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4.9: Reducción de orden - Matemáticas


En esta sección damos un método para encontrar la solución general de

[ label {eq: 5.6.1} P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F (x) ]

si conocemos una solución no trivial (y_1 ) de la ecuación complementaria

[ label {eq: 5.6.2} P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0. ]

El método se llama reducción de orden porque reduce la tarea de resolver la ecuación ref {eq: 5.6.1} a resolver una ecuación de primer orden. A diferencia del método de coeficientes indeterminados, no requiere que (P_0 ), (P_1 ) y (P_2 ) sean constantes, ni que (F ) tenga una forma especial.

A estas alturas no debería sorprenderte que busquemos soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.6.1} en la forma

[ label {eq: 5.6.3} y = uy_1 ]

donde (u ) debe determinarse de modo que (y ) satisfaga la Ecuación ref {eq: 5.6.1}. Sustituyendo la ecuación ref {eq: 5.6.3} y

[ begin {align *} y '& = u'y_1 + uy_1' [4pt] y '' & = u''y_1 + 2u'y_1 '+ uy_1' ' end {align *} ]

en la ecuación ref {eq: 5.6.1} produce

[P_0 (x) (u''y_1 + 2u'y_1 '+ uy_1' ') + P_1 (x) (u'y_1 + uy_1') + P_2 (x) uy_1 = F (x). sin número]

Al recolectar los coeficientes de (u ), (u ') y (u' ') se obtiene

[ label {eq: 5.6.4} (P_0y_1) u '' + (2P_0y_1 '+ P_1y_1) u' + (P_0y_1 '' + P_1y_1 '+ P_2y_1) u = F. ]

Sin embargo, el coeficiente de (u ) es cero, ya que (y_1 ) satisface la Ecuación ref {eq: 5.6.2}. Por lo tanto, la ecuación ref {eq: 5.6.4} se reduce a

[ label {eq: 5.6.5} Q_0 (x) u '' + Q_1 (x) u '= F, ]

con

[Q_0 = P_0y_1 quad text {y} quad Q_1 = 2P_0y_1 '+ P_1y_1. Nonumber ]

(¡No vale la pena memorizar las fórmulas para (Q_0 ) y (Q_1 )!) Dado que la Ecuación ref {eq: 5.6.5} es una ecuación lineal de primer orden en (u '), puede resolverlo para (u ') mediante la variación de parámetros como en la Sección 1.2, integrar la solución para obtener (u ), y luego obtener (y ) de la Ecuación ref {eq: 5.6.3}.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

  1. Encuentre la solución general de [ label {eq: 5.6.6} xy '' - (2x + 1) y '+ (x + 1) y = x ^ 2, ] dado que (y_1 = e ^ x ) es una solución de la ecuación complementaria [ label {eq: 5.6.7} xy '' - (2x + 1) y '+ (x + 1) y = 0. ]
  2. Como subproducto de (a), encuentre un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.6.7}.

Solución

una. Si (y = ue ^ x ), entonces (y '= u'e ^ x + ue ^ x ) y (y' '= u''e ^ x + 2u'e ^ x + ue ^ x ), entonces

[ begin {align *} xy '' - (2x + 1) y '+ (x + 1) y & = x (u''e ^ x + 2u'e ^ x + ue ^ x) - (2x + 1) (u'e ^ x + ue ^ x) + (x + 1) ue ^ x & = (xu '' - u ') e ^ x. End {align *} ]

Por lo tanto, (y = ue ^ x ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.6} si y solo si

[(xu '' - u ') e ^ x = x ^ 2, nonumber ]

que es una ecuación de primer orden en (u '). Lo reescribimos como

[ label {eq: 5.6.8} u '' - {u ' over x} = xe ^ {- x}. ]

Para centrarnos en cómo aplicamos la variación de parámetros a esta ecuación, escribimos temporalmente (z = u '), de modo que la Ecuación ref {eq: 5.6.8} se convierta

[ label {eq: 5.6.9} z '- {z over x} = xe ^ {- x}. ]

Te dejamos mostrar (por separación de variables) que (z_1 = x ) es una solución de la ecuación complementaria

[z '- {z over x} = 0 nonumber ]

para la Ecuación ref {eq: 5.6.9}. Al aplicar la variación de parámetros como en la Sección 1.2, ahora podemos ver que cada solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.9} tiene la forma

[z = vx quad text {donde} quad v'x = xe ^ {- x}, quad text {so} quad v '= e ^ {- x} quad text {y} quad v = -e ^ {- x} + C_1. nonumber ]

Como (u '= z = vx ), (u ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.8} si y solo si

[u '= vx = -xe ^ {- x} + C_1x. nonumber ]

Integrando estos rendimientos

[u = (x + 1) e ^ {- x} + {C_1 over2} x ^ 2 + C_2. nonumber ]

Por tanto, la solución general de la Ecuación ref {eq: 5.6.6} es

[ label {eq: 5.6.10} y = ue ^ x = x + 1 + {C_1 over2} x ^ 2e ^ x + C_2e ^ x. ]

B. Haciendo que (C_1 = C_2 = 0 ) en la Ecuación ref {eq: 5.6.10}, vemos que (y_ {p_1} = x + 1 ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6. 6}. Al hacer que (C_1 = 2 ) y (C_2 = 0 ), vemos que (y_ {p_2} = x + 1 + x ^ 2e ^ x ) también es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.6}. Dado que la diferencia de dos soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.6.6} es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.7}, (y_2 = y_ {p_1} -y_ {p_2} = x ^ 2e ^ x ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.7}. Dado que (y_2 / y_1 ) no es constante y ya sabemos que (y_1 = e ^ x ) es una solución de la ecuación ref {eq: 5.6.6}, el teorema 5.1.6 implica que ( {e ^ x, x ^ 2e ^ x } ) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.6.7}.

Aunque la ecuación ref {eq: 5.6.10} es una forma correcta para la solución general de la ecuación ref {eq: 5.6.6}, es una tontería dejar el coeficiente arbitrario de (x ^ 2e ^ x ) como (C_1 / 2 ) donde (C_1 ) es una constante arbitraria. Además, es sensato hacer que los subíndices de los coeficientes de (y_1 = e ^ x ) y (y_2 = x ^ 2e ^ x ) sean consistentes con los subíndices de las funciones mismas. Por lo tanto, reescribimos la Ecuación ref {eq: 5.6.10} como

[y = x + 1 + c_1e ^ x + c_2x ^ 2e ^ x nonumber ]

simplemente cambiando el nombre de las constantes arbitrarias. También haremos esto en los dos ejemplos siguientes y en las respuestas a los ejercicios.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

  1. Encuentra la solución general de [x ^ 2y '' + xy'-y = x ^ 2 + 1, nonumber ] dado que (y_1 = x ) es una solución de la ecuación complementaria [ label {eq : 5.6.11} x ^ 2y '' + xy'-y = 0. ] Como subproducto de este resultado, encuentre un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.6.11}.
  2. Resuelve el problema del valor inicial [ label {eq: 5.6.12} x ^ 2y '' + xy'-y = x ^ 2 + 1, quad y (1) = 2, ; y '(1) = - 3. ]

Solución

una. Si (y = ux ), entonces (y '= u'x + u ) y (y' '= u''x + 2u' ), entonces

[ begin {alineado} x ^ 2y '' + xy'-y & = x ^ 2 (u''x + 2u ') + x (u'x + u) -ux & = x ^ 3u' ' + 3x ^ 2u '. End {alineado} ]

Por lo tanto, (y = ux ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.12} si y solo si

[x ^ 3u '' + 3x ^ 2u '= x ^ 2 + 1, nonumber ]

que es una ecuación de primer orden en (u '). Lo reescribimos como

[ label {eq: 5.6.13} u '' + {3 sobre x} u '= {1 sobre x} + {1 sobre x ^ 3}. ]

Para centrarnos en cómo aplicamos la variación de parámetros a esta ecuación, escribimos temporalmente (z = u '), de modo que la Ecuación ref {eq: 5.6.13} se convierta

[ label {eq: 5.6.14} z '+ {3 sobre x} z = {1 sobre x} + {1 sobre x ^ 3}. ]

Te dejamos mostrar por separación de variables que (z_1 = 1 / x ^ 3 ) es una solución de la ecuación complementaria

[z '+ {3 over x} z = 0 nonumber ]

para la Ecuación ref {eq: 5.6.14}. Por variación de parámetros, cada solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.14} tiene la forma

[z = {v over x ^ 3} quad text {donde} quad {v ' over x ^ 3} = {1 over x} + {1 over x ^ 3}, quad text {entonces} quad v '= x ^ 2 + 1 quad text {y} quad v = {x ^ 3 over 3} + x + C_1. sin número]

Dado que (u '= z = v / x ^ 3 ), (u ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.14} si y solo si

[u '= {v over x ^ 3} = {1 over3} + {1 over x ^ 2} + {C_1 over x ^ 3}. nonumber ]

Integrando estos rendimientos

[u = {x over 3} - {1 over x} - {C_1 over2x ^ 2} + C_2. nonumber ]

Por tanto, la solución general de la Ecuación ref {eq: 5.6.12} es

[ label {eq: 5.6.15} y = ux = {x ^ 2 over 3} -1- {C_1 over2x} + C_2x. ]

Razonando como en la solución del Ejemplo ( PageIndex {1a} ), concluimos que (y_1 = x ) y (y_2 = 1 / x ) forman un conjunto fundamental de soluciones para la Ecuación ref {eq: 5.6.11}.

Como explicamos anteriormente, cambiamos el nombre de las constantes en la Ecuación ref {eq: 5.6.15} y la reescribimos como

[ label {eq: 5.6.16} y = {x ^ 2 over3} -1 + c_1x + {c_2 over x}. ]

B. La ecuación de diferenciación ref {eq: 5.6.16} produce

[ label {eq: 5.6.17} y '= {2x over 3} + c_1- {c_2 over x ^ 2}. ]

Estableciendo (x = 1 ) en la Ecuación ref {eq: 5.6.16} y la Ecuación ref {eq: 5.6.17} e imponiendo las condiciones iniciales (y (1) = 2 ) y (y ' (1) = - 3 ) rendimientos

[ begin {alineado} c_1 + c_2 & = phantom {-} {8 over 3} c_1-c_2 & = - {11 over 3}. end {alineado} ]

Resolver estas ecuaciones produce (c_1 = -1 / 2 ), (c_2 = 19/6 ). Por tanto, la solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.12} es

[y = {x ^ 2 over 3} -1- {x over 2} + {19 over 6x}. nonumber ]

Usar la reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden conduce a una ecuación lineal homogénea de primer orden en (u ') que puede resolverse mediante la separación de variables. El siguiente ejemplo ilustra esto.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentre la solución general y un conjunto fundamental de soluciones de

[ label {eq: 5.6.18} x ^ 2y '' - 3xy '+ 3y = 0, ]

dado que (y_1 = x ) es una solución.

Solución

Si (y = ux ) entonces (y '= u'x + u ) y (y' '= u''x + 2u' ), entonces

[ begin {alineado} x ^ 2y '' - 3xy '+ 3y & = x ^ 2 (u''x + 2u') - 3x (u'x + u) + 3ux & = x ^ 3u '' -x ^ 2u '. end {alineado} ]

Por tanto, (y = ux ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.6.18} si y solo si

[x ^ 3u '' - x ^ 2u '= 0. nonumber ]

Separando las variables (u ') y (x ) se obtiene

[{u '' over u '} = {1 over x}, nonumber ]

entonces

[ ln | u '| = ln | x | + k, quad text {o equivalentemente} quad u' = C_1x. nonumber ]

Por lo tanto

[u = {C_1 over2} x ^ 2 + C_2, nonumber ]

entonces la solución general de la Ecuación ref {eq: 5.6.18} es

[y = ux = {C_1 over2} x ^ 3 + C_2x, nonumber ]

que reescribimos como

[y = c_1x + c_2x ^ 3. nonumber ]

Por lo tanto, ( {x, x ^ 3 } ) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.6.18}.


Ver el vídeo: Reducción de orden. Zill (Septiembre 2021).