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9.3E: Coeficientes indeterminados para ecuaciones de orden superior (ejercicios)


Q9.3.1

En Ejercicios 9.3.1-9.3.59 encontrar una solución particular.

1. (y '' '- 6y' '+ 11y'-6y = -e ^ {- x} (4 + 76x-24x ^ 2) )

2. (y '' '- 2y' '- 5y' + 6y = e ^ {- 3x} (32-23x + 6x ^ 2) )

3. (4y '' '+ 8y' '- y'-2y = -e ^ x (4 + 45x + 9x ^ 2) )

4. (y '' '+ 3y' '- y'-3y = e ^ {- 2x} (2-17x + 3x ^ 2) )

5. (y '' '+ 3y' '- y'-3y = e ^ x (-1 + 2x + 24x ^ 2 + 16x ^ 3) )

6. (y '' '+ y' '- 2y = e ^ x (14 + 34x + 15x ^ 2) )

7. (4y '' '+ 8y' '- y'-2y = -e ^ {- 2x} (1-15x) )

8. (y '' '- y' '- y' + y = e ^ x (7 + 6x) )

9. (2y '' '- 7y' '+ 4y' + 4y = e ^ {2x} (17 + 30x) )

10. (y '' '- 5y' '+ 3y' + 9y = 2e ^ {3x} (11-24x ^ 2) )

11. (y '' '- 7y' '+ 8y' + 16y = 2e ^ {4x} (13 + 15x) )

12. (8y '' '- 12y' '+ 6y'-y = e ^ {x / 2} (1 + 4x) )

13. (y ^ {(4)} + 3y '' '- 3y' '- 7y' + 6y = -e ^ {- x} (12 + 8x-8x ^ 2) )

14. (y ^ {(4)} + 3y '' '+ y' '- 3y'-2y = -3e ^ {2x} (11 + 12x) )

15. (y ^ {(4)} + 8y '' '+ 24y' '+ 32y' = - 16e ^ {- 2x} (1 + x + x ^ 2-x ^ 3) )

16. (4y ^ {(4)} - 11y '' - 9y'-2y = -e ^ x (1-6x) )

17. (y ^ {(4)} - 2y '' '+ 3y'-y = e ^ x (3 + 4x + x ^ 2) )

18. (y ^ {(4)} - 4y '' '+ 6y' '- 4y' + 2y = e ^ {2x} (24 + x + x ^ 4) )

19. (2y ^ {(4)} + 5y '' '- 5y'-2y = 18e ^ x (5 + 2x) )

20. (y ^ {(4)} + y '' '- 2y' '- 6y'-4y = -e ^ {2x} (4 + 28x + 15x ^ 2) )

21. (2y ^ {(4)} + y '' '- 2y'-y = 3e ^ {- x / 2} (1-6x) )

22. (y ^ {(4)} - 5y '' + 4y = e ^ x (3 + x-3x ^ 2) )

23. (y ^ {(4)} - 2y '' '- 3y' '+ 4y' + 4y = e ^ {2x} (13 + 33x + 18x ^ 2) )

24. (y ^ {(4)} - 3y '' '+ 4y' = e ^ {2x} (15 + 26x + 12x ^ 2) )

25. (y ^ {(4)} - 2y '' '+ 2y'-y = e ^ x (1 + x) )

26. (2y ^ {(4)} - 5y '' '+ 3y' '+ y'-y = e ^ x (11 + 12x) )

27. (y ^ {(4)} + 3y '' '+ 3y' '+ y' = e ^ {- x} (5-24x + 10x ^ 2) )

28. (y ^ {(4)} - 7y '' '+ 18y' '- 20y' + 8y = e ^ {2x} (3-8x-5x ^ 2) )

29. (y '' '- y' '- 4y' + 4y = e ^ {- x} left [(16 + 10x) cos x + (30-10x) sin x right] )

30. (y '' '+ y' '- 4y'-4y = e ^ {- x} left [(1-22x) cos 2x- (1 + 6x) sin2x right] )

31. (y '' '- y' '+ 2y'-2y = e ^ {2x} [(27 + 5x-x ^ 2) cos x + (2 + 13x + 9x ^ 2) sin x] )

32. (y '' '- 2y' '+ y'-2y = -e ^ x [(9-5x + 4x ^ 2) cos 2x- (6-5x-3x ^ 2) sin2x] )

33. (y '' '+ 3y' '+ 4y' + 12y = 8 cos2x-16 sin2x )

34. (y '' '- y' '+ 2y = e ^ x [(20 + 4x) cos x- (12 + 12x) sin x] )

35. (y '' '- 7y' '+ 20y'-24y = -e ^ {2x} [(13-8x) cos 2x- (8-4x) sin2x] )

36. (y '' '- 6y' '+ 18y' = - e ^ {3x} [(2-3x) cos 3x- (3 + 3x) sin3x] )

37. (y ^ {(4)} + 2y '' '- 2y' '- 8y'-8y = e ^ x (8 cos x + 16 sin x) )

38. (y ^ {(4)} - 3y '' '+ 2y' '+ 2y'-4y = e ^ x (2 cos2x - sin2x) )

39. (y ^ {(4)} - 8y '' '+ 24y' '- 32y' + 15y = e ^ {2x} (15x cos2x + 32 sin2x) )

40. (y ^ {(4)} + 6y '' '+ 13y' '+ 12y' + 4y = e ^ {- x} [(4-x) cos x- (5 + x) sin x ] )

41. (y ^ {(4)} + 3y '' '+ 2y' '- 2y'-4y = -e ^ {- x} ( cos x- sin x) )

42. (y ^ {(4)} - 5y '' '+ 13y' '- 19y' + 10y = e ^ x ( cos2x + sin2x) )

43. (y ^ {(4)} + 8y '' '+ 32y' '+ 64y' + 39y = e ^ {- 2x} [(4-15x) cos3x- (4 + 15x) sin 3x] )

44. (y ^ {(4)} - 5y '' '+ 13y' '- 19y' + 10y = e ^ x [(7 + 8x) cos 2x + (8-4x) sin2x] )

45. (y ^ {(4)} + 4y '' '+ 8y' '+ 8y' + 4y = -2e ^ {- x} ( cos x-2 sin x) )

46. ​​ (y ^ {(4)} - 8y '' '+ 32y' '- 64y' + 64y = e ^ {2x} ( cos2x- sin2x) )

47. (y ^ {(4)} - 8y '' '+ 26y' '- 40y' + 25y = e ^ {2x} [3 cos x- (1 + 3x) sin x] )

48. (y '' '- 4y' '+ 5y'-2y = e ^ {2x} -4e ^ x-2 cos x + 4 sin x )

49. (y '' '- y' '+ y'-y = 5e ^ {2x} + 2e ^ x-4 cos x + 4 sin x )

50. (y '' '- y' = - 2 (1 + x) + 4e ^ x-6e ^ {- x} + 96e ^ {3x} )

51. (y '' '- 4y' '+ 9y'-10y = 10e ^ {2x} + 20e ^ x sin2x-10 )

52. (y '' '+ 3y' '+ 3y' + y = 12e ^ {- x} +9 cos2x-13 sin2x )

53. (y '' '+ y' '- y'-y = 4e ^ {- x} (1-6x) -2x cos x + 2 (1 + x) sin x )

54. (y ^ {(4)} - 5y '' + 4y = -12e ^ x + 6e ^ {- x} +10 cos x )

55. (y ^ {(4)} - 4y '' '+ 11y' '- 14y' + 10y = -e ^ x ( sin x + 2 cos2x) )

56. (y ^ {(4)} + 2y '' '- 3y' '- 4y' + 4y = 2e ^ x (1 + x) + e ^ {- 2x} )

57. (y ^ {(4)} + 4y = sinh x cos x- cosh x sin x )

58. (y ^ {(4)} + 5y '' '+ 9y' '+ 7y' + 2y = e ^ {- x} (30 + 24x) -e ^ {- 2x} )

59. (y ^ {(4)} - 4y '' '+ 7y' '- 6y' + 2y = e ^ x (12x-2 cos x + 2 sin x) )

Q9.3.2

En Ejercicios 9.3.60-9.3.68 encuentre la solución general.

60. (y '' '- y' '- y' + y = e ^ {2x} (10 + 3x) )

61. (y '' '+ y' '- 2y = -e ^ {3x} (9 + 67x + 17x ^ 2) )

62. (y '' '- 6y' '+ 11y'-6y = e ^ {2x} (5-4x-3x ^ 2) )

63. (y '' '+ 2y' '+ y' = - 2e ^ {- x} (7-18x + 6x ^ 2) )

64. (y '' '- 3y' '+ 3y'-y = e ^ x (1 + x) )

65. (y ^ {(4)} - 2y '' + y = -e ^ {- x} (4-9x + 3x ^ 2) )

66. (y '' '+ 2y' '- y'-2y = e ^ {- 2x} left [(23-2x) cos x + (8-9x) sin x right] )

67. (y ^ {(4)} - 3y '' '+ 4y' '- 2y' = e ^ x left [(28 + 6x) cos 2x + (11-12x) sin2x right] )

68. (y ^ {(4)} - 4y '' '+ 14y' '- 20y' + 25y = e ^ x left [(2 + 6x) cos 2x + 3 sin2x right] )

Q9.3.3

En Ejercicios 9.3.69-9.3.74 resuelve el problema del valor inicial y grafica la solución.

69. (y '' '- 2y' '- 5y' + 6y = 2e ^ x (1-6x), quad y (0) = 2, quad y '(0) = 7, quad y' '(0) = 9 )

70. (y '' '- y' '- y' + y = -e ^ {- x} (4-8x), quad y (0) = 2, quad y '(0) = 0, quad y '' (0) = 0 )

71. (4y '' '- 3y'-y = e ^ {- x / 2} (2-3x), quad y (0) = - 1, quad y' (0) = 15, quad y '' (0) = - 17 )

72. (y ^ {(4)} + 2y '' '+ 2y' '+ 2y' + y = e ^ {- x} (20-12x), , y (0) = 3, ; y '(0) = - 4, ; y' '(0) = 7, ; y' '' (0) = - 22 )

73. (y '' '+ 2y' '+ y' + 2y = 30 cos x-10 sin x, quad y (0) = 3, quad y '(0) = - 4, quad y '' (0) = 16 )

74. (y ^ {(4)} - 3y '' '+ 5y' '- 2y' = - 2e ^ x ( cos x- sin x), ; y (0) = 2, ; y '(0) = 0, ; y' '(0) ~ = ~ -1, ; y' '' (0) = - 5 )

Q9.3.4

75. Demuestre: una función (y ) es una solución de la ecuación no homogénea de coeficiente constante

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = e ^ { alpha x} G (x) tag {A} ]

si y solo si (y = ue ^ { alpha x} ), donde (u ) satisface la ecuación diferencial

[a_0u ^ {(n)} + {p ^ {(n-1)} ( alpha) over (n-1)!} u ^ {(n-1)} + {p ^ {(n- 2)} ( alpha) over (n-2)!} U ^ {(n-2)} + cdots + p ( alpha) u = G (x) tag {B} ]

y

[p (r) = a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n nonumber ]

es el polinomio característico de la ecuación complementaria

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = 0. nonumber ]

76. Demuestre:

  1. La ecuación [ begin {array} {lll} {a_ {0} u ^ {(n)}} & {+} & { frac {p ^ {(n-1)} ( alpha)} {( n-1)!} u ^ {(n-1)} + frac {p ^ {(n-2)} ( alpha)} {(n-2)!} u ^ {(n-2)} + cdots + P ( alpha) u} {} & {=} & {(p_ {0} + p_ {1} x + cdots + p_ {k} x ^ {k}) cos omega x } {} & {+} & {(q_ {0} + q_ {1} x + cdots + q_ {k} x ^ {k}) sin omega x} end {matriz} etiqueta {A } ] tiene una solución particular de la forma [u_p = x ^ m left (u_0 + u_1x + cdots + u_kx ^ k right) cos omega x + left (v_0 + v_1x + cdots + v_kx ^ k derecha) sin omega x. nonumber ]
  2. Si ( lambda + i omega ) es un cero de (p ) con multiplicidad (m ge1 ), entonces (A) se puede escribir como [a (u '' + omega ^ 2 u) = left (p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k right) cos omega x + left (q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k right) sin omega x, nonumber ] que tiene una solución particular de la forma [u_p = U (x) cos omega x + V (x) sin omega x, nonumber ] donde [U (x) = u_0x + u_1x ^ 2 + cdots + u_kx ^ {k + 1}, , V (x) = v_0x + v_1x ^ 2 + cdots + v_kx ^ {k + 1} nonumber ] y [ begin {array} {rcl} a (U '' (x) +2 omega V '(x)) & = & p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k [10pt] a (V' '(x) -2 omega U' (x)) & = & q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k. end {matriz} nonumber ]