you to the right algorithims. In brief, a cubic equation can either have ONE real root and TWO imaginary roots, or it can have THREE real roots. In the first case, the solution is actually rather simple, as the cubic can be decomposed into a pair of equations, one linear and the other quadratic. In the latter, it's a bit of a mess of algebra, and you have to decide which of the 3 roots you want in the end.

Sir, how do I decompose a cubic equation?

A good place to check for reference is

The algebra is literally too long to post here. But the general description of the method is to first calculate the discriminant of the general cubic equation

18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2

If the descriminant is < 0, then the equation has one real and two imaginary roots. If the descriminant is >= 0, it has three real roots. If the descriminant is == 0, then at least two and possibly all three of the roots are equal (for instance, that is the case for x^3 = 0).

Then, depending on whether you are looking at three real roots, or one real and two imaginary roots, you can choose whichever flavor of the various algebraic methods described in wikipedia most appeals to you.

I will try the code once my long exams end

I have never heard of this method but this works great.

In order to solve a polinomial equatation of n-th degreee (cubical is 3rd) "Newtons Method" will do the job. It's an approximate method.
Google for it - there are many good descriptions/and pseudocode examples on the net - an code it.

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Solving Linear Equations using Matrix Algebra

Understanding matrix is important to solve linear equations using matrices. A matrix is a rectangular array of numbers, arranged in rows and columns. A matrix could have m rows and n columns, which could be referenced as mxn matrix. The entry in the ith row and jth column is aij. We often write A=[aij]. Numbers that appear in the rows and columns of a matrix are called elements of the matrix. Solving the linear equation using matrix method is also called as matrix algebra, which is widely used in statistics and mathematics. Here is the free online calculator to solve linear equations of algebra using Matrices. This calculator will help you to solve linear equation of algebra very easily and dynamically.


Yours is a non linear equation . So you can use optimize.fsolve for it. For further details look for the function in this tutorial scipy

(I don't know why you mention scipy in your question when you use sympy in your code. I'll assume you are using sympy.)

Sympy can solve this equation if you specify an integer power for y (ie y**3.0 changed to y**3 ).

The following works for me using Sympy 0.6.7.

Assuming you mean you were trying to use sympy, as opposed to scipy, then you can get Sympy (works with v0.7.2+) to solve it by making a small adjustment to way you defined your equation - you just need to put a multiplication operator (*) in between the first 'y' and the '('. It doesn't appear to matter whether you specify the power as a float or not (but it's possible it was required in 0.6.7).