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5.3E: Ecuaciones lineales no homogéneas (ejercicios)


Q5.3.1

En Ejercicios 5.3.1-5.3.6 encuentre una solución particular mediante el método utilizado en el ejemplo 5.3.2. Luego, encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema del valor inicial y grafique la solución.

1. (y '' + 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 )

2. (y '' - 4y '+ 5y = 1 + 5x )

3. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 )

4. (y '' - 4y '+ 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 )

5. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 9 )

6. (y '' + 6y '+ 10y = 22 + 20x, quad y (0) = 2, ; y' (0) = - 2 )

Q5.3.2

7. Demuestre que el método usado en el ejemplo 5.3.2 no producirá una solución particular de

[y '' + y '= 1 + 2x + x ^ 2; tag {A} ]

es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma (y_p = A + Bx + Cx ^ 2 ), donde (A ), (B ) y (C ) son constantes.

Q5.3.3

En Ejercicios 5.3.8-5.3.13 encuentre una solución particular mediante el método utilizado en el ejemplo 5.3.3.

8. (x ^ {2} y '' + 7xy '+ 8y = frac {6} {x} )

9. (x ^ {2} y '' - 7xy '+ 7y = 13x ^ {1/2} )

10. (x ^ {2} y '' - xy '+ y = 2x ^ {3} )

11. (x ^ {2} y '' + 5xy '+ 4y = frac {1} {x ^ {3}} )

12. (x ^ {2} y '' + xy '+ y = 10x ^ {1/3} )

13. (x ^ {2} y '' - 3xy '+ 13y = 2x ^ {4} )

Q5.3.4

14. Demuestre que el método sugerido para encontrar una solución particular en Ejercicios 5.3.8-5.3.13 no producirá una solución particular de

[x ^ 2y '' + 3xy'-3y = {1 sobre x ^ 3}; tag {A} ]

es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma (y_p = A / x ^ 3 ).

15. Demuestre: Si (a ), (b ), (c ), ( alpha ) y (M ) son constantes y (M ne0 ) entonces

[ax ^ 2y '' + bxy '+ cy = M x ^ alpha ]

tiene una solución particular (y_p = Ax ^ alpha ) ( (A = ) constante) si y solo si (a alpha ( alpha-1) + b alpha + c ne0 ).

Q5.3.5

Si (a, b, c, ) y ( alpha ) son constantes, entonces [ alpha (e ^ { alpha x}) '' + b (e ^ { alpha x}) '+ ce ^ { alpha x} = (a alpha ^ {2} + b alpha + c) e ^ { alpha x}. ] Use esto en Ejercicios 5.3.16-5.3.21 para encontrar una solución particular. Luego, encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema del valor inicial y grafique la solución.

16. (y '' + 5y'-6y = 6e ^ {3x} )

17. (y '' - 4y '+ 5y = e ^ {2x} )

18. (y '' + 8y '+ 7y = 10e ^ {- 2x}, quad y (0) = - 2, ; y' (0) = 10 )

19. (y '' - 4y '+ 4y = e ^ {x}, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 0 )

20. (y '' + 2y '+ 10y = e ^ {x / 2} )

21. (y '' + 6y '+ 10y = e ^ {- 3x} )

Q5.3.6

22. Demuestre que el método sugerido para encontrar una solución particular en Ejercicios 5.3.16-5.3.21 no producirá una solución particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}; tag {A} ]

es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma (y_p = Ae ^ {4x} ).

23. Demuestre: Si ( alpha ) y (M ) son constantes y (M ne0 ) entonces la ecuación de coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = M e ^ { alpha x} ]

tiene una solución particular (y_p = Ae ^ { alpha x} ) ( (A = ) constante) si y solo si (e ^ { alpha x} ) no es una solución de la ecuación complementaria .

Q5.3.7

Si (ω ) es una constante, diferenciar una combinación lineal de ( cos ωx ) y ( sin ωx ) con respecto a (x ) produce otra combinación lineal de ( cos ωx ) y ( sin ωx ). En Ejercicios 5.3.24-5.3.29 use esto para encontrar una solución particular de la ecuación. Luego, encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema del valor inicial y grafique la solución.

24. (y '' - 8y '+ 16y = 23 cos x-7 sin x )

25. (y '' + y '= - 8 cos2x + 6 sin2x )

26. (y '' - 2y '+ 3y = -6 cos3x + 6 sin3x )

27. (y '' + 6y '+ 13y = 18 cos x + 6 sin x )

28. (y '' + 7y '+ 12y = -2 cos2x + 36 sin2x, quad y (0) = - 3, quad y' (0) = 3 )

29. (y '' - 6y '+ 9y = 18 cos3x + 18 sin3x, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 2 )

Q5.3.8

30. Encuentre la solución general de

[y '' + omega_0 ^ 2y = M cos omega x + N sin omega x, ]

donde (M ) y (N ) son constantes y ( omega ) y ( omega_0 ) son números positivos distintos.

31. Demuestre que el método sugerido para encontrar una solución particular en Ejercicios 5.3.24-5.3.29 no producirá una solución particular de

[y '' + y = cos x + sin x; tag {A} ]

es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma (y_p = A cos x + B sin x ).

32. Demuestre: Si (M ), (N ) son constantes (no ambos cero) y ( omega> 0 ), la ecuación del coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = M cos omega x + N sin omega x tag {A} ]

tiene una solución particular que es una combinación lineal de ( cos omega x ) y ( sin omega x ) si y solo si el lado izquierdo de (A) no tiene la forma (a (y ' '+ omega ^ 2y) ), de modo que ( cos omega x ) y ( sin omega x ) son soluciones de la ecuación complementaria.

Q5.3.9

En Ejercicios 5.3.33-5.3.38 consulte los ejercicios citados y utilice el principio de superposición para encontrar una solución particular. Luego encuentra la solución general.

33. (y '' + 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 + 6e ^ {3x} ) (Ver Ejercicios 5.3.1 y 5.3.16.)

34. (y '' - 4y '+ 5y = 1 + 5x + e ^ {2x} ) (Ver Ejercicios 5.3.2 y 5.3.17.)

35. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 + 10e ^ {- 2x} ) (Ver Ejercicios 5.3.3 y 5.3.18.)

36. (y '' - 4y '+ 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 + e ^ {x} ) (Ver Ejercicios 5.3.4 y 5.3.19.)

37. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3 + e ^ {x / 2} ) (Ver Ejercicios 5.3.5 y 5.3.20.)

38. (y '' + 6y '+ 10y = 22 + 20x + e ^ {- 3x} ) (Ver Ejercicios 5.3.6 y 5.3.21.)

Q5.3.10

39. Demuestre: Si (y_ {p_1} ) es una solución particular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) ]

en ((a, b) ) y (y_ {p_2} ) es una solución particular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_2 (x) ]

en ((a, b) ), entonces (y_p = y_ {p_1} + y_ {p_2} ) es una solución de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) + F_2 (x) ]

en ((a, b) ).

40. Suponga que (p ), (q ) y (f ) son continuas en ((a, b) ). Sea (y_1 ), (y_2 ) y (y_p ) dos veces diferenciables en ((a, b) ), de modo que (y = c_1y_1 + c_2y_2 + y_p ) es una solución de

[y '' + p (x) y '+ q (x) y = f ]

en ((a, b) ) para cada elección de las constantes (c_1, c_2 ). Demuestre que (y_1 ) y (y_2 ) son soluciones de la ecuación complementaria en ((a, b) ).


Ejercicio 1.5: Matriz: método de eliminación gaussiana

1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss:

(i) 2X - 2 y + 3z = 2, X + 2 y - z = 3, 3X - y + 2z = 1

(ii) 2X + 4 y + 6z = 22, 3X + 8 y + 5z = 27, - X + y + 2z = 2



2. Si hacha 2 + bx + C está dividido por X + 3, X - 5, y X -1, los restos son 21, 61 y 9 respectivamente. Encontrar a, B y C. (Utilice el método de eliminación gaussiano).



3. Se invierte una cantidad de 65.000 rupias en tres bonos a tipos del 6%, 8% y 10% anual, respectivamente. El ingreso anual total es de ₹ 4,800. Los ingresos del tercer bono son ₹ 600 más que los del segundo bono. Determina el precio de cada bono. (Utilice el método de eliminación gaussiano).



4. Un niño camina por el sendero. y = hacha 2 + bx + C a través de los puntos (-6, 8), (-2, -12) y (3,8). Quiere encontrarse con su amigo en PAG(7, 60). ¿Se encontrará con su amigo? (Utilice el método de eliminación gaussiano).


Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

Estudiamos brevemente ecuaciones de orden superior. Las ecuaciones que aparecen en las aplicaciones tienden a ser de segundo orden. Las ecuaciones de orden superior aparecen de vez en cuando, pero generalmente el mundo que nos rodea es de "segundo orden".

Los resultados básicos sobre las EDO lineales de orden superior son esencialmente los mismos que para las ecuaciones de segundo orden, con 2 reemplazado por (n text <.> ) El importante concepto de independencia lineal es algo más complicado cuando están involucradas más de dos funciones . Para EDO de coeficiente constante de orden superior, los métodos desarrollados también son algo más difíciles de aplicar, pero no nos detendremos en estas complicaciones. También es posible utilizar los métodos para sistemas de ecuaciones lineales del Capítulo 3 para resolver ecuaciones de coeficientes constantes de orden superior.

Comencemos con una ecuación lineal homogénea general

Teorema 2.3.1. Superposición.

Suponga (y_1 text <,> ) (y_2 text <,> ). (y_n ) son soluciones de la ecuación homogénea (2.4). Luego

también resuelve (2.4) para constantes arbitrarias (C_1, C_2, ldots, C_n text <.> )

En otras palabras, un combinación lineal de soluciones a (2.4) también es una solución a (2.4). También tenemos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales no homogéneas.

Teorema 2.3.2. Existencia y singularidad.

Suponga que (p_0 ) a (p_ text <,> ) y (f ) son funciones continuas en algún intervalo (I text <,> ) (a ) es un número en (I text <,> ) y (b_0, b_1, ldots, b_) son constantes. La ecuacion

tiene exactamente una solución (y (x) ) definida en el mismo intervalo (I ) que satisface las condiciones iniciales

Subsección 2.3.1 Independencia lineal

Cuando teníamos dos funciones (y_1 ) y (y_2 ) dijimos que eran linealmente independientes si una no era múltiplo de la otra. La misma idea se aplica a las funciones (n ). En este caso, es más fácil afirmar lo siguiente. Las funciones (y_1 text <,> ) (y_2 text <,> ). (y_n ) son independiente linealmente si la ecuación

tiene solo la solución trivial (c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0 text <,> ) donde la ecuación debe ser válida para todo (x text <.> ) Si podemos resolver la ecuación con algunas constantes donde por ejemplo (c_1 not = 0 text <,> ) entonces podemos resolver (y_1 ) como una combinación lineal de los otros. Si las funciones no son linealmente independientes, son linealmente dependiente.

Ejemplo 2.3.1.

Demuestre que (e ^ x, e ^ <2x>, e ^ <3x> ) son linealmente independientes.

Démosle varias formas de mostrar este hecho. Muchos libros de texto (incluidos [EP] y [F]) presentan a los wronskianos, pero es difícil ver por qué funcionan y no son realmente necesarios aquí.

Usamos reglas de exponenciales y escribimos (z = e ^ x text <.> ) Por lo tanto (z ^ 2 = e ^ <2x> ) y (z ^ 3 = e ^ <3x> text < .> ) Entonces tenemos

El lado izquierdo es un polinomio de tercer grado en (z text <.> ) O es idénticamente cero o tiene como máximo 3 ceros. Por lo tanto, es idénticamente cero, (c_1 = c_2 = c_3 = 0 text <,> ) y las funciones son linealmente independientes.

Intentemos de otra manera. Como antes escribimos

Esta ecuación tiene que ser válida para todo (x text <.> ) Dividimos entre (e ^ <3x> ) para obtener

Como la ecuación es verdadera para todo (x text <,> ) let (x to infty text <.> ) Después de tomar el límite, vemos que (c_3 = 0 text <.> ) Por tanto, nuestra ecuación se convierte en

¿Qué tal otra forma más? Escribimos de nuevo

Podemos evaluar la ecuación y sus derivadas en diferentes valores de (x ) para obtener ecuaciones para (c_1 text <,> ) (c_2 text <,> ) y (c_3 text <.> ) Primero dividamos entre (e ^) por simplicidad.

Establecemos (x = 0 ) para obtener la ecuación (c_1 + c_2 + c_3 = 0 text <.> ) Ahora diferenciamos ambos lados

Establecemos (x = 0 ) para obtener (c_2 + 2c_3 = 0 text <.> ) Dividimos por (e ^ x ) nuevamente y diferenciamos para obtener (2 c_3 e ^ = 0 text <.> ) Está claro que (c_3 ) es cero. Entonces (c_2 ) debe ser cero como (c_2 = -2c_3 text <,> ) y (c_1 ) debe ser cero porque (c_1 + c_2 + c_3 = 0 text <.> )

No existe una mejor manera de hacerlo. Todos estos métodos son perfectamente válidos. Lo importante es comprender por qué las funciones son linealmente independientes.

Ejemplo 2.3.2.

Por otro lado, las funciones (e ^ x text <,> ) (e ^ <-x> text <,> ) y ( cosh x ) son linealmente dependientes. Simplemente aplique la definición del coseno hiperbólico:

Subsección 2.3.2 EDO de orden superior de coeficiente constante

Cuando tenemos una ecuación lineal homogénea de coeficiente constante de orden superior, la canción y el baile son exactamente iguales a los de segundo orden. Solo necesitamos encontrar más soluciones. Si la ecuación es (n ^ < text> ) orden, necesitamos encontrar (n ) soluciones linealmente independientes. Se ve mejor con el ejemplo.

Ejemplo 2.3.3.

Encuentre la solución general para

Prueba: (y = e ^ text <.> ) Conectamos y obtenemos

Dividimos entre (e ^ text <.> ) Entonces

El truco ahora es encontrar las raíces. Existe una fórmula para las raíces de los polinomios de grado 3 y 4, pero es muy complicada. No existe una fórmula para polinomios de grado superior. Eso no significa que las raíces no existan. Siempre hay (n ) raíces para un (n ^ < text> ) polinomio de grados. Pueden repetirse y ser complejos. Las computadoras son bastante buenas para encontrar raíces aproximadamente para polinomios de tamaño razonable.

Un buen lugar para comenzar es trazar el polinomio y verificar dónde está cero. También podemos simplemente intentar conectar. Empezamos a conectar números (r = -2, -1,0,1,2, ldots ) ​​y ver si obtenemos un acierto (también podemos probar números complejos). Incluso si no obtenemos un acierto, es posible que obtengamos una indicación de dónde está la raíz. Por ejemplo, conectamos (r = -2 ) en nuestro polinomio y obtenemos (- 15 text <> ) conectamos (r = 0 ) y obtenemos 3. Eso significa que hay una raíz entre (r = -2 ) y (r = 0 text <,> ) porque el signo cambió. Si encontramos una raíz, digamos (r_1 text <,> ), entonces sabemos que ((r-r_1) ) es un factor de nuestro polinomio. Entonces se puede utilizar la división larga polinomial.

Una buena estrategia es comenzar con (r = 0 text <,> ) (1 text <,> ) o (- 1 text <.> ) Estos son fáciles de calcular. Nuestro polinomio tiene dos raíces, (r_1 = -1 ) y (r_2 = 1 text <.> ) Debería haber 3 raíces y la última raíz es razonablemente fácil de encontrar. El término constante en un polinomio monic 1 como este es el múltiplo de las negaciones de todas las raíces porque (r ^ 3 - 3 r ^ 2 - r + 3 = (r-r_1) (r-r_2) (r- r_3) text <.> ) Entonces

Debe comprobar que (r_3 = 3 ) realmente es una raíz. Por lo tanto (e ^ <-x> text <,> ) (e ^) y (e ^ <3x> ) son soluciones de (2.5). Son linealmente independientes, como se puede comprobar fácilmente, y hay 3, que resulta ser exactamente el número que necesitamos. Entonces la solución general es

Supongamos que se nos dan algunas condiciones iniciales (y (0) = 1 text <,> ) (y '(0) = 2 text <,> ) y (y' '(0) = 3 texto <.> ) Entonces

Es posible encontrar la solución mediante el álgebra de la escuela secundaria, pero sería una molestia. La forma sensata de resolver un sistema de ecuaciones como este es usar álgebra matricial, consulte la Sección 3.2 o el Apéndice A. Por ahora, notamos que la solución es (C_1 = - nicefrac <1> <4> text <, > ) (C_2 = 1 text <,> ) y (C_3 = nicefrac <1> <4> text <.> ) La solución específica para la EDO es

A continuación, suponga que tenemos raíces reales, pero se repiten. Digamos que tenemos una raíz (r ) repetida (k ) veces. En el espíritu de la solución de segundo orden, y por las mismas razones, tenemos las soluciones

Tomamos una combinación lineal de estas soluciones para encontrar la solución general.

Ejemplo 2.3.4.

Observamos que la ecuación característica es

Por inspección, notamos que (r ^ 4 - 3r ^ 3 + 3r ^ 2 -r = r <(r-1)> ^ 3 text <.> ) Por lo tanto, las raíces dadas con multiplicidad son (r = 0 , 1, 1, 1 text <.> ) Por tanto, la solución general es

El caso de las raíces complejas es similar a las ecuaciones de segundo orden. Las raíces complejas siempre vienen en pares (r = alpha pm i beta text <.> ) Supongamos que tenemos dos raíces complejas, cada una repetida (k ) veces. La solución correspondiente es

donde (C_0 text <,> ). (C_ text <,> ) (D_0 text <,> ). (D_) son constantes arbitrarias.

Ejemplo 2.3.5.

La ecuación característica es

Por tanto, las raíces son (1 pm i text <,> ) ambas con multiplicidad 2. Por tanto, la solución general de la EDO es

La forma en que resolvimos la ecuación característica anterior es realmente adivinando o inspeccionando. No es tan fácil en general. También podríamos haber pedido una computadora o una calculadora avanzada para las raíces.

Subsección 2.3.3 Ejercicios

Ejercicio 2.3.1.

Encuentra la solución general para (y '' '- y' '+ y' - y = 0 text <.> )

Ejercicio 2.3.2.

Encuentra la solución general para (y ^ <(4)> - 5 y '' '+ 6 y' '= 0 text <.> )

Ejercicio 2.3.3.

Encuentra la solución general para (y '' '+ 2 y' '+ 2 y' = 0 text <.> )

Ejercicio 2.3.4.

Suponga que la ecuación característica de una EDO es (<(r-1)> ^ 2 <(r-2)> ^ 2 = 0 text <.> )

Encuentra tal ecuación diferencial.

Encuentra su solución general.

Ejercicio 2.3.5.

Suponga que una ecuación de cuarto orden tiene una solución (y = 2 e ^ <4x> x cos x text <.> )

Encuentre las condiciones iniciales que satisface la solución dada.

Ejercicio 2.3.6.

Encuentre la solución general de la ecuación del ejercicio 2.3.5.

Ejercicio 2.3.7.

Sea (f (x) = e ^ x - cos x text <,> ) (g (x) = e ^ x + cos x text <,> ) y (h (x) = cos x text <.> ) ¿Son (f (x) text <,> ) (g (x) text <,> ) y (h (x) ) linealmente independientes? Si es así, muéstrelo, si no, encuentre una combinación lineal que funcione.

Ejercicio 2.3.8.

Sea (f (x) = 0 text <,> ) (g (x) = cos x text <,> ) y (h (x) = sin x text <.> ) ¿Son (f (x) text <,> ) (g (x) text <,> ) y (h (x) ) linealmente independientes? Si es así, muéstrelo, si no, encuentre una combinación lineal que funcione.

Ejercicio 2.3.9.

¿Son (x text <,> ) (x ^ 2 text <,> ) y (x ^ 4 ) linealmente independientes? Si es así, muéstrelo, si no, encuentre una combinación lineal que funcione.

Ejercicio 2.3.10.

¿Son (e ^ x text <,> ) (xe ^ x text <,> ) y (x ^ 2e ^ x ) linealmente independientes? Si es así, muéstrelo, si no, encuentre una combinación lineal que funcione.

Ejercicio 2.3.11.

Encuentra una ecuación tal que (y = xe ^ <-2x> sin (3x) ) sea una solución.

Ejercicio 2.3.101.

Encuentra la solución general de (y ^ <(5)> - y ^ <(4)> = 0 text <.> )

(y = C_1 e ^ x + C_2 x ^ 3 + C_3 x ^ 2 + C_4 x + C_5 )

Ejercicio 2.3.102.

Suponga que la ecuación característica de una ecuación diferencial de tercer orden tiene raíces ( pm 2i ) y 3.

¿Cuál es la ecuación característica?

Encuentre la ecuación diferencial correspondiente.

Encuentra la solución general.

a) (r ^ 3-3r ^ 2 + 4r-12 = 0 ) b) (y '' '- 3y' '+ 4y'-12y = 0 ) c) (y = C_1 e ^ < 3x> + C_2 sin (2x) + C_3 cos (2x) )

Ejercicio 2.3.103.

Resuelve (1001y '' '+ 3.2y' '+ pi y' - sqrt <4> y = 0 text <,> ) (y (0) = 0 text <,> ) ( y '(0) = 0 text <,> ) (y' '(0) = 0 text <.> )

Ejercicio 2.3.104.

Son (e ^ text <,> ) (e ^ text <,> ) (e ^ <2x> text <,> ) ( sin (x) ) linealmente independiente? Si es así, muéstrelo, si no encuentra una combinación lineal que funcione.

Ejercicio 2.3.105.

¿Son ( sin (x) text <,> ) (x text <,> ) (x sin (x) ) linealmente independientes? Si es así, muéstrelo, si no encuentra una combinación lineal que funcione.

Si. (Sugerencia: primero observe que ( sin (x) ) está acotado. Luego, observe que (x ) y (x sin (x) ) no pueden ser múltiplos entre sí).

Ejercicio 2.3.106.

Encuentra una ecuación tal que (y = cos (x) text <,> ) (y = sin (x) text <,> ) (y = e ^ x ) sean soluciones.


RD Sharma Clase 12 Matemáticas Capítulo 8 Las soluciones sobre ecuaciones lineales simultáneas responden a todos los ejercicios y preguntas con soluciones precisas. El capítulo 8 de las soluciones de RD Sharma para matemáticas de clase 12 lo ayuda a aprender y comprender sistemas consistentes, sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas, sistemas de resolución de ecuaciones mediante el método matricial, utilizando el método matricial para resolver problemas basados ​​en sistemas no homogéneos de ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales cuando el coeficiente es no matricial o no singular, o para la matriz de coeficientes singulares, o cuando se obtiene una inversa de la matriz de coeficientes.

El concepto de ecuaciones lineales simultáneas del capítulo 8 implica sistemas homogéneos y no homogéneos. Los conceptos explicados en RD Sharma Class 12 Maths Chapter 8 incluyen:

  • Sistemas consistentes, su definición y significado
  • Un sistema homogéneo de ecuación lineal simultánea
  • Sistema de ecuaciones lineales simultáneas no homogéneas
  • Resolver el sistema no homogéneo mediante el método matricial

Las soluciones de RD Sharma ayudan a los estudiantes a seleccionar las preguntas y problemas importantes para los exámenes, los trabajos de muestra y los enlaces de preguntas y soluciones del año anterior para prepararse bien para su examen de la clase 12 y aprobar con altas calificaciones.


Acústica de envolventes

Paul J.T. Filippi, en Acústica, 1999

2.2.3 Régimen forzado para el problema de Neumann: expansión en serie de modos propios de la solución

Intentemos ahora establecer una expresión para la solución de la ecuación no homogénea

que satisface una condición de frontera de Neumann homogénea. Se puede demostrar que la secuencia de funciones PAGprimero(X, y, z) dado por (2.24) es una base del espacio de Hilbert que pag(X, y, z) pertenece al espacio de funciones cuadradas integrables en Ω junto con sus primeras derivadas y que satisfacen una condición de frontera de Neumann homogénea en σ, la frontera de Ω. Si el término fuente F(X, y, z) es una función cuadrática integrable, se puede expandir en una serie de modos propios:

La presión acústica pag(X, y, z) se busca como una expansión en serie de las mismas funciones:

La expresión (2.36) se introduce en (2.34), lo que lleva a

Intuitivamente, esta ecuación se satisface en todas partes en Ω si y solo si los coeficientes de los términos PAGprimero(X, y, z) en ambos lados de la igualdad son iguales, es decir, si

Si k es diferente de cualquier número de onda propio kprimero, uno obtiene:

y, por tanto, la serie que representa la respuesta pag(X, y, z) del fluido a la excitación F(X, y, z) está determinado de forma única. A priori, esta serie no converge a la solución en cada punto sino que converge en el sentido de la L 2 -norm. Se puede demostrar que existe un punto de convergencia fuera del soporte del término fuente.

La hipótesis de que F(X, y, z) es una función integrable cuadrada que se puede relajar y reemplazar por la menos restrictiva que F es una distribución con soporte compacto: por ejemplo, una pequeña fuente isotrópica ubicada alrededor de un punto (tu, v, w) se puede describir con mucha precisión como una medida de Dirac

De manera rigurosa, la ecuación (2.37) debe resolverse en el sentido débil. Esto significa que debe ser reemplazado por

donde Φ (X, y, z) es cualquier función del espacio de Hilbert que pag(X, y, z) pertenece a. Si elegimos la secuencia de modos propios PAGr′s′t ′(X, y, z), el resultado ya dado es sencillo. Si F es una distribución, las integrales en la igualdad anterior se reemplazan por los productos de dualidad y Φ (X, y, z) es cualquier función indefinidamente diferenciable con soporte compacto en Ω: en particular, los modos propios son tales funciones. Entonces, para una medida de Dirac, se establece fácilmente el siguiente resultado:

Expresiones de los coeficientes Ψprimero y de la serie (2.36) permanecen sin cambios. Sin embargo, la serie que representa la presión acústica converge en el sentido de distribución. Prácticamente, hay un punto de convergencia fuera del soporte del término fuente. Un resultado tan elemental es una aplicación directa de los conceptos básicos de la teoría de distribuciones desarrollada en el libro de L. Schwartz [10] al que se hace referencia al final de este capítulo.


Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

Primero hablemos de funciones con valores matriciales o vectoriales. Tal función es simplemente una matriz o vector cuyas entradas dependen de alguna variable. Si (t ) es la variable independiente, escribimos una función de valor vectorial ( vec(t) ) como

Similarmente un función con valores de matriz (A (t) ) es

La derivada (A '(t) ) o ( frac

) es solo la función con valores de matriz cuyo (ij ^ < text> ) la entrada es (a_'(t) text <.> )

Las reglas de diferenciación de funciones con valores matriciales son similares a las reglas para funciones normales. Sean (A (t) ) y (B (t) ) funciones con valores matriciales. Sea (c ) un escalar y sea (C ) una matriz constante. Luego

Note el orden de la multiplicación en las dos últimas expresiones.

A sistema lineal de primer orden de EDO es un sistema que se puede escribir como la ecuación vectorial

donde (P (t) ) es una función con valores de matriz, y ( vec(t) ) y ( vec(t) ) son funciones con valores vectoriales. A menudo suprimiremos la dependencia de (t ) y solo escribiremos (< vec> '= P vec + vec text <.> ) Una solución del sistema es una función con valores vectoriales ( vec) satisfacer la ecuación vectorial.

Por ejemplo, las ecuaciones

Nos concentraremos principalmente en ecuaciones que no son solo lineales, sino que de hecho son coeficiente constante ecuaciones. Es decir, la matriz (P ) será constante, no dependerá de (t text <.> )

Cuando ( vec = vec <0> ) (el vector cero), entonces decimos que el sistema es homogéneo. Para sistemas lineales homogéneos tenemos el principio de superposición, al igual que para las ecuaciones homogéneas simples.

Teorema 3.3.1. Superposición.

Sea (< vec> '= P vec) ser un sistema lineal homogéneo de EDO. Suponga que ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) son (n ) soluciones de la ecuación y (c_1, c_2, ldots, c_n ) son cualquier constante, entonces

también es una solución. Además, si este es un sistema de (n ) ecuaciones ( (P ) es (n veces n )), y ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) son linealmente independientes, entonces toda solución ( vec) se puede escribir como (3.2).

La independencia lineal para funciones con valores vectoriales es la misma idea que para las funciones normales. Las funciones con valores vectoriales ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) son linealmente independientes cuando

tiene solo la solución (c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0 text <,> ) donde la ecuación debe ser válida para todo (t text <.> )

Ejemplo 3.3.1.

( vec_1 = Bigl [ begin t ^ 2 t end Bigr] text <,> ) ( vec_2 = Bigl [ begin 0 1 + t end Bigr] text <,> ) ( vec_3 = Bigl [ begin -t ^ 2 1 end Bigr] ) son linealmente dependientes porque ( vec_1 + vec_3 = vec_2 text <,> ) y esto es válido para todos (t text <.> ) Entonces (c_1 = 1 text <,> ) (c_2 = -1 text <,> ) y (c_3 = 1 ) anterior funcionará.

Por otro lado, si cambiamos el ejemplo ligeramente ( vec_1 = Bigl [ begin t ^ 2 t end Bigr] text <,> ) ( vec_2 = Bigl [ begin 0 t end Bigr] text <,> ) ( vec_3 = Bigl [ begin -t ^ 2 1 end Bigr] text <,> ) entonces las funciones son linealmente independientes. Primero escribe (c_1 vec_1 + c_2 vec_2 + c_3 vec_3 = vec <0> ) y tenga en cuenta que tiene que ser válido para todo (t text <.> ) Obtenemos que

En otras palabras (c_1 t ^ 2 - c_3 t ^ 2 = 0 ) y (c_1 t + c_2 t + c_3 = 0 text <.> ) Si establecemos (t = 0 text <,> ) entonces la segunda ecuación se convierte en (c_3 = 0 text <.> ) Pero entonces la primera ecuación se convierte en (c_1 t ^ 2 = 0 ) para todo (t ) y entonces (c_1 = 0 text <.> ) Por lo tanto, la segunda ecuación es simplemente (c_2 t = 0 text <,> ) lo que significa (c_2 = 0 text <.> ) Entonces (c_1 = c_2 = c_3 = 0 ) es la única solución y ( vec_1 texto <,> ) ( vec_2 text <,> ) y ( vec_3 ) son linealmente independientes.

La combinación lineal (c_1 vec_1 + c_2 vec_2 + cdots + c_n vec_n ) siempre podría escribirse como

donde (X (t) ) es la matriz con columnas ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n text <,> ) y ( vec) es el vector de columna con entradas (c_1, c_2, ldots, c_n text <.> ) Suponiendo que ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) son linealmente independientes, la función de valores matriciales (X (t) ) se llama matriz fundamentalo un solución de matriz fundamental.

Para resolver sistemas lineales de primer orden no homogéneos, usamos la misma técnica que aplicamos para resolver ecuaciones lineales simples no homogéneas.

Teorema 3.3.2.

Sea (< vec> '= P vec + vec) ser un sistema lineal de EDO. Suponga ( vec_p ) es una solución particular. Entonces cada solución se puede escribir como

donde ( vec_c ) es una solución a la ecuación homogénea asociada ( (< vec> '= P vec)).

El procedimiento para los sistemas es el mismo que para las ecuaciones simples. Encontramos una solución particular a la ecuación no homogénea, luego encontramos la solución general a la ecuación homogénea asociada y finalmente sumamos las dos.

Muy bien, suponga que ha encontrado la solución general de (< vec> '= P vec + vec text <.> ) A continuación, suponga que se le da una condición inicial de la forma

para algunos (t_0 ) fijo y un vector constante ( vec text <.> ) Sea (X (t) ) una solución matricial fundamental de la ecuación homogénea asociada (es decir, las columnas de (X (t) ) son soluciones). La solución general se puede escribir como

Buscamos un vector ( vec) tal que

En otras palabras, estamos despejando ( vec) el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales

Ejemplo 3.3.2.

con condiciones iniciales (x_1 (0) = 1 text <,> ) (x_2 (0) = 2 text <.> ) Consideremos este problema en el lenguaje de esta sección.

El sistema es homogéneo, entonces ( vec(t) = vec <0> text <.> ) Escribimos el sistema y las condiciones iniciales como

Encontramos que la solución general es (x_1 = c_1 e ^ t ) y (x_2 = frac<2> e ^ + c_2e ^ <-t> text <.> ) Dejando (c_1 = 1 ) y (c_2 = 0 text <,> ) obtenemos la solución ( left [ begin e ^ t (1/2) e ^ t end right] text <.> ) Dejando (c_1 = 0 ) y (c_2 = 1 text <,> ) obtenemos ( left [ begin 0 e ^ <-t> end right] text <.> ) Estas dos soluciones son linealmente independientes, como se puede ver al establecer (t = 0 text <,> ) y observar que los vectores constantes resultantes son linealmente independientes. En notación matricial, una solución matricial fundamental es, por tanto,

Para resolver el problema del valor inicial, resolvemos ( vec) en la ecuación

Una sola operación de fila elemental muestra ( vec = left [ begin 1 3/2 end right] text <.> ) Nuestra solución es

Esta nueva solución concuerda con nuestra solución anterior de la Sección 3.1.

Subsección 3.3.1 Ejercicios

Ejercicio 3.3.1.

Escribe el sistema (x_1 '= 2 x_1 - 3t x_2 + sin t text <,> ) (x_2' = e ^ t x_1 + 3 x_2 + cos t ) en la forma (< vec> '= P (t) vec + vec(t) texto <.> )

Ejercicio 3.3.2.

Verifique que el sistema (< vec> '= left [ begin 1 y amp 3 3 y amp 1 end right] vec) tiene las dos soluciones ( left [ begin 1 1 end right] e ^ <4t> ) y ( left [ begin 1 -1 end right] e ^ <-2t> text <.> )

Anote la solución general.

Escriba la solución general en la forma (x_1 =? Text <,> ) (x_2 =? ) (Es decir, escriba una fórmula para cada elemento de la solución).

Ejercicio 3.3.3.

Verifica que ( left [ begin 1 1 end right] e ^) y ( left [ begin 1 -1 end right] e ^) son linealmente independientes. Sugerencia: simplemente ingrese (t = 0 text <.> )

Ejercicio 3.3.4.

Verifica que ( left [ begin 1 1 0 end right] e ^) y ( left [ begin 1 -1 1 end right] e ^) y ( left [ begin 1 -1 1 end right] e ^ <2t> ) son linealmente independientes. Sugerencia: debe ser un poco más complicado que en el ejercicio anterior.

Ejercicio 3.3.5.

Verifica que ( left [ begin t t ^ 2 end right] ) y ( left [ begin t ^ 3 t ^ 4 end right] ) son linealmente independientes.

Ejercicio 3.3.6.

Tome el sistema (x_1 '+ x_2' = x_1 text <,> ) (x_1 '- x_2' = x_2 text <.> )

Escríbalo en la forma (A < vec> '= B vec) para matrices (A ) y (B text <.> )

Calcule (A ^ <-1> ) y utilícelo para escribir el sistema en la forma (< vec> '= P vec text <.> )

Ejercicio 3.3.101.

¿Están ( left [ begin e ^ <2t> e ^ t end right] ) y ( left [ begin e ^ e ^ <2t> end right] ) linealmente independiente? Justificar.

Ejercicio 3.3.102.

¿Están ( left [ begin cosh (t) 1 end right] text <,> ) ( left [ begin e ^ 1 end right] text <,> ) y ( left [ begin e ^ <-t> 1 end right] ) linealmente independiente? Justificar.


Ecuaciones clave

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  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Cálculo Volumen 3
    • Fecha de publicación: 30 de marzo de 2016
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-key-equations

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    5.4. Respuestas a problemas lineales no homogéneos de ecuaciones diferenciales de segundo orden

    A continuación se encuentran las respuestas a las preguntas de práctica presentadas a lo largo de este capítulo. Cada uno se resuelve paso a paso para que, si se equivocó en uno en el camino, pueda ver más fácilmente dónde tomó un giro equivocado.

    1 ¿Cuál es la solución general para esta ecuación diferencial de segundo orden no homogénea?

    Solución: y = c 1 e −x + c 2 e −2 x + e x

    Primero, encuentre la versión homogénea de la ecuación original:

    Suponga que la solución de la ecuación diferencial homogénea es de la forma y = e rx. Cuando sustituye esa solución en la ecuación, obtiene la ecuación característica

    Continúe y factorice eso de la siguiente manera:

    Si determina que las raíces, r 1 y r 2, de la ecuación característica son -1 y -2, sabes que

    Por tanto, la solución de la ecuación diferencial homogénea viene dada por

    Ahora necesita una solución particular a la ecuación diferencial:

    Tenga en cuenta que g (x) tiene la forma e x aquí, así que suponga que la solución particular tiene la forma

    Sustituir ypag (x) en la ecuación:

    Ae x + 3 Ae x + 2 Ae x = 6 e x

    Tu solución particular es

    Porque la solución general de la ecuación no homogénea con la que comenzó es la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y una solución particular.

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    Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

    Nota: 1 o 1.5 conferencia, §8.2 en [EP], §5.2 y §5.3 en [BD]

    Supongamos que tenemos una EDO lineal homogénea de segundo orden de la forma

    Suponga que (p (x) text <,> ) (q (x) text <,> ) y (r (x) ) son polinomios. Intentaremos una solución del formulario

    and solve for the (a_k) to try to obtain a solution defined in some interval around (x_0 ext<.>)

    The point (x_0) is called an ordinary point if (p(x_0) ot= 0 ext<.>) That is, the functions

    are defined for (x) near (x_0 ext<.>) If (p(x_0) = 0 ext<,>) then we say (x_0) is a singular point. Handling singular points is harder than ordinary points and so we now focus only on ordinary points.

    Example 7.2.1 .

    Let us start with a very simple example

    Let us try a power series solution near (x_0 = 0 ext<,>) which is an ordinary point. Every point is an ordinary point in fact, as the equation is constant coefficient. We already know we should obtain exponentials or the hyperbolic sine and cosine, but let us pretend we do not know this.

    If we differentiate, the (k=0) term is a constant and hence disappears. We therefore get

    We differentiate yet again to obtain (now the (k=1) term disappears)

    We reindex the series (replace (k) with (k+2)) to obtain

    Now we plug (y) and (y'') into the differential equation

    As (y'' - y) is supposed to be equal to 0, we know that the coefficients of the resulting series must be equal to 0. Therefore,

    The equation above is called a recurrence relation for the coefficients of the power series. It did not matter what (a_0) or (a_1) was. They can be arbitrary. But once we pick (a_0) and (a_1 ext<,>) then all other coefficients are determined by the recurrence relation.

    Let us see what the coefficients must be. First, (a_0) and (a_1) are arbitrary. Luego,

    So for even (k ext<,>) that is (k=2n ext<,>) we have

    and for odd (k ext<,>) that is (k=2n+1 ext<,>) we have

    Let us write down the series

    We recognize the two series as the hyperbolic sine and cosine. Por lo tanto,

    Of course, in general we will not be able to recognize the series that appears, since usually there will not be any elementary function that matches it. In that case we will be content with the series.

    Example 7.2.2 .

    Let us do a more complex example. Considerar Airy's equation 1 :

    near the point (x_0 = 0 ext<.>) Note that (x_0 = 0) is an ordinary point.

    We differentiate twice (as above) to obtain

    We plug (y) into the equation

    We reindex to make things easier to sum

    Again (y''-xy) is supposed to be 0, so (a_2 = 0 ext<,>) and

    We jump in steps of three. First, since (a_2 = 0) we must have , (a_5 = 0 ext<,>) (a_8 = 0 ext<,>) (a_<11>=0 ext<,>) etc. In general, (a_ <3n+2>= 0 ext<.>)

    The constants (a_0) and (a_1) are arbitrary and we obtain

    For (a_k) where (k) is a multiple of (3 ext<,>) that is (k=3n) we notice that

    For (a_k) where (k = 3n+1 ext<,>) we notice

    In other words, if we write down the series for (y ext<,>) it has two parts

    and write the general solution to the equation as (y(x)= a_0 y_1(x) + a_1 y_2(x) ext<.>) If we plug in (x=0) into the power series for (y_1) and (y_2 ext<,>) we find (y_1(0) = 1) and (y_2(0) = 0 ext<.>) Similarly, (y_1'(0) = 0) and (y_2'(0) = 1 ext<.>) Therefore (y = a_0 y_1 + a_1 y_2) is a solution that satisfies the initial conditions (y(0) = a_0) and (y'(0) = a_1 ext<.>)

    Figure 7.3 . The two solutions (y_1) and (y_2) to Airy's equation.

    The functions (y_1) and (y_2) cannot be written in terms of the elementary functions that you know. See Figure 7.3 for the plot of the solutions (y_1) and (y_2 ext<.>) These functions have many interesting properties. For example, they are oscillatory for negative (x) (like solutions to (y''+y=0)) and for positive (x) they grow without bound (like solutions to (y''-y=0)).

    Sometimes a solution may turn out to be a polynomial.

    Example 7.2.3 .

    Let us find a solution to the so-called Hermite's equation of order (n) 2 :

    Let us find a solution around the point (x_0 = 0 ext<.>) We try

    We differentiate (as above) to obtain

    Now we plug into the equation

    This recurrence relation actually includes (a_2 = -na_0) (which comes about from (2a_2+2na_0 = 0)). Again (a_0) and (a_1) are arbitrary.

    Let us separate the even and odd coefficients. Encontramos eso

    Let us write down the two series, one with the even powers and one with the odd.

    We remark that if (n) is a positive even integer, then (y_1(x)) is a polynomial as all the coefficients in the series beyond a certain degree are zero. If (n) is a positive odd integer, then (y_2(x)) is a polynomial. For example, if (n=4 ext<,>) then

    Subsection 7.2.1 Exercises

    In the following exercises, when asked to solve an equation using power series methods, you should find the first few terms of the series, and if possible find a general formula for the (k^< ext>) coefficient.

    Exercise 7.2.1 .

    Use power series methods to solve (y''+y = 0) at the point (x_0 = 1 ext<.>)

    Exercise 7.2.2 .

    Use power series methods to solve (y''+4xy = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Exercise 7.2.3 .

    Use power series methods to solve (y''-xy = 0) at the point (x_0 = 1 ext<.>)

    Exercise 7.2.4 .

    Use power series methods to solve (y''+x^2y = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Exercise 7.2.5 .

    The methods work for other orders than second order. Try the methods of this section to solve the first order system (y'-xy = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Exercise 7.2.6 . Chebyshev's equation of order (p).

    Solve ((1-x^2)y''-xy' + p^2y = 0) using power series methods at (x_0=0 ext<.>)

    For what (p) is there a polynomial solution?

    Exercise 7.2.7 .

    Find a polynomial solution to ((x^2+1) y''-2xy'+2y = 0) using power series methods.

    Exercise 7.2.8 .

    Use power series methods to solve ((1-x)y''+y = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Use the solution to part a) to find a solution for (xy''+y=0) around the point (x_0=1 ext<.>)

    Exercise 7.2.101 .

    Use power series methods to solve (y'' + 2 x^3 y = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    (a_2 = 0 ext<,>) (a_3 = 0 ext<,>) (a_4 = 0 ext<,>) recurrence relation (for (k geq 5)): (a_k = frac<- 2 a_> ext<,>) so:
    (y(x) = a_0 + a_1 x -frac <10>x^5 - frac <15>x^6 + frac <450>x^ <10>+ frac <825>x^ <11>- frac <47250>x^ <15>- frac <99000>x^ <16>+ cdots)

    Exercise 7.2.102 .

    (challenging) Power series methods also work for nonhomogeneous equations.

    Use power series methods to solve (y'' - x y = frac<1><1-x>) at the point (x_0 = 0 ext<.>) Hint: Recall the geometric series.

    Now solve for the initial condition (y(0)=0 ext<,>) (y'(0) = 0 ext<.>)

    a) (a_2 = frac<1><2> ext<,>) and for (k geq 1) we have (a_k = frac <>+ 1> ext<,>) so
    (y(x) = a_0 + a_1 x + frac<1> <2>x^2 + frac <6>x^3 + frac <12>x^4 + frac<3> <40>x^5 + frac <30>x^6 + frac <42>x^7 + frac<5> <112>x^8 + frac <72>x^9 + frac <90>x^ <10>+ cdots)
    b) (y(x) = frac<1> <2>x^2 + frac<1> <6>x^3 + frac<1> <12>x^4 + frac<3> <40>x^5 + frac<1> <15>x^6 + frac<1> <21>x^7 + frac<5> <112>x^8 + frac<1> <24>x^9 + frac<1> <30>x^ <10>+ cdots)

    Exercise 7.2.103 .

    Attempt to solve (x^2 y'' - y = 0) at (x_0 = 0) using the power series method of this section ((x_0) is a singular point). Can you find at least one solution? Can you find more than one solution?

    Applying the method of this section directly we obtain (a_k = 0) for all (k) and so (y(x) = 0) is the only solution we find.


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