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11.3.2: Factoriales y notación combinada - Matemáticas


Los resultados del aprendizaje

  1. Evalúa un factorial.
  2. Utilice notación combinada para aplicaciones estadísticas.

Cuando necesitamos calcular probabilidades, a menudo necesitamos múltiples números descendentes. Por ejemplo, si hay una baraja de 52 cartas y queremos elegir cinco de ellas sin reemplazarlas, entonces hay 52 opciones para la primera elección, 51 opciones para la segunda selección, ya que una carta ya ha sido elegida, 50 opciones para la tercero, 49 opciones para el cuarto y 48 para el quinto. Si queremos averiguar cuántos resultados diferentes hay, podemos usar lo que llamamos el principio de multiplicación y multiplicarlos: (52 times51 times50 times49 times48 ). Si quisiéramos elegir las 52 cartas una a la vez, esta lista sería excesivamente larga. En cambio, hay una notación que describe la multiplicación hasta 1, llamada factorial. Debe ser emocionante, ya que usamos el símbolo "!" para el factorial.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Calcular (4! )

Solución

Usamos la definición que dice comenzar en 4 y multiplicar hasta llegar a 1:

[4! : = : 4 times3 times2 times1 : = : 24 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Si escogemos 5 cartas de un mazo de 52 cartas sin reemplazo y los mismos dos conjuntos de 5 cartas, pero en diferentes órdenes, se consideran diferentes, ¿cuántos conjuntos de 5 cartas hay?

Solución

Desde la introducción, la cantidad de conjuntos es simplemente:

[52 times51 times50 times49 times48 nonumber ]

Esto no es del todo un factorial, ya que se detiene en 48; sin embargo, podemos pensar en esto como (52! ) con (47! ) eliminado. En otras palabras, necesitamos encontrar

[ frac {52!} {47!} nonumber ]

Podríamos simplemente multiplicar los números de la lista original, pero es una buena idea practicar con su calculadora o computadora para encontrar esto usando el! símbolo. Cuando usa tecnología, debe obtener:

[ frac {52!} {47!} = 311,875,200 nonumber ]

Combinaciones

Una de las aplicaciones más importantes de los factoriales son las combinaciones que cuentan el número de formas de seleccionar una colección más pequeña de una colección más grande cuando el orden no es importante. Por ejemplo, si hay 12 personas en una habitación y desea seleccionar un equipo de 4 de ellas, entonces el número de posibilidades utiliza combinaciones. Aquí está la definición:

Definición: Combinaciones

El número de formas de seleccionar k artículos sin reemplazo de una colección de n artículos cuando el orden no importa es:

[ binom {n} {r} : = : _ nC_r : = : frac {n!} {r! left (n-r right)!} ]

Tenga en cuenta que hay algunas notaciones. La primera es más una notación matemática, mientras que la segunda es la notación que usa una calculadora. Por ejemplo, en la calculadora TI 84+, la notación para el número de combinaciones al seleccionar 4 de una colección de 12 es:

[12 : _ nC_r : 4 nonumber ]

Hay muchos sitios de Internet que realizarán combinaciones. Por ejemplo, el sitio de matemáticas es divertido le pide que coloque (n ) y (r ) y también que indique si el orden es importante y la repetición está permitida. Si hace clic para hacer ambos "no", obtendrá las combinaciones.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Calcular

[ binom {15} {11} = _ {15} C_ {11} nonumber ]

Solución

Ya sea que use una calculadora de mano o una computadora, debe obtener el número: (1365 )

Ejemplo ( PageIndex {4} )

La probabilidad de ganar la lotería Powerball si compra un boleto es:

[P (ganar) = frac {1} {_ {69} C_5 times26} nonumber ]

Calcula esta probabilidad.

Solución

Primero, calculemos (_ {69} C_5 ). Usando una calculadora o computadora, debería obtener 11,238,513. Luego, multiplique por 26 para obtener

[11,238,513 times 26 = 292,201,338 nonumber ]

Por lo tanto, hay una posibilidad entre 292,201,338 de ganar la lotería Powerball si compra un boleto. También podemos escribir esto como un decimal dividiendo:

[P left (win right) = frac {1} {292,201,338} = 0.000000003422 nonumber ]

Como puede ver, sus posibilidades de ganar el Powerball son muy pequeñas.

Ejercicio

Un aula está llena de 28 estudiantes y habrá un presidente de la clase y un "Congreso" de otros 4 seleccionados. El número de posibilidades de grupos de liderazgo diferentes es:

[28 times_ {27} C_4 nonumber ]

Calcule este número para averiguar cuántas posibilidades de grupos de liderazgo diferentes existen.


Factoriales y función Gamma

En matemáticas, a menudo nos encontramos con la siguiente expresión:

Esto es & quotnorte factorial & quot, o el producto

Los factoriales se utilizan en el estudio de conteo y probabilidad. Por ejemplo, las permutaciones (que implica contar la disposición de los objetos donde el orden es importante) y las combinaciones (donde el orden no es importante) requieren factoriales cuando el número de objetos es grande.

Además, encontrar la probabilidad de ganar lotería o tarjetas también implica factoriales.

Ejemplos de factoriales:


Primero familiaricémonos con la definición de factorial y luego discutiremos algunas propiedades asociadas con factorial.

A continuación, se muestran algunos ejemplos basados ​​en la definición anterior:

Ahora puede resolver fácilmente los siguientes problemas:

¡Ahora, demostremos que 0! = 1. 0! = 1. 0! = 1.

¡Encuentra la potencia más alta de 125 que se divide en 100! 100! 1 0 0! .

Ahora, hablemos de qué son los factoriales dobles. ¡Este tipo de factorial se denota con n! ! ¡¡norte!! n! ! . Es un tipo de multifactorial que se discutirá en este wiki. En lo que respecta al factorial doble, termina con 2 2 2 para un número par y termina con 1 1 1 para un número impar. En otras palabras,


Permutación y combinación

Permutaciones y combinaciones& # 8216 es la próxima publicación de mi serie Tutoría de matemáticas en línea. Es muy útil e interesante como tema. También es muy útil para resolver problemas de probabilidad. Para comprender Permutaciones y Combinaciones, primero debemos comprender Factorial.

Definición de factorial

Si multiplicamos n números naturales consecutivos, entonces el producto se llama factorial de n. ¡Se muestra con n! o por

Algunas propiedades de los factoriales

(i) Los factoriales solo se pueden calcular para números enteros positivos en este nivel. Usamos funciones gamma para definir factorial no entero que & # 8217s no se requiere en este nivel

(ii) El factorial de un número se puede escribir como un producto de ese número con el factorial de su predecesor.

(iii) puede ver este video para obtener una explicación.

(iv) Si queremos simplificar una expresión & # 8220permutaciones y combinaciones & # 8221 que tiene factoriales en el numerador y en el denominador, hacemos que todos los factoriales sean iguales al factorial más pequeño

Exponente del número primo p en n!

Supongamos & # 8217s que p es un número primo y n es un entero positivo, ¡entonces exponente de p en n! se denota por Epag (¡norte!)

No podemos usar este resultado para encontrar el exponente de números compuestos.

Principio fundamental de contar

Casi todos Tutores en línea del IB, enseñe el primer ejercicio de Permutaciones y Combinaciones que se basa en el Principio Fundamental de Contar. Podemos aprenderlo en dos pasos.

Principio de suma

Si hay x formas diferentes de hacer un trabajo ey formas diferentes de hacer otro trabajo y ambos trabajos son independientes entre sí, entonces hay (x + y) formas de hacer el primer o el segundo trabajo

Ejemplo-

Si podemos elegir a un hombre en un equipo de 6 formas diferentes y a una mujer de 4 formas diferentes, entonces podemos elegir a un hombre o una mujer de 6 + 4 = 10 formas diferentes.

El principio de multiplicación

Si hay x formas diferentes de hacer un trabajo ey formas diferentes de hacer otro trabajo y ambos trabajos son independientes entre sí, entonces hay (x.y) formas de hacer los dos primeros trabajos y los segundos.

Ejemplo

Si podemos elegir a un hombre en un equipo de 6 formas diferentes y a una mujer de 4 formas diferentes, entonces podemos elegir a un hombre y una mujer de 6 * 4 = 24 formas diferentes.

Definición de permutación

El proceso de hacer diferentes arreglos de objetos, letras y palabras, etc., cambiando su posición, se conoce como permutación.

Ejemplo

A, B y C son cuatro libros, entonces podemos organizarlos POR 6 FORMAS DIFERENTES ABC, ACB BCA, BAC CAB CBA. entonces podemos decir que hay 6 permutaciones diferentes de esta disposición.

Número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez

Si queremos organizar n objetos en n lugares diferentes, entonces el número total de formas de hacer esto o el número total de permutaciones =

= n! aquí P representa permutaciones

Número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez

Si queremos organizar n objetos en r lugares diferentes, entonces el número total de formas de hacer esto o el número total de permutaciones =

= aquí representan permutaciones de n objetos tomados r a la vez.

Número de permutaciones de n objetos cuando todos los objetos no son diferentes

Si tenemos n objetos en total, de los cuales p son de un tipo, q son de otro tipo, r son de cualquier otro tipo, los objetos restantes son todos diferentes entre sí, el número total de formas de organizarlos =

Número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez cuando se permite la repetición de objetos

Si queremos organizar n objetos en n lugares diferentes y somos libres de repetir objetos tantas veces como queramos, entonces el número total de formas de hacer esto o el número total de permutaciones =

Número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez cuando se permite la repetición de objetos

Si queremos organizar n objetos en r lugares diferentes (tomando r a la vez) y somos libres de repetir objetos tantas veces como queramos, entonces el número total de formas de hacer esto o el número total de permutaciones =

Permutaciones circulares Cuando hablamos de arreglos de objetos, generalmente nos referimos a arreglos lineales. Pero si lo deseamos, también podemos ordenar los objetos en un bucle. Como si pudiéramos pedir a nuestros invitados que se sienten alrededor de una mesa de comedor redonda. Estos tipos de arreglos se denominan permutaciones circulares.

Si queremos organizar n objetos en un círculo, ¡entonces el número total de formas / permutaciones circulares = (n-1)! este caso funciona cuando hay alguna diferencia entre los órdenes en sentido horario y antihorario

SI no hay distinción entre órdenes en sentido horario y antihorario, el número total de permutaciones = (n-1)! / 2

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Permutaciones restringidas

Puede haber los siguientes casos de permutación restringida

(a) Número de arreglos de "n" objetos, tomados "r" a la vez, cuando un objeto en particular debe incluirse siempre =

(b) Número de arreglos de "n" objetos, tomados "r" a la vez, cuando un objeto en particular es fijo: =

(c) El número de arreglos de "n" objetos, tomados "r" a la vez, cuando un objeto en particular nunca se toma: = n-1 Pr.

(d) El número de arreglos de "n" objetos, tomados "r" a la vez, cuando "m" objetos específicos siempre vienen juntos =

(e) El número de arreglos de "n" cosas, tomadas todas a la vez, cuando "m" objetos específicos siempre vienen entre sí =

En mi próxima publicación, discutiré en detalle sobre las combinaciones y compartiré una hoja de trabajo grande basada en P & amp C. Mientras tanto, puede descargar y resolver estas preguntas.

Además, consulte la publicación a continuación sobre permutación y combinación

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Notación factorial

En general, n! es el producto de todos los números de conteo que comienzan con norte y contando hacia atrás hasta 1. ¡Definimos 0! ser 1.

El siguiente diagrama describe la notación factorial y da algunos ejemplos usando factoriales. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones con factoriales.

Encuentra el valor de cada expresión:
a) 3!
b) 0!
c) 5!
d) 1!
e) 3! + 2!
F)

a) 3! = 3 y tiempos 2 y tiempos 1 = 6
b) 0! = 1
c) 5! = 5 y tiempos 4 y tiempos 3 y tiempos 2 y tiempos 1 = 120
d) 1! = 1
e) 3! + 2! = (3 y multiplicado por 2 y multiplicado por 1) + (2 y multiplicado por 1) = 8
F)

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

Agradecemos sus comentarios, comentarios y preguntas sobre este sitio o página. Envíe sus comentarios o consultas a través de nuestra página de Comentarios.


Dos formas de evaluar el factorial de un número

Comience con el número 5, luego cuente hacia atrás hasta llegar a 1. Luego multiplique esos números para obtener la respuesta.

O puede hacerlo al revés. Comience contando desde 1 hasta llegar al número objetivo, que en este caso es 5. Multiplique esos factores para obtener la respuesta.

Así que aquí está la fórmula general del factorial que creo que debe recordar. No importa cuál utilice para resolver un problema, la respuesta será la misma. Sin embargo, el primero es el & # 8220preferred & # 8221, así que pregúntale a tu maestro si & # 8217 no estás seguro.


& Bull Expandiendo factoriales

¡norte! o & angn = 1 y tiempos 2 y tiempos 3 y tiempos 4 y tiempos. & veces n.
(O) = 1 y tiempos 2 y tiempos 3 y tiempos 4 y tiempos. & veces (n & menos 2) x (n & menos 1) & veces n.
(O) = n y tiempos (n y menos 1) y tiempos (n y menos 2) y tiempos (n y menos 3) y tiempos. y tiempos 3 y tiempos 2 y tiempos 1.
(O) = n & veces (n & menos 1)! [Dado que 1 x 2 x 3 x. x (n - 1) = (n - 1)!]
(O) = n & tiempos (n & menos 1) & tiempos (n & menos 2)! [Dado que 1 x 2 x 3 x. x (n - 2) = (n - 2)!]
(O) = n & tiempos (n & menos 1) & tiempos (n & menos 2) & tiempos (n & menos 3)! [Dado que 1 x 2 x 3 x. x (n - 3) = (n - 3)!]

Esto sería muy útil para simplificaciones de problemas que involucren notaciones factoriales.

Factoriales y operaciones aritméticas raquo


Factoriales en Excel

Debido a que el signo de exclamación es el símbolo de un factorial, es de esperar que Excel lo reconozca, pero obtendrá un mensaje de error si intenta ingresar una fórmula como =5!.

Para calcular factoriales en excel debes usar el HECHO función.

= HECHO (5) calcularía el factorial de 5 en Excel.

Si no está familiarizado con las fórmulas y funciones de Excel, podría beneficiarse enormemente de nuestro libro electrónico de habilidades básicas completamente gratuito.

Muchas funciones más avanzadas se explican en profundidad en nuestros libros electrónicos y libros de habilidades para expertos.


Permutaciones y combinaciones

¿De cuántas formas se pueden organizar las personas Anna, Babs, Colin y Dave?

Empezaremos por tener a Anna primero:

A B C D ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB

Como primero hay 6 arreglos con Anna, también debe haber 6 arreglos con Babs primero. Del mismo modo, primero habrá 6 arreglos para Colin y Dave.

Por lo tanto, hay 24 arreglos en total. Estos 24 arreglos diferentes se llaman permutaciones.

Otra forma de pensar en esto es decir que podemos elegir

  • la primera persona de 4 maneras (ya que hay 4 personas para elegir)
  • la segunda persona de 3 maneras (ya que ahora solo hay 3 personas para elegir)
  • la tercera persona de 2 maneras (ya que ahora solo hay 2 personas para elegir)
  • la última persona de 1 manera (ya que ahora solo hay 1 persona para elegir)

Entonces el número de arreglos = 4 y tiempos 3 y tiempos 2 y tiempos 1 = 24 formas

Otra forma de mostrar esto es: 4 y tiempos 3 y tiempos 2 y tiempos 1 = 4! (llamada 4 factorial )

En general, el número de formas de organizar n objetos distintos (diferentes) es:

¡norte! (n factorial)

Por ejemplo:

El número de formas de organizar a 7 personas en fila es:

Tu calculadora tendrá un botón que calculará factoriales por ti. Pruébelo con los siguientes factoriales:

Permutaciones cuando no todos los objetos son distintos

¿Qué pasa si no todos los objetos son distintos?

El número de formas de organizar n objetos de los cuales r son iguales es

Además de esto, el número de formas de ordenar n objetos de p de un tipo son iguales, q de un segundo tipo son iguales, r de un tercer tipo son iguales, etc.

Esto viene dado por:

Por ejemplo:

¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de las estadísticas de palabras?

Hay 10 letras en 'estadísticas' y: S ocurre 3 veces
T ocurre 3 veces
Me ocurre dos veces

. Todavía hay un gran número de formas.

Otras permutaciones

Supongamos que hay 8 nadadores en una carrera de mariposas de 50 m.

¿De cuántas formas diferentes se pueden llenar los primeros 3 lugares?

    Podemos elegir al primer nadador de 8 formas (ya que hay 8 nadadores para elegir)
  • El segundo nadador de 7 formas (ya que ahora solo hay 7 nadadores para elegir)
  • El tercer nadador de 6 formas (ya que ahora solo hay 6 nadadores para elegir)

Entonces el número de permutaciones = 8 y tiempos 7 y tiempos 6 = 336

Reescribir este resultado usando el método factorial nos dará una fórmula útil para todas las preguntas de este tipo:

Nota: 8 y menos 3 = 5, que es el número de nadadores restado por el número de lugares a cubrir.

Con suerte, de esto podemos ver la siguiente regla general:

El número de permutaciones de r objetos de n se escribe como n pr

Pista útil:
Casi todas las preguntas de permutación implican poner las cosas en orden desde una línea donde el orden importa. Por ejemplo, ABC es una permutación diferente a ACB.

Combinaciones

Supongamos que deseamos elegir r objetos de norte, pero el orden en el que se disponen los objetos no importa. Tal elección se llama combinación.

ABC sería la misma combinación que ACB ya que incluyen todas las mismas letras.

El número de combinaciones de r objetos de n objetos distintos se puede escribir de 2 formas:

De nuevo, tomemos 8 nadadores olímpicos. Sin embargo, esta vez queremos seleccionar un equipo de 3.

¿De cuántas formas se puede hacer esto?

Podemos ver claramente que esta vez, el orden en el que se eligen los nadadores no importa.

Por ejemplo, elegir a los nadadores 1, 4 y 7 nos dará exactamente el mismo equipo (y combinación) que elegir a los nadadores 4, 7 y 1. Esto significa que tenemos un problema de combinaciones.

Por lo tanto, elegimos 3 de 8:

Nota: Que el denominador suma para darte el numerador. Esto no es una coincidencia y será siempre suceder. Use esto para verificar su funcionamiento.


nortenorte!Resultado
011
111
22 × 1!2
33 × 2!6
44 × 3!24
55 × 4!120
66 × 5!720
77 × 6!5,04
88 × 7!40,32
99 × 8!362,88
1010 × 9!3,628,800
1111 × 10!39,916,800
1212 × 11!479,001,600
1313 × 12!6,227,020,800
1414 × 13!87,178,291,200
1515 × 14!1,307,674,368,000
1616 × 15!20,922,789,888,000
1717 × 16!355,687,428,096,000
1818 × 17!6,402,373,705,728,000
1919 × 18!121,645,100,408,832,000
2020 × 19!2,432,902,008,176,640,000
2121 × 20!51,090,942,171,709,440,000
2222 × 21!1,124,000,727,777,607,680,000
2323 × 22!25,852,016,738,884,976,640,000
2424 × 23!620,448,401,733,239,439,360,000
2525 × 24!15,511,210,043,330,985,984,000,000

Los eruditos indios utilizaron factorial para calcular las permutaciones al menos desde el siglo XII.

Luego, Fabian Stedman describió los factoriales como aplicados para cambiar el timbre, un arte musical que involucra el timbre de muchas campanas afinadas en 1677. Stedman da una declaración de un factorial:

“Ahora, la naturaleza de estos métodos es tal, que los cambios en un número comprenden [incluye] los cambios en todos los números menores & # 8230 en tanto que un repique completo de cambios en un número parece formarse al unir el total Repite todos los números menores en un cuerpo entero "

En 1808, el matemático francés Christian Kramp introdujo la notación n !.


5 respuestas 5

$ sin x = frac<1!> - frac<3!> + Frac<5!> - frac<7!> + Frac<9!> - frac> <11!> + Cdots $ $ cos x = 1- frac<2!> + Frac<4!> - frac<6!> + Frac<8!> - frac> <10!> + Cdots $ $ e ^ x = 1 + frac<1!> + Frac<2!> + Frac<3!> + Frac<4!> + Frac<5!> + Cdots $ Las funciones seno y coseno son importantes en trigonometría, que tiene aplicaciones prácticas en topografía y astronomía. La función exponencial se utiliza para el cálculo del interés compuesto.

  1. Durante un programa de educación matemática, generalmente lo encontrará en cálculo, por ejemplo, el teorema de Taylor $ f (x) = sum_^ infty frac(x_0)>(x-x_0) ^ k. $ y el teorema del binomio $ (a + b) ^ n = sum_^ n binoma ^ k b ^, quad binom= frac$ o combinatoria (arte de contar). Las permutaciones aparecen en álgebra. En este sitio, mi último uso de factoriales y función gamma fue esta ecuación (a primera vista bastante aterradora): begin frac <(- n) ^ Gamma (n + 1)> <(1-n) _> & amp = frac <(- n) ^n!> <(1-n) (1-n + 1) (1-n + 2) cdots -2 cdot -1> & amp = prod_^ frac <(k + 1) n ^ 2> & amp = frac <2 n ^ 2> cdot frac <3 n ^ 2> cdot frac <4 n ^ 2> cdots frac<4n> cdot frac<3 n> cdot frac<2 n> cdot n ^ 2 & amp = n ^ n end Históricamente, los problemas de juego fueron una de las principales razones del desarrollo de la combinatoria y la teoría de la probabilidad.
  2. Es una pregunta válida extender el factorial, una función con números naturales como argumento, a dominios más grandes, como números reales o complejos. La función gamma también apareció varias veces como ciertas integrales, por lo que los matemáticos le dieron un nombre y, por supuesto, notaron la relación con los factoriales. Vea el gráfico al final de esta publicación. Mi aplicación favorita de la función gamma es el volumen y la superficie de una bola en $ n $ dimensiones: $ V_n (r) = frac < pi ^> < Gamma left ( frac<2> +1 right)> r ^ n quad quad S_n (r) = frac < pi ^> < Gamma left ( frac<2> derecha)> r ^ $
  3. Ordenó esa interpolación a través de "Bézier suave". Una curva de Bézier es una función de interpolación. Suelta esa parte o prueba diferentes opciones de trazado, consulta "ayuda para trazar" dentro de gnuplot. Por ejemplo:

trazar "factorial" usando 1: 2 con puntos de línea

Aquí hay una gráfica junto con la función gamma, o para ser más precisos, $ Gamma (x + 1) $:

Bueno, aunque el título de la pregunta pide aplicaciones prácticas, el OP realmente pide aplicaciones del "mundo real" (quizás "práctico" debería reemplazarse por "pragmático" aquí). Si es así, me viene a la mente un área: los juegos de azar.

En cualquier juego de cartas, si desea calcular (o incluso estimar) la probabilidad de resultados favorables, debe tener un conocimiento práctico de los factoriales.

Piense en cualquier videojuego, o en un circuito de relevos, donde elige a los jugadores para que vayan primero, segundo, tercero o cuarto en una carrera. O en cualquier momento que tenga la capacidad de realizar una serie de actividades en cualquier orden, como una lista de tareas.

Estoy usando a Mario y Sonic en los Juegos Olímpicos como ejemplo. Puedes poner a Sonic primero, segundo, tercero o cuarto. Puedes hacer que Sonic y cualquier otra persona de tu equipo creen el mejor equipo para ganar la carrera.

El número de posibilidades depende del número total de compañeros de equipo que tengas. En este caso, comienza con 4 espacios para llenar en su equipo. Multiplica cada número restante por debajo de 4 hasta llegar a 1 y luego deténgase. Al multiplicar, encontrará el número total de combinaciones en las que podría detenerse antes de comenzar un juego. Entonces, en este ejemplo $ 4! $ Es $ 4 times3 times2 times1 = 24 $ posibilidades.

Si haces una lista de tareas de 12 elementos, encuentras que $ 12! $ Son $ 12 times11 times10 times9 times8 times7 times6 times5 times4 times3 times2 times1 = 479,001,600 $ posibilidades. Esto no es útil en la práctica, pero muestra el poder de las posibilidades.

$ 4! = 24 $. Así que 24 horas al día. El orden en el que gastas tu tiempo es un factorial que utilizas todos los días sin pensar.

$ 3! = 6 $. Cualquier cosa que tenga 6 sabores únicos, que puedes combinar en cualquier orden, o un juego con 6 movimientos posibles que podrías hacer en cualquier orden es otro factorial.

Espero que este ejemplo ayude. Soy un profesor de matemáticas de 4º / 5º grado y uso este ejemplo para desafiar a mis estudiantes a aprender más matemáticas y aplicarlas.