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11.4.3: Unión e intersección de dos conjuntos - Matemáticas


Los resultados del aprendizaje

  1. Encuentra la unión de dos conjuntos.
  2. Encuentra la intersección de dos conjuntos.
  3. Combinar uniones intersecciones y complementos.

Todas las clases de estadística incluyen preguntas sobre probabilidades que involucran la unión y las intersecciones de conjuntos. En inglés, usamos las palabras "O" y "Y" para describir estos conceptos. Por ejemplo, "Encuentre la probabilidad de que un estudiante esté tomando una clase de matemáticas o una clase de ciencias". Eso es expresar la unión de los dos conjuntos en palabras. "¿Cuál es la probabilidad de que una enfermera tenga una licenciatura y más de cinco años de experiencia trabajando en un hospital"? Eso es expresar la intersección de dos conjuntos. En esta sección aprenderemos a descifrar este tipo de oraciones y aprenderemos sobre el significado de uniones e intersecciones.

Sindicatos

Un elemento está en la unión de dos conjuntos si está en el primer conjunto, en el segundo conjunto o en ambos. El símbolo que usamos para la unión es ( cup ). La palabra que verá a menudo que indica una unión es "o".

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Unión de dos conjuntos

Dejar:

[A = left {2,5,7,8 right } nonumber ]

y

[B = lbrace1,4,5,7,9 rbrace nonumber ]

Encuentra (A cup B )

Solución

Incluimos en la unión todos los números que están en A o en B:

[A cup B = left {1,2,4,5,7,8,9 right } nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Unión de dos conjuntos

Considere la siguiente oración, "Calcule la probabilidad de que un hogar tenga menos de 6 ventanas o tenga una docena de ventanas". Escribe esto en notación de conjuntos como la unión de dos conjuntos y luego escribe esta unión.

Solución

Primero, sea A el conjunto del número de ventanas que representa "menos de 6 ventanas". Este conjunto incluye todos los números del 0 al 5:

[A = left {0,1,2,3,4,5 right } nonumber ]

A continuación, sea B el conjunto del número de ventanas que representa "tiene una docena de ventanas". Este es solo el conjunto que contiene el único número 12:

[B = left {12 right } nonumber ]

Ahora podemos encontrar la unión de estos dos conjuntos:

[A cup B = left {0,1,2,3,4,5,12 right } nonumber ]

Intersecciones

Un elemento está en la intersección de dos conjuntos si está en el primer conjunto y está en el segundo conjunto. El símbolo que usamos para la intersección es ( cap ). La palabra que verá a menudo que indica una intersección es "y".

Ejemplo ( PageIndex {3} ): intersección de dos conjuntos

Dejar:

[A = left {3,4,5,8,9,10,11,12 right } nonumber ]

y

[B = lbrace5,6,7,8,9 rbrace nonumber ]

Encuentra (A cap B ).

Solución

Solo incluimos en la intersección los números que están tanto en A como en B:

[A cap B = left {5,8,9 right } nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): intersección de dos conjuntos

Considere la siguiente oración, "Encuentre la probabilidad de que el número de unidades que toma un estudiante sea más de 12 unidades y menos de 18 unidades". Suponiendo que los estudiantes solo toman un número entero de unidades, escriba esto en notación de conjuntos como la intersección de dos conjuntos y luego escriba esta intersección.

Solución

Primero, sea A el conjunto de números de unidades que representa "más de 12 unidades". Este conjunto incluye todos los números que comienzan en 13 y continúan para siempre:

[A = left {13, : 14, : 15, : ... right } nonumber ]

A continuación, sea B el conjunto del número de unidades que representa "menos de 18 unidades". Este es el conjunto que contiene los números del 1 al 17:

[B = left {1, : 2, : 3, : ..., : 17 right } nonumber ]

Ahora podemos encontrar la intersección de estos dos conjuntos:

[A cap B = left {13, : 14, : 15, : 16, : 17 right } nonumber ]

Combinando uniones, intersecciones y complementos

Uno de los mayores desafíos en estadística es descifrar una oración y convertirla en símbolos. Esto puede ser particularmente difícil cuando hay una oración que no tiene las palabras "unión", "intersección" o "complemento", pero implícitamente se refiere a estas palabras. La mejor manera de dominar esta habilidad es practicar, practicar y practicar más.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Considere la siguiente oración: "Si lanza un dado de seis caras, calcule la probabilidad de que no sea par y no sea un 3". Escribe esto en notación de conjuntos.

Solución

Primero, sea A el conjunto de números pares y B el conjunto que contiene solo 3. Podemos escribir:

[A = left {2,4,6 right }, : : : B : = : left {3 right } nonumber ]

A continuación, dado que queremos "ni siquiera", debemos considerar el complemento de A:

[A ^ c = left {1,3,5 right } nonumber ]

De manera similar, dado que queremos "no un 3", debemos considerar el complemento de B:

[B ^ c = left {1,2,4,5,6 right } nonumber ]

Finalmente, notamos la palabra clave "y". Por lo tanto, se nos pide que encontremos:

[A ^ c cap B ^ c = : left {1,3,5 right } cap left {1,2,4,5,6 right } = left { 1,5 right } nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Considere la siguiente oración: "Si selecciona una persona al azar, calcule la probabilidad de que la persona tenga más de 8 años o sea menor de 6 y no menor de 3". Escribe esto en notación de conjuntos.

Solución

Primero, sea A el conjunto de personas mayores de 8 años, B el conjunto de personas menores de 6 años y C el conjunto de personas menores de 3 años. Podemos escribir:

[A = left {x mid x> 8 right }, : : : B : = : left {x mid x <6 right }, : C = left {x mid x <3 right } nonumber ]

Se nos pide que encontremos

[A cup left (B cap C ^ c right) nonumber ]

Observe que el complemento de " (<)" es " ( ge )". Por lo tanto:

[C ^ c = left {x mid x ge3 right } nonumber ]

A continuación encontramos:

[B cap C ^ c = left {x mid x <6 right } cap left {x mid x ge3 right } = left {x mid3 le x <6 right } nonumber ]

Finalmente, encontramos:

[A cup left (B cap C ^ c right) = : left {x mid x> 8 right } cup left {x mid3 le x <6 right } sin número ]

La forma más clara de mostrar esta unión es en una recta numérica. La siguiente recta numérica muestra la respuesta:

Ejercicio

Suponga que elegimos una persona al azar y estamos interesados ​​en encontrar la probabilidad de que el mes de nacimiento de la persona sea posterior a julio y no posterior a septiembre. Escribe este evento usando notación de conjuntos.

  • Ej .: encontrar la intersección de un conjunto y un complemento usando un diagrama de Venn
  • Intersección y complementos de conjuntos

11.4.3: Unión e intersección de dos conjuntos - Matemáticas

Lecturas para la sesión 7 - (continuación)

Unión de Conjuntos y Adición

¿Cómo se relaciona la operación de suma utilizada en el siguiente problema con los conjuntos?

Sam tenía dos cuentas de ahorro. Tenía $ 836 en una cuenta y $ 429 en otra cuenta. ¿Cuánto dinero tenía Sam ahorrado?

La primera cuenta es un conjunto de dólares donde el número entero 836 representa la cardinalidad del conjunto y la segunda cuenta es un conjunto de dólares con una cardinalidad de 429. Las dos cuentas son distintas, por lo tanto, los dos conjuntos no tienen ningún elemento ( dólares) en común. La suma, $ 836 + $ 429 = $ 1265, da un nuevo número entero que representa la cardinalidad de un nuevo conjunto que es la unión de los dos conjuntos (cuentas) disjuntos.
En esta sección, ilustramos las relaciones entre la suma de números enteros y la unión de conjuntos. Mostramos una diferencia en el proceso de suma cuando los dos conjuntos están separados y cuando su intersección no es el conjunto vacío.

Andy tiene dos aviones y Billy tiene tres aviones. ¿Cuántos aviones tienen en total?

En la imagen y el diagrama de Venn, hay dos conjuntos A y B. Observe que los conjuntos son inconexos, norte(A ) = 2, norte(B) = 3,
y norte(AB ) = 2 + 3 = 5.

Ann tiene $ 12 disponibles para gastar y Bob tiene $ 16 disponibles para gastar. Pero $ 7 de su dinero está en una cuenta conjunta. ¿Cuánto dinero tienen todos juntos?

En este diagrama de Venn, hay dos conjuntos A y B. Observe que los conjuntos son no desarticular, norte(A) = 12, norte(B) = 16,
pero ahora (AB) = 21 ≠ 12 + 16 = 28.

¿Puede explicar por qué no puede simplemente sumar 12 y 16 para hallar el total?

Darse cuenta de norte(AB) = norte(A) + norte(B) − norte(AB) y esta fórmula funciona para las dos situaciones del diagrama de Venn anteriores. Veremos esta relación nuevamente cuando estudiemos la probabilidad.

Los problemas anteriores que involucran conjuntos motivan la siguiente definición para la suma de números enteros.

Suma de números enteros: Dejar a = norte(A) y B = norte(B) dónde A y B son dos conjuntos finitos disjuntos. Luego a + B = norte(AB ).

Los números enteros a y B son llamados sumandos
y el resultado a + B se llama el suma .


Inserción del símbolo de unión (∪) e intersección (∩) en un archivo de texto para Flash 8

Trabajé en un cuestionario de matemáticas en Matemáticas para la teoría de conjuntos en el que las preguntas se introducen en un archivo de texto dentro de Flash. El instructor quiere incluir la unión (∪) y el símbolo de intersección (∩) en sus problemas, entonces, ¿qué hacer?

La buena noticia es que si puede crear un archivo de texto UTF-8 e insertar los símbolos, se importará en Flash (al menos en Flash 8.) Para matemáticas, su mejor opción es usar la utilidad de mapa de caracteres de Windows e insertar los símbolos en un archivo de texto del Bloc de notas o utilice la paleta de caracteres de Macintosh con un archivo de texto Text Edit o BBEdit. Desafortunadamente, el proceso todavía es un poco torpe en ambas plataformas, pero es mejor que en 2005.

Ventanas

Tienes que abrir tanto el Bloc de notas (Inicio »Accesorios) como el Mapa de caracteres (Inicio» Accesorios »Herramientas del sistema)

Para el mapa de caracteres de Windows, es un proceso medio torpe. Tienes que cambiar la fuente a Arial Unicode MS (porque tiene todos los símbolos matemáticos), luego desplácese hacia abajo hasta la ventana hasta que vea la sección matemática. Luego, debe seleccionar, copiar y pegar cada símbolo en el Bloc de notas.

En Bloc, cuando guarde el archivo, debe asegurarse de que el menú de codificación bajo el nombre del archivo cambie de "ANSI" a "UTF-8". Afortunadamente, te lo advertirá.

Macintosh

En Text Edit para Mac, vaya a Editar »Caracteres especiales para traer a colación el Paleta de caracteres. Haga clic en el Matemáticas opción y busque el símbolo. Resalte y haga clic en Insertar para colocarlo en Edición de texto.

Una vez que inserte los símbolos, debe asegurarse de que su codificación esté configurada en UTF-8 durante el proceso de guardado. Vaya al menú Formato y seleccione "Convertir en texto sin formato". Luego, cuando guarde el archivo, debe asegurarse de que el menú de codificación bajo el nombre del archivo haya cambiado de "MacRoman" a "UTF-8".

Reapertura de archivos UTF-8 en Mac Text Edit

En Text Edit, si vuelve a abrir un archivo UTF-8, puede transformarse mágicamente a MacRoman (verá cosas como Á & en lugar de su personaje deseado). Muy molesto (grr !!) Para evitar esto, debes ir a las Preferencias de edición de texto, luego hacer clic en el panel Abrir y guardar. Asegúrese de que las opciones de Codificación de texto sin formato para abrir y guardar estén configuradas para "UTF-8". O puede buscar una licencia para BBEdit o Mellel, que son mejores para advertirle.

En cuanto a Flash - Las fuentes siguen siendo un poco complicadas en Flash, pero al menos funcionan bien con archivos de texto.


¿Qué es la unión de conjuntos?

Pero eso no es todo lo que podemos hacer con los conjuntos. De particular interés para hoy son dos operaciones específicas, la primera de las cuales se llama encontrar la "unión" de conjuntos. Imagina que tienes dos conjuntos: el conjunto de los nombres de todos los tipos de frutas que se venden en el mercado de agricultores y rsquo de tu localidad, y el conjunto que contiene los nombres de tu fruta favorita. Solo por el bien de nuestro ejemplo, imaginemos que el primer juego y mdash el juego de toda la fruta en el mercado de los agricultores locales y mdash tiene cinco elementos: . Y deje que & rsquos imagine que sus frutas favoritas forman el conjunto de tres elementos: .

La unión de estos conjuntos es el nuevo conjunto formado por la combinación de los diferentes elementos únicos de cada uno de los conjuntos individuales. En otras palabras, es el análogo de la suma para conjuntos. En el caso de nuestro ejemplo, la unión es el nuevo conjunto: . Observe que el conjunto de frutas en su mercado de agricultores y rsquo contiene cinco elementos, el conjunto de sus frutas favoritas contiene tres elementos y la unión de estos dos conjuntos contiene siete elementos. Así que hemos añadido un conjunto con cinco elementos a un conjunto con tres elementos para obtener un conjunto con siete elementos y demonios, que es uno menos que 3 + 5 = 8. ¿Qué pasó con ese otro? Bueno, como aprendimos en el último artículo, un conjunto no puede contener dos copias del mismo elemento. En este caso, dado que los melocotones se venden en el mercado de agricultores y rsquo y también son una de sus frutas favoritas, la unión de los dos conjuntos contiene solo una de estas dos copias del elemento & ldquopeach. & Rdquo.


Propiedades de la intersección de conjuntos

Como tenemos propiedades para los números, la intersección de conjuntos también tiene algunas propiedades importantes. La siguiente tabla enumera las propiedades de la intersección de conjuntos.

Nombre de la propiedad / ley Regla
Ley conmutativa A ∩ B = B ∩ A
Ley asociativa (UNA ∩ B) ∩ C = UNA ∩ (B ∩ C)
Ley de ϕ y U ϕ ∩ A = ϕ, U ∩ A = A
Ley idempotente (UNA ∩ (B ∪ C) = (UNA ∩ B) ∪ (UNA ∩ C)
(UNA ∪ (B ∩ C) = (UNA ∪ B) ∩ (UNA ∪ C)

Notas importantes:

  • (A ∩ B) es el conjunto de todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B.
  • Si A ∩ B = ϕ, entonces A y B se denominan conjuntos disjuntos.
  • norte (A ∩ B) = norte (A) + norte (B) - norte (A ∪ B)

Temas relacionados con la intersección de conjuntos

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Preguntas desafiantes:

¡Intenta resolver estas desafiantes preguntas relacionadas con la intersección de temas de conjuntos en matemáticas!


Intersección de conjuntos: intersección de tres conjuntos

En estas lecciones, aprenderemos la intersección de tres conjuntos, cómo sombrear regiones de los diagramas de Venn que involucran tres conjuntos y cómo resolver problemas usando el diagrama de Venn de tres conjuntos (tres círculos).

Diagramas de Venn de tres conjuntos

La intersección de tres conjuntos X, Y y Z es el conjunto de elementos que son comunes a los conjuntos X, Y y Z. Se denota por X ∩ Y ∩ Z.

Ejemplo:
Dibuja un diagrama de Venn para representar la relación entre los conjuntos.
X = <1, 2, 5, 6, 7, 9>, Y = <1, 3, 4, 5, 6, 8> y
Z =

Solución:
Encontramos que X ∩ Y ∩ Z = <5, 6>, X ∩ Y = <1, 5, 6>,
Y ∩ Z = <3, 5, 6, 8> y X ∩ Z =

Para el diagrama de Venn:
Paso 1: Dibuja tres círculos superpuestos para representar los tres conjuntos.

Paso 2: Escribe los elementos en la intersección X ∩ Y ∩ Z.

Paso 3: Anote los elementos restantes en las intersecciones:
X ∩ Y, Y ∩ Z y X ∩ Z.

Paso 4: Anote los elementos restantes en los respectivos conjuntos.
Observe que comienza a llenar el diagrama de Venn a partir de los elementos de la intersección primero.

En general, hay muchas formas en las que 3 conjuntos pueden cruzarse. Algunos ejemplos se muestran a continuación.

Cómo sombrear regiones de diagramas de Venn que involucran tres conjuntos

Diagramas de Venn: regiones de sombreado con tres conjuntos, parte 1 de 2
Este video muestra cómo sombrear regiones de diagramas de Venn que involucran tres conjuntos.

Ejemplo:
Sombrea la región indicada:

Diagramas de Venn: regiones de sombreado con tres conjuntos, parte 2 de 2
Más ejemplo para mostrar las regiones sombreadas de los diagramas de Venn que involucran tres conjuntos.

Ejemplo:
Sombrea la región indicada:
3) (A ∪ B) '∩ C
4) (A '∩ B') ∩ C '

¿Cómo escribir una expresión para una región del diagrama de Venn?
Cree una expresión para representar la parte de los contornos del diagrama de Venn que se muestra.

Más información sobre los diagramas de Venn con tres subconjuntos
Dar los elementos en (A ∪ B ') ∩ C

¿Cómo resolver problemas de palabras con diagramas de Venn de 3 conjuntos?

Problema del diagrama de Venn con 3 círculos
Utilice la información proporcionada para completar el número de elementos en cada región del diagrama de Venn.
Este video resuelve dos problemas usando diagramas de Venn. Uno con dos juegos y otro con tres juegos.

Ejemplo 1:
Se entrevistó a 150 estudiantes universitarios de primer año.
85 se inscribieron para una clase de matemáticas
70 se inscribieron para una clase de inglés
50 se registraron tanto en matemáticas como en inglés

  1. ¿Cuántos se inscribieron solo en una clase de matemáticas?
  2. ¿Cuántos se inscribieron solo en una clase de inglés?
  3. ¿Cuántos se inscribieron en matemáticas o inglés?
  4. ¿Cuántos se inscribieron ni en matemáticas ni en inglés?

Ejemplo 2:
100 fueron estudiantes entrevistados
28 tomaron educación física
31 tomó Bio
42 tomó Eng
9 tomó PE y Bio
10 tomó Educación Física y Ing.
6 tomó Bio y Eng
4 tomó las tres asignaturas
¿Cuántos estudiantes no cursaron ninguna de las tres asignaturas?
¿Cuántos estudiantes tomaron Educación Física, pero no Bio o Ing?
¿Cuántos estudiantes tomaron Gio y Educación Física pero no Ing.?

¿Cómo resolver un problema de diagrama de Venn que involucra tres conjuntos?
Ejemplo:
110 estudiantes universitarios de primer año fueron encuestados
25 tomó física
45 tomó biología
45 tomaron matemáticas
10 tomó física y matemáticas
8 tomó biología y matemáticas
6 tomó física y biología
5 tomó los tres
una. ¿Cuántos estudiantes tomaron biología, pero ni física ni matemáticas?
B. ¿Cuántos estudiantes tomaron biología, física o matemáticas?
C. ¿Cuántos estudiantes no cursaron ninguna de las tres asignaturas?

¿Cómo llenar un diagrama de Venn de 3 círculos?
En este video, repasaremos un problema básico verbal que involucra tres conjuntos. Usamos un diagrama de Venn para responder la serie de preguntas.

Calculadora de sombreado de diagrama de Venn o solucionador
Ingrese una expresión como (A Unión B) Intersección (Complemento C) para describir una combinación de dos o tres conjuntos y obtener la notación y el diagrama de Venn. Utilice paréntesis, Unión, Intersección y Complemento.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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Intersección y unión de interiores

Considere un espacio topológico (E ). Para los subconjuntos (A, B subseteq E ) tenemos la igualdad [
A ^ circ cap B ^ circ = (A cap B) ^ circ ] y la inclusión [
A ^ circ cup B ^ circ subseteq (A cup B) ^ circ ] donde (A ^ circ ) y (B ^ circ ) denotan los interiores de (A ) y B).

Dejemos que & # 8217s demuestre que (A ^ circ cap B ^ circ = (A cap B) ^ circ ).

Tenemos (A ^ circ subseteq A ) y (B ^ circ subseteq B ) y por lo tanto (A ^ circ cap B ^ circ subseteq A cap B ). Como (A ^ circ cap B ^ circ ) está abierto, entonces tenemos (A ^ circ cap B ^ circ subseteq (A cap B) ^ circ ) porque (A ^ circ cap B ^ circ ) está abierto y ((A cap B) ^ circ ) es el subconjunto abierto más grande de (A cap B ).

Por el contrario, (A cap B subseteq A ) implica ((A cap B) ^ circ subseteq A ^ circ ) y de manera similar ((A cap B) ^ circ subseteq B ^ circ ). Por lo tanto, tenemos ((A cap B) ^ circ subseteq A ^ circ cap B ^ circ ) que concluye la prueba de la igualdad (A ^ circ cap B ^ circ = (A cap B) ^ circ ).

También se puede probar la inclusión (A ^ circ cup B ^ circ subseteq (A cup B) ^ circ ). Sin embargo, la igualdad (A ^ circ cup B ^ circ = (A cup B) ^ circ ) no siempre se cumple. Dejemos que & # 8217s proporcione un par de contraejemplos.

Para el primero, tomemos & # 8217s para (E ) el plano ( mathbb R ^ 2 ) dotado de la topología habitual. Para (A ), tomamos el disco cerrado unitario y para (B ) el plano menos el disco unitario abierto. (A ^ circ ) es la unidad de disco abierto y (B ^ circ ) el plano menos la unidad de disco cerrado. Por lo tanto, (A ^ circ cup B ^ circ = mathbb R ^ 2 setminus C ) es igual al plano menos el círculo unitario (C ). Mientras tenemos [A cup B = (A cup B) ^ circ = mathbb R ^ 2. ]

Para nuestro segundo contraejemplo, tomamos (E = mathbb R ) dotado de la topología habitual y (A = mathbb R setminus mathbb Q ), (B = mathbb Q ). Aquí tenemos (A ^ circ = B ^ circ = emptyset ) entonces (A ^ circ cup B ^ circ = emptyset ) mientras que (A cup B = (A cup B ) ^ circ = mathbb R ).

La unión de los interiores de dos subconjuntos no siempre es igual al interior de la unión.


11.4.3: Unión e intersección de dos conjuntos - Matemáticas

Lecturas para la sesión 5 - (continuación)

Intersección de conjuntos

Antes de continuar leyendo esta sesión, es posible que desee revisar las definiciones matemáticas de las palabras y y o cubierto más adelante en esta sesión.

Intersección : La operación establecida intersección toma solo los elementos que están en ambos conjuntos. La intersección contiene los elementos que los dos conjuntos tienen en común. La intersección es donde los dos conjuntos se superponen.

El diagrama de Venn para AB se muestra a la derecha donde la región sombreada representa el conjunto AB.

Ejemplo: Dejar A = <a B C D> y B = <b, d, e>. Luego AB = <b, d>.
Los elementos B y D son los únicos elementos que están en ambos conjuntos A y B .

Ejemplo: Dejar GRAMO = <t, a, n> y H = <n, a, t>. Luego GRAMOH = <una, n, t>. Tenga en cuenta que aquí GRAMO = H = GRAMOH .

Ejemplo: Dejar C = <2, 6, 10, 14,…> y D = <2, 4, 6, 8,…>. Luego CD = <2, 6, 10, 14, …>= C.

Ejemplo: ¿Por qué el lugar donde se cruzan una calle y una avenida se llama intersección? La ubicación está contenida tanto en la calle como en la avenida.

Ejemplo: Dejar mi = <día> y F = <noche>. Luego miF = ∅ .

Nota: En todos los ejemplos, la intersección es un subconjunto de cada conjunto que forma la intersección, es decir, ABA y ABB.

Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos cuya intersección es el conjunto vacío se denominan conjuntos disjuntos.

Ejemplo: Dejar mi = <día> y F = <noche>. Desde miF = ∅, los conjuntos mi y F son conjuntos disjuntos.


Intersección con el conjunto vacío

Una identidad básica que involucra la intersección nos muestra lo que sucede cuando tomamos la intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío, denotado por # 8709. El conjunto vacío es el conjunto sin elementos. Si no hay elementos en al menos uno de los conjuntos de los que estamos tratando de encontrar la intersección, entonces los dos conjuntos no tienen elementos en común. En otras palabras, la intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío nos dará el conjunto vacío.

Esta identidad se vuelve aún más compacta con el uso de nuestra notación. Tenemos la identidad: A ∩ ∅ = ∅.


Unión, intersección y el conjunto vacío

Hablé de los conjuntos vacíos en un artículo anterior. Todavía no había escuchado el reciente podcast de The Math Dude, Jason Marshall, en el que presentó conjuntos y subconjuntos. Una coincidencia tan curiosa que pensé que continuaría por nuestro camino unido.

Esta semana, el dulce Math Dude habló sobre la unión y la intersección de conjuntos. Así que yo también me dirijo hacia allí e incorporé el conjunto vacío. (Nota: Me he abstenido de escuchar ese podcast hasta que este artículo esté escrito y publicado. * Risita emocionada *)

La unión y la intersección tienen símbolos.

Estos símbolos representan & # 8220operaciones & # 8221 (como suma o multiplicación) que haces con un par de conjuntos. Se llaman taza y gorra y parecen, bueno, una taza y una gorra. O una U y una U invertida. Union es la U y la intersección es la otra & # 8211 que & # 8217s como la recuerdo y la enseño.

En aras de la ilustración, usaré las prácticas SnackTraps de Daughter como en la imagen de arriba.

La unión lo es todo.

I & # 8217m usando las letras L y R para izquierda y derecha en la imagen.

La unión de los dos conjuntos da como resultado todas las piezas de cada conjunto, todas apiñadas. (Y si hay un elemento repetido, solo lo toma una vez).

La unión de los dos conjuntos es todo combinado (sin duplicados).

Tomemos & # 8217s el conjunto de todos los estados que limitan con Texas y el conjunto de todos los estados que limitan con Oklahoma, así:

Entonces la unión de los dos sería & # 8220 El conjunto de todos los estados que limitan con Texas u Oklahoma o ambos & # 8221 y sería T U O =

Tenga en cuenta que no guardamos duplicados.

La intersección es solo lo común.

Usando los mismos conjuntos L y R de arriba, puedo tomar la intersección.

La intersección es solo lo que tienen en común (aquí también nos deshacemos de los duplicados).

Volvamos a nuestro conjunto de todos los estados que limitan con Texas y Oklahoma:

Entonces la intersección de los dos sería & # 8220 El conjunto de todos los estados que limitan con Texas y Oklahoma, al mismo tiempo & # 8221 y sería T ∩ O = .

¿Qué pasa con el conjunto vacío?

Cuando comienzas a lanzar el conjunto vacío a la mezcla, sigues las mismas reglas.

Para el sindicato, arrojas todo en ambos juegos en una sola bolsa. Bueno, ya que no hay & # 8217s nada en el conjunto vacío, & # 8220everything & # 8221 es el otro conjunto original.

La unión del conjunto vacío con cualquier cosa. es el mismo revés!

Para la intersección, solo toma las cosas que & # 8217 tienen en común entre los dos. Dado que el conjunto vacío no tiene nada & # 8211 allí & # 8217 no hay nada en común.

La intersección del conjunto vacío con cualquier otro conjunto es solo el conjunto vacío: ¡no hay nada en común en absoluto!

Piénselo & # 8230

¿Esto te recuerda a algo? ¿Qué similitudes ves entre esto y la suma o multiplicación (o resta o división)? Pregúnteles a sus hijos estas preguntas también.

¡Saca algunas trampas y bloques para bocadillos (o un mapa) y hazlo! Déjame saber cómo te va en los comentarios.

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5 respuestas a Unión, intersección y el conjunto vacío

En el párrafo & # 8220¿Qué pasa con el conjunto vacío? & # 8221. Me gusta la idea de que dos tazas, una vacía y la otra con algunos objetos dentro, no tienen nada en común, ¡de ahí el conjunto vacío como intersección!

Lo que me desconcertó un poco es ¿qué pasa si tratamos de encontrar la intersección de dos tazas con todos los objetos diferentes en ellas? El resultado es nuevamente un conjunto vacío. Además, si surge la pregunta, ¿cuáles son TODOS los subconjuntos de un conjunto dado, será , , , , , , , O (juego vacío). Aquí utilicé su ejemplo Cuadrado, Triángulo, Rectángulo como forma abreviada. Podemos ver que la potencia del conjunto (conjunto de todos los subconjuntos) es exactamente 2 ^ 3 = 8, es decir, 2 ^ (número de elementos) y esto también incluye el conjunto vacío.

En otras palabras, también se puede decir que el conjunto vacío es un elemento común para un conjunto vacío y cualquier otro conjunto, lo que parece una declaración diferente de que el conjunto vacío no tiene nada en común con un conjunto de objetos. En realidad, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. Si vaciamos la taza, veremos que también hay un conjunto vacío allí mismo y que es común con el otro vaso (vacío o vaciado), es decir, otro conjunto vacío, en el lado izquierdo de la señal de intersección.

¡Gracias, Nash! Me encanta el conjunto de poder & # 8211 simplemente no puedo & # 8217 tener suficiente de él (tal vez porque estoy tan celoso, quiero ser el Power Bon).

Escribe, & # 8220, también se puede decir que el conjunto vacío es un elemento común para el conjunto vacío y cualquier otro conjunto. & # 8221 Creo que lo has escrito mal. El conjunto vacío es común subconjunto tanto del conjunto vacío como de cualquier otro conjunto, pero no un conjunto común elemento. Este fue el punto del artículo anterior sobre conjuntos vacíos. No hay un conjunto vacío adentro la taza vacía & # 8211 la taza vacía ES el conjunto vacío.

Creo que podría querer decir que el conjunto vacío es un elemento común de los conjuntos de potencia del conjunto vacío y cualquier otro conjunto.

Conjunto de potencia de conjunto vacío = <<> > (el conjunto que contiene el conjunto vacío)
Conjunto de potencia de = <, , , , , , , <> > (lo que escribiste)

En cuyo caso, los conjuntos vacíos son elementos de los conjuntos más grandes & # 8211 y son la intersección de los dos.

¡Gráficos y ejemplos fantásticos! Una persona podría, literalmente, desplazarse y aprender sobre las uniones, las intersecciones y el conjunto vacío simplemente a través de las imágenes y leyendo los subtítulos. Super brillante.

¿Mi sugerencia? & # 8220Write & # 8221 un libro de imágenes de matemáticas solo con etiquetas, leyendas y títulos. ¡Será como resumir novelas en tweets de 160 caracteres! (¿o es 140?)


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Debes incluir lo siguiente:

Una firma física o electrónica del propietario de los derechos de autor o una persona autorizada para actuar en su nombre.Una identificación de los derechos de autor que se alega que han sido infringidos.Una descripción de la naturaleza y ubicación exacta del contenido que afirma que infringe sus derechos de autor, en suficiente. detalle para permitir que los tutores universitarios encuentren e identifiquen positivamente ese contenido, por ejemplo, necesitamos un enlace a la pregunta específica (no solo el nombre de la pregunta) que contiene el contenido y una descripción de qué parte específica de la pregunta: una imagen, un enlace, texto, etc. - su queja se refiere a Su nombre, dirección, número de teléfono y dirección de correo electrónico y a Una declaración suya: (a) que cree de buena fe que el uso del contenido que afirma que infringe sus derechos de autor es no autorizado por la ley, o por el propietario de los derechos de autor o el agente de dicho propietario (b) que toda la información contenida en su Aviso de infracción es precisa, y (c) bajo pena de perjurio, que usted es el propietario de los derechos de autor o una persona autorizada para actuar en su nombre.

Envíe su queja a nuestro agente designado a:

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