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2.4E: Transformación de ecuaciones no lineales en ecuaciones separables (ejercicios) - Matemáticas


Q2.4.1

En Ejercicios 2.4.1-2.4.4 resuelve la ecuación de Bernoulli dada.

1. (y '+ y = y ^ 2 )

2. ({7xy'-2y = - {x ^ 2 over y ^ 6}} )

3. (x ^ 2y '+ 2y = 2e ^ {1 / x} y ^ {1/2} )

4. ({(1 + x ^ 2) y '+ 2xy = {1 over (1 + x ^ 2) y}} )

Q2.4.2

En Ejercicios 2.4.5 y 2.4.6 encontrar todas las soluciones. Además, trace un campo de dirección y algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.

5. (y'-xy = x ^ 3y ^ 3; quad {- 3 le x le 3, 2 le y ge 2 } )

6. ({y '- {1 + x over 3x} y = y ^ 4}; quad {- 2 le x le2, -2 le y le2 } )

Q2.4.3

En Ejercicios 2.4.7-2.4.11 resolver el problema del valor inicial.

7. (y'-2y = xy ^ 3, quad y (0) = 2 sqrt2 )

8. (y'-xy = xy ^ {3/2}, quad y (1) = 4 )

9. (xy '+ y = x ^ 4y ^ 4, quad y (1) = 1/2 )

10. (y'-2y = 2y ^ {1/2}, quad y (0) = 1 )

11. ({y'-4y = {48x over y ^ 2}, quad y (0) = 1} )

Q2.4.4

En Ejercicios 2.4.12 y 2.4.13 resuelve el problema del valor inicial y grafica la solución.

12. (x ^ 2y '+ 2xy = y ^ 3, quad y (1) = 1 / sqrt2 )

13. (y'-y = xy ^ {1/2}, quad y (0) = 4 )

Q2.4.5

14. Es posible que haya notado que la ecuación logística [P '= aP (1- alpha P) ] del modelo de Verhulst para el crecimiento de la población se puede escribir en la forma de Bernoulli como [P'-aP = -a alpha P ^ 2. ] Esto no es particularmente interesante, ya que la ecuación logística es separable y, por lo tanto, se puede resolver mediante el método estudiado en la Sección 2.2. Así que consideremos un modelo más complicado, donde (a ) es una constante positiva y ( alpha ) es una función continua positiva de (t ) en ([0, infty) ). La ecuación para este modelo es [P'-aP = -a alpha (t) P ^ 2, ] una ecuación de Bernoulli no separable.

  1. Suponiendo que (P (0) = P_0> 0 ), encuentre (P ) para (t> 0 ).
  2. Verifique que su resultado se reduzca a los resultados conocidos para el modelo de Malthusian donde ( alpha = 0 ), y el modelo de Verhulst donde ( alpha ) es una constante distinta de cero.
  3. Suponiendo que [ lim_ {t to infty} e ^ {- at} int_0 ^ t alpha ( tau) e ^ {a tau} , d tau = L ] existe (finito o infinito ), encuentre ( lim_ {t to infty} P (t) ).

Q2.4.6

En Ejercicios 2.4.15-2.4.18 Resuelve la ecuación explícitamente.

15. (y '= {y + x sobre x} )

16. (y '= {y ^ 2 + 2xy sobre x ^ 2} )

17. (xy ^ 3y '= y ^ 4 + x ^ 4 )

18. (y '= {y sobre x} + sec {y sobre x} )

Q2.4.7

En Ejercicios 2.4.19-2.4.21 Resuelve la ecuación explícitamente. Además, trace un campo de dirección y algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.

19. (x ^ 2y '= xy + x ^ 2 + y ^ 2; quad {- 8 le x le 8, -8 le y le 8 } )

20. (xyy '= x ^ 2 + 2y ^ 2; quad {- 4 le x le 4, -4 le y le 4 } )

21. (y '= {2y ^ 2 + x ^ 2e ^ {- (y / x) ^ 2} over 2xy}; quad {- 8 le x le 8, -8 le y le 8 } )

Q2.4.8

En Ejercicios 2.4.22-2.4.27 resolver el problema del valor inicial.

22. (y '= {xy + y ^ 2 over x ^ 2}, quad y (-1) = 2 )

23. (y '= {x ^ 3 + y ^ 3 over xy ^ 2}, quad y (1) = 3 )

24. (xyy '+ x ^ 2 + y ^ 2 = 0, quad y (1) = 2 )

25. (y '= {y ^ 2-3xy-5x ^ 2 over x ^ 2}, quad y (1) = - 1 )

26. (x ^ 2y '= 2x ^ 2 + y ^ 2 + 4xy, quad y (1) = 1 )

27. (xyy '= 3x ^ 2 + 4y ^ 2, quad y (1) = sqrt {3} )

Q2.4.9

En Ejercicios 2.4.28-2.4.34 resuelve implícitamente la ecuación homogénea dada.

28. (y '= {x + y sobre x-y} )

29. ((y'x-y) ( ln | y | - ln | x |) = x )

30. (y '= {y ^ 3 + 2xy ^ 2 + x ^ 2y + x ^ 3 sobre x (y + x) ^ 2} )

31. (y '= {x + 2y over 2x + y} )

32. (y '= {y over y-2x} )

33. (y '= {xy ^ 2 + 2y ^ 3 sobre x ^ 3 + x ^ 2y + xy ^ 2} )

34. (y '= {x ^ 3 + x ^ 2y + 3y ^ 3 sobre x ^ 3 + 3xy ^ 2} )

Q2.4.10

35.

  1. Encuentre una solución del problema del valor inicial [x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-4x ^ 2, quad y (-1) = 0 tag {A} ] en el intervalo ((- infty , 0) ). Verifique que esta solución sea realmente válida en ((- infty, infty) ).
  2. Utilice el teorema 2.3.1 para demostrar que (A) tiene una solución única en ((- infty, 0) ).
  3. Trace un campo de dirección para la ecuación diferencial en (A) en un cuadrado [ {- r le x le r, -r le y le r }, ] donde (r ) es cualquier positivo número. Grafique la solución que obtuvo en (a) en este campo.
  4. Grafica otras soluciones de (A) que están definidas en ((- infty, infty) ).
  5. Grafica otras soluciones de (A) que están definidas solo en intervalos de la forma ((- infty, a) ), donde es un número positivo finito.

36.

  1. Resuelve la ecuación [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2 tag {A} ] implícitamente.
  2. Grafica un campo de dirección para (A) en un cuadrado [ {0 le x le r, 0 le y le r } ] donde (r ) es cualquier número positivo.
  3. Sea (K ) un número entero positivo. (Puede que tengas que probar varias opciones para (K ).) Grafica soluciones de los problemas de valor inicial [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2, quad y (r / 2) = {kr sobre K}, ] para (k = 1 ), (2 ),…, (K ). Basado en sus observaciones, encuentre condiciones en los números positivos (x_0 ) y (y_0 ) tales que el problema de valor inicial [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2, quad y (x_0) = y_0, tag {B} ] tiene una solución única (i) en ((0, infty) ) o (ii) solo en un intervalo ((a, infty) ), donde (a > 0 )?
  4. ¿Qué puedes decir sobre la gráfica de la solución de (B) como (x a infty )? (Nuevamente, suponga que (x_0> 0 ) y (y_0> 0 ).)

37.

  1. Resuelve la ecuación [y '= {2y ^ 2-xy + 2x ^ 2 over xy + 2x ^ 2} tag {A} ] implícitamente.
  2. Grafique un campo de dirección para (A) en un cuadrado [ {- r le x le r, -r le y le r } ] donde (r ) es cualquier número positivo. Graficando las soluciones de (A), determine las condiciones necesarias y suficientes en ((x_0, y_0) ) tales que (A) tenga una solución en (i) ((- infty, 0) ) o (ii) ((0, infty) ) tal que (y (x_0) = y_0 ).

38. Siga las instrucciones de Ejercicio 2.4.37 para la ecuación [y '= {xy + x ^ 2 + y ^ 2 over xy}. ]

39. Elija cualquier ecuación homogénea no lineal (y '= q (y / x) ) que desee, y trace los campos de dirección en el cuadrado ( {- r le x le r, -r le y le r } ), donde (r> 0 ). ¿Qué sucede con el campo de dirección al variar (r )? ¿Por qué?

40. Demuestre: Si (ad-bc ne 0 ), la ecuación [y '= {ax + by + alpha over cx + dy + beta} ] se puede transformar en la ecuación no lineal homogénea [{ dY over dX} = {aX + bY over cX + dY} ] por la sustitución (x = X-X_0, y = Y-Y_0 ), donde (X_0 ) y (Y_0 ) son constantes adecuadamente elegidas.

Q2.4.11

En Ejercicios 2.4.21-2.4.43 utilizar un método sugerido por Ejercicio 2.4.40 para resolver implícitamente la ecuación dada.

41. (y '= {-6x + y-3 over 2x-y-1} )

42. (y '= {2x + y + 1 sobre x + 2y-4} )

43. (y '= {-x + 3y-14 sobre x + y-2} )

Q2.4.12

En Ejercicios 2.4.44-2.4.51 encuentre una función (y_ {1} ) tal que la sustitución (y = uy_ {1} ) transforme la ecuación dada en una ecuación separable de la forma (2.4.6). Luego resuelve la ecuación dada explícitamente.

44. (3xy ^ 2y '= y ^ 3 + x )

45. (xyy '= 3x ^ 6 + 6y ^ 2 )

46. ​​ (x ^ 3y '= 2 (y ^ 2 + x ^ 2y-x ^ 4) )

47. (y '= y ^ 2e ^ {- x} + 4y + 2e ^ x )

48. (y '= {y ^ 2 + y tan x + tan ^ 2 x over sin ^ 2x} )

49. (x ( ln x) ^ 2y '= - 4 ( ln x) ^ 2 + y ln x + y ^ 2 )

50. (2x (y + 2 sqrt x) y '= (y + sqrt x) ^ 2 )

51. ((y + e ^ {x ^ 2}) y '= 2x (y ^ 2 + ye ^ {x ^ 2} + e ^ {2x ^ {2}} )

Q2.4.13

52. Resuelve el problema del valor inicial [y '+ {2 over x} y = {3x ^ 2y ^ 2 + 6xy + 2 over x ^ 2 (2xy + 3)}, quad y (2) = 2 . ]

53. Resuelve el problema del valor inicial [y '+ {3 over x} y = {3x ^ 4y ^ 2 + 10x ^ 2y + 6 over x ^ 3 (2x ^ 2y + 5)}, quad y ( 1) = 1. ]

54. Demuestre: Si (y ) es una solución de una ecuación no lineal homogénea (y '= q (y / x) ), entonces (y_1 = y (ax) / a ), donde ( a ) es cualquier constante distinta de cero.

55. A generalizado Ecuación de Riccati es de la forma [y '= P (x) + Q (x) y + R (x) y ^ 2. tag {A} ] (Si (R equiv-1 ), (A) es un Ecuación de Riccati.) Sea (y_1 ) una solución conocida y (y ) una solución arbitraria de (A). Sea (z = y-y_1 ). Demuestre que (z ) es una solución de una ecuación de Bernoulli con (n = 2 ).

Q2.4.14

En Ejercicios 2.4.56-2.4.59, dado que (y_ {1} ) es una solución de la ecuación dada, use el método sugerido por Ejercicio 2.4.55 para encontrar otras soluciones.

56. (y '= 1 + x - (1 + 2x) y + xy ^ 2 ); (y_1 = 1 )

57. (y '= e ^ {2x} + (1-2e ^ x) y + y ^ 2 ); (y_1 = e ^ x )

58. (xy '= 2-x + (2x-2) y-xy ^ 2 ); (y_1 = 1 )

59. (xy '= x ^ 3 + (1-2x ^ 2) y + xy ^ 2 ); (y_1 = x )


Resolución de problemas y solución de ecuaciones algebraicas

Resumen

Resolver una ecuación algebraica significa encontrar los valores de una o más variables de manera que se satisfaga la ecuación. Para una sola variable independiente, se requiere una ecuación para resolver un valor único de la variable. La solución o raíz de una ecuación algebraica es un valor o un conjunto de valores de la variable independiente de modo que la sustitución de dicho valor en la ecuación produce una ecuación numéricamente correcta. Las ecuaciones de polinomio hasta el cuarto grado se pueden resolver algebraicamente, pero algunas ecuaciones de quinto y mayor grado no se pueden resolver algebraicamente. Las soluciones a tales ecuaciones pueden obtenerse numéricamente con cualquier grado de precisión deseado. Una ecuación en dos variables se puede resolver para una variable en función de la otra. Para resolver dos variables, uno debe resolver dos ecuaciones simultáneamente, pero estas ecuaciones deben ser independientes y consistentes. Las ecuaciones simultáneas lineales homogéneas tienen una solución no trivial solo cuando se cumple una determinada condición de dependencia.


Características

Este título es una edición global de Pearson. El equipo editorial de Pearson ha trabajado en estrecha colaboración con educadores de todo el mundo para incluir contenido que es especialmente relevante para los estudiantes fuera de los Estados Unidos.

· Los estudiantes aprenden la teoría básica de ecuaciones diferenciales mientras exploran una variedad de aplicaciones modernas en ciencia e ingeniería.

o Tratamiento modernizado del capítulo de introducción a los sistemas y el análisis del plano de fase aumenta la comprensión del material por parte del estudiante.

o Organización flexible permite varias configuraciones de cursos y énfasis (teoría, aplicaciones y técnicas, y conceptos).

o Problemas motivadores comenzar la mayoría de los capítulos con una discusión de un problema de física o de ingeniería

o Secciones impulsadas por aplicaciones se incluyen en el capítulo sobre ecuaciones lineales de segundo orden.

o Repaso de ecuaciones y matrices algebraicas lineales - El capítulo sobre métodos matriciales para sistemas lineales (Capítulo 9) comienza con dos secciones introductorias sobre la teoría de sistemas algebraicos lineales y álgebra matricial.

o Apéndice Revisión de técnicas de integración proporciona una revisión de los métodos para integrar funciones analíticamente. Esto ofrece a los estudiantes una actualización útil antes de comenzar el curso de ecuaciones diferenciales.

o ¡NUEVO! Ejemplos de Se han agregado que tratan sobre la variación de parámetros, transformadas de Laplace, la función Gamma y vectores propios (entre otros).

· Las oportunidades sólidas para ejercicios y asignaciones brindan a los instructores flexibilidad y a los estudiantes una amplia gama de práctica.

o Proyectos relacionados con el material cubierto aparecen al final de cada capítulo. Pueden involucrar aplicaciones más desafiantes, profundizar en la teoría o presentar temas más avanzados.

o Ejercicios, que se gradúan en dificultad y varían según el tipo, incluyen una amplia variedad de aplicaciones como presión barométrica, interés compuesto, la equivalencia matemática de una fuerza de impulso y un aumento de velocidad.

o Resúmenes de capítulos y problemas de repaso al final de cada capítulo, ayude a los estudiantes a comprender completamente el aprendizaje y promueva la retención de conocimientos.

o Ejercicios de redacción técnica Ayudar a los estudiantes a desarrollar sus habilidades comunicativas, aspecto esencial de la actividad profesional..

o Uso opcional de software de computadora Mathematica®, MATLAB® y Maple ™ brinda a los estudiantes la oportunidad de realizar experimentos numéricos y abordar aplicaciones realistas que brindan información adicional sobre el tema. Los manuales en línea para Maple, MATLAB y Mathematica ofrecen ejemplos de hojas de trabajo y sugerencias sobre la incorporación de estas tecnologías en los cursos.

MyLab ™ Math no está incluido. Estudiantes, si MyLab Math es un componente recomendado / obligatorio del curso, pida a su instructor el ISBN correcto. MyLab Math solo debe comprarse cuando lo requiera un instructor. Instructores, comuníquese con su representante de Pearson para obtener más información.

¡Nuevo! Por primera vez, MyLab Math está disponible para este texto. MyLab Math es un programa en línea de tareas, tutoriales y evaluación diseñado para trabajar con este texto para involucrar a los estudiantes y mejorar los resultados. Dentro de su entorno estructurado, los estudiantes practican lo que aprenden, prueban su comprensión y siguen un plan de estudio personalizado que les ayuda a absorber el material del curso y comprender conceptos difíciles.

· Ejercicios con retroalimentación inmediata - Casi 750 ejercicios asignables se basan en los ejercicios del libro de texto y se regeneran algorítmicamente para brindar a los estudiantes oportunidades ilimitadas de práctica y dominio. MyLab Math proporciona comentarios útiles cuando los estudiantes ingresan respuestas incorrectas e incluye ayudas de aprendizaje opcionales que incluyen Ayúdame a resolver esto, Ver un ejemplo, videos y un texto electrónico. El instructor puede decidir si permitir que los estudiantes accedan a las ayudas de aprendizaje y cuándo. por asignación, o a nivel de ejercicio para que los estudiantes obtengan el nivel adecuado de apoyo y al mismo tiempo los preparen para trabajar de forma independiente.

· Un conjunto de videos instructivos, con los autores, brindan un apoyo significativo a los estudiantes y flexibilidad a los instructores sobre cómo se utilizan. Los instructores pueden asignar preguntas relacionadas con los videos para evaluar la comprensión de los conceptos por parte de los estudiantes, seleccionando ejercicios a través de la Guía de asignaciones basadas en videos. O los instructores pueden usar los videos en clase o como un recurso complementario sobre temas específicos.

· El texto electrónico interactivo completo está disponible para los estudiantes a través de sus cursos de MyLab Math durante la vida útil de la edición, brindando a los estudiantes acceso ilimitado al eText dentro de cualquier curso que use esa edición del libro de texto. El eText de Pearson ofrece enlaces interactivos en todas partes, para que los estudiantes puedan ver videos sobre ejemplos clave mientras leen.

· Learning Catalytics ™ ayuda a los instructores a generar debates en clase, personalizar conferencias y promover el aprendizaje entre pares con análisis en tiempo real. Como herramienta de respuesta de los estudiantes, Learning Catalytics utiliza los teléfonos inteligentes, tabletas o computadoras portátiles de los estudiantes para involucrarlos en tareas y pensamientos más interactivos.

o Ayude a los estudiantes a desarrollar habilidades de pensamiento crítico.

o Supervise las respuestas para averiguar dónde están teniendo dificultades los estudiantes.

o Confíe en datos en tiempo real para ajustar la estrategia de enseñanza.

o Agrupe automáticamente a los estudiantes para la discusión, el trabajo en equipo y el aprendizaje entre pares.

· Accesibilidad y el logro van de la mano. MyLab Math es compatible con el lector de pantalla JAWS y permite leer e interactuar con tipos de problemas de opción múltiple y respuesta libre mediante controles de teclado y entrada de notación matemática. MyMathLab también funciona con ampliadores de pantalla, incluidos ZoomText, MAGic y SuperNova. Y todos los videos de MyMathLab tienen subtítulos. Más información está disponible en http://mymathlab.com/accessibility.

· Un libro de calificaciones completo con la funcionalidad de informes mejorada permite una gestión eficiente del curso.

o El panel de informes proporciona información para ver, analizar e informar los resultados del aprendizaje. Los datos de desempeño de los estudiantes se presentan a nivel de clase, sección y programa de una manera accesible y visual para hacer accesible toda la información requerida para mantener a los estudiantes en el camino correcto.

o Análisis de artículos realiza un seguimiento de la comprensión de toda la clase de ejercicios particulares para refinar las clases magistrales o ajustar el programa de estudios del curso / departamento. ¡La enseñanza justo a tiempo nunca ha sido tan fácil!

Nuevo en esta edición

Se realizaron varios cambios pedagógicos incluida la amplificación de la distinción entre soluciones de plano de fase y trayectorias reales en el Capítulo 5, y la incorporación de formulaciones matriciales y jacobianas para sistemas autónomos.

Nuevos problemas agregados a las series de ejercicios. tratan temas como las variables de activación de axones y las oscilaciones de un globo lleno de helio en una cuerda. Además, los nuevos proyectos acompañan a problemas novedosos, que se centran en modelos económicos, control de enfermedades, sincronización, propagación de señales y análisis del plano de fase de las respuestas neuronales.

Nuevos ejemplos Se han agregado que tratan sobre la variación de parámetros, transformadas de Laplace, la función Gamma y vectores propios (entre otros).

Capítulo 1 tiene un nuevo proyecto llamado “Aplicaciones a la Economía” que trata sobre modelos para una economía agraria así como el crecimiento del capital.

Capítulo 4 contiene un nuevo proyecto llamado "Tren de gravedad" que invita al lector a utilizar ecuaciones diferenciales en el diseño de un túnel subterráneo desde Moscú a San Petersburgo, Rusia, utilizando la gravedad para la propulsión.

Capítulo 5 tiene dos nuevos proyectos.

◦ “La epidemia de ébola 2014-2015” describe un sistema de ecuaciones diferenciales para modelar la propagación de la enfermedad en África Occidental. El modelo incorpora características tales como rastreo de contactos, número de contactos, probabilidad de infección y eficacia del aislamiento.

◦ Los bucles de bloqueo de fase constituyen el tema de un nuevo proyecto que utiliza ecuaciones diferenciales para analizar una técnica para medir o igualar oscilaciones de radio de alta frecuencia.

Capítulo 7, el capítulo Transformadas de Laplace, se ha actualizado para que los tratamientos de las funciones discontinuas y periódicas ahora se dividan en dos secciones que son más apropiadas para conferencias de 50 minutos: Sección 7.6 “Transformaciones de funciones discontinuas” y Sección 7.7 “Transformaciones de funciones periódicas y de potencia Funciones ".

Capítulo 10 tiene un nuevo proyecto que amplía el análisis de las ecuaciones de onda y calor para explorar las ecuaciones de telegrafista y cable.

Apéndice G es un nuevo apéndice que enumera software comercial y freeware para campos de dirección, retratos de fase y métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

MyLab ™ Math no está incluido. Estudiantes, si MyLab Math es un componente recomendado / obligatorio del curso, pida a su instructor el ISBN correcto. MyLab Math solo debe comprarse cuando lo requiera un instructor. Instructores, comuníquese con su representante de Pearson para obtener más información.

Por primera vez, MyLab ™ Math está disponible con esta edición para ecuaciones diferenciales. MyLab Math es un programa en línea de tareas, tutoriales y evaluación diseñado para trabajar con este texto para involucrar a los estudiantes y mejorar los resultados. Dentro de su entorno estructurado, los estudiantes practican lo que aprenden, prueban su comprensión y siguen un plan de estudio personalizado que les ayuda a absorber el material del curso y comprender conceptos difíciles.

Ejercicios con retroalimentación inmediata - Casi 750 ejercicios asignables se basan en los ejercicios del libro de texto y se regeneran algorítmicamente para brindar a los estudiantes oportunidades ilimitadas de práctica y dominio. MyLab Math proporciona comentarios útiles cuando los estudiantes ingresan respuestas incorrectas e incluye ayudas de aprendizaje opcionales que incluyen Ayúdame a resolver esto, Ver un ejemplo, videos y un texto electrónico. El instructor puede decidir si permitir que los estudiantes accedan a la ayuda de aprendizaje y cuándo, por tarea o en el nivel de ejercicio, para que los estudiantes obtengan el nivel adecuado de apoyo y, al mismo tiempo, los preparen para trabajar de forma independiente.

Un nuevo conjunto de videos instructivos Brindar un apoyo significativo a los estudiantes y flexibilidad a los instructores sobre cómo se utilizan. Los instructores pueden asignar preguntas relacionadas con los videos para evaluar la comprensión de los conceptos por parte de los estudiantes, seleccionando ejercicios a través de la Guía de asignaciones basadas en videos. O los instructores pueden usar los videos en clase o como un recurso complementario sobre temas específicos.

El texto electrónico interactivo completo está disponible para los estudiantes a través de sus cursos de MyLab Math durante la vida útil de la edición, brindando a los estudiantes acceso ilimitado al eText dentro de cualquier curso que use esa edición del libro de texto. El eText de Pearson ofrece enlaces interactivos en todas partes, para que los estudiantes puedan ver videos sobre ejemplos clave mientras leen.

Learning Catalytics ™ ayuda a los instructores a generar debates en clase, personalizar conferencias y promover el aprendizaje entre pares con análisis en tiempo real. Como herramienta de respuesta de los estudiantes, Learning Catalytics utiliza los teléfonos inteligentes, tabletas o computadoras portátiles de los estudiantes para involucrarlos en tareas y pensamientos más interactivos.

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Supervise las respuestas para averiguar dónde tienen dificultades los estudiantes.

Confíe en los datos en tiempo real para ajustar la estrategia de enseñanza.

Agrupe automáticamente a los estudiantes para la discusión, el trabajo en equipo y el aprendizaje entre pares.

Accesibilidad y el logro van de la mano. MyLab Math es compatible con el lector de pantalla JAWS y permite leer e interactuar con tipos de problemas de opción múltiple y respuesta libre mediante controles de teclado y entrada de notación matemática. MyLab Math también funciona con ampliadores de pantalla, incluidos ZoomText, MAGic y SuperNova. Y todos los videos de MyLab Math tienen subtítulos. Hay más información disponible en http://mymathlab.com/accessibility.

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Análisis de artículos rastrea la comprensión de toda la clase de ejercicios particulares para refinar las conferencias de la clase o ajustar el programa del curso / departamento. ¡La enseñanza justo a tiempo nunca ha sido tan fácil!


Glosario

La solución de sistemas lineales de ecuaciones es una de las áreas más importantes de la matemática computacional. No vamos a presentar este tema en detalle, merece un curso especial. En cambio, consideramos un caso particular y muy importante cuando la matriz principal es tridiagonal:

Este sistema de ecuaciones algebraicas podría resolverse utilizando el procedimiento estándar de eliminación de Gauss, que en realidad reduce el problema a una forma triangular superior. Esta etapa generalmente se conoce como eliminación directa (EF). Una vez que se completa, la segunda etapa, que se llama sustitución hacia atrás (BS), implica encontrar una solución real. Por lo tanto, este algoritmo se suele llamar FEBS, o en la jerga computacional "progonka". En ingeniería, el método FEBS está asociado con el científico británico Llewellyn H. Thomas de los laboratorios Bell que resolvió un problema de Poisson simple (ver el siguiente ejemplo) utilizando este método en 1946. Históricamente, un destacado matemático soviético Israel Moiseevich Gelfand (1913-2009) ) descubrió el algoritmo FEBS en 1933 siendo un estudiante universitario de segundo año. Él personalmente se negó a asociar su nombre con FEBS porque, en su opinión, era una aplicación muy simple de la eliminación gaussiana. En cambio, sugirió llamar al algoritmo FEBS como "progonka (& pcy & rcy & ocy & gcy & ocy & ncy & kcy & acy)", y esta jerga es ampliamente aceptada.

Usando el procedimiento de eliminación, la matriz aumentada se reduce a una forma triangular superior equivalente:

Algoritmo FEBS (progonka)
% etapa de eliminación

para i = 2 an
d (i) = d (i) - u (i-1) * l (i) / d (i-1)
segundo (i) = segundo (i) - segundo (i-1) * l (i) / d (i-1)
fin de

x (n) = segundo (n) / d (n)
para i = n-1 hacia abajo a 1
x (yo) = (segundo (yo) - u (yo) * x (yo + 1)) / d (yo)
fin de

Teorema: Si la matriz tridiagonal A es diagonalmente dominante ( (d_i & gt | l_i | + | u_i | & gt 0, quad 1 le i le n )), entonces el algoritmo FEBS logrará producir la solución correcta al sistema lineal original, dentro de las limitaciones de error de redondeo. & # 9632

Ejemplo: problema de Dirichlet para oscilador lineal

Ejemplo: considere el problema de Dirichlet en el intervalo [0,1]:

Dividimos el intervalo [0,1] en norte subintervalos iguales (x_ , x_k], ) según

Este es un sistema tridiagonal de ecuaciones lineales. Escrito en forma de matriz-vector, tenemos

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2.4E: Transformación de ecuaciones no lineales en ecuaciones separables (ejercicios) - Matemáticas

Concourse Math 18.03 Calendario de temas y asignaciones de HW - Primavera de 2020

última actualización martes 21 de julio de 2020 12:44 p.m.

Nociones basicas: Ecuaciones diferenciales autónomas, campos de dirección, curvas integrales, existencia y unicidad de soluciones (soluciones generales, soluciones particulares con condiciones iniciales), ejemplos, modelos, soluciones numéricas / gráficas. Ecuaciones lineales, ecuaciones separables (crecimiento exponencial con cosecha, problemas de mezcla, problemas de enfriamiento), perspectiva del sistema / señal.

Notas de la Conferencia # 1 (revisado el 2 de febrero de 2020)

joel / dfield / tiene una buena herramienta para dibujar campos de dirección (pendiente). La versión actual requiere que descargue un archivo ejecutable de Java en su propia computadora y lo ejecute localmente en su propia máquina. Puede personalizar varias opciones. También puede imprimir los gráficos. [El nombre de Java varía según la computadora y el sistema operativo, por lo que es posible que tengamos que proporcionar documentación adicional.] [También disponible aquí]

Campos de dirección, curvas integrales, isoclinas, separatrices, embudos, métodos gráficos. Ecuaciones lineales, soluciones homogéneas vs. no homogéneas, método de coeficientes indeterminados. Resolver ecuaciones lineales de primer orden mediante la integración de factores y por linealidad.

Notas de la Conferencia # 2 (revisado el 5 de febrero de 2020)

Linealidad y modelos lineales, continuación Variación de parámetros ODE lineales de orden superior perspectiva señal-respuesta respuesta del sistema lineal a entrada exponencial y sinusoidal.

Notas de la Conferencia # 3 (puede ser revisado)

Respuesta del sistema lineal a ganancia de entrada exponencial y sinusoidal, retraso de fase.

Notas de la Conferencia # 4 (puede ser revisado)

Conjunto de problemas n. ° 3 (vence el jueves 27 de febrero)
EP 1.7 (modelos de población)
EP 7.1 (Soluciones de equilibrio y estabilidad)
Notas IR.6 (modelos de respuesta de entrada)
SN 4 (soluciones sinusoidales)
SN 5 (Álgebra de números complejos)
C.1-C.4 (números complejos)
SN 6 (El exponencial complejo)

Temas del examen y preguntas de práctica de amp para el examen n. ° 1
(mismo nombre de usuario / contraseña que las soluciones)

Soluciones para el examen de práctica 1

Día de los presidentes - sin clases

[Horario del lunes] Ecuación de valor complejo asociada a entrada sinusoidal. El álgebra de números complejos los números complejos exponenciales complejos, raíces de unidad. Aplicaciones a la trigonometría, integración y resolución de EDO (reemplazo complejo). Ecuación de valor complejo asociada a ganancia de entrada sinusoidal, desfase.

Notas de la Conferencia # 5 (revisado el 19 de febrero de 2020)

Ecuaciones autónomas, línea de fase, equilibrios, puntos críticos, estabilidad. ODE de coeficiente constante lineal de segundo orden, polinomio característico.

Clase # 6-7 Notas (puede ser revisado)

Conjunto de problemas n. ° 4 (vence el martes 10 de marzo)
EP 2.1 (Ecuaciones lineales de segundo orden)
EP 2.2 (Soluciones generales de ecuaciones lineales)
Subespacios, tramo, independencia lineal, base de un subespacio Imágenes y núcleo de una matriz (RW)
Espacios lineales generales (espacios vectoriales) y soluciones de EDO (RW)
EP 2.3 (Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes)
SN 19 (El Wronskiano)
EP 2.4 (Vibraciones mecánicas)
SN 7 (golpes)
SN 8 (circuitos RLC)
SN 9 (Normalización de soluciones)
SN 10 (Operadores y fórmula de respuesta exponencial)
EP 2.5 (ecuaciones no homogéneas y coeficientes indeterminados)

Álgebra lineal: Subespacios, tramo, imagen y núcleo, independencia lineal, base, dimensión, coordenadas relativas a una base.

ODEs de coeficiente constante lineal de segundo orden, polinomio característico, modos, independencia de soluciones y superposición de soluciones Matriz de Wronskian y determinante de Wronskiano, respuesta sinusoidal y exponencial, soluciones normalizadas, oscilador armónico. Raíces características complejas. [algunos temas pueden cambiarse a otras conferencias]

Notas de la Conferencia # 8 (revisado el 26 de febrero de 2020)

Operadores lineales con coeficientes constantes (invariantes en el tiempo), soluciones exponenciales, ejemplos de polinomios característicos de soluciones homogéneas con raíces reales distintas, raíces complejas puras (Ley de Hooke).

Notas de la Conferencia # 9 (ser revisado)

Operadores lineales invariantes en el tiempo (LTI) caso de raíces repetidas de operadores polinomiales característicos y la fórmula de respuesta exponencial (ERF) y la fórmula de respuesta de resonancia (RRF) para señales de entrada exponenciales y sinusoidales. Accionamiento por resorte de ganancia y retardo de fase, reemplazo complejo, ganancia compleja, resonancia de retardo de fase y movimiento armónico forzado.

Notas de la Conferencia # 10 (revisado el 17 de marzo de 2020 para incluir una prueba completa de RRF)

Conjunto de problemas n. ° 5 (vence el miércoles 18 de marzo)
SN 10 (Operadores y fórmula de respuesta exponencial)
EP 2.6 (oscilaciones forzadas y resonancia)
SN 12 (resonancia)
Notas O (operadores diferenciales lineales)
SN 11 (coeficientes indeterminados)
SN 13 (invariancia temporal)
SN 14 (La ley de desplazamiento exponencial)
SN 15 (frecuencia natural y relación de amortiguación)
SN 16 (respuesta de frecuencia)
SN 17 (resonancia, no: el puente de Tacomah Narrows)
EP 2.7 (circuitos eléctricos)
Repase las notas de la clase sobre la fórmula de desplazamiento exponencial y la variación de parámetros.

Resumen de ODE lineal de n-ésimo orden

Fórmula de respuesta exponencial (ERF), Fórmula de respuesta de resonancia (RRF) Variación de parámetros de la regla de desplazamiento exponencial para sistemas de orden superior.

Notas de la Conferencia # 11 (puede ser revisado)

Resonancia, respuesta de frecuencia, sistemas LTI, superposición, circuitos RLC [Circuitos RLC de respuesta de frecuencia de resonancia Invarianza en el tiempo]

Ejemplos de variación de parámetros y la regla de desplazamiento exponencial Entradas discontinuas.

Notas de la Conferencia # 12 (revisado el 27 de marzo de 2020)

Resumen de métodos para EDO lineales, soluciones particulares homogéneas y principios de linealidad Serie de Fourier para entradas periódicas Teorema de Fourier y función de onda cuadrada de coeficientes de Fourier.
Nota: El plan actual es hacer más una & quot; encuesta de la Serie Fourier con aplicaciones a las ODE & quot; en lugar del tratamiento completo. Si lo desea, puede leer las cosas con mayor detalle en las notas de la conferencia producidas anteriormente.

Notas de la presentación de Zoom de esta semana:

Resumen de orden n-ésimo lineal Fourier yo

Fourier II Fourier III

Conjunto de problemas n. ° 6 (vence el jueves 9 de abril)
EP 8.1 (Funciones periódicas y series trigonométricas)
SN 20 (Más sobre la serie Fourier)
EP 8.2 (Serie general de Fourier y convergencia)
EP 8.3 (series de seno y coseno de Fourier)
EP 8.4 (Aplicaciones de la serie Fourier)

Notas de la Conferencia # 13 (puede ser revisado)

Notas de la Conferencia # 14 (revisado el 27 de marzo de 2020)

Bocetos utilizados en las clases de recitación del 31 de marzo: pg1 pg2 pg3 pg4

Preguntas de práctica y soluciones para el examen n. ° 2
(mismo nombre de usuario / contraseña que las soluciones)

Serie de Fourier: ortogonalidad, productos internos, proyección ortogonal, aplicaciones del teorema de Pitágoras a las EDO: respuesta armónica, resonancia

Función de diente de sierra Diferenciación e integración de la serie Fourier Consejos y trucos de amplificador: identificación de disparo, combinación lineal, cambio

Bocetos utilizados en las clases de recitación del 2 de abril (PDF de 4 páginas)

Examen n. ° 2 Soluciones

Funciones generalizadas, derivadas generalizadas, funciones escalonadas y delta. Respuestas a impulsos y pasos.
Nota: El plan actual es hacer más de una & quotsurvey de funciones generalizadas y transformadas de Laplace con aplicaciones a ODEs & quot en lugar del tratamiento completo. El objetivo es simplemente presentarle las ideas e ilustrarlas con algunos ejemplos. Si lo desea, puede leer las cosas con mayor detalle en las notas de la conferencia y en las siguientes notas de presentación de Zoom:

Notas de la Conferencia # 15 (nuevo, puede ser revisado)

Delta-Laplace 1 Delta-Laplace 2 Delta-Laplace 3

Transformada de Laplace: propiedades básicas, reglas y ejemplos de cálculos dominio t vs dominio s idea de cómo resolver EDO mediante la traducción de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.

Notas de la Conferencia # 16 (nuevo, puede ser revisado)

Funciones de paso y delta. Respuestas de impulso y escalón, unidad derivada generalizada, invariancia en el tiempo de respuesta al impulso Producto de convolución.

Notas de la Conferencia # 17-18

Bocetos utilizados en la clase de recitación del 9 de abril (PDF)

Solución con condiciones iniciales como w * q. Condiciones iniciales sin reposo de transformada inversa para ecuaciones de primer orden]. [Ejemplos resueltos de transformada y convolución de Laplace] Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y campos vectoriales asociados.

Notas de la Conferencia # 17-18

Solución con de EDO con condiciones iniciales como w * q métodos de fracción parcial condiciones iniciales sin reposo para ecuaciones de primer orden

Bocetos utilizados en las clases de recitación del 14 de abril (PDF con correcciones)

Introducción a campos vectoriales y sistemas de EDO de 1er orden reducción de orden - ecuaciones de orden n y sistemas de ecuaciones de 1er orden representación matricial

Bocetos utilizados en la conferencia del 15 de abril (PDF con adiciones / correcciones)

Notas sobre sistemas dinámicos continuos - Parte 1

Aquí hay un sitio web que tiene una buena herramienta basada en java para mostrar campos y flujos vectoriales: https://www.cs.unm.edu/

joel / dfield / La versión actual requiere que descargue un archivo ejecutable de Java en su propia computadora y lo ejecute localmente en su propia máquina. Puede personalizar varias opciones. También puede imprimir los gráficos. [How Java is called varies on computer and operating system, so we may have to provide some additional documentation.] [Also available here]

Problem Set #8 (due Wed, Apr 29)
EP 5.1 (First-Order systems and applications)
EP 5.2 (The method of elimination)
EP 5.3 (Matrices and linear systems)
Notes LS.1 (Linear systems: Review of linear algebra)
Notes LS.2.2 (Homogeneous linear systems w/constant coefficients)
EP 5.4 (The eigenvalue methods for homogeneous systems)
SN 30 (First order systems and second order equations)
SN 31 (Phase portraits in two dimensions)
Supplement on Evolution Matrices
Supplement on Linear Coordinates, Alternate Bases, and Evolution Matrices
Matrix Methods for Solving Systems of 1st Order Linear Differential Equations
Phase portraits for the linear ODE examples

Sketches used in Apr 16 recitation classes (PDF w/additions/corrections)

Linear algebra: linear independence, span, basis, coordinates matrix of a linear transformation relative to a basis.

Notes on Coordinate Changes (general idea)

Sketches used in Apr 21 recitation classes (PDF)

Notes on Linear Coordinates and Change of Basis

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 1

Sketches used in Apr 22 Lecture (no video and short class)

Sketches used in Apr 23 recitation classes

Complex eigenvalues Qualitative behavior of linear systems phase plane

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 2

Sketches used in Apr 27 Lecture (PDF)

Matrix Methods for Solving Systems of 1st Order Linear Differential Equations

Phase portraits for the linear ODE examples

Solving System of 1st Order Linear Differential Equations, continued repeated eigenvalues decomposition of 1st order linear system into mode (block matrices) simple nonlinear system with shifted equilibrium

Sketches used in Apr 29 Lecture (PDF)

Qualitative behavior of linear systems phase plane [Eigenvalues vs coefficients Complex eigenvalues Repeated eigenvalues Defective, complete Trace-determinant plane Stability] simple nonlinear systems.

Sketches used in May 4 Lecture (PDF)

Sketches used in May 6 Lecture (PDF)

Nonlinear systems linearization near equilibria, Jacobian matrices the nonlinear pendulum autonomous systems, predator-prey systems.

Mathematical Theory of Epidemics (Kermack, McKendrick, 1927) - 22 pages, somewhat technical, see pgs 713-714 in particular)

Practice Final Exam Problems Soluciones

Final Exam -- 9:00am to noon

Referencias:
FH: Farlow-Hall-McDill-West, Differential Equations & Linear Algebra, Pearson/Prentice-Hall, 2nd Edition
EP: C. Henry Edwards and David E. Penney, Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, Prentice-Hall, Sixth Edition.
SN: 18.03 Supplementary Notes, available on the course website.
Notes: 18.03 Notes and Exercises available on the course website.


Numerical Analysis 9th Edition Solution Manual

Student Solutions Manual and Study Guide. Chapters 1 & 2 Preview for. Prepared by. Richard L. Burden. Youngstown State University. J. Douglas Faires. Youngstown State University. Australia • Brazil • Japan • Korea • Mexico • Singapore • Spain • United Kingdom • United States. Numerical Analysis. 9th EDITION. Richard .

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Solutions of Equations in One Variable. The Bisection Method. Numerical Analysis (9th Edition). R L Burden & J D Faires. Beamer Presentation Slides prepared by. John Carroll. Dublin City University c 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning .

Numerical Analysis

Solutions of many of the exercises are provided. About the name: the term “ numerical” analysis is fairly recent. A clas- sic book [170] on the topic changed names between editions, adopting the. “numerical analysis” title in a later edition [171]. The origins of the part of mathematics we now call analysis were all numerical, .

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Solutions of Equations in One Variable. Newton's Method. Numerical Analysis ( 9th Edition). R L Burden & J D Faires. Beamer Presentation Slides prepared by. John Carroll. Dublin City University c 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning .

Syllabus for MATH 4073, Numerical Analysis I, Sec. 001 Fall 2016

Course catalog description: Solution of linear and nonlinear equations, approximation of functions, numerical integration and . Numerical Analysis, 9th edition, 2010, Brooks/Cole, ISBN-10: 0538733519,. ISBN-13: 978- . Copying solutions from a solutions manual, from someone else's work, or from the Internet is a .

MATH 132: Numerical Analysis II Spring 2015

Jan 16, 2015 . ary value problems for ordinary differential equations, and numerical solutions to partial differential . Course Materials: • Textbook: Richard L. Burden and J. Douglas Faires, Numerical Analysis, Brooks/Cole,. 9th edition (2011). • If you are looking for an introduction to MATLAB, a good reference is the book .

Kreyszig - Advanced Engineering Mathematics 9e BW

Complex Analysis,. Potential Theory. Chaps. 13-17. Basic Material. I. ••. Chap. 18 . Potential Theory. PART F. Chaps. 22-23. Optimization, Graphs. Chap. 22. Chap. 23. Linear Programming. Graphs, Optimization. GUIDES AND MANUALS. Maple Computer Guide. Mathematica. Computer Guide. Student Solutions Manual.

Numerical Methods for Computational Science and Engineering

May 1, 2015 . ETH Lecture 401-0663-00L Numerical Methods for CSE. Numerical Methods for. Computational Science and . The online version will always be work in progress and subject to change. (Nevertheless, structure and main . 2.7.4 Direct Solution of Sparse Linear Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 201.

Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming for

May 4, 2017 . numerical methods for Civil Engineering majors during 2002-2004 and was modified to include . In these lecture notes, instruction on using Matlab is dispersed through the material on numerical . If we are trying to find a numerical solution of an equation f(x) = 0, then there are a few different ways we.

M.E. Communication Systems

fundamentals, and an engineering specialization to the solution of complex engineering problems. 2. Problem . solutions in societal and environmental contexts, and demonstrate the knowledge of, and need . Burden, R. C. and Faires, J. D., "Numerical Analysis ", 9th Edition, Cengage Learning, 2016. 3. Gross, D.

Elementary linear algebra 10th edition

New Chapter on Numerical Methods In the previous edition an assortment of topics appeared in the last chapter. . Applications There is an expanded version of this text by Howard Anton and Chris Rorres entitled . Student Solutions Manual This supplement provides detailed solutions to most theoretical exercises and.

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CS180. Required: Operating system concepts, 9th edition,. International Student Version by Abraham Silberschatz, Peter B. Galvin, and Greg. Gagne. ISBN: 978-1 -1180-9375-7. 8th edition available from Safari Books Online. Modern operating systems,. Global edition, 4th edition by Andrew S. Tanenbaum and Herbert Bos.

Quantitative Chemical Analysis

Quantitative Chemical. Analysis. SEVENTH EDITION. Daniel C. Harris. Michelson Laboratory. China Lake, California. W. H. Freeman and Company. New York . and a heterogeneous material? Complete solutions to Problems can be found in the Solutions. Manual. Short answers to numerical problems are at the back.

Student Solutions Manual for Elementary Differential Equations and

Mar 3, 2014 . 8. 2.3 Existence and Uniqueness of Solutions of Nonlinear Equations. 11. 2.4 Transformation of Nonlinear Equations into Separable Equations. 13. 2.5 Exact Equations. 17. 2.6 Integrating Factors. 21. Chapter 3 Numerical Methods. 25. 3.1 Euler's Method. 25. 3.2 The Improved Euler Method and Related .

Small Memory Software Patterns For Systems With Limited Memory

Nov 1, 2016 . Thank you for downloading small memory software patterns for systems with limited memory. Maybe you have knowledge that, people have search hundreds times for their chosen readings like this small memory software patterns for systems with limited memory, but end up in malicious downloads. Rather .

Efficient Numerical Methods for Nonlinear MPC and Moving Horizon

Abstract. This overview paper reviews numerical methods for solution of optimal control problems in real-time, as they arise in nonlinear model predictive control ( NMPC) as well as in moving horizon estimation (MHE). In the first part, we review numerical optimal control solution methods, focussing exclusively on a discrete .

Solutions and Applications Manual

Solutions and Applications Manual. Econometric Analysis. Sixth Edition. William H. Greene. New York University. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 . This book presents solutions to the end of chapter exercises and applications in Econometric Analysis. There . In some cases, the numerical solutions.

BENCHMARK WORKSHOP

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Applied Numerical Methods W/MATLAB

Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists. Third Edition. Steven C. Chapra. Berger Chair in Computing and Engineering. Tufts University. TM . show how a comparable solution can be generated with a simple numerical method. We end the chapter with an overview of the major areas of .

Computer science, software engineering & information technology

Feb 8, 2008 . Computing Supporting Courses for Computer Science Porgramme. 25. Computing General Education. 27 . clearly delineate objectives, methods of solution, results, and conclusions for a complex task. . Prentice Hall 2010. 3. Data and Computer Communications By William Stallings 9th Edition 2011 .


Stability of Flows

The Euler Equation: Linear andNonlinear Stability/Instability

We conclude this brief article with some discussion of instabilities in the inviscid Euler equations whose existence is likely to be important as a “trigger” for the development of instabilities in high-Reynolds-number viscous flows. As we mentioned, the Euler equations are very different from the Navier–Stokes equations in their mathematical structure. The Euler equations are degenerate and nonelliptic. As such, the spectrum of the linearized operator Lmi is not amenable to standard spectral theory of elliptic operators. For example, unlike the Navier–Stokes operator, the spectrum of Lmi is not purely discrete even in bounded domains. To define Lmi we consider a steady Euler flow U 0 x , P 0 x , where

We assume that U 0 ∈ C ∞ . For the Euler equations, appropriate boundary conditions include zero normal component of U 0 on a rigid boundary, or periodicity conditions (i.e., flow on a torus) or suitable decay at infinity in an unbounded domain. The theorems that we will be describing have been proved mainly in the cases of the second and third conditions stated above. There are many classes of vector fields U 0 x , in two and three dimensions, that satisfy [12a] and [12b] . We write [4a] and [4b] in perturbation form as

Linear (spectral) instability of a steady Euler flow U 0 x concerns the structure of the spectrum of Lmi. Assuming U 0 ∈ C ∞ T n , the linear equation

defines a strongly continuous group in every Sobolev space W s , p with generator Lmi. We denote this group by exp L E t . For the issue of spectral instability of the Euler equation it proves useful to study not only the spectrum of Lmi but also the spectrum of the evolution operator exp L E t . This permits the development of an explicit formula for the growth rate of a small perturbation due to the essential (or continuous) spectrum. It was proved by Vishik (1996) that a quantity Λ, refered to as a “fluid Lyapunov exponent” gives the maximum growth rate of the essential spectrum of exp L E t . This quantity is obtained by computing the exponential growth rate of a certain vector that satisfies a specific system of ODEs over the trajectories of the flow U 0 x . This proves to be an effective mechanism for detecting instabilities in the essential spectrum which result due to high-spatial-frequency perturbations. For example, for this reason any flow U 0 x with a hyperbolic fixed point is linearly unstable with growth in the sense of the L2-norm. In two dimensions, Λ is equal to the maximal classical Lyapunov exponent (i.e., the exponential growth of a tangent vector over the ODE x . = U 0 ( x ) ). In three dimensions, the existence of a nonzero classical Lyapunov exponent implies that Λ>0. However, in three dimensions there are also examples where the classical Lyapunov exponent is zero and yet Λ>0. We note that the delicate issue of the unstable essential spectrum is strongly dependent on the function space for the perturbations and that Λ, for a given U0, will vary with this function space. More details and examples of instabilities in the essential spectrum can be found in references in the bibliography.

In contrast with instabilities in the essential spectrum, the existence of discrete unstable eigenvalues is independent of the norm in which growth is measured. From this point of view, such instabilities can be considered as “strong.” However, for most flows U 0 x we do not know the existence of such unstable eigenvalues. For fully 3D flows there are no examples, to our knowledge, where such unstable eigenvalues have been proved to exist for flows with standard metrics. The case that has received the most attention in the literature is the “relatively simple” case of plane parallel shear flow. The eigenvalue problem is governed by the Rayleigh equation (which is the inviscid version of the Orr–Sommerfeld equation [11] ):

The celebrated Rayleigh stability criterion says that a sufficient condition for the eigenvalues λ to be pure imaginary is the absence of an inflection point in the shear profile U z . It is more difficult to prove the converse however, there have been several recent results that show that oscillating profiles indeed produce unstable eigenvalues. For example, if U z = sin mz the continued fraction proof of Meshalkin and Sinai can be adapted to exhibit the full unstable spectrum for [18] . We note the “fluid Lyapunov exponent” Λ is zero for all shear flows thus the only way the unstable spectrum can be nonempty for shear flows is via discrete unstable eigenvalues.

As we have discussed, it is possible to show that many classes of steady Euler flows are linearly unstable, either due to a nonempty unstable essential spectrum (i.e., cases where Λ>0) or due to unstable eigenvalues or possibly for both reasons. It is natural to ask what this means about the stability/instability of the full nonlinear Euler equations [14]–[16] . The issue of nonlinear stability is complex and there are several natural precise definitions of nonlinear stability and its converse instability.

One definition is to consider nonlinear stability in the energy norm L 2 and the enstrophy norm H 1 , which are natural function spaces to measure growth of disturbances but are not “correct” spaces for the Euler equations in terms of proven properties of existence and uniqueness of solutions to the nonlinear equation. Falling under this definition is the most frequently employed method to prove nonlinear stability, which is an elegant technique developed by Arnol’d (cf. Arnol’d and Khesin (1998) and references therein). This is based on the existence of the so-called energy-Casimirs. The vorticity curl q is transported by the motion of the fluid so that at time t it is obtained from the vorticity at time t=0 by a volume-preserving diffeomorphism. In the terminology of Arnol’d, the velocity fields obtained in this manner at any two times are called isovortical. For a given field U 0 x , the class of isovortical fields is an infinite-dimensional manifold METRO, which is the orbit of the group of volume-preserving diffeomorphisms in the space of divergence-free vector fields. The steady flows are exactly the critical points of the energy functional mi restricted to METRO. If a critical point is a strict local maximum or minimum of mi, then the steady flow is nonlinearly stable in the space J1 of divergence-free vectors u x , t (satisfying the boundary conditions) that have finite norm,

This theory can be applied, for example, to show that any shear flow with no inflection points in the profile U z is nonlinearly unstable in the function space J1, that is, the classical Rayleigh criterion implies not only spectral stability but also nonlinear stability.

We note that Arnol’d’s stability method cannot be applied to the Euler equations in three dimensions because the second variation of the energy defined on the tangent space to METRO is never definite at a critical point U 0 x . This result is suggestive, but does not prove, that most Euler flows in three dimensions are nonlinearly unstable in the Arnol’d sense. To quote Arnol’d, in the context of the Euler equations “there appear to be an infinitely great number of unstable configurations.”

In recent years, there have been a number of results concerning nonlinear instability for the Euler equation. Most of these results prove nonlinear instability under certain assumptions on the structure of the spectrum of the linearized Euler operator. To date, none of the approaches prove the definitive result that in general linear instability implies nonlinear instability. As we have remarked, this is a much more delicate issue for Euler than for Navier–Stokes because of the existence, for a generic Euler flow, of a nonempty essential unstable spectrum. To give a flavor of the mathematical treatment of nonlinear instability for the Euler equations, we present one recent result and refer the interested reader to articles listed in the “ Further reading ” section for further results and discussions.

In the context of Euler equations in two dimensions, we adopt the following definition of Lyapunov stability.

Definition 4

An equilibrium solution U 0 x is called Lyapunov stable if for every ɛ>0 there exists δ>0 so that for any divergence-free vector u x , 0 ∈ W 1 + s , p , s > 2 / p , such that ‖ u ( x , 0 ) ‖ L 2 < δ the unique solution u x , t to [14]–[16] satisfies

We note that we require the initial value u x , 0 to be in the Sobolev space W 1 + s , p , s > p / 2 , since it is known that the 2D Euler equations are globally in time well posed in this function space.

Definition 5

Any steady flow U 0 x for which the conditions of Definition 4 are violated is called nonlinearly unstable in L 2 .

Observe that the open issues (in three dimensions) of nonuniqueness or nonexistence of solutions to [14]–[16] would, under Definition 5 , be scenarios for instability.

(Nonlinear instability for 2D Euler flows). Dejar U 0 x ∈ C ∞ T 2 be satisfy [12] . Dejar Λ be the maximal Lyapunov exponent to the ODE x . = U 0 ( x ) . Assume that there exists an eigenvalue λ in the L 2 spectrum of the linear operator Lmi dada por [15] con Reλ& gtΛ. Then in the sense of Definition 5 , U 0 x is Lyapunov unstable with respect to growth in the L 2 -norm.

The proof of this result is given in Vishik and Friedlander (2003) and uses a so-called “bootstrap” argument whose origins can be found in references in that article. We remark that the above result gives nonlinear instability with respect to growth of the energy of a perturbation which seems to be a physically reasonable measure of instability.

In order to apply Theorem 6 to a specific 2D flow it is necessary to know that the linear operator Lmi has an eigenvalue with Reλ& gtΛ. As we have discussed, such knowledge is lacking for a generic flow U 0 x . Once again, we turn to shear flows. As we noted Λ=0 for shear flows, any shear profile for which unstable eigenvalues have been proved to exist provides an example of nonlinear instability with respect to growth in the energy.

We conclude with the observation that it is tempting to speculate that, given the complexity of flows in three dimensions, most, if not all, such inviscid flows are nonlinearly unstable. It is clear from the concept of the fluid Lyapunov exponent that stretching in a flow is associated with instabilities and there are more mechanisms for stretching in three, as opposed to two, dimensions. However, to date there are virtually no mathematical results for the nonlinear stability problem for fully 3D flows and many challenging issues remain entirely open.


Simplify and Expand

The simplify command finds the simplest form of an equation.
Simplify[expr,assum] does simplification using assumptions.
Expand[expr,patt] leaves unexpanded any parts of expr that are free of the pattern patt.
ExpandAll[expr] expands out all products and integer powers in ant part of exps.
ExpandAll[expr,patt] avoids expanding parts of expr that do not contain terms matching the pattern patt.

One of Mathematica’s most useful features for new users is algebraic manipulation. The program enables the user to avoid tedious exercises in simplification, expansion, and manipulation of algebraic expressions. For example, rather than spending odious amounts of time using the distributive property, Mathematica allows the user to quickly discover that ( (x-1)(x-7)(x+2)(x-4) = x^4 -10,x^3 + 15, x^2 + 50, x -56. )


2.4E: Transformation of Nonlinear Equations into Separable Equations (Exercises) - Mathematics

Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu.

Office hours (tentative): Mon 2:30-3:30 p.m., Thu 1:20-2:30 p.m., or by appointment.

Requisitos previos: Introduction to Partial Differential Equations (MATH 4163) or permission of instructor.

Course catalog description: First order equations, Cauchy problem for higher order equations, second order equations with constant coefficients, linear hyperbolic equations. (Sp)

  • PDEs arising in mechanics, electrodynamics, heat propagation, fluid dynamics.
  • Laplace's equation, harmonic functions, Dirichlet's Principle, Gauss Mean Value Theorem and its inverse, Maximum Principle, regularity of harmonic functions, Liouville's Theorem.
  • Classical Fourier transform (FT) and its inverse, solving PDEs by using FT. Distributions: definition, convergence, derivatives, extension of the FT to distributions, properties, examples.
  • Fundamental solutions of Laplace's and Poisson's equations, Green's functions, method of images, inversion.
  • Heat equation, solution using the FT, uniqueness, fundamental solutions, non-homogeneous problem, Duhamel's principle.
  • Wave equation. Solution in 1D: D'Alembert's formula, uniqueness by the energy method. Solution in 3D: fundamental solution, Kirchhoff's formula, Hadamard's method of descent, Huygens' principle. Fundamental solutions, non-homogeneous problems.
  • Banach spaces, Hilbert spaces, weak derivatives, Sobolev spaces. Existence of a weak solution of the Poisson's equation. Embedding theorems for Sobolev spaces.
  • Eigenfunction expansions, existence and properties of eigenvalues of certain types of operators, variational principle for the principal eigenvalue.
  • (If time permits) First-order PDEs: linear, quasilinear (Burgers' equation), and nonlinear (Hamilton-Jacobi equation).

    S. Salsa. Partial Differential Equations in Action. From modelling to theory. Springer, 2008.

We will also use parts of the following books, freely available online for OU students:

    A. C. King, J. Billingham, S. R. Otto. Differential Equations. Linear, nonlinear, ordinary, partial. Cambridge University Press, 2003.
  • Homework 1, due Thu, Jan 23.
  • Homework 2, due Thu, Jan 30.
  • Homework 3, due Thu, Feb 6.
  • Homework 4, due Thu, Feb 13.
  • Homework 5, due Fri, Feb 21, at 4 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 6, due Fri, Feb 28, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 7, due Fri, Mar 6, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 8, due Wed, Apr 9, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 9, due Fri, Apr 18, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 10, due Fri, May 2, at 5 p.m. in 802 PHSC.

    Lecture 1 (Tue, Jan 14):Basic partial differential equations: classification of partial differential equations (PDEs), arbitrariness in the general solution of a PDE of order k for a function of metro variables a detailed derivation of the heat equation C&rhotut=&nabla&sdot(k&nablatu)+&Psi(X,t) (where &Psi(X,t) is the volume density of the power of the heat sources inside the domain), or, for constant k, tut=&alpha 2 &Deltatu+&psi(X,t) derivation of the the boundary conditions for the heat equation: Dirichlet condition (the temperature is controlled at the boundary), Neumann condition (the heat flux is controlled at the boundary), Robin condition (convective heat exchange with the surroundings) [Sec. 1.2]

Calificación: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

Coursework Weight
Homework (lowest grade dropped) 30%
Two midterm exams (20% each) 40%
Final Exam 30%

Tarea: It is absolutely essential to solve the assigned homework problems! Homework assignments will be given regularly throughout the semester and will be posted on this web-site. The homework will be due at the comienzo of class on the due date. Each homework will consist of several problems, of which some pseudo-randomly chosen problems will be graded. Your lowest homework grade will be dropped. Your homework should have your name clearly written on it, and should be stapled. No late homeworks will be accepted!

Exámenes: There will be two in-class midterms and a comprehensive in-class final exam.
Tentative dates for the midterms are February 25 (Tuesday) and April 17 (Thursday).
The final exam is scheduled for May 9 (Friday), 1:30-3:30 p.m.
All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

Attendance: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also strongly encouraged. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

Policy on W/I grades : From January 13 to January 27, you can withdraw from the course without record of grade. From January 28 to February 21, graduate students can withdraw from the course with an automatic "W" (for undergraduate students this period is January 28 to March 28). After this you may petition to the Dean to withdraw and receive a "W" or "F" grade according to your standing in the class. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates in the Academic Calendar!

The grade of "I" (Incomplete) is no intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

Academic misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. Las sanciones pueden ser bastante severas. Don't do it!
For details on the University's policies concerning academic integrity see the Student's Guide to Academic Integrity at the Academic Integrity web-site. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Academic Integrity Code. Please check out the web-site of the OU Student Conduct Office.

Students with disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


Nonlinear Regression Equations

While a linear equation has one basic form, nonlinear equations can take many different forms. The easiest way to determine whether an equation is nonlinear is to focus on the term “nonlinear” itself. Literally, it’s not linear. If the equation doesn’t meet the criteria above for a linear equation, it’s nonlinear.

That covers many different forms, which is why nonlinear regression provides the most flexible curve-fitting functionality. Here are several examples from Minitab’s nonlinear function catalog. Thetas represent the parameters and X represents the predictor in the nonlinear functions. Unlike linear regression, these functions can have more than one parameter per predictor variable.

Nonlinear function One possible shape
Power (convex): Theta1 * X^Theta2
Weibull growth: Theta1 + (Theta2 - Theta1) * exp(-Theta3 * X^Theta4)
Fourier: Theta1 * cos(X + Theta4) + (Theta2 * cos(2*X + Theta4) + Theta3

Here is an example of a nonlinear regression model of the relationship between density and electron mobility.

The nonlinear equation is so long it that it doesn't fit on the graph:

Mobility = (1288.14 + 1491.08 * Density Ln + 583.238 * Density Ln^2 + 75.4167 * Density Ln^3) / (1 + 0.966295 * Density Ln + 0.397973 * Density Ln^2 + 0.0497273 * Density Ln^3)

Linear and nonlinear regression are actually named after the functional form of the models that each analysis accepts. I hope the distinction between linear and nonlinear equations is clearer and that you understand how it’s possible for linear regression to model curves! It also explains why you’ll see R-squared displayed for some curvilinear models even though it’s impossible to calculate R-squared for nonlinear regression.


Ver el vídeo: Análisis de Regresión Lineal Simple en Excel (Septiembre 2021).